【文档说明】湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高一上学期第一次阶段性测试数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.110 MB，由小赞的店铺上传

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株洲市二中2023年下学期高一年级阶段性测试试卷数学试题时量：120分钟分值：150分一､单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1.函数()21xfxx−=−的定义域是（）A.(,2−B.)2,+

C.(,1−)2,+D.()(,11,2−【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式，建立关于x的不等式组解出即可.【详解】要使函数有意义，则2010xx−−，解得2x且1x，所以函数的定义域为()(,11,2−.故选：D.2.已知aR，

若集合1,Ma=，1,0,1N=−，则“0a=”是“MN”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】当0a=时，集合1,0M

=，1,0,1N=−，可得MN，满足充分性，若MN，则0a=或1a=−，不满足必要性，所以“0a=”是“MN”的充分不必要条件，故选：A.3.下列函数中，在区间(0，+∞)内不是单调递增的是（）A.y=2

x+1B.y=x2+2x2−C.2yx=D.1yx−=【答案】C【解析】【分析】依次判断四个函数的单调性，选出符合题意的即可.【详解】解：21yx=+在区间(,)−+内单调递增；故A不合题意.222yxx=+−的对称轴为

=1x−，故222yxx=+−在区间(,1)−−内单调递减，在区间(1,)−+内单调递增；故B不合题意.2yx=在区间(,0)−内单调递减，在区间(0,)+内单调递减；故2yx=在区间(0，+∞)内不是单调递增；故C符合题意.1yx−=在区间(,0)−

内单调递增，在区间(0,)+内单调递增；故D不合题意.故选：C.4.下列各组函数是同一个函数的是（）A.()()2,xfxxgxx==B.()()01,fxgxx==C.()()21,11fxxgxxx=−=+−D.()()2221,21fxxxgmmm=−−=−−【答案】D【解析】【分析

】利用相同函数的意义，逐项分析判断作答.【详解】对于A，函数()fx定义域为()R,gx定义域为0xx，故不是同一函数；对于B，函数()fx定义域为()R,gx定义域为0xx，故不是同一函数；对于C，函数()fx定义域为(),11,−−+，而()

gx定义域为)1,,+故不是同一函数；对于D，两个函数定义域都为R，对应法则相同，只是表示自变量的符号不同，故是同一函数.故选：D.5.不等式20cxaxb++的解集为112xx−∣

，则函数2yaxbxc=−−的图象大致为（）的A.B.CD.【答案】A【解析】【分析】首先根据一元二次不等式与对应方程的关系，求解,,abc的关系，再代入函数2yaxbxc=−−，即可分析函数的图象.【详解】因为20cxaxb++

的解集为112xx−∣，所以方程20cxaxb++=的两根分别为12和1−，且0c，则112112acbc−+=−−=，11,22acbc==−，故函数()()2221222cccyaxbxcxxcxx=−−=+−=+−的图象开口向下，且

与x轴的交点坐标为()1,0和()2,0−，故A选项的图象符合.故选：A6.已知函数331()5fxaxbxx=+−−，且(2)2f−=，那么(2)f等于（）A.−12B.2C.−18D.10【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性的性质求出(2)f的值即可．【详解】解

：令331()gxaxbxx=+−，则()()gxgx−=−是奇函数，(2)(2)52fg−=−−=，.故(2)7g−=，(2)7g=−，故(2)fg=(2)512−=−，故选：A．7.已知函数()225,1,1xaxxfxaxx−−−=是R上的增函数，则实数a的取值范围

是（）A.(,1−−B.2,1−−C.2,0−D.(,0−【答案】B【解析】【分析】根据分段函数单调性性质，结合二次函数、反比例函数的单调性进行求解即可.【详解】二次函数225yxax

=−−−的对称轴为xa=−，且开口向下，因为()225,1,1xaxxfxaxx−−−=是R上的增函数，所以有210211251aaaaa−−−−−−，故选：B8.已知函数

()()()21,143,1xxfxxxx−=−+．若()()0ffm，则实数m的取值范围是（）．A.22−,B.)2,23,−+C.2,22−+D.)2,224,−++【答案】D【解析】【分析】解

不等式()0fx得)1,13,−+，将问题转化为())1,13,fm−+，进而作出函数()fx的图像，数形结合求解即可.【详解】解：当1x时，()10fxx=−，解得11x−，的当1x时，()2430fxxx=−+，解得3x，所以，

当()()0ffm时，())1,13,fm−+，令()1fx=−时，2x=−或2；令()3fx=时，4x=；令()1fx=时，0x=或22+，所以，作出函数()fx的图像如图，当())1,13,fm−+时，实数m的取值范围是)2,224,

−++.故选：D二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.下列说法正确的有()A.命题“2R,20xxx−−=”的否定是“2R,20

xxx−−”B.若命题“xR，240xxm++=”为假命题，则实数m的取值范围是()4,+C.若abcR，，，则“22abcb”的充要条件是“ac”D.“1a”是“11a”的充分不必要条件【答案】A

BD【解析】【分析】根据命题的否定即可判断A；根据恒成立转化成最值问题即可判断B；根据充分条件和必要条件的概念及不等式的性质可判断CD．【详解】命题“2R,20xxx−−=”的否定是“2R,20xxx−−”，故A正确；∵命题“Rx，240xxm++=”为假命题，

则关于x的方程240xxm++=无实数根，故1640m=−，解得4m，故B正确；∵22abcb可得ac；但当ac，0b=时，有22abcb=；∴“若abcR，，，则22abcb”是“ac”的充分不必

要条件，故C错误；当“1a”时，则“11a”成立；但当“11a”时，“1a或a<0”；故“1a”是“11a”的充分不必要条件，故D正确．故选：ABD﹒10.某校学习兴趣小组通过研究发现：形如axbycxd+=+（0,,acbd不同时为0）的函数图象可以由反比例函数的图

象经过平移变换而得到，则对函数21xyx+=−的图象及性质，下列表述正确的是（）A.图象上点的纵坐标不可能为1B.图象关于点()1,1成中心对称C.图象与x轴无交点D.函数在区间()(),1,1,−+上分别单调递减【

答案】ABD【解析】【分析】化简21xyx+=−得到311yx=+−，结合反比例函数3yx=的性质可得到结果.【详解】21331111xxyxxx+−+===+−−−，则函数21xyx+=−的图象可由的3yx=图象先向右平移一个单位长度，

再向上平移一个单位长度得到，21xyx+=−图象上点的纵坐标不可能为1，A正确；图象关于点()1,1成中心对称，B正确；图象与x轴的交点为()2,0−，C不正确；函数在区间()(),1,1,−+上分别单调递减，D正

确.故选：ABD.11.已知0,0ab，则下列命题正确的是（）A.若1ab，则112ab+B.若4ab+=，则19ab+的最小值为4C.若224ab+=，则ab的最大值为2D.若21ab+=，则ab的最大值为22【答

案】ABC【解析】【分析】结合条件使用基本不等式求最值即可判断.【详解】由01ab，有11ab，则11122abab+，当且仅当1ab==时等号成立，故A正确；若4ab+=，则()191191919102104444babaabababa

bab+=++=+++=，当且仅当9baab=，即1,3ab==时等号成立，则19ab+的最小值为4，故B正确；若224ab+=，则2222abab+=，当且仅当2ab==时等号成立，则ab的最大值为

2，故C正确；若21ab+=，则1222abab=+，即18ab，当且仅当2ab=，即11,42ab==时等号成立，则ab的最大值为18，故D错误.故选：ABC12.德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现

代函数的概念，是解析数论的创始人，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为()1,0,xDxx=是有理数是无理数，狄利克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数()Dx

有以下四个命题，其中真命题是（）A.函数()Dx是奇函数B.()()(),,xyDxyDxDy=+RC.函数()()DDx是偶函数D.()(),,xaDaxDax+=−RQ【答案】BCD【解析】【分析】选项A，若x是有

理数，可得()()20DxDx+−=，可知()Dx不是奇函数；选项B，当2,3xy==时，符合题意；选项C，分两种情况讨论得,(())1xDDx=R，由偶函数的定义判断；选项D，分两种情况讨论，若x是有理数，得()()1DaxDax+=−=；若x是

无理数，得()()0DaxDax+=−=.【详解】A项，若x是有理数，则x−也是有理数，可得()()1120DxDx+−=+=，则()Dx不是奇函数，故A错误；B项，当2,3xy==时，()()()()()2360,20,DxyD

DDxD=====，()()30DyD==,此时()()()DxyDxDy=+，故B正确；C项，若x是有理数，则()()()()1,11DxDDxD===；若x是无理数，()()()()0,01DxDDxD===，则()(),1

xDDx=R，又x−R，则()()1DDx−=，因此()()()()DDxDDx−=，所以函数()()DDx是偶函数，故C正确；D项，若x是有理数，aQ，则,axax+−均是有理数，故()()1DaxDax+=−=；若x是无理

数，aQ，则,axax+−均是无理数，故()()0DaxDax+=−=，所以()(),,xaDaxDax+=−RQ，故D正确.故选：BCD.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美、和谐美，如图所示的

太极图.定义：若函数()yfx=的图象是一条连续不断的曲线，且该曲线同时平分圆的周长和面积，则称函数()yfx=为该圆的“完美函数”.写出圆心在坐标原点的圆的一个“完美函数”______.【答案】2yx=（答案不唯一）【解析】【

分析】根据题意可得()yfx=一定为奇函数，且图象是一条连续不断的曲线，进而写出符合题意的答案即可.【详解】由题意，“完美函数”能平分圆的周长和面积，且图象是一条连续不断的曲线，所以圆心在坐标原点时，“完美函数”一定为奇函数，则符合题意的一个“完美函数”为2y

x=（答案不唯一）.故答案为：2yx=（答案不唯一）.14.函数3,0,21+=+xyxx的值域为________【答案】5,33【解析】【分析】将分式函数分离常数，再利用不等式法即可求得函数值域.

【详解】02x，113x+，11131x+，23122x+，251331x++，函数32111xyxx+==+++值域为5,33．故答案为：5,33.15.若函数2()616fxxx=−−的定义域为[0,]m，值域

为[25,16]−−，则m的取值范围为__________.【答案】[3,6]【解析】【分析】确定函数图象的开口和对称轴，结合二次函数的性质即可求得答案.【详解】由题意可得函数2()616fxxx=−−的图像开口向

上，对称轴为3x=，当3x=时，min()25fx=−，令()16fx=−，解得0x=或6x=，因为函数2()616fxxx=−−的定义域为[0,]m，值域为[25,16]−−，故[3,6]m，故答案为：[3,6]

16.设x表示不超过x的最大整数，则方程2430xx−+=的所有根的和为__________.【答案】45+##54+【解析】【分析】首先根据题意得到234xx+=，根据1xxx−得到2314xxx+−，从而得到13x，再分类讨论1x=或2x=或

3x=的情况求解即可.【详解】因为2430xx−+=，所以234xx+=，又1xxx−，所以2314xxx+−.由2314xx+−，得()2247230xxx−+=−+，该不等式恒成立.的由234xx+，得2430xx−+，解得13x，则1x=

或2x=或3x=.当1x=时，2430xx−+=可化210x-=，解得1x=，又1x=，所以1x=；当2x=时，2430xx−+=可化为250x−=，解得5x=，又2x=，所以5x=；当3x=时，

2430xx−+=可化为290x-=，解得3x=，又3x=，所以3x=.所以方程2430xx−+=的根为153,,，即方程的所有根的和为45+.故答案为：45+.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或

演算步骤）17.分别求满足下列条件的()fx的解析式：（1）已知()2132fxxx+=−+，求()fx；（2）已知函数()fx是一次函数，若()()48ffxx=+，求()fx；（3）已知21111fxx+=−，求()fx.【答案】（1

）()256fxxx−=+（2）()823fxx=+或()28fxx=−−（3）()()221fxxxx=−【解析】【分析】（1）利用配凑法或换元法求函数解析式；（2）利用待定系数法求函数解析式；（3）利用配凑法或换元法求函数解析式.【小问1详解】方法一（配凑法）：()2

132fxxx+=−+()22(1)51(1)516xxxx=+−+=+−++，()256fxxx=−+.方法二（换元法）：令1tx=+，则1xt=−，为()()22(1)31256fttttt=−−−+=−+，即()256fxxx−=+.【小问

2详解】函数()fx是一次函数，设()()0fxaxba=+，则()()()()2ffxfaxbaaxbbaxabb=+=++=++.又()()248,48ffxxaxabbx=+++=+，248aabb=+=，解得283a

b==，或28ab=−=−()823fxx=+或()28fxx=−−.【小问3详解】22111111121fxxxx+=−=+−+，令11,1ttx=+，()22fttt=−，即函数()fx的解

析式为：()()221fxxxx=−18.已知命题：“[1,1]x−，都有不等式20xxm−−成立”是真命题.（1）求实数m的取值集合B；（2）设不等式(3)(2)0xaxa−−−的解集为A，若x

A是xB的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）()=>2=2,+Bmm（2）2,3+【解析】【分析】（1）参变分离后转化为最值问题求解，（2）分类讨论解不等式得A，由集合间

关系列不等式求解，【小问1详解】由题意得2mxx−在11x−时恒成立，∴()2maxmxx−，得2m，即()=>2=2,+Bmm.【小问2详解】不等式()()320xaxa−−−，①当32aa+，即1a时，解集=2+<<3Axaxa，若xA是xB的充分

不必要条件，则A是B的真子集，∴22a+，此时1a；②当32aa=+，即=1a时，解集A=，满足题设条件.③当32aa+，即1a时，解集=3<<2+Axaxa，若xA是xB的充分不必要条件，则A是B的真子集，∴32a，此时213a，综上①②③可

得2,3a+.19.已知()yfx=是定义域为0xx∣的奇函数，且0x时，()11fxx=+.（1）求函数()fx的解析式，并写出单调区间；（2）求不等式()2120fx++的解集.【答案】（1）()11,011,0xxfxxx−+=+；单调

减区间为()(),0,0,−+.（2）(1,1,2−−−+【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出函数()fx的解析式，进而求得函数的单调区间；（2）分12x−和12x−，两种情况讨论分别解得不等式的解集，进而得到答案.【

小问1详解】解：当0x时，则0x−，因为函数()fx为奇函数，可得()()1111fxfxxx=−−=−−=−+，故所以函数的解析式为()11,011,0xxfxxx−+=+，则函数()fx的单调减区间为()(),0,0,−+.【小问2详解】解：当21

0x+，即12x−时，()2120fx++等价于112021x+++，即()232021xx++，所以()()23221012xxx++−，解得12x−，当210x+，即12x−时，()2120fx++等价于112021x−+++，即()2

1021xx++，所以()()2121012xxx++−，解得1x−，综上所述，不等式()2120fx++的解集为(1,1,2−−−+.20.当下的电动汽车越来越普及，可以通过固定的充电柱进行充电．某商场计划在地下停车库安装公共充电柱，以满足顾客的需求．据市

场分析，公共充电柱的历年总利润y（单位：万元）与营运年数x（x是正整数）成二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，运营六年时总利润最大，为110万元．（1）求出y关于x的函数关系式；（2）求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润/营运年数）．【答案】

（1）()210120250*yxxxN=−+−（2）20万元【解析】【分析】（1）根据条件设函数为()()261100yaxa=−+，代入3,20xy==即可得函数关系式；（2）求出年平均总利润的表达式，利用基本不等式求最值.【小问1详解】因为投入运营六年时总利润最大，为

110万元，则二次函数开口向下，且顶点坐标为（6,110），可设函数为()()261100yaxa=−+，又运营三年时总利润为20万元，即()2203611010aa=−+=−，则()2106110yx=−−+，即()210120250*yxxxN=−+−；【小问2详

解】由（1）得年平均总利润为2525101202012020yxxxxx=−++−+=，当且仅当255xxx==时取“=”.所以营运的年平均总利润的最大值为20万元.21.已知函数tyxx=+有如下性质：当0x时，如果常数0t，那么

该函数在(0,t上是减函数，在),t+上是增函数.（1）当2t=时，求证：函数(0)tyxxx=+在(0,t上是减函数；（2）已知()241,0,21xxfxxx−−=+，利用上述性质，求函数()fx

的单调区间和值域；（3）对于（2）中的函数()fx和函数()2gxxa=+，若对于任意10,2x，总存在20,2x，使得()()21gxfx=成立，求实数a的范围.【答案】（1）证明见解析（2）单调减区间为0,1，单调增区间为1,2；值域为2,1−−（3

）3,12−−【解析】【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性；（2）换元后，根据对勾函数的单调性求函数值域；（3）由单调性求出()gx的值域，再由包含关系建立不等式求解.【小问1详解】当2t=时，函数2(0)yxxx=+在(0,2上是减函数，证明如下：任取1

202xx，()121212121212222xxyyxxxxxxxx−−=+−+=−，由1202xx，120xx−，1202xx，1220xx−，则120yy−，即12yy，所以函数2(0)yxxx=+在(0,2上是减函数.【小问2详解】()

241416,0,211xxfxxxxx−−==++−++设1tx=+，则46,1,3yttt=+−，由已知性质得，当12t，即01x时，()fx单调递减，当23t，即12x时，()fx单调递增，故()fx单调减区间为0,1，单调增区间为

1,2.由()()()501,12,23fff=−=−=−，得()fx的值域为2,1−−.【小问3详解】由于()2,0,2gxxax=+为增函数，故()2,22gxaa+.由题意，知()fx

的值域为()gx的值域的子集，从而22221aa−+−，解得312a−−，所以实数a的范围为3,12−−.22.给定函数()()2222,,fxxxaagxxxaaaR=+++=−+−．且,xR用()Mx表示()f

x，()gx的较大者，记为()()()=max,Mxfxgx．（1）若1a=，试写出()Mx的解析式，并求()Mx的最小值；（2）若函数()Mx的最小值为3，试求实数a的值．【答案】（1）()222,1,1xxxMxxxx++−=−−，()min

74Mx=；（2）1142a−=或1412a−=．【解析】【分析】由()Mx的定义可得()()(),=,fxxaMxgxxa−−，（1）将1a=代入，写出解析式，结合分段区间，求()fx，()gx的最小值并比较大小，

即可得()Mx的最小值；（2）结合()Mx的解析式及(),()fxgx对称轴，讨论12a、1122a−≤、12a−分别求得对应()Mx最小值关于a的表达式，结合已知求a值.【详解】由题意，当()()fxgx时，2222()22(()0

)xxafxgxaxxaaxa+++−−+−=+=−，当()()fxgx时，2222()22(()0)xxafxgxaxxaaxa+++−−+−=+=−，∴()()()()(),=max,,fxxaMxfxgxgxxa−=

−（1）当1a=时，()222,1,1xxxMxxxx++−=−−，∴当1x−时，()()22Mxfxxx==++，此时()min1724fxf=−=，当1x−时，()()2Mxgxxx==−，此时()()min12gxg=−=，()()minmin1724M

xfxf==−=.（2）()()(),=,fxxaMxgxxa−−，且(),()fxgx对称轴分别为11,22xx=−=，①当12a−−时，即12a时，()Mx在1,2−−单调递减，1,2−+单调

递增；()()minmin132Mxfxf==−=，即21304aa+−=，1412a−=（1142a+=−舍去），②当1122a−−，即1122a−≤时，()Mx在(),a−−单调递减，(),a−+单调递增；()()2min23Mxfaa=−

==，有611[,)222a=−，故此时a无解.③当12a−，即12a−时，()Mx在1,2−单调递减，1,2+单调递增；()()minmin132Mxgxg===

，即21304aa−−=，1142a−=（1142a+=舍去）综上，得：1142a−=或1412a−=.【点睛】关键点点睛：写出()Mx的解析式，第二问需结合各分段上的函数性质-对称轴，讨论参数范围求最小值关于参数的表达式，进而求参数值.获得更多资源

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