【文档说明】陕西省西安中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试卷 含解析.doc，共(22)页，1.802 MB，由小赞的店铺上传

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西安中学2020～2021学年度第一学期期末考试高二理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.抛物线214yx=的焦点坐标是（）A.()1,0B.()0,1C.()2,0D.()0,2—

———B分析：将抛物线的方程化为标准方程，由此可求得该抛物线的焦点坐标.解答：抛物线的标准方程为24xy=，则24p=，可得12p=，因此，抛物线214yx=的焦点坐标为()0,1.故选：B.2.设直

线1l、2l的方向向量分别为()1,2,2a=−，()2,3,bm=−，若12ll⊥，则m等于（）A.1B.2C.12D.3————B分析：由12ll⊥可得出0ab=，利用空间向量数量积的坐标运算可得出关于实数m的等式，由此可解得实数m的值.解答：由于12ll⊥，则()12232420

abmm=−+−=−=，解得2m=.故选：B.3.“若0x=或1x=，则20xx−=”的否命题为()A.若0x=或1x=，则20xx−B.若20xx−=，则0x=或1x=C.若0x或1x，则20xx−D.若0x且1x，则20xx−————D分析：根据原命题与否命题的定义写出结果

即可解答：“若0x=或1x=，则20xx−=”的否命题为：若0x且1x，则20xx−故选D点拨：本题主要考查了否命题与原命题的关系，属于基础题4.下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（）（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）

若ab，则ab→→；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A.0B.1C.2D.3————B分析：根据相等向量的有关概念判断．解答：由相等向量的定义知（1）正确；平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，

（2）错；方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错，所以正确答案只有一个．故选：B．5.过抛物线E：y2＝2x焦点的直线交E于A，B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则|AB|＝（）A.2B.52

C.3D.4————C分析：设焦点为F，过A，B，M分别作准线12x=−的垂线，垂足为A′，B′，M′，求出3||2MM=，即得解.解答：设焦点为F，过A，B，M分别作准线12x=−的垂线，垂足为A′，B′，M

′，则有|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，|AA′|+|BB′|＝2|MM′|，∵M到y轴距离为1，∴3||2MM=，∴|AB|＝|AF|+|BF|＝2|MM′|＝3．故选：C．点拨：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6

.函数()21ln2fxxx=−的单调递减区间为（）A.()1,1−B.(),1−C.()0,1D.()1,+————C分析：求出导函数()fx，然后由()0fx确定减区间．解答：函数定义域是(0,)+，由已知1(1)(

1)()xxfxxxx+−=−=，当01x时，()0fx，1x时，()0fx，所以减区间是(0,1)．故选：C．7.已知双曲线C的一条渐近线的方程是：2yx=，且该双曲线C经过点(2,2)，则双曲线C的方程是

A.2221714xy−=B.2221714yx−=C.2214xy−=D.2214yx−=————D因为双曲线C的一条渐近线的方程是：2yx=，所以设双曲线C的方程224(0)yx−=因为过点()2,2，所以222224(2)414yx=−=−−=，选D.8.对于空间任意一点O和不

共线的三点A，B，C，且有(,,)OPxOAyOBzOCxyzR=++，则2x=，3y=−，2z=是P,A,B,C四点共面的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条

件————B分析：利用空间中共面定理：空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且(),,OPxOAyOBzOCxyzR=++,得P,A,B,C四点共面等价于1xyz++=，然后分充分性和必要性进行讨论即可.

解答：解：空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且(),,OPxOAyOBzOCxyzR=++则P,A,B,C四点共面等价于1xyz++=若2x=，3y=−，2z=，则1xyz++=，所以P,A,B,C四点共面若P,A,B,C四点共面，则1xyz++=，不能得到2x=，

3y=−，2z=所以2x=，3y=−，2z=是P,A,B,C四点共面的充分不必要条件故选B.点拨：本题考查了空间中四点共面定理，充分必要性的判断，属于基础题.9.椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点为F，存在直线yt=与椭圆C交于,AB两点，使得ABF为等腰直角三角形，

则椭圆C的离心率e=A.22B.21−C.51−D.12————B【分析】由题意得在等腰直角三角形ABF中有FBAB=，而2bFBa=，2ABc=，由此可得关于,,abc的关系式，消去b整理后可得关于e的方程，解方程可得所求．解答：由题得当BFAB⊥时，

ABF为等腰直角三角形，所以FBAB=，∴22bca=，∴22bac=，∴222acac−=，∴212ee−=，∴2210ee+−=，解得12e=−，又01e，∴21e=−．故选B．点拨：解得本题时注意以下几点：（1）对ABF形状的判定，分清两直角边分别是谁；（2）解题中注意应用一些常

见的结论，以简化运算，如在本题中过焦点垂直于长轴的弦长（即通径长）为22ba；（3）注意椭圆离心率的取值范围．10.已知函数()()sin21fxkxxkR=++，当k(,2)(2,)−−+时，

()fx在()0,2内的极值点的个数为（）A.0B.1C.2D.3————C分析：求导令导函数等于0，得出2cosxk=−，将问题转化为函数()cosgxx=，()0,2p，2()hxx=−，(,2)(2,)x−

−+的交点问题，画出图象即可判断.解答：令()cos20fxkx=+=得出2cosxk=−令函数()cosgxx=，()0,2p，2()hxx=−，(,2)(2,)x−−+它们的图象如下图所示由图可知，函数()cosgxx=，()0,2p，2()hxx=

−，(,2)(2,)x−−+有两个不同的交点，则()fx在()0,2p内的极值点的个数为2个故选：C点拨：本题主要考查了求函数零点或方程的根的个数，属于中档题.11.已知正方体1111ABCDABCD−，Q是平面ABCD内一动

点，若1DQ与1DC所成角为4，则动点Q的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆————C分析：建立空间直角坐标系，利用向量的数量积公式化简即可判断动点Q的轨迹.解答：设正方体的棱长为1，以1,,DADCDD分别为x，y，z，

建立空间直角坐标系，如图所示，设(,,0)Qxy，(0,1,0)C，1(0,0,1)D，所以11(0,1,1),(,,1)DCDQxy=−=−由于1111||||cos4DCDQDCDQ=，所以2221212yxy+=

++，平方得222211yyxy++=++，即22xy=，即轨迹为抛物线.故选：C点拨：本题主要考查了由线线角求其他量，属于基础题.12.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左､右焦点分别为1F，2F，过1F的直线MN与C的左支交于M，N两点，若()2121

0FFFMMF+=，222FNFM=，则C的渐近线方程为（）A.33yx=B.3yx=C.22yx=D.2yx=————B分析：设椭圆焦距为2c，取1FM的中点P，连接2FP，转化条件得21FPMF⊥

，进而可得2122FMFFc==、2224FNFMc==、142FNca=−、122FMca=−，利用余弦定理可得()22124cos22cacaNFFcca−+=−、12cos2caMFFc−=，即可得解.解答：设椭圆焦距为2c，取1FM的中点P

，连接2FP，如图所示：()21210FFFMMF+=，2120FPMF=即21FPMF⊥，2122FMFFc==，2224FNFMc==，142FNca=−，122FMca=−，在12FNF△中，()

()()()2222221122121124224cos22422NFFFNFcaccNFFNFFFcac+−−+−==−()22422cacacca−+=−，在12FMF△中，()()()()2222221122121122222cos2222

2MFFFMFcaccMFFMFFFcac+−−+−==−2cac−=，由1212NFFMFF+=可得()224222cacacaccac−+−=−−，化简可得223720caca−+=，2ca=或13ca=（舍去），223bcaa=−=，该双曲线渐近线方程为b

yxa=即3yx=.故选：B.点拨：本题考查了双曲线性质的应用及渐近线的求解，考查了余弦定理的应用，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“xR，22390xax−+”为假命题，则实数a

的取值范围是________．————22,22−分析：由原命题为假可知其否定为真，结合二次函数性质知0，解不等式求得结果.解答：若原命题为假命题，则其否定“xR，22390xax−+

”为真命题29720a=−，解得：2222a−a的取值范围为22,22−故答案为：22,22−点拨：本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够利用原命题与其否定之间的真假关系将问题转化为恒成立的问题.14.在空间直角坐标系中，()1,1,1A、()2,

3,4B，平面BCD的一个法向量是()1,2,1−，则点A到平面BCD的距离为______________．————6分析：利用点到平面的距离公式nABdn=（n为平面BCD的一个法向量）可求得点A到平面BCD的距离.解答：由已知条

件可得()1,2,3AB=，平面BCD的一个法向量为()1,2,1n=−，所以，点A到平面BCD的距离为()2222112316121nABdn−++===−++.因此，点A到平面BCD的距离为6.故答案为：6.点拨

：方法点睛：求点A到平面BCD的距离，方法如下：（1）等体积法：先计算出四面体ABCD的体积，然后计算出BCD△的面积，利用锥体的体积公式可计算出点A到平面BCD的距离；（2）空间向量法：先计算出平面BCD的一个法向量n的坐标，进而可得出点A到平面BCD的距离为A

Bndn=.15.过椭圆221164xy+=内一点()2,1M引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程______.————240xy+−=分析：设出直线与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，

结合()2,1M为弦的中点，求出弦所在直线的斜率，即可得到直线的方程．解答：解：设直线与椭圆的交点为()11,Axy，()22,Bxy，()2,1M为AB的中点，所以124xx+=，122yy+=，又A、B

两点在椭圆上，则2211416xy+=，2222416xy+=，两式相减得()()2222121240xxyy−+−=，所以()12121212142yyxxxxyy−+=−=−−+，即12ABk=−，故所求直线

方程为1(2)12yx=−−+，即240xy+−=.故答案为240xy+−=.点拨：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．16.设()()()2222,,44abbFabaebabR=−+−+，则(),Fab的最小值为____

__________．————21−分析：设点(),aAae、2,4bBb，则(),Fab表示AB再加上点B的横坐标，利用抛物线的定义可得出(),1FabAF=−（其中F为抛物线24yx=的焦点），利用导数求出AF的最小值，即可得解.解答：()()()2222

,,44abbFabaebabR=−+−+.设点(),aAae、2,4bBb，则(),Fab表示AB再加上点B的横坐标，其中点B为抛物线24yx=上的一点，该抛物线的焦点为()1,0F，准线为1x=−.作出函数xye=与抛物线24yx=的图象如下图所示：过点B作抛物线

24yx=的准线的垂线，垂足为点D，设BD交y轴于点C，则(),111FabABBCABBDABBFAF=+=+−=+−−，当且仅当A、B、F三点共线时，等号成立，下面利用导数求出AF的最小值，()22

1aAFae=−+，构造函数()()221xgxxe=−+，其中xR，()2222xgxxe=−+，()00g=且函数()gx单调递增，当0x时，()0gx；当0x时，()0gx.所以，函数()gx的单调递减区间为(),0−，单调递增区间为()0

,+.()()min02gxg==，min2AF=，因此，(),Fab的最小值为21−.故答案为：21−.点拨：关键点点睛：本题从代数式的几何意义出发，利用数形结合思想转化为折线段和的最小值问题来求解，同时又考查了抛物线定义的应用，在求解AF的最值

时，充分利用了导数来求解.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（１）求焦点在x轴上,虚轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程；（2）求经过点(2,4)P−−的抛物线的标准方程；————（1）2216436xy−=；（2）28yx=−或2xy=−.分析：（1）由

虚轴长是12求出半虚轴b，根据双曲线的性质c2=a2+b2以及离心率，求出a2，写出双曲线的标准方程；（2）设出抛物线方程，利用经过()2,4P−−，求出抛物线中的参数，即可得到抛物线方程．解答：焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为=

1（a>0,b>0）．由题意，得解得b=6,222222259=361616bcaaaa=−=−=解得，所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．（2）由于点P在第三象限，所以抛物线方程可设为：22ypx=−或22xpy=−（p>0）当方程为22ypx=−，将点(2,4)P−−代入得16=4

p，即p=4,抛物线方程为：28yx=−；当方程为22xpy=−，将点(2,4)P−−代入得4=8p，即p=12,抛物线方程为：2xy=−；18.如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，且PAD△为等边三角形．

（1）求证：PACD⊥；（2）求二面角DPAC−−的正弦值．————（1）证明见解析；（2）277.分析：（1）由面面垂直得线面垂直，然后可得线线垂直；（2）取AD中点记为O，连结PO，在平面ABCD内过O作平行于AB的直线

为y轴，OA为x轴，OP为z轴建立窨直角坐标系，用空间向量法求二面角．解答：(1)证明：四边形ABCD为正方形，所以CDAD⊥，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，CD⊥平面ADP又PA平面ADP，所以PACD⊥(2

)解：取AD中点记为O，连结PO.由于PAD为等边三角形，O为AD中点，POAD⊥又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，所以PO⊥平面ABCD，在平面ABCD内过O作直线平行于AB，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，则()1,0,0A，()0,0,3

P，()1,0,0D−，()1,2,0C−()1,0,3AP=−，()2,2,0AC=−平面PAD的一个法向量为()0,1,0m=．设平面PAC的一个法向量()222,,nxyz=，则有222230220APnxzACn

xy=−+==−+=，令21x=，则31,1,3n=则有2121cos,731113mnmnmn===++，22127177−=则二面角DPAC−−的正弦值277．点拨：方法点睛：本题考查用线面垂直证明

线线垂直，考查用空间向量法求二面角．求二面角的常用方法：（1）定义法：即作出二面角的平面角并证明，然后计算；（2）向量法：建立空间直角坐标系，用二面角的两个面的法向量的夹角求解二面角．19.已知函数()313fxxaxb=−+，在点()()1,1Mf处的切线方程为93100xy+−=，求：(

)1实数a，b的值；()2函数()fx的单调区间以及在区间0,3上的最值．————（1）4,4ab==（2）min4()(2)3fxf==−分析：()1求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数值域斜率的关系，即可求出ab，的值()2求出导函数的符号，判断函数的单调性以及求解区

间上的函数的最值解答：（1）因为在点M（1，f（1））处的切线方程为9x+3y-10=0，所以切线斜率是k=-3且9×1+3f（1）-10=0，求得，即点又函数，则f′（x）=x2-a所以依题意得-解得（2）由（1）知所以f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2）令f′（x）=0，解得x=2或x=

-2当f′（x）＞0⇒x＞2或x＜-2；当f′（x）＜0⇒-2＜x＜2所以函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-2），（2，+∞）单调递减区间是（-2，2）又x∈[0，3]所以当x变化时，f（x）和f′（x）变化情况如下表：X0（0，2）2（2，3）3f′（x

）-0+0f（x）4↘极小值↗1所以当x∈[0，3]时，f（x）max=f（0）=4，-点拨：本题主要考查了函数的导数的应用，切线方程以及闭区间上函数的最值的求法，考查了转化思想和计算能力，较为基础．20.如图1，在MBC△中，24BM

BC==，BMBC⊥，,AD别为边BM，MC的中点，将△MAD沿AD折起到PAD△的位置，使90PAB=o，如图2，连结PB，PC.（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）线段PC上是否存在一点E，使二面角EADP−−的余弦值为31010？若存在，求出PEPC的

值；若不存在，请说明理由．————（1）证明见解析；（2）存在，14PEPC=.分析：（1）由线面垂直的判定定理证明PA⊥平面ABCD．然后再得面面垂直；（2）由,,ABADAP两两垂直，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz−，假设存在E满足

题意，设出PEPC=，用空间向量法求二面角，再根据二面角的大小得出．解答：（1）证明：因为A，D分别为MB，MC中点，所以//ADBC．因为BMBC⊥，所以.BMAD⊥所以PAAD⊥．因为90PAB=，所以PAAB⊥．又因为ABADA=，AB

，AD平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD．又因为PA平面PAD，所以平面PAD⊥平面.ABCD（2）解：因为PAAB⊥，PAAD⊥，90DAB=，所以AP，AB，AD两两互相垂直．以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axy

z−，假设线段PC上存在一点E，使二面角EADP−−的余弦值为31010．设()000,,Exyz，()01PEPC=，则()01PEPC=，即()()000,,22,2,2PExyzPC=−==−．所以()2,2,22E−，()0,1,0AD=u

uur，()2,2,22AE=−．平面PAD的一个法向量为(1,m=0，0)．设平面ADE的一个法向量()222,,pxyz=，则有()2222022220ADpyAEpxyz===++−=，令2z=，则(1,p=−0，)．若二面角EADP−−

的余弦值为31010，则有221310cos,10(1)mpmpmp−===−+，由01≤≤，解得14=．故线段PC上存在一点E，使二面角EADP−−的余弦值为31010，且14PEPC=．点拨：方法点睛：本题考查用线面垂直证明线线垂直，考查用由二面角

的大小求参数．求二面角的常用方法：（1）定义法：即作出二面角的平面角并证明，然后计算；（2）向量法：建立空间直角坐标系，用二面角的两个面的法向量的夹角求解二面角．21.在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A（-2，0），B（2，0）连线的斜率之积为-12

，记点P的轨迹为曲线C（I）求曲线C的方程；（II）若过点（-2，0）的直线l与曲线C交于M，N两点，曲线C上是否存在点E使得四边形OMEN为平行四边形？若存在，求直线l的方程，若不存在，说明理由————（Ⅰ）曲线C的方程为2242xy+=1（x≠±2）（II）存在，直线l的方程为22

0xy−=.分析：（I）设动点为(,)Pxy，直接把斜率之积为12−用坐标表示出来即可；（II）假设存在符合条件的点00(,)Exy，由题意知直线l的斜率不为零，同时设直线l的方程为2xmy=−，1122(,),(,)MxyNxy，把直线方程代入曲线方程，由韦

达定理得12yy+，同时求得12xx+，而平行四边形OMEN存在，则有OEOMON=+，从而可得E点坐标，再代入（I）中所求曲线方程可求得参数m值，说明假设正确．解答：解：（Ⅰ）设P（x,y）,有PAk·PBk=-12得2yx+·2yx−=-12整理得2242xy+=1（x≠±

2）∴曲线C的方程为2242xy+=1（x≠±2）（II）假设存在符合条件的点E（00xy，）由题意知直线l的斜率不为零设直线l的方程为x=my-2点M坐标为（11xy，）、点N坐标为（22xy，）由22224xmyxy=−

+=得：（2m+2）2y-22my-2=0,△>0∴1y+22222mym=+则121(xxmy+=+2)22y−=-2422m+由四边形OMEN为平行四边形，得到OEOMON=+∴E（-22422222mmm++，）把点E坐标代入曲线

C的方程得：4m-4=0，解得22m=∴直线l的方程为220xy−=点拨：本题考查求曲线方程，方法是直接法，考查椭圆中的存在性问题，解题方法是设而不求法，即设交点坐标为1122(,),(,)MxyNxy，设直线

l的方程为2xmy=−，代入椭圆方程后用韦达定理，再把此结论代入题意存在的点所满足的几何条件求出参数m即可．22.已知函数f（x）=ax﹣ex（a∈R），g（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）∃

x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣ex成立，求a的取值范围．————（Ⅰ）答案见解析（Ⅱ）试题分析：（Ⅰ）f′（x）=a﹣ex，x∈R．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出；（Ⅱ）由∃x0∈（0，+∞），使不

等式f（x）≤g（x）﹣ex，即a≤．设h（x）=，则问题转化为a，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．解：（Ⅰ）∵f′（x）=a﹣ex，x∈R．当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，令f′（x）=0得x=lna．由f′（x）＞0得

f（x）的单调递增区间为（﹣∞，lna）；由f′（x）＜0得f（x）的单调递减区间为（lna，+∞）．（Ⅱ）∵∃x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣ex，则，即a≤．设h（x）=，则问题转化为a，由h′（x）=，令

h′（x）=0，则x=．当x在区间（0，+∞）内变化时，h′（x）、h（x）变化情况如下表：由上表可知，当x=时，函数h（x）有极大值，即最大值为．∴．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的

最值．