【文档说明】海南省海口市海南中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题答案.docx，共(8)页，382.138 KB，由小赞的店铺上传

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海南中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学（本试卷总分150分，总时量120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.椭圆22:416Cxy+=的焦点坐标为（

）CA．(23,0)B．(25,0)C．(0,23)D．(0,25)2.已知向量(2,4,5)a=，(3,,)bxy=分别是直线12,ll的方向向量，若12ll∥，则（）DA．6,15xy==B．3,15xy==C．810,33xy==D．1

56,2xy==3.设0,0abk且1k，则椭圆22122:1xyCab+=和椭圆22222:xyCkab+=具有相同的()CA．顶点B．焦点C．离心率D．长轴和短轴4.已知直线1l的方向向量(2,4,)ax=，直线2l的方向向量(

2,,2)by=，若||6a=，且ab⊥，则xy+的值是()BA．1−或3B．1或3−C．3−D．15.若直线0xyk−−=与圆22(1)2xy−+=有两个不同的交点，则（）DA．03kB．13k−C．1k−或3kD．1

3k−6.已知平行六面体''''ABCDABCD−中，4AB=，3AD=，'5AA=，90BAD=，''60BAADAA==．则'AC的长为（）AA．85B．97C．12D．2307.光线从(3,4)A−点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰

好过点(1,6)D−，则BC所在直线的方程是（）AA．5270xy−+=B．310xy+−=C．3240xy−+=D．230xy−−=8.四棱锥-PABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，PA⊥底面A

BCD，(2,1,4)AB=−−，(4,2,0)AD=，(1,2,1)AP=−−．则四棱锥-PABCD的体积为（）BA．8B．16C．32D．48二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.若,,abc是空间任意三个向量，R，下列关系中，不成立．．．的是（）ABDA．||||abba+=−B．()()abcabc+=+C．()abab+=+D．ba=10.已知直线:310lxy−+=，则下列结论正

确的是（）CDA．直线l的倾斜角是6B．若直线:310mxy−+=，则lm⊥C．点(3,0)到直线l的距离是2D．过点(23,2)且与直线l平行的直线方程是340xy−−=11.已知平面上一点(5,0)M，若直线上存在点P，使|

|4PM=，则称该直线为“点M相关直线”，下列直线中是“点M相关直线”的是（）BCA．1yx=+B．2y=C．430xy−=D．210xy−+=12.设椭圆22193xy+=的右焦点为F，直线(03)ym

m=与椭圆交于,AB两点，则（）ACDA．||||AFBF+为定值B．ABF的周长的取值范围是[6,12]C．当32m=时，ABF为直角三角形D．当1m=时，ABF的面积为6【解析】设椭圆的左焦点为F，则||||AFBF

=，所以||||||||AFBFAFAF+=+为定值6，A正确；ABF的周长为||||||ABAFBF++，因为||||AFBF+为定值6，易知||AB的范围是(0,6)，所以ABF的周长的范围是(6,12)，B错误；将32y=与椭

圆方程联立，可解得333(,)22A−，333(,)22B，又易知(6,0)F，所以233333(6)(6)()0222AFBF=+−+=，所以ABF为直角三角形，C正确；将1y=与椭圆方程联立，解得

(6,1)A−，(6,1)B，所以126162ABFS==，D正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若椭圆221(4)4xymm+=的离心率为12，则m=．314.已知A，B，C三点不共线，O是平面A

BC外任一点，若1253OPOAOBOC=++，且P平面ABC，则=．21515.已知空间向量(3,0,4),(3,2,1)ab==−，则向量b在向量a上的投影向量是．34(,0,)55−−16.过点()3,0P−做直线()()21340mxmym+−+−−=的垂线，垂足为M，

已知点()2,3N，则MN的取值范围是．55,55−+【解析】直线()()21340mxmym+−+−−=化为(3)240mxyxy−−+−−=，令30{240xyxy−−=−−=，解得1{2xy−＝．＝∴直线()()21340mxmym+−+−−=过定

点12Q−（，）．∴点M在以PQ为直径的圆上，圆心为线段PQ的中点11C−−（，），半径2215r=+=．线段MN长度的最大值2234555CNr=+=++=+．线段MN长度的最大值2234555CNr

=−=+−=−．故答案为55,55−+.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知三角形的三个顶点是(4,0)A，(6,7)B−，(0,3)C−．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线

的方程．解：(1)设线段BC的中点为D．因为𝐵(6,−7)，𝐶(0,−3)，所以BC的中点𝐷(3,−5)，所以BC边上的中线所在直线的方程为𝑦−0−5−0=𝑥−43−4，即5𝑥−𝑦−20=0．(2)因为𝐵(6,−7)，𝐶(0,−3)，所以BC边所在直线的斜

率𝑘𝐵𝐶=−3−(−7)0−6=−23，所以BC边上的高所在直线的斜率为32，所以BC边上的高所在直线的方程为𝑦=32(𝑥−4)，即3𝑥−2𝑦−12=0．18.（12分）已知(1,0)A−，(2,0)B，动点M满足||1||2MAMB=，设动点M的轨迹为C，

（1）求动点M的轨迹方程；（2）求2yx−的最小值．解：(1)设动点𝑀(𝑥,𝑦)，根据题意得，√(𝑥+1)2+𝑦2√(𝑥−2)2+𝑦2=12，化简得，(𝑥+2)2+𝑦2=4，所以动点M的轨迹方程为(𝑥+2)2+𝑦2=4．(2)设过点(2

,0)的直线方程为𝑦=𝑘(𝑥−2)，圆心到直线的距离𝑑=|−4𝑘|√𝑘2+1≤2，解得−√33≤𝑘≤√33，所以𝑦𝑥−2的最小值为−√33．19.（12分）如图,四边形ABCD是正方形，EA⊥平面A

BCD，EAPD∥，22ADPDEA===，,,FGH分别为,,PBEBPC的中点．（1）求证：FG∥平面PED；（2）求平面FGH与平面PBC夹角的大小．（1）证明：∵F,G分别为PB,EB中点，∴FGPE∥，,FGPEDPEPED平面平面，FGPED平面∥.（2）解：EAABCDEAP

D⊥平面，∥，PDABCD⊥平面.又ABCD四边形为矩形，,,DADCDP两两垂直.故以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，、则1(0,0,2),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,1),(1,1,1),(2,1,),(0,1,1)2P

BCEFGH，(0,2,2),(2,0,0)PCCB=−=设平面PBC的法向量为(,,)nxyz=，则00nPCnCB==，即22020yzx−==，所以可取(0,1,1)n=，同理可取平面FGH的法向量为(0,1,0)m=，设平面FGH与平面PB

C的夹角为，则||2cos2||||mnmn==，又[0,]2，∴平面FGH与平面PBC夹角为4.20.（12分）已知关于x，y的方程22:240Cxyxym+−−+=．（1）若圆C与圆2281236

0xyxy+−−+=外切，求m的值；（2）若圆C与直线:240lxy+−=相交于M，N两点，且45||5MN=，求m的值．解：(1)把圆𝑥2+𝑦2−8𝑥−12𝑦+36=0，化为标准方程得(𝑥−4)2+(

𝑦−6)2=16，所以圆心坐标为(4,6)，半径为𝑅=4，则两圆心间的距离𝑑=√(4−1)2+(6−2)2=5，因为两圆的位置关系是外切，所以𝑑=𝑅+𝑟，即4+√5−𝑚=5，解得𝑚=4，故m的值为4；(2)因为圆心C的坐标为(1,2)，所以圆心C到直线l的距离𝑑=1√5=√

55，所以(√5−𝑚)2=(12|𝑀𝑁|)2+𝑑2=(2√55)2+(√55)2，即5−𝑚=1，解得𝑚=4，故m的值为4．21.（12分）四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，=90PAB，2P

APDAD===，（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD．（2）在下列①②③三个条件中任选一个，补充在下面问题处，若问题中的四棱锥存在，求AB的长度；若问题中的四棱锥不存在，说明理由．①CF与平面PCD所成角的正弦值等于155；②DA与平面PDF所成角的正弦值等于3

4；③PA与平面PDF所成角的正弦值等于32．问题：若点F是AB的中点，是否存在这样的四棱锥，满足？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）（1）证明：=90PAB，ABPA⊥，∵底面ABCD为矩形，∴ABAD⊥，又,PAADP

AD平面，且PAADA=，ABPAD⊥平面，又ABABCD平面，故平面PAD⊥平面ABCD.（2）解：取AD中点为O，∵4PAPDAD===，∴OA⊥OP，以O为原点，OA,OP所在直线分别为x,z轴建立空间直角坐标系，设2(0)ABaa=，则(1,0,0),(1,

0,0),(0,0,3),(1,2,0),(1,2,0),(1,,0)ADPBaCaFa−−，选①：(2,,0),(0,2,0),(1,0,3)CFaDCaDP=−==，设平面PCD的法向量为(,,)nxyz=，则00nDCnDP==，即2030ayxz=+=

，∴可取(3,0,1)n=−，设CF与平面PCD所成角为，则2||315sin5||||4CFnCFna===+，解得1a=，∴符合题意的四棱锥存在，此时22ABa==.选②：(2,0,0),(1,0,3)(2,,0)D

ADPDFa===，，设平面PDF的法向量为(,,)nxyz=，则00nDPnDF==，即3020xzxay+=+=，∴可取(3,23,)naa=−−，设DA与平面PDF所成角为，则2||33sin4||||23DAnaDAna===+，解

得3a=，∴符合题意的四棱锥存在，此时26ABa==.选③：易知PA与平面PDF所成角小于APD，设PA与平面PDF所成角为，则3sinsinsin32APD==，故不存在符合题意的四棱锥.22.（12分）已知椭圆2222:1(0)xyMaba

b+=的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+42．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线:lxkym=+与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．解：(Ⅰ

)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4√2，所以2𝑎+2𝑐=6+4√2，又椭圆的离心率为2√23，即𝑐𝑎=2√23，所以𝑐=2√23𝑎，所以𝑎=3，𝑐=2√2．所以𝑏=1，椭圆M的方程为𝑥29+𝑦2=1;(Ⅱ)由{𝑥=𝑘𝑦+𝑚𝑥29+𝑦

2=1消去x得(𝑘2+9)𝑦2+2𝑘𝑚𝑦+𝑚2−9=0，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，则有𝑦1+𝑦2=−2𝑘𝑚𝑘2+9，𝑦1𝑦2=𝑚2−9𝑘2+9.①因为以AB为直径的圆过点C，所以�

�𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0．由𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥1−3,𝑦1),𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥2−3,𝑦2)，得(𝑥1−3)(𝑥2−3)+𝑦1𝑦2=0．将𝑥1=𝑘𝑦1+𝑚，𝑥2=𝑘𝑦2+𝑚代入上式，得(𝑘2+1)𝑦1𝑦2

+𝑘(𝑚−3)(𝑦1+𝑦2)+(𝑚−3)2=0．将①代入上式，解得𝑚=125或𝑚=3．