【文档说明】山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试卷 含答案.doc，共(8)页，494.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020—2021学年第二学期高二期中考试数学试题（理科）命题人：审题人【满分150分，考试时间120分钟】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．=−5657CCA

．68CB．67CC．47CD．46C2．用数字1，2，3，4，5这5个数字，可以组成无重复数字的四位偶数的个数为A．8B．24C．48D．1203．从4名男生和2名女生中选出2名男生和1名女生担任元旦联欢晚会的主持人，则不同的选法共有A．6种B．12种

C．24种D．18种4．已知)5.0,10(~BX，82−=XY，则=)(YEA．6B．2C．4D．35．5)21(x+的展开式中各二项式系数的和是A．53B．1−C．52D．16．5名同学站成一排，若同学A与同学B相邻，且同学A与同学C不相邻，则不同的排法种数为A．36B．25C．16D．487

．若随机变量的分布列如下表所示，则=)(D1−01P21q231−2qA．87B．85C．1617D．16118．已知55443322105)1(xaxaxaxaxaamx+++++=+，若24254321=++++aaaaa，则=−+−+−543210aaaaaaA．1B．1−C

．81−D．819．在由直线xyx==,1和x轴围成的三角形内任取一点),(yx，记事件A为3xy，B为2xy，则=)|(ABPA．32B．61C．31D．4110．若直线bkxy+=是曲线2ln+=xy的切线，也是曲线xey=的切线，则=bA．0B．1C．0或

1D．0或1−11．2021年湖北省新高考将实行“213++”模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式，现有甲、乙、丙、丁4名学生都准备选物理和化学，并且他们对政治、地理、生物三科没有偏好，

则甲、乙、丙、丁4人中恰有2人选课相同的概率为A．16B．512C．58D．4912．已知函数)(xf的定义域为),0(+，且)()(22xfxxf−，则3)2()1(ff−与1)2(−f的大小关系为A．1)2(3)2()1(−−fffB．1)2(3)2()1(−−ff

fC．1)2(3)2()1(−=−fffD．无法确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量X的概率分布列如下：X1−0123P0.1a0.10.30.3则=)30(XP.14．已知20cosaxdx=，则6)(xax−的展开式中的常数项是.15．

某县城中学安排5位教师（含甲）去3所不同的村小学（含A小学）支教，每位教师只能支教一所村小学，且每所村小学都有教师支教，甲不去A小学，则不同的安排方法数为（用数字作答）.16．函数1)32()(2++−−=axaaxxf与11)(−=xxg的图象有三个交点，则实

数a的取值范围为.三、解答题：本大题共70分17．(本题满分10分)一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有3个交通岗，假设他在各个交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且遇到红灯的概率都是31.（1）求这名学生在上学路上到第三个交通岗首次遇到红灯的概率；（2）设X为这名学生在上学路上遇

到红灯的次数，求X的分布列和数学期望（用分数作答）.18．(本题满分12分)4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书活动．为了解高二学生的课外阅读情况，现从高二某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取了10名学生参加问卷调查．参加问卷调查的人数统计如下：小组甲乙丙丁人数34

21（1）从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一小组的概率；（2）从参加问卷调查的甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X表示抽得甲组学生的人数，求X的分布列和数学期望（用分数作答）.19．(本题满分12分)已知函数1()2lnfxxx=+.（1

）讨论函数()fx的单调性；（2）设函数xxfxg)()(=，求)(xg在区间],1[ee上的最大值与最小值.20．(本题满分12分)某中学有“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2020年某

新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为21，m，n，已知三个社团他都能进入的概率为241，至少进入一个社团的概率为43，且nm.（1）求m和n的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋

类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分，求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列与数学期望（用分数作答）.21．(本题满分12分)设xxxaxfln)(+=，3)(23−−=xxxg.（1）如果存在]2,0[,21xx使得Mx

gxg−)()(21成立，求满足上述条件的最大值M；（2）如果对于任意的]2,21[,ts，都有)()(tgsf成立，求实数a的取值范围.22．(本题满分12分)已知函数()cos()xfxexaxaR=+−.（1）当0=a时，讨论函数)(xf在区间],[−上零点

的个数；（2）当1−=a时，若实数)(,2121xxxx满足4)()(21=+xfxf，求证：021+xx.数学答案（理科）一、选择题：1-5：DCBBC6-10:ADBAC11-12:DA二、填空题

：13.0.6.14.15.15.100.16.)2714,0()0,18(−三、解答题：17.解：（1）记“这名学生在第i个交通岗遇到红灯”为事件iA,“到第三个交通岗首次遇到红灯”为事件B,则274313232)()()()()(321321===

=APAPAPAAAPBP………………………………5分（2）X的所有可能取值为0,1,2,3278)32()31()0(3003===CXP94)32)(31()1(213===CXP92)32()31()2(223===CXP271)32()31()3(0333==

=CXPX的分布列为X0123P27894922711313)(==XE……………………………………………………………………………10分18．解：（1）记“从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，这两名学生来自同一个小组”为事件A,

则92)(210222423=++=CCCCAP…………………………………………………………………6分（2）X的所有可能取值为0,1,2，101)0(2522===CCXP,53)1(251213===CCCXP,103)2(2523===CCXP,则X的分布列为X

012P10153103…………………………………………………………………………………………………11分5610325311010)(=++=XE.………………………………………………………12分19．解：（1）()fx的定义域为),0(+，212)(xxxf−=，令0)(xf，

得210x；令0)(xf，得21x，所以)(xf在)21,0(上单调递减，在),21(+上单调递增.………………………………6分（2）],1[,1ln2)(2eexxxxxg+=，3)1ln(2)(xxxxxg−−=设],1[,1ln)(eexxxxxm−−=，xxmln

)(−=.当)1,1[ex时，0)(xm，)(xm单调递增；当],1(ex时，0)(xm，)(xm单调递减，,0)1()(=mxm0)(xg，)(xg在],1[ee上单调递减，eeegxg2)1()(2max−==，2min12)()(eeegxg+==.………

………………………12分20．解：（1）依题意有，=−−−−=,43)1)(1)(211(1,24121nmmn解得：==.41,31nm………………6分（2）令该新同学在社团方面获得

校本选修课学分的分数为随机变量X,则X的值可以为0,1,2,3,4,5,6.………………………………………………………………………………7分,41433221)0(===XP,41433221)1(===XP,81433121)2(===XP,245433121413221)3

(=+==XP,121413221)4(===XP,241413121)5(===XP.241413121)6(===XP故X的分布列为：X0123456P414181245121241241…………

……………………………………………………………………………………11分于是，.12232416241512142453812411410)(=++++++=XE………12分21．（1）存在

]2,0[,21xx使Mxgxg−)()(21成立，等价于Mxgxg−max21)]()([.由3)(23−−=xxxg，得)32(323)(2−=−=xxxxxg.令0)(xg，得320xx或；令0)(xg，得320

x，又]2,0[x，所以)(xg在区间]32,0[上单调递减，在区间]2,32[上单调递增，所以2785)32()(min−==gxg，又3)0(−=g，1)2()(max==gxg，所以Mxgxgxgxg=−=−27112)()

()]()([minmaxmax21，27112=M.…………………6分(2)对于任意的]2,21[,ts，都有)()(tgsf成立，等价于在区间]2,21[上，maxmin)()(xgxf.由（1）知在区间]2,21[上1)2()(max==gxg，在区间

]2,21[上，1ln)(+=xxxaxf恒成立等价于xxxaln2−恒成立.设]2,21[,ln)(2−=xxxxxh，,ln21)(xxxxh−−=可知)(xh在区间]2,21[上是减函数，又0)1(=h，所以当)1

,21(x时，0)(xh，)(xh单调递增；当)2,1(x时，0)(xh，)(xh单调递减；所以1)1()(max==hxh，所以1a，即a的取值范围是),1[+.……………………12分22．解：（1）当

0=a时，xexfxcos)(+=.当],0[x时，1xe，0cos)(+=xexfx，故)(xf在],0[上无零点；当)0,[−x时，0sin)(−=xexfx，)(xf在)0,[−上单调递增，011)(−=−ef，02)0(=f，故存在唯一的

)0,(0−x，使0)(0=xf.综上所述，函数)(xf在区间],[−上有且只有一个零点.………………………………6分（2）当1−=a时xxexfx++=cos)(，01sin)(+−=xexfx，故)

(xf在),(+−上单调递增，又因为2)0(=f且4)()(21=+xfxf，故210xx，要证021+xx，只需证12xx−，因为)(xf在),(+−上单调递增，故只需证)()(12x

fxf−，即证)()(411xfxf−−，即证04)()(11−−+xfxf.设0,4)()()(−−+=xxfxfxg，xeexfxfxgxxsin2)()()(−−=−−=−，令0,sin2)(−−=−xxeexmxx，则0cos22cos2)

(−−+=−xxeexmxx，所以)(xm在)0,(−上单调递增，所以0)0()(=mxm，所以0)(xg，故)(xg在)0,(−上单调递减，所以0)0()(=gxg，所以04)()(11−−+

xfxf，所以021+xx.………………………………………………………………………………12分