【文档说明】山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）试卷 含答案.doc，共(8)页，620.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020—2021学年第二学期高二期中考试数学试题（文科）命题人：【满分150分，考试时间120分钟】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．点P的直角坐标为)3,3(−，则点P的极坐标可以为A．)32,32(

B．)65,32(C．)65,32(−D．)32,32(−2．已知变量x,y具有线性相关关系，测得),(yx的一组数据如下：(0,1),(1,2),(2,4),(3,5),其回归方程为axy+=4.1，则a的值等于A．0.9B．0.8C．0.6D．0.23．在极坐标系中，已知两

点)6,2(A，)6,2(−B，则||AB等于A．32B．3C．2D．44．将参数方程=+=22sinsin1yx(为参数)化为普通方程为A．1−=xyB．1+=xyC．1−=xy(21x)D．1+=xy(10y)5．函数)23(ln−=xxy

的最小值为A．22eB．2e−C．23−D．e−6．直线1123332xtyt=+=−+(t为参数)和圆1622=+yx交于BA,两点，则AB的中点坐标为A．)3,3(−B．)3,3(−C．)3,3(−D．)3,

3(−7．在参数方程==2cossinyx(为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是A．)7,2(−B．)0,1(C．)21,21(D．)32,31(8．对于R上可导的一个函数)(xf，若对于任意实数x都有0)

(')1(−xfx，则必有A．)1(2)2()0(fff+B．)1(2)2()0(fff+C．)1(2)2()0(fff+D．)1(2)2()0(fff+9．参数方程−=+=ttyttx1212(t为参数)表示

的曲线是A．线段B．双曲线C．圆D．圆的一部分10．)(xf是定义在),0(+上的非负可导函数，且满足0)()('−xfxxf，对于任意正实数ba,，若ba，则必有A．)()(abfbafB．)()(bafabfC．)()(bbfaafD．)()(aafbbf

11．直线+=−−=tytx2322(t为参数)上与点)3,2(−A的距离等于2的点的坐标是A．)5,4(−B．)4,3(−C．)4,3(−或)2,1(−D．)5,4(−或)1,0(12．已知函数eexfx−=)(，1ln)(+=xxg，若对于

),0(,21+xRx，)()(21xgxf=成立，则21xx−的最大值为A．eB．e−1C．1D．e11−二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．平面直角坐标系中以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，其中极坐标方程cos2=对应

的直角坐标方程是.14．已知点),(yxP在曲线=+−=sincos2yx(为参数)上，则xy的取值范围是.15．过点)2,2(P且斜率为1−的直线与抛物线xy=2交于BA,两点，则=+||||PBPA.16．已知函数xax

xfln)(+=，其中0a.若对任意实数))(1,21(,2121xxxx，都有|11||)()(|2121xxxfxf−−，则正数a的取值范围是.三、解答题：本大题共70分17．(本题满分10分)网购是现在比较流行的一种购物方式，现随机调查50名个人收入

不同的消费者是否喜欢网购，调查结果表明：在喜欢网购的30人中有20人是低收入的人，在不喜欢网购的20人中有10人是低收入的人．（1）试根据以上数据完成如下22列联表；喜欢网购不喜欢网购总计低收入的人高收入的人总计（2）判断能否有90%的把握认为“是否喜

欢网购与个人收入高低有关系”？参考公式：))()()(()(22dbcadcbabcadnK++++−=，其中dcban+++=.参考数据：)(02kKP0.100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.82

818．(本题满分12分)在直角坐标系中，圆1C1:22=+yx经过伸缩变换==yyxx3'2'后得到曲线.2C以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为+cos2()sin39=.（1）

求曲线2C的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；（2）设点M是2C上一动点，求点M到直线l的距离的最大值．19．(本题满分12分)已知函数1sin)(−=xexfx．（1）求曲线)(xfy=在点))0(,0(f处的切线方程；（2）求

)(xf在区间],0[上的零点个数．20．(本题满分12分)在直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l的参数方程为+=+=sin3cos2tytx(t为参数).在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为=28cos2+．（1）求直线l的普通方程与曲线

C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于BA,两点，且24||=AB，求直线l的倾斜角．21．(本题满分12分)某企业为了提升行业核心竞争力，逐渐加大了科技投入.该企业连续6年来的科技投入x(百万元)与收益y(百万元)的

数据统计如下：科技投入x24681012收益y5.66.512.027.580.0129.2根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线bxcy2=的周围，据此他对数据进行了一些初步处理，如下表：yz=−612)(i

iiyy=−−61))((iiizzxx=−612)(iiyy=−612)(iixx43.54.5298.534.712730.470.0其中iiyz2log=，.6161==iizz（1）(ⅰ)请根据表中数据，建立y关于x的回归方程(保留一位小数)；(ⅱ)

根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年的收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少？(其中3.25log2)（2）乙认为样本点分布在二次曲线nmxy+=2的周围，并计算得回归方程为0.1292.02−=xy，以

及该回归模型的相关指数2R94.0=，试比较甲、乙两位员工所建立的模型，谁的拟合效果更好．附：对于一组数据),(,),,(),,(2211nnvuvuvu，其回归直线方程uv+=的斜率和截距的最小二乘估

计为==−−−=niiniiiuuvvuu121)())((，uv−=.相关指数.)()(112122==−−−=niiniivvvvR22．(本题满分12分)已知函数2)1(ln)(−+=xaxxf，其中0a.（1）讨论函数)(xf的单调性；（2）证明：存在实

数)4,2(a，使得函数)(xf在区间)1,0(上有唯一零点．数学答案（文科）一、选择题：1–5：BACCD6–10：DCBBA11–12：CD二、填空题：⒔0222=−+xyx⒕]33,33[−⒖25⒗),23[+三、解答题：⒘⑴22列联表如下：喜欢网购不喜欢

网购总计低收入的人201030高收入的人101020总计302050………………………………………………………………………………………5分⑵计算2K的观测值706.2389.120302030)10101020(5020−=k，

故没有90%的把握认为“是否喜欢网购与个人收入高低有关系”.………………………………………10分⒙⑴由122=+yx经过伸缩变换==yyxx3'2'可得曲线2C的方程为1)3()2(22=+yx，即13422=+yx，由极坐标方程9)sin

3cos2(=+，可得直线l的直角坐标方程为.0932=−+yx……………………………………………………………………6分⑵因为椭圆的参数方程为==sin3cos2yx(为参数)，所以可设点)sin3,cos2(M，由点到直线的距离公式，点M到

直线l的距离为=−+=7|9sin3cos4|d|5sin()9|7+−(其中53cos,54sin==)，由三角函数性质知，当sin()1+=−时，点M到直线l的距离有最大值.72…………………………………………12分

⒚⑴因为1sin)(−=xexfx，所以)cos(sincossin)('xxexexexfxxx+=+=，因为1)0('=f，(0)1f=−，由直线的点斜式可得：曲线)(xfy=在点))0(,0(f处的切线方程为.1−=xy………………

…………………………………4分⑵由⑴知，)4sin(2)cos(sin)('+=+=xexxexfxx.当)43,0[x时，0cossin+xx，则0)('xf，函数)(xf单调递增；当],43(

x时，0cossin+xx，则0)('xf，函数)(xf单调递减.所以0122)43()(43max−==efxf，01)()0(−==ff，结合零点存在定理知)(xf在区间],0[

上恰好有2个零点.………………12分⒛⑴因为直线l的参数方程为+=+=sin3cos2tytx(t为参数)，当2=时，直线l的直角坐标方程为.2=x当2时，直线l的直角坐标方程为).2(tan3−=−xy……3分因为222yx+=，x=cos，

y=sin，由8cos22+=可得.8222+=+xyx所以曲线C的直角坐标方程为.08222=−−+xyx……………6分⑵曲线C的直角坐标方程为08222=−−+xyx，将直线l的参数方程代入曲线C的方程整理，得.05)cos2sin32(2=−++tt因为020)

cos2sin32(2++=，可设该方程的两个根为21,tt，则)cos2sin32(21+−=+tt，521−=tt，…………………9分所以.2420)cos2sin32(4)(||||22122121=++=−

+=−=ttttttAB整理得3)cossin3(2=+，故.3)6sin(2=+因为0，所以36=+或326=+，解得6=或2=，综上所述，直线l的倾斜角为6或2.……………………………

……12分21.⑴(ⅰ)7612108642=+++++=x，令cxbyz22loglog+==；令ca2log=，则+=axbz，根据最小二乘法公式可知：.5.0707.34)())((12

1=−−−===niiniiixxzzxxb从而175.05.4=−=−=xbza，故回归方程为15.0+=xz，也即.215.0+=xy………………………5分(ⅱ)设200215.0+x，解得200l

og15.02+x，.2.135log442+x所以科技投入的费用至少要13.2百万元.………………………………………7分⑵因为5.298)(612=−=iiiyy，从而.94.098.002.014.127305.2

9812=−−=R即甲建立的回归模型拟合效果更好.…………………12分22.⑴xaxaxxaxxf122)22(1)('2+−=−+=，.0x令122)(2+−=axaxxg，)2(4−=aa.若0，即20a，则0)(xg

，0)('xf，)(xf在区间),0(+上单调递增.若0，即2a，则0)(=xg有两个实根aaaaxaaaax2)2(,2)2(21−+=−−=.当10xx时，0)(xg，0)('x

f，)(xf在区间),0(1x上单调递增；当21xxx时，0)(xg，0)('xf，)(xf在区间),(21xx上单调递减；当2xx时，0)(xg，0)('xf，)(xf在区间)(2+，x上单调递增.………4分⑵由⑴

及0)1(=f可知，若满足题意的实数a存在，当且仅当极大值0)(1=xf时符合要求，此时1x即是)(xf在区间)1,0(上的唯一零点0x,.2a于是问题转化为：方程组=+−=−+01220)1(ln020200axaxxax①有解，满足100x

，且实数a存在.由①消去a整理得到：02121ln00=−+xx②.设2121ln)(−+=ttth，则2212)('ttth−=，当210t，0)('th，)(th单调递减；当121t，0)

('th，)(th单调递增.)(th在区间)1,0(上有唯一极小值022ln21)21(−=h，结合0)1(=h，03ln1)31(−=h以及05ln2)51(−=h可知0)(=th在区间)31,51(上有唯一零点，即②在区间)3

1,51(上有唯一零点0x.从而由①知)1(2100xxa−=)825,49(，命题得证.……………………12分