【文档说明】辽宁省铁岭市开原市第二高级中学2021届高三第二次模拟考试数学试题 含答案.doc，共(17)页，1.858 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-7598efb477947ef3ceeb238a97f16c22.html

以下为本文档部分文字说明：

绝密★启用前2020-2021学年度（上）高三第二次模拟考试数学试卷（满分150分时间120分钟）一、单项选择题：每小题5分，共40分.1．已知集合()3,Axyyx==，()2,Bxyyx==，则AB=（）A．1,0,1−B．0,1C．()()0,0

,1,0D．()()0,0,1,12．已知向量(1,3)a=，(,1)bt=，若()//abb−，则实数t的值为（）A．13B．3C．1−D．1−或23．已知01ab，则下列不等式不成立．．．的是A．11()()22

abB．lnlnabC．11abD．11lnlnab4．俗语云：天王盖地虎，宝塔镇河妖.萍乡塔多，皆因旧时萍城多水患，民不聊生.迷信使然，建塔以辟邪镇邪.坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔”.此塔始建于唐代，后该塔曾因久失修倒塌，在清道光年间重建.

某兴趣小组为了测量塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60，在塔底C处测得A处的俯角为45.已知山岭高CD为36米，则塔高BC为（）A．36236−米B．36336−米C．36636−米D．72336−米

5．已知三个函数y=x3，y=3x，3logyx=，则()A．定义域都为RB．值域都为RC．在其定义域上都是增函数D．都是奇函数6．在直角梯形ABCD中，0ADAB=，30B=，23AB=，2BC=

，13BEBC=，则（）A．1163AEABAD=+B．1263AEABAD=+C．5163AEABAD=+D．5166AEABAD=+7．已知函数()fx为偶函数，且0x时，1()sin2fxxx=+，则关于x的不等式()(21)fxfx−的解集为（）A．{13}xx∣B．{1

}∣xxC．1|3xx或1xD．113xx∣8．已知函数22(1)sin()1xxfxx++=+，其中()fx为函数()fx的导数，则(2018)(2018)(2019)(2019)ffff+−+−−=

（）A．2B．2019C．2018D．0二、多选题:每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．已知复数z满足(2i)iz−=(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为z，则（）A．3||5z=B

．12i5z+=−C．复数z的实部为1−D．复数z对应复平面上的点在第二象限10．已知定义在R上的奇函数()fx图象连续不断，且满足()()2fxfx+=，则以下结论成立的是（）A．函数()fx的周期

2T=B．()()201920200ff==C．点()1,0是函数()yfx=图象的一个对称中心D．()fx在22−,上有4个零点11．已知函数()3sincosfxxx=+，下列说法正确的是（）A．()fx的最小正周期为2B．()fx的最大值为31+C．()fx在区间

2,33上为减函数D．56为()fx的一个零点12．下列选项中说法正确的是（）A．函数()()22log2fxxx=−的单调减区间为(),1−B．幂函数()fxmx=过点12,22，则32m+=C．函数()yfx=的定义域为1,2，则函数()2xy

f=的定义域为2,4D．若函数()()2lg54fxaxx=++的值域为R，则实数a的取值范围是250,16三、填空题:每小题5分，共20分.13．若命题“∃x∈R，使得x2+(a-1)x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是______.14．已知πsin(π)3s

in()02+−−=，则sin2的值为________.15．已知数列na满足11a=，1nnaan+=+（n+N），则数列na的通项公式为_________.16．已知ABC为等腰直角三角形，1OA=，OC为斜边的高．（1）若P为线段OC的中点，则APOP=_

_________．（2）若P为线段OC上的动点，则APOP的取值范围为__________．四、解答题:共6小题，共70分.17．已知nS为等差数列na的前n项和，且满足311a=，963S=．（1）求na的通项公式；（2）求nS的最大值．

18．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.①sinsinsinsinACABbac−−=+；②2coscoscoscCaBbA=+；③ABC的面积为1(sinsinsin)2caAbBcC+−.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_____

___.（1）求C；（2）若D为AB中点，且2c=，3CD=，求a，b.19．已知函数()2lnfxxxax=+−．()1当3a=时，求()fx的单调增区间；()2若()fx在()0,1上是增函数，求a得取值范

围．20．已知数列na的各项均为正数，其前n项和为nS，满足()2*24nnnaaNSn=+.（1）证明：数列2nS为等差数列；（2）求满足12na的最小正整数n.21．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群

孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设ABD中边BD所对的角为A，BCD中边BD所对

的角为C，经测量已知2ABBCCD===，23AD=.（1）霍尔顿发现无论BD多长，3coscosAC−为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD与BCD的面积分别为1S和2S，为了更好

地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212SS+的最大值.22．设函数()ln,mfxxmRx=+.（1）当me=（e为自然对数的底数）时，求()fx的最小值；（2）讨论函数()'()3xgxfx=−零点的个数；（3）若对任意()()0,1fbfababa−−恒成立，求m的取值范围.

一、单选题:每小题5分，共40分.1．已知集合()3,Axyyx==，()2,Bxyyx==，则AB=（）A．1,0,1−B．0,1C．()()0,0,1,0D．()()0,0,1,1【答案】D【详解】由3

2,,yxyx==得110,0,xy==或221,1.xy==所以()()0,0,1,1AB=，故选：D.2．已知向量(1,3)a=，(,1)bt=，若()//abb−，则实数t的值为（）A．13

B．3C．1−D．1−或2【答案】A【详解】因为向量(1,3)a=，(,1)bt=所以(1,2)abt−=−，又因为()//abb−，所以120tt−−=，所以13t=.故选：A3．已知01ab，则下列不等式不成立．．．的是A．11()()22a

bB．lnlnabC．11abD．11lnlnab【答案】B【详解】依题意01ab，由于12xy=为定义域上的减函数，故11()()22ab，故A选项不等式成立.由于lnyx=为定义域上的增函数，故lnln0ab，则11lnlna

b，所以B选项不等式不成立，D选项不等式成立.由于01ab，故11ab，所以C选项不等式成立.综上所述，本小题选B.4．俗语云：天王盖地虎，宝塔镇河妖.萍乡塔多，皆因旧时萍城多水患，民不聊生.迷信使然，建塔以辟邪镇邪.坐落在萍城小西门汪

公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔”.此塔始建于唐代，后该塔曾因久失修倒塌，在清道光年间重建.某兴趣小组为了测量塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60，在塔底C处测得A处的俯角为45.已知山岭高CD为36米，则塔高BC为（）A．36236−米B．3

6336−米C．36636−米D．72336−米【答案】B【详解】由题意可知：60,DAB=因为在塔底C处测得A处的俯角为45，则45CAD=,在RtABD△中，有tan603BDADAD==；同理可得：t

an45DCADAD==，3BDDC=,36CDBDBC=−=米，36336BC+=36(31)BC=−米.故选：B.5．已知三个函数y=x3，y=3x，3logyx=，则()A．定义域都为RB．值域都为RC

．在其定义域上都是增函数D．都是奇函数【答案】C【详解】函数3logyx=的定义域为（0，+∞），即A错误；函数y=3x的值域是（0，+∞），即B错误；函数y=3x和3logyx=是非奇非偶函数，即D错误，三个函数在定义

域内都是增函数，只有C正确．故选：C.6．在直角梯形ABCD中，0ADAB=，30B=，23AB=，2BC=，13BEBC=，则（）A．1163AEABAD=+B．1263AEABAD=+C．5163A

EABAD=+D．5166AEABAD=+【答案】C【详解】由题意可求得1AD=，3CD=，所以2ABDC=，又13BEBC=，则()1133AEABBEABBCABBAADDC=+=+=+++1111333ABADDC=−+

+1111336ABADAB=−++115116363ABADABAD=−+=+.故选：C.7．已知函数()fx为偶函数，且0x时，1()sin2fxxx=+，则关于x的不等式

()(21)fxfx−的解集为（）A．{13}xx∣B．{1}∣xxC．1|3xx或1xD．113xx∣【答案】C【详解】根据题意，当0x时，1()sin2fxxx=+，其导数1(

)1cos02fxx=+，则函数()fx在[0，)+上为增函数，又由函数()fx为偶函数，则()(21)(||)(|21|)|||21|fxfxfxfxxx−−−，解可得：13x或1x，即不等式的解集为1|3xx或1

x；故选：C．8．已知函数22(1)sin()1xxfxx++=+，其中()fx为函数()fx的导数，则(2018)(2018)(2019)(2019)ffff+−+−−=（）A．2B．2019C．2018D．0【答

案】A【详解】22222(1)sin21sin2sin()1111xxxxxxxfxxxx++++++===++++令()22sin1xxgxx+=+，则有()()()1,()fxgxfxgx=+=因为()gx的定义域是R，()()22sin1xx

gxgxx−−−==−+所以()gx是奇函数，所以()gx是偶函数所以(2018)(2018)0gg+−=，()()201920190gg−−=所以(2018)(2018)(2019)(2019)ffff+−+−−()()()()2018120182019201921gggg=++−+

+−−=故选：A二、多选题:每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．已知复数z满足(2i)iz−=(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为z，则（）A．3||5z=B．12i5z+=−

C．复数z的实部为1−D．复数z对应复平面上的点在第二象限【答案】BD【详解】因为复数z满足(2i)iz−=，所以()(2)1222(2)55iiiziiii+===−+−−+所以22125555z=−+=，故A错误；1255zi=−

−，故B正确；复数z的实部为15−，故C错误；复数z对应复平面上的点12,55−在第二象限，故D正确.故选：BD10．已知定义在R上的奇函数()fx图象连续不断，且满足()()2fxfx+=，则以

下结论成立的是（）A．函数()fx的周期2T=B．()()201920200ff==C．点()1,0是函数()yfx=图象的一个对称中心D．()fx在22−,上有4个零点【答案】ABC【详解】定义在R上的奇函数()fx图象连续不断，且满足(2)(

)fxfx+=，所以函数的周期为2，所以A正确；(12)(1)ff−+=−，即f（1）(1)ff=−=−（1），所以f（1）(1)0f=−=，所以(2019)ff=（1）0=，(2020)(0)0ff==，所以B正确；()()

()()()()220fxfxfxfxfxfx+==−−++−=图象关于()1,0对称，所以C正确；()fx在[2−，2]上有(2)(1)(0)ffff−=−==（1）f=（2）0=，有5个零点，所以D不正确；故选：ABC．11．已知函数()3sinco

sfxxx=+，下列说法正确的是（）A．()fx的最小正周期为2B．()fx的最大值为31+C．()fx在区间2,33上为减函数D．56为()fx的一个零点【答案】ACD()3sincos2sin6fxxxx=+=+对选项A，(

)fx的最小正周期为2，故A正确；对选项B，当sin16x+=时，()fx的最大值为2，故B错误；对选项C，因为2,33x，53,,62622+x，所以()fx在区间2,33上为减函

数，故C正确；对选项D，552sin2sin0666=+==f，所以56为()fx的一个零点，故D正确.故选：ACD12．下列选项中说法正确的是（）A．函数()()2

2log2fxxx=−的单调减区间为(),1−B．幂函数()fxmx=过点12,22，则32m+=C．函数()yfx=的定义域为1,2，则函数()2xyf=的定义域为2,4

D．若函数()()2lg54fxaxx=++的值域为R，则实数a的取值范围是250,16【答案】BD【详解】对于A选项：由22>0xx−得>2x或0x，所以()()22log2fxxx=−中

函数的定义域为()()02−+，，，又函数22txx=−在(),1−上单调递减，函数2logyt=在()0,+上单调递增，所以函数()()22log2fxxx=−的单调减区间为(),0−，故A不正确；对于B选项：因为幂函数()fxm

x=过点12,22，所以2212m=，且1m=，解得12=，所以32m+=，故B正确；对于C选项：因为函数()yfx=的定义域为1,2，所以122x，解得01x，所以

函数()2xyf=的定义域为0,1，故C不正确；对于D选项：因为函数()()2lg54fxaxx=++的值域为R，所以当0a=时，()()lg54fxx=+，满足其值域为R，当0a时，需>0a且25160a=−，解得25016a，所以实数a的取值范围是25

0,16，故D正确.三、填空题:每小题5分，共20分.13．若命题“∃x∈R，使得x2+(a-1)x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是______.【答案】(,1)(3,)−−+【详解】令2(1)1yxax=+−+知

：开口向上∴∃x∈R使得x2+(a-1)x+1＜0，即xR使0y即2(1)40a=−−，解得1a−或3a∴(,1)(3,)a−−+故答案为：(,1)(3,)−−+14．已知πsin(π)3sin(

)02+−−=，则sin2的值为________.【答案】35−【详解】因为πsin(π)3sin()02+−−=，所以sin3cos0−−=，解得tan3=−，所以()22222sincos2tan63sin22sincoscossin1tan513

−=====−+++−，故答案为：35−15．已知数列na满足11a=，1nnaan+=+（n+N），则数列na的通项公式为_________.【答案】22()2nnnanN+−+=.【详解】1nnaan+=+，11a=，11nnaan−=+−，122

nnaan−−=+−，…211aa=+，上述等式累加可得，()()()211112121122nnnnnaan−+−−+=++++−=+=，又11a=，满足上式，所以22()2nnnanN+−+=.16．已知

ABC为等腰直角三角形，1OA=，OC为斜边的高．（1）若P为线段OC的中点，则APOP=__________．（2）若P为线段OC上的动点，则APOP的取值范围为__________．【答案】140,1【详解】ABC为等腰直角三角形，CO为斜边的高,则CO为边AB的中线，所以2ACB

C==,1AOBOCO===.(1)当P为线段OC的中点时，在ACO△中,AP为边CO上的中线,则1()2APACAO=+所以11()()22ACAOOPACOPAOOPAPOP++==11121||||cos450=2=22224ACOP=+

(2)当P为线段OC上的动点时，设OPOC=,01≤≤.()ACCPOPAPOACOPCPOPP+==+=(1)()OCACOCOC−−21cos,(1)OCAC=−−221

(1)2=−−22[0,1]=−+=所以APOP的取值范围为0,1四、解答题:共6小题，共70分.17．已知nS为等差数列na的前n项和，且满足311a=，963S=．（1）求n

a的通项公式；（2）求nS的最大值．【详解】（1）数列na为等差数列，设公差为d，由311a=，963S=，可得11211989632adad+=+=，解得1152ad==−．∴()11217naandn=

+−=−+（2）()()12152171622nnnaannSnn+−+===−+．由二次函数的知识可得当8n=时，nS最大，最大值为864S=．18．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.①sinsinsinsinACABbac−−=+；②

2coscoscoscCaBbA=+；③ABC的面积为1(sinsinsin)2caAbBcC+−.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________.（1）求C；（2）若D为AB中点，且2c=，3CD=，求a，b.【详解】（1）

方案一：选条件①∵sinsinsinsinACABbac−−=+，由正弦定理可得，acabbac−−=+，即222acabb−=−，∴222abcab+−=，∴由余弦定理可得：222cos122abcCab+−==.∴3C=.方案二：选条件②（1）∵2cosc

oscoscCaBbA=+，∴根据正弦定理可得，2sincossincossincosCCABBA=+，∴2sincossin()CCAB=+，2sincossinCCC=.∴1cos2C=，∴3C=.方案三：选条件③（1）由题意知，sinsi1

1()2sisi2nnnCAabcabcBC=+−，∴由正弦定理可得，()222abccabc=+−，∴222abcab+−=，∴由余弦定理可得，222cos122abcCab+−==，∴3C=.（2）由题意知，1ADBD==，3CD=，在ACD△中，2222cosACADCDADCDAD

C=+−，即2423cosbADC=−.在BCD中，2222cosBCBDCDBDCDBDC=+−，即2423cosaBDC=−，∵ADCBDC+=，∴coscosADCBDC=−，∴228ab+=.由（1）知，222cos122abcCa

b+−==，∴2224abcabab+=+=+，∴4ab=，由2284abab+==，解得2ab==.19．已知函数()2lnfxxxax=+−．()1当3a=时，求()fx的单调增区间；()2若()fx在()0,1上是增函

数，求a得取值范围．【详解】（1）当3a=时，()2ln3fxxxx=+−，所以()21231(21)(1)23xxxxfxxxxx−+−−=+−==，由()0fx得，102x或1x，故所求()fx的单调递增区间为(

)10,,1,2+.（2）由()12fxxax=+−，∵()fx在()0,1上是增函数，所以120xax+−在()0,1上恒成立，即12axx+恒成立，∵1222xx+（当且仅当22x=时取等号），所以2

2a，即(,22a−.20．已知数列na的各项均为正数，其前n项和为nS，满足()2*24nnnaaNSn=+.（1）证明：数列2nS为等差数列；（2）求满足12na的最小正整数n.【详解】（1）当1n

=时，221124SS=+，∴214S=，当2n时，由224nnnaSa=+得()()21124nnnnnSSSSS−−−=−+，化简得2214nnSS−−=.所以数列2nS是以4为首项，4为公差的等差数列.（2）由（1）知()24144nSnn

=+−=，所以2nSn=.所以11122aS==，当2n时，1221nnnaSSnn−=−=−−.令12212nn−−，即114nn+−，两边平方整理得1518n−，所以28964n，因为*nN，所以n的最小值为5.【点睛】本题考查na与nS的关系，等差数列的证明，通项公式

的求法，数列不等式等问题，考查运算能力，是中档题..21．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿

在一块成凸四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设ABD中边BD所对的角为A，BCD中边BD所对的角为C，经测量已知2ABBCCD===，23AD=.（1）霍尔顿发现无论BD多长，3coscosAC−为一个定值，请你验证霍尔顿的结

论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD与BCD的面积分别为1S和2S，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212SS+的最大值.【详解】（1）在ABD中，由余弦定理得241

283cos1683cosBDAA=+−=−，在BCD中，由余弦定理得2448cosBDC=+−，1683cos88cosAC−=−，则()83coscos8AC−=，3coscos1AC−=；（2）11223sin2

3sin2SAA==Q，2122sin2sin2SCC==，则()2222221212sin4sin1612cos4cosSSACAC+=+=−+，由（1）知：3cos1cosAC=+，代入上式得：()22222121612cos43cos124cos83cos12SSAAAA+=

−−−=−++，配方得：22212324cos146SSA+=−−+，当3arccos6A=时，2212SS+取到最大值14.22．设函数()ln,mfxxmRx=+.（1）当me=（e为自然对数的底数）时，求()fx的最小值；（2）讨论

函数()'()3xgxfx=−零点的个数；（3）若对任意()()0,1fbfababa−−恒成立，求m的取值范围.【解析】（1）由题设，当me=时，()lnefxxx=+易得函数()fx的定义域为(0,)+221()exefxxxx−=−=当(0,)xe时，()0fx

，此时()fx在(0,)e上单调递减；当(,)xe+时，()0fx，此时()fx在(,)e+上单调递增；当xe=时，()fx取得极小值()ln2efeee=+=()fx的极小值为2（2）函数21()()(0)33xmxgxfxxxx=−=−−令()0gx=，得31(

0)3mxxx=−+设31()(0)3xxxx=−+2()1(1)(1)xxxx=−+=−−+当(0,1)x时，()0x，此时()x在(0,1)上单调递增；当(1,)x+时，()0x，此时()x在(1,)

+上单调递减；所以1x=是()x的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是()x的最大值点，()x的最大值为12(1)133=−+=又(0)0=，结合y=()x的图像（如图），可知①当23m时，函数()gx无零点；②当23m=时，函数()gx有且仅有一个零点；③当203m时

，函数()gx有两个零点；④0m时，函数()gx有且只有一个零点；综上所述，当23m时，函数()gx无零点；当23m=或0m时，函数()gx有且仅有一个零点；当203m时，函数()gx有两个零点.（3）对任意()()0,1fbfab

aba−−恒成立，等价于()()fbbfaa−−恒成立设()()ln(0)mhxfxxxxxx=−=+−，()hx等价于在(0,)+上单调递减21()10mhxxx=−−在(0,)+恒成立2211()(0

)24mxxxx−+=−−+恒成立14m（对14m=，x=0h（）仅在12x=时成立），m的取值范围是1[,)4+