【文档说明】四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高二下学期期中联考理科数学试题 含解析.docx，共(20)页，2.834 MB，由小赞的店铺上传

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2022～2023学年度下期高中2021级期中联考理科数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2.选择题使用2B铅笔填

涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60

分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.ABBCBA++=（）A.ACB.BCC.ABD.0【答案】B【解析】【分析】利用向量加法的运算法则求解即可．【详解】ABBCBAACBABC

++=+=，故选：B．2.函数()2sinxfxx=+的导函数为（）A.)2cosxfxx(=−B.)2ln2cosxfxx(=−C.)2cosxfxx(=+D.)2ln2cosxfxx(=+【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用求导公式及导数运算法则求解作答.【详解

】函数()2sinxfxx=+，求导得)2ln2cosxfxx(=+.故选：D3.若可导函数()fx满足()()011lim3xfxfx→+−=，则()1f=（）A.1B.2C.3D.4【答案

】C【解析】【分析】根据导数定义可直接得到结果.【详解】由导数的定义知：()()()0111lim3xfxffx→+−==.故选：C.4.已知直线l的方向向量为1,2,4)m(−=，平面的法向量为,1,

2)nx=(−，若直线l与平面平行，则实数x的值为（）A.12B.12−C.10D.10−【答案】C【解析】【分析】依题意可得mn⊥，即可得到0mn=，从而得到方程，解得即可.【详解】因为直线l的方向向量为1,2,4)m(−=，平面的法向量为,1,2)nx=(−

，若直线l与平面平行，则mn⊥，即0mn=，即280x−−=，解得10x=.故选：C．5.若定义在R上的函数()fx的导数()fx的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数()fx在区间(),0−上单调递减，在区间

()0,+上单调递增B.函数()fx在区间(),1−上单调递增，在区间()1,+上单调递减C.函数()fx在1x=处取极大值，无极小值D.函数()fx在0x=处取极大值，无极小值【答案】A【解析】【分析】根据导函数的正

负可确定()fx单调性，结合极值点定义可确定正确选项.【详解】对于AB，由()fx图象可知：当(),0x−时，()0fx；当()0,x+时，()0fx¢>；()fx\在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增，A正确，B错误；对

于CD，由单调性可知：()fx在0x=处取得极小值，无极大值，CD错误.故选：A.6.若函数()lnfxxx=在点00(,())xfx处的切线斜率为1，则0x=（）A.e−B.eC.1−D.1【答案】D【解析】【分析】先求出()fx

，由已知得0()1fx=列出方程，求解即可．【详解】因为()ln1fxx=+，所以()fx在点00(,())xfx处的切线斜率为00()ln11kfxx==+=，解得01x=，故选：D．7.若关于x的不等式e0xxa−−恒

成立，则a的取值范围为（）A.()e,+B.(),1−C.)1,+D.(,0−【答案】B【解析】【分析】令()exfxxa=−−，将问题转化为()min0fx，利用导数可求得()fx单调性，从而得到()minfx，解不等式即

可求得结果.【详解】令()exfxxa=−−，则()0fx恒成立，()min0fx；()e1xfx=−，当(),0x−时，()0fx；当()0,x+时，()0fx¢>；()fx\(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增，()()min

010fxfa==−，解得：1a，即a的取值范围为(),1−.故选：B.8.已知正四面体ABCD−的棱长为2，若M、N分别是AB、CD的中点，则线段MN的长为（）A.2B.2C.3D.62【答案】B【解析】【分析】以AC、AB、AD作

为一组基底表示出MN，再根据数量积的运算律求出MN，即可得解.【详解】111222MNMAANABACAD=+=−++，又AC、AB、AD两两的夹角均为π3，且2ABACAD===，22111222MNABACAD=−++()22212224AB

ACADABACABADADAC=++−−+2221πππ2cos2cos2cos24333ABACADABACABADADAC=++−−+=，22MNMN==.故选：B．9.函数e()1xfxx=−的图象大致是（）A.B.在C.D.【答案】A【解析

】【分析】根据图象结合函数定义域、单调性判断B，C错误；由函数在0x时函数值的符号可判断D.【详解】由定义域为{1}x|x，排除B；又2e2))1)xxfxx(−(=(−，令)0fx(，得2x，()fx的单增区间为2,)(+，排除C；当0x时，()0fx，排

除D；故选：A．10.若函数()2lnfxxaxx=−+有两个极值点，则a的取值范围为（）A.022aB.2222a−C.22a−或22aD.22a【答案】D【解析】【分析】函数有两个不同的极值点，则()0fx

=在()0,+上有两个不同的实数解，转化为二次方程在()0,+有两个不同的实数解，求解即可.【详解】由题意可得()fx的定义域为()0,x+，()21212xaxfxxaxx−+=−+=，因为函数()fx有两个极值点，所以2210xax

−+=在()0,+上有两个不同的实数解，所以28002aa−，解得22a，故选：D11.如图，半径为1的球O是圆柱12OO的内切球，线段AB是球O的一条直径，点P是圆柱12OO表面上的动点，则PAPB的

取值范围为（）A.[0,1]B.[0,3]C.[0,2]D.[1,2]【答案】A【解析】【分析】先把,PAPB都用PO表示，再根据PO的模长的范围求出数量积的范围即可.【详解】))PAPBPOOAPOOB=(+(+，因为线段AB是球O的一条直径，,1OAOBOAOB−===,222))1PA

PBPOOAPOOAPOOAPO=(+(−=−=−，又min1PO=，max2PO=，[0,1]PAPB，故选：A．12.若关于x的不等式2(2)ln1kxxx++的解集中恰有2个整数，则k的取值范围

是（）A.113kB.ln21183k+C.ln31ln21158k++D.ln41ln312415k++【答案】C【解析】【分析】将不等式变形ln1(2)xkxx++，令()fx=ln1xx

+，)2)gxkx(=(+，数形结合，转化为两个函数图象相交情况分析.【详解】0x>，不等式2(2)ln1kxxx++可化为ln1(2)xkxx++，为令()fx=ln1xx+，2ln()xfxx−=，由()0fx解得01x，由()0fx

解得1x，()fx在0,1)(为增函数，()fx在,)(+为减函数，令)2)gxkx(=(+，则()gx的图象恒过2,0)(−，若解集恰有2个整数，当0k时，有无数个整数解，不满足题意；当0k时，如图，2满足不等式且3

不满足不等式，即8ln21k+且15ln31k+，ln31ln21158k++.故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知2,1,3)OA=(−，1,2,4)OB=(−，则AB=______．【答案】3,3,1)(−【解析】【分析】利用空间向

量的坐标运算求解作答.【详解】因为2,1,3)OA=(−，1,2,4)OB=(−，所以3,3,1)ABOBOA=−=(−.故答案为：3,3,1)(−14.11)dxx−(+=______．【答案】2【解

析】【分析】利用微积分基本定理直接运算求值.【详解】()1211(21)d2021xxxx−+=+=+=−，故答案为：2．15.若函数()cosfxkxx=−在区间()0,π上单调递减，则k的取值范围是______．【答案】(,1−−【

解析】【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，利用分离参数法解决恒成立问题，结合三角函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，()sinfxkx=+，因为()fx在区间()0,π单调递减，所以()sin0fxkx=

+()0,π上恒成立，等价于()()minsin,0,πkxx−即可，因()0,πx，所以0sin1x，即1sin0x−−，于是有1k−，所以k的取值范围是(,1−−.故答案为：(,1−−．16.如图，正方体1111ABCD

ABCD−的棱长为2，若空间中的动点P满足1APABADAA=++，[0,1]，，，则下列命题正确的是______．（请用正确命题的序号作答）①若12===，则点P到平面1ABC的距离为233；②若12===，则二面

角PABC--的平面角为π4；③若12++=，则三棱锥1PBDA−的体积为2；④若12+−=，则点P的轨迹构成的平面图形的面积为33．【答案】②④【解析】【分析】分别以AB，AD，0AA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐

标系，对于①：直接应用点到平面距离的向量公式，即可判断；对于②：直接应用面面角的向量公式，即可判断；对于③：先求出点P到平在为面1BDA的距离，即可计算出1PBDAV−，得出判断；对于④：延长1AA至点0A，使得102AAAA=

，取AB中点0B，AD中点0D，连接00AB，00AD，作出平面000BDA与正方体的截面，并说明该截面为边长为2的正六边形，由条件得00022122)0BPDPAP++(−−=，根据空间向量共面定理得点P在平面000BDA上，即可作出判断．【详解】对于①：由空间向量的正交分解及其坐标表

示可建立如图空间直角坐标系，所以1,1,1)P(，1(2,0,2)B，(2,2,0)C，(0,2,0)D，1(0,0,2)A，向量1,1,1)AP=(，设平面1ABC的法向量1111,,)nxyz=(，由1(2,0,2)AB=，

(2,2,0)AC=uuur，则11100ABnACn==即1111220220xzxy+=+=，取11x=−则11,1,1)n=(−，则点P与平面1ABC的距离为111333|APn|d|n

|===，故①错误；对于②：设平面ABP的法向量2222,,)nxyz=(，又1,1,1)AP=(，1,0,0)AB=(，2200APnABn==即2222=00xyzx++=，取21y=−，则20,1,1)n=(−，易得平面ABC的一个法向量3(0,0

,1)n=，设二面角PABC--的平面角为，则323212cos22nn|n||n|===，是锐角，二面角PABC--的平面角为π4，故②正确；对于③：1APABADAA=++，(2,0,0)AB=，(0,2,0)AD=，1(0,0,2)AA=，2,2,2)AP

=(，则112,2,22)APAPAA=−=(−，设平面1BDA的法向量为4444,,)nxyz=(，由(2,2,0)BD=−，1(2,0,2)BA=−，则4444220220xyxz−+=−+=，取41x=则41,1,1)n=(，则点P到平面1BDA的

距离为1442()23APndn++−==，由12++=得2()2333d++−==易知12322)234BDAS=(=△，则三棱锥111233PBDABDAVSd−==△，故③错误；对于④：延长1AA至点0A

，使得102AAAA=，取AB中点0B，AD中点0D，连接00AB，00AD并延长，交棱1BB，1DD于点E，F，交11AB，11AD延长线于点M，N，连接MN，交棱11BC，11CD于点G，H，连接EG，H

F，如图所示，则平面000BDA与正方体的截面为六边形00BDFHGE，22220000112BDABAD=+=+=，在平面11ABBA中，01//AABB，点0B为AB中点，000BAABEB=，00ABBB=，在00ABA和0BBE中00000000AABBEBAB

ABBEABBB===，000()ABABBEAAS，01AABE==，1BEBE=，即点E为1BB中点，22002BEBEBB=+=，同理可得，02EGGHHFDF====，六边形00BDFHGE为正六边

形，且边长为2，则其面积2362)4S=(33=，12+−=，1APABADAA=++，10001)22122)2APABADAAABADAA=++(+−=++(−−，整理得00022122)0BPDPAP++(−−=，点

P在平面000BDA上，当12+−=，点P的轨迹构成的平面图形的面积为33，故④正确．故答案为：②④．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知空间向量1,0,1)a=(，2,1,0)b=(−，4,,)c=(+−．（1）

若(ab)//c+，求；（2）若kab+与2ab−相互垂直，求k．【答案】（1）2=（2）12k=【解析】【分析】（1）根据空间向量共线公式列式求参即可；（2）根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.【小问1详解】311ab(,,)+=−，()//abc+(ab)c+=，R

，即34)=(+，且1−=−，1=，解得2=；【小问2详解】(2,1,)kabkk+=+−，2012ab(,,)−=，又2210(kab)(ab)k+−=−=，解得12k=．18.已知函数3215()2333

fxxxx=−++．（1）求曲线()y=fx在点1,1))f((处的切线方程；（2）求函数在区间[1,4]−的最大值与最小值．【答案】（1）3y=（2）max)3fx(=；min11)3fx(=−【解析】【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，并结合切点得到切线方程；（2）先利用导数

求得()fx在区间[1,4]−上的单调区间，进而求得()fx在区间[1,4]−上的最大值与最小值.【小问1详解】1)3f(=，切点为1,3)(，又2)43fxxx(=−+，1)0f(=，切线方程为301)yx−=(−，即3y=，即曲线()y=fx在点1,1))f((处的切线方程

为3y=；【小问2详解】由（1）知2)43fxxx(=−+，令)0fx(，得1x或3x，令)0fx(，得13x，函数()fx在区间[1,1)−，3,4](为增函数，在区间[1,3]为减函数，又1)3f(=，4)3f(=，max)1)4)3fxff(=(=(=；又111)3f(

−=−，53)3f(=，min11)1)3fxf(=(−=−.19.如图，在正三棱柱111ABCABC-中，1323AAAC==，D是1BB的中点．（1）求异面直线1AD与BC所成角的余弦值；（2）证

明：平面11ADC⊥平面ADC．【答案】（1）77；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分别作AC，11AC的中点O，1O，连接OB，1OO，以O为坐标原点，分别以OA，OB，1OO所在直线为xyz，，轴，建

立空间直角坐标系，求出直线1AD与BC的空间向量，即可利用线线角的公式求解.（2）分别求出平面11ADC和平面ADC的法向量，利用法向量数量积为0，即可证明.【小问1详解】如图，分别作AC，11AC的中点O

，1O，连接OB，1OO，在正三棱柱111ABCABC-中，1OO⊥底面ABC，且BOAC⊥，则OA，OB，1OO互相垂直，以O为坐标原点，分别以OA，OB，1OO所在直线为xyz，，轴，建立如图空间直角坐标系，已知1323AAAC==，则11,0,23)A

(，0,3,3)D(，0,3,0)B(，1,0,0)C(−，设异面直线1AD与BC所成角为，2]π(0,，11,3,3)AD=(−−，1,3,0)BC=(−−，11137cos772|ADBC||||AD||BC|

−===uuuruuuruuuruuur；【小问2详解】由题可知1,0,0)A(，11,0,23)C(−，112,0,0)AC=(−，1,3,3)AD=(−，2,0,0)AC=(−，设平面11ADC的法向量为()111,,mxyz=r，则1111

11133020mADxyzmACx=−+−==−=，令11y=，0,1,1)m=(r，设平面ADC的法向量为222,,)nxyz=(r，则222233020nADxyznACx=−++==−=，令21y=，0,

1,1)n=(−r，110mn=−=rrQ，平面11ADC⊥平面ADC.20.制作一个容积为V的圆柱体容器（有底有盖，不考虑器壁的厚度），设底面半径为r．（1）把该容器外表面积S表示为关于底面半径r的函数；（2）求r的值，使得外表面积S最小．【答案

】（1）()222πVSrrr=+，()0,r+（2）32πVr=【解析】【分析】（1）根据圆柱体积公式可表示出圆柱的高h，结合圆柱表面积公式可表示出()Sr；（2）利用导数可求得()Sr的单调性，进而确定最值点.【小问1详解】设圆柱体

水杯的高为h，则2πVhr=，表面积()2222π2π2πVSrrrhrr=+=+，即()222πVSrrr=+，()0,r+.【小问2详解】由（1）得：()224πVSrrr=−；令()0Sr

=，解得：32πVr=；则当302πVr时，()0Sr，()Sr单调递减；当32πVr时，()0Sr，()Sr单调递增；当32πVr=时，表面积()Sr取得最小值．21.在如图①所示的长方形ABCD中，3AB=，2AD=，E是DC上的点且满足3D

CEC=，现将三角形ADE沿AE翻折至平面APE⊥平面ABCD（如图②），设平面PAE与平面PBC的交线为l．（1）求二面角BlA−−的余弦值；（2）求l与平面ABCE所成角的正弦值．【答案】（1）66（2）55．【解析】【分析】（

1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角BlA−−的余弦值；（2）设直线AE与BC相交于点F，PF即为l，PFO是l与平面ABCE所成角，计算求解即可．【小问1详解】如图，取AE的中点O，连接PO，2ADDE==，则POAE⊥，又平面PAE⊥平面ABCE

，又平面PAE平面ABCEAE=，又PO平面PAEPO⊥平面ABCE，延长DO交AB于点G，由DEAB∥，O为AE的中点，则2AGDE==，OGAE⊥，2OGOA==，分别以OAOGOP，，所在直线为xyz，，轴

建立空间直角坐标系，如图所示，()2,0,0A,()0,2,0G，()0,2,0D−，()2,0,0E−，()0,0,2P，232,,022B−，PO⊥平面ABCE，OG平面ABCE，OGOP⊥，又OGAE⊥，AEOPO=，,AEOP平面PAE，所以OG⊥平

面PAE，平面PAE的法向量为OG，且(0,2,0)OG=，又(2,2,0)CBDA==，232(,,2)22PB=−−，设平面PBC的法向量为(,,)nxyz=，则2202322022CBnxyPBnxyz=+==−+−=，令1y=，则(1,1,2)n=−，设二面角BlA−−的

平面角为，26cos,626OGnOGnOGn===，由题知π(0,)2，二面角BlA−−的余弦值为66；【小问2详解】设直线AE与BC相交于点F，FBC，F平面PBC，同理F平面PAE，由平面公理3可得Fl，又Pl，PF即为l，

PO⊥平面ABCE，OF是PF在平面ABCE内的投影，PFO是l与平面ABCE所成角，由2PO=，又22OF=，2210PFPOOF=+=，25sin510POPFOPF===，l与平面ABCE所成角正弦值为5

5．22.已知函数()ln1)fxx=(+，)e)xgxfx(=(．（1）求函数()gx的导函数在0,)(+上的单调性；（2）证明：0,)ab(+，，有)))gabgagb(+(+(．【答案】（1）()gx在0,)(+上单调递增

；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）直接对函数求导，利用导数与函数间的关系即可求出结果；（2）构造函数()()()(00)Fxgxagxxa=+−，，将求证结果转化判断函数值大小，再利用函数的单调性即可求出结果.【

小问1详解】因为)e()eln(1)xxgxfxx(==+，所以e1)eln(1)+=e[ln(1)]11xxxgxxxxx(=+++++，令))hxgx(=(，即1)=e[ln(1)]1xhxxx(+++，又因为222121)e[ln(1)]=e[ln(

1)]11)1)xxxhxxxxxx+(=++−+++(+(+，又因为0,)x(+，所以11,)x+(+，即有221ln(1)0,0(1)xxx++−，所以()0hx，所以)hx(在区间0,)(+上单调递增，即()gx在0,)(+上单调递增；【小问2详解

】由题知(0)0g=，要证)))gabgagb(+(+(，即证)))0)gabgbgag(+−((−(，令()()()(00)Fxgxagxxa=+−，，则()()()Fbgbagb=+−，(0)()(0)Fgag=−即证)0)FbF((，由（1）知()gx在区间0,)(+上单调

递增，又因为xax+，的所以)))0Fxgxagx(=(+−(，所以))()Fxgxagx(=(+−在区间0,)(+上单调递增，因为0b，所以)0)FbF((，故命题得证．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangx

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