【文档说明】备战2025年高考：暑期提分“神器装备”高频考点精练（数学）含答案PDF版.pdf，共(331)页，7.232 MB，由小赞的店铺上传

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备战2025年高考：暑期提分“神器装备”高频考点精练（数学）目录考点1集合考点2充分条件与必要条件、全称量词与存在量词考点3等式的性质与不等式的性质、基本不等式考点4二次函数与一元二次方程、不等式考点5函数的概念及其表示考点6函数

的单调性与最大(小)值考点7函数的奇偶性与周期性考点8幂函数考点9指数与指数函数考点10对数与对数函数考点11函数的图象考点12函数与方程考点13初等函数模型的应用考点14导数的概念、意义及运算考点15利用导

数研究函数的单调性考点16利用导数研究函数的极值、最值考点17导数的综合应用考点18任意角和弧度制、三角函数的概念考点19同角三角函数的基本关系及诱导公式考点20三角函数的图象与性质考点21三角恒等变换考点22函数y=Asin(ωx+φ)考点23解三

角形考点24三角函数模型的应用考点25数列的概念考点26等差数列及其前n项和考点27等比数列及其前n项和考点28数列求和考点29数学归纳法考点30平面向量的概念及线性运算考点31平面向量基本定理及向量的坐标表示考点32平

面向量的数量积与平面向量的应用考点33数系的扩充与复数的引入考点34基本立体图形、直观图、表面积和体积考点35空间点、直线、平面之间的位置关系考点36空间直线、平面的平行考点37空间直线、平面的垂直考点38空间向量及其运算考点39立体几何

中的向量方法考点40直线的倾斜角与斜率、直线的方程考点41直线的交点坐标与距离公式考点42圆的方程考点43直线与圆、圆与圆的位置关系考点44椭圆考点45双曲线考点46抛物线考点47直线与圆锥曲线考点48分类加法计数原理与分步乘法计数原理考点49排

列与组合考点50二项式定理考点51随机抽样考点52用样本估计总体考点53成对数据的统计分析考点54随机事件与概率、事件的相互独立性考点55古典概型、条件概率与全概率公式考点56离散型随机变量及其分布列考点57离散型随机变量的数字特征考点

58二项分布与超几何分布考点59正态分布参考答案考点1集合一、基础巩固1.(多选)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={2,3,4},B={3,5},则下列结论正确的是()A.B⊆AB.A∩B={3}C.A∪B={2,4,5}D.∁UA={1,5}

2.若集合A={1,m},B={m2,m+1},且A=B,则m=()A.0B.1C.±1D.0或13.已知集合A={2,3},B={x∈N|x2-3x<0},则A∪B=()A.{1,2,3}B.{0,1,2}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3}4.设集合A={x∈Z|

x2≤4},B={1,2,a},且A∪B=A,则实数a的取值集合为()A.{-2,-1,0}B.{-2,-1}C.{-1,0}D.{-2,-1,1}5.已知集合M={x|x2-2x<0},N={-2,

-1,0,1,2},则M∩N=()A.⌀B.{1}C.{0,1}D.{-1,0,1}6.若集合A={1,2,3},B={(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A},则集合B的真子集个数为()A.5B.6C.7D.87.已知集合A={(x,y)

|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为()A.2B.3C.4D.68.设集合A={x|x=3k+1,k∈Z},B={x|x=3k+2,k∈Z},U为整数集,则∁U(A∪B)=()A.{x|x=3k,k∈Z}B.{x|x=3k

-1,k∈Z}C.{x|x=3k-2,k∈Z}D.⌀9.设集合A={2,5,6},B={x|x2-5x+m=0},若A∩B={2},则B=()A.{2,3}B.{2}C.{3}D.{-1,6}10.已知集合

S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=()A.⌀B.SC.TD.Z11.已知集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-3x+2≤0},则()A.A∩B=⌀B.A∪B=RC.A⊆BD.B⊆

A二、综合应用12.若全集U=R,集合A={x|y=lg(6-x)},B={x|2x>1},则图中阴影部分表示的集合是()A.(2,3)B.(-1,0]C.[0,6)D.(-∞,0]13.(多选)已知集合A={x|x2-3x-18<0},B={x

|x2+ax+a2-27<0},则下列说法正确的是()A.若A=B,则a=-3B.若A⊆B,则a=-3C.若B=⌀,则a≤-6或a≥6D.若B⫋A,则-6<a≤-3或a≥614.设集合A={x|3x-1<m},若1∈A,且2∉A,则实数m的取值范围是()A.(2,

5)B.[2,5)C.(2,5]D.[2,5]15.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比

例是()A.62%B.56%C.46%D.42%16.已知集合P={y|y2-y-2>0},Q={x|x2+ax+b≤0}.若P∪Q=R,且P∩Q=(2,3],则a+b=()A.-5B.5C.-1D.1三、探究创新17.在实数集R上定义运算

*:x*y=x(1-y).若关于x的不等式x*(x-a)>0的解集是集合{x|-1≤x≤1}的子集,则实数a的取值范围是()A.[0,2]B.[-2,-1)∪(-1,0]C.[0,1)∪(1,2]D.[-2,0]18.已知全集U={a1,a2,a3,a4},集合A是全集U的恰有两个元素的

子集,且满足下列三个条件:①若a1∈A,则a2∈A;②若a3∉A,则a2∉A;③若a3∈A,则a4∉A.则集合A=(用列举法表示).考点2充分条件与必要条件、全称量词与存在量词一、基础巩固1.已知命题:∀x≥0,ex≥1或sinx≤1,则其否定为()A.

∃x<0,ex<1且sinx>1B.∃x<0,ex≥1或sinx≤1C.∃x≥0,ex<1或sinx>1D.∃x≥0,ex<1且sinx>12.唐代诗人王昌龄的《从军行》中有两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(多选)下列不等式中可以作为x2<1的一个充分不必要条件的有()

A.x<1B.0<x<1C.-1<x<0D.-1<x<15.(多选)下列命题的否定中,是全称量词命题且是真命题的是()A.∃x∈R,x2-x+14<0B.所有正方形都是矩形C.∃x∈R,x2+2x+2=0D.至少有一个实数x,使x3+1=06.

“a=2”是“函数f(x)=x2-2ax-3在区间[2,+∞)内单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知命题p:∀x∈R,x3<x4;命题q:∃

x∈R,sinx-cosx=-2.则下列说法正确的是()A.p真,q真B.p真,q假C.p假,q真D.p假,q假8.若“∀x∈0,π4,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为.9.若“不等式(x-a)2<1成立”的一个充分不必要条件是“1<x<2”

,则实数a的取值范围是.二、综合应用10.已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.下列命题的否定为假命题的是()

A.∃x∈R,x2+2x+2≤0B.任意一个四边形的四个顶点共圆C.所有能被3整除的整数都是奇数D.∀x∈R,sin2x+cos2x=112.(多选)“关于x的不等式x2-2ax+a>0对∀x∈R恒成立

”的一个必要不充分条件是()A.0<a<1B.0≤a≤1C.0<a<12D.a≥013.若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是()A.∀x∈R,f(-x)≠f(x)B.∀x∈R,f(-x)=-f(x)C.∃x∈R,f(-x)≠f

(x)D.∃x∈R,f(-x)=-f(x)14.设Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:{���������}为等差数列,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不

是乙的充分条件也不是乙的必要条件15.若∃x∈12,2,使得2x2-λx+1<0成立是假命题,则实数λ的取值范围是()A.(-∞,22]B.(22,3]C.22,92D.{3}16.设p:实数x满足x2-4ax+

3a2<0,其中a≠0,q:实数x满足���2-���-6≤0,���2+2���-8>0,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.三、探究创新17.能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在区间[0

,2]上单调递增”为假命题的一个函数是.18.已知命题p:“函数f(x)=ax2-4x在区间(-∞,2]上单调递减”,命题q:“∀x∈R,16x2-16(a-1)x+1≠0”.若命题p,q都为真命题,则实数a的取值范围为.考点3等式的性质与不等式的性质、基本不等式一、基础巩固1.

已知a>b,c>d,且c,d都不为0,则下列不等式成立的是()A.ad>bcB.ac>bdC.a-c>b-dD.a+c>b+d2.已知F1,F2是椭圆C:���29+���24=1的两个焦点,点M在椭圆C上,则|MF1|·|M

F2|的最大值为()A.13B.12C.9D.63.设a,b∈[0,+∞),A=���+���,B=���+���,则A,B的大小关系是()A.A≤BB.A≥BC.A<BD.A>B4.下列函数中最小值为4的是()A.y=x2+2x+4B.y=|si

nx|+4|sin���|C.y=2x+22-xD.y=lnx+4ln���5.(多选)已知6<a<60,15<b<18,则下列结论正确的是()A.������∈13,4B.a+2b∈(21,78)C.a-b∈(-12,45)D.���+�

�����∈76,56.若两个正实数x,y满足2���+1���=1,且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-2)∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)7.已知a>0,b>0,且a

b=1,则12���+12���+8���+���的最小值为.二、综合应用8.(多选)若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是()A.ab有最大值14B.���+���有最大值2C.1���+1���有最小值2D.a2+b2有最大值129.如图,计划在一块空地上种植面积

为2400m2的草坪,草坪的四周留有人行通道.设计要求草坪外侧南北的人行通道宽2m,东西的人行通道宽3m,则人行通道的占地面积最小是()A.550m2B.538m2C.528m2D.504m210.已知不等式|

y+4|-|y|≤2x+���2���对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为()A.1B.2C.3D.411.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18���的最小值为.12.已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值

范围是.13.已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是.14.已知实数x,y满足-1<x+y<4,2<x-y<3,则3x+2y的取值范围是.15.已知x>0,a为大于2x的常数.(1)求函数y=x(a-2x)的最大值;(2)求y=1���-2���-x的最小值.

三、探究创新16.已知α,β,γ是互不相同的锐角,则在sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα三个值中,大于12的个数的最大值是()A.0B.1C.2D.317.设实数x,y满足3≤xy2≤8,4≤���2���≤

9,则���3���4的最大值为.考点4二次函数与一元二次方程、不等式一、基础巩固1.已知不等式x2-5x+a<0的解集是{x|2<x<b},则实数a的值为()A.-14B.-3C.3D.62.不等式���-12���+1≤0的解集

为()A.���-12<���≤1B.���-12≤���≤1C.������<-12,或���≥1D.������≤12,或���≥13.(多选)下列四个不等式中,解集为⌀的是()A.-x2+x+1≤0B.2x2-3x+4<

0C.x2+3x+10≤0D.-x2+4x-���+4���>0(a>0)4.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的取值范围是()A.(0,4)B.[0,4)C.(0,4]D.[0,4]5.已知不等式x2-2x-3

<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B.若关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于()A.-3B.1C.-1D.36.已知关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<

0的解集是R,则实数a的取值范围是()A.-∞,-35∪(1,+∞)B.-35,1C.-35,1D.-35,17.某商场若将进货单价为8元的某商品按每件10元出售,则每天可销售100件,现准备提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10

件.若要保证每天所赚的利润在320元以上,则每件销售价应()A.为12元B.为16元C.大于12元且小于16元D.大于10元且小于14元8.已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的a的

值之和是.二、综合应用9.已知函数f(x)=ax2-x-c,若f(x)>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为()10.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解

,则实数a的取值范围是.11.若对一切x∈(0,2],不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0恒成立,则a的取值范围是.12.解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a≤0).13.为鼓励大学毕业生自主创业,某市出台了相关政策,由政府协调,企业按成本价提供产品给大学

毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为10元/件,出厂价为12元/件,每月的销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元)

之间的关系近似满足一次函数y=-10x+500.(1)设他每月获得的利润为w(单位:元),写出他每月获得的利润w与销售单价x的函数关系.(2)相关部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果他想要每月获得的利润不少于3000元

,那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少?三、探究创新14.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是()A.(

-1,0)B.(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(0,2)15.对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则k的取值范围是.16.已知关于x的不等式(���+1)���

-3���-1<1.(1)当a=1时,解该不等式;(2)当a为任意实数时,解该不等式.考点5函数的概念及其表示一、基础巩固1.若f(2x)=3x+5,则f���2=()A.34x+5B.43x+5C.35x+4D.53x+42.函数f(x)=log2(1-2x)+1��

�+1的定义域为()A.0,12B.-∞,12C.(-1,0)∪0,12D.(-∞,-1)∪-1,123.设函数f(x)=log2���,���>0,4-���+1,���≤0,则f(1)+f(-log23)的值为(

)A.6B.9C.10D.124.(多选)下列各选项给出的两个函数中,表示同一个函数的有()A.f(x)=x与g(x)=���2B.f(t)=|t-1|与g(x)=|x-1|C.f(x)=x与g(x)=log22xD.f(x)=���2-1���+1与g(x)

=x-15.若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(1)等于()A.2B.0C.1D.-16.已知函数f(x)=2���-1,���≤0,-log12(���+1),���>0,若f(a)=1,则f(a-2)=()A.-1B.-12C.

12D.17.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是()8.已知a∈R,函数f(x)=���2-4,���>2,|���-3|+��

�,���≤2,若f���6=3,则a=.9.设函数f(x)=ln���,���≥1,1-���,���<1,则f(f(0))=.若f(m)>1,则实数m的取值范围是.二、综合应用10.设函数f(x)=lg(

1-x),则函数f(f(x))的定义域为()A.(-9,+∞)B.(-9,1)C.[-9,+∞)D.[-9,1)11.设函数f(x)=e���-1,���<1,���13,���≥1,则使得f(x)≤2成立的

x的取值范围是.12.已知y=f(2x)的定义域为[-1,1],则y=f(log2x)的定义域是.13.定义新运算“★”:当m≥n时,m★n=m;当m<n时,m★n=n2.设函数f(x)=(2★x)x-(4★x),x∈[1,

4],则函数f(x)的值域为.14.若函数f(x)=���2+2������-���的定义域为R,则实数a的取值范围是.三、探究创新15.已知函数f(x)=���2+���,���≥0,-3���,���<0,若a[f(a)-f(-a)]>0,则实数a的取值范

围为()A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)16.已知函数f(x)=������2+(���-3)���+1的值域是[0,+∞),则实数m的取值范围是.考点6函数的单调性与最大(小)值一、基础巩固1.已知f(x)是定义在区间[0

,1]上的函数,那么“函数f(x)在区间[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.若函数y=ax与y=-������在区间(0,+∞)内都单调递减,则y=ax2

+bx在区间(0,+∞)内()A.单调递增B.单调递减C.先单调递增后单调递减D.先单调递减后单调递增3.设函数f(x)=1,���>0,0,���=0,-1,���<0,g(x)=x2f(x-1),

则函数g(x)的单调递减区间是()A.(-∞,0]B.[0,1)C.[1,+∞)D.[-1,0]4.(多选)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论中正确的是()A.���(���1)-���(���2)���1-���2>0B.

(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)D.f(x1)>f(x2)5.若函数f(x)=������在区间[2,4]上的最小值为5,则k的值为()A.10B.10或20C.20D.无法确定6.函数f(

x)=1���,���≥1,-���2+2,���<1的最大值为.7.函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是.8.写出一个值域为(-∞,1),在R上单调递增的函数f(x)=.9.若f(x)=(3���-1)���+4���,���<1,-������,���≥1是定义在R上的减函数,则实数

a的取值范围为.10.已知函数f(x)=2���-1���+1,x∈[3,5].(1)判断函数f(x)在区间[3,5]上的单调性,并给出证明;(2)求该函数在区间[3,5]上的最大值和最小值.二、综合应用11.(多选)下列说法正确的是()A.函数y=2

x2+x+1在区间(0,+∞)内单调递增B.函数y=1���+1在区间(-∞,-1)∪(-1,+∞)内单调递减C.函数y=5+4���-���2的单调区间是[-2,+∞)D.已知f(x)在R上是增函数,若a+b>0,则有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)12.已知函数f(x)=

log13(x2-ax+3a)在区间[1,+∞)内单调递减,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.-12,2D.-12,213.已知函数f(x)=12-���2+2������-���2-1的单调递增区间与值域相同,则实数

m的值为()A.-2B.2C.-1D.114.已知函数f(x)=2���+������+1,x∈[0,1],若f(x)的最小值为52,则实数m的值为()A.32B.52C.3D.52或315.已知函数f(x)=e-���,���≤0,-���

3,���>0,若f(a-1)≥f(-a),则实数a的取值范围是.16.函数f(x)=13���-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为.三、探究创新17.如果函数y=f(x)在区间I上单调递增,且函数y=���(���)���在区间I上单

调递减,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增函数”,区间I叫作“缓增区间”.若函数f(x)=12x2-x+32是区间I上的“缓增函数”,则“缓增区间”I为()A.[1,+∞)B.[0,3]C.[0,1]D.[1,3]18.已知减函数f(x)的定义域是实数集R,m,n都是实数.如果不

等式f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立,那么下列不等式成立的是()A.m-n<0B.m-n>0C.m+n<0D.m+n>0考点7函数的奇偶性与周期性一、基础巩固1.设函数f(x)为偶函数,当

x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-2)=()A.-12B.12C.2D.-22.函数f(x)=9���+13���的图象()A.关于原点对称B.关于x轴对称C.关于y轴对称D.关于直线y=x对称3.若f(x)=(x+a)ln2���-12���+1为偶函数,则a=()A.-1B.0

C.12D.14.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-2)=()A.-3B.-54C.54D.35.(多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x),当x∈[0,3]时,f(x)=x2-3x,则下列等式成立的是()A.f(1017)+f(1018

)=f(1019)B.f(1017)+f(1019)=f(1018)C.2f(1017)+f(1018)=f(1019)D.f(1017)=f(1018)+f(1019)6.若f(x)是偶函数,且对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,

都有���(���2)-���(���1)���2-���1<0,则下列关系式中成立的是()A.f12>f-23>f34B.f12>f-34>f23C.f34>f-12>f23D.f-34>f23>f127.(多选)已知函数f(x)=1,���是有理数,0,��

�是无理数,则下列结论正确的是()A.f(x)的值域为[0,1]B.f(x)的定义域为RC.f(x+1)=f(x)D.f(x)是奇函数8.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=f(1

),且f(0)=1,则f(1020)的值为()A.1B.2C.-1D.-29.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x)>x的解集为.10.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)=f(x),已知当x∈[0,2

]时,f(x)=x2-2x+1,则f(3)=;f(0)+f(1)+f(2)+…+f(1020)=.二、综合应用11.设函数f(x)=1-���1+���,则下列函数为奇函数的是()A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+112.已知

函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则当x∈[-1,3]时,不等式xf(x)>0的解集为()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)∪(1,3)D.(-1,0)∪(0

,1)13.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f92=()A.-94B.-32C.74D.5214.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,f(x

y)=y2f(x)+x2f(y),则()A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数D.x=0为f(x)的极小值点15.已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.(2)是否存在实

数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切的x都成立?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.三、探究创新16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=3x.若12<a<34,

则关于x的方程ax+3a-f(x)=0在区间[-3,2]上不相等的实数根的个数为.考点8幂函数一、基础巩固1.已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2),则f(x)的单调递增区间为()A.(-∞,+∞)B.(-∞,0]C.[0,+∞)D.(1,+∞)2.下面四个幂函数的图象中,

是函数y=���-23的大致图象的是()3.已知幂函数f(x)=x3m-7(m∈N)的图象关于y轴对称,且与x轴、y轴均无交点,则m的值为()A.-1B.0C.1D.24.若a<0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是()A.5-a<5a<0.5aB.5a<0

.5a<5-aC.0.5a<5-a<5aD.5a<5-a<0.5a5.如图,函数y=1���,y=x的图象和直线y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分:①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧,则f(x)可能是()A.f(x)=x2B.f(x)=1

���C.f(x)=���12D.f(x)=x-26.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3,当a=2,x∈[-2,3]时,函数f(x)的值域为;若函数f(x)在区间[-1,3]上单调递增,则实数a的取值范围是.7.已知函数f(x)同时满足:①f(0

)=0;②在区间[1,3]上单调递减;③f(1+x)=f(1-x).该函数的表达式可以是f(x)=.二、综合应用8.已知f(x)=x3,若当x∈[1,2]时,f(x2-ax)+f(1-x)≤0,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1]B.[1,+∞)

C.[32,+∞]D.(-∞,32]9.若x2>���13成立,则x的取值范围是.10.已知幂函数f(x)=���-12,若f(a+1)<f(10-2a),则实数a的取值范围是.11.设二次函数f(x)=ax2

+2ax+1在区间[-3,2]上有最大值4,则实数a的值为.三、探究创新12.已知函数f(x)=(m2-m-1)������2+���-1是幂函数,且在区间(0,+∞)内单调递增,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(

b)的值()A.恒等于0B.恒小于0C.恒大于0D.无法判断考点9指数与指数函数一、基础巩固1.(多选)下列各式中一定成立的有()A.������7=n7���17B.12(-3)4=33C.4���3+���3=(x+y)34D.3

9=332.三个数a=0.32,b=5(22-3)5,c=20.3之间的大小关系是()A.b<a<cB.a<c<bC.a<b<cD.b<c<a3.已知函数y=ax-b(a>0,a≠1)的图象如图所示,则以下结论不正确的是()

A.ab>1B.ln(a+b)>0C.2b-a<1D.ba>14.若指数函数y=ax在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为52,则a的值为()A.2或12B.12C.3或13D.135.已知函数f(x)=

ax+1-14(a>0,且a≠1)的图象过定点(m,n),则1681������等于()A.32B.23C.827D.2786.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=19,则f(x)的单调递减区间是()A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-2,+∞

)D.(-∞,-2]7.(多选)若函数f(x)=ex-e1-x,则下列结论正确的有()A.f(x)在R上单调递增B.f(x)的值域为(0,+∞)C.y=f(x)的图象关于点12,0对称D.y=f(x)的图象关于直线x=12对称8.函数y=32���-1-127的定义域是.二

、综合应用9.当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-2,1)B.(-4,3)C.(-1,2)D.(-3,4)10.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=.11

.已知函数f(x)=(a-2)ax(a>0,且a≠1),若对任意x1,x2∈R,���(���1)-���(���2)���1-���2>0,则实数a的取值范围是.12.写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数.①当x1x2≥0时,f(x1+x2)=f(x1)f(x2);②f

(x)为偶函数.13.已知函数f(x)=2-���2+2���,x∈[0,3],则该函数的最大值为,最小值为.14.已知a>0,且a≠1,若函数y=|ax-2|与y=3a的图象有两个交点,则实数a的取值范围

是.三、探究创新15.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是()A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)16.记x2-x1为区间[x1,x2]的长度,已知函数y=2|x|,x∈[-2,a](a≥0),其值域为[m,n],则区间[m,n

]的长度的最小值是.考点10对数与对数函数一、基础巩固1.若15���=3,则a-log1515=()A.-1B.1C.15D.32.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=()A.log2xB.12���C.log12xD.

2x-23.已知函数f(x)=log2���,���>0,3-���+1,���≤0,则f(f(1))+flog312的值是()A.5B.3C.-1D.724.(多选)若10a=4,10b=25,则()A.a+b=2B.b-a=1C.ab>8lg22D.b-a>lg65.函数y=log23(2

���-1)的定义域是()A.[1,2]B.[1,2)C.12,1D.12,16.已知a=log0.32,b=log72,则下列关系正确的是()A.a+b<ab<0B.a+b<0<abC.ab<a+b<0D.ab<0<a+b7.已知函数f(x)=ax+logax(a>0,a

≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为()A.12B.14C.2D.48.若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且在区间(0,1)内f(x)=3x,则f(log354)等于()A.32B.2

3C.-32D.-239.已知函数f(x)=lg(x+2)-lg(2-x).(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;(3)求不等式f(x)>1的解集.二、综合应用10.已知f(x)=lg21-���+���是奇函数,则使f(x)<0的x

的取值范围是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(1,+∞)11.已知函数f(x)=lg(4-x2),a=flog372,b=f1413,c=flog136,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b12.设f(x)是定义在

R上的偶函数,对任意的x∈R,都有f(x-2)=f(x+2),且当x∈[-2,0]时,f(x)=12���-1.若在区间(-2,6]上关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)至少有2个不同的实数解,至多有3个不同的实数

解,则实数a的取值范围是()A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,34)D.[34,2)13.已知函数f(x)=loga(ax2-x+3)在区间[1,3]上单调递增,则实数a的取值范围是.14.定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则不等式f(x)<-

1的解集是.三、探究创新15.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与������最接近的是()(参考数据:lg3≈0.48)A.1033B.

1053C.1073D.109316.已知函数y=f(x)(x∈R)是奇函数,当x<0时,f(x)=8x3-log2(-x),则满足f(log4x)≥0的x的取值范围是()A.12,+∞B.12,2C.12,1∪[2,+∞)D.1,12∪[1,2]考点11函数的图象一、基础巩固1.函数

y=21-x的大致图象为()2.函数y=ln|���|���2+2的大致图象为()3.已知函数f(x)=2x,则函数y=f(|x-1|)的大致图象为()4.已知函数f(x)=-x2+2,g(x)=log2|x|,则函数F(x)=f(x)·g(x)的大致图象为()5.已知某函数的图象如图所示,则该

图象所对应的函数可能是()A.y=���2|���|B.y=2|x|-2C.y=e|x|-|x|D.y=2|x|-x26.(多选)已知函数f(x)=-2���,-1≤���≤0,���,0<���≤1,则下列图象正确的有()A.y=f(x)的图象:B.y=f(x-1)

的图象:C.y=f(|x|)的图象:D.y=f(-x)的图象:7.已知高为H,满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示,若鱼缸水深为h时水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图象是()8.(多选)已知函数f(x

)=12���-1,���≤0,���12,���>0,则下列结论错误的是()A.f(x)的值域为(0,+∞)B.f(x)的图象与直线y=2有两个交点C.f(x)是单调函数D.f(x)是偶函数9.已知函数f(x)=������+���(���+���)2的图象如图所示,则下列结论

成立的是()A.a>0,b>0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c<010.已知函数f(x)=log2���,���>0,3���,���≤0,关于x的方程f

(x)+x-a=0有且只有一个实数根,则实数a的取值范围是.二、综合应用11.(多选)函数f(x)=������2+���的图象可能是()12.已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=���+1���的图象与y=f(x)图象的交点为(x1,y

1),(x2,y2),…,(xm,ym),则∑���=1���(xi+yi)=()A.0B.mC.2mD.4m13.对于函数f(x)=lg(|x-2|+1),下列说法:①f(x+2)是偶函数;②f(x)在区间(-∞,2)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递

增;③f(x)没有最小值.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.014.已知函数f(x)=2-|���|,���≤2,(���-2)2,���>2,函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b

的取值范围是()A.74,+∞B.-∞,74C.0,74D.74,215.定义在R上的函数f(x)=lg|���|,���≠0,1,���=0,若关于x的方程f(x)=c(c为常数)恰有3个不同的实数根x1,x2,x3,则x1+x2+x3=.16.已知f(x)

是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,且在区间[-1,3]上,关于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠-1)有四个根,则k的取值范围是.三、探究创新17.已知函数f(x)与g(x)的部分图象如图①,

则图②可能是下列哪个函数的部分图象()图①图②A.y=f(g(x))B.y=f(x)g(x)C.y=g(f(x))D.y=���(���)���(���)18.(多选)如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动),点D恰好经

过坐标原点,设顶点B(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则下列说法正确的是()A.函数g(x)=f(x)-22在区间[-3,9]上有两个零点B.函数y=f(x)是偶函数C.函数y=f(x)在区间[-8,-6]上单调递增D.对任意的x∈R,都有f(x+4)=-1���(

���)考点12函数与方程一、基础巩固1.已知函数f(x)=2���-1,���≤1,1+log2���,���>1,则函数f(x)的零点为()A.12,0B.-2,0C.12D.02.函数y=ln(x+1)与y=1���的

图象交点的横坐标所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)3.若函数f(x)的图象在R上是连续的,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是()A.f(x)在区间

(0,1)内一定有零点,在区间(1,2)内一定没有零点B.f(x)在区间(0,1)内一定没有零点,在区间(1,2)内一定有零点C.f(x)在区间(0,1)内一定有零点,在区间(1,2)内可能有零点D.f(x)在区

间(0,1)内可能有零点,在区间(1,2)内一定有零点4.方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是()A.3B.2C.1D.05.已知函数f(x)=ex+x,g(x)=lnx+x,h(x)=lnx-1的零点依次为a,b,c,则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a

<c6.若f(x)是奇函数,且x0是函数y=f(x)+ex的一个零点,则下列函数中,-x0一定是其零点的是()A.y=f(-x)ex-1B.y=f(x)e-x+1C.y=exf(x)-1D.y=exf(x)+17.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1,若函数y=f(x+1)-1为奇函数,则

函数f(x)的零点个数为()A.0B.1C.2D.38.已知函数f(x)=���+1,���≤0,log2���,���>0,则函数y=f(f(x))的所有零点之和为.9.若函数f(x)=2���-���,���≤0,ln��

�,���>0有两个不同的零点,则实数a的取值范围是.二、综合应用10.已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是()A.1<x1<2,x1+x2<2B.1<x1<2,x1+x2<1C.x1>1,x1+x2<2D.x1

>1,x1+x2<111.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值为()A.8B.-8C.0D.-412.(多

选)已知函数f(x)=2x-log12x,且实数a,b,c(a>b>c>0)满足f(a)f(b)f(c)<0.若实数x0是函数y=f(x)的一个零点,则下列不等式中可能成立的是()A.x0<aB.x0>aC.x0<bD.x0<c13.(多

选)如图,函数f(x)的图象由一条射线和抛物线的一部分构成,函数f(x)的零点为-12,则()A.函数g(x)=f(x)-f(4)·lg32有3个零点B.f(|x|)≥log84恒成立C.函数h(x)=|f(x)|-���(

4)4有4个零点D.f���+2512≥f(x)恒成立14.(多选)已知函数f(x)=������+1,���≤0,log2���,���>0,下列是关于函数y=f(f(x))+1的零点个数的判断,其中正确的是()A.当k>0时,有3个零点B.当k<0时,有2个零点C.当k>0时,

有4个零点D.当k<0时,有1个零点15.已知函数f(x)=5x+x-2,g(x)=log5x+x-2的零点分别为x1,x2,则x1+x2的值为.三、探究创新16.(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=0,当x∈(0,1]时,f(x)=-log2

x.若函数F(x)=f(x)-tan(πx)在区间[-1,m]上有10个零点,则m的取值可以是()A.3.8B.3.9C.4D.4.117.若定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,函数

g(x)=log3(���-1),���>1,2���,���≤1,则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上的零点的个数为.考点13初等函数模型的应用一、基础巩固1.某新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200

台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y(单位:台)与投放市场的月数x之间函数关系的是()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+1002.用长

度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.3B.4C.6D.123.一股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股

民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况4.某市盛产杨梅,杨梅果味酸甜适中,有开胃健脾、生津止渴、消暑除烦、抑菌止泻、降血脂血压等功效.杨梅的保鲜时间很短,当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间t(

单位:小时)与失去的新鲜度y满足函数关系y=11000���2,0≤���<10,���������,10≤���≤100,其中m,a为常数.已知采用该种保鲜方法后,杨梅采摘10小时之后失去10%的新鲜度,采摘40小时之后失去20%的新鲜度.如今我国物

流行业蓬勃发展,为了保证该市的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于85%,则物流时间(从杨梅采摘的时刻算起)不能超过(参考数据:log23≈1.6)()A.20小时B.25小时C.28小时D.35小时5.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平

均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是.6.某科研团

队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积为18m2,经过3个月其覆盖面积为27m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1

)与y=p���12+q(p>0)可供选择.(参考数据:2≈1.414,3≈1.732,lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(2)求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是

当初投放的1000倍.二、综合应用7.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a���(a为常数),广告效应为D=R-A.那么商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为.(用常数a表示)8.某商家推

行亲子款十二生肖纪念章.通过市场调查,得到该纪念章每枚的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:上市时间x/天41036市场价y/元905190(1)根据上表数据,为描述亲子款十二生肖纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系,从下列函数中选取一个最佳的函数模型是.①y=ax+b;

②y=ax2+bx+c;③y=logax.(2)利用你选取的函数,求亲子款十二生肖纪念章的市场价最低时的上市时间及最低价格.(3)设你选取的函数为y=f(x),若对任意实数k,方程f(x)=kx+2m+120恒有两个相异实数根,求m的

取值范围.三、探究创新9.某企业开发出了一种新产品,预计能获得50万元到1500万元的经济收益.企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励,并讨论了一个奖励方案:奖金y(单位:万元)随经济收益x(单位:万元)的增加而增加

,且y>0,奖金金额不超过20万元.(1)请你为该企业构建一个y关于x的函数模型,并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由;(答案不唯一)(2)若该企业采用函数y=150���+1,50≤���≤500,19+1-������,500<

���≤1500作为奖励函数模型,试确定实数a的取值范围.考点14导数的概念、意义及运算一、基础巩固1.已知函数f(x)=3x+1,则������������x→0���(1-Δ���)-���(1)Δ���的值为()A

.-13B.13C.23D.02.(多选)下列各式正确的是()A.(x-5)'=-5x-6B.(cosx)'=sinxC.(sinx)'=cosxD.sinπ3'=cosπ33.已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是

()A.y=2x-1B.y=xC.y=3x-2D.y=-2x+34.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)等于()A.-1B.0C.2D.45.已知曲线f

(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为()A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)和(-1,3)D.(1,-3)6.设曲线y=e2ax(e=2.718…为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线及直线2x-y-1=0和两坐标轴的正

半轴所围成的四边形有外接圆,则a等于()A.-1B.-14C.14D.17.已知函数f(x)=-12x2+2xf'(2024)+2024lnx,则f'(2024)=.8.设函数f(x)=e������+���.若f'(1)=e4,则a=.9.设函数f(x

)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为.10.已知函数f(x)=ln������+���,且f'(1)=1,则a=,曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为.11.若函数f(x)=12x

2-ax+lnx的图象存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.12.设曲线y=lnx与y=(x+a)2有一条斜率为1的公切线,则a=.二、综合应用13.若函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可能是()14.

若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为()A.1B.2C.22D.315.(多选)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,则下列函数中具有T性质的是()

A.y=cosxB.y=lnxC.y=exD.y=x216.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=ex+x2+1,则函数h(x)=2f(x)-g(x)的图象在点(0,h(0))处的切线方程是

.三、探究创新17.定义:函数f(x)在区间(a,b)内的导函数为f'(x),f'(x)在区间(a,b)内的导函数为f″(x),若在区间(a,b)内f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)是在区间(a,b)内的“严格凸函数”,称区间(a,b)为函

数f(x)的“严格凸区间”,则下列命题是真命题的为.(填序号)①函数f(x)=-x3+3x2+2在区间(1,+∞)内为“严格凸函数”;②函数f(x)=ln������的“严格凸区间”为(0,e32);③若函数f

(x)=ex-���2x2在区间(1,4)内为“严格凸函数”,则实数m的取值范围为[e,+∞).考点15利用导数研究函数的单调性一、基础巩固1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)2.已知函数f(x)的

导函数为f'(x),且函数f(x)的图象如图所示,则函数y=xf'(x)的图象可能是()3.已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为()A.e2B.eC.e-1D.e-24.(

多选)下列函数中,在R上为增函数的有()A.f(x)=x4B.f(x)=x-sinxC.f(x)=xexD.f(x)=ex-e-x-2x5.已知函数f(x)=2���-log2x,则不等式f(x)>0的解集是()A.(0,1)B.(-∞,2)C.(

2,+∞)D.(0,2)6.已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0).(1)若f(x)的单调递减区间是(0,4),则实数k的值为;(2)若f(x)在区间(0,4)内单调递减,则实数k的取值范围是.7.已知函数f(x)=1

2x2-(a+1)x+alnx(a≥1).(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.8.设函数f(x)=3���2+������e���(a∈R).(1)若f(x)在x=0处取得极值

,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)在区间[3,+∞)内单调递减,求a的取值范围.二、综合应用9.已知函数f(x)=���3x3+2x2-x在区间13,+∞内存在单调递增区间,则实数m的取值范围为()A.

[0,+∞)B.(-4,+∞)C.[-3,+∞)D.-119,+∞10.(多选)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)+xf'(x)<xf(x)对x∈R恒成立,则下列选项不正确的是()A.2

ef(2)>f(1)B.2ef(2)<f(1)C.f(1)>0D.f(-1)>011.已知函数f(x)=-12x2+4x-3lnx在区间[t,t+1]上不单调,则实数t的取值范围是.12.已知函数f(x)=xex+���e���,且f(1+a)+f(-a2+a+2)>0,则实数

a的取值范围是.13.若函数g(x)=lnx+ax2+bx,且g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线与x轴平行.(1)确定a与b的关系;(2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性.三、探究创新14.(多选)若函数f

(x)在定义域D内的某个区间I上单调递增,且F(x)=���(���)���在区间I上也单调递增,则称y=f(x)在区间I上“一致单调递增”.已知f(x)=x+e������,若函数f(x)在区间I上“一致单调递增”,则区间I可能是()A.(-

∞,-2)B.(-∞,0)C.(0,+∞)D.(2,+∞)15.定义在区间(0,+∞)内的函数f(x)满足f(x)>0,且当x∈(0,+∞)时,2f(x)<xf'(x)<3f(x)恒成立,其中f'(x)

为f(x)的导函数,则()A.116<���(1)���(2)<18B.18<���(1)���(2)<14C.14<���(1)���(2)<13D.13<���(1)���(2)<12考点16利用导数研究函数的极值、最值一、基础巩固1.已知函数

f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,则m+n等于()A.0B.2C.-4D.-22.若x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,则()A.f(x)有极大值-1B.f(x)有极小值-1C.f(x)有极大值0D

.f(x)有极小值03.函数f(x)=lnx-x在区间(0,e]上的最大值为()A.-1B.1-eC.-eD.04.若a∈R,则“a>3”是“函数f(x)=(x-a)ex在区间(0,+∞)内有极值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也

不必要条件5.已知函数f(x)=13x3-4x+a在区间[0,3]上的最大值为2,则a的值为()A.-103B.2C.5D.2236.(多选)(2023新高考Ⅱ,11)若函数f(x)=alnx+������+���

���2(a≠0)既有极大值也有极小值,则()A.bc>0B.ab>0C.b2+8ac>0D.ac<07.已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-lnx(a>0,b∈R)的一个极值点,则lna与b-1的大小关系是()A.lna>b

-1B.lna<b-1C.lna=b-1D.以上都不对8.写出一个存在极值的奇函数.9.若函数f(x)=x(x-a)2在x=2处有极小值,则a=.10.已知a,b∈R,函数f(x)=13x3+ax2+bx在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,2)内单调递减.(1)若a=-2,求b

的值;(2)求函数f(x)在区间[1,4]上的最小值(用b表示).二、综合应用11.(多选)如图,函数f(x)=2x2+1���的图象称为牛顿三叉戟曲线,则()A.f(x)的极小值点为12B.当x>0时,|f(-x)|<f(x)C.过原点且与曲线y=f

(x)相切的直线仅有2条D.若f(x1)=f(x2),x1<0<x2,则x2-x1的最小值为312.已知函数f(x)=x2ex在区间(k,k+1.5)内存在极值点,则整数k的值为()A.-3,0B.-2,1C.-3,-1D.-2,013.已知函数f(x)

=(xex-m)x-2ex(x∈R).若m=0,则f(x)的极大值点为;若f(x)有3个极值点,则实数m的取值范围是.14.已知函数f(x)=ax3-32x2+b(x∈R).(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=6x-8,求a,b的值;(2)若

a>0,b=2,当x∈[-1,1]时,求f(x)的最小值.三、探究创新15.已知函数f(x)=x2-1���+alnx(a∈R).(1)当a=-3时,讨论f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2,求a的取值范围.考点17导数的综合应用一、基础巩固1.设函数f(x)=xex,

函数g(x)=12x2+x.(1)令函数F(x)=f(x)+g(x),求函数F(x)的最小值;(2)若对任意x1,x2∈[-1,+∞),且x1>x2,有m[f(x1)-f(x2)]>g(x1)-g(x2)恒成立,求实数m的取值范围.2.已知

函数f(x)=ax+x2-xlna(a>0,且a≠1).(1)当a>1时,求证:函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;(2)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值.3.设函数f(x)=a2x2+ax-3lnx+1,其中a>0.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若函数f(x)

的图象与x轴没有公共点,求a的取值范围.4.已知函数f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)若f(x)在区间(0,+∞)内只有一个零点,求实数a.二、综合应用5.设函数f(x)=x2+bx-alnx.(1)若x=2是函数f(x)的极值点,1和x0是

函数f(x)的两个不同零点,且x0∈(n,n+1),n∈N,求n.(2)若对任意b∈[-2,-1],都存在x∈(1,e),使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围.6.(1)证明:当0<x<1时,x-x2<sinx<x;(2)已知函数f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0是f

(x)的极大值点,求实数a的取值范围.三、探究创新7.已知函数f(x)=x3+klnx(k∈R),f'(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时,①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;②求函数g(x)=f(x)-f'(x)

+9���的单调区间和极值;(2)当k≥-3时,求证:对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有���'(���1)+���'(���2)2>���(���1)-���(���2)���1-��

�2.考点18任意角和弧度制、三角函数的概念一、基础巩固1.若sinα<0,且tanα>0,则α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2.若将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是(

)A.π3B.π6C.-π3D.-π63.已知点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.如果1弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为()A.1sin0.5B.sin

0.5C.2sin0.5D.tan0.55.已知α是第二象限角,P(x,5)为其终边上一点,且cosα=24x,则x等于()A.3B.±3C.-2D.-36.已知点P32,-12在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则角θ的值为()A.5π6B.2π3C.11π6D.5π37.中国传统扇文化有着

极其深厚的底蕴(如图①).按如下方法剪裁,扇面形状较为美观(如图②).从半径为r的圆面中剪下扇形OAB,使剪下扇形OAB后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为5-12,再从扇形OAB中剪下扇环形ABDC(图②阴影部分)制作扇

面,使扇环形ABDC的面积与扇形OAB的面积比值为5-12.则一个按上述方法制作的扇环形ABDC的面积与圆面积的比值为()①②A.5-12B.5-14C.3-52D.5-28.若点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y

<0,cosα=35,则tanα=.9.已知角α的终边在直线y=-3x上,则10sinα+3cos���的值为.10.设角α是第三象限角,且sin���2=-sin���2,则角���2是第象限角.11.已知扇形的周长为40,则当扇形的面积最大时,它的半径和圆心角分别为

.二、综合应用12.已知角α=2kπ-π5(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=sin���|sin���|+cos���|cos���|+tan���|tan���|的值为()A.1B.-1C.3D.-313.(多选)下列说法正确的是()A.若0<

α<π2,则sinα<tanαB.若α是第二象限角,则���2为第一象限角或第三象限角C.若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0),则sinα=45D.若扇形的周长为6,半径为2,则其圆心角的大小为

1弧度14.在与2382°终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为.15.已知点P(sin5π6,cos5π6)是角α的终边上一点,则cosα=,角α的最小正值是.三、探究创新16.已知角θ的终边与480°角的终边关于x轴

对称,点P(x,y)在角θ的终边上(不是原点),则���������2+���2=.17.顶点在原点,始边在x轴的非负半轴上的角α,β的终边与单位圆交于A,B两点,若α=30°,β=60°,则弦AB的长为.考点19同角三角函数的基本关系及诱导公式一、基础巩固1.若α∈-π

2,π2,sinα=-35,则cos(-α)等于()A.-45B.45C.35D.-352.已知tan(α-π)=34,且α∈π2,3π2,则sinα+π2等于()A.45B.-45C.35D.-353.sin29

π6+cos-29π3-tan25π4等于()A.0B.12C.1D.-124.(多选)若sinα=45,且α为锐角,则下列结论正确的有()A.tanα=43B.cosα=35C.sinα+cosα=85D.sinα-cosα=-155.已知sin���-2cos���3s

in���+5cos���=-5,则tanα的值为()A.-2B.2C.2316D.-23166.若sinθ=33,则cos(π-���)cos���sin3π2-���-1+cos(2π-���)cos(π+���)sinπ2+�

��-sin3π2+���的值为()A.0B.1C.6D.-67.已知cos5π12+���=13,且-π<α<-π2,则cosπ12-α等于()A.223B.-13C.13D.-2238.已知cos3π2-���+cos(π+α)=2,则t

anα+1tan���=()A.2B.-2C.13D.39.已知cosθ=-35(π<θ<2π),则sinθ=;tan(π-θ)=.10.若f(cosx)=cos2x,则f(sin15°)=.11.若sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根,则a=

.12.已知k∈Z,则sin(���π-���)cos[(���-1)π-���]sin[(���+1)π+���]cos(���π+���)=.二、综合应用13.已知2tanαsinα=3,-π2<α<0,则sinα等于()A.32B.-32C.12D.-1214.已知角α

和β的终边关于直线y=x对称,且β=-π3,则sinα等于()A.-32B.32C.-12D.1215.已知sin���+π6=14,则sin5π6-���+cos(π3-x)的值为()A.0B.14C.12D.-1216.sin

21°+sin22°+…+sin290°=.三、探究创新17.(多选)下列说法中正确的是()A.sin(π+α)=-sinα成立的条件是角α是锐角B.若cos(nπ-α)=13(n∈Z),则cosα=13C.若α≠���π

2(k∈Z),则tanπ2+���=-1tan���D.若sinα+cosα=1,则当n∈N*时,sinnα+cosnα=118.已知函数f(x)=asinπ5���+btanπ5���(a,b为常数,x∈R).若f(1)=1,则不等式f

(31)>log2x的解集为.考点20三角函数的图象与性质一、基础巩固1.下列函数是周期为π的奇函数的是()A.y=sinxcosxB.y=sin2xC.y=tan2xD.y=sin2x+cos2x2.

已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意x都有fπ6+���=fπ6-���,则fπ6等于()A.2或0B.-2或2C.0D.-2或03.记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T<π,且y=f(x)的图象关于点(3π2,2)

中心对称,则f(π2)=()A.1B.32C.52D.34.已知直线y=m(0<m<2)与函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)图象的相邻的三个交点依次为点A(1,m),B(5,m),C(7,m),则ω等于()A.π3B.π4C.π2

D.π65.函数y=cos(x+1)的图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是()A.π2+4B.πC.2D.π2+16.(多选)若函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ∈R)图象的一条对称轴的方程为x

=π6,则φ可能的取值为()A.-π3B.-5π6C.2π3D.π67.已知曲线f(x)=sin2x+3cos2x关于点(x0,0)成中心对称,若x0∈0,π2,则x0等于()A.π12B.π6C.π3D.5π128.已知函

数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数),相邻两个零点的差为-π2,且对任意x,f(x)≥f2π3恒成立,则下列结论正确的是()A.f(2)<f(-2)<f(0)B.f(0)<f(2)

<f(-2)C.f(-2)<f(0)<f(2)D.f(2)<f(0)<f(-2)9.已知f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数,则fπ6=.10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为4π,且fπ3=1,则f(x)图象的对称中心是.

11.已知函数f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是.二、综合应用12.若函数f(x)=cos(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=13π12,且-π2<φ<π2,则函数y=f(x+π3)为()A.奇函数,且在区间0

,π4内单调递增B.偶函数,且在区间0,π2内单调递增C.偶函数,且在区间0,π2内单调递减D.奇函数,且在区间0,π4内单调递减13.(多选)定义在R上的函数f(x)=sin(2x+φ)-π2<���

<π2,则f(x)在区间-π6,0内单调递增的充分条件可以是()A.φ=π6B.f(x)的图象关于直线x=π12对称C.f(x)的图象关于点π3,0对称D.f(x)的图象关于直线x=5π12对称14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)��

�>0,|���|≤π2,x=-π4为f(x)的零点,直线x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在区间π18,5π36内单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.515.已知函数f(x)=3sin������-π6(ω>0)和g(x)=3cos(2x+

φ)的图象的对称中心完全相同,若x∈0,π2,则f(x)的取值范围是.三、探究创新16.已知函数f(x)=sin2���+π6,其中x∈[-π6,a].当a=π3时,f(x)的值域是;若f(x)的值域是-12,1,则a的取值范围是.17.设定义在R上的函数f(x)=s

in(ωx+φ)(ω>0,-π12<φ<π2),给出以下四个论断:①f(x)的最小正周期为π;②f(x)在区间(-π6,0)内单调递增;③f(x)的图象关于点(π3,0)对称;④f(x)的图象关于直线x=π12对称.以其中两个论断作为条件,另两个论断作为

结论,写出一个真命题(写成“p⇒q”的形式).(用到的论断都用序号表示)考点21三角恒等变换一、基础巩固1.已知θ∈π4,3π4,sinπ4+���=35,则tanθ的值为()A.17B.-17C.7D.-72.2sin47°-3sin17°cos17°等于()A.-3B.

-1C.3D.13.已知cos���-π6+sinα=435,则sin(α+7π6)的值为()A.12B.32C.-45D.-124.已知2sin2α=1+cos2α,则tan2α等于()A.43B.-43C.43或0D.-43或05.已知5sin2α=6cosα,α∈0,π2,

则tan���2等于()A.-23B.13C.35D.236.现有如下信息:①黄金分割比(简称:黄金比)是指把一条线段分割为两部分,较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比,其比值为5-12;②黄金三角形被誉为最美三角形,是较短边与较长边之比为黄

金比的等腰三角形;③有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形.由上述信息可求得sin126°=()A.5-12B.5+12C.5-14D.5+147.已知锐角α,β满足α-β=π3,则1cos���cos���+1sin���sin���的最小值为()A.4B.43C.8D.838.已知s

in(α-β)=13,cosαsinβ=16,则cos(2α+2β)=()A.79B.19C.-19D.-799.已知tanθ=2,则cos2θ=;tan���-π4=.10.设函数f(x)=1+cos2���2sinπ2-���+sinx+a2sin(x+π4)的最大值为2+3,则实数

a=.11.已知函数f(x)=cos-���2+sinπ-���2,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(α)=2105,α∈0,π2,求tan(α+π4)的值.二、综合应用12.设a=cos50°cos127°+cos40°cos3

7°,b=22(sin56°-cos56°),c=1-tan239°1+tan239°,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b13.(多选)化简下列各式,与tanα相等的是()A.1-cos2���1+cos2���B.1+cos(π+2���

)2·1cos���,α∈(0,π)C.1-cos2���sin2���D.sin2���1-cos2���14.若sin2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2,则α+β的值是()A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4

15.已知函数f(x)=2sin���+5π24cos(x+5π24)-2cos2(x+5π24)+1,则f(x)的最小正周期为;函数f(x)的单调递增区间为.三、探究创新16.已知函数f(x)=cosωx(sinωx+3cosωx)(ω>0),若存在实数x0,使得对任意的实数x,都

有f(x0)≤f(x)≤f(x0+2024π)成立,则ω的最小值为()A.14048πB.12024πC.14048D.1202417.已知函数f(x)=1+1tan���sin2x-2sin(x+π4)sin(x

-π4).(1)若tanα=2,求f(α)的值;(2)若x∈π12,π2,求f(x)的取值范围.考点22函数y=Asin(ωx+φ)一、基础巩固1.函数y=sin2���-π3在区间-π2,π上的大致图象是()2.(多选)已知曲线C1:y=3sinx,C2:y=3sin(2x+

π4),则下列说法正确的是()A.先把曲线C1上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π8个单位长度,得到曲线C2B.先把曲线C1上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π4个单位长度,得到曲线C2C.

先把曲线C1向左平移π4个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,得到曲线C2D.先把曲线C1向左平移π8个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,得到曲线C23.若将函数f(x)=sin2x+co

s2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得的图象关于y轴对称,则φ的最小值是()A.π4B.3π8C.π8D.5π84.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数

,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g(π4)=2,则f(3π8)等于()A.-2B.-2C.2D.25.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部

分图象如图所示,且fπ2=-1,现将f(x)的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)在区间π12,5π12上的取值范围是()A.-1,22B.[1,2]C.-22,1D.[-2,1]6.已

知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则y=f(x+π6)取得最小值时x的集合为()A.������=���π-π6,���∈ZB.������=���π-π3,���∈Z

C.������=2���π-π6,���∈ZD.������=2���π-π3,���∈Z7.若关于x的方程2sin2���+π6=m在区间0,π2上有两个不等实根,则实数m的取值范围是()A.(1,3)B.[0,2]C.[1,2)D.[1,3]8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0

,-π2≤φ≤π2)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22,且图象过点2,-12,则函数f(x)=.9.已知函数y=f(x)和函数y=g(x)的部分图象如图所示,且函数y=g(x)的图象由y=f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得

到,则φ=.10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=12与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=π6,则f(π)=.二、综合应用11.设函数f(x)=cos(ωx+π6)在区间[-π,π]上

的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为()A.10π9B.7π6C.4π3D.3π212.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正常数)的最小正周期为π,当x=2π3时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A.f(2)<f(

-2)<f(0)B.f(0)<f(2)<f(-2)C.f(-2)<f(0)<f(2)D.f(2)<f(0)<f(-2)13.(多选)已知函数f(x)=Asin(ωx+4φ)(A>0,ω>0,0<φ<π8)的部分图象如图所示,若函数f(x)图象上的点的纵坐标不变,将横坐标缩短

到原来的14,再向右平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列结论正确的是()A.函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(12x+π6)B.函数g(x)的解析式为g(x)=2sin(2x-π6)C.函数

f(x)图象的一条对称轴是直线x=-π3D.函数g(x)在区间π,4π3上单调递增14.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)同时满足下列四个条件中的三个:①fπ6=1;②f(x

)=Asin(ωx+φ)(|φ|<π2)的图象可以由y=sinx-cosx的图象平移得到;③图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2;④最大值为2.(1)请指出这三个条件,并说明理由;(2)若曲线y=f(x)的对称轴只有一条落在区间[0,m]上,求实数m的取值范围.三、探究创新15.如

图,将绘有函数f(x)=3sin(ωx+5π6)(ω>0)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角,若A,B之间的空间距离为10,则f(-1)等于()A.-1B.1C.-32D.3216.已知函数f(x)=Asin(2x+φ)-12(A>0,0<φ<π2)的图象在y轴上

的截距为1,且关于直线x=π12对称,若存在x∈[0,π2],使m2-3m≥f(x)成立,则实数m的取值范围为.考点23解三角形一、基础巩固1.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,b=2,A=60°,则c等于()A.12B.1C.3D.22.已知在△ABC中,a,b,c

分别为内角A,B,C的对边,a=1,ccosA+acosC=2bcosB,△ABC的面积S=3,则b等于()A.13B.4C.3D.153.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在C处(点C在

水平地面下方,O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC=15°,A地测得最高点H的仰角为∠HAO=30°,则

该仪器的垂直弹射高度CH为()米.A.210(6+2)B.1406C.2102D.20(6−2)4.如图所示,若网格中小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点处,则△ABC外接圆的面积为()A.130π9B.65π9C.65

π18D.65π365.设△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,sinA,sinB,sinC成等比数列,则这个三角形的形状是()A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6.在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,则tanB等于()A

.5B.25C.45D.857.(多选)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=23,c=3,A+3C=π,则下列结论正确的是()A.cosC=33B.sinB=23C.a=3D.S△ABC=28.如图,为了测量两山顶D,C间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,在

A位置时,观察点D的俯角为75°,观察点C的俯角为30°;在B位置时,观察点D的俯角为45°,观察点C的俯角为60°,且AB=3km,则点C,D之间的距离为km.9.如图,AB是底部不可到达的一个建筑物,A为

建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;

注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结

果与该建筑物实际高度有误差,请你针对误差情况进行说明.二、综合应用10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2���-������=cos���cos���,b=4,则△ABC的面积的最大值为()A.43B.23C.2D.311.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

∠ABC=90°,∠ABC的平分线交AC于点D.若a+4c的最小值为9,则BD=.12.某学校高一同学参加社会实践活动,应用所学知识测量一个四边形公园的面积,如图所示,测得公园的四边边长分别为AB=1km,BC=3km,CD=AD=2km,∠A=120°,则公园

的面积为km2.当地政府规划建一条圆形的公路,使得整个公园都在圆形公路的里面,则这条公路的总长度的最小值为km.(备注:把公路看成一条曲线,公路宽度不计)13.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin���cos���=sin���+sin���cos

���+cos���.(1)若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个:①a=7,②b=10,③c=8,④△ABC的面积S=103,请指出这三个条件,并说明理由;(2)若a=3,求△ABC周长L的取值范围.三、探究创新14.(多选)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,若3a=

2csinA,且0<C<π2,b=4,则下列说法正确的是()A.C=π3B.若c=72,则cosB=17C.若sinA=2cosBsinC,则△ABC是等边三角形D.若△ABC的面积是23,则该三角形外接圆的半径为415.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为

a,b,c,已知cos���1+sin���=sin2���1+cos2���.(1)若C=2π3,求B;(2)求���2+���2���2的最小值.16.如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD,,DC=2,在下面给出的三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并加以解

答.①3AB=4BC,sin∠ACB=23;②tan(∠BAC+π6)=3;③2BCcos∠ACB=2AC-3AB.(1)求∠DAC;(2)求△ADC面积的最大值.考点24三角函数模型的应用一、基础巩固1.已知弹簧振子的振幅为2

cm,在6s内振子通过的路程是32cm,由此可知该振子振动的()A.频率为1.5HzB.周期为1.5sC.周期为6sD.频率为6Hz2.一个直径为6m的水轮如图所示,水轮圆心O距水面2m,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点P到水面的距离y(

单位:m)与时间x(单位:s)之间满足关系式y=Asin(ωx+φ)+2(A>0,ω>0),y<0表示点P在水面下,则有()A.ω=π15,A=3B.ω=2π15,A=3C.ω=π15,A=6D.ω=2π15,A=63.如图,一个大风车的半径为8

m,12min旋转一周,它的最低点P0离地面2m,风车翼片的一个端点P从点P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数解析式是()A.h(t)=-8sinπ6

t+10B.h(t)=-cosπ6t+10C.h(t)=-8sinπ6t+8D.h(t)=-8cosπ6t+104.如图,在平面直角坐标系Oxy中,质点M,N间隔3分钟先后从点P绕原点按逆时针方向做角速度为π6弧度/分钟的匀速圆周运动,则M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时,

N运动的时间为()A.37.5分钟B.40.5分钟C.49.5分钟D.52.5分钟5.(多选)某时钟的秒针端点A到时钟的中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转.当时间t=0时,点A与钟面上标“12”

的点B重合,将A,B两点的距离d(单位:cm)表示成t(单位:s)的函数,则d等于(),其中t∈[0,60].A.10sinπ���60B.10cosπ���3C.10cos(30-���)π60D.10sinπ���66.根据市场调查,

某种商品一年内出厂单价在7000元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9000元,9月份价格最低,为5000元,则7月份的出厂价格为元.7.去年某地的月平均气温y(单位:℃)与月

份x近似地满足函数解析式y=a+bsin(π6x+φ)(a,b为常数,0<φ<π2).其中三个月份的月平均气温如表所示,则该地2月份的月平均气温约为℃,φ=.x5811y/℃133113二、综合应用8.(多选)水

车在古代是进行灌溉引水的工具,亦称“水转简车”,是一种以水流作动力,取水灌田的工具.如图,一个半径为R的水车,以水车的中心为原点,建立平面直角坐标系.一个水斗从点A(3,-33)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时120秒.

经过t秒后,水斗旋转到点P,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标与时间t满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|<π2,则下列叙述正确的是()A.φ=-π3B.当t∈(0,60]时,函数y=f(t)单调递增C.当t∈(0,60]时,|f(t)|的最大值为33D.当t=100时

,|PA|=69.下表是某地近30年的月平均气温(华氏度).月份123456平均气温21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为

x轴,令x=月份-1,以平均气温为y轴.(1)作出散点图.(2)用正弦型曲线去拟合这些数据.(3)第(2)问中所求得的正弦型曲线对应的函数的周期T是多少?(4)估计这个正弦型曲线的振幅A.(5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据?①������=cosπ���6;②���-46���=

cosπ���6;③���-46-���=cosπ���6;④���-26���=sinπ���6.三、探究创新10.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转,可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮轮盘直径为1

24米,设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,当到达最高点时距离地面145米,匀速转动一周大约需要30分钟.以游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米,已知H关于t的函数解析式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>

0,|φ|≤π2),求摩天轮转动一周对应的解析式H(t).(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度第一次恰好达到52米?(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱,且中间间隔5个座舱,在摩天轮转动一周的过程中,设两

人距离地面的高度差为h米,求h的最大值.考点25数列的概念一、基础巩固1.已知数列5,11,17,23,29,…,则55是它的()A.第19项B.第20项C.第21项D.第22项2.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=������+1,则1���5等于()A.56B.65C.

130D.303.已知数列{an}满足an+1+an=n,若a1=2,则a4-a2等于()A.4B.3C.2D.14.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,若bn=(n-10)an,则数列{bn}的最小项为()A.第10项B.第11项C

.第6项D.第5项5.已知数列{an}满足a1=-12,an+1=11-������,则a2024等于()A.-12B.23C.32D.36.已知数列{an}满足∀m,n∈N*,都有an·am=an+m,且a1=12,则a

5等于()A.132B.116C.14D.127.已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,则数列{an}的通项公式an=.8.已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)78���,则当an取得最大值时,n=.9.已知数列{an

}的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an=.10.已知数列{an}的前n项和为Sn.(1)若Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及an;(2)若Sn=3n+2n+1,求an.二、综合应用11.已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,Sn为数列{an}

的前n项和,则S2024的值为()A.2024n-mB.nC.mD.m+n12.意大利数学家莱昂纳多·斐波那契提出的“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,在现代生

物及化学等领域有着广泛的应用,它可以表述为数列{an}满足a1=a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*).若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列{bn},则{bn}的前2024项和为()A.2272B.2274C.2270D.227713.设数列{an}的首项为1且各项均

为正数,若(n+1)·������+12-n������2+an+1·an=0,则它的通项公式an=.14.已知数列{an}满足an+1=an+2n,且a1=32,则���������的最小值为.15.设数列{an}的前n项和为

Sn.已知a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,bn=Sn-3n.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)若an+1≥an,求a的取值范围.三、探究创新16.已知函数f(x)是定义在区间(0,+∞)内的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f

(y).若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*),则an等于()A.2n-1B.nC.2n-1D.32���-1考点26等差数列及其前n项和一、基础巩固1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若4+a1=a2+a5,则S11=()A.28B.34C.4

0D.442.已知等差数列{an}的前4项和为30,前8项和为100,则它的前12项和为()A.110B.200C.210D.2603.已知数列{an}是等差数列,且a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,数列{an}的前n项和为Sn,则使得Sn最大

的n是()A.18B.19C.20D.214.(多选)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,当首项a1和d变化时,a3+a8+a13是一个定值,则下列各选项中也一定为定值的有()A.a7B.a8C.S15D.S165.设Sn为等

差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,则n等于()A.5B.6C.7D.86.(多选)设Sn是等差数列{an}的前n项和,d为{an}的公差,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论正确的是()A.d>0B.

a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的最大值7.已知等差数列{an}的前3项依次是-1,a-1,1,则a=;通项an=.8.已知数列{an}满足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1),a1=2,令bn=1�����

�-1.(1)证明:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.二、综合应用9.(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1+5a3=S8,则下列结论一定正确的是()A.a10=0B.当n=9或10时,Sn取最大值C.|a9|<|a11|D

.S6=S1310.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S20>0,S21<0,则���1���1,���2���2,…,���17���17中最大的项为()A.���10���10B.���11�

��11C.���12���12D.���13���1311.将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为.12设等差数列{an}的公差为d,且d>1.令bn=���2+���������,记Sn,Tn分别为数列{an},{

bn}的前n项和.(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求数列{an}的通项公式;(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.三、探究创新13.下表数阵的特点是每行、每列都成等差数列,记第i行第j列的数为aij,则(1)ann=(n∈N*);(2)

表中的数52共出现次.234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……………………14记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,���������

���是公差为13的等差数列.(1)求{an}的通项公式;(2)证明:1���1+1���2+…+1������<2.考点27等比数列及其前n项和一、基础巩固1.已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=()A.14B.12C.6D.32.在各项均为正数的等比数列

{an}中,a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为()A.212B.93C.±93D.353.记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=2

1S2,则S8=()A.120B.85C.-85D.-1204.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层,上一层的数量是下一层的2倍,总共有1016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案.若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an},则log2(

a3·a5)的值为()A.8B.10C.12D.165.(多选)已知数列{an}是等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是()A.1������B.log2������2C.{an+an+1}D.{an+an+1+an+2}6.

若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则���2���2=.7.在等比数列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=-5,则公比q=;若an>1,则n的最大值为.8.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=���������

.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;(3)求数列{an}的通项公式.9.已知数列{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=13,anbn+1+bn+1=nbn.求:(1)数列{an}的通项公

式;(2)数列{bn}的前n项和.二、综合应用10.(多选)数学中有各式各样富含诗意的曲线,螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠卷”.连接嵌套的各个正方形的顶

点就可得到近似于螺旋线的美丽图案,其具体作法是:在边长为1的正方形ABCD中,作它的内接正方形EFGH,且使得∠BEF=15°;再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ,且使得∠FMN=15°;类似地,依次进行下去,就形成了阴影部分的图案,如图所示.设第

n个正方形的边长为an(其中第1个正方形ABCD的边长为a1=AB,第2个正方形EFGH的边长为a2=EF……),第n个直角三角形(阴影部分)的面积为Sn(其中第1个直角三角形AEH的面积为S1,第2个直角三角形EQM的面积为S2……),则下列结论正确的有()A.数列

{an}是公比为23的等比数列B.S1=112C.数列{Sn}是公比为49的等比数列D.数列{Sn}的前n项和Tn<1411.(多选)已知数列{an}是等比数列,则下列说法中正确的是()A.数列{������2}是等比数列B.若a3=2,a7=3

2,则a5=±8C.若a1<a2<a3,则数列{an}是递增数列D.若数列{an}的前n项和Sn=3n-1+r,则r=-112.已知数列{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=

25,则a3+a5=,a4的最大值为.13.已知等比数列{an}与等差数列{bn}满足a1=b1=1,a1≠a2,a1,a2,b3成等差数列,b1,a2,b4成等比数列.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设Sn,Tn分别是数列{an},{bn}

的前n项和,若Sn+Tn>100,求n的最小值.三、探究创新14.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可通过适当排序后成等差数列,也可通过适当排序后成等比数列,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.915.设等比数列{an}满足

a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为.16.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1,则���1���1+���2���2+…+���8���8=.考点28数列求和一、基础巩固1.在数列{an}中,

如果a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,那么S100的值为()A.2500B.2600C.2700D.28002.已知数列{an}满足a1=1,且对任意的n∈N*都有an+1=a1+an+n,则数列1������的前100项和为()A.10010

1B.99100C.101100D.2001013.已知函数f(x)=xa的图象过点(4,2),令an=1���(���+1)+���(���),n∈N*.设数列{an}的前n项和为Sn,则S1020等于()A.1020-1B.1020+1C.1021-1D.1021+14.已知

数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则数列{an}的前60项和为()A.3690B.3660C.1845D.18305.已知等差数列{an}中,a5=π2.若函数f(x)=sin2x+1,设yn=f(an),则数列{yn}的前9项和为.

6.已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn+3=3an.设bn=(n+1)log3an,并记Tn=1���1+1���2+1���3+…+1������,则an=,T4020=.7.已知等差数列{an}的首项为2,前n项和为Sn,数列{bn}是首项为1

,各项均为正数的等比数列,且满足a3=2b2,S5=b2+b4.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设cn=(-1)nlog3Sn+log3bn,求数列{cn}的前26项和.8.已知数列{an}满足2

an+1=an+1,a1=54,bn=an-1.(1)求证:数列{bn}是等比数列;(2)求数列的前n项和Tn.从条件①���+1������,②{n+bn},③4log2������·log2����

��+1中任选一个,补充到上面的问题中,并给出解答.二、综合应用9.定义������1+���2+…+������为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”.若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为12��

�+1,又bn=������+14,则1���1���2+1���2���3+…+1���10���11等于()A.111B.910C.1112D.101110.(多选)已知数列{an},{bn}均为递增数列,数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,且满足an+an+1=2n

,bnbn+1=2n,则下列关系正确的有()A.0<a1<1B.1<b1<2C.S2n<T2nD.S2n≥T2n11.今要在一个圆周上标出一些数,第一次先把圆周二等分,在这两个分点处分别标上1,如图①所示;第二次把两段半圆弧分别二等分,在这两个分

点处分别标上2,如图②所示;第三次把4段圆弧分别二等分,并在这4个分点处分别标上3,如图③所示.如此继续下去,当第n次标完数以后,这个圆周上所有已标出的数的总和是.12.在①b2n=2bn+1,②a2=b1+b2,③b1,b2,b4成等比数列这三个条件中选择符合题意

的两个条件,补充在下面的问题中,并求解.已知数列{an}中,a1=1,an+1=3an.公差不等于0的等差数列{bn}满足,求数列������������的前n项和Sn.13.已知{an}为等差数列,bn=������-6,���为奇数,2������,���为偶数.记Sn,Tn分别为数列{a

n},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16.(1)求{an}的通项公式;(2)证明:当n>5时,Tn>Sn.三、探究创新14.甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏,导致一个

条件看不清,具体如下:等比数列{an}的前n项和为Sn,已知.(1)判断S1,S2,S3的关系;(2)若a1-a3=3,设bn=���12|an|,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:Tn<43.甲同学记得

缺少的条件是首项a1的值,乙同学记得缺少的条件是公比q的值,并且他俩都记得第(1)问的答案是S1,S3,S2成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是正确的,请你通过推理把条件补充完整并解答此题.考点29数学归纳法一、基础巩固1.对于不等式��

�2+���<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n=1时,12+1<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即���2+���<k+1,则当n=k+1时,(���+1)2+(���+1)=���2+3���+

2<(���2+3���+2)+(���+2)=(���+2)2=(k+1)+1.故当n=k+1时,不等式成立.在上述证明中,()A.过程全部正确B.对于当n=1时结论的推理不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n

=k+1的推理不正确2.用数学归纳法证明:1+12+13+14+…+12���-1≤n(n∈N*).3.已知数列{xn},{yn}满足x1=5,y1=-5,2xn+1+3yn=7,6xn+yn+1=13.求证:xn=3n+2,yn=

1-2×3n(n∈N*).二、综合应用4.设平面内有n(n∈N*,n≥3)条直线,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=;当n>4时,f(n)=(用n表示).5.用数学归纳法证明:1-12+1

3−14+…+12���-1−12���=1���+1+1���+2+…+12���(n∈N*).6.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+1=2Sn+2,数列{bn}满足b1=1,bn+1=������2+bn,其中n∈N*.(1)证明:数列{an}是等比数列;(2)记Tn=�

��12+���22+…+������2,证明:Sn-2Tn≤2.三、探究创新7.设数列{an}的前n项和为Sn,且(������-1)2=anSn(n∈N*),设bn=(-1)n+1(n+1)2·anan+1(n∈N*),数列{

bn}的前n项和为Tn.(1)求S1,S2,S3的值;(2)猜想数列{an}的前n项和Sn,并用数学归纳法加以证明;(3)求数列{Tn}的通项公式.考点30平面向量的概念及线性运算一、基础巩固1.设a

,b都是非零向量,下列四个条件中,使���|���|=���|���|成立的充分条件是()A.a=-bB.a∥bC.a=2bD.a∥b,且|a|=|b|2.在△ABC中,�����������=c,����������=b.若点D满足�����������=2����������

�,则�����������等于()A.23b+13cB.53c-23bC.23b-13cD.13b+23c3.设向量a,b不共线,�����������=2a+pb,�����������=a+b,

�����������=a-2b.若A,B,D三点共线,则实数p的值是()A.-2B.-1C.1D.24.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2�����������=2�����������+�����������,则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反

向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上5.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且�����������+�����������+�����������=0,则△ABC的内角A等于()A.30°B.60°C.90°D.120°6.在四边形ABCD中,���

��������=a+2b,�����������=-4a-b,�����������=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是()A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对7.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5������

�����=�����������+3����������,则△ABM与△ABC的面积比为()A.15B.25C.35D.458.在△ABC中,E为AB边的中点,D为AC边上的点,BD,CE交于点F.若�����������=37�������

����+17����������,则������������的值为.9.已知D为△ABC的边BC的中点,点P满足�����������+�����������+����������=0,����������

�=λ�����������,则实数λ的值为.二、综合应用10.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,�����������=a,����������=b,则�����������等于()A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b11.(

多选)在△ABC中,D为AC上一点,且满足�����������=13�����������.若P为BD上一点,且满足�����������=λ�����������+μ����������,λ,μ均为正实数

,则下列结论正确的是()A.λμ的最小值为16B.λμ的最大值为116C.1���+14���的最大值为16D.1���+14���的最小值为412.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足��������

���=1312�����������+12�����������+2�����������,则点P一定为△ABC的()A.边AB中线的中点B.边AB中线的三等分点(非重心)C.重心D.边AB的中点13.已知△ABC是边长为

4的正三角形,D,P是△ABC内的两点,且满足�����������=14(�����������+����������),�����������=�����������+18�����������,则△APD的面积为()A.34B.32C.3D.2314.设D

,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若�����������=λ1�����������+λ2����������(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.三、探究创新15.如

图,有5个全等的小正方形,�����������=x�����������+y�����������,则x+y的值是.16.已知a,b不共线,�����������=a,�����������=b,�����������=c,�����������=d,�

����������=e,设t∈R,若3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.考点31平面向量基本定理及向量的坐标表示一、基础巩固1.已知平面向量a=(1,-2),

b=(2,m),且a∥b,则3a+2b等于()A.(7,2)B.(7,-14)C.(7,-4)D.(7,-8)2.若向量�����������=�����������=(2,0),�����������=(1,1),则����������+�����������等于()A.(3,1)B

.(4,2)C.(5,3)D.(4,3)3.(多选)下列各组向量中,不能作为基底的是()A.e1=(0,0),e2=(1,1)B.e1=(1,2),e2=(-2,1)C.e1=(-3,4),e2=35,-45D.e1=(2,6),e2

=(-1,-3)4.在▱ABCD中,�����������=(2,8),�����������=(-3,4),对角线AC与BD相交于点M,则�����������等于()A.-12,-6B.-12,6C.12,-6D.12,65.在△A

BC中,点P在BC上,且�����������=2����������,点Q是AC的中点.若�����������=(4,3),�����������=(1,5),则�����������等于()A.(-2,7)B.(-6

,21)C.(2,-7)D.(6,-21)6.已知平面直角坐标系中的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是()A.(-∞,2)B

.(2,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)7.若平面内两个向量a=(2cosθ,1)与b=(1,cosθ)共线,则cos2θ等于()A.12B.1C.-1D.08.已知向量����������,�����������和�����������在边长为1的正方形网格中的位置

如图所示(点A,B,C,D均在格点上).若����������=λ�����������+μ�����������,则λ+μ等于()A.2B.-2C.3D.-39.已知在平面直角坐标系中,点P1(0,1),P2(4,4).当P是线段P1P2

的一个三等分点时,点P的坐标为()A.43,2或83,3B.43,3C.(2,3)或43,2D.83,310.如图,在▱ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点.已知�����������=c,�����������=d,则�����������=,�����

������=.(用c,d表示)二、综合应用11.在△ABC中,D是BC的中点,点E在边AC上,且满足3�����������=����������,BE交AD于点F,则�����������=()A.-34�����������+14����������B.34��

���������−14����������C.-13�����������+23����������D.-23�����������+13����������12.在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是边B

C上的动点,且|�����������|=3,|����������|=4,�����������=λ�����������+μ����������(λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,|�����������|的值为()A.72B.3

C.52D.12513.若{α,β}是一个基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底{α,β}下的坐标.现已知向量a在p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为

()A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)14.已知线段AB的端点为A(x,5),B(-2,y),直线AB上的点C(1,1),使|����������|=2|�����������|,则x+y=.1

5.已知向量�����������=(3,-4),�����������=(0,-3),�����������=(5-m,-3-m),若点A,B,C能构成三角形,则实数m满足的条件是.三、探究创新16.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动

点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若�����������=λ�����������+μ�����������,则λ+μ的最大值为()A.3B.22C.5D.217.如图,将两块斜边相等的直角三角板拼在一

起,若�����������=x�����������+y����������,则()A.x=1+233,y=233B.x=233,y=1+233C.x=2+3,y=3D.x=1+32,y=32考点32

平面向量的数量积与平面向量的应用一、基础巩固1.已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b等于()A.-1B.0C.1D.22.(多选)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)

⊥(a+μb),则()A.λ+μ=1B.λ+μ=-1C.λμ=1D.λμ=-13.对任意平面向量a,b,下列关系式不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.

(a+b)·(a-b)=a2-b24.在四边形ABCD中,����������=(1,2),�����������=(-4,2),则该四边形的面积为()A.5B.25C.5D.105.若向量a,b满足|a|=2,|b|=3,且(a-b

)⊥(2a+3b),则a与b夹角的余弦值为()A.112B.336C.215D.366.一条河流某流域内南北两岸平行,如图所示.已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10km/h,水流的速度v2的大小|v2|=4km/h,设v1和v2所成角为θ(0<θ<π),若游船要从南岸A码头航行

到正北方向上位于北岸的B码头处,则cosθ等于()A.-215B.-25C.-35D.-457.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(多选)已知向量a=(3,1)

,b=(cosα,sinα)α∈0,π2,则下列说法正确的有()A.|b|=1B.若a∥b,则tanα=3C.a·b的最大值为2D.|a-b|的最大值为39.一副三角板由两种特殊的直角三角板组成,一种是等腰直角三角板,另一种是有一个锐角是30°的直角三角板,

如图,两个三角板斜边的长度之比为3∶2.四边形ABCD就是由一副三角板拼成的,AB=2,∠ABC=60°,则�����������·�����������+����������·�����������的值为()A.23B.-6C.-6-23D.-2310.(2023新高考Ⅱ,13)已知向量a

,b满足|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,则|b|=.11.设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.12.已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9.(1)求向量a与b的夹角θ;(2)求|a+b|及向量a在a+

b方向上的投影向量的模.二、综合应用13.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则�����������·�����������的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4

,6)14.(多选)八卦是中国文化的基本哲学概念,其平面图形记为正八边形ABCDEFGH,如图所示.其中OA=1,则以下结论正确的是()A.�����������·�����������=0B.�����������·�����������=-22C.�����������+�����

������=-2�����������D.|�����������−�����������|=2-215.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则�����������·��������

���的最小值为()A.2116B.32C.2516D.316.在日常生活中,我们会看到两人共提一个行李包的情境.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ.给

出以下结论:①θ越大越费力,θ越小越省力;②θ的范围为[0,π];③当θ=π2时,|F1|=|G|;④当θ=2π3时,|F1|=|G|.其中正确的结论是.(填序号)三、探究创新17.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值

是.18.如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量方法证明:PA⊥EF.考点33数系的扩充与复数的引入一、基础巩固1.在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于()A

.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若a为实数,且2+���i1+i=3+i,则a=()A.-4B.-3C.3D.43.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A

.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=14.若复数z=1+i,���为z的共轭复数,则下列结论正确的是()A.���=-1-iB.���=-1+iC.|���|

=2D.|���|=25.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(2,-1),则2������-1=()A.3+iB.1-3iC.1-iD.2-i6.已知复数z=i1+i,则|z|=()A.22B.2C.12D.17.若复数z=1+i���-i(i是虚数单位,a∈

R)是纯虚数,则z的虚部为()A.1B.iC.2D.2i8.已知z=1-i2+2i,则z-���=()A.-iB.iC.0D.19.(多选)已知复数z=-12+32i(其中i为虚数单位),则下列结论正确的是()A.z2=0B.z2=���C.z3=1D.|z|=110.已知a

,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=.11.如图,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则���2���1=.二、综合应用12.在复平面内,O为坐标原点,若复数z,z+1对应的点都在单位圆O上,则z的实部为()A.-

32B.-12C.12D.3213.(多选)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,则下列结论正确的是()A.点P0的坐标为(1,2)B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C.复数z对应的点Z在一

条直线上D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为2214.写出一个虚数z,使得z2+3为纯虚数,则z=.15.在复平面内,复数2-3i1+2i+z对应的点的坐标为(2,-2),则z在复平面内对应的点位于第象限.1

6.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,则|z1-z2|=.17.若复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(m,λ,θ∈R),且z1=z2,则λ的取值范围是.三、探究创新18.据记载,欧拉公式eix=cosx

+isinx(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x=π时,得到一个令人着迷的优美恒等式eπi+1=0,这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对数的底数e,圆周率π,虚数单位i,自然数

的单位1和零)联系到了一起,有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式,若复数z=e3π4i的共轭复数为���,则���=()A.-22−22iB.-22+22iC.22+22iD.22−22i19.在复平面内,复数z

=a+bi(a,b∈R)对应向量�����������(O为坐标原点),设|�����������|=r,以射线Ox为始边,OZ为终边逆时针旋转的角为θ,则z=r(cosθ+isinθ),法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z1=r1(cosθ1+isin

θ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ),则(-

1+3i)10=()A.1024-10243iB.-1024+10243iC.512-5123iD.-512+5123i考点34基本立体图形、直观图、表面积和体积一、基础巩固1.下列说法正确的是()A.棱柱的两个底面是全等的正多边形B.平行于棱柱侧棱的截面是矩形C

.{直棱柱}⊆{正棱柱}D.{正四面体}⊆{正三棱锥}2.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,顶点在底面的投影为底面的中心,若该四棱锥的体积为433,则它的表面积为()A.8B.12C.4+83D.203.某一时间段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗漏

、流失而在水平面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量(单位:mm).24h降雨量的等级划分如下:等级24h降雨量(精确到0.1)小雨≤9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9

…………在综合实践活动中,某小组自制了一个底面直径为200mm,高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中,该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm(如图所示),则这24h降雨量的等级是()A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨4.在封闭的正三棱柱ABC-A1B

1C1内有一个体积为V的球.若AB=6,AA1=4,则V的最大值是()A.16πB.32π3C.12πD.43π5.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.

0km2;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为(7≈2.65)()A.

1.0×109m3B.1.2×109m3C.1.4×109m3D.1.6×109m36.点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=6,∠ABC=90°,若四面体ABCD体积的最大值为3,则这个球的表面积为()A.2πB.4πC.8πD.16π

7.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=2,则该棱台的体积为.二、综合应用8.(多选)已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面均为正方形,其中AB=22,A

1B1=2,AA1=BB1=CC1=2,则下列说法正确的是()A.该四棱台的高为3B.AA1⊥CC1C.该四棱台的表面积为26D.该四棱台外接球的表面积为16π9.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=3,∠ASC=∠BSC=30°,则

棱锥S-ABC的体积为()A.33B.23C.3D.110.如图,一把斧子,它的斧头由铁质锻造,斧头的形状可以近似看成由上下两个多面体组合而成,上部是一个长方体,下部是一个“楔(xie)形”,其尺寸如图标注(单位:cm).已知铁的比重为7.87g/

cm3,斧头上用作安装斧柄的洞眼仍看作实心,则这只斧头的质量(单位:g)所在的区间为()A.(800,1200)B.[1200,1600)C.[1600,2000)D.[2000,2400)11.已知四边形OABC的直观图O'A'B'C'如图所示,O'A'=3B'C',O'A'⊥E'C',SO

ABC=8,C'D'∥y'轴,C'E'=22,D'为O'A'的三等分点,且靠近点O',则四边形OABC绕y轴旋转一周所成的空间几何体的体积为()A.1523πB.48πC.383πD.12π12.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形A

BC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位

:cm3)的最大值为.三、探究创新13.小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.(1)

证明:EF∥平面ABCD;(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).14.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体,已知该正方体的棱长为2,如果任意转动该正方体,液面的形状都不可能是三角形,那么液体体积的取值范围为.考点35空间点、直线、平面之间的位置关系一、基础巩

固1.经过空间不共线的四点,可确定的平面个数是()A.1B.4C.1或4D.1或32.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.垂直3.如图,α

∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M4.若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的()A

.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O三点共线B.A

,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面6.l1,l2表示空间中的两条直线,p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充

分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件7.(多选)已知A,B,C表示不同的点,l表示直线,α,β表示不同的平面,则下列推理正确的是()A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=ABC.l⊄α,A∈l⇒A∉αD.A∈α,A∈l,l⊄α⇒l∩

α=A8.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c()A.平行B.相交C.是异面直线D.垂直9.如图,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.(1)如果EH∩FG=P,那么点P在直线上;(2)如果EF∩GH=Q,

那么点Q在直线上.10.在空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD的中点.求证:(1)BC与AD是异面直线;(2)EG与FH相交.二、综合应用11.给出以下四个说法,①不共面的四点中,其

中任意三点不共线;②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.其中正确的个数是()A.0B

.1C.2D.312.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心,则下列说法正确的是()A.直线MN与直线A1B是异面直线B.直线MN与直线DD1相交C.直线MN与直线AC1是异面直线D.直线MN与直线A1C平行13.

如图,E,F,G,H分别是菱形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且BE=2AE,DH=2HA,CF=2FB,CG=2GD.现将△ABD沿BD折起,得到空间四边形ABCD,在折起过程中,下列说法正确的是()A.直线EF,HG有可能平行B.直线EF,HG一定异面C.直线EF

,HG一定相交,且交点一定在直线AC上D.直线EF,HG一定相交,但交点不一定在直线AC上14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上一点,F为棱AA1的中点,且CE=2C1E,AB=2,AA1=3,BC=4,则平面BEF截该长方体所得截面为边形,截面与侧面ADD1A1、侧面CDD1

C1交线的长度之和为.15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,G,H分别是B1C1,C1D1的中点.(1)画出平面ACD1与平面BDC1的交线,并说明理由;(2)求证:B,D,H,G四点在同一平面内.三、探究创新16.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B

1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)几何体A1GH-ABC是三棱台.考点36空间直线、平面的平行一、基础巩固1.已知两条不同的直线m,n和一个平面α,下列命题中的真命题是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,n⊂α,则m∥nC.若m∥α,n⊥α,则m∥nD.若m

⊥α,n⊥α,则m∥n2.已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(多选)如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,O为矩形对角线的交点,M为PB的中点,给出以下结论,其

中正确的是()A.OM∥PDB.OM∥平面PCDC.OM∥平面PDAD.OM∥平面PBA4.(多选)下面四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是()5.如图,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是棱A1B1,B1

C1的中点,P是棱AD上的一点,且AP=���3,过点P,M,N的平面交上底面于PQ,点Q在CD上,则PQ=.6.已知平面α∥β,P∉α,且P∉β,过点P的直线m与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长

为.7.如图,四棱锥P-ABCD的底面是一梯形,AB∥CD,CD=2AB,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为.8.如图,在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是该正方体表面及其内部的一动点,且BM∥平面AD1C,则动点M的

轨迹所形成区域的面积是.9.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为217,点G,E,F,H分别是棱PB,AB,DC,PC上共面的四点,BC∥平面GEFH.(1)证明:GH∥EF;

(2)若EB=2,平面PDA∥平面GEFH,求四边形GEFH的面积.10.如图,四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点,求证:(1)BE∥平面DMF;(2)平面BDE∥平面MNG.11.如图,在直

三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1,M是AB的中点,△A1MC1是等腰三角形,D为CC1的中点,E为BC上一点.(1)若BE=3EC,求证:DE∥平面A1MC1;(2)若AA1=1,求三棱锥A

-MA1C1的体积.二、综合应用12.(多选)一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点.在此几何体中,给出下列结论,其中正确的是()A.平面EFGH∥平面ABCDB.直线PA∥平面BDGC

.直线EF∥平面PBCD.直线EF∥平面BDG13.在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于点D,E,F,H,且D,E分别是AB,BC的中点.如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为.14.如

图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=6,AB=3,AD=8,M是棱AD的中点,点N在棱AA1上,且满足AN=2NA1,P是侧面四边形ADD1A1内一动点(含边界).若C1P∥平面CMN,则线段C1P长度的取值范围是.1

5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E在线段B1C1上,B1E=3EC1,试探究:在线段AC上是否存在点F,满足EF∥平面A1ABB1?若存在,请指出点F的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由.三、探究创新16.如图,棱柱ABCD

-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形,平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证:平面AB1C∥平面DA1C1;(2)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由.考

点37空间直线、平面的垂直一、基础巩固1.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直线l,则()A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平

面α,β都垂直2.已知α,β是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,下列条件中,可以得到l⊥α的是()A.l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂αB.l⊥m,m∥αC.α⊥β,l∥βD.l∥m,m⊥α3.如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是

()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE4.如图,AB为圆锥底面直径,C是底面圆O上异于A,B的动点.已知OA=3,圆锥侧面展开图是圆心角为3π的扇形,则当PB与BC

所成角为π3时,PB与AC所成角为()A.π3B.π6C.π4D.5π65.已知l,m,n是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则α⊥β的一个充分条件是()A.l⊂α,m⊂β,且l⊥mB.l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥nC.m⊂α,n⊂β,

m∥n,且l⊥mD.l⊂α,l∥m,且m⊥β6.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且

底面各边都相等,M是PC上的一个动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)8.如图,在棱长为2a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AC的中点,则平面MBC1与平面CBC1的夹角的正切值为.9.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面

α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:.(用序号表示)10.如图①,在平面五边形ABCDE中,AB∥CE,且AE=2,∠AEC=60°,CD=ED=7,cos∠EDC=57.将△CDE沿CE折起,

使点D到点P的位置,且AP=3,得到如图②所示的四棱锥P-ABCE.(1)求证:AP⊥平面ABCE;(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l,判断直线AB与l的位置关系,并说明理由.11.已知三棱锥P-ABC,PA=PB=AB=3,BC=4,A

C=5,D为AB的中点.(1)若PC=3,求异面直线PD与BC所成的角的余弦值;(2)若二面角P-AB-C为30°,求AC与平面PAB所成的角的正弦值.二、综合应用12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成

的角均为30°,则()A.AB=2ADB.AB与平面AB1C1D所成的角为30°C.AC=CB1D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45°13.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,PA⊥平面ABC,△ABC是边长为2的等边三角形,若球O的体积为823π,则

直线PC与平面PAB所成的角的正切值为()A.31111B.21111C.31010D.101014.(多选)如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,给出下列结论正确的是()A.PB⊥AEB.平面PAE⊥平面PDEC.异面直线PD与BC所成

角为30°D.直线PD与平面PAB所成角的余弦值为10415.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E,F分别为线段CD,AB上的点,且������������=������������=13,现将△ADE沿AE翻折成四棱锥P-ABCE,且二面角

P-AE-B的大小为2π3.(1)证明:AE⊥PF;(2)求直线PB与平面PAE所成角的正弦值.16.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°,设AA1=a,(1)求a的值;(2)求直线

B1C1到平面A1BC的距离.三、探究创新17.如图①,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,O为DE的中点,AB=AC=25,BC=4.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得平面A1DE⊥平面BCED,F为A

1C的中点,如图②.(1)求证:EF∥平面A1BD;(2)求证:平面A1OB⊥平面A1OC;(3)在线段OC上是否存在点G,使得OC⊥平面EFG?说明理由.考点38空间向量及其运算一、基础巩固1.若向量c垂直于不共线的向量a

和b,d=λa+μb(λ,μ∈R,且λμ≠0),则()A.c∥dB.c⊥dC.c不平行于d,c也不垂直于dD.以上三种情况均有可能2.(多选)已知点P是△ABC所在的平面外一点,若�����������=(-2,1,4),�����������=(1,-2,1),����������=(

4,2,0),则()A.AP⊥ABB.AP⊥BPC.BC=53D.AP∥BC3.已知A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足�����������·����������=0,����������·�����������=0,�����������·��

���������=0,M为BC的中点,则△AMD是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定4.已知点A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)在平面ABC内,则x的值为()A.-4B.1C.10D.11

5.在空间四边形ABCD中,�����������·�����������+����������·�����������+�����������·�����������的值为()A.-1B.0C.1D.26.在三棱锥O-ABC中,M是OA

的中点,P是△ABC的重心.设�����������=a,�����������=b,�����������=c,则�����������=()A.12a-16b+13cB.13a-12b+cC.-16a+13b+13cD.-a+13b-12c7.已知点O(0,0,0

),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动.当�����������·�����������最小时,点Q的坐标是.8.已知空间四边形OABC各边及其对角线OB,AC的长都是6,且�����������=2�����������,�����������=�

���������,�����������=x�����������+y�����������+z�����������,则x+y+z=,OG的长为.9.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|BC|=2,|D1D|=3,N是AB的中点,M是B1C1的中点,建立如图所示的空间直角坐

标系.(1)写出点D,N,M的坐标;(2)求线段MD,MN的长度;(3)判断直线DN与直线MN是否互相垂直,并说明理由.10.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为△BC1D的重心,求证:(1)A1,G,C三点共线;(2

)A1C⊥平面BC1D.二、综合应用11.(多选)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=π3,各棱长均为1,则下列结论正确的是()A.{����������,������1������,������1������}不是空间的一个基底

B.<�����������,������1�������>=23πC.|������1������|=2D.BD⊥平面ACC1A112.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,E,F分别是BC,AD的中点,则��������

���·�����������的值为()A.a2B.12a2C.14a2D.34a213.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的

中点.(1)求�����������的模;(2)求cos<������1������,������1������>的值;(3)求证:A1B⊥C1M.14.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都等于1,∠BAA1=∠CAA1=60°.(1)设������1������=a,���

��������=b,����������=c,用向量a,b,c表示������1������,并求出BC1的长度;(2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.三、探究创新15.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥DC

,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,E为棱PC的中点.(1)证明:BE⊥PD;(2)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求线段PF的长.考点39立体几何中的向量方法一、基础巩固1.直线l的方向

向量s=(-1,1,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,-x).若直线l∥平面α,则x的值为()A.-2B.-2C.2D.±22.已知平面α的一个法向量为n=(1,-3,0),则y轴与平面α所成的角的大小为()A.π6B.π3C.π4D.5π63.如图,正方形ABCD与

矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,若AB=2,AF=1,点M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为()A.(1,1,1)B.23,2

3,1C.22,22,1D.24,24,14.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为()A.12B.22C.13D.165.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,

且A1E=23A1D,AF=13AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面6.(多选)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,则()A.AC⊥BDB.△ACD是等边三角形C.AB与平面BCD所成的角为60°D.

AB与CD所成的角为60°7.在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,则平面SCD与平面SAB夹角的余弦值是.8.如图,四棱锥P

-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM.(1)求BC;(2)求二面角A-PM-B的正弦值.9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,∠ACB=90°,D,E,F分别为AC,AA1,A

B的中点.(1)求证:B1C1∥平面DEF;(2)求EF与AC1所成角的大小;(3)求点B1到平面DEF的距离.二、综合应用10.(多选)如图,在三棱锥P-ABC中,若PA⊥平面ABC,AB=2,BC=23,AC=4,点A到平面PBC的距离为455

,则()A.PA=4B.三棱锥P-ABC的外接球的表面积为32πC.直线AB与直线PC所成角的余弦值为216D.AB与平面PBC所成角的正弦值为25511.如图,等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C-AB-D的余弦值为33,M,N

分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值等于.12.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=5.(1)求证:PD⊥平面PAB.(2)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,

求������������的值;若不存在,说明理由.13.如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.(1)证明:平面BED⊥平面ACD;(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,

当△AFC的面积最小时,求CF与平面ABD所成的角的正弦值.三、探究创新14.如图①,在等边三角形ABC中,AC=4,D是边AC上的点(不与A,C重合),过点D作DE∥BC交AB于点E,沿DE将△ADE向上折起,使得平面ADE⊥平面BCDE,如图②所

示.(1)若异面直线BE与AC垂直,请确定图①中点D的位置;(2)证明:无论点D的位置如何,平面ADE与平面ABE夹角的余弦值都为定值,并求出这个定值.考点40直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、基础巩固1.直线3x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为()A.30

°B.60°C.150°D.120°2.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k1<k2<k3B.k3<k1<k2C.k3<k2<k1D.k1<k3<k23.在平面直角坐标系中,直线2x-y-2=0绕它与y轴的交点按逆时针方向旋转90°所得的直线的方程为

()A.x-2y+4=0B.x+2y-4=0C.x-2y-4=0D.x+2y+4=04.已知直线l1过点A(-2,m)和B(m,4),直线l2的方程为2x+y-1=0,直线l3的方程为x+ny+1=0.

若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为()A.-10B.-2C.0D.85.已知两点M(2,-3),N(-3,-2),直线l过点P(1,1),且与线段MN相交,则直线l的斜率k的取值范围是()A.

[34,4]B.[-4,34]C.(-∞,-4]∪[34,+∞)D.[-34,4]6.过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.7.若直线x-y-1=0与直线(m+3)x+2my-8=0平行,则m=.若直线x-y-1=0与直线(m+3)x+

2my-8=0垂直,则m=.8.过点M(1,2)的直线l与圆C:(x-3)2+(y-4)2=25交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为.9.过点P(3,0)作一条直线,使它夹在两直线l1:2x-y

-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰好被点P平分,求此直线的方程.10.如图,在平面直角坐标系Oxy中,已知平行四边形ABCD的顶点B(5,3)和D(3,-1),AB所在直线的方程为x-y-2=0,AB⊥AC.(1)求对角线AC所

在直线的方程;(2)求BC所在直线的方程.二、综合应用11.已知集合A={(x,y)|x+ay-a=0},B={(x,y)|ax+(2a+3)y-1=0}.若A∩B=⌀,则实数a的值为()A.3B.-1C.3或-1D.-3或112.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=2-���2相交于

A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取到最大值时,直线l的倾斜角为()A.150°B.135°C.120°D.不存在13.设光线l从点A(-4,3)射出,经过x轴反射后经过点B0,33,则光线l与x轴交点的横坐标为,若该入射光线l经x轴发生折射,折射角为入射角的

一半,则折射光线所在直线的纵截距为.14.已知函数y=ex的图象在点(ak,e������)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*,a1=0,则a1+a3+a5=.15.已知动直线l0:ax+by+c-3=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m),且Q(4,0)

到动直线l0的距离的最大值为3,求12���+2���的最小值.16.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负

半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.三、探究创新17.已知函数f(x)=asinx-bcosx(a≠0,b≠0),若f(π3-x)=f(π3+x),则直线ax-by+c=0的倾斜角为()A.π4B.π3C.2π

3D.3π418.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(1,0),B(0,2),且|AC|=|BC

|,则△ABC的欧拉线的方程为()A.4x+2y+3=0B.2x-4y+3=0C.x-2y+3=0D.2x-y+3=0考点41直线的交点坐标与距离公式一、基础巩固1.若O为坐标原点,P为直线x-y+2=0上的动点,则

|OP|的最小值为()A.22B.2C.3D.22.已知点A(cos10°,sin10°),B(cos100°,sin100°),则|AB|=()A.1B.2C.3D.23.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x

+3y+2a=0平行,则直线l1与l2之间的距离为()A.423B.42C.823D.224.点P(cosθ,sinθ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为()A.125,175B.75,125

C.75,175D.125,2455.若三条直线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,则实数a的值为()A.1B.2C.-2或1D.-1或26.直线l:x+λy+2-3λ=0(λ∈

R)恒过定点,点P(1,1)到该直线的距离的最大值为.7.直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程为.8.已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反

射光线所在直线的方程为.9.已知正方形ABCD的两个顶点A,B在直线x+y-4=0上,另两个顶点C,D分别在直线2x-y-1=0,4x+y-23=0上,则正方形ABCD的边长为.10.已知直线l1:x+y+2=0;l2:mx+2y+n=0.(1)若l1⊥l2,求m的值;(2)若l1∥l

2,且它们间的距离为5,求m,n的值.二、综合应用11.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为()A.(-2,4)B.(-2,-4)C.(2,4)D.(2,-4)12.若三条直线x-2y+2=0,x

=2,x+ky=0将平面划分成6个部分,则k的取值情况是()A.只有唯一值B.有两个不同的值C.有三个不同的值D.无穷多个值13.(多选)在平面直角坐标系Oxy中,点P在曲线y=x+1���(x>0)上,则点P到直线3x-4y-2=0的距离可以为()A.45B

.1C.65D.7514.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为.15.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n=.16.已知直线l:

x-2y+8=0和点A(2,0),B(-2,-4).(1)在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|的值最小;(2)在直线l上求一点P,使||PB|-|PA||的值最大.三、探究创新17.已知平面上一点M(5,0),若一条直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线

”.给出直线:①y=x+1;②y=2;③y=43x,其中是“切割型直线”的是()A.②③B.①C.①②D.①③18.定义:点M(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0的有向距离为������0+������0+������2+���2.已知点A(-1,0

),B(1,0),直线m过点P(3,0),若圆x2+(y-18)2=81上存在一点C,使得A,B,C三点到直线m的有向距离之和为0,则直线m的斜率的取值范围为.考点42圆的方程一、基础巩固1.以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0,2x-y-6=

0同时相切的圆的标准方程为()A.(x-1)2+(y-1)2=5B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x-1)2+y2=5D.x2+(y-1)2=52.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为22,则实数a的值为()A.2B.0或2C.12D.-23.当a取

不同的实数时,方程x2+y2+2ax+2ay-1=0可以表示不同的圆,则()A.这些圆的圆心都在直线y=x上B.这些圆的圆心都在直线y=-x上C.这些圆的圆心都在直线y=x或y=-x上D.这些圆的圆心不在同一条直线上4.圆(x

+2)2+(y-12)2=4关于直线x-y+8=0对称的圆的方程为()A.(x+3)2+(y+2)2=4B.(x+4)2+(y-6)2=4C.(x-4)2+(y-6)2=4D.(x+6)2+(y+4)

2=45.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是()A.1+2B.2C.1+22D.2+226.(多选)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的是()A.圆M的圆心为(4,-3)B.圆

M被x轴截得的弦长为8C.圆M的半径为25D.圆M被y轴截得的弦长为67.“a>0”是“点(0,1)在圆x2+y2-2ax-2y+a+1=0外”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.若圆C经过坐标原点与点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C

的方程是.9.已知过点P(-1,1)作圆x2+y2-ax-2y+a2-2=0的切线有两条,则a的取值范围是.10.已知A为圆x2+(y-2)2=1上一动点,定点B的坐标为(6,1).若W为x轴上一动点,则|AW|+|BW|的最小值等于.11.已知O为

坐标原点,圆M过点P(10,4),且与直线4x+3y-20=0相切于点A(2,4).(1)求圆M的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线l的方程.12.已知点P(x,y

)在圆C:x2+y2-6x-6y+14=0上,(1)求������的最大值和最小值;(2)求x+y的最大值和最小值.二、综合应用13.若直线y=kx与圆x2+y2-4x+1=0的两个交点关于直线x+y+b=0对称,则()A.k=-1,b=2B.k=1,b=2C.k=1,b=-2

D.k=-1,b=-214.若圆x2+y2-4x+2y+a=0与x轴、y轴均有公共点,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1]B.(-∞,0]C.[0,+∞)D.[5,+∞)15.已知圆C过点(4,6),(-2,-2),(5,5),点M,N在圆C上,则△CMN的面积的最大

值为()A.100B.25C.50D.25216.已知圆C截y轴所得的弦长为2,圆心C到直线l:x-2y=0的距离为55,且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1,则圆C的方程为.17.已知☉O的方程为x2+y2=4,过点M(4,0)的直线与☉O交于A,B两点,则弦AB的中点P的轨迹方

程为.18.已知圆x2+y2+4x-12y+1=0关于直线ax-by+6=0(a>0,b>0)对称,求2���+6���的最小值.19.在平面直角坐标系Oxy中,已知圆P在x轴上截得的线段长为22,在y轴上截得的线段长为23.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若点P到直线y=x的距离为22,求圆

P的方程.三、探究创新20.在平面直角坐标系Oxy中,圆C过点(0,-1),(3+2,0),(3-2,0).(1)求圆C的方程.(2)是否存在实数a,使得圆C与直线x+y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.考点43

直线与圆、圆与圆的位置关系一、基础巩固1.若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=()A.12B.-12C.1D.-12.过(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sinα=()A.1B.154C.104D.643.过点P(1,-2)作圆C

:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为()A.y=-34B.y=-12C.y=-32D.y=-144.(多选)在同一平面直角坐标系中,直线ax-y+a=0与圆(x+a)2+y2=a2的位置可能是()5.已知直线y=x+m与圆O:x2+y2=16

相交于M,N两点,若∠MON≥2π3,则m的取值范围是()A.[-2,2]B.[-4,4]C.[-22,22]D.[0,22]6.已知圆C1:x2+y2-2x+4y+4=0,圆C2:x2+y2+x-y-m2=0(m>0),若圆C2平分圆C1的圆

周,则m的值为()A.3B.2C.4D.17.(多选)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则()A.圆O1和圆O2有两条公切线B.直线AB的方程为x-y+1=0C.圆O2上存在两点P和Q,使得|PQ|>|AB|D.圆O

1上的点到直线AB的最大距离为2+28.过点P(1,3)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则�����������·�����������=.9.在平面直角坐标系Oxy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=

0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.10.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过点P作圆C的切线l,切点为M.(1)若点P的坐标为(1,3),求此时切线l的方程;(2)求满足条件|

PM|=|PO|的点P的轨迹方程.二、综合应用11.已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为()A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D

.2x+y+1=012.设P为直线x-y=0上的动点,PA,PB为圆C:(x-2)2+y2=1的两条切线,A,B为切点,则四边形APBC的面积的最小值为()A.12B.2C.22D.113.(多选)已知圆M:(x-1-cosθ)2+(y-

2-sinθ)2=1,直线l:kx-y-k+2=0,下列说法正确的是()A.对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点B.存在实数k与θ,直线l和圆M相离C.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切D.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切14.若☉O:x2+y2=

5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长是.15.已知圆C:(x-a)2+(y-a+1)2=1,直线l:y=-x+2与x轴交于点A.若a=1,则直线l

截圆C所得弦的长度为;若过l上一点P作圆C的切线,切点为Q,且|PA|=2|PQ|,则实数a的取值范围是.16.已知点A(-2,0),B(2,0),若圆(x-a)2+(y-3)2=4上存在点P,使得∠APB=90°,则实数a的取值范围是.17.如图,台风中心从A地以20千米/时的速度向北偏东45°

方向移动,离台风中心不超过300千米的地区为危险区域.城市B在A地的正东400千米处.请建立恰当的平面直角坐标系,解决以下问题:(1)求台风中心移动路径所在的直线方程;(2)求城市B处于危险区域的时间是多少小时?三、探究创新18.如图,在平面直角坐

标系Oxy中,已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且|BC|=

|OA|,求直线l的方程;(3)设点T(t,0),在圆M上存在两点P,Q,使得����������+����������=�����������,求实数t的取值范围.19.已知圆O:x2+y2=9,点P为直线x+2y-9=0上一动点,过点P向圆O引两条切线PA,

PB,A,B为切点,则直线AB过定点()A.49,89B.29,49C.(1,2)D.(9,0)20.(多选)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称

为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,|AB|=|AC|=4,点B(-1,3),C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则下列说法正确的是()A.圆M上的点到直

线x-y+3=0的最小距离为22B.圆M上的点到直线x-y+3=0的最大距离为32C.若点(x,y)在圆M上,则x+3y的最小值为3-22D.若圆(x-a-1)2+(y-a)2=8与圆M有公共点,则a

的取值范围为[1-22,1+22]考点44椭圆一、基础巩固1.已知椭圆���24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|等于()A.72B.32C.3D.42.

已知F是椭圆C:���2���2+���2���2=1(a>b>0)的右焦点,过椭圆C的下顶点且斜率为34的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切,则椭圆C的离心率为()A.55B.12C.33D.2

23.已知F1,F2分别为椭圆E:���225+���29=1的左、右焦点,P为椭圆E上一点,直线l平分∠F1PF2的外角,过点F2作直线l的垂线,垂足为M,则|OM|=()A.10B.8C.5D.44.设F1,F2为椭圆���24+y2=1的左、右焦点,

过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2的面积最大时,������1������·������2������的值为()A.0B.2C.4D.-25.(多选)已知椭圆C:���2���2+���2���2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为

F1,F2,且|F1F2|=2,点P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是()A.|QF1|+|QP|的最小值为2a-1B.椭圆C的短轴长可能为2C.椭圆C的离心率的取值范围为0,5-12D.若������1������=���1���������,则椭圆C的长轴长

为5+176.设F1,F2为椭圆C:���2���2+���2���2=1(a>b>0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△F2AB是面积为43的等边三角形,则椭圆C的方程为.7.已知椭圆C1:���2���2+���2���2=1(a>b>0)与椭圆C2:���2���2+

���2���2=1(a>b>0)相交于A,B,C,D四点,若椭圆C1的一个焦点为F(-2,0),且四边形ABCD的面积为163,则椭圆C1的离心率e为.8.已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点(F1是圆心),点F2与点F1关于原点对称.线段PF

2的垂直平分线m与PF1交于点M.求点M的轨迹方程.9.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=32,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.二、综合应用10.已知椭圆C1:���2���2+��

�2���2=1的离心率为e1,双曲线C2:���2���2−���2���2=1的离心率为e2,其中,a>b>0,���1���2=33,直线l:x-y+3=0与椭圆C1相切,则椭圆C1的方程为()A.���22+y2=1B.���24+���22=1C.�

��26+���23=1D.���216+���28=111.(多选)设椭圆的方程为���22+���24=1,斜率为k的直线不经过原点O,且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点.下列说法正确的是()A.直线AB与OM垂直B.若点M的坐标

为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0C.若直线方程为y=x+1,则点M的坐标为13,43D.若直线方程为y=x+2,则|AB|=42312.(多选)设椭圆C:���24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的动点,则下列结论正确的是()A.离心率e=32B.

|������2������|的最大值为3C.△PF1F2的面积的最大值为23D.|������1������+������2������|的最小值为213.已知椭圆���2���2+���2���2=1(a>b>0)的离心率

为32,短轴长为2,点P为椭圆上任意一点,则1|������1|+4|������2|的最小值是.14.黄金椭圆是一条优美曲线,生活中许多椭圆形的物品,都是黄金椭圆,它完美绝伦,深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质:①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点;②长轴长、短轴

长、焦距依次组成等比数列.根据以上信息,黄金椭圆的离心率为.15.已知椭圆C:���2���2+���2���2=1(a>b>0)的左焦点为F,经过原点的直线与椭圆C交于A,B两点,总有∠AFB≥120°,

则椭圆C离心率的取值范围为.16.已知椭圆���2���2+���2���2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P-1,32为椭圆上一点,|F1F2|为|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的标准方程;(2)若A为椭圆的右

顶点,直线AP与y轴交于点H,过点H的另一直线与椭圆交于M,N两点,且S△HMA=6S△PHN,求直线MN的方程.17.如图,已知椭圆���212+y2=1.设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q(0,12)在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=

-12x+3于C,D两点.(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;(2)求|CD|的最小值.三、探究创新18.如图,把半椭圆:���2���2+���2���2=1(x≥0)和圆弧:(x-1)2+y2=a2(x<0)合成的曲线称为“曲圆”,其中点F(1,0)是半椭圆的右焦点,A1,A2,B1,B2分

别是“曲圆”与x轴、y轴的交点,已知∠B1FB2=120°,过点F的直线与“曲圆”交于P,Q两点,则△A1PQ的周长的取值范围是.考点45双曲线一、基础巩固1.设曲线C是双曲线,则“双曲线C的方程为x2-���24=1”是“

双曲线C的渐近线方程为y=±2x”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.在平面直角坐标系Oxy中,已知双曲线C:���2���2−���2���2=1(a>0,b>0)的离心率为

5,从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若△AFO的面积为1,则双曲线C的方程为()A.���22−���28=1B.���24-y2=1C.���24−���216=1D.x2-���24=13.已知离心率为52的

双曲线C:���2���2−���2���2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M为双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若���△���������2=16,则双曲线的实轴长是()A.32B.16

C.84D.44.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为双曲线C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则双曲线C的离心率为()A.72B.132C.7D.135.已知双曲线x2-���23=1的左、右焦点分别

为F1,F2,双曲线的离心率为e,若双曲线上存在一点P使sin∠������2���1sin∠������1���2=e,则���2���������·���2���1�������的值为()A.3B.2C.-3D.-26.已知F为双曲线C:���2���2−��

�2���2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为双曲线C右支上一点,且位于x轴上方,B为渐近线上一点,O为坐标原点.若四边形OFAB为菱形,则双曲线C的离心率e=()A.2B.3C.2D.2+17.若双曲线���2���2−���2���2=1(a>0,

b>0)的离心率为2,则此双曲线的渐近线方程为.8.如图,F1,F2是双曲线C:���2���2−���2���2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线与圆x2+y2=a2(a>0)相切,切点为T,且交双曲线的右支于点P,若2���1�

��������=����������,则双曲线C的离心率e=.9.分别求满足下列条件的方程:(1)焦点在x轴上,长轴长为10,焦距为4的椭圆的标准方程;(2)一个焦点为(-3,0),渐近线方程为y=2x的双曲线的标准方程.10.已知双曲线C的离心率为3,

且过点(3,0),过双曲线C的右焦点F2,作倾斜角为π3的直线交双曲线C于A,B两点,O为坐标原点.(1)求双曲线C的标准方程;(2)求△AOB的面积.二、综合应用11.(多选)设F1,F2分别是双曲线C:���2

���+���−���2���-���=1的左、右焦点,且|F1F2|=4,则下列结论正确的有()A.m=2B.当n=0时,双曲线C的离心率是2C.点F1到渐近线的距离随着n的增大而减小D.当n=1时,双曲线C的实轴长是虚轴长的2倍12.已知双曲线C:���

2���2−���2���2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为M,N,点P在双曲线C的渐近线上,������1������·������2������=0,∠MPN=60°,则双曲线C的渐近

线方程为()A.y=±22xB.y=±32xC.y=±2xD.y=±233x13.已知双曲线C1:���2���2−���2���2=1(a>0,b>0),圆C2:x2+y2-2ax+34a2=0,若双曲线C1的

一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,则双曲线C1的离心率的取值范围是()A.(1,233)B.(233,+∞)C.(1,2)D.(2,+∞)14.已知双曲线C的中心在原点,F(-2,0)是一个焦点,过F的直线l与双曲线C交于A,B两点,且AB

的中点为N(-3,-1),则双曲线C的方程为.15.已知以直线y=±3x为渐近线的双曲线D:���2���2−���2���2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若P为双曲线D右支上任意一点,则|������1|-|������2||������1|+|������

2|的取值范围是.16.设双曲线C:x2-���2���2=1(b>0)的右焦点为F,点Q(0,b),已知点P在双曲线C的左支上,若△PQF的周长的最小值为8,则双曲线C的离心率为,此时,点P的坐标为.17.某高校的人工智能兴趣小组策划开发一款“猫

捉老鼠”的游戏.如图,A,B两个信号源相距10米,O是AB的中点,过点O的直线l与直线AB的夹角为45°,机器猫在直线l上运动,机器鼠沿某一曲线运动,且始终有接收到点A的信号比接收到点B的信号晚8���0秒(注:信号每秒传播v0米).在时刻t0时,测得机器鼠距离点O为4米.(1)以O为

原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如图),求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标;(2)假设机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时,有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变,是否有“被抓”的风险?18.已知点A(2,

1)在双曲线C:���2���2−���2���2-1=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=22,求△PAQ的面积.三、探究创新19.已知一族双曲线En:x2-y2=���1020(n∈N*,且n≤1020),设直线x=2

与双曲线En在第一象限内的交点为An,点An在双曲线En的两条渐近线上的射影分别为Bn,Cn,记△AnBnCn的面积为an,则a1+a2+a3+…+a1020=.考点46抛物线一、基础巩固1.已知抛物线C:y=mx2(m>0)上的点A(a,2)到其准线的距离为4,则m=()A.14B.8C.

18D.42.已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有一个相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是()A.y2=±22xB.y2=±2xC.y2=±4xD.y2=±42x3.设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心,则|FA|+|FB|

+|FC|的值为()A.1B.2C.3D.44.过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹方程是()A.y2=12xB.y2=-12xC.x2=-12yD.x2=12y5.已知抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜率为33的直线l与抛物线在y轴

右侧的部分相交于点A,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为H,则△AHF的面积是()A.4B.33C.43D.86.已知直线l:y=kx-k(k∈R)与抛物线C:y2=4x及其准线分别交于M,N两点,F为抛物线C的焦点,若2���������

��=������������,则实数k等于()A.±33B.±1C.±3D.±27.(多选)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,点A在第一象限,点M(

p,0),若|AF|=|AM|,则()A.直线AB的斜率为26B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OBM<180°8.(2021北京,12)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N.若|MF|=6,则点M的横

坐标为;△MNF的面积为.9.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,点P为准线l上一点,且不在x轴上,直线PF交抛物线C于A,B两点,且�����������=3�����������,则|AB|=;设坐标原点为O,则△AOB的面积

为.10.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为k的直线l交抛物线C于A,B两点,且|AB|=8.(1)求l的方程;(2)若点A关于x轴的对称点为D,求证:直线BD过定点,并求出该点的坐标.二、综合应用11.如图所示,过抛物线y2

=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为()A.5B.6C.163D.20312.已知直线l:y=kx+1与抛物线C:x2=4y交于A,B两点,直线m:y=2kx+2与抛物线

D:x2=8y交于M,N两点,若对于任意k∈R,λ|AB|-|MN|为定值,则实数λ的值为()A.12B.8C.4D.213.(多选)已知抛物线x2=4y的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上两点,则下列说法正确的是()A.点F的坐标为(1,0)B

.若A,F,B三点共线,则�����������·�����������=-3C.若直线OA与OB的斜率之积为-14,则直线AB过点FD.若|AB|=6,则AB的中点到x轴的距离的最小值为214.已知直线l:y=kx+t与圆:x2+(y+1)2=1相切,且与抛物

线C:x2=4y交于不同的两点M,N,则实数t的取值范围是.15.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若�����������

=�����������+λ�����������,求λ的值.16.已知F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,过点F且倾斜角为π6的直线l1与抛物线E相交于A,B两点,且|AB|=12,过点F且斜率为3的直线l2与抛

物线E相交于C,D两点.(1)求抛物线E的方程;(2)若点A和C均在第一象限,求证:抛物线E的准线、直线AC和直线BD三线共点.三、探究创新17.已知抛物线x2=4y的焦点为F,过直线y=x-2上任一点引抛物

线的两条切线,切点为A,B,则点F到直线AB的距离()A.无最小值B.无最大值C.有最小值,最小值为1D.有最大值,最大值为5考点47直线与圆锥曲线一、基础巩固1.已知椭圆���236+���29=1以及椭圆

内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为()A.12B.-12C.2D.-22.若点O和点F分别为椭圆���24+���23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则�����������·����������的最大值为()A.2B.3C.6D.83.已知抛物线y2=2x的

焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,分别过点A,B作准线的垂线,垂足分别为C,D,且|CF|=2|DF|,则直线l的斜率为()A.2B.12C.43D.344.已知双曲线C:���22-y2=1,若直线l:y=kx+m(km≠0)与双曲线C的右支交于不

同的两点M,N,且点M,N都在以A(0,-1)为圆心的圆上,则m的取值范围是()A.(3,+∞)B.-13,0∪(3,+∞)C.(-∞,0)∪(3,+∞)D.-13,35.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与

抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),�����������=3�����������,过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G,则△ABG的面积为()A.839B.1639C.3239D.64396.已知过双曲线���2���2−���2��

�2=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为.7.设过抛物线y2=2px(p>0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y2=8px(p>

0)交于A,B两点,直线OP与抛物线y2=8px(p>0)的另一个交点为Q,则���△������������△���������=.8.已知双曲线与椭圆���29+���23=1有相同的焦点,且以x+2y=0为其一条渐近线,则双曲线方程为,过其右焦点且

长为4的弦有条.9.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点P(0,4)的动直线l与抛物线C交于A,B两点,当点F在直线l上时,直线l的斜率为-2.(1)求抛物线C的方程;(2)在线段AB上取点D,满足����������

�=λ�����������,�����������=λ�����������,证明:点D总在定直线上.能力提升10.设双曲线C:���2���2−���2���2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,双

曲线C的一条渐近线为l,以F为圆心的圆与l相交于M,N两点,MF⊥NF,O为坐标原点,������������=λ�����������(2≤λ≤5),则双曲线C的离心率的取值范围是()A.52,2B.52,133C.103,133D.103,

34511.(多选)已知B1,B2是椭圆���2���2+���2���2=1(a>b>0)短轴的两个端点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个结论正确的是()A.

直线PB1与PB2的斜率之积为定值-���2���2B.������1������·������2������>0C.△PB1B2的外接圆半径的最大值为���2+���22���D.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线12.研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线

的交点都在同一个圆上,这个圆叫作椭圆的蒙日圆.设椭圆C的焦点为F1,F2,P为椭圆C上的任意一点,R为椭圆C的蒙日圆的半径.若������1������·������2������的最小值为15R2,则椭圆C的离心率为()A.12B.22C.13D.3313.已知点M(-1,1)和抛

物线C:y2=4x,过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与抛物线C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=.14.已知m,n,s,t均为正实数,m+n=2,������+������=9,当s+t取最小值4

9时,m,n对应的点(m,n)是双曲线���24−���22=1一条弦的中点,则此弦所在的直线方程为.15.已知椭圆C的方程为���2���2+���2���2=1(a>b>0),右焦点为F(2,0),且离心率为63.(1)求椭圆C的方程;

(2)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切,证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=3.16.在平面直角坐标系中,点F1,F2分别为双曲线C:���2���2−���2���2=1(a>0,b>0)的左、右

焦点,双曲线C的离心率为2,点1,32在双曲线C上.不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称,且四边形PF1QF2的周长为42.(1)求动点P的轨迹方程;(2)在动点P的轨迹上有两个不同的点M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为G,已知点(x1,x2)在

圆x2+y2=2上,求|OG|·|MN|的最大值,并判断此时△OMN的形状.17.已知O为坐标原点,椭圆C:���2���2+���2���2=1(a>b>0)的离心率为32,双曲线���24-y2=1的渐近线与椭圆C的交点到原点的距离均为102.(1)求椭圆C的标准方程;(2)

若点D,M,N为椭圆C上的动点,M,O,N三点共线,直线DM,DN的斜率分别为k1,k2.①证明:k1k2=-14;②若k1+k2=0,设直线DM过点(0,m),直线DN过点(0,n),证明:m2+n2为定值.三、探究创新18.已知F1,

F2为椭圆E:���2���2+���2���2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P1,233在椭圆上,且过点F2的直线l交椭圆E于A,B两点,△AF1B的周长为43.(1)求椭圆E的方程;(2)我们知道抛物线有性质:“过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦AB满足|AF|+|BF

|=2���|AF|·|BF|.”那么对于椭圆E,是否存在实数λ,使得|AF2|+|BF2|=λ|AF2|·|BF2|成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.考点48分类加法计数原理与分步乘法计数原理

一、基础巩固1.十字路口来往的车辆,如果不允许掉头,那么行车路线共有()A.24种B.16种C.12种D.10种2.已知集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7,8,9},从集合A,B中各取一个数,能组成的没有重复数字的两位数的个数为()A.

52B.58C.64D.703.如图,给A,B,C,D,E5个点涂色,要求同一条线段的两个端点不能同色,现有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法种数为()A.24B.48C.96D.1204.某学校有东、南、西、北四个校门,学校对进入四个校门做出如下规定:学生只能

从东门或西门进入校园,教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和3名学生要进入校园(不分先后顺序),则进入校园的方式共有()A.6种B.12种C.24种D.32种5.已知集合M={1,-1,2},N={-3,4,6,

-8},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在平面直角坐标系中位于第一、第二象限内的不同点的个数为()A.18B.16C.14D.126.三边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数是.7.已知有5名同学参加某

演讲比赛,其中3名女生,2名男生.若男生不排第一个演讲,且2名男生不能相邻演讲,则不同的演讲顺序有种.8.在数字0,1,2,3,4,5,6中,任取3个不同的数字为系数a,b,c组成二次函数y=ax2+bx+c,则一共可以组成个不同的解析式.9.我们把中间位上的数字最大,而两边

依次减小的多位数称为“凸数”.如132,341等,则从1,2,3,4,5中任取3个数,可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是.10.如图,用4种不同的颜色给图中5个区域涂色,要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,且4种颜色都要使用,则不同的涂色方法种数为

.二、综合应用11.如图,现提供5种颜色给图中5个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方法共有()A.120种B.260种C.340种D.420种12.某校开设8门课程供学生

选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门.学校规定每名同学选修三门,则每名同学不同的选修方案种数为()A.30B.40C.90D.14013.用数字3,6,9组成四位数,各数位上的数字允许重复,且

数字3至多出现一次,则可以组成的四位数的个数为()A.81B.48C.36D.2414.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有

种.15.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然两位回文数有9个:11,22,33,…,99;三位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999,则五位回文数有个

.16.已知集合M={1,2,3},N={1,2,3,4},定义函数f:M→N.若点A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),△ABC的外接圆的圆心为D,且�����������+�����������=λ�����

������(λ∈R),则满足条件的函数有种.三、探究创新17.如图,某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动,准备在一抛物线形地块上的A,B,C,D,G,F,E七点处各种植一棵树苗,其中点A,B,C分别与点E,F,G关于抛物线的对称轴对称.现有三种树苗,要求每种树苗至少种植一棵,且

关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗,则不同的种植方法种数是.18.用6种不同的颜色给三棱柱ABC-DEF的六个顶点涂色,要求每个点涂一种颜色,且每条棱的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有种.考点49排列与组合

一、基础巩固1某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为()A.16B.18C.24D.322.现要将互不相同的5盆菊花摆成一排,其中2盆为白色,2盆为黄色,1盆为红色,要求红色菊花摆放在

正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,则不同的摆放方法有()A.120种B.2种C.24种D.16种3.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.724.某医院选出5名医生和4名护士支援某市的A,B,C三所医院,其中A

,B医院都至少需要1名医生和1名护士,C医院至少需要2名医生和2名护士,则不同的安排方法共有()A.2160种B.1920种C.960种D.600种5.在8张奖券中,有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4人,每人2张,不同的获奖情况有种.6.

将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通,每个路口至少一人,则甲、乙在同一路口的分配方案共有种.7.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有种.8.现要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言,若甲、乙都被选中,且他们发言中间恰好间隔一人

,则不同的发言顺序共有种.9.将标号为1,2,3,4,5的5个球放入3个不同的盒子中,每个盒子至少放入1个球,则一共有种放法.二、综合应用10.某投资商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目,每个项目只在一个城市中投资,且在同一个城市投资的项目不超过

2个,则该投资商不同的投资方案有()A.16种B.36种C.42种D.60种11.某日5名同学去食堂就餐,有米饭,花卷,包子和面条四种主食.每种主食均至少有一名同学选择,且每人只能选择其中一种.已知花卷的数量仅够一人食用,甲同学不喜欢吃米饭,则不同的食物搭配方案种数为(

)A.96B.120C.132D.24012.用0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,且能被3整除的三位数的个数是()A.20B.24C.36D.4013.某小区一号楼共有7层,每层只有1家住户,已知任意相邻两层楼的住户在同一天至多一家

有快递,且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递,则在同一天这7家住户有无快递的可能情况共有种.三、探究创新14.小明与3名男生、3名女生在排队购物,已知每名女生需2分钟,每名男生需1分钟,若小明(不排在首位)的前后不同时为女生,且他等待的时间不多于4分钟,则不同的排队

情况共有种.考点50二项式定理一、基础巩固1.(多选)下列关于(a-b)10的展开式的说法正确的是()A.展开式的二项式系数之和是1024B.展开式的第6项的二项式系数最大C.展开式的第5项或第7项的二项式系数最大D.展开式的第6项的系数最小2.设n为正整数,��

�-1������2���的展开式中存在常数项,则n的一个可能取值为()A.16B.10C.4D.23.若(1+3)4=a+b3(a,b为有理数),则a+b等于()A.36B.46C.34D.444.已知(1+x)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10,

若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈N*)是一个单调递增数列,则k的最大值是()A.5B.6C.7D.85.若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=()

A.1B.32C.81D.2436.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一,最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中出现,欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律,比杨辉要晚近四百年.如图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,记第2行的第3个

数字为a1,第3行的第3个数字为a2……第n(n≥2)行的第3个数字为an-1,则a1+a2+a3+…+a10=()A.220B.186C.120D.967.在2���-13���6的展开式中,有理项共有项,系数最小的项为.8.已知C���03n+C���13n-1+

C���23n-2+…+C������-13+C������=1024,则n=.9.(2021浙江,13)已知(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=,a2+a3+a4=.10.已知(x+1)6=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6

,则a4=.二、综合应用11.已知1+������2(1+x)6的展开式中各项系数的和为256,则该展开式中x3的系数为()A.26B.32C.38D.4412.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…

+a12x12,则a2+a4+…+a12=()A.256B.364C.296D.51313.在���+1������的展开式中,各项系数的和为128,把展开式中各项重新排列,则有理项都互不相邻的概率为()A.435B.34C.314D.11414.(多选)若(2x+1)10=a0+a1(x+1)+

a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,x∈R,则()A.a0=1B.ar=C10���210-r(-1)r,r=0,1,2,…,10C.a1+a2+…+a10=1D.(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=31015.9192除以100的余数

是.16.(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7+(1+x)8的展开式中x2的系数为.三、探究创新17.(多选)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,圆

柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现,于是留下遗言:他死后,墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为m,圆柱的表面积与球的表面积之比为

n,若f(x)=(������x3-1���)8,则()A.f(x)的展开式中的常数项是56B.f(x)的展开式中的各项系数之和为0C.f(x)的展开式中的二项式系数的最大值是70D.f(i)=-16,其中i为虚数单位考点51随机抽

样一、基础巩固1.下列调查中,调查方式选择最合理的是()A.调查某水库的水质情况,采用抽样调查B.调查一批飞机零件的合格情况,采用抽样调查C.检验一批进口罐装饮料的防腐剂含量,采用全面调查D.企业招聘人员,对应聘人员进行面试,采用抽样调查2.某中学有高中生3500人,初中生150

0人,为了解学生的学习情况,用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为()A.100B.150C.200D.2503.在样本的频率分布直方图中,共有5个小矩形,若中间一个小矩形的面积等于其余4个小矩形的面积之和的25,且样本容量为140,则中间

一组的频数为()A.10B.20C.40D.704.(多选)甲、乙两所学校高三年级分别有1200人、1000人,为了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况,采用分层随机抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩,成绩

都分布在区间[70,150]内,并作出如下频数分布统计表,规定考试成绩在区间[120,150]内为优秀,则下列说法正确的有()分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]甲校

频数3481515x32乙校频数12891010y3A.x=10,y=7B.估计甲校优秀率为25%,乙校优秀率为40%C.估计甲校和乙校的数学成绩的众数均为120D.估计乙校的平均数学成绩比甲校高5.为了估计某水池中鱼的数量,先从水池中捕出2000尾鱼,并给每尾鱼做上标记(不影响存

活),然后放回水池,经过适当的时间,再从水池中捕出500尾鱼,其中有标记的为40尾,根据上述数据估计该水池中鱼的数量为尾.6.某学校有高中学生500人,其中男生320人,女生180人,为了解全体高中学生身高的信息,按照分层随

机抽样原则抽取了男生32人,女生18人.通过计算得到男生身高样本均值为173.5cm,女生身高样本均值为163.83cm,则所有数据的样本平均值为.(保留两位小数)7.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从8~10岁、

11~12岁、13~14岁、15~16岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、x份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层随机抽取容量为300的样本,在各层中按比例分配样本,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,则在1

5~16岁学生问卷中抽取的问卷份数为.二、综合应用8.在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱多少衰出之,问各几何?”其译文为:今有甲持560钱,乙

持350钱,丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共100钱,要按照各人带钱多少的比例进行交税,问三人各应付多少税?则下列说法错误的是()A.甲应付5141109钱B.乙应付3224109钱C.丙应付1656109钱D.三人中甲付的钱最多,丙付的钱最少9.某公司员工对户外运动分别持“喜欢

”“不喜欢”和“一般”三种态度,其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多13人.按分层随机抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动,如果选出的员工中有6人对户外运动持“喜欢”态度,有2人对户外

运动持“不喜欢”态度,有3人对户外运动持“一般”态度,那么该公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的人数为()A.26B.39C.78D.1310.某工厂生产A,B,C三种产品的数量刚好构成一个公比为q(q≠1)的等比数列,现从全体产

品中按分层随机抽样的方法抽取一个容量为260的样本进行调查,其中C产品的数量为20,则抽取的A产品的数量为()A.100B.140C.180D.12011.某高中在校学生有2000人.为了响应“阳光体育运动”的号召,学校开展了跑步和登山的比赛活动.每人都参与

且只能参与其中一项比赛,各年级参与比赛的人数情况如下表所示.比赛活动高一年级高二年级高三年级跑步abc登山xyz其中a∶b∶c=2∶3∶5,全校参与登山的人数占总人数的25.为了解学生对本次活动的满意程度

,用分层随机抽样的方法从中抽取一个200人的样本进行调查,则从高二年级参与跑步的学生中抽取的人数为.12.在某校开展的一次有关某流行病毒的网络科普讲座中,高三年级有男生60人,女生40人参加.按分层随机抽样的方法,从

这100名学生中选出5人,则男生中选出人.再从这5人中选出2名学生作为联络人,则这2名联络人中,男、女生都有的概率为.三、探究创新13.某中学为了解学生年龄与身高的关系,采用分层随机抽样的方法分别从高一40

0名、高二300名、高三250名学生中共抽取19名学生进行调查,从高一、高二、高三抽取的学生人数分别为a,b,c,若圆A:(x-a)2+(y-b)2=c2与圆B:(x-m)2+(y-34m)2=25外切,则实数m的值为.考点52用样本估计总体一、基础巩固1.已知一组

数据分别为12,16,20,23,20,15,28,23,则这组数据的中位数是()A.19B.20C.21.5D.232.某城市某年12个月的PM2.5的平均浓度指数如图所示.由图判断,四个季度中PM2.5的平

均浓度指数方差最小的是()A.第一季度B.第二季度C.第三季度D.第四季度3.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部,统计其评分数据,将所得400个评分数据分为8组:[66,70),[70,74),…,[94,98],并整理得到如下的频率分布直方图,则评分在

区间[82,86)内的影视作品数量是()A.20B.40C.64D.804.下面是人数相同的四个班级某次考试成绩的频率分布直方图,其中方差最小的是()5.(多选)某篮球爱好者在一次篮球训练中,需进行五轮投篮,每轮投篮5次.统计各轮投进球的个数,获知其前四轮投中的个数分别为2,3,4,4,则第五轮

结束后,下列数字特征有可能出现的是()A.平均数为3,极差是3B.中位数是3,极差是3C.平均数为3,方差是0.8D.中位数是3,方差是0.566.(多选)对300名考生的数学竞赛成绩进行统计,得到的频率分布直

方图如图所示.则下列说法正确的是()A.a=0.01B.成绩落在[80,90)内的考生人数最多C.成绩的中位数大于80D.成绩的平均数落在[70,80)内7.某公司105名员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x105,其平均数和方差分别为3800和500,若从下月起每名员工的月工资增加

100元,则这105名员工下月工资的平均数为,方差为.8.从某企业生产的某种产品中抽取1000件,测量该种产品的一项质量指标值,由测量结果得到的频率分布直方图如图所示,假设这项指标值在[185,215)内为指标合格,则估计该企业生产的这种产品在这项指标上的合格率为.9.已知

一组数据为-1,x,4,0,15,6,且这组数据的平均数为5,那么这组数据的众数为,中位数为.10.甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件,为检验质量,从中各抽取6件,测得直径数据(单位:cm)如下:甲:991009810010

0103乙:9910010299100100(1)分别计算两组数据的极差、平均数及方差;(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定.二、综合应用11.(多选)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则

()A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差12.(多选)

某高中有学生500人,其中男生300人,女生200人,为了解全体学生的身高情况,按照分层随机抽样的原则抽取了容量为50的样本.经计算得到男生身高样本的均值为170cm,方差为17;女生身高样本的均值为160cm,方差为30.下列说法正确的是

()A.男生样本量为30B.每名女生入样的概率均为25C.所有样本的均值为166cmD.所有样本的方差为22.213.甲、乙两组数据如下表所示,其中a,b∈N*,若甲、乙两组数据的平均数相等,要使乙组数据的方差小于甲组数据的方差,则(a,b)为.甲124711乙12ab1014.某行业主

管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.增长率y的分组[-0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企

业数22453147(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01

)附:74≈8.602.三、探究创新15.已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼,为了估计这两种鱼的数量,养殖者从池塘中捕出这两种鱼共2000条,给每条鱼做上不影响其存活的标记,然后放回池塘,待完全混合后,再每次从池塘中随机地捕

出1000条鱼,记录下其中有记号的鱼的数量,立即放回池塘中.这样的记录做了10次,记录获取的数据如下:鲤鱼:60,72,72,76,80,80,88,88,92,92;鲫鱼:16,17,19,20,20,20,21,21,23,23.(1)

根据上述数据计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数量的平均数,并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的数量;(2)为了估计池塘中鱼的总质量,现按照(1)中的比例对100条鱼进行称重,根据称重,鱼的质量位于区间[0,4.5](单位:kg)上,将测量结果按如下方式分成九组:第一组[0

,0.5),第二组[0.5,1),…,第九组[4,4.5].按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示.①估计池塘中鱼的质量在3kg以上(含3kg)的条数;②若第三组鱼的条数比第二组多7条、第四组鱼的条数比第三组多7条,请将频

率分布直方图补充完整;③在②的条件下估计池塘中鱼的质量的众数及池塘中鱼的总质量.考点53成对数据的统计分析一、基础巩固1.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面

的散点图:由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+blnx2.某公司生产的某型号无人机以小巧轻便、高效机动、影像清晰、智能化、用途广等突出特

点,得到广大用户的青睐.该型号无人机近5年的年销售量数据统计如表所示.年份20182019202020212022年份代码x01234年销售量y/万件1015203035根据表中的数据,用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程

为���^=6.5x+t,则预测2024年该型号无人机的年销售量为()A.40万件B.41.5万件C.45万件D.48万件3.为了调查学生对网络课程的喜爱程度,研究人员随机调查了相同人数的男、女学生,发现有80%的男生

喜欢网络课程,有40%的女生不喜欢网络课程.若依据小概率值α=0.01的独立性检验,可以推断喜欢网络课程与性别有关;依据小概率值α=0.001的独立性检验,可以推断喜欢网络课程与性别无关,则被调查的男、女学生的总人数可能为()附:χ2=n(ad-bc

)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828A.130B.190C.240D.2504.(多选)已知成年儿子的身高y(单位:cm)与父

亲的身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法求得的经验回归方程为���^=0.84x+28.96,则下列说法正确的是()A.y与x正相关B.经验回归直线过点(x,y),其中x=x1+x2+…+xnn,y=y

1+y2+…+ynnC.若父亲身高为179cm,则儿子身高约为179.32cmD.若父亲身高为179cm,则儿子身高必为179.32cm5.已知变量x与y的部分数据如下:xx1x2…x8yy1y2…y8用最小二乘法得到y关于x的经验回归方程为���^=-2x+4.若数据x1,x2,…,x8的平

均数为1,则∑i=18yi=.6.对196名接受心脏搭桥手术的病人和196名接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究,调查他们是否又发作过心脏病,得到2×2列联表如表所示.手术心脏病合计又发作过心脏病未发作过心脏病心脏搭桥手术39157196血管清障手术29167196合计68324

392依据小概率值α=0.1的独立性检验,推断这两种手术对病人又发作心脏病的影响.(填“有差别”或“没有差别”)7.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了3月1日至3月5日每天的昼夜温差与实验室

每天每100颗种子浸泡后的发芽数,所得数据如表所示.日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日昼夜温差/℃101113128发芽数/颗2325302616(1)从3月1日至3月5日中任选2天,记发芽的种子

数分别为m,n,求事件“m,n均不小于25”的概率;(2)请根据3月2日至3月4日的三组数据,求出y关于x的经验回归方程���^=b^x+���^;(3)若由经验回归方程得到的估计数据与实际数据的差的绝对值均不超过2,则认为得到的经验回归方程

是可靠的,试用3月1日与3月5日的两组数据检验,判断(2)中所得的经验回归方程是否可靠.参考公式:���^=∑���=1���(������-���)(������-���)∑���=1���(������-���)2=∑���=1���������

������-���������∑���=1���������2-������2,���^=���−���^���.二、综合应用8.(多选)下列说法正确的是()A.成对样本数据的线性相关程度越强,样本相关系数r越接近1B.在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好C.若

y关于x的经验回归方程为���^=0.1x+10,则当x每增加1个单位时,y一定增加0.1个单位D.若根据两个分类变量的2×2列联表中的数据计算得χ2=13.079,则依据小概率值α=0.001的独立性检验,推断这两个变量有关

联正确的概率不低于99.9%9.某校团委对“学生性别和喜欢微电影是否有关”作了一次调查,其中女生人数是男生人数的13,男生喜欢微电影的人数占男生人数的16,女生喜欢微电影的人数占女生人数的23.若依据小概率值α=0.05的独立性检验,推断学生性别和喜

欢微电影有关,则男生至少有人.附:α0.050.010.001xα3.8416.63510.82810.某校为调查高中生在校参加体育活动的时间,随机抽取了100名高中学生进行调查,其中男生、女生各占一半,下面是根据调查结果

绘制的学生日均体育锻炼时间的频率分布直方图:将日均体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“良好”,已知“良好”评价中有18名女生.学生性别是否良好合计非良好良好男女合计(1)请将列联表补充完整;(2)试依据小概率值α=0.0

1的独立性检验,分析高中生的性别是否与喜欢体育锻炼有关.参考公式:χ2=���(������-������)2(���+���)(���+���)(���+���)(���+���),n=a+b+c+d.χ2独立性检验中常用的小概率值和相

应的临界值:α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82811.某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加,为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样

区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得∑���=120xi=60,∑���=120yi=1200,∑���=120(xi-���)2=80,∑���

=120(yi-���)2=9000,∑���=120(xi-���)·(yi-���)=800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)

的相关系数(精确到0.01);(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法.并说明理由.附:样本相关系数r=∑���=1���(������-���)(������-���)∑���=1

���(������-���)2∑���=1���(������-���)2,2≈1.414.三、探究创新12.某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层随机抽样的方法从中抽取了100名工人,先统

计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到的频率分布直方图如图所示.25周岁以上(含25周岁

)组25周岁以下组(1)从样本中日平均生产件数不足60的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;(2)规定日平均生产件数不少于80者为“生产能手”,请你根据已知条件作出2×2列联表,依据小概率值α=0.1的独立性检验,能否推断生产能手与工人所在的年龄组有关

?考点54随机事件与概率、事件的相互独立性一、基础巩固1.从装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,则互斥而不对立的事件是()A.至少有1个黑球与都是黑球B.至少有1个黑球与都是红球C.至少有1个黑球与至少有1个红球D.恰有1个黑球与恰有2个黑球2.甲、乙两人下棋,

若两人下成和棋的概率是12,甲获胜的概率是13,则甲不输的概率为()A.56B.25C.16D.133.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,检测结果的频率分布直方图如图所示.根据标准,产品长度在区间[20,25)内的为一等品,在区间[15,2

0)和区间[25,30)内的为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为()A.0.09B.0.20C.0.25D.0.454.已知甲、乙、丙、丁四人进行围棋比赛,比赛流程如图所示

,根据以往经验,甲战胜乙、丙、丁的概率分别为0.8,0.4,0.6,丙战胜丁的概率为0.5,并且比赛没有和棋,则甲获得最后冠军的概率为()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.35.一只袋子中装有除颜色外其他完全相同的7个红玻璃球,3个绿玻

璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取1个,取得2个红球的概率为715,取得2个绿球的概率为115,则取得两个同颜色的球的概率为;至少取得1个红球的概率为.6.某工厂生产了一批产品,这批产品按质量分为一等品,二等品,三等品.从这批产品中随机抽取一件产品检测,已知抽到不是三等品的概率为0.93

,抽到一等品或三等品的概率为0.85,则抽到一等品的概率为.7.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上的销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,统计结果如图所示:(1)估计

甲品牌产品寿命小于200h的概率;(2)在这两种品牌产品中,某个产品已使用了200h,试估计该产品是甲品牌的概率.8.袋中有除颜色外其他完全相同的12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是13,得到黑球或黄球的

概率是512,得到黄球或绿球的概率也是512,则得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少?二、综合应用9.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p1,乙解决这个问题的概率是p2,则恰好有1人解决这个问题的概率是()

A.p1p2B.p1(1-p2)+p2(1-p1)C.1-p1p2D.1-(1-p1)(1-p2)10.某中学根据学生的兴趣爱好,分别创建了“书法”“诗词”“理学”三个社团,根据资料统计,新生是否选择参加这三个社团相互独立.某新生入学,假设他选择参加该校的“书法”“诗词”“

理学”三个社团的概率依次为m,13,n,已知他三个社团都选择参加的概率为124,都选择不参加的概率为14,且m>n.(1)求m与n的值;(2)该校根据三个社团的活动安排情况,对参加“书法”社团的同学增加校本选修学分1分,对参加“诗词”社团的同学增加校本选修学分2分,对参加“理学”社团的同学增

加校本选修学分3分.求该新生在社团方面获得校本选修学分不低于4分的概率.11.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被

淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求

丙最终获胜的概率.三、探究创新12.已知三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为12,34,34,将它们中某两个元件并联后再与第三个元件串联接入电路.(1)如图,求该电路不发生故障的概率;(2)按要求如何将三个元件接入

电路,才能使电路不发生故障的概率最大?请说明理由.考点55古典概型、条件概率与全概率公式一、基础巩固1.某市气象监测资料表明,清明节当天下雨的概率为0.9,清明节当天及随后一天都下雨的概率为0.63.若该市某年清明节当天下雨,则随后一天也下雨的概率为()A.0.

63B.0.7C.0.9D.0.5672.将三枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A=“三个点数都不同”,B=“至少出现一个3点”,则概率P(A|B),P(B|A)分别是()A.6091,12B.12,6091C.518,6091D.91216,123.已知P(A)=0.

6,P(B)=0.5,P(A|B)=0.3,则P(B|A)=()A.0.25B.0.5C.0.75D.0.1254.纹样是中国传统文化艺术,小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣,他收集了9枚不同的纹样徽章

,其中4枚凤纹徽章,5枚龙纹徽章.小楠从9枚徽章中任取3枚,则其中至少有1枚凤纹徽章的概率为()A.34B.3742C.2137D.5425.从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为.6.已知一批

零件是由甲、乙、丙三名工人生产的,三人生产的产品分别占总产量的20%,40%,40%.已知三人生产产品的次品率分别为5%,4%,3%,现从这批零件中任取一个零件,则它是次品的概率为.7.某海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种

商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中抽取6件商品进行检测.地区ABC数量/件50150100(1)求分别从A,B,C三个地区的商品中抽取的商品数量;(2)若从这6件商品中

随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.8.已知某人从外地赶来参加会议.他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是310,15,110,25,若他乘飞机来,则不会迟到;而乘火车、轮船或汽车来,迟到的概率分别为14,13,112.已知此人迟到,请推断他

乘哪种交通工具来的可能性最大.二、综合应用9.已知a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)内单调递增的概率是()A.512B.13C.14D.1610.为

了解学生的体重状况,某校随机抽取了一批学生测量体重,经统计,这批学生的体重数据(单位:千克)全部介于45至70之间.将数据分成5组,并得到频率分布直方图如图所示.现采用分层随机抽样的方法,从[55,6

0),[60,65),[65,70]这三个区间中随机抽取6名学生,再从这6名学生中随机抽取3人,则这3人中恰有2人体重位于区间[55,60)的概率是()A.815B.920C.35D.91011.已知袋中有大小、质地相同的4个黑球,3个白球.现掷一枚均匀的骰子,掷出几点就从袋中取出几个球.若取

出的球全是白球,则掷出2点的概率为()A.23B.14C.521D.52312.已知甲箱产品中有5个正品和3个次品,乙箱产品中有4个正品和3个次品.(1)从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率;(2

)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,再从乙箱中任取1个产品,求取出的这个产品是正品的概率.13.某种仪器由三个部件组装而成.假设各部件质量互不影响,它们的优质品率分别为0.8,0.7,0.9.如果三

个部件都是优质品,那么组装后的仪器一定合格;如果有一个部件不是优质品,那么组装后仪器的不合格率为0.2;如果有两个部件不是优质品,那么组装后仪器的不合格率为0.6;如果三个部件都不是优质品,那么组装后仪器的不合格率为0.9.(1)求仪器的不合格率;(2)

若已发现一台仪器不合格,则它有几个部件不是优质品的概率最大?三、探究创新14.甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0

.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签决定第一次投篮的人选,第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第i次投篮的人是甲的概率;(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E

(∑���=1���Xi)=∑i=1nqi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).考点56离散型随机变量及其分布列一、基础巩固1.已知随机变量X的分布列为X12345678910P23232233234235236237238239m则P(X=10)

等于()A.239B.2310C.139D.13102.已知随机变量X的分布列为X-101Pabc其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)等于()A.13B.14C.12D.233.设随机变量X等可能取值1,2,3,4,…,n,如果P(X<4)=0.3,那么n的值为()A

.3B.4C.10D.不能确定4.若随机变量X的分布列为P(X=n)=������(���+1)(n=1,2,3,4),则P12<X<52的值为()A.23B.34C.45D.565.同时抛掷3枚质地均匀的骰子,设出现6点

的骰子个数为X,则P(X<2)=.6.由于电脑故障,导致随机变量X的分布列中部分数据丢失,用□代替.已知X的分布列为X123456P0.20.10.□50.10.1□0.2则X取奇数值时的概率是.7.

已知4本笔记本的标价分别为10元、20元、30元、40元.(1)从中任取1本,求其标价X的分布列;(2)从中任取2本,若以Y表示取到的笔记本的最高标价,求Y的分布列.8.在一次购物抽奖活动中,假设某10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖奖券3张

,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖.某顾客从这10张奖券中任意抽2张.(1)求该顾客中奖的概率;(2)设该顾客获得的奖品总价值为X,求X的分布列,并求P(5≤X≤25).二、综合应用9.已知随机变量X的分布列为X012Pabc其中a,b,c成等差数列,则

函数f(x)=x2+2x+X有且只有一个零点的概率为()A.16B.13C.12D.5610.若随机变量X的分布列为X012P13ab则a2+b2的最小值为.11.某科研人员为研究对某病毒有效的疫苗,通过小鼠进行毒性和药效预实验.

已知5只小鼠中有1只患有这种病毒引起的疾病,需要通过化验血液来确定患病的小鼠.血液化验结果呈阳性的为患病小鼠,呈阴性的为未患病小鼠.下面是两种化验方案:方案甲:逐个化验,直到能确定患病小鼠为止.方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果

呈阳性,则表明患病的为这3只中的1只,再逐个化验,直到能确定患病小鼠为止;若结果呈阴性,则在另外2只中任取1只化验.分别求方案甲化验次数X的分布列和方案乙化验次数Y的分布列.三、探究创新12.甲、乙两人掷硬币,甲将一枚质地均匀的

硬币掷3次,记下正面朝上的次数为X;乙将一枚质地均匀的硬币掷2次,记下正面朝上的次数为Y.(1)求X,Y的分布列.(2)现规定:若X>Y,则甲胜;若X≤Y,则乙胜.你认为这种规定合理吗?为什么?13.甲、乙两人进行围棋

比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列.考点57离散型随机变量的数字特征

一、基础巩固1.若离散型随机变量X的分布列为X01Pa2a22则E(X)等于()A.2B.2或12C.12D.12.现有一个项目,对该项目投资10万元,一年后的利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16,12

,13.设对该项目投资10万元,一年后的利润为X(单位:万元),则X的均值为()A.1.18B.3.55C.1.23D.2.383.(多选)袋内有除颜色外其他完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个球,直到取出白球后停止,则()A.取2次后停止的概率为35B.停止取球时,取出

的白球个数不少于黑球个数的概率为910C.取球次数X的均值为2D.取球次数X的方差为9204.(多选)若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=13,则下列结论正确的是()A.E(X)=23B.E(3X+2)=4C.D(3X+2)=4D.D(X)=495.某公司有5万元资金用于投资某开发项

目,若成功,则一年后可获利12%;若失败,则一年后将损失全部资金的50%.统计过去200例类似投资项目的结果如表所示.投资成功投资失败192例8例则估计该公司投资该项目一年后可获收益的均值为元.6.已知离散型随机变量X满足

P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,x1<x2,E(X)=49,D(X)=2,则x1+x2=.7.某袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球,全为黑球的概率为110,则黑球的个数为;若记取出的3

个球中黑球的个数为X,则D(X)=.8.空气质量指数(AirQualityIndex,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数.环保部门记录了某地区7天的空气质量指数,其中,有4天空气质量为优,有2天空气质量为良,有1天空

气质量为轻度污染.现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究,则抽取的3天中至少有1天空气质量为良的概率为;记X表示抽取的3天中空气质量为优的天数,则随机变量X的均值为.9.现有甲、乙两个项目,对甲、乙两个项目分别投资20万元,

甲项目一年后利润是1万元、2万元、4万元的概率分别是12,13,16;乙项目的利润随乙项目的价格变化而变化,乙项目在一年内,价格最多可进行两次调整,每次调整的概率为p(0<p<1),设乙项目一年内价格调整次数为X,当X取0,1,2时,一年后利润分

别是3万元、2万元、1万元.设Y1,Y2分别表示对甲、乙两个项目各投资20万元一年后的利润.(1)写出Y1,Y2的概率分布列和均值;(2)当E(Y1)>E(Y2)时,求p的取值范围.10.某企业计划在某地建立饮品基地进行饮品A,B,C的研发.(1)在对三种饮品市场投放的前期调研

中,对100名试饮人员进行抽样调查,得到对三种饮品选择情况的条形图.若饮品A每件的利润为4元,饮品B每件的利润为3元,饮品C每件的利润为7元,请估计三种饮品每件的平均利润.(2)为进一步提高企业利润,企业决定对

饮品C进行加工工艺的改进和饮品D的研发.已知工艺改进成功的概率为45,新饮品研发成功的概率为13,且工艺改进与饮品研发相互独立.①求工艺改进和新饮品研发恰有一项成功的概率;②若工艺改进成功,则企业可获利80万元,否则亏损30万元;若饮品研发成功,则企业可获利150万元,否则亏损70万元.

求该企业获利X的均值.二、综合应用11.某大学对该校参加了某博览会的志愿者实施“社会教育实践”学分考核,因该批志愿者表现良好,该大学决定考核只有合格和优秀两个等次,已知某志愿者考核为合格,授予0.5个学分;考核为优秀,授予1个学分.假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45

,23,23,他们考核所得的等次相互独立.(1)求在这次考核中,甲、乙、丙三名志愿者中至少有一名考核为优秀的概率;(2)记这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X,求随机变量X的分布列和均值E(X).12.某环保机器制造

商对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案.方案一:交纳延保金5000元,在延保的5年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费1000元;方案二:交纳延保金6230元,在延保的5年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费t(1000≤t≤200

0)元.该制造商搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内的维修次数,统计得到下表.维修次数0123机器台数20408060以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率,记X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数.(1)求X的分布列;(2)以所需延保

金与维修费用之和的均值为决策依据,为使选择方案二对客户更合算,应把t定在什么范围?三、探究创新13.某学校为鼓励家校互动,与某手机通信商合作,为教师办理流量套餐.为了解该校教师手机流量使用情况,通过抽样,得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L(单位:G)的数据,其频

率分布直方图如下:若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量,并将频率视为概率,回答以下问题.(1)从该校教师中随机抽取3人,求这3人中至多有1人手机月使用流量不超过3G的概率;(2)现该通信商推出三款流量套餐,详情如下:套餐名称月套餐费/元月套餐流量/G

A203B305C387这三款套餐都有如下附加条款:套餐费月初一次性收取,手机使用流量一旦超出套餐流量,系统就自动帮用户充值2G流量,资费20元;如果又超出充值流量,那么系统就再次自动帮用户充值2G流量,资费20元,以此类推.如果当月流量有剩余,那么系统将自动清零,无法转入次月使用.学

校欲订购其中一款流量套餐,为教师支付月套餐费,并承担系统自动充值的流量资费的75%,其余部分由教师个人承担,则学校订购哪一款套餐最经济?说明理由.考点58二项分布与超几何分布一、基础巩固1.若每次测量中出现正误差的概率都是12

,则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是()A.516B.25C.58D.1322.已知一批产品共10件,次品率为20%,从中任取2件,则恰好取到1件次品的概率为()A.2845B.1145C.1745D.16453.设随机变量X~B6,12

,则P(X≤3)等于()A.1132B.732C.2132D.7644.(多选)在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是()A.2件都是一等品的概率为13B.2件中有1件是次品的概率为12C.2件都是正品的概

率为13D.2件中至少有1件是一等品的概率为565.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的,如图,每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子,上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间,从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的小球,小球向下降落的过程中,首先碰

到最上面的钉子,碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下,于是又碰到下一层钉子,如此继续下去,直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个小球,则其落在第③个格子的概率为()A.1128B.7128C.21128D.351286.现有7人,其中有4人睡眠不足,3人睡眠充

足,先从这7人中随机抽取3人作进一步的身体检查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的人数,则随机变量X的均值为;设事件A为“抽取的3人中,既有睡眠充足的,也有睡眠不足的”,则事件A发生的概率为.7.在等差数列{an}中,a4=2,a7=-4.如果从{an}的前10项中随机取数,每次

取出一个数后放回,连续取3次,且每次取数互不影响,那么在这3次取数中,取出的数恰好为两个非负数和一个负数的概率为.8.某高校设计了一个实验学科的考核方案:考生从8道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定至少正确完成其中2道题的便可提交通过.已知在8道备选题中,考生

甲有6道题能正确完成,2道题不能完成;考生乙每道题能正确完成的概率都是34,且每道题正确完成与否互不影响.(1)分别写出甲、乙两名考生正确完成题数的分布列,并计算均值;(2)试从两名考生正确完成题数的均值及至少正确完成2道题的概率分析比较两名考生的实验操作

能力.9.袋子中装有10个除颜色外其他完全相同的小球,其中黑球有3个,白球有n(2≤n≤5,且n≠3)个,其余的球为红球.(1)当n=5时,从袋中任取1个球,记下颜色后放回,连续取三次,求三次取出的球中恰有2个红球的

概率;(2)从袋中一次性任意取出2个球,若这2个球颜色相同的概率为415,求红球的个数;(3)在(2)的条件下,从袋中一次性任意取出2个球.若取出1个白球记1分,取出1个黑球记2分,取出1个红球记3分.用X表示取出的2

个球所得分数的和,写出X的分布列,并求X的均值E(X).二、综合应用10.(多选)掷一枚不均匀的硬币6次,每次掷出正面的概率均为23,恰好出现k次正面的概率记为Pk,则下列说法正确的是()A.P1=P5B.P1<P5C.∑���=16Pk=1D.P0,P1,P2,…,P6中P4最大11.现有

一项掷骰子放球游戏,规定:掷出1点,甲盒中放一球,掷出2点或3点,乙盒中放一球,掷出4点、5点或6点,丙盒中放一球,共掷6次,用X,Y,Z分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数.令M=X+Y,则E(M)=.12.假设人们对某种特别的花粉过敏的概率为0.25,现检测

20名大学生是否对这种花粉过敏.(1)求恰好有2人过敏的概率及至少有2人过敏的概率.(2)要使样本中至少检测到1人过敏的概率大于0.999,则至少要检测多少人?(3)若检测后发现20名大学生中过敏的不到2人,这说明了什么?试分析原因.附:0.7518≈0.0056,0.

7519≈0.0042,0.7520≈0.0032,lg0.75≈-0.1249.三、探究创新13.某校的大一学生在军训结束前,需要进行各项过关测试,其中射击过关测试规定:每名测试的大学生最多有两次射击机会,第一次射击

击中靶标,立即停止射击,射击测试过关,得5分;第一次未击中靶标,继续进行第二次射击,若击中靶标,则射击测试过关,得4分;若未击中靶标,则射击测试未能过关,得2分.现有一个班组的12名大学生进行射击过关测试,假设每名大学生两次射击击中靶标的概率分别

为m,0.5,每名大学生射击测试过关的概率为p.(1)用m表示p;(2)设该班组中恰有9人通过射击过关测试的概率为f(p),求当f(p)取最大值时p和m的值;(3)在(2)的结果下,求该班组中一名大学生射击过关测试所得分数的均值.14.随着网络信息化的高速发展,越来越多的大中小企业选择

做网络推广,为了适应时代的发展,某企业引进一种通信系统,该系统根据部件组成不同,分为系统A和系统B,其中系统A由5个部件组成,系统B由3个部件组成,每个部件独立工作且能正常运行的概率均为p(0<p<1),

若组成系统的部件中有一半以上能正常运行,则称系统是“有效”的.已知系统A与系统B“有效”的概率相等.(1)试求p的值;(2)不能正常运行的部件称为坏部件,在某一次检测中,企业对所有坏部件都要进行维修,系统A中每个坏部件的维修费用均为100元,系统B中第n个坏部

件的维修费用y(单位:元)满足关系y=50n+150(n=1,2,3),记企业支付系统A和系统B的维修费用分别为X元、Y元,求X,Y的分布列及均值.考点59正态分布一、基础巩固1.已知随机变量X服从正态分布N(1,0.16),则下列结论不正确的是()A.E

(X)=1B.D(X)=0.4C.P(X>1)=0.5D.D(X)=0.162.(多选)甲、乙两名高中同学历次数学测试的成绩(百分制)分别服从正态分布N(μ1,���12),N(μ2,���22),其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法正确的是

()附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827.A.乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩B.甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩C.甲同学的成绩比乙同学的成绩更集

中于平均值附近D.若σ1=5,则随机抽取一次,甲同学的成绩高于80的概率约为0.158653.(多选)4月23日为世界读书日,已知某高校学生每周阅读时间X(单位:h)服从正态分布N(9,4),则下列说法正确的是()附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68

27,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.A.该校学生每周平均阅读时间为9hB.该校学生每周阅读时间的标准差为4C.该校学生每周阅读时间不超过3h的人数约占该校学生总人数的0.3%D.若该校有10000名学

生,则每周阅读时间在3~5h的人数约为2144.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(X>-1)+P(X≥5)=1,则μ=()A.-1B.1C.-2D.25.已知某大型企业为10000名员工定制工作服,设员工的身高X(单位:cm)服从正态

分布N(172,52),则适合身高在177~182cm的员工的工作服大约要定制套.6.某高速公路收费站有三个高速收费口,每天通过每个收费口的汽车数X(单位:辆)均服从正态分布N(600,σ2),若P(500≤X≤700)=35,三个收费口均能正常工作,且互不影响,则该收费站每天至少有一个收费口通过

的汽车超过700辆的概率为.7.某市教育局为了解高三学生的体育达标情况,对全市高三学生进行了体能测试(满分为100分).经分析,全市高三学生体能测试成绩X服从正态分布N(80,σ2).已知P(X<75)=0.3,P(X>95)=0.1,现从该市高三学生中随机抽取三名

学生.(1)求抽到的三名学生该次体能测试成绩在区间(80,85),(85,95),(95,100)内各有一人的概率;(2)记抽到的三名学生该次体能测试成绩在区间(75,85)内的人数为Y,求随机变量Y的分布列和均值.二、综

合应用8.(多选)某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高X(单位:cm)服从正态分布,其概率分布密度函数为f(x)=1102πe-(���-100)2200,则下列说法正确的是()A.该地水稻的平均

株高为100cmB.该地水稻株高的方差为10C.随机测量一株水稻,其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大D.随机测量一株水稻,其株高在区间(80,90)和(100,110)的概率相等9.在某次数学摸底考试中,学生的成绩X近

似服从正态分布N(100,σ2),若P(X>120)=a,P(80<X<100)=b,直线l:ax+by+12=0与圆C:x2+y2=2相切,则直线l的方程为.10.某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器,每台仪器的某一部件由三

个电子元件连接而成,连接方式如图所示.若元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则该部件正常工作.由大数据统计显示:三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(10000,102),且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000

台,检测该部件的工作情况(各部件能否正常工作相互独立),则这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的均值为台.11.为深入学习党的二十大精神,某学校团委组织了“青春向党百年路,奋进学习二十大”知识竞赛活动,并从中抽取了200份试卷进行调查,这200份试卷的成绩(卷面

共100分)频率分布直方图如图所示.(1)用样本估计总体,求此次知识竞赛的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(2)可以认为这次竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ,σ2)(用样本平均数和标准差s分别作为μ,σ的近似值).已知样本标准差s≈7.36,若有84.14%的学生的

竞赛成绩不低于学校期望的平均分,则学校期望的平均分约为多少(结果取整数)?(3)从[80,100]的试卷中用分层随机抽样的方法抽取10份试卷,再从这10份样本中随机抽测i(1≤i≤6)份试卷(抽测的份数

是随机的),若已知抽测的i份试卷都不低于90分,求抽测3份的概率.参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.三、探究创新12.某人每天都会购买一个面包,面包师声称自己出售的

每个面包的质量(单位:g)服从均值为1000,标准差为50的正态分布.(1)假设面包师的说法是真实的,从面包师出售的面包中任取两个,记取出的两个面包中质量大于1000g的个数为X,求X的分布列和均值;(2)为判断

面包师有没有撒谎,他每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到数据如表,经计算,25个面包的总质量为24468g.购买的25个面包质量的统计数据(单位:g):98197296699210101008954

9529699789891001100695795296998198495295998710061000977966尽管上述数据都落在区间(950,1050)内,但他还是认为面包师撒谎.根据所附信息,从概率角度说明理由.附:①若X~N(μ,σ2),从X的取

值中随机抽取25个数据,记这25个数据的平均值为Y,则Y~N���,���225;②若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈

0.9973;③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件.参考答案考点1参考答案1.BD由题意,知集合A与集合B互相没有包含关系,故A错误;A∩B={3},故B正确;A∪B={2,3,4,5},故C错误;∁UA={1,5},故D正确.2.A∵m≠m+

1,∴m=m2,∴m=0或1,根据集合中元素的互异性,m≠1,∴m=0.3.A因为B={x∈N|x2-3x<0},所以B={1,2},所以A∪B={1,2,3}.4.A由题得A={x∈Z|x2≤4}={

-2,-1,0,1,2},因为B={1,2,a},且A∪B=A,所以实数a的取值集合为{-2,-1,0}.5.B由集合M中不等式得x(x-2)<0,解得0<x<2,即M=(0,2),又N={-2,-1,0,1,2},故M∩N={1},故选B.6.C由已知,得x=2,y=3;x=3,y=2;

x=3,y=3满足题意,所以B={(2,3),(3,2),(3,3)},集合B中有3个元素,故真子集有23-1=7(个).7.C满足x,y∈N*,y≥x,且x+y=8的元素(x,y)有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4个,故A∩B中元

素的个数为4.8.A∵A={x|x=3k+1,k∈Z},B={x|x=3k+2,k∈Z},∴A∪B={x|x=3k+1或x=3k+2,k∈Z},又U为整数集,∴∁U(A∪B)={x|x=3k,k∈Z}.9.A∵A∩

B={2},∴2∈B,∴22-5×2+m=0,解得m=6,∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3},经检验可知满足题意.10.C当n=2k,k∈Z时,S1={s|s=4k+1,k∈Z}=T;当n=2k+1,k∈Z时,S2={s|s=4k+3,k∈Z},又S=S1∪S2,所以T⫋S,故S∩T=

T.11.D因为A={y|y=2x}={y|y>0},B={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},所以A∩B={x|1≤x≤2}≠⌀,故选项A不正确;A∪B={y|y>0}≠R,故选项B不正确;根据子集的定义有B⊆A,故选项C不正确,D正确.12.D由于A={x|y=lg(6-x)}

={x|x<6},B={x|2x>1}={x|x>0},则阴影部分表示的集合是(∁UB)∩A=(-∞,0]∩(-∞,6)=(-∞,0].13.ABCA={x∈R|-3<x<6},若A=B,则a=-3,且a2-27=-18,故A正确;当a=-

3时,A=B,故D不正确;若A⊆B,则(-3)2+a·(-3)+a2-27≤0且62+6a+a2-27≤0,解得a=-3,故B正确;当B=⌀时,a2-4(a2-27)≤0,解得a≤-6或a≥6,故C正确.

14.C因为集合A={x|3x-1<m},而1∈A,且2∉A,所以3×1-1<m,且3×2-1≥m,解得2<m≤5.15.C设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x.由Venn图可知,82%-x+60%=96%,解得x=46%,故选C.16.A因为P={y|y2-y-2>0}={y|y>2,

或y<-1},由P∪Q=R及P∩Q=(2,3],得Q=[-1,3],所以-a=-1+3,b=-1×3,即a=-2,b=-3,a+b=-5.17.D依题意可得x(1-x+a)>0.因为其解集为{x|-1≤

x≤1}的子集,所以当a≠-1时,0<1+a≤1或-1≤1+a<0,即-1<a≤0或-2≤a<-1.当a=-1时,x(1-x+a)>0的解集为空集,符合题意.所以-2≤a≤0.18.{a2,a3}假设a1∈A,则a

2∈A,由若a3∉A,则a2∉A可知,a3∈A,故假设不成立;假设a4∈A,则a3∉A,a2∉A,a1∉A,故假设不成立.故集合A={a2,a3}.考点2参考答案1.D改变量词,并且否定结论.2.B根据诗的含义可知“攻破

楼兰”不一定“返回家乡”,但“返回家乡”的前提必须是“攻破楼兰”.3.A由|x-2|<1,可得1<x<3,即x∈(1,3).由x2+x-2=(x-1)(x+2)>0,可得x<-2或x>1,即x∈(-∞,-2)∪(1,+∞).因为(1,3)是(-∞,-2)∪(1,+∞)的真

子集,所以“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分不必要条件.4.BC解不等式x2<1,可得-1<x<1,由于{x|-1<x<1}⫋{x|x<1},{x|-1<x<1}⫌{x|0<x<1},{x|-1<

x<1}⫌{x|-1<x<0},因此,是x2<1成立的一个充分不必要条件的有0<x<1,-1<x<0.5.AC由题意可知,符合题意的命题为存在量词命题且为假命题.选项A中,命题为存在量词命题,x2-x+14=(x-12)2≥0

,所以命题为假命题,所以选项A满足题意;选项B中,命题是全称量词命题,所以选项B不满足题意;选项C中,命题为存在量词命题,在方程x2+2x+2=0中,Δ=4-4×2<0,即方程无实数根,所以命题为假命题,所以选项C满足题意;选项D中,当x=-1时,命题成立.所

以命题为存在量词命题且是真命题,所以选项D不满足题意.6.A“a=2”⇒“函数f(x)=x2-2ax-3在区间[2,+∞)内单调递增”,但反之不成立.7.C若x3<x4,则x<0或x>1,故命题p为假命题;若sinx-cosx=2sin���-π4=-2,则x-π4

=3π2+2kπ(k∈Z),即x=7π4+2kπ(k∈Z),故命题q为真命题.8.1由题意知m≥(tanx)max,∵x∈0,π4,∴tanx∈[0,1],∴m≥1.故m的最小值为1.9.[1,2]由(x-a)2<1得a-1<x<a+1,因为“1<x<2”是“不

等式(x-a)2<1成立”的充分不必要条件,所以满足���-1≤1,���+1≥2,且等号不能同时取得,即���≤2,���≥1,解得1≤a≤2.10.B由条件可知,当m,n,l在同一平面内时,三条直线不一定两两相

交,有可能两条直线平行;或三条直线平行;反过来,当空间中不过同一点的三条直线m,n,l两两相交时,如图,三个不同的交点确定一个平面,则m,n,l在同一平面内,所以“m,n,l共面”是“m,n,l两两相交”的必要不充分条件.故选B.11.D选项A中,命题的否定是“∀x∈R,x2

+2x+2>0”.由于x2+2x+2=(x+1)2+1>0对∀x∈R恒成立,故为真命题;选项B,C中的命题都是假命题,故其否定都为真命题;而选项D中的命题是真命题,故其否定为假命题,故选D.12.BD关于x的不等式x2-2ax+a>0对∀x∈R恒

成立,则Δ=4a2-4a<0,解得0<a<1.A选项是充要条件;B选项是必要不充分条件;C选项是充分不必要条件;D选项是必要不充分条件.13.C根据题意知,定义域为R的函数f(x)是偶函数即为∀x∈R,f(-x)=f(

x),这是一个全称量词命题,且是假命题,故它的否定为存在量词命题,为∃x∈R,f(-x)≠f(x),是真命题,故选C.14.C若{an}是等差数列,设数列{an}的首项为a1,公差为d,则Sn=na1+���(

���-1)2d,即���������=a1+���-12d=���2n+a1-���2,故{���������}为等差数列,即甲是乙的充分条件.反之,若{���������}为等差数列,则可设������+1���+1−���������=D,则���������=S1+(n-1)D,即Sn=n

S1+n(n-1)D,当n≥2时,有Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D,上两式相减得:an=Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D,当n=1时,上式成立,所以an=a1+2(n-1)D,则an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D(常数),所以

数列{an}为等差数列.即甲是乙的必要条件.综上所述,甲是乙的充要条件.15.A因为∃x∈12,2,使得2x2-λx+1<0成立是假命题,所以∀x∈12,2,使得2x2-λx+1≥0恒成立是真命题,即∀x∈12

,2,λ≤2x+1���恒成立.令f(x)=2x+1���,则f'(x)=2-1���2.当x∈12,22时,f'(x)<0;当x∈22,2时,f'(x)>0,所以f(x)≥f22=22.故λ≤22.16.(1,2]∵p是q的必要不充分条件,

∴q⇒p,且pq.设A={x|p(x)},B={x|q(x)},则B⫋A.又B={x|2<x≤3},当a>0时,A={x|a<x<3a};当a<0时,A={x|3a<x<a}.故当a>0时,有���≤2,3<3���,解得1<a≤2;当a<0时

,显然A∩B=⌀,不合题意.综上所述,实数a的取值范围是(1,2].17.f(x)=sinx(答案不唯一)设f(x)=sinx,则f(x)在区间0,π2上单调递增,在区间π2,2上单调递减.由正弦函数图象知,当x∈(0,2]时,f(x)>f(0)=sin0=0,故

f(x)=sinx满足条件f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,但f(x)在区间[0,2]上不是单调递增的.18.12,1由题意知,函数f(x)=ax2-4x的图象的对称轴为直线x=--42���=2

���,若p为真命题,则该直线在区间(-∞,2]的右侧,即2���≥2,故0<a≤1.若q为真命题,则关于x的方程16x2-16(a-1)x+1=0无实数根.即Δ=[-16(a-1)]2-4×16<0,得12<a<32.由命题p,q都为真命题,得0<���

≤1,12<���<32,解得12<a≤1.故实数a的取值范围为12,1.考点3参考答案1.D由不等式的同向可加性得a+c>b+d.2.C由题意知|MF1|+|MF2|=2a=6,则|������1|·|��

����2|≤|������1|+|������2|2=3,则|MF1|·|MF2|≤9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.故|MF1|·|MF2|的最大值为9.3.B由题意知B2-A2=-2������

≤0,且A≥0,B≥0,可得A≥B,故选B.4.CA项,y=(x+1)2+3,故ymin=3,故该项不符合题意;B项,设t=|sinx|,则y=t+4���,t∈(0,1].因为函数y=t+4���在区间(0,1]上

单调递减,所以当t=1时,y取最小值,且ymin=1+41=5,该项不符合题意;C项,y=2x+22-x=2x+42���,设t=2x,则t>0,于是y=t+4���≥2���×4���=4,当且仅当t=2,即x=1时等号成立.所以该项符合题意.D项,因为当

x∈(0,1)时,lnx<0,所以存在x使y<0,故该项不符合题意.5.AC因为15<b<18⇒118<1���<115,又6<a<60,所以根据不等式的性质可得6×118<a×1���<60×115,即13<������<4,故A正确;因为30<2b<36,所以36<a+2b<96,故B

错误;因为-18<-b<-15,所以-12<a-b<45,故C正确;���+������=������+1∈43,5,故D错误.6.D因为x>0,y>0,2���+1���=1,所以x+2y=(x+2y)·2���+

1���=2+4������+������+2≥8,当且仅当4������=������,即x=2y时等号成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-4<m<2.7.4∵ab=1,∴

b=1���.∴12���+12���+8���+���=12���+���2+8���+1���=121���+���+8���+1���.令1���+a=t>0,则原式=���2+8���≥2���2·8���=24=4.当且仅当t2=16,即t=4时,等号成立,此时1�

��+a=4.8.AB对于选项A,ab≤���+���22=122=14,当且仅当a=b=12时取等号.故A正确.对于选项B,(���+���)2=a+b+2������≤a+b+a+b=2,故���+���≤2,当且仅当a=b=12时取等号.故B正确.对于选项C,1���+1��

�=1���+1���(a+b)=2+������+������≥2+2������·������=4,当且仅当a=b=12时取等号.所以1���+1���有最小值4.故C错误.对于选项D,由(a+b)2=1,得a2+2ab+b

2=1≤a2+(a2+b2)+b2,即a2+b2≥12,当且仅当a=b=12时取等号.故a2+b2有最小值12.故D错误.9.D设草坪的长(东西方向)为xm,则宽为2400���m,道路占用面积S=6×2400���+4+4x=14400���+4x+24≥214400���×

4���+24=504,当且仅当14400���=4x,即x=60时,等号成立.故道路占地最小面积为504m2.10.D令f(y)=|y+4|-|y|,则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x+���2���对任意实数x,y都成立,

∴2x+���2���≥f(y)max=4,∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立;令g(x)=-(2x)2+4×2x,则a≥g(x)max=4,∴实数a的最小值为4.11.14因为2a>0,18���>0,所以2a+18���=2a+2-3b≥22

���·2-3���=22���-3���,当且仅当a=-3,b=1时,等号成立.因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6.所以2a+18���≥22-6=14,即2a+18���的最小值为14.12.(-∞,

-1)由ab2>a>ab,得a≠0.当a>0时,有b2>1>b,即���2>1,���<1,解得b<-1;当a<0时,有b2<1<b,即���2<1,���>1,无解.综上可得b<-1.13.45∵5x2y2+y4=1,∴y≠0,且x2=1-���45���2,∴x2+y2

=1-���45���2+y2=15���2+4���25≥215���2·4���25=45,当且仅当15���2=4���25,即x2=310,y2=12时取等号.∴x2+y2的最小值为45.14.-32,232令3x+2y=m(x+y)+n(x-y),则���

+���=3,���-���=2,解得���=52,���=12,即3x+2y=52(x+y)+12(x-y).由于-1<x+y<4,2<x-y<3,则-52<52(x+y)<10,1<12(x-y)<32,所以-32<52(x+y)+12(x-y)<232,

即-32<3x+2y<232.15.(1)由于x>0,a>2x,则y=x(a-2x)=12×2x(a-2x)≤12×2���+(���-2���)22=���28,当且仅当x=���4时取等号,故函数y=x(a-2x)的最大值为���28.(2)由

于x>0,a>2x,则y=1���-2���-x=1���-2���+���-2���2−���2≥212−���2=2−���2,当且仅当x=���-22时取等号.故y=1���-2���-x的最小值为2−���2.16.C由基本不等式有sin

αcosβ≤sin2���+cos2���2,同理sinβcosγ≤sin2���+cos2���2,sinγcosα≤sin2���+cos2���2,故sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤32,故sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα不可能均大于

12.取α=π6,β=π3,γ=π4,则sinαcosβ=14<12,sinβcosγ=64>12,sinγcosα=64>12,故三式中大于12的个数的最大值为2.17.27令���3���4=���2������·(xy2)n,则x3·y-4=x2m+n·y

2n-m,所以2���+���=3,2���-���=-4,解得m=2,n=-1,所以���3���4=���2���2·(xy2)-1,由于4≤���2���≤9,3≤xy2≤8,则16≤���2���2≤81,18≤1������2≤13,所以���3���

4=���2���2·(xy2)-1∈[2,27],故���3���4的最大值为27.考点4参考答案1.D∵x2-5x+a<0的解集是{x|2<x<b},∴2和b是方程x2-5x+a=0的解.由根与系数的关系知2+���=5,2���=���,解得���=3,���

=6.2.A由���-12���+1≤0,转化为(���-1)(2���+1)≤0,2���+1≠0,解得-12≤���≤1,���≠-12,故-12<x≤1.3.BCD对于选项A,-x2+x+1≤0对应的函数y=-x2+x+1的图象开口向下,显然解集不为⌀;对于选项B,2x2-3x+4

<0对应的函数y=2x2-3x+4的图象开口向上,由于Δ=9-32<0,故其解集为⌀;对于选项C,x2+3x+10≤0对应的函数y=x2+3x+10的图象开口向上,由于Δ=9-40<0,故其解集为⌀;对于选项D,-x2+4x-���+4���>0(a>0)对应的函数y=-x2+4x-

���+4���(a>0)的图象开口向下,由于Δ=16-4���+4���≤16-4×2���×4���=0,故其解集为⌀.4.D当a=0时,满足条件.当a≠0时,由集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,可知���>0,���=���2-4���≤0,得0<a≤4

.综上,可知0≤a≤4.5.A由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},所以A∩B={x|-1<x<2}.由根与系数的关系可知a=-1,b=-2,所以a+b=-3.6.D当a=1时,满足题意;当a=

-1时,不满足题意;当a≠±1时,由关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,可知���2-1<0,(���-1)2+4(���2-1)<0,解得-35<a<1.综上,-35<a≤1.7.C设销售价定为每件x元,利润为y元,则y=(x-8)·[100-10(x-10)].依题

意有(x-8)[100-10(x-10)]>320,即x2-28x+192<0,解得12<x<16.所以每件销售价应大于12元小于16元.8.21设f(x)=x2-6x+a,其图象为开口向上、对称轴是直线x=3的抛物线,如图所示.若关于x的一元

二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则���(2)≤0,���(1)>0,即22-6×2+���≤0,12-6×1+���>0,解得5<a≤8.又a∈Z,故所有符合条件的a的值为6,7,8.则所有符合条件的a的值之和是6+7+8=21.9.B(方法一)由根与系数的关系,知1

���=-2+1,-������=-2,解得a=-1,c=-2.所以f(x)=-x2-x+2.所以f(-x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),它的图象开口向下,与x轴的交点坐标为(-1,0),(2,0),故选B.(方法二)由题意可画出函数f(x)的大致图象,如图.又因为y

=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y轴对称,所以y=f(-x)的图象如图.10.(-∞,-2)关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<x2-4x-2在区间(1,4)内有解.令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),即g(x)<g(4)

=-2,故a<-2.11.-∞,1-32∪1+32,+∞∵x∈(0,2],∴a2-a≥������2+1=1���+1���.要使a2-a≥1���+1���在区间(0,2]上恒成立,则a2-a≥1���+1���max.∵x>0

,∴由基本不等式得x+1���≥2,当且仅当x=1时,等号成立,即1���+1���max=12,故a2-a≥12,解得a≤1-32或a≥1+32.12.原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.②当a<0时,原不等式化为�

��-2���(x+1)≤0.当2���>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤2���;当2���=-1,即a=-2时,解得x=-1;当2���<-1,即-2<a<0时,解得2���≤x≤-1.综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};当-2<a<0时,不等式的解集为{x|2

���≤x≤-1};当a=-2时,不等式的解集为{x|x=-1};当a<-2时,不等式的解集为{x|-1≤x≤2���}.13.(1)依题意可知每件的销售利润为(x-10)元,每月的销售量为(-10x+500)件,所以每月获得的利润w与销售单价

x的函数关系为w=(x-10)(-10x+500).(2)由每月获得的利润不小于3000元,得(x-10)·(-10x+500)≥3000,化简得x2-60x+800≤0,解得20≤x≤40.又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元,所以20≤x≤25.设政府每个月为他承担的总差价为p(单

位:元),则p=(12-10)(-10x+500)=-20x+1000.由20≤x≤25,得500≤-20x+1000≤600.故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为[500,600].14.C由f(1-x)=f(

1+x),知f(x)的图象的对称轴为直线x=1,即���2=1,故a=2.又可知f(x)在区间[-1,1]上单调递增,故当x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2.当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立等价于b2-b-2>0,解得b<-1或b

>2.15.(-∞,1)函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k图象的对称轴为直线x=-���-42=4-���2.①当4-���2<-1,即k>6时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)×(-1)+4-2k>0,解得k

<3,故k不存在.②当-1≤4-���2≤1,即2≤k≤6时,f(x)的值恒大于零等价于f4-���2=4-���22+���-4×4-���2+4-2k>0,即k2<0,故k不存在.③当4-���2>1,即k<2时,f(x)的值恒大

于零等价于f(1)=1+(k-4)+4-2k>0,即k<1.综上可知,当k<1时,对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零.16.(1)当a=1时,原不等式可化为2���

-3���-1<1,即���-2���-1<0,可化为(x-2)(x-1)<0,解得1<x<2,故原不等式的解集为(1,2).(2)原不等式可化为������-2���-1<0,即(ax-2)(x-1)<0,当a<0时,不等式的解为x<2���或x>1;

当a=0时,原不等式可化为x-1>0,即x>1;当a>0时,原不等式可化为���-2���(x-1)<0,若0<a<2,则不等式的解为1<x<2���;若a=2,则不等式的解集为⌀;若a>2,则不等式的解为2���<x<1.综上,当

a<0时,不等式的解集为-∞,2���∪(1,+∞);当a=0时,不等式的解集为(1,+∞);当0<a<2时,不等式的解集为1,2���;当a=2时,不等式的解集为⌀;当a>2时,不等式的解集为2���,1.考点5参考答案1.A令t=2x,则x=12t,可得f(t)=32t+5,即f(x

)=32x+5,则f���2=34x+5.2.D由1-2x>0,且x+1≠0,得x<12,且x≠-1,故函数f(x)=log2(1-2x)+1���+1的定义域为(-∞,-1)∪-1,12.3.C因为f(x)=log2���,���>

0,4-���+1,���≤0,则f(1)=log21=0,又-log23<0,所以f(-log23)=4log23+1=(2log23)2+1=10,所以f(1)+f(-log23)=10.4.BC对于选项A,g(x)=|x|与f(x)=x对

应关系不同,所以两者不是同一个函数;对于选项B,f(t)=|t-1|与g(x)=|x-1|定义域和对应关系均相同,所以两者是同一个函数;对于选项C,f(x)=x与g(x)=log22x定义域和对应关系均相同,所以两者是同一个函数;对于选项D,

f(x)=���2-1���+1的定义域为{x|x≠-1},而g(x)=x-1的定义域为R,定义域不同,所以两者不是同一个函数.5.A令x=1,得2f(1)-f(-1)=4,①令x=-1,得2f(-1)-f(1)=-2,②联立①②,

解得f(1)=2.6.B∵f(x)=2���-1,���≤0,-log12(���+1),���>0,f(a)=1,∴当a≤0时,2a-1=1,解得a=1(舍去);当a>0时,-log12(a+1)=1,解得a+1=2

,即a=1,∴f(a-2)=f(-1)=2-1-1=-12.7.B由定义域知A不正确;由值域知D不正确;C选项不是函数的图象.故选B.8.2因为6>2,所以f(6)=6-4=2,所以f(f(6))=f(2)=|2-3|+a=3,故a=2.

9.0(-∞,0)∪(e,+∞)由题意,得f(0)=1-0=1,故f(f(0))=f(1)=ln1=0.若m≥1,则���≥1,���(���)=ln���>1,解得m>e;若m<1,则���<1,���(���)=1-���>1,解得m<0.故实数m的取值范围是(-∞

,0)∪(e,+∞).10.Bf(f(x))=f(lg(1-x))=lg[1-lg(1-x)],其定义域为1-���>0,1-lg(1-���)>0的解集,解得-9<x<1,故f(f(x))的定义域为(-9,1).11.(-∞,8]当x<1时,由f(x)=ex-1≤2,解得x≤1+ln2,又x

<1,所以x的取值范围是x<1.当x≥1时,由f(x)=���13≤2,解得x≤8,又x≥1,所以x的取值范围是1≤x≤8.综上,x的取值范围是x≤8.12.[2,4]∵函数f(2x)的定义域为[-1,1],∴-1≤x≤1.

∴12≤2x≤2.∴在函数y=f(log2x)中,12≤log2x≤2,∴2≤x≤4.13.[-2,0]∪(4,60]由题意知,f(x)=2���-4,���∈[1,2],���3-4,���∈(2,4],当x∈[1,2]时,f(x)∈[-2,0];当x∈(2,4]时,f(

x)∈(4,60],故当x∈[1,4]时,f(x)∈[-2,0]∪(4,60].14.[-1,0]由题意知x2+2ax-a≥0恒成立,即Δ=4a2+4a≤0,得-1≤a≤0.15.D当a>0时,不等式a[f(a)-f(-a)]>0可化为a2+a-3a>0,解得a>2.当a<0时,

不等式a[f(a)-f(-a)]>0可化为-a2-2a<0,解得a<-2.综上所述,a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞),故选D.16.[0,1]∪[9,+∞)由题意得,函数f(x)=������2+(���-3)���+1的值域是[0,+∞),当m=0时,函数f(

x)=-3���+1的值域是[0,+∞),显然成立;当m>0时,则Δ=(m-3)2-4m≥0,解得0<m≤1或m≥9,综上可知,实数m的取值范围是[0,1]∪[9,+∞).考点6参考答案1.A若函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f(x)在区间[0,1]

上的最大值为f(1),若f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1),比如f(x)=���-132,但f(x)=���-132在区间0,13上单调递减,在区间13,1上单调递增,故f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)推不出

f(x)在区间[0,1]上单调递增,故“函数f(x)在区间[0,1]上单调递增”是“f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”的充分不必要条件.2.B因为函数y=ax与y=-������在区间(0,+∞)内都单调递减,所以a<0,b<0.所以y=ax2+bx图象的对称轴为直线x=-

���2���<0.故y=ax2+bx在区间(0,+∞)内单调递减,选B.3.B由题知,g(x)=���2,���>1,0,���=1,-���2,���<1,可得函数g(x)的单调递减区间为[0,1).4.AB由函数单调性

的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上单调递增,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B正确;对于选项C,D,因为x1,x2的大小关系无法判断,所以f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断,故

C,D不正确.5.C当k=0时,不符合题意;当k>0时,f(x)=������在区间[2,4]上单调递减,∴f(x)min=f(4)=���4=5,∴k=20,符合题意;当k<0时,f(x)=������在区间[2,4]上单调递增,∴f(x)min=f(2)=���2=5,

∴k=10.又k<0,∴k=10舍去.故k的值为20.6.2当x≥1时,函数f(x)=1���单调递减,即f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值

为2.7.[1,2]由题意知,f(x)=���2-2���,���≥2,-���2+2���,���<2.作出f(x)的图象,由图知f(x)的单调递减区间是[1,2].8.1-12���(答案不唯一)f(x)=1-12���,理由如下:∵y=12���为R上的减函数,且12���>0,

∴f(x)=1-12���为R上的增函数,且f(x)=1-12���<1,∴f(x)=1-12���的值域为(-∞,1).9.[18,13)由题意知,3���-1<0,(3���-1)×1+4���≥-���,�

��>0,解得���<13,���≥18,���>0,故a的取值范围为18,13.10.(1)函数f(x)在区间[3,5]上单调递增,证明:设任意x1,x2,满足3≤x1<x2≤5.因为f(x1)-f(x2)=2���1-1���1+1−2���2

-1���2+1=(2���1-1)(���2+1)-(2���2-1)(���1+1)(���1+1)(���2+1)=3(���1-���2)(���1+1)(���2+1),又3≤x1<x2≤5,所以x1+1>0,x2+1>0,x1

-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以f(x)=2���-1���+1在区间[3,5]上单调递增.(2)由(1)可知f(x)min=f(3)=2×3-13+1=54,f(x)max=f(5)=2×5-15+1=32.11.AD由函

数y=2x2+x+1=2���+142+78在区间-14,+∞内单调递增知,函数y=2x2+x+1在区间(0,+∞)内单调递增,故A正确;函数y=1���+1在区间(-∞,-1)和(-1,+∞)内均单调递减,但在(-∞,-1)∪(-1,+∞)内不单调递减,如-2

<0,但1-2+1<10+1,故B错误;函数y=5+4���-���2在区间[-2,-1)和(5,+∞)内无意义,从而在区间[-2,+∞)内不是单调函数,故C错误;由a+b>0得a>-b,因为f(x)在R上单调递增,所以f(a)>f(-b),同理f(b)>

f(-a),所以f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),故D正确.12.D设y=f(x),令x2-ax+3a=t.∵y=f(x)在区间[1,+∞)内单调递减,∴t=x2-ax+3a在区间[1,+∞)内单调递增,且满足t>0.∴���2≤1,12-���·1+3

���>0,解得-12<a≤2.故实数a的取值范围是-12,2.13.B∵-x2+2mx-m2-1=-(x-m)2-1≤-1,∴12-���2+2������-���2-1≥2.∴f(x)的值域为[2,+∞).∵y1=12���在R上单调递减,y2=-(x-m)2

-1的单调递减区间为[m,+∞),∴f(x)的单调递增区间为[m,+∞).由条件知m=2.14.C函数f(x)=2���+������+1,即f(x)=2+���-2���+1,x∈[0,1],当m=2时,f(x)=

2,不成立;当m-2>0,即m>2时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,可得当x=1时,f(x)取得最小值,且2+���2=52,解得m=3,成立;当m-2<0,即m<2时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,可得当x=0时,f(x)取得最

小值,且m=52,不成立.综上可得,m=3.15.-∞,12因为f(x)=e-���,���≤0,-���3,���>0,当x≤0时,f(x)=e-x单调递减,且f(x)≥1,当x>0时,f(x)=-x3单调递减,且f(x)<0,所以函数

f(x)=e-���,���≤0,-���3,���>0在定义域R上为减函数.因为f(a-1)≥f(-a),所以a-1≤-a,解得a≤12,即不等式的解集为-∞,12.16.3因为y=13���在R上单调递减,y=log2(x+2)在区间[-1,1]上单调递增,所以f(x)在区间[-1

,1]上单调递减.所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.17.D因为函数f(x)=12x2-x+32图象的对称轴为x=1,所以函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.又当x≥1时,���(���)���=12x-1+32���,令g(x)=12x-

1+32���(x≥1),则g'(x)=12−32���2=���2-32���2.由g'(x)≤0得1≤x≤3,即函数���(���)���=12x-1+32���在区间[1,3]上单调递减,故“缓增区间”I为[1,3].18.A设F(x)=f(x)-f(-x),因为f

(x)是R上的减函数,所以f(-x)是R上的增函数,-f(-x)是R上的减函数,即F(x)是R上的减函数,则当m<n时,有F(m)>F(n),即f(m)-f(-m)>f(n)-f(-n)成立.因此,当f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立时,不等式m-

n<0一定成立,故选A.考点7参考答案1.B由已知得f(-2)=f(2)=log22=12.故选B.2.C由于函数f(x)=9���+13���=3x+3-x的定义域为R,且满足f(-x)=3x+3-x=f(x),故该函数

为偶函数,图象关于y轴对称,故选C.3.B(方法一)∵函数f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x).令x=1,则f(-1)=f(1),∴(-1+a)ln3=(1+a)ln13,∴-1+a=-1-a,∴a=0.此时f(x)=xln2���-12���+1,易知函数f(x)的定义域为-∞

,-12∪12,+∞,f(-x)=-xln-2���-1-2���+1=-xln2���+12���-1=xln2���-12���+1=f(x),∴a=0符合题意.(方法二)设g(x)=ln2���-12���+1,函数g(x)的定义域是-∞,-

12∪12,+∞.g(-x)=ln-2���-1-2���+1=ln2���+12���-1=-ln2���-12���+1=-g(x),∴函数g(x)是奇函数.而f(x)=(x+a)g(x)为偶函数,有f(-x)=(-x+a)g

(-x)=-(-x+a)g(x)=(x-a)g(x)=f(x),故x-a=x+a,则a=0.故选B.4.A因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1,则f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.5.ABC由f(x

-3)=-f(x),知f(x)=f(x+6),即函数f(x)的周期为6.又当x∈[0,3]时,f(x)=x2-3x,所以f(1017)=f(169×6+3)=f(3)=0,f(1018)=f(170×6-2)=f(-2)=-f(2)=

2,f(1019)=f(170×6-1)=f(-1)=-f(1)=2.故选项A,B,C正确.6.A∵对任意的x1,x2∈(0,+∞),都有���(���2)-���(���1)���2-���1<0,∴函数f(x)在区间(0,+∞)

内单调递减.又12<23<34,∴f12>f23>f34.又f(x)是偶函数,∴f-23=f23,∴f12>f-23>f34.7.BCf(x)的值域为{0,1},故A错误;f(x)定义域为R,故B正确;当x是有理数时,x+1

也是有理数,当x是无理数时,x+1也是无理数,故f(x+1)=f(x)成立,故C正确;因为f(0)=1,所以f(x)不是奇函数,故D错误.8.A在f(x+2)+f(x)=f(1)中,令x=-1,得f(1)+f(-1)

=f(1),即f(-1)=0,又f(x)为偶函数,所以f(1)=f(-1)=0,从而f(x+2)+f(x)=0,所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(1020)=f(4×255)=f(0)=1.9.{���|x>5,或-5<x<0}由已知得f(0)=

0,当x<0时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-4(-x)]=-x2-4x,所以f(x)=���2-4���,���≥0,-���2-4���,���<0,不等式f(x)>x等价于���≥0,���2-4���>���或���<0,-��

�2-4���>���,解得x>5或-5<x<0.故解集为{x|x>5,或-5<x<0}.10.0511由f(x+2)=f(x),得函数f(x)的周期为2,f(3)=f(1)=1-2+1=0,f(0)=0-0+1=1,f(1)=f(3)=0,

故f(0)+f(1)+f(2)+…+f(1020)=510×(f(0)+f(1))+f(0)=511.11.B(方法一)函数f(x)=1-���1+���=-1+2���+1,故该函数图象的对称中心的坐标为(-1,-1).将

该函数图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为g(x)=f(x-1)+1,其图象关于坐标原点对称,即为奇函数.故选B.(方法二)A项,f(x-1)-1=1-(���-1)1+(��

�-1)-1=2���-2,故A项不符合题意;B项,f(x-1)+1=1-(���-1)1+(���-1)+1=2���,故B项符合题意;C项,f(x+1)-1=1-(���+1)1+(���+1)-

1=2���+2-2,故C项不符合题意;D项,f(x+1)+1=1-(���+1)1+(���+1)+1=2���+2,故D项不符合题意.12.Cf(x)的图象如图所示.当x∈[-1,0)时,由xf(x)>0,得x∈

(-1,0);当x∈[0,1)时,由xf(x)>0,得x∈⌀;当x∈[1,3]时,由xf(x)>0,得x∈(1,3).故x∈(-1,0)∪(1,3).13.D∵f(x+1)是奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1).∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).∴f(2-x)=f(

1-x+1)=-f(x).∵f(x+2)是偶函数,∴f(x+2)=f(2-x),∴-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x),∴函数f(x)的周

期为4,∴f(3)=f(1)=0.∵f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2),∴f(0)=-f(2).∵当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b,∴由f(1)=0得a+b=0.∵f(0)+

f(3)=6,∴f(0)=6,∴f(2)=-6,即4a+b=-6,∴a=-2,b=2,∴f92=f12=-f32=-[-2×322+2]=52.14.ABC对于选项A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正确;对于

选项B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1),解得f(1)=0,所以B正确;对于选项C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1),解得f(-1)

=0;再令x=-1,y=x,f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),f(-x)=f(x),又f(x)的定义域为R,所以C正确;对于选项D,用特值法,函数f(x)=0,为常数函数,且满足f(xy)=y2f(x)

+x2f(y),而常数函数没有极值点,所以D错误.故选ABC.15.(1)因为f(x)=ex-1e���,且y=ex单调递增,y=-1e���单调递增,所以f(x)单调递增.因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-

ex=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)由(1)知f(x)是增函数且为奇函数,故f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R恒成立,即f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R恒成立,即x2-t2≥t-x对一切x∈R恒成立,所

以t2+t≤x2+x对一切x∈R恒成立,即存在实数t使得���+122≤���+12min2恒成立.故存在实数t=-12,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.16.5∵f(x+2)=f(x),∴函数f(x)是周期为2的函数.若x∈[-1,0],则-x∈[

0,1],此时f(-x)=-3x.由f(x)是偶函数,可知f(x)=f(-x)=-3x.由ax+3a-f(x)=0,得a(x+3)=f(x).设g(x)=a(x+3),分别作出函数f(x),g(x)在区间[-3,2]上的图象,如图所示.因

为12<a<34,且当a=12和a=34时,对应的直线为图中的两条虚线,所以由图象知两个函数的图象有5个不同的交点,故方程有5个不同的根.考点8参考答案1.C设f(x)=xα,由图象经过点(4,2),得4α=2,即22α=2,得α=12,所以f(x)=���12,单调

递增区间为[0,+∞).2.B由幂函数的性质可知,函数y=���-23的图象在区间(0,+∞)内单调递减,则AC错误;令f(x)=���-23=1���213,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(-x)=1(-���)213=1���213=f(x),所以函数y

=���-23为偶函数,则D错误.3.C由题意可得,3m-7<0,解得m<73,且3m-7为偶数,m∈N,故m=1.4.B由于5-a=15���.因为a<0,所以函数y=xa在区间(0,+∞)内单调递减.又15<0.5<5,所以5a<0.5a<5-a.5

.B由图象知,幂函数f(x)的定义域为(0,+∞).当0<x<1时,f(x)>1,且f(x)<1���;当x>1时,0<f(x)<1,且f(x)>1���;所以f(x)可能是f(x)=1���.6.-214,15a≥32(1)当a=

2时,f(x)=x2+3x-3,其图象的对称轴为直线x=-32∈[-2,3],故f(x)max=f(3)=15,f(x)min=f-32=-214,故函数f(x)的值域为-214,15.(2)因为函数f(

x)在区间[-1,3]上单调递增,所以-2���-12≤-1,故a≥32.7.2x-x2(答案不唯一)由f(1+x)=f(1-x)可知,y=f(x)的图象关于直线x=1对称;可设f(x)为二次函数,又f(0)=0且f(x)在区间[

1,3]上单调递减,所以可设f(x)=2x-x2,符合题意.8.C∵f(-x)=-f(x),f'(x)=3x2≥0,∴f(x)在R上为奇函数且单调递增.由f(x2-ax)+f(1-x)≤0,得f(x2-ax)≤f(x-1),∴x2-ax≤x-1,即x2-(a+1)x

+1≤0.设g(x)=x2-(a+1)x+1,则有���(1)=1-���≤0,���(2)=3-2���≤0,解得a≥32,即实数a的取值范围为32,+∞.故选C.9.(-∞,0)∪(1,+∞)如图所示,分别作出函数y=x2与y=���13的图象,由于两函数的图

象都过点(1,1),由图象可知不等式x2>���13的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).10.(3,5)∵f(x)=���-12=1���(x>0),∴f(x)是定义在区间(0,+∞)内的减函数.又f(a+1)<f(10-2a),∴���+1>0,10-2

���>0,���+1>10-2���,解得���>-1,���<5,���>3,∴3<a<5.11.38或-3由题意可知f(x)的图象的对称轴为直线x=-1.当a>0时,f(2)=4a+4a+1=8a+1,f(-3)=3a+1.可知f(2)>f(-3),即f(x)max=f(2)=8a+

1=4.故a=38.当a<0时,f(x)max=f(-1)=a-2a+1=-a+1=4,即a=-3.综上所述,a=38或a=-3.12.C由于函数f(x)=(m2-m-1)������2+���-1是幂函数,则m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=-1时,f(x)=x-1,在区间(0

,+∞)内单调递减,不符合题意;当m=2时,f(x)=x5,在(0,+∞)内单调递增,符合题意;即函数f(x)=x5,为奇函数且在R上单调递增.a+b>0,故a>-b,f(a)>f(-b)=-f(b),故f(a)+f(b)>0.考点9参考答案1.BD������

7=n7m-7,A错误;12(-3)4=313=33,B正确;4���3+���3=(x3+y3)14,C错误;39=(913)12=(912)13=33,D正确.2.A由指数函数的性质,可得a=0.32∈(0,1),c=20.3>20=1,又由b=5(

22-3)5=22-3<0,故b<a<c.3.D由题中图象可得a>1,0<b<1,所以可得b-a<0,2b-a<1,ab>1,a+b>1,ln(a+b)>0,0<ba<1.因此只有D不正确.4.A设f(x)=ax,当a>1时,指数函数f(x)=ax单

调递增,所以在区间[-1,1]上的最大值ymax=f(1)=a,最小值ymin=f(-1)=1���,所以a+1���=52,求得a=2或a=12(舍);当0<a<1时,指数函数f(x)=ax单调递减,所以在区间[

-1,1]上的最大值ymax=f(-1)=1���,最小值ymin=f(1)=a,所以a+1���=52,求得a=2(舍)或a=12.综上所述,a=2或a=12.5.D在函数f(x)=ax+1-14(a>0,且a≠1)中,令x+1=

0,得x=-1,所以f(-1)=1-14=34,故f(x)的图象过定点-1,34,得m=-1,n=34.即1681������=1681-34=811634=278.6.B由f(1)=19得a2=19

,故a=13a=-13舍去,即f(x)=13|2x-4|.由于y=|2x-4|在区间(-∞,2]上单调递减,在区间[2,+∞)内单调递增,故f(x)在区间(-∞,2]上单调递增,在区间[2,+∞)内单调递减.故选B.7.AC

因为y=ex是定义在R上的增函数,y=e1-x是定义在R上的减函数,所以f(x)=ex-e1-x在R上单调递增,故A正确;因为f(0)=e0-e=1-e<0,故B错误;因为f12+���+f12-���=e12+�

��−e1-12-���+e12-���−e1-12+���=e12+���−e12-���+e12-���−e12+���=0,所以y=f(x)的图象关于点12,0对称,故C正确,D错误.8.[-1,+∞)要使函数

有意义,必须32x-1-127≥0,即32x-1≥127,由指数函数的单调性可得2x-1≥-3,解得x≥-1.故函数的定义域为[-1,+∞).9.C原不等式可变形为m2-m<12���.∵函数y=12���在区间(-∞,-1]上单调递减,∴12���≥12-1=2.当x∈(-∞,-1]

时,m2-m<12���恒成立等价于m2-m<2,解得-1<m<2.10.32f(x)=ax+b是单调函数,当a>1时,f(x)是增函数,即���-1+���=-1,���0+���=0,无解.当0<a<1时,f(x)是减函数,即�

��-1+���=0,���0+���=-1,解得���=12,���=-2.综上,a+b=12+(-2)=-32.11.(0,1)∪(2,+∞)由题意知f(x)在R上是增函数.当0<a<1时,a-2<0,y=ax单调递减,所以f(x)

单调递增;当1<a<2时,a-2<0,y=ax单调递增,所以f(x)单调递减;当a=2时,f(x)=0;当a>2时,a-2>0,y=ax单调递增,所以f(x)单调递增.故a的取值范围是(0,1)∪(2,+∞).12.f(x)=a

|x|(a>0,a≠1)(答案不唯一)若满足①对任意的x1,x2≥0,有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)成立,则对应的函数为指数函数y=ax的形式;若满足②f(x)为偶函数,只需要将x加绝对值即可,所以满足①②两个条件的函数可以是f(x)=a

|x|(a>0,a≠1).13.218∵函数g(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1在区间[0,1)内单调递增,在区间(1,3]上单调递减,且g(0)=0,g(3)=-3,g(1)=1,∴g(x)∈[-3,1].∵函数y=2x单调递增,∴18≤2g(

x)≤2,即函数f(x)的最大值为2,最小值为18.14.0,23①当0<a<1时,作出函数y=|ax-2|的图象,如图①.图①若直线y=3a与函数y=|ax-2|(0<a<1)的图象有两个交点,则由图象可知0<3a<2,解得0<a<23.②当a>1时,作出函数

y=|ax-2|的图象,如图②.图②若直线y=3a与函数y=|ax-2|(a>1)的图象有两个交点,则由图象可知0<3a<2,此时无解.故a的取值范围是0,23.15.D不等式2x(x-a)<1可变形为x-a<12���

.在同一平面直角坐标系中作出直线y=x-a与函数y=12���的图象.由题意知,在区间(0,+∞)内,直线有一部分在y=12���图象的下方.由图可知,-a<1,即a>-1.16.3令f(x)=y=2|x|,则f(x)=2���,0≤���≤���,2-���,-2≤�

��<0.(1)当a=0时,f(x)=2-x在区间[-2,0]上单调递减,值域为[1,4].(2)当a>0时,f(x)在区间[-2,0)内单调递减,在区间[0,a]上单调递增,①当0<a≤2时,f(x)max=f(-2)=4,值域为[1,4];②当a>2时,f(x)max=f(a)=2a>4,

值域为[1,2a].综合(1)(2),可知区间[m,n]的长度的最小值为3.考点10参考答案1.B由题意知a=log153,即a-log1515=log153-log1515=log1515=1.2.A由题意知,f(x)=logax(a>0,且a≠

1),因为f(2)=1,即loga2=1,所以a=2,故f(x)=log2x.3.A由题意知,f(1)=log21=0,则f(f(1))=f(0)=2.又因为log312<0,所以flog312=3-log312+1=3log32+1=3.故f(f(1))+flog31

2=5.4.ACD由10a=4,10b=25,得a=lg4,b=lg25,则a+b=lg4+lg25=lg100=2,b-a=lg25-lg4=lg254,由于lg10=1>lg254>lg6,则b-a>lg6,且ab=4lg2lg5>4lg2lg4=8lg22.

故选ACD.5.D由log23(2x-1)≥0,可得0<2x-1≤1,即12<x≤1.6.A∵a=log0.32<0,b=log72>0,∴ab<0,又���+���������=1���+1���=log20.3+

log27=log22.1>1,∴a+b<ab<0.7.C显然函数y=ax与y=logax在区间[1,2]上的单调性相同,因此函数f(x)=ax+logax在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为f(1)+f(2)=(a+loga1)+(a2+

loga2)=a+a2+loga2=loga2+6,故a+a2=6,解得a=2或a=-3(舍去).故选C.8.C由奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(log354)=f(3+log32)=f(-1+log32)

=-f(1-log32)=-31-log32=-3×12=-32.9.(1)要使函数f(x)有意义,则���+2>0,2-���>0,解得-2<x<2.故所求函数f(x)的定义域为(-2,2).(2)由

(1)知f(x)的定义域为(-2,2),设∀x∈(-2,2),则-x∈(-2,2),且f(-x)=lg(-x+2)-lg(2+x)=-f(x),故f(x)为奇函数.(3)因为f(x)在定义域(-2,2)内是增函数,又f(x)>1,所以���+22-���>10,解得1811

<x<2.所以不等式f(x)>1的解集是1811,2.10.A由f(x)是奇函数可得a=-1,故f(x)=lg1+���1-���,定义域为(-1,1).由f(x)<0,可得0<1+���1-���<

1,即-1<x<0.11.B由4-x2>0,解得-2<x<2,所以函数f(x)的定义域为(-2,2),令μ(x)=4-x2,则μ(x)在区间(0,2)上单调递减.由对数函数的性质,可得函数f(x)=lg(4-

x2)为偶函数,且在区间(0,2)上单调递减.因为0<1413<1<log372<log136,所以f1413>flog372>flog136,即b>a>c.12.D因为对任意的x∈R,都有f(x-2)=f(x+2),所以f(x)是定义在R上的周期为4的偶函数.作出函数f(x)与y=loga(x+

2)的图象如下,结合图象可知,log���(2+2)≤3,log���(2+6)>3,解得34≤a<2,故选D.13.0,16∪(1,+∞)令t=ax2-x+3,则原函数可化为y=f(t)=logat.当

a>1时,y=logat在定义域内单调递增,故t=ax2-x+3在区间[1,3]上也是单调递增的,所以12���≤1,���-1+3>0,���>1,解得a>1;当0<a<1时,y=logat在定义域内单调递减,故t=ax2-x+3在区间[1,3]上也是单调递减的,所以12���

≥3,9���-3+3>0,0<���<1,解得0<a≤16,故a>1或0<a≤16.14.(-∞,-2)∪0,12由已知条件可知,当x∈(-∞,0)时,f(x)=-log2(-x).当x∈(0,+∞)时,f(x)<-1,即为log2x<-1,解得0<x<12;当x∈(-∞,0

)时,f(x)<-1,即为-log2(-x)<-1,解得x<-2.故f(x)<-1的解集为(-∞,-2)∪0,12.15.D设������=x=33611080,两边取对数,得lgx=lg33611080=lg336

1-lg1080=361×lg3-80≈93.28,所以x≈1093.28,即与������最接近的是1093.故选D.16.C令t=log4x,先考虑f(t)≥0的解.若t=0,因为f(t)为R上的奇函数,所以f(0)=0≥0,故t=0为f(t)≥0的解

.若t<0,此时f(t)=8t3-log2(-t),因为y=8t3,y=-log2(-t)在区间(-∞,0)上均单调递增,所以f(t)=8t3-log2(-t)在区间(-∞,0)上单调递增,而f-12=-1+1=0,故f(t)≥0在区间(-∞,0)上的解为-12≤t<0,因为f(t)为R上的奇

函数,所以f(t)≥0在区间(0,+∞)上的解为t≥12,故f(t)≥0的解为-12≤t≤0或t≥12,故-12≤log4x≤0或log4x≥12,所以12≤x≤1或x≥2.考点11参考答案1.Ay=21-x=12���-1,因

为0<12<1,所以y=12���-1在R上为减函数,取x=0,则y=2,故选A.2.B设y=f(x)=ln|���|���2+2,则函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,又f(-x)=ln|-���|(-���)2+2=f(x),所以函数f(x)为偶函数,

排除AC;当x∈(0,1)时,ln|x|<0,x2+1>0,所以f(x)<0,排除D.故选B.3.Df(|x-1|)=2|x-1|.当x=0时,f(|0-1|)=2.可排除选项A,C.当x=-1时,f(|-1-1|)=4.可排除选项B.故选D.4.B

易知函数F(x)为偶函数,故排除选项A,D.当x=2时,f(2)=0,即F(2)=0;当x>2时,f(x)<0,g(x)>0,即F(x)<0,故排除选项C,选B.5.D对于A,函数f(x)=���2|���|,当x>0

时,y>0;当x<0时,y<0,不满足题意;对于B,当x≥0时,f(x)单调递增,不满足题意;对于C,当x≥0时,f(x)>0,不满足题意;对于D,函数y=2|x|-x2为偶函数,且当x≥0时,函数有两个零点,满足题意.6.ABD先作出f

(x)=-2���,-1≤���≤0,���,0<���≤1的图象,如图所示,所以A正确;对于B,y=f(x-1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位长度得到的,故B正确;对于C,当x>0时,y=f(|x|)的图象与f(x)的图象相同,

且函数y=f(|x|)的图象关于y轴对称,故C错误;对于D,y=f(-x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,故D正确.7.B由题意可知水深h越大,水的体积v就越大,故函数v=f(h)是增函数,故排除A,C项,由鱼缸形状可知,下面细中间粗,上面较细,所以随着水深的增加

,体积的变化的速度是先慢后快再慢的,所以B项正确.8.ACD函数f(x)的图象如图所示,由图可知,f(x)的值域为[0,+∞),A错误.f(x)不是单调函数,也不是偶函数,C,D显然错误.f(x)的图象与直线y

=2有两个交点,B正确.9.C由题中图象知f(0)=������2>0,因此b>0.函数f(x)的定义域为(-∞,-c)∪(-c,+∞),因此-c>0,c<0.而当x→+∞时,f(x)<0,可得a<0,故选C.10.(1,+∞)根据题意可知,函数y=f(x)与y=-x+a

的图象有且只有一个交点,作出两个函数图象如图,结合函数图象可知a>1.11.ABC由题可知,函数f(x)=������2+���,若a=0,则f(x)=������2=1���,选项C符合题意;若a>0,则函数f(x)的定义域为R,且f(0)=0,f(x)=-f(-x),选项B符合题意;若

a<0,则x≠±-���,选项A符合题意.故选ABC.12.B由f(-x)=2-f(x),得f(x)的图象关于点(0,1)对称.而y=���+1���=1+1���的图象是由y=1���的图象向上平移一个单位长度得到的,故y=���+1���的图象关于点(

0,1)对称.则函数y=���+1���与y=f(x)图象的交点也关于点(0,1)对称,且每一组对称点(xi,yi),(x'i,y'i)(i=1,2,…,m)满足xi+x'i=0,yi+y'i=2,所以∑���=1���(xi+yi)=∑i=1mxi+∑���=1���yi=�

��2×0+���2×2=m.13.B因为函数f(x)=lg(|x-2|+1),所以函数f(x+2)=lg(|x|+1)是偶函数.由y=lgxy=lg(x+1)y=lg(|x|+1)y=lg(|x-2|+1),如图,可知f(x)

在区间(-∞,2)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递增.由图象可知函数f(x)存在最小值为0.所以①②正确.14.D由f(x)=2-|���|,���≤2,(���-2)2,���>2,得f(x)=2+���,���<0,2-���,0≤��

�≤2,(���-2)2,���>2,故f(2-x)=2+2-���,2-���<0,2-(2-���),0≤2-���≤2,(2-���-2)2,2-���>2=���2,���<0,���,0≤��

�≤2,4-���,���>2,即f(x)+f(2-x)=���2+���+2,���<0,2,0≤���≤2,���2-5���+8,���>2.因为函数y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b恰有4个零点,所以直线y=b

与函数y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.作出函数y=f(x)+f(2-x)的图象,如图所示.由图可知,当b∈74,2时,直线y=b与函数y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.故选D.15.0作函数f(

x)的图象如图.由于方程f(x)=c有3个不同的实数根,即y=f(x)与y=c的图象有3个交点,易知c=1,且一根为0.由lg|x|=1知另两根为-10和10,故x1+x2+x3=0.16.-13,0由题意作出f(x)在区间[-1,

3]上的图象,如图所示.记y=k(x+1)+1,故函数y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).由图象知,方程f(x)=kx+k+1有四个根,即函数y=f(x)的图象与y=kx+k+1的图象有四个交点.记点B(

2,0),故kAB<k<0.又kAB=0-12-(-1)=-13,故-13<k<0.17.B由题图①可知,函数f(x)的图象关于y轴对称,因此该函数是偶函数,即f(-x)=f(x).函数g(x)的图象关于原点对称,因此该函数是奇函数,即g(-x)=-g(x

).由题图②可知,该函数关于原点对称,因此该函数是奇函数.A:设F(x)=f(g(x)),因为F(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=f(g(x))=F(x),所以F(x)=f(g(x))是偶函数,不符合题意;B:设M(x)=f(x)g(x),因

为M(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-M(x),所以M(x)=f(x)g(x)是奇函数,符合题意;C:设N(x)=g(f(x)),因为N(-x)=g(f(-x))=g(f(x))=N(x),所以N(x)=g(f(x))是偶函数,不符合题意;D:由题图①可知,g(0

)=0,因为函数y=���(���)���(���)在x=0时没有意义,故不符合题意,故选B.18.AB当-4≤x≤-2时,点B的轨迹是以点A为圆心,半径为2的14圆;当-2≤x≤2时,点B的轨迹是以点D为圆心,半径为22的14圆;当2≤x≤4时,

点B的轨迹是以点C为圆心,半径为2的14圆;当4≤x≤6时,点B的轨迹是以点A为圆心,半径为2的14圆.作出函数的图象如图,函数的值域为[0,22],则函数f(x)的图象与直线y=22在区间[-3,9]上有2个交点,故A项正确;函

数f(x)为偶函数,故B项正确;由图可知,函数f(x)在区间[-8,-6]上单调递减,故C项错误;由图可知,当x=0时,f(0)=22,f(4)=0,此时f(4)≠-1���(0),故D项错误.考点12参考答案1.D当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)

=1+log2x=0,解得x=12,又因为x>1,所以此时方程无解.综上可知,函数f(x)的零点只有0,故选D.2.B函数y=ln(x+1)与y=1���的图象交点的横坐标,即为函数f(x)=ln(x+1)-1���的零点.由于f(x)在区间(0

,+∞)内的图象是连续的,且f(x)是单调递增的,又f(1)=ln2-1<0,f(2)=ln3-12>0,得f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.3.C由题知f(0)f(1)<0,根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0,1)内一定有零点,又f(1)f(2)>0,因此无法判断

f(x)在区间(1,2)内是否有零点.4.C由x3-6x2+9x-10=0,得x3=6x2-9x+10,在同一平面直角坐标系中作出函数y=x3和y=6x2-9x+10的图象,由图知两个函数图象只有一个交点.故选C.5.A∵ea=-a,∴

a<0,∵lnb=-b,且b>0,∴0<b<1,∵lnc=1,∴c=e>1,故选A.6.C由已知可得f(x0)=-e���0,则e-���0f(x0)=-1,e-���0f(-x0)=1,故-x0一定是函数y=exf(x)-1的零点.7.B∵f(x)=x3+ax2+bx+1

,∴f(x+1)-1=(x+1)3+a(x+1)2+b(x+1)+1-1=x3+(3+a)x2+(3+2a+b)x+1+b+a.∵函数y=f(x+1)-1为奇函数,∴a=-3,b=2.∴f(x)=x3-3x2+

2x+1.∴f'(x)=3x2-6x+2=3(x-1)2-1=3���-1-33���-1+33.经分析可知f(x)在区间-∞,1-33内单调递增,在区间1-33,1+33内单调递减,在区间1+33,+∞内单调递增,且f1-33>0,f1+33>0,∴函数f(x)的

零点个数为1,故选B.8.12当x≤0时,由x+1=0,得x=-1,由f(x)=-1,可得x+1=-1或log2x=-1,∴x=-2或x=12;当x>0时,由log2x=0,得x=1,由f(x)=1,可得x+1=1或log2x=1,∴x=0或x=2;∴函数y=f(f(x))的所有零点为-2,1

2,0,2,所有零点的和为-2+12+0+2=12.9.(0,1]当x>0时,由f(x)=lnx=0,得x=1.因为函数f(x)有两个不同的零点,所以当x≤0时,函数f(x)=2x-a有一个零点.令f(x)=2x-a=0,得a=2x.因为当x≤0时,0<2x≤20

=1,所以0<a≤1.所以实数a的取值范围是0<a≤1.10.A函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点,即y=|2x-2|与y=-b的图象有两个交点,交点的横坐标就是x1,x2(x2<x1).在同一平面直角坐标系中作出

y=|2x-2|与y=-b的图象(如图).当y=-b=2时,x1=2,两个函数图象只有一个交点,当0<-b<2时,由图可知1<x1<2,x1+x2<2.11.B∵定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),∴f(x)=f(x+8),f(4-x)=f(x),f(0)=0.

∴函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且函数的周期为8.∵f(x)在区间[0,2]上单调递增,∴f(x)在区间[-2,0]上单调递增,综合以上条件得函数f(x)的示意图如图所示.由图看出,四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(-6),另两个交点的横坐标之和为2×2,故x1+x2+x3+x4=-8

,故选B.12.ABC由f(x)=2x-log12x=2x+log2x,可知函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.因为实数a,b,c(a>b>c>0)满足f(a)f(b)f(c)<0,所以f(a)>f(b)>0>f(c)或0>f(a)>f(b)>f(c),则c<x0<b

<a或x0>a>b>c,故ABC可能成立.13.BCD当x≥1时,设f(x)=m(x-2)2+1(m>0),因为f(1)=m+1=2,所以m=1.由此得f(4)=5,又5lg32=lg24332<1,所以g(x)只有1个零点,所以A错误;由题可知射线经过点-12,0,(1,

2),则射线的方程为y=43x+23(x≤1).由题图可知f(|x|)≥f(0)=23=log84,所以B正确;因为���(4)4=54∈(1,2),所以h(x)有4个零点,所以C正确;令f(x)=t(1≤t≤2),则该方程的解为x1=3���-24,x2=2-���-1,x3=2+���-1,

x3-x1=2+���-1−3���-24,令���-1=l(0≤l≤1),则x3-x1=2+l-3(���2+1)-24=-34l-232+2512≤2512,故f���+2512≥f(x)恒成立,所

以D正确.14.CD当k>0时,作出函数f(x)=������+1,���≤0,log2���,���>0的图象如图所示.当f(f(x))+1=0时,即f(f(x))=-1,有f1(x)∈(-∞,0),f2(x)=12两种情况.又当f1(x)∈(-∞,0)时有两根,当f

2(x)=12时也有两根,故函数y=f(f(x))+1有4个零点.当k<0时,作出函数f(x)=������+1,���≤0,log2���,���>0的图象如图所示.当f(f(x))+1=0时,即f(f(x))=-1,只有f(x)=12一种情况,此时f(x)=12仅有一个根.故当k>0时,函数

y=f(f(x))+1有4个零点;当k<0时,函数y=f(f(x))+1有1个零点.15.2令f(x)=0,g(x)=0,得5x=-x+2,log5x=-x+2.作出函数y=5x,y=log5x,y=-x+2的图象,如图所示.因为函数f(x)=5x+x-2,g(x)=log5

x+x-2的零点分别为x1,x2,所以x1是函数y=5x的图象与直线y=-x+2交点A的横坐标,x2是函数y=log5x的图象与直线y=-x+2交点B的横坐标.因为y=5x与y=log5x的图象关于直线y=

x对称,直线y=-x+2也关于直线y=x对称,且直线y=-x+2与它们都只有一个交点,故这两个交点关于直线y=x对称.又线段AB的中点是直线y=x与y=-x+2的交点,即点(1,1),故x1+x2=2.16.ABf(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),又f(2-x

)+f(x)=0,f(2-x)=-f(x)=f(-x),令t=-x,得f(t)=f(t+2),即f(x)=f(x+2),所以f(x)是周期函数,周期为2,又f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=f(2)=f(4)=…=0,f(1)=0,所以f(n)=0,n∈Z,作出

y=f(x)和y=tan(πx)的图象,其中y=tan(πx)的周期是T=ππ=1.如图,由图可知当x≥-1时,从点A(-1,0),10个交点依次为A,B,O,C,D,E,F,G,H,I,点J是第11个交点,J(4,0)

,设点C的横坐标为x0,显然x0∈0,12,f14=-log214=2,tan14π=1,因此x0>14,所以14<x0<12,于是-12<xB<-14,4-12<xI<4-14,即3.5<xI<3.75,所以m可取3.8

,3.9,m≥4时至少有11个零点.17.8∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=f(x).又x∈[-1,1]时,f(x)=x2,∴f(x)的图象如图所示,在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)的图象,可见y=f(x)(-5≤x≤5)与y=2x(x≤1)的图象有5

个交点,y=f(x)(-5≤x≤5)与y=log3(x-1)(x>1)的图象有3个交点,故共有8个交点.即函数h(x)在区间[-5,5]上有8个零点.考点13参考答案1.C根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型.2.A设隔墙的长为x(0<x<6),矩形面积为y,则

y=x·24-4���2=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,故当x=3时,y最大.3.B设该股民购买这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n元,经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n

=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故该股民这只股票略有亏损.4.C当10≤t≤100时,y=mat,由题意可得10%=������10,20%=������40,解得���=2130,���=110×2-13,为使

新鲜度不低于85%,即不能失去超过15%的新鲜度,则有15%≥110×2-13×2���30,即2���30≤32×213=3×2-23,因此log22���30≤log23×2-23=log23-23,即���30≤log23-23,则t≤30log23-20≈48-20=28,即物流时间(从

杨梅采摘的时刻算起)不能超过28小时.5.16由题意,分流前每年创造的产值为100t万元,分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,则0<���<100,���∈N*,(100-���)(1+1.2���%)���≥100���,解得0<x≤503.因为x

∈N*,所以x的最大值为16.6.(1)由于y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=p���12+q(p>0)的增长速度越来越慢.故依据题意应选函数y=kax(k>0,a>1),则有������2=18,���

���3=27,解得���=32,���=8,即y=8×32���(x∈N).(2)由(1)知,当x=0时,y=8.由经过x个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍,得8×32���=8×1000,解得

x=log321000=lg1000lg32=3lg3-lg2≈17.04.故原先投放的水葫芦的面积为8m2,约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.7.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a���(a为常数),

广告效应为D=R-A.那么商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为.(用常数a表示)7.14a2令t=���(t≥0),则A=t2,则D=a���-A=at-t2=-���-12���2+14a2,当t=12a,即A=14a2时,D取得最大值.8.(1)由于市场价y随上市时间x的增大而先减小后

增大,而模型①③均为单调函数,不符合题意,故选择二次函数模型②.(2)由题表中数据可知16���+4���+���=90,100���+10���+���=51,-���2���=4+362,解得���=14,���=-10,���=126.得函数模型为y

=14x2-10x+126=14(x-20)2+26.故当市场价最低时的上市时间为20天,最低价格为26元.(3)由于f(x)=14x2-10x+126=kx+2m+120,则14x2-(10+k)x+6-2m=0恒有两个相异实数根,即Δ=(10+k)2-(6-2m)>0恒成立,即-

2m<k2+20k+94.由于k2+20k+94=(k+10)2-6≥-6,得-2m<-6,m>3.故m的取值范围是(3,+∞).9.(1)答案不唯一.构造出一个函数,说明是单调递增函数,函数的取值满足要求.如,y=1100x+1,x∈[50,1500],就是符合企业奖励的一个

函数模型.理由:根据一次函数的性质,易知y随x的增大而增大,当x=50时,y=1100×50+1=32>0,当x=1500时,y=1100×1500+1=16<20,即奖金金额y>0且不超过20万元.故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型.(2)当50≤x≤5

00时,易知y=150x+1单调递增,且当x=50时,y=150×50+1=2>0,当x=500时,y=150×500+1=11<20,即满足奖金y>0且不超过20万的要求;故当50≤x≤500时,y=150x+1符合企业奖励要求.

当500<x≤1500时,函数f(x)=19+1-������单调递增,即对任意x1,x2∈(500,1500],且x1<x2时,f(x1)-f(x2)=(1-a)���2-���1���1���2<0成立.故当且仅当1-a<0,即a>1时,此时函数在区间(500,

1500]上单调递增.由19+1-���500≥0,得a≤9501;进一步可知,1-������<0,故y=19+1-������<19<20成立,即当1<a≤9501时,函数符合奖金y>0且金额不超过20万的要求.依据函数模型y=150���+1,50≤���≤500,19+1-����

��,500<���≤1500是符合企业的奖励要求,即此函数为增函数,于是,有150×500+1≤19+1-���500,解得a≤4001.综上所述,所求实数a的取值范围是(1,4001].考点14参考答案1.AlimΔ���→0f(1-���x)-f(1)���x

=-������������x→0���(1-Δ���)-���(1)-Δ���=-f'(1)=-13×1-23=-13.2.AC(x-5)'=-5x-6,A正确;(cosx)'=-sinx,B错误;(

sinx)'=cosx,C正确;sinπ3'=0,D错误.3.C令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6,得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化简整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,则f'(x)=4x-1,可得f(1)=1,f'(1)=3,故所求

切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.4.B由题图可知曲线y=f(x)在点(3,f(3))处切线的斜率等于-13,故f'(3)=-13.∵g(x)=xf(x),∴g'(x)=f(x)+xf'(x),∴g'

(3)=f(3)+3f'(3).又由题图可知f(3)=1,∴g'(3)=1+3×-13=0.5.C∵f(x)=x3-x+3,∴f'(x)=3x2-1.设点P(x,y),则f'(x)=2,即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,故P(1,3)或(-1,3).经检验,点(1,3),(-1,3)均

不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C.6.B由题意,令函数f(x)=e2ax,可得f'(x)=2ae2ax,则f'(0)=2a,即曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线的斜率为k=2a,所以切线方程为y-1=2ax,即

y=2ax+1,要使得切线与直线2x-y-1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则满足两直线垂直,即2a×2=-1,解得a=-14.7.2023由题意,得f'(x)=-x+2f'(2024)+2024���,因此有f'(

2024)=-2024+2f'(2024)+20242024,所以f'(2024)=2023.8.1对函数f(x)=e������+���求导得f'(x)=e���(���+���-1)(���+���)2,

由题意得f'(1)=e���(1+���)2=e4,解得a=1.9.4由导数的几何意义及条件,得g'(1)=2.∵函数f(x)=g(x)+x2,∴f'(x)=g'(x)+2x,∴f'(1)=g'(1)+2=4,∴曲

线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为4.10.0y=1e由f(x)=ln������+���,得f'(x)=���+������-ln���(���+���)2.因为f'(1)=1,即11+���=1,解得a=0,所以f(x)=ln������,f'

(x)=1-ln������2,所以f(e)=1e,f'(e)=0,所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=1e.11.[2,+∞)∵f(x)=12x2-ax+lnx(x>0),∴f'(x)=x-a+1���.∵函数f(x)的图象存在垂直于y轴的切线,∴f'(x)存在零点,∴x+

1���-a=0有解,∴a=x+1���≥2,当且仅当x=1时,取等号.12.-34因为y=lnx,所以y'=1���.又因为切线的斜率为1,所以y'=1���=1,解得x=1,y=0,所以切线方程为

y=x-1.因为y=(x+a)2,所以y'=2x+2a,令y'=1,解得x=12-a,代入切线方程得y=-12-a,再将12-���,-12-���代入y=(x+a)2,解得a=-34.13.D由y=f'(x)的图象

知y=f'(x)在区间(0,+∞)内单调递减,说明函数y=f(x)图象的切线的斜率在区间(0,+∞)内也单调递减,故可排除A,C.又由图象知y=f'(x)与y=g'(x)的图象在x=x0处相交,说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处

的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.14.B因为函数y=x2-lnx的定义域为(0,+∞),所以y'=2x-1���(x>0).令2x-1���=1,解得x=1,则曲线在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距

离为d=22=2.故所求的最小值为2.15.AD由题意,若y=f(x)具有T性质,则存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1.对于选项A,因为f'(x)=-sinx,所以存在x1=π2,x2=-π2,使得f'(x1)f'(x2)=-1;

对于选项B,因为f'(x)=1���>0,所以不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1;对于选项C,因为f'(x)=ex>0,所以不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1;对于选项D,因为f'(x)=2x,所以存

在x1=1,x2=-14,使得f'(x1)f'(x2)=4x1x2=-1.故选AD.16.x-y+4=0∵f(x)-g(x)=ex+x2+1,且f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,∴f(-x)-g(-x)=f(x)+g(x)=e-x+x2+1,∴f(x)=e���+e-���+2���2

+22,g(x)=e-���-e���2,∴h(x)=2f(x)-g(x)=ex+e-x+2x2+2-e-���-e���2=32ex+12e-x+2x2+2,∴h'(x)=32ex-12e-x+4x,即h

'(0)=32−12=1.又h(0)=4,∴切线方程为x-y+4=0.17.①②f(x)=-x3+3x2+2的导函数f'(x)=-3x2+6x,f″(x)=-6x+6,故f″(x)<0在区间(1,+∞)内恒成立,所以函数f(x)=-x3+3x2+2在区间(1,+∞)内

为“严格凸函数”,所以①为真命题;f(x)=ln������的导函数f'(x)=1-ln������2,f″(x)=2ln���-3���3,由f″(x)<0可得2lnx-3<0,解得x∈0,e32,所以函数f(x)=ln������的“严格凸区间”为0,e32,所以②为真

命题;f(x)=ex-���2x2的导函数f'(x)=ex-mx,f″(x)=ex-m,因为f(x)为区间(1,4)内的“严格凸函数”,所以f″(x)<0在区间(1,4)内恒成立,所以ex-m<0在区间(1,4)内恒成立,即m>ex在区间(1,4)内恒成立,故m≥e4,所以③为假命题.考点

15参考答案1.D函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.2.C由题图可知函数f(x)在区间(-∞

,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增,则当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,且f'(-1)=0.对于函数y=xf'(x),当x∈(-∞,-1)时

,xf'(x)>0,当x∈(-1,0)时,xf'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,xf'(x)>0,且当x=-1时,xf'(x)=0,当x=0时,xf'(x)=0,显然选项C符合.3.C由题意可知f'(x)=

aex-1���≥0在区间(1,2)内恒成立,即a≥1���e���在区间(1,2)内恒成立.设g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex>0在区间(1,2)内恒成立,所以函数g(x)=xex在区

间(1,2)内单调递增,所以g(x)>g(1)=e,则0<1���(���)<1e,即a≥e-1.故选C.4.BDA选项,由f(x)=x4,得f'(x)=4x3,当x>0时,f'(x)=4x3>0,f(x)单调递增;当x<0时,f

'(x)=4x3<0,f(x)单调递减,故排除A;B选项,由f(x)=x-sinx,得f'(x)=1-cosx,因为f'(x)≥0恒成立,且不恒为零,所以f(x)=x-sinx在R上为增函数,故B满足题意;C选项,由f(x)=xex,得f'(x)=(1+x)ex

,当x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故排除C;D选项,由f(x)=ex-e-x-2x,得f'(x)=ex+e-x-2,因为f'(x)≥2e���·e-���-2=0恒成立,且

不恒为零,所以f(x)=ex-e-x-2x在R上为增函数,故D满足题意.5.Df(x)=2���-log2x的定义域为(0,+∞),因为f'(x)=-2���2−1���ln2<0,所以f(x)=2���-log2x在区间(0,+∞)上单调递减,又f(2)=22-log2

2=0,所以不等式f(x)>0的解集是(0,2).6.(1)13(2)0,13(1)f'(x)=3kx2+6(k-1)x(k>0),由题意知f'(4)=0,解得k=13.(2)f'(x)=3kx2+6(k-1)x(k>0),由题意知f

'(4)≤0,解得k≤13.又k>0,故0<k≤13.7.(1)当a=1时,f(x)=12x2-2x+lnx,由f'(x)=x-2+1���,得f'(1)=0,又f(1)=-32,故f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为2y+3=0.

(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-(a+1)+������=(���-1)(���-���)���.若a=1,则f'(x)=(���-1)2���≥0恒成立,函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;若a>1,则

当x∈(1,a)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(a,+∞)∪(0,1)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;综上可知,当a=1时,函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,当a>1时,函

数f(x)在区间(1,a)内单调递减,在区间(a,+∞),(0,1)内单调递增.8.(1)对f(x)求导得f'(x)=(6���+���)e���-(3���2+������)e���(e���)2=-3���2+(6-���)���+���e��

�.因为f(x)在x=0处取得极值,所以f'(0)=0,即a=0.当a=0时,f(x)=3���2e���,f'(x)=-3���2+6���e���,故f(1)=3e,f'(1)=3e,从而f(x)图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-3e=3e(x-1),化简得3x-ey=0.(2)由(1

)知f'(x)=-3���2+(6-���)���+���e���.令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,由g(x)=0,解得x1=6-���-���2+366,x2=6-���+���2+366.当x>x2时,g(x)<0,即f'(x)<0,故f

(x)单调递减.由f(x)在区间[3,+∞)内单调递减,知x2=6-���+���2+366≤3,解得a≥-92,故a的取值范围为-92,+∞.9.Bf'(x)=mx2+4x-1,由题意可知mx2+4x-1≥0在区间13,+∞内有解.当m>0时,二次函数的图象开口向上,当m=0时,函数为y=4

x-1,在区间13,+∞上为增函数,即当m≥0时,mx2+4x-1≥0在区间13,+∞内有解恒成立;当m<0时,由Δ>0,即16+4m>0,得-4<m<0,又二次函数图象的对称轴为x=-2���∈12,+∞,

13<12,故当-4<m<0时符合题意.综上所述,m>-4.10.ACD构造函数F(x)=������(���)e���,因为F'(x)=e���[���(���)+������'(���)]-���e������(���)(e���)2=���(���)+������'(��

�)-������(���)e���<0,所以函数F(x)=������(���)e���在R上为减函数.因为2>1,所以F(2)<F(1),即2���(2)e2<���(1)e,即2���(2)e<f(1),故A符合题意,B不符合题意;因为F(1)<F(0),即���(1)e<0,所以f(1)<

0,故C符合题意;因为F(-1)>F(0),即-���(-1)e-1>0,所以f(-1)<0,故D符合题意.11.(0,1)∪(2,3)由题意知f'(x)=-x+4-3���=-���2+4���-3���=-(���-1)(���

-3)���.由f'(x)=0,得x1=1,x2=3,可知1,3是函数f(x)的两个极值点.则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,由t<1<t+1或t<3<t+

1,得0<t<1或2<t<3.12.(-1,3)因为x∈R,f(-x)=-xe-x+-���e-���=-���e���+���e���=-f(x),所以f(x)是奇函数.f'(x)=ex+xex+1-���e���=e2���(1+���)+1-���e���,x∈R,令g

(x)=e2x(1+x)+1-x,则g'(x)=e2x(3+2x)-1,令h(x)=e2x(3+2x)-1,则h'(x)=e2x(8+4x).当x≥0时,h'(x)>0,所以h(x)在区间[0,+∞)上

单调递增,h(x)≥h(0)=2>0,即g'(x)>0,所以当x≥0时,g(x)单调递增,g(x)≥g(0)=2>0,所以f'(x)>0,f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.因为f(x)是奇函数,所以f(x)在x∈R上是增函数.由f(1+a)+f(-

a2+a+2)>0,得f(1+a)>-f(-a2+a+2)=f(a2-a-2),所以1+a>a2-a-2,解得-1<a<3.13.(1)因为g(x)=lnx+ax2+bx,所以g'(x)=1���+2ax+b.由题意,得g'(1)=1+2a+b=0,所以2a+b=-1.(2)由(1)知g'(x)=

(2������-1)(���-1)���(x>0).当a=0时,g'(x)=-���-1���.由g'(x)>0,解得0<x<1,由g'(x)<0,解得x>1,即函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减;当a>0时,

令g'(x)=0,得x=1或x=12���,若12���<1,即a>12,则由g'(x)>0,解得x>1或0<x<12���,由g'(x)<0,解得12���<x<1,即函数g(x)在区间0,12���,(1,

+∞)内单调递增,在区间12���,1内单调递减;若12���>1,即0<a<12,则由g'(x)>0,解得x>12���或0<x<1,由g'(x)<0,解得1<x<12���,即函数g(x)在区间(0,1),12���,+∞内单调递增,在区间1,12���内单调递减;若12���=1,

即a=12,则在区间(0,+∞)内恒有g'(x)≥0,即函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.综上可得,当a=0时,函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减;当0<a<12时,函数g(x)在区间(0,1)内单调

递增,在区间1,12���内单调递减,在区间12���,+∞内单调递增;当a=12时,函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增;当a>12时,函数g(x)在区间0,12���内单调递增,在区间12���,1内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.14.ADf(x)=x+e������

,则f'(x)=���2+e���(���-1)���2;F(x)=���(���)���=1+e������2,则F'(x)=e���(���-2)���3.当x∈(-∞,-2)时,f'(x)=���2+e��

�(���-1)���2>���2+(���-1)���2>0,函数f(x)单调递增,F'(x)=e���(���-2)���3>0,函数F(x)单调递增,故A满足;f'-12=14-32e-1214<0,故B不满足;F'(1)=-e<0,故C不满足;当x∈(2

,+∞)时,f'(x)=���2+e���(���-1)���2>0,F'(x)=e���(���-2)���3>0,故D满足.15.B令g(x)=���(���)���2,x∈(0,+∞),则g'(x)=��

����'(���)-2���(���)���3.∵∀x∈(0,+∞),2f(x)<xf'(x)<3f(x)恒成立,∴0<������'(���)-2���(���)���3,∴g'(x)>0,∴函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增,∴�

��(1)1<���(2)4.又f(x)>0,∴���(1)���(2)<14.令h(x)=���(���)���3,x∈(0,+∞),则h'(x)=������'(���)-3���(���)���4.∵∀x∈(0,+∞),2f(x)<xf'(x)<3f(x)恒成立,∴h'(x)=���

���'(���)-3���(���)���4<0,∴函数h(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∴���(1)1>���(2)8.又f(x)>0,∴18<���(1)���(2).综上可得,18<���(1)���(2)<14,故选B.考点16参考答案1.Bf'(

x)=3x2-6x+1,因为函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,所以x1=m,x2=n为3x2-6x+1=0的两根.由根与系数的关系,可知m+n=-(-6)3=2.2.Af'(x)=a

+1���(x>0).∵x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,∴f'(1)=0,∴a+11=0,∴a=-1.当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增.因此当x=1时,f(x)有极大值-1.3

.Af'(x)=1���-1=1-������,令f'(x)>0,得0<x<1;令f'(x)<0,得1<x<e,则函数f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,e)内单调递减,即当x=1时,函数f(x)取极大值,这个极

大值为函数f(x)在区间(0,e]上的最大值,所以f(x)max=f(1)=-1,故选A.4.A由题意,函数f(x)=(x-a)ex,则f'(x)=(x-a+1)ex.令f'(x)=0,可得x=a-1,当x<a-1时,f'(x)<0;当x>a-1时,

f'(x)>0,所以函数y=f(x)在x=a-1处取得极小值.若函数y=f(x)在区间(0,+∞)上有极值,则a-1>0,解得a>1.因此“a>3”是“函数f(x)=(x-a)ex在区间(0,+∞)上有极值”的充分不必要条件.5.Bf'(x)=x2-4

.令f'(x)>0,解得x>2或x<-2,令f'(x)<0,解得-2<x<2,故f(x)在区间[0,2)内单调递减,在区间(2,3]内单调递增,故f(x)的最大值是f(0)或f(3),而f(0)=a>f(3)=a-3,故f(0)=a=2.

6.BCD函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=������−������2−2������3=������2-������-2������3.因为函数f(x)既有极大值也有极小值,所以g(x)=ax2-bx-2c在区间(0,+∞)上有两个不同的零点

,即一元二次方程ax2-bx-2c=0有两个不同的正实数根,设这两个正实数根为x1,x2,所以���=���2+8������>0,���1+���2=������>0,���1���2=-2������>0,所以b2+8ac>0,且ab>0,ac<0,bc<0,所以A不正确,B,C,D正确.故

选BCD.7.Bf'(x)=3ax2-b-1���,∵x=1是函数f(x)的极值点,∴f'(1)=3a-b-1=0,即3a-1=b.令g(a)=lna-(b-1)=lna-3a+2(a>0),则g'(a)=1���-3=1-3������,即g(a)在区间0,13内单调递增,在区间(13

,+∞)内单调递减,故g(a)max=g13=1-ln3<0.故lna<b-1.8.f(x)=sinx(答案不唯一,满足条件即可)根据题意,函数可以为f(x)=sinx,当x=π2+2kπ,k∈Z时,f(x)=sinx取得极大值,当x=-π2+2kπ

,k∈Z时,f(x)=sinx取得极小值.又f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x),所以函数f(x)=sinx是奇函数.9.2由f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,可知f'(x)=3x2-4ax+a2

.依题意可得f'(2)=3×22-4a×2+a2=0,解得a=2或a=6.当a=6时,f'(x)=3x2-24x+36=3(x2-8x+12).由f'(x)=3(x2-8x+12)>0,可得x<2或x>6;由f'(x)=3(x2-8x+12)<0,可得2<x<6.故f(x)在x=2处

取得极大值,不合题意.故a=2.10.(1)∵函数f(x)=13x3+ax2+bx,∴f'(x)=x2+2ax+b.∵函数f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,2)内单调递减,∴f'(1)=1+2a+b=0.∵a=-2,∴b=3.(2)由(1)知f'(1)=1+2a+b=

0,即2a=-b-1.则f(x)=13x3-���+12x2+bx.即f'(x)=x2-(b+1)x+b=(x-b)(x-1).当b≤1时,f'(x)=(x-b)(x-1)>0在区间(1,+∞)内恒成立,此时,函数f(x)在区间(1,+∞)内

单调递增,与题意不符.当b>1时,当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:x(-∞,1)1(1,b)b(b,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由函数f(x)在区间(1,2)内单调递减,得b≥2.当2≤b<4时,函数f(x)在区间[1,4]上的最

小值为f(b)=-16b3+12b2;当b≥4时,函数f(x)在区间[1,4]上的最小值为f(4)=403-4b.综上,当2≤b<4时,f(x)在区间[1,4]上的最小值为-16b3+12b2;当b≥4时,f(x)在区间[1,4]上的最小值为40-12���3.11.BD由函数f(x

)=2x2+1���知,x∈R,且x≠0,求导得f'(x)=4x-1���2=4���3-1���2,对于A选项,当x<0时,f'(x)<0,当0<x<322时,f'(x)<0,当x>322时,f'(x)>0,则f(x)的极小值点为322,

A不正确;对于B选项,当x>0时,f(-x)=2x2-1���,若2x2≥1���,则|f(-x)|=2x2-1���<2x2+1���=f(x),若2x2<1���,则|f(-x)|=1���-2x2<2x2+1���=f(x),即x>0时,恒有|f(-x)|<f(x),B正确;对于C选项,

设切点坐标为���0,2���02+1���0,则切线斜率为f'(x0)=4x0-1���02,切线方程为y-2���02+1���0=4���0-1���02(x-x0),而切线过原点,则有-2���02+1���0=4���0-1���0

2(-x0),解得x0=1,即过原点且与曲线y=f(x)相切的直线有一条,C不正确;对于D选项,当x1<0<x2时,f(x1)=f(x2)⇔2���12+1���1=2���22+1���2⇔(x1-x2)(2x2+2x1)=���1-���2���1���2⇔x2+x1=

12���1���2,(���2-���1)2=(���2+���1)2-4x1x2=14(���1���2)2-4x1x2,令t=x1x2<0,则g(t)=14���2-4t,g'(t)=-12���3-4=-121���3+8,当-12<t<0时,g'(t)>0,当t<-12时,

g'(t)<0,函数g(t)=14���2-4t在区间-12,0上单调递增,在区间-∞,-12上单调递减,当t=-12时,g(t)min=3,即(���2-���1)2有最小值3,x2-x1的最小为3,D正确

.12.C由f(x)=x2ex,可得f'(x)=2xex+x2ex=ex(x2+2x).当x∈(-∞,-2)和(0,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-2,0)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(-∞,-2)和(0,+∞)内单调递增,在区间(-2,0)内单调递

减.若f(x)在区间(k,k+1.5)内无极值点,则k+1.5≤-2或k≥0或-2≤k<k+1.5≤0,即k∈(-∞,-3.5]∪[-2,-1.5]∪[0,+∞)时,f(x)在区间(k,k+1.5)内无极值点,得k∈(-3.5,-2)∪(-1.5,0

)时,f(x)在区间(k,k+1.5)内存在极值点.由k是整数,得k=-3或k=-1.13.-1-3(0,6e-4)当m=0时,f(x)=(x2-2)ex,f'(x)=(x2+2x-2)ex.令f'(x)=0,解得x1=-1-3,x2=-1+3.即f(x)在区间

(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递增,在区间(x1,x2)内单调递减,故f(x)的极大值点为-1-3.f(x)=(x2-2)ex-mx,f'(x)=(x2+2x-2)ex-m,令f'(x)=0,得m=(x2+2x-2)ex.构造函数g(x)=(x2+2x-2)e

x,g'(x)=(x2+4x)ex=x(x+4)ex,即g(x)在区间(-∞,-4),(0,+∞)内单调递增,在区间(-4,0)内单调递减,则g(x)的极大值为g(-4)=6e-4,极小值为g(0)=-2.因为当x<-4时,(x2+2x

-2)ex>0,所以由f(x)有3个极值点,可得0<m<6e-4.故实数m的取值范围是(0,6e-4).14.(1)f'(x)=3ax2-3x.由题意得f'(2)=6,f(2)=4,解得a=1,b=2.(2)f(x)=ax3-32x2+2(a>0).f'(x)=3ax2-

3x=3x(ax-1).令f'(x)=0,解得x=0或x=1���.分以下三种情况讨论:①若1���>1,即0<a<1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-1,0)0(0,1)f'(

x)+0-f(x)单调递增极大值单调递减因为f(-1)=12-a,f(1)=a+12,所以f(x)min=f(-1)=12-a.②若0<1���<1,即a>1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-1,0)00,1a1a1a,1f'(x)+0-0+f(x)单调

递增极大值单调递减极小值单调递增因为f(-1)=12-a,f1���=2-12���2,f1���-f(-1)=2-12���2−12-���=32+a-12���2>0,所以f(x)min=f(-1)=12-a.③当a=1

时,f(x)=x3-32x2+2,则f'(x)=3x2-3x=3x(x-1).由f(x)在区间[-1,1]上的单调性,知求此区间的最小值只比较f(1),f(-1)的大小即可,f(1)=32,f(-1)=-12,所以f(x)min=f(-1)=

-12.综上所述,f(x)min=f(-1)=12-a.15.(1)当a=-3时,f(x)=x2-1���-3lnx(x>0),f'(x)=2x+1���2−3���=2���3-3���+1���2=2���2(x-1)���-3-12���

+3+12,当3-12<x<1时,f'(x)<0;当0<x<3-12或x>1时,f'(x)>0.即f(x)的单调递减区间是3-12,1,单调递增区间是0,3-12和(1,+∞).(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,则需f'(x)=2x+1���2+�

�����=2���3+������+1���2(x>0)有两个不相等的正零点.令g(x)=2x3+ax+1(x>0),故需g(x)有两个不相等的正零点,而g'(x)=6x2+a.①当a≥0时,g'(x)>0,此时g(x)不可能有两个不相等的正零点,故f(x)不

可能有两个极值点.②当a<0时,g'(x)=6x2+a=6���2--���6=6���+-���6���--���6,当0<x<-���6时,g'(x)<0;当x>-���6时,g'(x)>0.故g(x)在区间0

,-���6内单调递减,在区间-���6,+∞内单调递增.则需g(x)min=g-���6=2���3-���6+1<0,解得a<-3342.由于a3<-272<-6,a3<-272<-154,-1a<-a6<-3a,而g-1a=-2

a3>0,g(-3a)=-54a3-3a2+1=-3a2(18a+1)+1>0,故g(x)在区间0,-a6内和-a6,+∞内各有一个零点,则g(x)有两个不相等的正零点,即f(x)有两个极值点.综上所述,a的取值范围是-∞,-3342.考点17参考答案1.(

1)∵F(x)=f(x)+g(x)=xex+12x2+x,∴F'(x)=(x+1)(ex+1),令F'(x)>0,解得x>-1;令F'(x)<0,解得x<-1,∴F(x)在区间(-∞,-1)内单调递减,在区间(-1,+∞)

内单调递增.故F(x)min=F(-1)=-12−1e.(2)∵任意x1,x2∈[-1,+∞),且x1>x2,有m[f(x1)-f(x2)]>g(x1)-g(x2)恒成立,∴mf(x1)-g(x1)>

mf(x2)-g(x2)恒成立.令h(x)=mf(x)-g(x)=mxex-12x2-x,x∈[-1,+∞),即只需h(x)在区间[-1,+∞)内单调递增即可.故h'(x)=(x+1)(mex-1)≥0在区间[-1,+∞)恒成立

,故m≥1e���,而1e���≤e,故实数m的取值范围是[e,+∞).2.(1)证明：f'(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna,∵a>1,当x∈(0,+∞)时,lna>0,ax-1>0,∴f'(x)>0,故函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.(2

)解：当a>0,a≠1时,f'(x)=2x+(ax-1)lna,令h(x)=2x+(ax-1)lna,则h'(x)=2+ax(lna)2>0,即h(x)在R上单调递增,则f'(x)在R上单调递增.∵f'(0)=0,故f'(x)=

0有唯一解x=0,∴x,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:x(-∞,0)0(0,+∞)f'(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增又函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,∴方程f(x)=t±1有三个根,而t+1>t-1,∴t-1=f(x)min=f(0)=1,解得t

=2.3.(1)∵f(x)=a2x2+ax-3lnx+1,x∈(0,+∞),∴f'(x)=2a2x+a-3���=2���2���2+������-3���=(������-1)(2������+3)���.∵a>0,x>0,∴2������+3���>0,∴当x∈0,1���时,f

'(x)<0;当x∈1���,+∞时,f'(x)>0,∴函数f(x)在区间0,1���内单调递减,在区间1���,+∞内单调递增.(2)∵y=f(x)的图象与x轴没有公共点,∴函数f(x)在区间(0,+∞)内没有零点,由(1)可得函数f(x)在区间0,1���内单调递减,在区间1���

,+∞内单调递增,∴f1���=3-3ln1���=3+3lna>0,∴lna>-1,∴a>1e,即实数a的取值范围是1e,+∞.4.(1)证明：当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0.设函数g(x)=(

x2+1)e-x-1,则g'(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.当x≥0时,g'(x)≤0,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递减.而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.(2)解：设函数h(x)=1-ax2e-x.f(x)在区间(0,+∞)内只有

一个零点等价于h(x)在区间(0,+∞)内只有一个零点.当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点;当a>0时,h'(x)=ax(x-2)e-x.当x∈(0,2)时,h'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h'(x)>

0.所以h(x)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递增.故h(2)=1-4���e2是h(x)在区间(0,+∞)内的最小值.①若h(2)>0,即a<e24,则h(x)在区间(0,+∞)内没有零点;②若h(2)=0,

即a=e24,则h(x)在区间(0,+∞)内只有一个零点;③若h(2)<0,即a>e24,由于h(0)=1,所以h(x)在区间(0,2)内有一个零点.由(1)知,当x>0时,ex>x2,所以h(4a)=1-16���3e4���=1-

16���3(e2���)2>1-16���3(2���)4=1-1���>0.故h(x)在区间(2,4a)内有一个零点.因此h(x)在区间(0,+∞)内有两个零点.综上所述,当f(x)在区间(0,+∞)内只有一个零点时,a=e24.5.(1)∵f(

x)=x2+bx-alnx,∴f'(x)=2x+b-������(x>0).∵x=2是函数f(x)的极值点,∴f'(2)=4+b-���2=0.∵1是函数f(x)的零点,∴f(1)=1+b=0.由4+���-���2=0,

1+���=0,解得���=6,���=-1.则f(x)=x2-x-6lnx,f'(x)=2x-1-6���.令f'(x)<0,得0<x<2;令f'(x)>0,得x>2,即f(x)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递增.故函数f(x)至多有两个零点,

其中1∈(0,2),x0∈(2,+∞).∵f(2)<0,f(3)=6(1-ln3)<0,f(4)=6(2-ln4)=12(1-ln2)>0,∴x0∈(3,4),故n=3.(2)令g(b)=xb+x2-alnx,b∈[-2,-1],则g(b)为关于b的一次函数,且为增函数,根

据题意,对任意b∈[-2,-1],都存在x∈(1,e),使得f(x)<0成立,则g(b)max=g(-1)=x2-x-alnx<0在区间(1,e)内有解,令h(x)=x2-x-alnx,只需存在x0∈(1,e)使得h(x0)<0即可,由于h'(x)=2x-1

-������=2���2-���-������,令φ(x)=2x2-x-a,x∈(1,e),则φ'(x)=4x-1>0,故φ(x)在区间(1,e)内单调递增,φ(x)>φ(1)=1-a.①当1-a≥0,即a≤1时,φ(x)>0,即h'(x)>0,h(x)在区间(1,e)

内单调递增,即h(x)>h(1)=0,不符合题意.②当1-a<0,即a>1时,φ(1)=1-a<0,φ(e)=2e2-e-a,若a≥2e2-e>1,则φ(e)≤0,即在区间(1,e)内φ(x)<0恒成立,即h'(x)<0恒成立,则h(x)在区间(1,e)内单调递减.故存在x0∈(1,e),使

得h(x0)<h(1)=0,符合题意;若2e2-e>a>1,则φ(e)>0,即在区间(1,e)内一定存在实数m,使得φ(m)=0,则在区间(1,m)内φ(x)<0恒成立,即h'(x)<0恒成立,h(x)在区间(1,m)内单

调递减.故存在x0∈(1,m),使得h(x0)<h(1)=0,符合题意.综上所述,当a>1时,对任意b∈[-2,-1],都存在x∈(1,e),使得f(x)<0成立.6.(1)证明：设h(x)=sinx-

x,x∈[0,1],则h'(x)=cosx-1≤0对∀x∈[0,1]恒成立,且仅在x=0时有h'(0)=0,所以函数h(x)在区间[0,1]上单调递减.所以对∀x∈(0,1),有h(x)<h(0)恒成立.又因为h(0)=0,所以sinx-x<0恒成立.所以sinx<x,x∈(0,1).

设g(x)=sinx-(x-x2),则g'(x)=cosx+2x-1.令G(x)=cosx+2x-1,则G'(x)=-sinx+2>0对∀x∈[0,1]恒成立,所以g'(x)在区间[0,1]上单调递增.又g'(0)=1+0-1=0,所以对∀x∈[0,1]

,g'(x)≥0恒成立,且仅当x=0时有g'(0)=0,所以函数y=g(x)在区间[0,1]上单调递增.所以对∀x∈(0,1),有g(x)>g(0)恒成立.又因为g(0)=0,所以sinx+x2-x>0对∀x

∈(0,1)恒成立.所以当x∈(0,1)时,x-x2<sinx.综上可知,x-x2<sinx<x,x∈(0,1)成立.(2)解：题知f'(x)=-asinax+2���1-���2,f'(0)=0,令p(x)=f'(x)=-asinax+2���1-���2,则

p'(x)=-a2cosax+2+2���2(1-���2)2,p'(0)=2-a2.①当2-a2>0,即-2<a<2时,可知存在0<x0<1,使得x∈(0,x0)时,p'(x)>0,所以p(x)在区间(0,x0)内单调递增,即f'(x)在区间(0,x0)内

单调递增.所以当x∈(0,x0)时,f'(x)>f'(0)=0,所以f(x)在区间(0,x0)内单调递增,这与x=0是f(x)的极大值点相矛盾,不符合题意.②当2-a2<0,即a<-2或a>2时,可知存在0<x0<1,使得x∈(-x0,x0)

时,p'(x)<0,所以p(x)在区间(-x0,x0)内单调递减,即f'(x)在区间(-x0,x0)内单调递减.又f'(0)=0,所以当x∈(-x0,0)时,f'(x)>0,当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,所以f(x)在区间(-x0,0)内单调递增,在区间(0,

x0)内单调递减,此时满足x=0是f(x)的极大值点.③当2-a2=0,即a=±2时,易知f(x)是偶函数,所以只需考虑a=2的情形即可.当a=2时,f'(x)=-2sin2x+2���1-���2.由(1)知,当0<x<1

时,x>sinx,所以当0<x<22时,2x>sin2x,所以当0<x<22时,-2·2x<-2sin2x,即当0<x<22时,-2x<-2sin2x.所以当x∈(0,22)时,f'(x)>-2x+2���1-�

��2=2x(11-���2-1)>0,所以f(x)在区间(0,22)内单调递增,与x=0是f(x)的极大值点相矛盾,不符合题意.综上所述,a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).7.(1)①当k=6时,f(x)=x3+6lnx,则f'(x)=3x2+6���(x>0).可得f(1)

=1,f'(1)=9,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=9(x-1),即y=9x-8.②依题意,g(x)=x3-3x2+6lnx+3���,x∈(0,+∞).从而可得g'(x)=3x2-6

x+6���−3���2,整理可得g'(x)=3(���-1)3(���+1)���2.令g'(x)=0,解得x=1.当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,+∞)g'(x)-0+g(x)单调递减极小值单调递增所以,函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间

为(1,+∞);g(x)的极小值为g(1)=1,无极大值.(2)证明：由f(x)=x3+klnx,得f'(x)=3x2+������(x>0).对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,令���1���2=t(t>1),则(

x1-x2)[f'(x1)+f'(x2)]-2[f(x1)-f(x2)]=(x1-x2)(3���12+������1+3���22+������2)-2(���13−���23+kln���1���2)=���13−���23-3���12x2+3x1�

��22+k(���1���2−���2���1)-2kln���1���2=���23(t3-3t2+3t-1)+k(t-1���-2lnt).①令h(x)=x-1���-2lnx,x∈[1,+∞).当x>1时,h'(x)=1+1���2−

2���=1-1���2>0,由此可得h(x)在区间[1,+∞)内单调递增,所以当t>1时,h(t)>h(1),即t-1���-2lnt>0.因为x2≥1,t3-3t2+3t-1=(t-1)3>0,k≥-3,所以,���23(t3-3t2+3t-1)+k(t-1���-

2lnt)≥(t3-3t2+3t-1)-3(t-1���-2lnt)=t3-3t2+6lnt+3���-1.②由(1)②可知,当t>1时,g(t)>g(1),即t3-3t2+6lnt+3���>1,故t3-3t2+6lnt+3���-1>0.③由①②③可得

(x1-x2)[f'(x1)+f'(x2)]-2[f(x1)-f(x2)]>0.所以,当k≥-3时,对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有���'(���1)+���'(���2)2>���(���1)-���(

���2)���1-���2.考点18参考答案1.C∵sinα<0,∴α的终边落在第三、第四象限或y轴的非正半轴.又tanα>0,∴α的终边在第一象限或第三象限.综上可知,α是第三象限角.2.A将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转,故选项C,

D不正确.因为拨慢10分钟,所以转过的角度应为圆周的212=16,即为16×2π=π3.3.B∵点P(tanα,cosα)在第三象限,∴tanα<0,cosα<0,则角α在第二象限.4.A连接圆心与弦的中

点,则由弦心距、弦长的一半、半径构成一个直角三角形,弦长的一半为1,其所对的圆心角为0.5,故半径为1sin0.5,这个圆心角所对的弧长为1sin0.5.故选A.5.D依题意得cosα=������2+5=24x<0,由此解得x=-3,

故选D.6.C因为点P32,-12在第四象限,所以根据三角函数的定义可知tanθ=-1232=-33,且θ为第四象限角,又θ∈[0,2π),所以θ=11π6.7.D设扇形OAB的圆心角为α,扇形OAB的面积为S1,扇环形ABDC的面

积为S2,圆的面积为S.由题意可得,S1=12αr2,���2���1=5-12,S=πr2,所以���2���=5-12���1π���2=(5-1)���4π.因为剪下扇形OAB后所剩扇形的弧长与圆周长的比值

为5-12,所以2π���-������2π���=5-12,则α=(3-5)π,所以���2���=(5-1)���4π=(5-1)(3-5)π4π=35-5-3+54=5-2.8.-43由三角函数

定义,知cosα=39+���2=35,且y<0,可解得y=-4.故tanα=������=-43.9.0设角α终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),则点P与原点的距离r=���2+(-3���)2=10|k|.当k>0时,r=10k,则sinα=-3���10���=-310,1co

s���=10������=10,即10sinα+3cos���=-310+310=0;当k<0时,r=-10k,则sinα=-3���-10���=310,1cos���=-10������=-10,即10sinα+3cos���=310-31

0=0.综上,10sinα+3cos���=0.10.四由α是第三象限角,可知2kπ+π<α<2kπ+3π2(k∈Z).故kπ+π2<���2<kπ+3π4(k∈Z),即���2是第二或第四象限角.又sin���2=

-sin���2,故sin���2<0.因此���2只能是第四象限角.11.10,2设扇形的半径为r,圆心角为θ,则rθ+2r=40.故扇形的面积S=12θr2=12(40-2r)r=-r2+20r=-(r-10)2+100≤100.当且仅当r=10时,S

有最大值100,此时10θ+20=40,θ=2.故当r=10,θ=2时,扇形的面积最大.12.B由α=2kπ-π5(k∈Z)及终边相同的角的概念知,角α的终边在第四象限.因为角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角.所以sinθ<0,cosθ>0,tanθ

<0.所以y=-1+1-1=-1.13.ABD若0<α<π2,则sinα<tanα=sin���cos���,故A正确;若α是第二象限角,则���2∈π4+kπ,kπ+π2(k∈Z),则���2为第一象限角或第三象

限角,故B正确;若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0),则sinα=4���9���2+16���2=4���5|���|=±45,故C不正确;若扇形的周长为6,半径为2,则弧长等于6-2×2=2,其圆心角的大小为1弧度,故D正确.14.-23π

30∵2382°=397π30=14π-23π30,∴与2382°角终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为-23π30.15.125π3因为点P(sin5π6,cos5π6)是角α的终边上一点,所以cosα=sin5π6sin25π6+cos25π6=sin5

π6=12.因为sin5π6=12>0,cos5π6=-32<0,所以点P在第四象限,也即α是第四象限角,所以α=2kπ-π3(k∈Z),当k=1时,α取得最小正值为5π3.16.34由题意知角θ的终边与240°角的终边相同.∵点P(x,y)在角θ的终边上,∴tanθ=tan240°=3=��

����,于是���������2+���2=������1+������2=31+3=34.17.6-22由三角函数的定义,得点A(cos30°,sin30°),点B(cos60°,sin60°),即点A32,12,点B12,32.所以|A

B|=12-322+32-122=232-12=6-22.考点19参考答案1.B因为α∈-π2,π2,sinα=-35,所以cosα=45,即cos(-α)=45.2.B∵tan(α-π)=34,∴tanα=34.又α∈π2,3π2,∴α∈π,3π2.∴

sin���+π2=cosα=-45.3.A原式=sin4π+5π6+cos-10π+π3-tan6π+π4=sin5π6+cosπ3-tanπ4=12+12-1=0.4.AB∵sinα=45,且α为锐角,∴cosα=1-sin2���=1-452=35,故B正确;tanα=sin���c

os���=43,故A正确;sinα+cosα=45+35=75,sinα-cosα=45−35=15,故C,D错误.5.D由题意可知cosα≠0,则sin���-2cos���3sin���+5cos���=tan���-23tan���+5=-5,解得tanα=-2

316.6.C原式=-cos���cos���(-cos���-1)+cos���-cos���·cos���+cos���=1cos���+1+11-cos���=1-cos���+1+cos���(1+cos���)(1-cos���)=21-cos

2���=2sin2���,因为sinθ=33,所以2sin2���=213=6.7.D∵cos5π12+���=sinπ12-���=13,且-π<α<-π2,∴7π12<π12-α<13π12,∴cosπ12-���=-

1-sin2π12-���=-223.8.A∵cos3π2-���+cos(π+α)=2,∴-sinα-cosα=2,即sinα+cosα=-2,∴(sinα+cosα)2=2,∴sinαcosα=12,∴tanα+1tan���=sin���cos���+cos��

�sin���=1sin���cos���=2.9.-45-43因为cosθ=-35(π<θ<2π),所以π<θ<3π2,所以sinθ<0,所以sinθ=-1--352=-45,tan(π-θ)=-tanθ=-sin���cos���=-43.10.-32f(sin15°)=f(cos7

5°)=cos150°=cos(180°-30°)=-cos30°=-32.11.1-2由题意得���=���2-4���≥0,sin���+cos���=���,sin���cos���=���,所以

a≥4或a≤0,且sinθ+cosθ=sinθcosθ=a,所以(sinθ+cosθ)2=(sinθcosθ)2,即1+2sinθcosθ=(sinθcosθ)2,即a2-2a-1=0,因为a≥4或a≤0,所以a=1-2.

12.-1当k=2n(n∈Z)时,原式=sin(2���π-���)cos[(2���-1)π-���]sin[(2���+1)π+���]cos(2���π+���)=sin(-���)cos(-π-���)sin(π+���)cos���=-sin���(-cos���)-sin���cos

���=-1;当k=2n+1(n∈Z)时,原式=sin[(2���+1)π-���]cos[(2���+1-1)π-���]sin[(2���+1+1)π+���]cos[(2���+1)π+���]=sin(π-���)cos���sin

���cos(π+���)=sin���cos���sin���(-cos���)=-1.综上,原式=-1.13.B∵2tanαsinα=3,∴2sin2���cos���=3,即2cos2α+3cosα-2=0.又-

π2<α<0,∴cosα=12或cosα=-2(舍去),∴sinα=-32.14.D终边在直线y=x上的角为kπ+π4(k∈Z),因为角α和β的终边关于直线y=x对称,所以α+β=2kπ+π2(k∈Z).又β=-π3,所以α=2kπ+5π6(

k∈Z),即得sinα=12.15.C因为sin���+π6=14,所以sin5π6-���+cos(π3-x)=sinπ-���+π6+cos[π2-(x+π6)]=2sin(x+π6)=2×14=12.16.912sin21°+sin22°+

…+sin290°=sin21°+sin22°+…+sin244°+sin245°+cos244°+cos243°+…+cos21°+sin290°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+

…+(sin244°+cos244°)+sin245°+sin290°=44+12+1=912.17.CD由诱导公式知当α∈R时,sin(π+α)=-sinα,所以A错误;当n=2k(k∈Z)时,cos(nπ-α)=cos(-α)=cosα,此时cosα=13,当n=

2k+1(k∈Z)时,cos(nπ-α)=cos[(2k+1)π-α]=cos(π-α)=-cosα,此时cosα=-13,所以B错误;若α≠���π2(k∈Z),则tanπ2+���=sinπ2+��

�cosπ2+���=cos���-sin���=-1tan���,所以C正确;将等式sinα+cosα=1两边平方,得sinαcosα=0,所以sinα=0或cosα=0,若sinα=0,则cosα=1,此时sinnα+cosnα=1(n

∈N*),若cosα=0,则sinα=1,此时sinnα+cosnα=1(n∈N*),故sinnα+cosnα=1(n∈N*),所以D正确.18.(0,2)因为f(31)=asinπ5×31+btan(π5×31)=asinπ5+btanπ5=f(1)=1,所以由f(31)>log2x,即

1>log2x,解得0<x<2.考点20参考答案1.Ay=sinxcosx=12sin2x是周期为π的奇函数;y=sin2x为偶函数;y=tan2x的周期为π2;y=sin2x+cos2x为非奇非偶函数,故选A.2.B由fπ6+���=fπ6-���

知,函数图象关于直线x=π6对称,fπ6是函数f(x)的最大值或最小值.故选B.3.A∵y=f(x)的图象关于点3π2,2中心对称,∴b=2,且sin3π2���+π4=0,∴3π2ω+π4=kπ,k∈Z,解得ω=2���3−16,k∈Z.∵T=2π|���|,ω>0,2π3<T<

π,∴2π3<2π���<π,∴2<ω<3.∴当k=4时,ω=52符合题意.故f(x)=sin52���+π4+2.∴fπ2=sin5π4+π4+2=1.故选A.4.A由题意,得函数f(x)图象的相邻的两条对称轴方程分别为x

1=1+52=3,x2=5+72=6,故函数的周期为2×(6-3)=2π���,得ω=π3,故选A.5.A因为y=cos(x+1)的周期是2π,最大值为1,最小值为-1,所以y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是π2+4,故

选A.6.BD因为函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ∈R)图象的一条对称轴方程为x=π6,所以2×π6+φ=π2+kπ(k∈Z),解得φ=π6+kπ(k∈Z),所以当k=0时,φ=π6;当k=1时,φ=7π6;当k=-1时,φ=-5π6.

7.C由题意可知f(x)=2sin2���+π3,其图象的对称中心为点(x0,0),故2x0+π3=kπ(k∈Z),即x0=-π6+���π2(k∈Z).又x0∈0,π2,故k=1,x0=π3,故选C.8.A因为函数f(x)=As

in(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数),相邻两个零点的差为-π2,所以函数f(x)的最小正周期T=π,所以ω=2.因为对任意x,f(x)≥f2π3恒成立,所以Asin2×2π3+���=-A,即φ=2kπ+π6,k∈N,所以f(x)=Asin2���+

2���π+π6=Asin2���+π6,k∈N.故f(-2)=Asin-4+π6=Asin(π6-4+2π)>0,f(2)=Asin4+π6<0,f(0)=Asinπ6=Asin5π6>0,由于3π2>π6-4+2π>5π6>π2,而正弦函数在区间π2,3π2内单调递减,故f(2

)<f(-2)<f(0).9.12因为f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数,所以φ=π2+kπ,k∈Z,而0<φ<π,故取k=0,得φ=π2,则f(x)=sin2���+π2=cos2x,所以f

π6=cosπ3=12.10.2���π-2π3,0(k∈Z)由题意得2π���=4π,解得ω=12,故f(x)=sin12���+���.由fπ3=1,可得12×π3+φ=2kπ+π2(k∈Z),由|φ|<π2,可得φ=π3,故f(x)=sin12���+π3.由12x+π3=kπ(k∈Z)

,可得x=2kπ-2π3(k∈Z).故f(x)图象的对称中心为点(2kπ-2π3,0)(k∈Z).11.[2,3)由题意可知,要使函数f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点

,即函数y=cosωx(ω>0)的图象在区间[0,2π]上有且仅有3个最高点,设y=cosωx(ω>0)的最小正周期为T,画出函数y=cosωx(ω>0)的大致图象,如图.要满足题意,需要2T≤2π<3T,即2π3<T=2π���≤π,解得

2≤ω<3.12.D因为函数f(x)=cos(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=13π12,所以13π6+φ=kπ(k∈Z),即φ=kπ-13π6(k∈Z).又-π2<φ<π2,则φ=-π6,于是y=f���+π3=cos[2

(x+π3)-π6]=cos2���+π2=-sin2x,所以该函数为奇函数,且在区间0,π4内单调递减,故选D.13.ABC对于A,当φ=π6时,f(x)=sin2���+π6,由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z,所以

f(x)的单调递增区间为[-π3+kπ,π6+kπ],k∈Z,因为-π6,0⫋-π3+���π,π6+���π,k∈Z,所以f(x)在区间-π6,0内单调递增,故A正确;对于B,由f(x)的图象关于直线x=π12对称,得2×π12+φ=π2+kπ,k∈Z,所以φ=π3+k

π,k∈Z,又-π2<φ<π2,所以φ=π3,得f(x)=sin2���+π3,由-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,得-5π12+kπ≤x≤π12+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间

为[-5π12+kπ,π12+kπ],k∈Z,因为-π6,0⫋-5π12+���π,π12+���π,k∈Z,所以f(x)在区间-π6,0内单调递增,故B正确;对于C,由f(x)的图象关于点π3,0对称,得2×π3+φ=kπ,k∈Z,所以φ=-2π3+kπ,k

∈Z,又-π2<φ<π2,所以φ=π3,得f(x)=sin2���+π3,由B知f(x)在区间-π6,0内单调递增,故C正确;对于D,由f(x)的图象关于直线x=5π12对称,得2×5π12+φ=π2+kπ,k∈Z,所以φ=-π3+

kπ,k∈Z,又-π2<φ<π2,所以φ=-π3,得f(x)=sin2���-π3,由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,k∈Z,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为-π12+���π,5π12+���π,k∈Z,因为-π6,0不是-π

12+���π,5π12+���π(k∈Z)的子集,所以f(x)在区间-π6,0内不单调递增,故D错误.14.B由题意得-π4���+���=���1π,���1∈Z,π4���+���=���2π+π2,���2∈Z,

解得φ=���1+���22π+π4,ω=2(k2-k1)+1,k1,k2∈Z.∵|φ|≤π2,∴φ=π4或φ=-π4.∵f(x)在区间π18,5π36内单调,∴5π36−π18≤���2(T为周期),T≥π6,即2π���≥π6

,ω≤12.∵ω>0,∴0<ω≤12.若φ=π4,则k1+k2=0,ω=4k2+1,ω=1,5,9,若ω=9,则f(x)=sin9���+π4在区间π18,5π36内单调递减,符合题意;若φ=-π4,则k1+k2=-1,ω=4k2+3,ω=3,7,11,若ω=11,则f(

x)=sin11���-π4在区间π18,3π44内单调递增,在区间3π44,5π36内单调递减,不符合题意.综上,ω的最大值为9.15.-32,3由两个三角函数的图象的对称中心完全相同,可知它们的周期相同,则ω=2,即f(x)=3sin2���-π6.当x∈0,π2时,-π6≤2x-π6≤

5π6,解得-12≤sin(2x-π6)≤1,故f(x)∈-32,3.16.-12,1π6,π2若-π6≤x≤π3,则-π6≤2x+π6≤5π6,此时-12≤sin2���+π6≤1,即f(x)的值域是[-12,1].若-π6≤x≤a,则-π6≤2x+π6≤2a+π6.因为当2x+

π6=-π6或2x+π6=7π6时,sin2���+π6=-12,所以要使f(x)的值域是-12,1,则π2≤2a+π6≤7π6,即π3≤2a≤π,所以π6≤a≤π2,即a的取值范围是π6,π2.17.①④

⇒②③或①③⇒②④若f(x)的最小正周期为π,则ω=2,函数f(x)=sin(2x+φ).同时若f(x)的图象关于直线x=π12对称,则sin(2×π12+φ)=±1.∵-π12<φ<π2,∴2×π12+φ=π2,∴φ=π3,此时f

(x)=sin(2x+π3),②③成立,故①④⇒②③.若f(x)的最小正周期为π,则ω=2,函数f(x)=sin(2x+φ),同时若f(x)的图象关于点(π3,0)对称,则2×π3+φ=kπ(k∈Z).∵-π12<φ

<π2,∴φ=π3,此时f(x)=sin(2x+π3),②④成立,故①③⇒②④.考点21参考答案1.D因为θ∈π4,3π4,所以π4+θ∈π2,π,又因为sinπ4+���=35,所以tanπ4+���=-34,所以tanθ=tanπ4+���-π4=tanπ4+�

��-tanπ41+tanπ4+���·tanπ4=-34-11-34×1=-7.2.D原式=2×sin47°-sin17°cos30°cos17°=2×sin(17°+30°)-sin17°cos30°co

s17°=2sin30°=1.故选D.3.C∵cos���-π6+sinα=32cosα+32sinα=435,∴12cosα+32sinα=45.∴sin���+7π6=-sin���+π6=-(32sinα+12cosα)=-45.4.C因为

2sin2α=1+cos2α,所以2sin2α=2cos2α.所以2cosα(2sinα-cosα)=0,解得cosα=0或tanα=12.若cosα=0,则α=kπ+π2(k∈Z),2α=2kπ+π(k∈Z),所以tan2α=0;若tanα=12,则tan2α=2tan�

��1-tan2���=43.综上所述,故选C.5.B由题意,知10sinαcosα=6cosα,∵α∈0,π2,∴sinα=35,cosα=45,∴tan���2=sin���2cos���2=2sin2���22sin���2cos���2=1-cos���sin���=1-45

35=13.6.D由题意设△ABC为∠A=36°的黄金三角形,AB=BC=a,AC=b,则������=5-12.如图,过点B作BD⊥AC,垂足为D,则AD=���2.在Rt△ABD中,cosA=���2���=15-

1=5+14,即cos36°=5+14.所以sin126°=cos36°=5+14.7.C因为α-β=π3,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=12,令x=cosαcosβ,y=sinαsinβ,则x+y=12,因为α,β均是锐角,所以x>0,y>0,则1cos���co

s���+1sin���sin���=1���+1���=2×1���+1���·(x+y)=4+2������+2������≥4+22������·2������=8,当且仅当x=y,即α=5π12,β=π12时等号成立.8.B∵sin(α-β)=13,cosαsinβ=16,∴sin(α-β

)=sinαcosβ-cosαsinβ=sinαcosβ-16=13,解得sinαcosβ=12.∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12+16=23,∴cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×(23

)2=19.故选B.9.-3513cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2���-sin2���cos2���+sin2���=1-tan2���1+tan2���=-35;tan���-π4=tan���-11+tan

���=13.10.±3f(x)=1+2cos2���-12cos���+sinx+a2sin���+π4=cosx+sinx+a2sin���+π4=2sin���+π4+a2sin���+π4=(2+a2

)sin���+π4.依题意有2+a2=2+3,则a=±3.11.(1)f(x)=cos-���2+sinπ-���2=sin���2+cos���2=2sin���2+π4,故函数f(x)的最小正周期T=2π12=4π.(2)由f(α

)=2105,得sin���2+cos���2=2105,则sin���2+cos���22=21052,即1+sinα=85,解得sinα=35,又α∈0,π2,则cosα=1-sin2���=1-925=45,故tanα=s

in���cos���=34.所以tan���+π4=tan���+tanπ41-tan���tanπ4=34+11-34=7.12.Da=sin40°cos127°+cos40°sin127°=sin(40°+127°)=sin167°=sin13°,

b=22(sin56°-cos56°)=22sin56°-22cos56°=sin(56°-45°)=sin11°,c=1-tan239°1+tan239°=cos239°-sin239°cos239°cos239°+sin239°cos239°=cos239°-sin239°=cos78°=si

n12°.∵sin13°>sin12°>sin11°,∴a>c>b.故选D.13.BC对于A,1-cos2���1+cos2���=1-(1-2sin2���)1+2cos2���-1=sin2���cos2���=tan2���=|tanα|,由1-cos2���1+cos2���≥0,解

得-1<cos2α≤1,即2α≠π+2kπ(k∈Z),解得α≠π2+kπ(k∈Z),故A不符合题意;对于B,因为α∈(0,π),所以1+cos(π+2���)2·1cos���=1-cos2���2·1cos���=sin2���·1cos���=|sin

���|cos���=sin���cos���=tanα,故B符合题意;对于C,1-cos2���sin2���=2sin2���2sin���cos���=sin���cos���=tanα,故C符合题意;对于D,sin2���1-cos2���=2sin���cos���2sin2

���=cos���sin���≠tanα,故D不符合题意.14.A∵α∈π4,π,∴2α∈π2,2π.∵sin2α=55,∴2α∈π2,π.∴α∈π4,π2,cos2α=-255.∵β∈π,3π2,∴β-α∈π2,5π4

,∴cos(β-α)=-31010,∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=-255×-31010−55×1010=22.又α+β∈5π4,2π,∴α+β=7π4.15.π���π-π3,���π+π6

(k∈Z)∵f(x)=2sin(x+5π24)·cos(x+5π24)-2cos2���+5π24+1=sin2���+5π12-cos(2x+5π12)=2sin2���+5π12cosπ4-cos2���+5π12sinπ4=2s

in2���+5π12-π4=2sin2���+π6,∴f(x)的最小正周期T=2π2=π.由f(x)=2sin2���+π6,得当2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),即kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)时,f(x)单调递增,即函数f(x)的单调递增区

间是[kπ-π3,kπ+π6](k∈Z).16.C由题意可得,f(x0)是函数f(x)的最小值,f(x0+2024π)是函数f(x)的最大值.要使结论成立,只需保证区间[x0,x0+2024π]能够包含函数的至少一个完整的单调递增区间即可.又f(x)=cosωx(si

nωx+3cosωx)=12sin2ωx+3×1+cos2������2=sin2������+π3+32,所以2024π≥12×2π2���,求得���≥14048,故ω的最小值为14048,故选C.17.(1)f(x)=sin2x+sinxcosx+2sin

(x+π4)·cos���+π4=1-cos2���2+12sin2x+sin2���+π2=12+12(sin2x-cos2x)+cos2x=12(sin2x+cos2x)+12.由tanα=2,得sin2α=2sin���cos���sin2���+cos2���=2tan���

tan2���+1=45,cos2α=cos2���-sin2���sin2���+cos2���=1-tan2���1+tan2���=-35.故f(α)=12(sin2α+cos2α)+12=35.(2)由(1)得f(x)=12(sin2x+cos2x)+12=22si

n2���+π4+12.由x∈π12,π2,得2x+π4∈5π12,5π4.则-22≤sin2���+π4≤1,即0≤f(x)≤2+12,故f(x)的取值范围是0,2+12.考点22参考答案1.A令x=0,得y=sin-π3=-

32,排除B,D.由f-π3=0,fπ6=0,排除C,故选A.2.AC由曲线C1:y=3sinx变换到曲线C2:y=3sin2���+π4,若先伸缩后平移,则先把曲线C1上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π8个单位长度,得到曲线C2;若先平移后伸缩,则先把

曲线C1向左平移π4个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,得到曲线C2.所以正确的选项为AC.3.C将函数f(x)=sin2x+cos2x=2sin2���+π4的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得

函数y=2sin(2x+2φ+π4)的图象关于y轴对称,则有2φ+π4=kπ+π2(k∈Z).解得φ=12kπ+π8(k∈Z).由φ>0,则当k=0时,φ取得最小值π8.故选C.4.C已知函数f(x)为奇函数,

且|φ|<π,故φ=0,即f(x)=Asinωx,则g(x)=Asin���2x.∵g(x)的最小正周期为2π,∴2π���2=2π,∴ω=2.得g(x)=Asinx.∵g(π4)=2,即Asinπ4=2,∴A=2,∴f(x)=2sin2x.即f(3π8)=2sin3π4

=2,故选C.5.D设f(x)的最小正周期为T,由题图可知���2=11π12−7π12=π3,所以T=2π3,ω=3.当x=7π12时,y=0,即3×7π12+φ=2kπ-π2(k∈Z),所以φ=2kπ-9π4(k∈Z).因为|φ|<π2,所以取k=1,φ=-π4

,所以f(x)=Acos3���-π4.又因为fπ2=Acos3π2-π4=-1,所以A=2,f(x)=2cos3���-π4,从而g(x)=-2sin3x.当x∈π12,5π12时,3x∈π4,5π4,所以sin3x∈-22,1.得g(x)=-2sin3x∈[-2,1],即g(x)在区间[π

12,5π12]上的取值范围为[-2,1].6.B根据题中所给图象,周期T=4×7π12-π3=π,故π=2π���,即ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ),又图象经过点7π12,0,所以2×7π12+φ=2kπ+π(k∈Z),再由|φ|<π2,得φ=-π6,故f���+π6=sin2��

�+π6,当2x+π6=-π2+2kπ(k∈Z),即x=-π3+kπ(k∈Z)时,y=f���+π6取得最小值.7.C方程2sin2���+π6=m可化为sin(2x+π6)=���2,当x∈0,π2时

,2x+π6∈π6,7π6.作出函数y=f(x)=sin(2x+π6)在区间[0,π2]上的图象如图所示.由题意,得12≤���2<1,即1≤m<2,得m的取值范围是[1,2),故选C.8.sinπ2���+π6由题意得22+π���2

=22,ω>0,则π���=2,即ω=π2,所以f(x)=sinπ2���+���,因为该函数图象过点2,-12,所以sin(π+φ)=-12,即sinφ=12,而-π2≤φ≤π2,所以φ=π6,所以f(x)=sinπ2���+π6.9.π3由2

x=π2,得函数f(x)=sin2x的图象在y轴右侧自左向右的第一条对称轴的方程为x=π4.直线x=π8关于直线x=π4对称的直线为x=3π8,由题中图象可知,y=f(x)的图象通过向右平移之后,横坐标为x=3π8的点平移到横坐标

为x=17π24的点处,则φ=17π24−3π8=π3.10.-32对比正弦曲线y=sinx的图象易知,点2π3,0对应“五点法”中的第五点,所以2π3���+φ=2π①.由题目中图象知|AB|=xB-xA=π6,线段AB的垂直平分线对应于正弦曲线y=sinx在y轴右边的第1条对称轴

x=π2,所以由sin(ωx+φ)=12,得���������+���=π6,���������+���=5π6,两式相减,得ω(xB-xA)=4π6,即π6���=4π6,解得ω=4,代入①,得φ=-2π3,所以f(x)=sin4���-2π3,所以f(π)=sin(4

π-2π3)=-sin2π3=-32.11.C由题图知f-4π9=cos-4π9���+π6=0,所以-4π9ω+π6=2kπ-π2(k∈Z),得ω=3-9���2(k∈Z).因为T<2π<2T(T为周期),即2π|���|<

2π<4π|���|,所以1<|ω|<2,所以ω=32(此时k=0),最小正周期T=2π|���|=4π3.12.A由周期T=2π���=π,得ω=2.当x=2π3时,f(x)取得最小值,所以4π3+φ=3π2+2kπ(k∈Z),即φ=π6

+2kπ(k∈Z),所以f(x)=Asin2���+π6.所以f(0)=Asinπ6=���2>0,f(2)=Asin4+π6=32Asin4+���2cos4<0,f(-2)=Asin-4+π6=-32As

in4+���2cos4.因为f(2)-f(-2)=3Asin4<0,所以f(2)<f(-2).又f(-2)-f(0)=-Asin4-π6−���2=-Asin4-π6+12,因为π<4-π6<π+π6<3π2,所以sin4-π6>sinπ+π6=-

12,即sin4-π6+12>0,所以f(-2)<f(0).综上,f(2)<f(-2)<f(0),故选A.13.ABD由题图可知,A=2,���4=π(T为周期),所以T=4π=2π���,解得ω=12,故f(x)=2

sin12���+4���.因为图象过点C(0,1),所以1=2sin4φ,即sin4φ=12.因为0<φ<π8,所以0<4φ<π2,所以4φ=π6,故f(x)=2sin12���+π6,故A项正确;若其图象的纵坐标不

变,横坐标缩短到原来的14,则所得图象对应的函数解析式为y=2sin2���+π6,再向右平移π6个单位长度,所得图象对应的函数解析式为g(x)=2sin[2���-π6+π6]=2sin2���-π6,故B项正确;

当x=-π3时,f-π3=2sin0=0,即x=-π3时,f(x)不取最值,故直线x=-π3不是函数f(x)图象的一条对称轴,故C项错误;令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈Z),故函数g(x)的单调递增区间是[kπ-π6,kπ+π3](k∈Z

),当k=1时,g(x)在区间5π6,4π3上单调递增,故D项正确.14.(1)三个条件是①③④,理由如下:若满足②:因为y=sinx-cosx=2sin(x-π4),所以A=2,ω=1;若满足③:因为���2=π

2(T为周期),所以T=2π���=π,所以ω=2;若满足④:A=2.由此可知,若满足②,则③④均不满足,所以同时满足的三个条件是①③④.(2)由③④,知f(x)=2sin(2x+φ),由①,知fπ6=1,所以2sin

π3+���=1,所以sinπ3+���=12,所以π3+φ=2kπ+π6,k∈Z或π3+φ=2kπ+5π6,k∈Z,即φ=2kπ-π6,k∈Z或φ=2kπ+π2,k∈Z,又|φ|<π2,所以φ=-π6,所以f(x

)=2sin2���-π6.令2x-π6=kπ+π2,k∈Z,则x=���π2+π3,k∈Z,当k=-1时,x=-π6;当k=0时,x=π3;当k=1时,x=5π6,若要曲线y=f(x)的对称轴只有一条落在区间[0,m]上,只需m∈π3,5π6,所以实数m的取值范围是π3,5π6.15.D由题设

并结合题中图形可知AB=(3)2+[(3)2+���22]2=6+���24=6+π2���2=10(T为周期),得π2���2=4,则ω=π2,所以函数f(x)=3sin(π2x+5π6),所以f(-1)=3sin(-π2+5π

6)=3sinπ3=32.16.(-∞,1]∪[2,+∞)∵函数f(x)=Asin(2x+φ)-12(A>0,0<φ<π2)的图象在y轴上的截距为1,∴Asinφ-12=1,即Asinφ=32.∵函数f(x)=A

sin(2x+φ)-12的图象关于直线x=π12对称,∴2×π12+φ=kπ+π2(k∈Z).又0<φ<π2,∴φ=π3,∴Asinπ3=32,∴A=3,∴f(x)=3sin(2x+π3)-12.当x∈[0,π2]时,2x+π3∈[π3,4π3],则当2x+π3=4π3

,即x=π2时,f(x)min=-32−12=-2.令m2-3m≥-2,解得m≥2或m≤1.考点23参考答案1.B由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.

故选B.2.A由题意可得,2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,∵sinB≠0,∴cosB=12.∵B∈(0,π),∴B=π3.又S=12acsinB=12×1×c×32=3,∴c=4.∵

b2=a2+c2-2accosB=1+16-2×1×4×12=13,∴b=13.3.B设AC=x,则BC=x-40,在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2·AC·AB·cos∠BAC,即(x-40)2=x

2+1002-100x,解得x=420.在△ACH中,AC=420,∠CAH=15°+30°=45°,∠CHA=90°-30°=60°,由正弦定理,得������sin∠���������=������sin∠���������,即������sin4

5°=420sin60°,解得CH=1406.4.C设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.由题图可知a=3,b=10,c=13,由余弦定理,得cosC=10+9-13610=1010,从而sinC=31010.设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理,得2R=���sin���=1331

010=1303,解得R=1306,故△ABC外接圆的面积S=πR2=130π36=65π18.5.D∵△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,∴B=π3.∵sinA,sinB,sinC成等比数列,∴s

in2B=sinAsinC.由正弦定理得b2=ac.在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosπ3,∴ac=a2+c2-ac,∴(a-c)2=0,∴a=c,∴△ABC为等边三角形.6.C由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=16+9-2×4×3×23=

9,即AB=3.由余弦定理的推论知cosB=������2+������2-������22������·������=9+9-162×3×3=19,又cos2B+sin2B=1,且B∈(0,π),解得sinB=459,故tanB=sin���cos���=45.故选C.7.

AD由A+3C=π,得B=2C.根据正弦定理���sin���=���sin���,得23sinC=3×2sinCcosC,又sinC≠0,故cosC=33.因为C∈(0,π),所以sinC=63,sinB=sin2C=2sinCcosC=223.

由c2=a2+b2-2abcosC,化简得到a2-4a+3=0,解得a=3或a=1.若a=3,则A=C=π4,B=π2,不满足题意,故a=1.S△ABC=12absinC=12×1×23×63=2.8.5在△ABD中,∵∠B

AD=75°,∠ABD=45°,∴∠ADB=60°.由正弦定理可得������sin∠���������=������sin∠���������,即3sin60°=������sin45°,得AD=3sin45°sin60°=

2km.由题意得∠ABC=120°,∠BAC=∠BCA=30°,则BC=AB=3km,于是AC=3km.在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠DAC=5,即CD=5km.9.(1)选用测角仪和米尺.测量方法如下:①选

择一条水平基线HG(如图),使H,G,B三点共线;②在G,H两点分别用测角仪测得A的仰角为α,β,用米尺测量得CD=a,测角仪的高为h.③经计算建筑物的高度AB=���sin���sin���sin(���-��

�)+h或写成���tan���tan���tan���-tan���+ℎ.(2)①测量工具问题;②两次测量时位置的间距差;③用身高代替测角仪的高度.10.A∵在△ABC中,2���-������=cos���cos�

��,∴(2a-c)cosB=bcosC.由正弦定理,得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.则2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.∵sinA≠0,∴cosB=12,

即B=π3.由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,故ac≤16,当且仅当a=c时,取等号,因此,△ABC的面积S=12acsinB=34ac≤43,故选A.11.2如图,∠ABC的平分线

交AC于点D,所以∠ABD=∠CBD=45°,所以SΔABC=12acsin90°=12c·BD·sin45°+12a·BD·sin45°,可得2ac=2c·BD+2a·BD,可得2·������·(���+���)2������=1,所以a+4c=(���+4���

)·2(���+���)2������·BD,所以a+4c=22·BD·������+5+4������≥22·BD·5+2������·4������=922·BD=9,当且仅当a=2c时取等号,所以BD=

2.12.23221π3连接BD(图略),由余弦定理可知BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA=1+4-2×1×2×cos120°=7,所以cosC=������2+������2-������22������·������=4+9-72×2×3=1

2,则C=60°,则四边形ABCD的面积等于S△ABD+S△BDC=12AB·ADsinA+12CD·CBsinC=12×1×2×sin120°+12×2×3×sin60°=23.由∠A+∠C=180°,得四边形ABCD存在外接圆,即为△ABD的外接圆.设外接圆半径为R,则由

正弦定理可知������sin���=7sin120°=2R,则R=213,所以当公路恰为四边形的外接圆时其长度最小,最小值为2π×213=2213π.13.因为sin���cos���=sin���+sin���cos���

+cos���,所以sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC,sinAcosB-cosAsinB=cosAsinC-sinAcosC,所以sin(A-B)=sin(C-A),因为A,B,C∈(0,π),所以A-B=C

-A,即2A=B+C,所以A=π3.(1)△ABC还同时满足条件①③④,理由如下:若△ABC同时满足条件①②,则由正弦定理,得sinB=���sin������=537>1,这不可能,所以△ABC不能同时满足条件①

②,所以△ABC同时满足条件③④.因为△ABC的面积S=12bcsinA=12×b×8×32=103,所以b=5,与②矛盾,所以△ABC同时满足条件①③④.(2)在△ABC中,由正弦定理,得���sin���=���sin�

��=���sin���=23,因为C=2π3-B,所以b=23sinB,c=23sin2π3-���,所以L=a+b+c=23[sinB+sin(2π3-B)]+3=6(32sinB+12cosB)+3=6sin�

��+π6+3.因为B∈0,2π3,所以B+π6∈π6,5π6,所以sin(B+π6)∈12,1,所以△ABC周长L的取值范围为(6,9].14.AC由正弦定理可将条件3a=2csinA转化为3sinA=2sinCsinA,因为sinA≠0,所以sinC=3

2,因为C∈0,π2,所以C=π3,故A正确;若c=72,则由正弦定理可知���sin���=���sin���,则sinB=������sinC=472×32=437,因为B∈(0,π),b>c,所以cos

B=±1-sin2���=±1-4849=±17,故B错误;若sinA=2cosBsinC,则根据正弦定理可得a=2ccosB,因为3a=2csinA,即a=233csinA,即有233csinA=2ccosB,所以sinA=3cosB.因为A+B

=π-C=2π3,则A=2π3-B,所以sin(2π3-B)=3cosB,整理得32cosB+12sinB=3cosB,即12sinB=32cosB,解得tanB=3,故B=π3,则A=π3.因为A=B=C=π3,

所以△ABC是等边三角形,故C正确;若△ABC的面积是23,即12absinC=23,解得a=2,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=4+16-2×2×4×12=12,即c=23.设△ABC的外接圆半径是R,由正弦定理可得2R=���sin���=2332=4,则该三角形外

接圆半径为2,故D错误.15.∵cos���1+sin���=sin2���1+cos2���=2sin���cos���2cos2���,且cosB≠0,∴由cos���1+sin���=sin���cos���,得cosAcosB=

sinB(1+sinA),∴cosAcosB=sinB+sinAsinB,∴sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC>0.∴sinB>0,cosC<0,∴π2<C<π,0<B<π2.∴sinB

=sin���-π2,∴B=C-π2或B+C-π2=π(舍去).(1)若C=2π3,则0<B<π3,∴sinB=-cosC=-cos2π3=12.∴B=π6.(2)(方法一)由正弦定理,得���2+���2���2=sin2���+

sin2���sin2���.(*)∵C=π2+B,A+B+C=π,∴A+B+π2+B=π,∴A=π2-2B.又0<A<π2,∴0<B<π4.∴(*)式为sin2π2-2���+sin2���sin2π2+���=co

s22���+sin2���cos2���=cos22���+1-cos2���cos2���=(2cos2���-1)2+1-cos2���cos2���.令cos2B=t,则t∈12,1,于是原式=(2���-1

)2+1-������=4���2-4���+1+1-������=4���2-5���+2���=4t+2���-5≥24���·2���-5=42-5,当且仅当4���=2���,12<���<1,即t=22时取等号.∴���2+���2���2的最小值为42-5

.(方法二)∵sinB=-cosC,B=C-π2,∴A=π-(B+C)=3π2-2C.又0<A<π2,∴π2<C<3π4,∴12<sin2C<1.∴sinA=sin(B+C)=sin2���-π2=-c

os2C,∴���2+���2���2=sin2���+sin2���sin2���=(-cos2���)2+(-cos���)2sin2���=(1-2sin2���)2+(1-sin2���)sin

2���=2+4sin4���-5sin2���sin2���=2sin2���+4sin2C-5≥22sin2���·4sin2���-5=42-5,当且仅当sin2C=22时,���2+���2���2有最小值42-5.16.若选①:(1)在△AB

C中,由正弦定理,得������sin∠���������=������sin∠���������,∵3AB=4BC,sin∠ACB=23,∴sin∠BAC=12.∵AB⊥AD,则0<∠BAC<π2,∴∠BAC=π6,∴∠DAC=π3.(2)在△ADC中,DC=2,由余弦定理,

得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,即AC·AD≤4,则S△ADC=12AC·ADsin∠DAC≤12×4×32=3.当且仅当AC=AD时取“=”.故△ADC面积的最大值为3.若选②:(1)由tan∠���������+π6=3

,可得∠BAC=π6,∵AB⊥AD,∴∠BAD=π2,∴∠DAC=π3.(2)在△ADC中,DC=2,由余弦定理,得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,即AC·AD≤4.则S△ADC=12AC·ADsin∠DAC≤12×4×32=3,当且仅当AC=AD

时取“=”.故△ADC面积的最大值为3.若选③:(1)已知2BCcos∠ACB=2AC-3AB,由正弦定理,得2sin∠BACcos∠ACB=2sin∠ABC-3sin∠ACB,则2sin∠BACcos∠ACB=2sin(∠ACB+∠BAC)-

3sin∠ACB,得2sin∠BACcos∠ACB=2sin∠ACBcos∠BAC+2cos∠ACBsin∠BAC-3sin∠ACB,即2sin∠ACBcos∠BAC=3sin∠ACB.∵sin∠ACB>0,∴cos∠BAC=32.∵∠BAC∈(0,π),∴∠BAC=π6.又AB⊥AD

,∴∠BAD=π2,∴∠DAC=π3.(2)在△ADC中,DC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,即AC·AD≤4,则S△ADC=12AC·ADsin∠DAC≤12×4×32=3,当且仅当AC=AD时取“=”.故△ADC面积的最大值为3.考点24

参考答案1.B振幅为2cm,振子在一个周期内通过的路程为8cm,易知在6s内振动了4个周期,故周期T=1.5s,频率f=1���=11.5=23Hz.2.A由题意可知A为水轮的半径3,又水轮每分钟转2圈,故该函数的最小正周期为T=602

=30s,所以ω=2π���=π15.3.D设h=Asin(ωt+φ)+B,由题意可得hmax=18,hmin=2,T=12,A=ℎmax-ℎmin2=8,B=ℎmax+ℎmin2=10,ω=2π���=

π6,则h=8sinπ���6+���+10.当t=0时,8sinφ+10=2,得sinφ=-1,可取φ=-π2,所以h=8sinπ6���-π2+10=-8cosπ6t+10.4.A设圆O的半径为1,质点N的

运动时间为t(单位:分钟),由题意可得,yN=sinπ6���-π2=-cosπ6t,yM=sin[π6(t+3)-π2]=sinπ6t,则yM-yN=2sinπ6���+π4.令sinπ6���+π4=1,解得π6t+π4=2kπ+π2,t=12k+32,k=0,1,2,

3.故M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时,N运动的时间为3×12+32=37.5(分钟).5.AC依题意作出图形,如图.因为∠AOB=���60×2π=π���30,所以经过ts秒针转了π30trad,连接AB,过点O作OD⊥

AB于点D,∠AOD=12∠AOB=π���60.在Rt△AOD中,有sinπ���60=���25,所以d=10sinπ���60或d=10cosπ2-π���60=10cos(30-���)π60,其中t∈[0,60].6.6000作出函数简图如图,三角函数模

型为y=Asin(ωx+φ)+B,由题意知A=12×(9000-5000)=2000,B=7000,周期T=2×(9-3)=12,则ω=2π���=π6.将点(3,9000)看成函数图象的第二个特殊点,则有π6×3+φ=π2,得φ=0,故f(x)=2000sinπ

6x+7000(1≤x≤12,x∈N*),即f(7)=2000×sin7π6+7000=6000(元).故7月份的出厂价格为6000元.7.-5π6由题意,得当x=5+112=8时,sin(π6×8+φ)=±1.因为0<φ<π2,所以4π3<4π3+φ<

11π6,则4π3+φ=3π2,φ=π6,y=a+bsinπ6���+π6,则���+���sin5π6+π6=13,���+���sin8π6+π6=31,化简得���=13,���-���=31,即���=13,���=-18,当

x=2时,y=13-18sin(2π6+π6)=-5.8.AD由题意,R=32+(-33)2=6,周期T=120,所以ω=2π���=π60.当t=0时,y=-33,把(0,-33)代入f(t),可得-33=6

sinφ,解得sinφ=-32.因为|φ|<π2,所以φ=-π3,A正确;则f(t)=6sinπ60���-π3(t≥0).当t∈[0,60]时,π60t-π3∈-π3,2π3,函数f(t)先单调递增后单调递减,B错误;当t∈[0,60]时,点P到x轴的距离的最大值为6,C错

误;当t=100时,π60t-π3=4π3,点P的纵坐标为y=-33,横坐标为x=-3,所以|PA|=6,D正确.9.(1)(2)如图所示.(3)1月份的平均气温最低,为21.4华氏度,7月份的平均气温最高,为73.0华氏度,根据图知,���2=7-1=6,所以T=12.(4)2A=平均最高气

温-平均最低气温=73.0-21.4=51.6,得A=25.8.(5)因为x=月份-1,所以不妨取x=2-1=1,y=26.0,代入①,得������=26.025.8>1≠cosπ���6,所以①不合适.代入②

不合适,同理④也不合适,所以应选③.10.(1)由题意,H(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|≤π2),摩天轮的最高点距离地面145米,最低点距离地面145-124=21米,则���+���=145,���-��

�=21,得A=62,B=83.因为周期为30分钟,ω>0,所以ω=2π30=π15,所以H(t)=62sin(π15t+φ)+83.因为H(0)=62sinπ15×0+���+83=21,所以sinφ=-1,又|φ|≤π2,所以φ=-π2.故H(

t)=62sinπ15���-π2+83(0≤t≤30).(2)由(1)知,H(t)=62sinπ15���-π2+83=-62cosπ15t+83,令-62cosπ15t+83=52,则cosπ15t=12,得t=5(分).

(3)经过t分钟后甲距离地面的高度H1=-62cosπ15t+83,因为乙与甲间隔的时间为3036×6=5分钟,所以乙距离地面的高度H2=-62cosπ15(t-5)+83(5≤t≤30),所以两人距离地面的高度差h=|H1-H2|=-62

cosπ15���+62cosπ15(���-5)=62|sin(π15t-π6)|(5≤t≤30).当π15t-π6=π2或π15t-π6=3π2,即t=10或t=25分钟时,h取最大值,且最大值为62米.考点25

参考答案1.C数列5,11,17,23,29,…中的各项可变形为5,5+6,5+2×6,5+3×6,5+4×6,…,即该数列的通项公式an=5+6(���-1)=6���-1,令6���-1=55,得n=21.2.D当n≥2时

,an=Sn-Sn-1=������+1−���-1���=1���(���+1),则1���5=5×(5+1)=30.3.D由an+1+an=n,得an+2+an+1=n+1,两式相减得an+2-an=1,令n=2,得a4-a2=1.4.D由Sn=n

2,得当n=1时,a1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,当n=1时显然适合上式,所以an=2n-1,所以bn=(n-10)an=(n-10)(2n-1).令f(x)=(x-10)(2x-1),易知其图

象的对称轴为直线x=214,所以数列{bn}的最小项为第5项.5.B因为数列{an}满足a1=-12,an+1=11-������,所以a2=11--12=23,a3=11-���2=3,a4=11-���3=-12=a1,……故

数列{an}是周期为3的数列,且前3项依次为-12,23,3,所以a2024=a674×3+2=a2=23.6.A∵数列{an}满足∀m,n∈N*,都有an·am=an+m,且a1=12,∴a2=a1·a1=14,a3=a1·a2=18,∴a5=a3·a2=132

.7.3n当n=1时a1=3.当n≥2时,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,故an=3n.又a1=3符合上式,故an=3n.8.5或6由题意令������≥������-1(���≥2),������≥������+1,得(���+2)78���≥(���+1

)78���-1,(���+2)78���≥(���+3)78���+1,解得���≤6,���≥5.故n=5或n=6.9.2n-1当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1).又

S1=2a1-1,∴a1=1,∴an+1=2·2n-1=2n,∴an=2n-1.10.(1)因为Sn=(-1)n+1·n,所以a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2.当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(

-1)n+1·n-(-1)n·(n-1)=(-1)n+1·[n+(n-1)]=(-1)n+1·(2n-1).又a1=1也适合此式,所以an=(-1)n+1·(2n-1).(2)当n=1时,a1=S1=6;当n≥2时,an=Sn

-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2·3n-1+2.①因为a1=6不适合①式,所以an=6,���=1,2·3���-1+2,���≥2.11.D∵an+1=an-an-1(n

≥2),a1=m,a2=n,∴a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,……,∴an+6=an,a1+a2+a3+a4+a5+a6=0.∴S2024=S337×6+2=337×(a1+a2+…+a6)+a1+

a2=337×0+m+n=m+n.12.D∵数列{an}为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,被3除后的余数构成一个新数列{bn},∴数列{bn}为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,

2,1,0,…,观察可得数列{bn}是以8为周期的周期数列,∵2024=253×8,且b1+b2+…+b8=9,∴{bn}的前2024项和为253×9=2277.13.1���∵(n+1)������+12-n�����

�2+an+1·an=0,∴(���+1)������+1-���������������+1+������=0.∵数列{an}的首项为1,且各项均为正数,∴(n+1)an+1=nan,即������+1������=������+1,则an=������������-1·������

-1������-2·…·���2���1·a1=���-1���·���-2���-1·…·12·1=1���.14.313∵an+1=an+2n,即an+1-an=2n,∴an=������-������-1+(an-1-an-2)

+…+���2-���1+a1=2(n-1)+2(n-2)+…+2×1+32=2×(1+���-1)(���-1)2+32=n2-n+32.∴���������=n+32���-1.令f(x)=x+32���-1(x≥1),则f'(x)=1-3

2���2=���2-32���2.∴f(x)在区间[1,42)内单调递减,在区间(42,+∞)内单调递增.又f(5)=5+325-1=525,f(6)=6+326-1=313<f(5),∴当n=6时,���������取最

小值为313.15.(1)因为an+1=Sn+3n,所以Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),即bn+1=2bn.又b1=S1-3=a-3,故数列{bn}的通项

公式为bn=(a-3)·2n-1.(2)由题意可知,a2>a1对任意的a都成立.由(1)知Sn=3n+(a-3)·2n-1.于是,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)·2n-1-3n-1-(a-3)·2n-2=2×

3n-1+(a-3)·2n-2,故an+1-an=4×3n-1+(a-3)·2n-2=2n-2[1232���-2+a-3].当n≥2时,由an+1≥an,可知1232���-2+a-3≥0,即a≥-9.又a≠3,故所求的a的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).16.D由题意知f(

Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(n∈N*),则Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),两式相减,得2an=3an-1(n≥2),又an>0,所以������������-1=32(n≥2).又当n=1时,S1+2=3a1=a1+2

,所以a1=1,故an=32���-1.考点26参考答案1.D由a6+a1=a2+a5,4+a1=a2+a5,可得a6=4,所以S11=11(���1+���11)2=11a6=44.2.C设等差数列{an}的前n项和为Sn.由于在等差数列{an}中,S4,S8-S4,

S12-S8成等差数列,又S4=30,S8=100,所以30,70,S12-100成等差数列,即2×70=30+S12-100,解得S12=210.3.C根据题意可知,由a1+a3+a5=105,得a3=35,由a2+a4+a6=99,得a4=33,则等差数列{an}的公差d

=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20.4.BC由等差中项的性质可得a3+a8+a13=3a8为定值,则a8为定值,S15=15(���1+���15)2=15a8为定值

,但S16=16(���1+���16)2=8(a8+a9)不一定为定值.5.D(方法一)由题意得Sn=na1+���(���-1)2d=n+n(n-1)=n2,Sn+2=(n+2)2,由Sn+2-Sn=36,得(n+2)2-n2=4n+4=36,故n=8.(方法二

)Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.6.BD由于S6=S7,则S7-S6=a7=0,故B选项正确;由S5<S6,得S6-S5=a6>0,则d=a7-a6<0,故A选项错误;若S9>S5,则a

6+a7+a8+a9>0,可得2(a7+a8)>0,又由a7=0,且d<0,得a8<0,即a7+a8<0,矛盾,故C选项错误;因为S5<S6,S6=S7>S8,所以S6与S7均为Sn的最大值,故D选项正确.7.1n-2因为-1,a-1,1构成等差数列,所以2(a-1)=-1+1=0,解得a=

1.因为首项a1=-1,公差d=1,所以an=n-2.8.(1)证明：由题意可知,an≠1.由1������+1-1−1������-1=������-������+1(������+1-1)(������-1)=13,得bn+1-bn=1

3,故{bn}是公差d=13的等差数列.(2)解：由(1)及b1=1���1-1=12-1=1,得bn=13n+23,即an-1=3���+2,故an=���+5���+2.9.AD设等差数列{an}的公差为d.由于a1+5a3=S8,则a1+5a1+10d=8a

1+8×7���2,得a1+9d=0,即a10=0,故A正确;由于a1+9d=0,当d>0时,a1<0,则Sn有最小值,故B错误;因为|a9|=|a10-d|=|d|,|a11|=|a10+d|=|d|,所以|a9|

=|a11|,故C错误;由于S6=6a1+6×5���2=-54d+15d=-39d,S13=13a1+13×12���2=-117d+78d=-39d,故D正确.10.A因为S20=20(���1+���20)2=10(a1+a20)>0,所以a1+

a20>0,则a10+a11>0.同理由S21<0可得a1+a21<0,即a11<0,得a10>0,从而等差数列{an}的公差d<0.当n≤10时,S10最大,而a10最小,故���10���10的值最大.11.3n2-2n数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-

2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.并且显然{3n-2}中的所有奇数均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列时的新数列{an}为以1为首项,以6为公差的等差数列.所以数列{an}的前n项和为Sn=n×1+

���(���-1)2×6=3n2-2n.12.(1)由3a2=3a1+a3,得3(a2-a1)=a3,即3d=a1+2d,得a1=d,从而an=nd,故bn=���2+���������=���+1���.易知

S3=a1+a2+a3=6d,T3=2+3+4���=9���.由题意得6d+9���=21,从而2d2-7d+3=0.整理得(2d-1)(d-3)=0,解得d=3或d=12(舍去).故an=3n.(2)由题意得a2=

a1+d,a3=a1+2d,b1=2���1,b2=6���2,b3=12���3.因为{bn}为等差数列,所以2b2=b1+b3,即2×6���2=2���1+12���3,所以2×6���1+���=2���1+12

���1+2���,解得a1=d或a1=2d.当a1=d时,an=a1+(n-1)d=d+d(n-1)=nd,bn=���2+���������=���+1���=2���+1���(n-1),此时{bn}是以2���为首项,1���为公差的等差数列,S99=99(���1+���99)2

=99(2���1+98���)2=99(2���+98���)2=99×50d,T99=99(���1+���99)2=99(2���1+98×1���)2=99(2×2���+98×1���)2=99×51���.S99-T99=99×50d-99×51���=99,解得d

=5150或d=-1(舍去).当a1=2d时,an=a1+(n-1)d=2d+d(n-1)=(n+1)d,bn=���2+���(���+1)���=������=1���+1���(n-1),此时{bn}是以1���为首项,1���为公差的

等差数列.S99=99(���1+���99)2=99(2���1+98���)2=99(4���+98���)2=99×51d,T99=99(���1+���99)2=99(2���1+98×1���)2=99(2×1���+98×1���)2=99×50���,S99-T99=99×5

1d-99×50���=99,解得d=-5051<0(舍去)或d=1(舍去).故a1=2d不符合题意.综上所述,d=5150.13.(1)n2+1(2)4(1)根据题意得,第i行的等差数列的公差为i,第j列等差数列的公差为j,所以第一行数组的数列a1j是以2为首项,公差为1的等

差数列,可得a1j=2+(j-1)×1=j+1,又因为第j列数组成的数列aij是以a1j为首项,公差为j的等差数列,所以aij=a1j+(i-1)j=(j+1)+(i-1)×j=ij+1.因为aij=

ij+1,所以ann=n×n+1=n2+1;(2)由于aij=ij+1=52,则ij=51,得i=1且j=51或i=51且j=1或i=3且j=17或i=17且j=3,故表中的数52出现了4次.14.(1)解：方法一:∵������������是以���1���1=1为首项,以13为

公差的等差数列,∴������������=1+(n-1)×13=���+23.∴Sn=���+23an.①当n≥2时,Sn-1=���+13an-1.②①-②得an=Sn-Sn-1=���+23an-�

��+13an-1,∴���+13an-1=���-13an,∴������������-1=���+1���-1.∴an=������������-1·������-1������-2·…·���2���1·a1=���+1���-1×������-2×���-1���-3×…×42×31·

a1(n≥2),又a1=1,∴an=(���+1)×���2×1×1=���(���+1)2(n≥2).又当n=1时,a1=1也符合上式,∴an=���(���+1)2.方法二:∵������������是以���1���1=1为首项,以

13为公差的等差数列,∴������������=1+(n-1)×13=���+23.∴Sn=���+23an.①当n≥2时,Sn-1=���+13an-1.②①-②得an=Sn-Sn-1=���+23an-���+13an-1,∴���+13an-1=���-13a

n,∴���������+1=������-1���-1,∴���������(���+1)=������-1(���-1)·���.设���������(���+1)=bn,则bn=bn-1,∴{bn}为常数列,且b1=���11×2=12,∴����

�����(���+1)=bn=12,∴an=���(���+1)2.(2)证明：由(1)知1������=2���(���+1)=2(1���−1���+1),∴1���1+1���2+…+1������=2(1

-12+12−13+…+1���−1���+1)=2(1-1���+1)<2.考点27参考答案1.D设公比为q(q≠0),则a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=168,a2-a5=a1q-a1q4=a1q(1-q)(1+q+q2)=42,∴q(1-q)=14,解得q=1

2,∴a1=96,∴a6=a1q5=96×125=3.故选D.2.B∵a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,∴a2·a48=3.又a1·a49=a2·a48=���252=3,且a25>0,∴a1·a2·a25·a48·a49=���255=93.故选B.3.C若q=1,则S6=6a1

,S2=2a1,不满足S6=21S2,所以q≠1.由S6=21S2得���1(1-���6)1-���=21·���1(1-���2)1-���,所以1-q6=(1-q2)(1+q2+q4)=21(1-q2),则q4+q2-20=0,解得q2=4或q2=-5(舍去).由已知S4=���1(

1-���4)1-���=-5,则S8=���1(1-���8)1-���=���1(1-���4)(1+���4)1-���=-85.故选C.4.C根据题意可知,最下层的“浮雕像”的数量为a1,且数列{an}为公比q=2的等

比数列.由题意知数列{an}的前7项和S7=���1(1-27)1-2=1016,解得a1=8,则an=8×2n-1=2n+2(1≤n≤7),于是a3=25,a5=27,从而a3·a5=25×27=212

,可得log2(a3·a5)=log2212=12,故选C.5.AD当an=1时,log2������2=0,数列{log2������2}不一定是等比数列;当公比q=-1时,an+an+1=0,数列{an+an+1}不一定是等比数列;

由等比数列的定义知数列1������和{an+an+1+an+2}都是等比数列.6.1设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由题意知-1+3d=-q3=8,即-1+3���=8,-���3=8,解得���=3,���=-2.故���

2���2=-1+3-1×(-2)=1.7.-123因为a1+a3=10,a2+a4=-5,所以q=���2+���4���1+���3=-510=-12,所以a1+a3=a1+a1q2=10,即a1=8,所以an=a1qn-1=8×-12���-1.所以当n为偶数时,an<0;当n为

奇数时,an=8×-12���-1=8×12���-1=24-n>0.要使an>1,需4-n>0且n为奇数,即n<4且n为奇数,所以n=1或n=3.8.(1)由题意可得an+1=2(���+1)���an.将n=1代入,得a2=4a1,而a1

=1,得a2=4.将n=2代入,得a3=3a2,得a3=12.由于bn=���������,则b1=1,b2=2,b3=4.(2)数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下:由题意可得������+1�

��+1=2���������,即bn+1=2bn,又b1=1,所以数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得���������=2n-1,故an=n·2n-1.9.(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=13,得a1=2.即数列{an

}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn,得bn+1=������3,因此数列{bn}是首项为1,公比为13的等比数列.设数列{bn}的前n项和为Sn,则Sn=1-

13���1-13=32−12×3���-1.10.BD如图,由图知an=an+1(sin15°+cos15°)=an+1×2sin(15°+45°)=62an+1.对于A,因为an=62an+1,所以�

�����+1������=63,即数列{an}是公比为63的等比数列,故A不正确;对于B和C,因为an=1×63���-1=63���-1,所以Sn=������2-������+124=14[(23)n-1-(

23)n]=18×23���,所以数列{Sn}是首项为112,公比为23的等比数列,故B正确,C不正确;对于D,因为Tn=1121-23���1-23=14[1-(23)n],所以Tn<14,故D正确.11.AC由

于数列{an}是等比数列,则������2=���12q2n-2,可得������+12������2=���12���2������12���2���-2=q2是常数,即数列{������2}是等比数列,故A正确;若a3=2,a7=32,则a5=2×32=8,故B错误;若0<a1<a2<a3

,则q>1,数列{an}是递增数列;若a1<a2<a3<0,则0<q<1,数列{an}是递增数列,故C正确;若数列{an}的前n和Sn=3n-1+r,则a1=S1=1+r,a2=S2-S1=(3+r)-(1+r)=2,a3=S3-S2=(9+r)-(3+r)=6,由于

a1,a2,a3成等比数列,则���22=a1a3,即4=6(1+r),解得r=-13,故D错误.12.552因为{an}是等比数列,a2a4+2a3a5+a4a6=25,所以���32+2a3a5+���52=25,即(���3+���5)2=25,因为an>0,所以a3+a5=5,故a3+

a5≥2���3���5=2a4,即a4≤52.13.(1)设等比数列{an}的公比为q,等差数列{bn}的公差为d,则2���=2+2���,���2=1+3���,解得���=0,���=1(舍)或���=1,���=2,故an=2n-1,bn=n.(2)由(1)易知

Sn=1-2���1-2=2n-1,Tn=���(���+1)2.由Sn+Tn>100,得2n+���(���+1)2>101.由于2���+���(���+1)2是递增数列,且26+6×72=85<101,27+

7×82=156>101,故n的最小值为7.14.D∵a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,∴a+b=p,ab=q.∵p>0,q>0,∴a>0,b>0.又a,b,-2这三个数可通过适当排

序后成等差数列,也可通过适当排序后成等比数列,∴2���=���-2,������=4①或2���=���-2,������=4.②解①得���=4,���=1;解②得���=1,���=4.∴p=a

+b=5,q=1×4=4.∴p+q=9.故选D.15.64设等比数列{an}的公比为q.由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,两式相除得���1+���3���(���1+���3)=105,解得q=1

2,a1=8,所以a1a2…an=8n·121+2+…+(���-1)=2-12���2+7���2,由于抛物线f(n)=-12n2+72n的对称轴为直线n=-722×-12=3.5,又n∈N*,所以当n=3或n=4时,a1a2…

an取最大值为2-12×32+7×32=26=64.16.502数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1,则当n≥2时,an-1+Sn-1=1,两式相减,可得an-an-1+(Sn-Sn-1)=2an-an-1=0,即an=12an-1(n≥2).令n=1,可得a1+S1=2a1=1,

解得a1=12.所以数列{an}是以12为首项,12为公比的等比数列,所以an=12���.所以Sn=121-12���1-12=1-12���,从而������������=1-12���12���=2n-1.所以���1���1+��

�2���2+���3���3+…+���8���8=(2+22+…+28)-(1+1+…+1)=2×(1-28)1-2-8=29-10=502.考点28参考答案1.B当n为奇数时,an+2-an=0,所以

an=1;当n为偶数时,an+2-an=2,所以an=n,故an=1,���为奇数,���,���为偶数,于是S100=50+(2+100)×502=2600.2.D∵an+1=a1+an+n,a1=1,∴an+1

-an=1+n.∴an-an-1=n(n≥2).∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=���(���+1)2(n≥2),又a1=1,满足此式,∴1������=2���(���+1)=21���-1���+1.∴数

列1������的前100项和为2×1-12+12−13+…+1100−1101=2×1-1101=200101.3.C由f(4)=2,可得4a=2,解得a=12,则f(x)=���12.即an=1���(���+1)+���(���)=1���+1+���=���+1−���,则S1020

=a1+a2+a3+…+a1020=(2−1)+(3−2)+(4−3)+…+(1021−1020)=1021-1.4.D∵an+1+(-1)nan=2n-1,∴当n=2k(k∈N*)时,a2k+1+a2k=4k-1;①当n=2k

-1(k∈N*)时,a2k-a2k-1=4k-3;②当n=2k+1(k∈N*)时,a2k+2-a2k+1=4k+1.③由①-②得a2k+1+a2k-1=2,∴(a1+a3)+(a5+a7)+…+(a57+a59)=2×15=30.由①+③得a2k+a2k+2=8k,∴(a2+a4

)+(a6+a8)+…+(a58+a60)=15×8+15×142×16=1800.∴a1+a2+…+a60=30+1800=1830.5.9由题意,得yn=sin(2an)+1,故数列{yn}的前9项和为sin2a1+sin2a2+sin2a3+…+sin2

a8+sin2a9+9.由a5=π2,得sin2a5=0.∵a1+a9=2a5=π,∴2a1+2a9=4a5=2π,∴2a1=2π-2a9,∴sin2a1=sin2π-2���9=-sin2a9.由倒序相加可得12(sin2a1+sin2a2+sin2a3+…+sin2a8+sin2a9+sin2

a1+sin2a2+sin2a3+…+sin2a8+sin2a9)=0,∴y1+y2+y3+…+y8+y9=9.6.3n20104021当n=1时,可得2S1+3=2a1+3=3a1,解得a1=3;当n≥2时,2Sn-

1+3=3an-1,则2Sn+3-(2Sn-1+3)=3an-3an-1,即2an=3an-3an-1,即an=3an-1,则数列{an}是首项为3,公比为3的等比数列,故数列{an}的通项公式为an=3n.则bn=(n+

1)log33n=(n+1)log3(3)2n=2n(n+1),即1������=12���(���+1)=121���-1���+1,可得Tn=12[1-12+12-13+…+(1���−1���+1)]=121-1���+1,故T4020=12×1-14021=2010

4021.7.(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,则���1+2���=2���1���,5���1+5×42���=���1���+���1���3,即2+2���=2���

,10+10���=���+���3,∴q3-9q=0,∵等比数列{bn}的各项均为正数,∴q=3,从而d=2.∴an=2+2(n-1)=2n,bn=1·3n-1=3n-1.(2)由(1)得Sn=12n

(2+2n)=n(n+1),则cn=(-1)nlog3[n(n+1)]+log33n-1=[(-1)nlog3n+(-1)nlog3(n+1)]+n-1.∴{cn}的前26项和为T26=(-log31-log32+0)+(log32+log33+1)+(-log33-log34+2

)+…+(-log325-log326+24)+(log326+log327+25)=-log31+log327+26×(0+25)2=3+325=328.8.(1)因为2an+1=an+1,所以2an+

1-2=an-1.由bn=an-1,得2bn+1=bn.又因为b1=a1-1=14,所以数列{bn}是以14为首项,12为公比的等比数列,即bn=12���+1.(2)若选①,���+1������=(n+1)·2n+1.则Tn=2

×22+3×23+…+(n+1)×2n+1,2Tn=2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2,两式作差,得Tn=2Tn-Tn=-2×22-23-24-…-2n+1+(n+1)×2n+2=(n+1)×2n+

2-23(1-2���-1)1-2-2×22=(n+1)×2n+2+8-2n+2-8=n·2n+2,故Tn=n·2n+2.若选②,n+bn=n+12���+1,则Tn=1+14+2+18+3+116+…+���+12���+1=(1+2+3+…+n)+14+18+116+…+12���

+1=12n(n+1)+141-12���1-12=���22+���2+12−12���+1,故Tn=���22+���2+12−12���+1.若选③,4log2������·log2������+

1=41���+1-1���+2,则Tn=4[(12−13)+(13−14)+…+(1���−1���+1)+(1���+1−1���+2)]=412-1���+2=2������+2,故Tn=2������+2.9.D设数列{an}的前

n项和为Sn.∵������1+���2+…+������=12���+1,∴a1+a2+…+an=n(2n+1)=Sn,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1,验证知当n=1时该式也成立,∴an=4n-1,∴bn=������+14=n,

∴1������·������+1=1���−1���+1.∴1���1���2+1���2���3+…+1���10���11=1-12+12-13+…+110-111=1-111=1011.10.ABC∵数列{an}为递增数列,∴a1<a2<

a3,∵an+an+1=2n,∴���1+���2=2,���2+���3=4.∵���1+���2>2���1,���2+���3>2���2=4-2���1,∴0<a1<1,故A正确;∵数列{bn}为递增数列,∴b1<b2<b3,∵bn

bn+1=2n,∴���1���2=2,���2���3=4.∵���2>���1,���3>���2,∴1<b1<2,故B正确;∵an+an+1=2n,∴S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-

1+a2n)=2×1+2×3+2×5+…+2×(2n-1)=2n2.∵bnbn+1=2n,∴当n≥2时,bn-1bn=2n-1,∴������+1������-1=2(n≥2).T2n=b1+b2+…+b2n=(b1+b3+b5+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n)=���1(

1-2���)1-2+���2(1-2���)1-2=(b1+b2)·(2n-1)>2���1���2(2n-1)=22(2n-1).由数学归纳法可证明22(2n-1)>2n2.∴对于任意的n∈N*,S2n<T2n,故C正确,D错误.

11.(n-1)×2n+2由题意可得,第n次标完后,圆周上所有已标出的数的总和为Tn=1+1+2×2+3×22+…+n×2n-1.设S=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,则2S=2+2×22+…+(n-1)×2n-1+n×2n,两式相减可得-S=1+2+22+…+2n

-1-n×2n=(1-n)×2n-1,则S=(n-1)×2n+1,故Tn=(n-1)×2n+2.12.因为a1=1,an+1=3an,所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,所以an=3n-1.选①②时,设等差数列{bn}的公差为d,

因为a2=3,所以b1+b2=3.因为b2n=2bn+1,所以当n=1时,b2=2b1+1,解得b1=23,b2=73,所以d=53,所以bn=5���-33,所以������������=5���-33���.即Sn=���1���1+���2���2

+…+������������=231+732+1233+…+5���-33���,①则13Sn=232+733+1234+…+5���-83���+5���-33���+1,②由①-②,得23Sn=23+5×132+133+…+13���−5���-33���+1=23+56−152×3

���+1−5���-33���+1=32−10���+92×3���+1,故Sn=94−10���+94×3���.选②③时,设等差数列{bn}的公差为d,因为a2=3,所以b1+b2=3,即2b1+d=3

.因为b1,b2,b4成等比数列,所以���22=b1b4,即(���1+���)2=b1(b1+3d),化简得d2=b1d.因为d≠0,所以b1=d,从而d=b1=1,所以bn=n,所以������������=���3���-1.即Sn=���1���1+���2��

�2+…+������������=130+231+332+…+���3���-1,①则13Sn=131+232+333+…+���-13���-1+���3���,②由①-②,得23Sn=1+13+132+133+…+13

���-1−���3���=32×1-13���−���3���=32−2���+32×3���,故Sn=94−2���+34×3���-1.选①③时,设等差数列{bn}的公差为d,因为b2n=2bn

+1,所以n=1时,b2=2b1+1,所以d=b1+1.又b1,b2,b4成等比数列,所以���22=b1b4,即(���1+���)2=b1(b1+3d),化简得d2=b1d,因为d≠0,所以b1=d,从而无解,所以等差数列{bn}不存在,故不符合题意.13.(1

)解：设等差数列{an}的公差为d.由bn=������-6,���为奇数,2������,���为偶数,得b1=a1-6,b2=2a2=2(a1+d),b3=a3-6=a1+2d-6.则由S4=32,T3=16,得4���1+4×32×�

��=32,(���1-6)+2(���1+���)+(���1+2���-6)=16,解得���1=5,���=2.所以an=a1+(n-1)d=2n+3.(2)证明：由(1)可得Sn=���[5+(2���+3)]2=n2+

4n.当n为奇数时,Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-2-6+2an-1+an-6=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-7)+(4n+2)]+2n-3=[-1+3+…+(2n-7)+(2n-3)]+[14+2

2+…+(4n+2)]=���+12(-1+2���-3)2+���-12(14+4���+2)2=3���2+5���-102.当n>5时,Tn-Sn=3���2+5���-102-(n2+4n)=���2-3���-102

=(���-5)(���+2)2>0,所以Tn>Sn.当n为偶数时,Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-1-6+2an=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-5)+(4n+6)]=[-1+3+…+(2n-5)]+[14+22+…+(4n+6)

]=���2(-1+2���-5)2+���2(14+4���+6)2=3���2+7���2.当n>5时,Tn-Sn=3���2+7���2-(n2+4n)=���2-���2=���(���-1)2>0,所以Tn>Sn.综上可知,当n>5时,

Tn>Sn.14.由题意可得S1=a1,S2=a1+a2=a1(1+q),S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q2).由S1,S3,S2成等差数列,可得S1+S2=2S3,即a1+a1(1+q)=2a1(1+

q+q2),由题意知a1≠0,则1+1+q=2(1+q+q2),解得q=-12或q=0(舍去).故S1,S3,S2成等差数列,题干需要补充的条件为已知公比q=-12.(1)因为q=-12,所以S2=a1-12a1=12a1,S3=12a1+14a1=34a1.又S1

=a1,所以2S3=S1+S2.故S1,S3,S2成等差数列.(2)证明:由a1-a3=3,可得a1-14a1=3,解得a1=4,则an=4×-12���-1,即bn=���12|an|=���12×4×-12���-

1=23n·12���.则Tn=23×1×12+2×14+3×18+…+n·12���,①12Tn=23×1×14+2×18+3×116+…+n·12���+1.②由①-②,得12Tn=23×12+14+18+116+…+12���-n·12���+1=23×12×1-12��

�1-12-���·12���+1,化简可得Tn=43×1-���+22���+1,由1-���+22���+1<1,可得Tn<43.考点29参考答案1.D在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.2.证明：(1)当n=1时,左边=1,右边=1,

不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即有1+12+13+14+…+12���-1≤k,那么当n=k+1时,左边=1+12+13+14+…+12���-1+12���+12���+1+…+12���+1-1≤k+

12���+12���+1+…+12���+1-1,又12���+12���+1+…+12���+1-1<12���×2k=1,即1+12+13+14+…+12���-1+12���+12���+1+…+12���+1-1≤

k+1,即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)可知,对于任意n∈N*,1+12+13+14+…+12���-1≤n都成立.3.证明：(1)当n=1时,x1=5,31+2=5,y1=-5,且1-2×31=-5,即等式成立.(2)假

设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即xk=3k+2,yk=1-2×3k,那么当n=k+1时,由2xk+1+3yk=7,得xk+1=12(7-3yk)=7-3(1-2×3���)2=4+2×3���+12=2+3k+1;由6xk+yk+1=13,得yk+1

=13-6xk=13-6(3k+2)=1-2×3k+1;故当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,xn=3n+2,yn=1-2×3n对一切n∈N*都成立.4.512(n+1)(n-2)由题意知f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,可以归纳出每增加一条直线,交点增加的个数为原有

直线的条数,即f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,猜测得出f(n)-f(n-1)=n-1(n≥4),则f(n)-f(3)=3+4+…+(n-1),故f(n)=12(n+1)(n-2).5.证明

：(1)当n=1时,左边=1-12=12,右边=12,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即1-12+13−14+…+12���-1−12���=1���+1+1���+2+…+12���,那么当n=k+1时,1-12+13−14+…+12���-

1−12���+12(���+1)-1−12(���+1)=1���+1+1���+2+…+12���+12���+1−12���+2=1���+2+…+12���+12���+1+1���+1−12���+2=1���+2+1���+3+…+12���+1+12���+2=1(��

�+1)+1+1(���+1)+2+…+12(���+1)-1+12(���+1),故当n=k+1时,等式也成立.根据(1)(2)可知,等式对于任何n∈N*都成立.6.证明：(1)已知Sn+1=2Sn+2,当n≥2时,Sn=2Sn-1+2,两式相减,得a

n+1=2an(n≥2).又S2=2S1+2=2a1+2=6,即a1+a2=6,所以a2=6-a1=4,即���2���1=2,故数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.(2)Sn=2(1-2���)1-2=2n+1-2,要证明Sn-2Tn≤2,即证明2n+1-2-2Tn≤2,

即Tn≥2n-2,①当n=1时,T1=���12=1,21-2=0,此时T1>21-2成立,②假设n=k时,不等式成立,即Tk≥2k-2,那么当n=k+1时,Tk+1=���12+���22+…+������2+������+12≥2k+������+12-2,由bn+

1=������2+bn,知bn+1-bn=������2>0,所以bn+1>bn≥b1=1.由bn+1=������2+bn,知������+1������=bn+1≥2.所以bk+1=b1·���2���1·…·������+1������≥2k.所以Tk+1=���12+���2

2+…+������2+������+12≥2k+������+12-2≥2k+1-2成立,综上①②可知,不等式Sn-2Tn≤2对任何n∈N*都成立.7.(1)由(������-1)2=anSn,令n=1,则(���1-1)2=���12,解得S1=12;当n≥2时,由an=Sn-Sn-1,得(

������-1)2=(Sn-Sn-1)Sn,得Sn(2-Sn-1)=1.令n=2,得S2=23;令n=3,得S3=34,即S1=12,S2=23,S3=34.(2)由(1)知S1=12,S2=23,S3=3

4,猜想Sn=������+1(n∈N*).下面用数学归纳法证明:①当n=1时,S1=12,11+1=12,猜想成立.②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即Sk=������+1,那么当n=k+1时,由(1)知Sk+1=12-

������=12-������+1=���+1���+2=���+1(���+1)+1,即当n=k+1时,猜想也成立.由①②可知,猜想对于任何n∈N*都成立.(3)由(2)知a1=12.当n≥2时,an=Sn-S

n-1=������+1−���-1���=1���(���+1),且a1=12符合上式,即an=1���(���+1).又bn=(-1)n+1(n+1)2·anan+1,所以bn=(-1)n+1(n+1)2·1���(���+1)·1(���+1)(���+

2)=(-1)���+1���(���+2)=(-1)���+12×1���-1���+2.当n为偶数时,Tn=12×[1-13−12-14+13-15−14-16+…+1���-1-1���+1−1���-1���+2]=12×1-1���+1

-12+1���+2=12×12-1(���+1)(���+2);当n为奇数时,Tn=Tn-1+bn=12×12-1���(���+1)+12(1���−1���+2)=12×[12+1(���+1)(���+2)].综上可得Tn=12[12+(-1)���+

1(���+1)(���+2)].考点30参考答案1.C由���|���|表示与a同向的单位向量,���|���|表示与b同向的单位向量,故只要a与b同向即可,观察可知C满足题意.2.A如图,可知�����������=���������

��+�����������=�����������+23(����������−�����������)=c+23(b-c)=23b+13c.故选A.3.B∵�����������=a+b,�����������=a-2b,∴�����������=�����������+�

����������=2a-b.又A,B,D三点共线,∴�����������,�����������共线,∴存在实数λ,使得�����������=λ�����������,即2a+pb=λ(2a-b),∴2

=2λ,p=-λ,解得λ=1,p=-1.4.B因为2�����������=2�����������+�����������,所以2�����������=�����������.所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B.5.B由�����������+���

��������+�����������=0,得点O为△ABC的重心.因为点O为△ABC外接圆的圆心,所以△ABC为等边三角形,故A=60°.6.C∵�����������=�����������+�����������+�����������=-8a-2b=2(

-4a-b)=2�����������,∴�����������∥�����������.又�����������与�����������不平行,∴四边形ABCD是梯形.7.C设AB的中点为D.由5�����������=���

��������+3����������,得3�����������-3����������=2�����������-2�����������,即3�����������=2������������.如图,故C,M,D三点

共线,且������������=35�����������,得△ABM与△ABC对于边AB上的两高之比为3∶5,则△ABM与△ABC的面积比为35,故选C.8.4设����������=λ��������

���,因为�����������=37�����������+17����������,所以�����������=37�����������+17��������������.因为B,F,D三点在同一条直线上,所以37+17λ=1,所以λ=4,所以������������

=4.9.-2由�����������+�����������+����������=0,得�����������+����������=�����������.又�����������+����������=2�������

����,所以�����������=2�����������,所以�����������=-2�����������,即λ=-2.10.D如图,连接OC,OD,CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,可得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°,从而△OAC和△OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形,

所以四边形OACD为菱形,所以�����������=�����������+����������=12�����������+����������=12a+b,故选D.11.BD∵�����������=13��

���������,∴����������=4�����������,∴�����������=λ�����������+4μ�����������,又P,B,D三点共线,∴λ+4μ=1.已知λ,μ均为正实数,∴1=λ+4μ≥2��

�·4���=4������,可得λμ≤116,当且仅当λ=12,μ=18时取等号;1���+14���=(λ+4μ)·1���+14���=2+4������+���4���≥2+24������·���4���=4,当且仅当λ=12,μ=18时取等号

.12.B设AB的中点为M,则12�����������+12�����������=������������,所以�����������=13(������������+2�����������),即3�����������=��

����������+2�����������,�����������−������������=2�����������-2�����������,即�����������=2����������.因为����������

�与����������有公共点P,所以P,M,C三点共线,且P是CM上靠近点C的一个三等分点.13.A如图,取BC的中点E,连接AE,因为△ABC是边长为4的正三角形,所以AE⊥BC,�����������=12(�����������+����������).又����������

�=14(�����������+����������),所以D是AE的中点,即AD=3.取�����������=18�����������,以AD,AF为邻边作平行四边形,可知�����������=�����������+18����������

�=�����������+�����������.因为△APD是直角三角形,且DP=AF=12,所以△APD的面积为12×12×3=34.14.12因为�����������=�����������+�����������=12�����������+23

�����������=12�����������+23(�����������+����������)=-16�����������+23����������,所以λ1=-16,λ2=23,所以λ1+λ2=12.15.1由平面向量的运算可知�����

������=�����������−�����������.∵�����������=2�����������,�����������=�����������+�����������=2�����������−�����������,∴�����������=����������

�−�����������=2�����������-(2�����������−�����������)=3�����������-2�����������.∵�����������,�����������不共线,且

�����������=x�����������+y�����������,即x�����������+y�����������=3�����������-2�����������,∴x=3,y=-2,∴x+y=1.16.由题设知

,�����������=d-c=2b-3a,����������=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得����������=k�����������,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k

)a=(2k-t)b.因为a,b不共线,所以有���-3+3���=0,���-2���=0,解得t=65.故存在实数t=65,使C,D,E三点在一条直线上.考点31参考答案1.B因为a∥b,所以m+4=0,所以m=-4.所以b=(2,-4).所以3a+2b=(7,-14

).2.B����������=�����������+�����������=(3,1),又�����������=�����������−�����������=(-1,1),则�����������=�����������+�����������=(1,1),故����������+����

�������=(4,2).3.ACDA,C,D中向量e1与e2共线,不能作为基底;B中e1,e2不共线,故可作为一个基底.4.B因为在▱ABCD中,有����������=�����������+�����������,�������

����=12����������,所以�����������=12(�����������+�����������)=12(-1,12)=-12,6,故选B.5.B如图,取BP的中点M,由题意知M,P均为边BC的三等分点,连接AM,则PQ为△AMC的中位

线,�����������=3�����������=3(�����������+�����������)=3(2�����������−�����������)=6�����������-3�����������=(6,30)-(12,9)=(-6,21).6.D因为平面内的任一向量c都

可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),所以a,b一定不共线,所以3m-2-2m≠0,解得m≠2,所以m的取值范围是(-∞,2)∪(2,+∞),故选D.7.D因为向量a=(2cosθ,1)与b=(1,cosθ)共线,知2cosθcosθ-1×1=0,

所以2cos2θ-1=0,所以cos2θ=0,故选D.8.A建立平面直角坐标系,如图所示,则�����������=(1,0),����������=(2,-2),�����������=(1,2).因为����������=��������������+�������������

�,所以(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0)=(λ+μ,2λ),所以2=���+���,-2=2���,解得���=-1,���=3.所以λ+μ=2.9.A设点P(x,y),则���1���������=(x,y-1),������2������=(4-x,4-y),当

点P靠近点P1时,���1���������=12������2������,则���=12(4-���),���-1=12(4-���),解得���=43,���=2,所以点P43,2.当点P靠近点P2时,���1���������=2������2������,则���=2(

4-���),���-1=2(4-���),解得���=83,���=3,所以点P83,3.故选A.10.23(2d-c)23(2c-d)设�����������=a,�����������=b.因为M,N分别为DC,BC的中点,所以����

�������=12b,������������=12a.又���=���+12���,���=���+12���,所以���=23(2���-���),���=23(2���-���),即�����������=23(2d-c),�����������=23(2c-d

).11.A由题设可得示意图如图所示.设�����������=��������������,�����������=��������������(λ,μ∈R).∵�����������=�����������−����������

�=�����������3−�����������,∴�����������=��������������=��������������3-��������������.∵�����������=�����������+�����������2,∴�����������=�����������

���=���(�����������+�����������)2.由�����������+�����������=�����������,得(1-λ)�����������+��������������3

=���(�����������+�����������)2,∴1-���=���2,���3=���2,解得���=34,���=12.∴�����������=34�����������=14����������−34�����������.12

.C因为�����������=��������������+�������������,且D,B,C三点共线,所以λ+μ=1,又λ>0,μ>0,所以λ���≤���+���22=14,当且仅当λ=μ=12时,取等号,此时�����������=12��������

���+12����������,即D是线段BC的中点,所以|�����������|=12|�����������|=52.故选C.13.D∵a在基底p,q下的坐标为(-2,2),∴a=-2p+2q=(2,4

).设a=xm+yn=(-x+y,x+2y),则-���+���=2,���+2���=4,解得���=0,���=2.14.-2或6由已知得����������=(1-x,-4),2�����������=2(3

,1-y)=(6,2-2y).由|����������|=2|�����������|,可得����������=±2�����������,则当����������=2�����������时,有1-���=6,-4=2-2���,解得���=-5,���=3,此时x

+y=-2;当����������=-2�����������时,有1-���=-6,-4=-2+2���,解得���=7,���=-1,此时x+y=6.综上可知,x+y=-2或6.15.m≠54由题意得�����������=(-3,1),��������

��=(2-m,1-m).若点A,B,C能构成三角形,则�����������,����������不共线,即-3×(1-m)≠1×(2-m),解得m≠54.16.A建立平面直角坐标系,如图所示.则A

(0,1),B(0,0),D(2,1).设点P(x,y),☉C的半径为r,由|BC||CD|=|BD|r,得r=|������||������||������|=2×15=255,即圆的方程是(x-2)2+y2=45.易知�����������=(x,y-1),�����������=(0,-

1),�����������=(2,0).由�����������=��������������+��������������,得���=2���,���-1=-���,所以μ=���2,λ=1-y,所以λ+μ=12x-y+1.设z=1

2x-y+1,即12x-y+1-z=0.因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上,所以圆心C到直线12x-y+1-z=0的距离d≤r,即|2-���|14+1≤255,解得1≤z≤3,所以z的最大值是3,即λ+μ的

最大值是3,故选A.17.D如图,分别以AB,AC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系.设B(1,0),则C(0,1),�����������=x�����������+y����������=(x,y),即D(x,y),BC=DE=2,BD=DE·sin60°=

2×32=62,所以x=AB+BDcos45°=1+62×22=1+32,y=BD·sin45°=62×22=32.考点32参考答案1.B由已知得|a|=|b|=1,a与b的夹角θ=60°,则(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cosθ-|b|2=2×1×1×cos60°-1

2=0,故选B.2.D方法一:由题意得,a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,解得λμ=-1.故选D.方法二:由题意得,a2=12+12=2,b2=12+(-1)2=2,a·b=1×

1+1×(-1)=0.∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(a+λb)·(a+μb)=a2+(λ+μ)a·b+λμb2=2+0+2λμ=0.解得λμ=-1.故选D.3.BA项,设向量a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同

向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-

a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.故选B.4.C依题意得,����������·�����������=1×(-4)+2×2=0,则����������⊥�����������.即四边形ABCD的面积为12|����������||����������

�|=12×5×20=5.5.D由题意得(a-b)·(2a+3b)=2a2+a·b-3b2=0,而|a|=2,|b|=3,所以23cos<a,b>-1=0,故cos<a,b>=36.6.B由题意知(v1+v2)·v2=0,有|v1|

|v2|cosθ+���22=0,即10×4cosθ+42=0,所以cosθ=-25.7.Am,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角θ是180°,则m·n=|m||n|cos180°=-|m||n|<0.反过来,若m·n<0,则两向量的夹角�

��∈π2,π,并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn,所以是充分不必要条件.故选A.8.AC对于A,|b|=cos2���+sin2���=1,A正确;对于B,若a∥b,则3sinα-cosα=0,则tanα=33,B错误;对于C,a·b=3c

osα+sinα=2sin���+π3,因为���∈0,π2,所以α+π3∈π3,5π6,所以当α+π3=π2时,最大值为2,C正确;对于D,|a-b|=(3-cos���)2+(1-sin���)2=5-2sin���-23cos���=5-4sin���+π3,因为���∈0,π2

,所以α+π3∈π3,5π6,则sin���+π3∈12,1,即|a-b|max=5-4×12=3,D错误.9.C建立平面直角坐标系如图所示.因为AB=2,∠ABC=60°,所以AC=23,AD=6,则A(0,0),B(2,0),C(0,23),D(-3,3).所以���

��������=(2,0),����������=(0,23),�����������=(-3,-3),�����������=(2+3,-3),所以�����������·�����������+����������·�����������=-6-23.10.3由|a

-b|=3,得a2-2a·b+b2=3,即2a·b=a2+b2-3①.又由|a+b|=|2a-b|,得a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,即3a2-6a·b=0,即2a·b=a2,代入①,得a2=a2+b2-3,可得b2=3,所以|b|=3.11.

3∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=1+1+2a·b=1,∴a·b=-12,∴|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2a·b=3,∴|a-b|=3.12.解(1)因为|a|=

2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9,所以4a2-4a·b-3b2=9,即16-8cosθ-3=9,所以cosθ=12.因为θ∈[0,π],所以θ=π3.(2)由(1)可知a·b=|a||b|cosπ3=1,所以

|a+b|=���2+���2+2���·���=7,a·(a+b)=a2+a·b=5.所以向量a在a+b方向上的投影向量的模为���·(���+���)|���+���|=57=577.13.A如图,以AB所在的直线为x轴,AE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,易知

A(0,0),B(2,0),F(-1,3),C(3,3).设P(x,y),则�����������=(x,y),�����������=(2,0),即�����������·�����������=2x+0×y=

2x.∵-1<x<3,∴�����������·�����������的取值范围为(-2,6),故选A.14.ABC因为八卦图为正八边形,所以中心角为π4,即∠FOD=π2,所以�����������·�����������=0,故A正确;由以上得∠AO

D=3π4,�����������·�����������=|�����������|·|�����������|cos3π4=-22,B正确;�����������与�����������的夹角为π2,因为|�����������|=|�����������|,所以根据平行

四边形法则,�����������+�����������=2�����������=-2�����������,C正确;因为|�����������−�����������|=|�����������+�

����������|=|�����������|,∠AOF=3π4,所以在△AOF中,由余弦定理可得|AF|2=|OA|2+|OF|2-2|OA||OF|cos3π4=2+2,|AF|=2+2,D错误.15.A如图,取AB的

中点F,连接EF,�����������·�����������=(�����������+�����������)2-(�����������-�����������)24=(2�����������)2-�����������24=|����������|2-14.当EF⊥CD时,|���

�������|最小,即�����������·�����������取最小值.过点A作AH⊥EF于点H,由AD⊥CD,EF⊥CD,可得EH=AD=1,∠DAH=90°.因为∠DAB=120°,所以∠HAF=30°.在Rt△AFH中,易知AF=12,HF=14,

所以EF=EH+HF=1+14=54.即(�����������·�����������)min=542−14=2116.16.①④对于①,因为|G|=|F1+F2|为定值,所以|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cosθ

=2|F1|2(1+cosθ),解得|F1|2=|���|22(1+cos���);由题意知,当θ∈(0,π)时,y=cosθ单调递减,所以|F1|2单调递增,即θ越大越费力,θ越小越省力;①正确;对于②,当θ=π时,F1+F2=0,行李包不会处于平衡状态,所以θ≠π,②错误;对于③,当

θ=π2时,|F1|2=|���|22,所以|F1|=22|G|,③错误;对于④,当θ=2π3时,|F1|2=|G|2,所以|F1|=|G|,④正确.综上可知,正确结论的序号是①④.17.7设a与b的夹角为φ,且

φ∈[0,π],由已知得φ=60°,不妨取a=(1,0),b=(1,3).设e=(cosα,sinα),则|a·e|+|b·e|=|cosα|+|cosα+3sinα|≤|cosα|+|cosα|+3|sinα|=2|cosα|

+3|sinα|,当且仅当cosα与sinα同号时,等号成立.所以2|cosα|+3|sinα|=|2cosα+3sinα|=727cos���+37sin���=7|sin(α+θ)|(其中sinθ=27,cosθ=37,取θ为锐角).显然7|si

n(α+θ)|≤7.易知当α+θ=π2时,|sin(α+θ)|取最大值1,此时α为锐角,sinα,cosα同为正值,因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为7.18.证法一设正方形的边长为a,由于P是对角线BD上的

一点,可设�����������=��������������(0≤λ≤1).则�����������=�����������−�����������=�����������-��������������=�����������-λ(�����������+�����������)=(1-λ)

�����������-��������������.因为在正方形ABCD中,四边形PECF为矩形,所以△DPF∽△DBC,从而可得����������=����������−����������=(1-λ)�����������-��������������,所以��

���������·����������=[(1-λ)�����������-��������������]·[(1-λ)�����������-��������������]=(1-λ)2�����������·�����������-(1-λ)�

�������������·�����������-λ(1-λ)�����������·�����������+λ2�����������·�����������=-λ(1-λ)a2+λ(1-λ)a2=0,因此�����������⊥����������,故PA⊥EF.证法二如图,以D为

原点,DC,DA所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系.设正方形的边长为a,由P是对角线BD上的一点,设DP=λDB=2���a(0≤λ≤1),则点A(0,a),P(λa,λa),E(a,λa),F(λa,0),于是�����������=(-λa,

a-λa),����������=(λa-a,-λa),因此�����������·����������=-λa(λa-a)-(a-λa)λa=-λ2a2+λa2-λa2+λ2a2=0,因此�����������⊥����

������,故PA⊥EF.考点33参考答案1.A∵(1+3i)(3-i)=3-i+9i+3=6+8i,∴复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.2.D由题意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,即a

=4.3.C由题意可知,z=x+yi.因为z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|=���2+(���-1)2=1,则x2+(y-1)2=1.故选C.4.D���=1-i,|���|=1+1=2,故选D.5.A由题意知z=2-i,所以2������-1=2(2-i)1-i=2(2-i)(1

+i)(1-i)(1+i)=3+i.6.Az=i1+i=i(1-i)(1+i)(1-i)=1+i2=12+12i,所以|z|=122+122=22.7.Az=1+i���-i=(1+i)(���+i)(

���-i)(���+i)=���-1+(���+1)i���2+1.因为z是纯虚数,所以���-1=0,���+1≠0,解得a=1,所以z的虚部为1+112+1=1,故选A.8.A∵z=1-i2+2i=(1-i)22(

1+i)(1-i)=(1-i)22(1-i2)=1-2i+i22(1-i2)=-12i,∴���=12i.∴z-���=-12i-12i=-i.故选A.9.BCD由于复数z=-12+32i(其中i为虚数单位),则z2=1

4−32i-34=-12−32i,故A错误;z2=���,故B正确;z3=-12-32i-12+32i=14+34=1,故C正确;|z|=14+34=1,故D正确.10.52由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则���2-���2=3,

������=2,解得���2=4,���2=1,则a2+b2=5,ab=2.11.-1-2i由题意,得z1=i,z2=2-i,故���2���1=2-ii=(2-i)(-i)i(-i)=-1-2i.12.B设z=a+bi(a,b∈R),则z+1=a+1+bi,由题意可得|z|=1,|z+1|=1

,即���2+���2=1,(���+1)2+���2=1,解得���=-12,���=±32.所以z的实部为-12.13.ACD复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2),A正确;复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称,B错误;设z=x+yi(

x,y∈R),代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即(���-1)2+���2=���2+(���-1)2,整理得,y=x,即点Z在直线y=x上,C正确;易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为点P0与点Z之间距离的最小值,结合点

到直线的距离公式可知,最小值为|1-2|2=22,故D正确.14.1+2i(答案不唯一)设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z2+3=a2-b2+3+2abi,因为z2+3为纯虚数,所以a2-b2

=-3且ab≠0.任取不为零的实数a,求出b即可得到,答案不唯一,如z=1+2i.15.四设z=x+yi(x,y∈R),则2-3i1+2i+x+yi=2-2i,即(2-3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)+x+yi=2-2i,-45+���+���-75i=2-2i,

所以���-45=2,���-75=-2,解得���=145,���=-35,即z=145−35i,其对应点为145,-35,在第四象限.16.23设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).∵|z1|=|z2|=2,∴a

2+b2=4,c2+d2=4.又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=3+i,∴a+c=3,b+d=1,∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4,得2ac+2bd=-4,∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2

+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12,∴|z1-z2|=(���-���)2+(���-���)2=23.17.-916,7由复数相等的充要条件可得���=2cos���,4-���2=���+3sin���,化简,得4-4cos2θ=λ+3sin

θ,由此可得λ=-4cos2θ-3sinθ+4=-4(1-sin2θ)-3sinθ+4=4sin2θ-3sinθ=4sin���-382−916,因为sinθ∈[-1,1],所以4sin2θ-3sin���∈-916,7.故λ的取值范围为-916,7

.18.A欧拉公式eix=cosx+isinx(x∈R),则z=e3π4i=cos3π4+isin3π4=-22+22i,根据共轭复数定义可知���=-22−22i,故选A.19.D(-1+3i)10=2cos2π3+isin2π310=21

0(cos20π3+isin20π3)=210-12+32i=-512+5123i.考点34参考答案1.D选项A中两个底面全等,但不一定是正多边形;选项B中一般的棱柱不能保证侧棱与底面垂直,即截面是平行四边形,但不一定是矩形;选项C中{正棱柱}⊆{直棱柱},故A

,B,C都错;选项D中,正四面体是各条棱均相等的正三棱锥,故正确.2.B如图,设底面中心为O,则VP-ABCD=13×2×2×PO=433,得PO=3.又底面是边长为2的正方形,可得该四棱锥的斜高为12+(3)2=2.故该四棱锥的表面积为2×2+4×12×2×2=12.3.

B由题意知,一个半径为2002=100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径为2002×150300=50(mm),高为150mm的圆锥,所以积水深度d=13π×502×150π×1002=12.5(mm),属于中雨.4.D正三角形ABC的边长为6,其内切圆的半径为r=3<2,所以在封闭的正三棱

柱ABC-A1B1C1内的球的半径最大值为3,所以其体积为V=43πr3=43π,故选D.5.C由题意可得,此棱台的高h=157.5-148.5=9(m).设水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为S1,水库水

位为海拔157.5m时,相应水面的面积为S2,则S1=140.0km2=1.4×108m2,S2=180.0km2=1.8×108m2,故该棱台的体积V棱台=13h(S1+S2+���1·���2)=13×9×(1.4×108+1.8×10

8+1.4×108×1.8×108)≈1.4×109(m3),即增加的水量约为1.4×109m3.故选C.6.D由题意,知S△ABC=3,设△ABC所在球的小圆的圆心为Q,则Q为AC的中点.当DQ与面ABC垂直时,四面体ABCD的体积最大,最大

值为13S△ABC·DQ=3,解得DQ=3.如图,设球心为O,半径为R,则球心O在DQ上,且在Rt△AQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=(3)2+(3-R)2,解得R=2,则这个球的表面积为S=4π×22=16π.故选D.7.766如

图所示,正四棱台中四边形AA1C1C为等腰梯形.连接AC,A1C1,过点A1作A1G⊥AC,交AC于点G,则A1G为棱台的高.在正四棱台中,∵AC=22,A1C1=2,∴AG=������-���1���12=22.在Rt△A1AG中,A1G=���1���2-����

��2=(2)2-(22)2=62.则棱台体积V=13(���四边形���1���1���1���1+���四边形���1���1���1���1·���四边形������������+S四边形ABCD)·A1G=13

×(1+2+4)×62=766.8.AD如图,将该四棱台补成四棱锥S-ABCD,连接AC,BD交于点O,连接A1C1,B1D1交于点O1,连接SO,则SO过点O1,且SO⊥平面ABCD,所以OO1为该四棱台的高.因为AB=22,A1B1=2,可知△SA1B1与△SAB相似比为1∶2;所以SA=2

AA1=4,又由已知得AO=2,所以SO=23,所以OO1=3,即该四棱台的高为3,A正确;因为SA=SC=AC=4,所以AA1与CC1的夹角为60°,不垂直,B错误;该四棱台的表面积为S=S上底+S下底+S侧=8+2+4×(2+22)2×142=10+67,C错误;因为上下

底面都是正方形,所以外接球的球心在OO1上.连接OB1,在Rt△O1OB1中,由OO1=3,B1O1=1,得OB1=2=OB,即点O到点B与点B1的距离相等,则该四棱台外接球的半径r=OB=2,故该四棱台外接球的表面积为16π,D正确.9.C如图,过A作AD垂直SC于D,连接BD.因为SC是球的

直径,所以∠SAC=∠SBC=90°.又∠ASC=∠BSC=30°,又SC为公共边,所以△SAC≌△SBC.因为AD⊥SC,所以BD⊥SC.由此得SC⊥平面ABD.所以VS-ABC=VS-ABD+VC-ABD=13S△ABD·SC.由于在Rt△SAC中,∠ASC=30°,SC=4,所以AC=

2,SA=23.所以AD=������·������������=3.同理BD=3.又AB=3,所以△ABD为正三角形.所以VS-ABC=13S△ABD·SC=13×12×(3)2·sin60°×4=3,所以选C.10.A观察图形可知,几何体由一个长方体、一个三棱柱和两个三棱锥组

成.长方体的体积为3×5×5=75(cm3),三棱柱的体积为12×3×5×5=752(cm3),两个三棱锥的体积为2×13×12×3×5×52=252(cm3),所以几何体的体积为75+752+252=125(cm3),所以这只斧头的质量为7.87×125=983.75

(g).11.B因为C'E'=22,C'D'∥y'轴,O'A'⊥E'C',所以C'D'=1.由直观图知原图形为梯形,在梯形OABC中,CD是梯形的高,CD=2C'D'=2,OA=O'A',BC=B'C',所以OA=3BC.

由SOABC=12×(OA+BC)×CD=12×4BC×2=8,得BC=2,OA=6.又因为D'为O'A'的三等分点,所以D为OA的三等分点,所以梯形OABC为等腰梯形.四边形OABC绕y轴旋转一周所成的空间几何体的体积等于一个圆台的体积减去一个圆锥的体积,即V=13π×

CD×(42+4×6+62)-13π×CD×22=152π3−8π3=48π.故选B.12.415如图所示,连接OD,交BC于点G.由题意知OD⊥BC,OG=36BC.设OG=x,则BC=23x,DG=5-x,三棱锥的高h=������2-������2=25-10

���+���2-���2=25-10���.因为S△ABC=12×23x×3x=33x2,所以三棱锥的体积V=13S△ABC·h=3x2·25-10���=3·25���4-10���5.令f(x)=25x4-10x5,x∈0,5

2,则f'(x)=100x3-50x4.令f'(x)=0,可得x=2,则f(x)在区间(0,2)上单调递增,在区间2,52上单调递减,所以f(x)max=f(2)=80.所以V≤3×80=415,所以三棱锥

体积的最大值为415.13.(1)证明如图,取AB的中点M,BC的中点N,连接MN,ME,NF.因为△ABE是正三角形,所以ME⊥AB.又平面ABE⊥平面ABCD,平面ABE∩平面ABCD=AB,ME⊂平

面ABE,所以ME⊥平面ABCD.同理,FN⊥平面ABCD.所以ME∥FN.又ME=FN=32×8=43,所以四边形EMNF是平行四边形,从而EF∥MN.又EF⊄平面ABCD,MN⊂平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.(2)

解由题意可将该几何体补成长方体ABCD-A1B1C1D1,其中AA1=43,如图所示.则该几何体的体积V=���������������-���1���1���1���1-4������-���1������=8×8×43-4×13×12×4×4×43=64033.故该包装盒的容积为64033cm

3.14.43,203如图,任意转动该正方体,要使液面的形状都不可能是三角形,则液体的体积应大于三棱锥A1-ABD的体积,小于多面体BCDA1B1C1D1的体积.∵������1-���������=13×12×2×2×2=43,∴���������������1���1���

1���1=8-43=203.∴液体体积的取值范围为43,203.考点35参考答案1.C当这四个点在一个平面内时,确定一个平面;当三个点在一个平面内,另一个点在平面外时,确定四个平面.2.A由BCAD,ADA1D1知,BCA1D1,从而四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥C

D1,又EF⊂平面A1BCD1,EF∩D1C=F,则A1B与EF相交.3.D∵AB⊂γ,M∈AB,∴M∈γ.又α∩β=l,M∈l,∴M∈β.根据基本事实3可知,M在γ与β的交线上,同理可知,点C也在γ与β的交线上.4.A由题意,根据直线和直线外的一点,有且只有一个平面,所以“这四个

点中有三点在同一直线上”,则“这四个点在同一平面上”,反之不一定成立,所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的充分不必要条件,故选A.5.A连接A1C1,AC(图略),则A1C1∥AC,A1C1过点O,所以A1,C1,A,C四点共面.所以A1C⊂平面ACC

1A1.因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1,所以点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.同理点A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.6.Al1,l2是异面直线⇒l1,l2不相交,即p⇒q;

而l1,l2不相交⇒/l1,l2是异面直线,即q⇒/p.故p是q的充分条件,但不是q的必要条件.7.ABD对于选项A,由基本事实2知选项A正确;对于选项B,由基本事实3知选项B正确;对于选项C,l⊄α分两种情况:l与α相交或l∥α.当l与α相交时,若交点

为A,则A∈α,故选项C错误;选项D中推理显然正确.8.D两条平行线中一条与第三条直线垂直,另一条直线也与第三条直线垂直,故选D.9.(1)BD(2)AC(1)连接BD,若EH∩FG=P,则P∈平面ABD,且P∈平面BCD.∵平面

ABD∩平面BCD=BD,∴P∈直线BD.(2)连接AC.若EF∩GH=Q,则Q∈平面ABC,且Q∈平面ACD.∵平面ABC∩平面ACD=AC,∴Q∈直线AC.10.证明(1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为α,则B,C,A,D∈α.所以四边形ABCD为平面图形,这与四边形AB

CD为空间四边形相矛盾,所以BC与AD是异面直线.(2)如图,连接AC,BD,则EF∥AC,HG∥AC,因此EF∥HG.同理EH∥FG,则四边形EFGH为平行四边形.又EG,FH是▱EFGH的对角线,所以EG与FH相交.11.B①显然正确;②中若A,B,C三点共线,则A,B,C,D,E五点不一定共

面;③构造长方体或正方体,如图,显然b,c异面,故不正确;④空间四边形的四条边不共面.故只有①正确.12.C如图,因为M,N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心,所以M,N分别是A1C

1,BC1的中点,所以直线MN与直线A1B平行,所以A错误;因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M,且点M不在直线DD1上,所以直线MN与直线DD1是异面直线,所以B错误;因为直线MN经过平面ABC1内一点N

,且点N不在直线AC1上,所以直线MN与直线AC1是异面直线,所以C正确;因为直线MN经过平面A1CC1内一点M,且点M不在直线A1C上,所以直线MN与直线A1C是异面直线,所以D错误.13.C连接EH,FG(图略).∵BE=2AE,DH=2HA,∴����������

��=������������=12,∴EH∥BD,且EH=13BD.又CF=2FB,CG=2GD,∴������������=������������=2,∴FG∥BD,且FG=23BD.∴EH∥FG,且EH≠FG.∴点E,F,G,H共面,且四边形EFGH是梯形.∴直线EF,HG一定相

交,设交点为O,则O∈EF,又EF⊂平面ABC,可得O∈平面ABC,同理,O∈平面ACD,而平面ABC∩平面ACD=AC,∴O∈直线AC,即直线EF,HG一定相交,且交点一定在直线AC上,故C正确,A,B,

D错误.14.五10+956如图,设平面BEF与棱C1D1,A1D1分别交于点G,H,则截面为五边形BEGHF.易知BF∥EG,BE∥FH,则∠ABF=∠EGC1,∠CBE=∠A1HF,所以可得���1������1���=������������=322,���1������1���=���

���������=24,而C1E=1,A1F=32,解得C1G=43,A1H=3,从而可得FH+GE=352+53=10+956.15.(1)解如图,设AC∩BD=M,C1D∩CD1=N,连接MN,∵点M,N在平面ACD

1内,且也在平面BDC1内,∴平面ACD1∩平面BDC1=MN.(2)证明连接B1D1,因为G,H分别是B1C1,C1D1的中点,所以HG∥D1B1.又D1B1∥DB,所以HG∥DB,故B,D,H,G四点共面.16.证明(1)∵GH是△A1B1C1的中位线,∴

GH∥B1C1.又B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.(2)∵A1G12AB,∴AA1与BG必相交.设交点为P,则������1������=���1���������=12.同理设CH∩AA1=Q,则������1���

���=12,∴点P与Q重合,即三条直线AA1,GB,CH相交于一点.又由棱柱的性质知平面A1GH∥平面ABC,∴几何体A1GH-ABC为三棱台.考点36参考答案1.D对于A,直线m,n可能平行、异面或相交,故A错误;对于B,直线m与n

可能平行,也可能异面,故B错误;对于C,m与n垂直而非平行,故C错误;对于D,垂直于同一平面的两直线平行,故D正确.2.A当m⊄α,n⊂α时,由线面平行的判定定理可知,m∥n⇒m∥α;反之m∥α不一定有m∥n,m与n还可能异面.故选A.3.ABC由题意知,OM

是△BPD的中位线,所以OM∥PD,故A正确;因为PD⊂平面PCD,OM⊄平面PCD,所以OM∥平面PCD,故B正确;同理,可得OM∥平面PDA,故C正确;OM与平面PBA相交,故D不正确.4.ADA中,如图①,连接BC,由已知得AC∥NP,BC∥MN,从而得AC∥平面M

NP,BC∥平面MNP,于是有平面ABC∥平面MNP,所以AB∥平面MNP.B中,如图②,连接BC,交MP于点O,连接ON,易知在底面正方形中O不是BC中点(实际上是靠近点C的四等分点),而N是AC中点,因此AB与O

N不平行,在平面ABC内,AB与ON必相交,此交点也是直线AB与平面MNP的公共点,直线AB与平面MNP相交而不平行.C中,如图③,连接BN,正方体中有PN∥BM,因此点B在平面MNP内,直线AB与平面MNP相交而

不平行.D中,如图④,连接CD,可得AB∥CD,CD∥NP,即AB∥NP,从而直线AB与平面MNP平行.5.22���3如图所示,连接AC.∵平面PQNM交正方体的上、下底面分别于PQ,MN,∴MN∥PQ.易知MN∥AC,∴PQ

∥AC.∵AP=���3,∴������������=������������=������������=23,∴PQ=23AC=22���3.6.245或24如图①,∵AC∩BD=P,图①∴经过直线AC与BD可确定平面PCD.∵α∥

β,α∩平面PAB=AB,β∩平面PCD=CD,∴AB∥CD.∴������������=������������,即69=8-������������.图②解得BD=245.如图②,同理可证AB∥CD.∴������������=����������

��,即63=������-88.解得BD=24.综上所述,BD=245或24.7.平行如图,取PD的中点F,连接EF,AF,在△PCD中,EF//12CD.∵AB∥CD,且CD=2AB,∴EF//AB,

∴四边形ABEF是平行四边形,∴BE∥AF.又BE⊄平面PAD,AF⊂平面PAD,∴BE∥平面PAD.8.23如图,在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,动点M满足BM∥平面AD1C,由面面平行的性质可知,当BM始终在一个与平面AD1

C平行的平面内,即满足题意,过点B作与平面AD1C平行的平面,连接A1B,BC1,A1C1,则平面A1BC1∥平面AD1C,所以���△���1������1=12×22×32×22=23.9.(1)证明∵BC∥平面GEFH,又BC⊂平面PBC,且平面P

BC∩平面GEFH=GH,∴BC∥GH.又BC∥平面GEFH,BC⊂平面ABCD,且平面ABCD∩平面GEFH=EF,∴BC∥EF,∴GH∥EF.(2)解∵平面PDA∥平面GEFH,平面PAB∩平面PAD=PA,平面PAB∩平面GEFH=GE,∴G

E∥PA.∵BE=14AB,∴GE=14PA=172,同理HF=14PD=172,又由(1)知,BC∥GH,∴GH=34BC=6.在四边形GEFH中,GE=HF=172,GH=6,EF=8,且EF∥GH,四边形GEFH为等腰梯形,如图,过点G作

GM垂直于EF于点M,过点H作HN垂直于EF于点N,在Rt△GEM中,GM=������2-������2=132,∴S梯形GEFH=12(GH+EF)·GM=7132.10.证明(1)如图,连接AE,设D

F与GN的交点为O,则AE必过交点O,且O为AE的中点.连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,所以BE∥平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF

的边AD,EF的中点,所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,所以BD∥平面MNG.又DE⊂平面BDE,BD⊂平面BDE,DE∩BD=D,所以平面BDE∥平面

MNG.11.(1)证明如图,取BC的中点N,连接MN,C1N,∵M是AB的中点,∴MN∥AC∥A1C1,∴M,N,C1,A1四点共面.∵BE=3EC,∴E是NC的中点.又D是CC1的中点,∴DE∥NC1.∵DE⊄平面MNC1A1,NC1⊂平面MNC1A1,∴DE∥平面A1MC1.(2)解当AA1

=1时,有AM=1,A1M=2,A1C1=2.∴三棱锥A-MA1C1的体积������-������1���1=������1-���1������=13×12AM·AA1·A1C1=26.12.ABC作出立体图形,如图所示.连接E,F,G,H四点构成平

面EFGH.对于A,因为E,F分别是PA,PD的中点,所以EF∥AD.又EF⊄平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.同理,EH∥平面ABCD.又EF∩EH=E,EF⊂平面EFGH,EH⊂平面EFGH,所以平面EFGH∥平面ABCD,故A正确;对于B,连接AC,BD,DG,BG

,设AC与BD的交点为M,则M为AC的中点,又G为PC的中点,所以MG∥PA,又MG⊂平面BDG,PA⊄平面BDG,所以PA∥平面BDG,故B正确;对于C,由A中的分析知EF∥AD,AD∥BC,所以EF∥BC,因为EF⊄

平面PBC,BC⊂平面PBC,所以直线EF∥平面PBC,故C正确;对于D,根据C中的分析可知EF∥BC,再结合图形可得BC∩BD=B,则直线EF与平面BDG不平行,故D错误.13.452如图,取AC的中点G,连接SG,BG.易知SG⊥AC,BG⊥AC,故A

C⊥平面SGB,所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH,SB⊂平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,所以SB∥HD.同理SB∥FE.又D,E分别为AB,BC的中点,所以H,F分别为AS,SC的中点,从而得HF12ACDE,所以四边形DEF

H为平行四边形.又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,所以四边形DEFH为矩形,其面积S=HF·HD=12������·12������=452.14.[17,5]如图,取A1D1的中点Q,

连接C1Q,过点Q在平面ADD1A1内作MN的平行线交DD1于点E,连接C1E,则易知平面C1QE∥平面CMN,∴当点P在线段QE上时,C1P∥平面CMN,且当C1P⊥QE时,C1P的长度取得最小值,过点C1作C1O⊥Q

E,垂足为O.由题意可知C1D1=3,D1Q=4,∴C1Q=5.由AA1=6,AN=2NA1,得A1N=2,AN=4.∵QE∥MN,QD1∥MA,∴∠D1QE=∠NMA,∴△D1QE∽△AMN,∴������������=��

�1���������1,∴D1E=AN=4,∴C1E=32+42=5,QE=42+42=42,∴O为QE的中点,∴C1O=52-(22)2=17.∴线段C1P长度的取值范围是[17,5].15.解法一当AF=3FC时,FE∥平面A1ABB1.证

明如下:如图,在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G,连接AG.因为B1E=3EC1,所以EG=34A1C1.又因为AF∥A1C1,且AF=34A1C1,所以AFEG,所以四边形AFEG为平行四边形,所以EF∥AG.又因为EF⊄平面A1ABB1,

AG⊂平面A1ABB1,所以EF∥平面A1ABB1.解法二当AF=3FC时,EF∥平面A1ABB1.证明如下:如图,在平面BCC1B1内过点E作EG∥BB1交BC于点G,因为EG∥BB1,EG⊄平面A

1ABB1,BB1⊂平面A1ABB1,所以EG∥平面A1ABB1.因为B1E=3EC1,所以BG=3GC,所以FG∥AB.又因为AB⊂平面A1ABB1,FG⊄平面A1ABB1,所以FG∥平面A1ABB1.又因为EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩

FG=G,所以平面EFG∥平面A1ABB1.因为EF⊂平面EFG,所以EF∥平面A1ABB1.16.(1)证明由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质,可得AB1∥DC1,A1D∥B1C.∵AB1∩B1C=B1,A1D∩DC1=D,∴平面AB

1C∥平面DA1C1.(2)解存在满足题意的点P.如图,在C1C的延长线上取点P,使C1C=CP,连接BP,∵B1BCC1,∴BB1CP,∴四边形BB1CP为平行四边形,∴BP∥B1C.∵A1D∥B1C,∴BP

∥A1D.又A1D⊂平面DA1C1,BP⊄平面DA1C1,∴BP∥平面DA1C1.考点37参考答案1.D对于A,垂直于平面β的平面与平面α平行或相交,故A错;对于B,垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内,故B错;对于C,垂直于平面β的平

面与直线l平行或相交,故C错;易知D正确.2.D由α,β是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,知:对于A,l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l与α相交、平行或l⊂α,故A不可以;对于B,l⊥m,m∥α,则l与α相交、

平行或l⊂α,故B不可以;对于C,α⊥β,l∥β,则l与α相交、平行或l⊂α,故C不可以;对于D,l∥m,m⊥α,则l⊥α,故D可以.3.C因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又因为AC⊂平

面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,故选C.4.C设圆锥母线长为l,则l·3π=23π,解得l=2.∵PB=PC,且PB与BC所成的角∠PBC=π3,∴BC=2.又OA=3,∴在Rt△ABC中,AC=22.如图

,作BD∥AC与圆O交于点D,连接AD,则Rt△ACB≌Rt△BDA,从而BD=AC=22,连接PD,则∠PBD为PB与AC所成角.在△PBD中,PD=PB=2,BD=22,可得PD⊥PB,∴∠PBD=π4.5.D∵m⊥β,l∥m,∴l⊥β.又l⊂α,∴α⊥β,故选D.6.A连接AC1,由BC1

⊥AC,BA⊥AC,得AC⊥平面ABC1,所以平面ABC⊥平面ABC1,所以C1在底面ABC上的射影H在直线AB上.7.DM⊥PC(或BM⊥PC)连接AC.∵PC在底面ABCD上的射影为AC,且AC⊥BD,∴BD⊥PC.∴当DM

⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.8.2连接MD,则M是BD的中点,连接DC1,取BC1的中点E,连接CE,DE,如图.已知正方体ABCD-A1B1C1D1

的棱长为2a,则BD=DC1=BC1=22a,CC1=BC=2a,又E是BC1的中点,∴DE⊥BC1,CE⊥BC1.∴∠DEC或其补角就是平面DBC1与平面CBC1的夹角,即平面MBC1与平面CBC1的夹角.又DC⊥平面CBC1,∴DC⊥CE.在Rt△

DCE中,DC=2a,CE=2a,∴tan∠DEC=2.故平面MBC1与平面CBC1的夹角的正切值为2.9.①③④⇒②(或②③④⇒①)逐一判断.若①②③成立,则m与α的位置关系不确定,故①②③⇒④错误;同理①②④⇒③也错误;①③④

⇒②与②③④⇒①均正确.10.(1)证明在△CDE中,∵CD=ED=7,cos∠EDC=57,∴由余弦定理得CE=2.连接AC,如图所示,∵CE=AE=2,∠AEC=60°,∴AC=2.又AP=3,∴在△PAE中,PA2+AE2=PE2,即AP⊥AE.同理,AP

⊥AC.∵AC∩AE=A,AC⊂平面ABCE,AE⊂平面ABCE,∴AP⊥平面ABCE.(2)解AB∥l.理由如下:∵AB∥CE,且CE⊂平面PCE,AB⊄平面PCE,∴AB∥平面PCE.又平面PAB∩平面PCE=l,AB⊂平面PAB,∴AB∥l.11.

解(1)如图,取AC的中点E,连接DE,PE.∵D为AB的中点,∴DE为△ABC的中位线,∴DE∥BC.∴∠PDE或其补角为PD与BC所成的角.由已知可得PE=112,DE=2,PD=332,∴cos∠P

DE=������2+������2-������22������·������=274+4-1142×332×2=439.∴PD与BC所成角的余弦值为439.(2)如图,在△PDE中,过点E作EH⊥PD于点H,连接AH.∵P

A=PB,D为AB的中点,∴PD⊥AB.∵AB=3,BC=4,AC=5,∴∠ABC=90°.又DE∥BC,∴AB⊥DE,∴∠PDE为二面角P-AB-C的平面角,即∠PDE=30°.∵AB⊥平面PDE,EH⊂平面PD

E,∴EH⊥AB.又EH⊥PD,PD∩AB=D,∴EH⊥平面PAB.∴∠HAE为AC与平面PAB所成的角.在Rt△AHE中,∵EH=1,AE=52,∴sin∠HAE=25.∴AC与平面PAB所成角的正弦值为25.12.D如图,连接BD.B1D与平面ABCD所

成的角为∠B1DB,B1D与平面AA1B1B所成的角为∠DB1A,则∠B1DB=∠DB1A=30°,设B1D=2,则AD=B1B=1.由B1D2=AD2+CD2+B1B2,得AB=CD=2,从而AB=2AD,A错;过点B作BE⊥AB1,垂

足为点E,因为AD⊥平面AA1B1B,所以AD⊥BE,又AD∩AB1=A,所以BE⊥平面AB1C1D,所以AE为AB在平面AB1C1D内的射影,则AB与平面AB1C1D所成的角为∠B1AB,又AB=2,所以tan∠B1AB=������1������=12=22,所以∠B1A

B≠30°,B错;因为AC=3,CB1=2,所以AC≠CB1,C错;由DC⊥平面BB1C1C,知B1C为B1D在平面BB1C1C内的射影,B1D与平面BB1C1C所成的角为∠DB1C,又sin∠DB1C=���������1���=22,则∠DB1C=45°,故选D.13.A如图,设△AB

C的中心为E,M为AB的中点,过点O作OD⊥PA,则D为PA的中点.由题意可得CM⊥平面PAB,∴∠CPM是直线PC与平面PAB所成的角.∵△ABC是边长为2的等边三角形,∴OD=AE=23CM=233,∵43π·OP3=82π3,∴OP=2,∴PA

=2PD=2������2-������2=263.∴PM=������2+������2=333.∴tan∠CPM=������������=31111.14.ABD如图,连接BD.根据正六边形性质得AB⊥AE,因为PA⊥平面ABC,AE⊂平面ABC,所以PA⊥AE.因为PA

,AB为平面PAB内两相交直线,所以AE⊥平面PAB.因为PB⊂平面PAB,所以PB⊥AE,故A正确;根据正六边形性质得DE⊥AE,因为PA⊥平面ABC,DE⊂平面ABC,所以PA⊥DE.因为PA,AE为平面PAE内两相交直线,所以DE⊥平面PAE.因为DE⊂平面PDE,

所以平面PAE⊥平面PDE,故B正确;根据正六边形性质得AD∥BC,所以∠PDA为异面直线PD与BC所成角,因为PA=2AB=AD,所以∠PDA=π4,即异面直线PD与BC所成角为45°,故C错误;因为AE⊥平面PAB,BD∥

AE,所以BD⊥平面PAB,所以∠DPB为直线PD与平面PAB所成角,因为PA=2AB,所以可得PD=2PA,PB=52PA,所以cos∠DPB=������������=522=104,故D正确.15.

(1)证明连接DF交AE于点M,连接EF,如图.∵在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,������������=������������=13,∴四边形ADEF为边长为2的正方形.∴AE⊥DF,且DM=

MF=2.在四棱锥P-ABCE中,AE⊥PM,AE⊥MF,PM∩MF=M,∴AE⊥平面PMF.又PF⊂平面PMF,∴AE⊥PF.(2)解设点F到平面PAE的距离为d1,点B到平面PAE的距离为d,由(1)知∠PMF是二面角P-AE-B

的平面角,∴∠PMF=2π3.∵AE⊥平面PMF,AE⊂平面PAE,∴平面PMF⊥平面PAE.过点F作FH⊥PM于点H,∵平面PMF∩平面PAE=PM,∴FH⊥平面PAE.由(1)知在△PMF中,PM=MF=2,∴∠FPM=π6,PF=6,∴

d1=FH=12PF=62.∵������������=23,∴d=32d1=364.在Rt△APM中,可得PA=2,在△PAF中,有PF2=PA2+FA2-2PA·FA·cos∠PAF,在△PAB中,有PB2=PA2+AB

2-2PA·AB·cos∠PAF,解得PB=10.∴sinθ=���������=31520,∴直线PB与平面PAE所成角的正弦值为31520.16.解(1)∵BC∥B1C1,∴∠A1BC或其补角就是异面直线A1B与

B1C1所成的角.如图,连接A1C,∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∴△A1BA≌△A1CA,∴A1B=A1C.∴∠A1BC为锐角,即∠A1BC=60°.∴△A1BC为等边三角形.∵AB=AC=1,∠BAC=90°,∴BC=2,∴A1B=1+��

�2=2,∴a=1.(2)易知B1C1∥平面A1BC,此时有直线B1C1上的任意一点到平面A1BC的距离等于点B1到平面A1BC的距离,设其为d.连接B1C,∵CA⊥A1A,CA⊥AB,AA1∩AB=A,∴CA⊥平面A1B1B,并且AC=1.△A1B1B的

面积:���△���1���1���=12×1×1=12,△A1BC的面积:���△���1������=12×2×2×sin60°=32.∵������1-���1������=������-���1���1���,∴13·���△���1���1���·AC=13·���△���

1������·d,∴d=���△���1���1���·���������△���1������=33,∴直线B1C1到平面A1BC的距离为33.17.(1)证明如图,取线段A1B的中点H,连接HD,HF.因为在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,所

以DE∥BC,DE=12BC.因为H,F分别为A1B,A1C的中点,所以HF∥BC,HF=12BC,所以HF∥DE,HF=DE,所以四边形DEFH为平行四边形,所以EF∥HD.因为EF⊄平面A1BD,HD⊂平面A1BD,所以

EF∥平面A1BD.(2)证明在△ABC中,因为D,E分别为AB,AC的中点,AB=AC,所以AD=AE.所以A1D=A1E.又O为DE的中点,所以A1O⊥DE.因为平面A1DE⊥平面BCED,且A1O⊂平面A1DE,平面A1DE∩平面BCED=DE,所以A1O⊥平面BC

ED.因为CO⊂平面BCED,所以CO⊥A1O.在△ABC中,由已知条件易得OB=OC=22,在△OBC中,BC=4,所以CO⊥BO.因为A1O∩BO=O,所以CO⊥平面A1OB.因为CO⊂平面A1OC,所以平面A1OB

⊥平面A1OC.(3)解在线段OC上不存在点G,使得OC⊥平面EFG.假设在线段OC上存在点G,使得OC⊥平面EFG.如图,连接GE,GF,则必有OC⊥GF,且OC⊥GE.在Rt△A1OC中,由F为A1C的中点,OC⊥GF,得G为OC的中点.在△EOC中

,因为OC⊥GE,所以EO=EC,这显然与EO=1,EC=5矛盾.所以在线段OC上不存在点G,使得OC⊥平面EFG.考点38参考答案1.B由题意,得c垂直于由a,b确定的平面.∵d=λa+μb,∴d与a,b共面.∴c⊥d.2.AC因为����������

�·�����������=0,故A正确;�����������=(3,-3,-3),�����������·�����������=3+6-3=6≠0,故B不正确;�����������=(6,1,-4),|����

�������|=62+12+(-4)2=53,故C正确;�����������=(1,-2,1),�����������=(6,1,-4),61≠1-2,故D不正确.3.C∵M为BC的中点,∴�����������=12(�����������+��

���������).∴�����������·�����������=12(�����������+�����������)·�����������=12�����������·�����������+12�����������·��

���������=0.∴AM⊥AD,即△AMD为直角三角形.4.D∵点P(x,-1,3)在平面ABC内,∴存在实数λ,μ,使得�����������=��������������+��������������,∴(x-4,-

2,0)=λ(-2,2,-2)+μ(-1,6,-8),即���-4=-2���-���,-2=2���+6���,0=-2���-8���,可得x=11.5.B如图,令�����������=a,�����������=b,�����������=c,则��������

���·�����������+�����������·�����������+�����������·�����������=�����������·(�����������−�����������)+�����������·(�����������−�����������)+�

����������·(�����������−�����������)=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.6.C如图,取AB的中点D,连接CD,MC,OD,

则点P在CD上,且����������=23�����������.�����������=�����������+����������=(�����������−������������)+23�����������=�����������-12�����������+23(���

��������−�����������)=���-12���+23�����������−23c=���-12���+23×12(�����������+�����������)-23c=c-12a+13(a+b)-23c=-16a+13b+13c.7.43,43,83设����������

�=��������������=(λ,λ,2λ),λ∈R,则�����������=(1-λ,2-λ,3-2λ),�����������=(2-λ,1-λ,2-2λ).故�����������·�����������=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)

=6λ2-16λ+10=6���-432−23.所以当λ=43时,�����������·�����������取得最小值-23,此时�����������=43,43,83.所以点Q的坐标是43,43,83.8.15

由题意知空间四边形OABC为正四面体.�����������=������������+�����������=�����������+23�����������+12�����������=�����������+

23�����������+12(�����������+�����������)=�����������+23�����������+12×23�����������+12�����������=�����������+13������

�����+12�����������=�����������+13(�����������−�����������)+12(�����������−�����������)=�����������−13�����������−12���������

��+13�����������+12�����������=16�����������+13�����������+12�����������,∴x+y+z=1.∵�����������·������

�����=�����������·�����������=�����������·�����������=6×6×cos60°=18,∴|�����������|2=�����������2=16����

�������+13�����������+12�����������2=136�����������2+19�����������2+14�����������2+19�����������·�����������+16�����������·�������

����+13�����������·�����������=136×36+19×36+14×36+19×18+16×18+13×18=25.∴|�����������|=5.9.解(1)∵D为坐标原点,∴点D的坐标为(

0,0,0).由|AB|=|BC|=2,|D1D|=3,得点A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,3),C1(0,2,3),∵N是AB的中点,M是B1C1的中点,∴点N(2,1,0),M(1,2,3).(2)|MD|=(

1-0)2+(2-0)2+(3-0)2=14,|MN|=(2-1)2+(1-2)2+(0-3)2=11.(3)直线DN与直线MN不垂直.理由:由(1)中各点坐标得�����������=(2,1,0),������������=(1,-1,-3),∴�����������·�����������

�=(2,1,0)·(1,-1,-3)=1≠0,∴�����������与������������不垂直,∴直线DN与直线MN不垂直.10.证明(1)������1������=�����������+�����������+

������1������=�����������+�����������+������1������,可以证明����������=13(�����������+�����������+������1������)=13������1������,∴����������∥

������1������,即A1,G,C三点共线.(2)设�����������=a,�����������=b,������1������=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a·b=b·c=c·a=0,∵������1��

����=a+b+c,������1������=c-a,∴������1������·������1������=(a+b+c)·(c-a)=c2-a2=0.∴������1������⊥������1����

��,即CA1⊥BC1.同理CA1⊥BD,又BD∩BC1=B,∴A1C⊥平面BC1D.11.ACD对于A,由������1������∥������1������,知向量�����������,������1����

��,������1������共面,所以{�����������,������1������,������1������}不是空间的一个基底,故A正确;对于B,因为∠A1AD=π3,所以∠ADD1=2π3,所以<��

���������,������1�������>=π-2π3=π3,故B错误;对于C,|������1�������|2=(�����������+�����������+������1�������)2=�����������2+�����������2+����

��1�������2+2�����������·�����������+2�����������·������1�������+2�����������·������1�������=3+2×1×1×cosπ-π3+2×1×1×cosπ-π3+2×1×1×cosπ3=2,所以|������1�

������|=2,故C正确;对于D,设BD交AC于点O,连接A1O,A1D,A1B,如图,由题意可得四边形ABCD为菱形,A1D=A1B,所以BD⊥AC,BD⊥A1O,又AC∩A1O=O,所以BD⊥平面ACC1A1,故D正确

.12.C如图,设�����������=a,�����������=b,�����������=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三个向量两两的夹角为60°.�����������=12(a+b),�����������=12c,故�����������·����

�������=12(a+b)·12c=14(a·c+b·c)=14(a2cos60°+a2cos60°)=14a2.13.解如图,建立空间直角坐标系Oxyz.(1)依题意得点B(0,1,0),N(1,0,1),∴|�����������|=(1-0)2+(0-1)2+(1

-0)2=3.(2)依题意得点A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),∴������1������=(1,-1,2),������1������=(0,1,2),������1�����

�·������1������=3,|������1������|=6,|������1������|=5.∴cos<������1������,������1������>=������1������·������1������|������1������||������1������

|=3010.(3)证明:依题意,得点C1(0,0,2),M12,12,2,A1B������=(-1,1,-2),C1M�������=12,12,0,∴A1B������·C1M�������=-12+12+0=0.∴A1B������⊥C1M�������,∴A1B⊥C1M.1

4.解(1)������1������=������1������+���1���1��������=������1������+���1���1��������−���1���1��������=������1������+���������

��−�����������=a+c-b.又a·b=|a|·|b|cos∠BAA1=1×1×cos60°=12,同理可得a·c=b·c=12,所以|������1������|=(���+���-���)2=���2+���2+���2+2���·���-

2���·���-2���·���=1+1+1+1-1-1=2.(2)因为������1������=a+b,所以|������1������|=(���+���)2=���2+���2+2���·���=1+1+1=3,因为������1������·������1������=(

a+b)·(a+c-b)=a2+a·c-a·b+b·a+c·b-b2=1+12−12+12+12-1=1,所以cos<������1������,������1������>=������1������·

������1������|������1������||������1������|=13×2=66.所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为66.15.解∵PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,∴以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴

,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.由题意得点B(1,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(1,1,1),D(0,2,0).(1)证明:∵�����������=(0,1,1),�����������=(0,2,-2),∴��

���������·�����������=0,∴BE⊥PD.(2)�����������=(1,2,0),����������=(-2,-2,2),�����������=(2,2,0),由点F在棱PC上,设����������=�����

��������=(-2λ,-2λ,2λ),0≤λ≤1,∴�����������=�����������+����������=(1-2λ,2-2λ,2λ).∵BF⊥AC,∴�����������·�����������=2(1-2λ)+2(2-2λ

)=0,解得λ=34,∴|�����������|=1-34|����������|=144+4+4=32,即线段PF的长为32.考点39参考答案1.D当线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量,故-1×2+1

×(x2+x)+1×(-x)=0,解得x=±2.2.B可知y轴的方向向量为m=(0,1,0),设y轴与平面α所成的角为θ,则sinθ=|cos<m,n>|.∵cos<m,n>=���·���|���||���|=-32×1=-32,∴sinθ=32,∴θ=π

3.3.C设M(x,x,1).由已知得A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),则�����������=(x-2,x-2,1),�����������=(2,-2,0),�����������=(0,-2,1).设平面BDE的法向量为n=(a,b,c

),则���⊥�����������,���⊥�����������,即2���-2���=0,-2���+���=0.令b=1,则可取n=(1,1,2).又AM∥平面BDE,所以n·�����������=0,即2

(x-2)+2=0,得x=22.所以M22,22,1.4.C如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0),从而����

�������=(0,1,0),����������=(-1,2,0),������1������=(-1,0,1).设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c).则���·����������=0,���·�

�����1������=0,即-���+2���=0,-���+���=0,得���=2���,���=���.令a=2,则可取n=(2,1,2).所以点E到平面ACD1的距离为h=|�����������·���||���|=

13.5.B以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E(13,0,13),F(23,13,0),B(1,1

,0),D1(0,0,1),���1���������=(-1,0,-1),����������=(-1,1,0),����������=(13,13,-13),������1������=(-1,-1,1),����������=-13������1������,���1����

�����·����������=����������·����������=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选B.6.ABD取BD的中点E,连接AE,CE,则AE⊥BD,CE⊥BD.又AE∩CE=E,∴

BD⊥平面AEC.∴BD⊥AC,故A正确.设正方形的边长为a,则AD=DC=a,AE=22a=EC.由题意知∠AEC=90°,则在Rt△AEC中,可得AC=a.∴△ACD为等边三角形,故B正确.由已知得AE⊥平面BCD,则∠ABD为AB与平面BCD所成的角,为

45°,故C错误.以E为坐标原点,EC,ED,EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A0,0,22a,B0,-22a,0,D0,22a,0,C22a,0,0.∴�����������=0,-22a,

-22a,�����������=22a,-22a,0.∵cos<�����������,�����������>=12���2���2=12,∴<�����������,�����������>=60

°,故D正确.7.63如图所示,建立空间直角坐标系,则有D12,0,0,C(1,1,0),S(0,0,1),可知�����������=12,0,0是平面SAB的一个法向量.设平面SCD的法向量n=(x,y,z),因为����������=12,

0,-1,�����������=12,1,0,所以n·����������=0,n·�����������=0,即���2-z=0,���2+y=0.令x=2,则y=-1,z=1,所以可取n=(2,-1,1)

.设平面SCD与平面SAB的夹角为θ,则cosθ=|�����������·���||�����������||���|=12×2+0×(-1)+0×1122×22+(-1)2+12=63.8.解(1)连接BD.∵PD

⊥底面ABCD,AM⊂底面ABCD,∴PD⊥AM.∵PB⊥AM,PB∩PD=P,∴AM⊥平面PBD,∴AM⊥BD,∴∠ADB+∠DAM=90°.又∠DAM+∠MAB=90°,∴∠ADB=∠MAB,∴Rt△DAB∽Rt△ABM,∴������������=������������,∴1

2BC2=1,∴BC=2.(2)如图,以D为原点,�����������,�����������,�����������分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.可得A(2,0,0),B(2,1,0),M22,1,0,P(0,0,1),�����������=(-2,0,1),���

��������=-22,1,0,�����������=-22,0,0,�����������=(-2,-1,1).设平面AMP的法向量为m=(x1,y1,z1),则���·�����������=0,���·�����������=0,即-2���

1+���1=0,-22���1+���1=0,令x1=2,则y1=1,z1=2,可取m=(2,1,2).设平面BMP的法向量为n=(x2,y2,z2),同理可取n=(0,1,1).则cos<m,n>=���·���|���|

|���|=37×2=31414.设二面角A-PM-B的平面角为θ,则sinθ=1-cos2<���,���>=1-914=7014.9.(1)证明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1∥BC.∵D,F分别是AC,AB的中点,∴FD∥BC,∴B1C1∥FD.又B1C1⊄平面DEF,

DF⊂平面DEF,∴B1C1∥平面DEF.(2)解根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,则点C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,2,2),C1(0,0,2),D(1,0,0),E(2,0,1),F(1,1,0).∴����������=(-1,1,

-1),������1������=(-2,0,2).∵����������·������1������=2+0-2=0,∴����������⊥������1������,∴EF与AC1所成的角为90°.(3)解设向量n=(x,y,z)是

平面DEF的法向量,�����������=(1,0,1),�����������=(0,1,0).由���⊥�����������,���⊥�����������,即���·�����������=0,���·�����������=0,可得���+���=0,���=0

.取x=1,则z=-1,∴可取n=(1,0,-1).设点B1到平面DEF的距离为d,∵������1������=(-1,2,2),∴d=|������1�������·���||���|=|-1+0-2|2=322,∴点B1到平面DEF的距离为322.10.ABD因为AB=

2,BC=23,AC=4,所以AB2+BC2=AC2,即AB⊥BC.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥BC.又因为AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB,从而BC⊥PB.设PA=a,根据等体积法得VP-ABC=VA-PB

C,即13×12×2×23×a=13×12×23×���2+4×455,解得a=4,所以PA=a=4,故A选项正确;三棱锥P-ABC的外接球的半径与以BC,BA,AP为邻边的长方体的外接球的半径相等,因为三棱锥P-ABC的外接球

的半径为22,所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积为32π,故B选项正确;过点B作PA的平行线BD,则BD⊥平面ABC,所以以点B为坐标原点,BC,BA,BD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的

空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(23,0,0),A(0,2,0),P(0,2,4),所以�����������=(0,-2,0),����������=(23,-2,-4),所以cos<�����������,����������>=�����������·�������

���|�����������||����������|=42×42=24,所以直线AB与直线PC所成角的余弦值为24,故C选项错误;可得�����������=(23,0,0),�����������=(0,2,4),�����������=(0,-2,0).设平面PBC的法向量为m=(x,y

,z),则���·�����������=0,���·�����������=0,即���=0,���=-2���.令z=1,则可取m=(0,-2,1),设AB与平面PBC所成的角为θ,则sinθ=|cos<m,�����������>|=|�����������·���||���||�����

������|=45×2=255.所以AB与平面PBC所成角的正弦值为255,故D选项正确.11.16如图,过点C作CO⊥平面ABDE,垂足为O,连接OA,OB,取AB的中点F,连接CF,OF,则∠CFO为二面角C-AB-D的平面角.设AB=1,则CF=32,OF=CF·cos∠CFO=12

,OC=22,则O为正方形ABDE的中心.建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则E0,-22,0,M24,0,24,A22,0,0,N0,24,24,�����������=24,22,24,�����������=-22,24,24

.故cos<�����������,�����������>=�����������·�����������|�����������||�����������|=16.12.(1)证明因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊥AD,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥平面P

AD.所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD,PA∩AB=A,所以PD⊥平面PAB.(2)解存在.取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD,平面PAD与平面ABCD垂直,且交线为AD,所以PO⊥平面ABCD.因为AO,CO⊂平面ABCD,所以PO⊥CO,PO

⊥OA.因为AC=CD,所以CO⊥AD.故PO,CO,OA两两垂直.建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0

,1).所以�����������=(0,-1,1),�����������=(2,1,0),�����������=(0,1,1).设平面PCD的法向量n=(x,y,z),则�����������·���=0,�����������·�

��=0,即2���+���=0,���+���=0,令x=1,得y=-2,z=2.所以平面PCD的一个法向量为n=(1,-2,2).设M是棱PA上一点,则存在λ∈[0,1],使得�����������=��������������,因此点M(0,1-λ,λ),�����

������=(-1,-λ,λ).因为BM⊄平面PCD,所以要使BM∥平面PCD,当且仅当�����������·n=0,所以(-1,-λ,λ)·(1,-2,2)=0,即-1+4λ=0,解得λ=14.所以在棱PA上存在点M,使

得BM∥平面PCD,此时������������=14.13.(1)证明∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴AB=CB.又E为AC的中点,AD=CD,∴DE⊥AC,BE⊥AC.又BE∩DE=E,∴AC⊥平面BED.又AC⊂平面ACD,∴平面BED⊥平面AC

D.(2)解如图,连接EF,由(1)知AC⊥平面BED.∴EF⊥AC,∴当△AFC的面积最小时,EF最小.在△BDE中,若EF最小,则EF⊥BD.∵AB=CB=2,∠ACB=60°,∴△ABC为等边三角形,∴AC=2,BE=3.∵AD⊥CD,AD=CD,∴△ACD为等腰

直角三角形,∴DE=1.又BD=2,∴DE2+BE2=BD2,∴BE⊥DE.由(1)知DE⊥AC,BE⊥AC,则以E为原点,EA,EB,ED所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,∴点A(1,0,0),B(

0,3,0),C(-1,0,0),D(0,0,1),E(0,0,0),∴�����������=(-1,3,0),�����������=(-1,0,1),�����������=(0,3,-1),�����������=(0,0,1).设���

��������=��������������=(0,3���,-λ),则����������=�����������+�����������=(0,3���,1-λ).∵EF⊥BD,∴����������·

�����������=0,即3λ-(1-λ)=0,解得λ=14.∴点F0,34,34,����������=1,34,34.设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),则���·�����������=-���+3���=0,���·�����������=-���+���=0,取y=1,则x=

z=3,∴n=(3,1,3)为平面ABD的一个法向量.设CF与平面ABD所成的角为θ,则sinθ=|cos<n,����������>|=3+34+3347×72=437.故CF与平面ABD所成的角的正弦值为437.14.解在图②中,分别取DE的中点

O,BC的中点F,连接OA,OF.由题意以O为原点,OE,OF,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,可建立空间直角坐标系,如图所示.图①图②设OA=x,0<x<23,则OF=23-x,OE=���3,∴B(2,23-x,0),E���3,0,0,A

(0,0,x),C(-2,23-x,0),����������=(-2,23-x,-x),�����������=���3-2,���-23,0.(1)∵异面直线BE与AC垂直,∴����������·�����������=x2-103x+8=0,解得x=63=23(舍)或x=43=433

,∴图①中,������������=43323=23,即图①中点D在边AC的三等分点处且靠近点C.(2)平面ADE的一个法向量为n=(0,1,0).�����������=���3,0,-���,�����������=���3-2,���-23,0,设平

面ABE的法向量为m=(a,b,c),则�����������·���=���3���-������=0,�����������·���=���3-2���+(���-23)���=0,令a=1,则可取m=1,-13,13.设平面ADE与平面ABE的夹角为θ,则cosθ=|���·���||�

��||���|=131×1+13+13=55,∴无论点D的位置如何,平面ADE与平面ABE夹角的余弦值都为定值55.考点40参考答案1.B设直线的倾斜角为α,斜率为k,化直线方程为y=3x+a,则k=tanα=3.故α=60°.2.

D直线l1的倾斜角是钝角,则k1<0;直线l2与l3的倾斜角都是锐角,斜率都是正数.又直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角,所以k2>k3>0,所以k1<k3<k2.3.D由已知得直线2x-y-2=0的斜率为2,与y轴交

于点(0,-2),所求直线与直线2x-y-2=0垂直,所以所求直线的斜率为-12,所以所求直线的方程为y+2=-12x,即x+2y+4=0.4.A因为l1∥l2,所以kAB=4-������+2=-2,解得m=-8.因

为l2⊥l3,所以-1���×(-2)=-1,解得n=-2,所以m+n=-10.5.C如图所示,∵kPN=1-(-2)1-(-3)=34,kPM=1-(-3)1-2=-4,∴要使直线l与线段MN相交,当l的

倾斜角小于90°时,k≥kPN;当l的倾斜角大于90°时,k≤kPM,∴k≥34或k≤-4.6.3x-2y=0或x-y+1=0当直线过原点时,方程为y=32x,即3x-2y=0.当直线l不过原点时,设直线方程为

������−������=1.将点P(2,3)的坐标代入方程,得a=-1,所以直线l的方程为x-y+1=0.综上,所求直线l的方程为3x-2y=0或x-y+1=0.7.-13∵直线x-y-1=0与直线(m+3)x+2my-8=0平行,∴���+31=2���-1

≠-8-1,解得m=-1.∵直线x-y-1=0与直线(m+3)x+2my-8=0垂直,∴1×(m+3)+(-1)×2m=0,解得m=3.8.x+y-3=0验证知点M(1,2)在圆C内,当∠ACB最小时,直线l与CM垂直,∵kCM=4-23-1=1,∴kl=-1,∴直线l的方程为y-2=-(x-1)

,整理得x+y-3=0.9.解设点A(xA,yA)在直线l1上,点B(xB,yB)在直线l2上.由题意知������+������2=3,������+������2=0,则点B的坐标为(6-xA,-yA),将点A,B的坐标分别代入各自所在直线的方程,得2������-������

-2=0,(6-������)+(-������)+3=0,解得������=113,������=163,则所求直线的斜率k=163-0113-3=8,故所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.10.解(1)∵点B(5,3),D

(3,-1),∴线段BD的中点M的坐标为(4,1).∵AB所在直线的方程为x-y-2=0,AB⊥AC,∴kAC=-1.∴对角线AC所在直线的方程为y-1=-(x-4),即x+y-5=0.(2)由���+���-5=0,���-��

�-2=0,解得A(72,32),∴kAD=-1-323-72=5.∵BC∥AD,∴kBC=5.∴BC所在直线的方程为y-3=5(x-5),即5x-y-22=0.11.A因为A∩B=⌀,所以直线x+ay-a=0与直

线ax+(2a+3)y-1=0没有交点,即直线x+ay-a=0与直线ax+(2a+3)y-1=0平行,所以1·(2a+3)-a·a=0,解得a=-1或a=3.当a=-1时,两直线为:x-y+1=0,-x+y-1=0,

此时两直线重合,不满足题意.当a=3时,两直线为:x+3y-3=0,3x+9y-1=0,此时两直线平行,满足题意.所以a的值为3.12.A由y=2-���2,得x2+y2=2(y≥0),它表示以原点O为圆心,2为半径的圆的一部分,如图所示.显然直线l的斜率存在,设过点P(2,0)的直线l的方程为y

=k(x-2),则圆心到直线l的距离d=|-2���|1+���2,弦长|AB|=22-|-2���|1+���22=22-2���21+���2,所以S△AOB=12×|-2���|1+���2×22-2���21+���2≤(2���)2+2-2���22(1+���2)=1

,当且仅当(2k)2=2-2k2,即k2=13时等号成立.由图可知k<0,所以k=-33,故直线l的倾斜角为150°.13.-1-3由点B(0,33)关于x轴的对称点为B'(0,-33),可得直线AB'的斜率为3+33-4=-33,方程为y=-33x-33,令

y=0,可得x=-1,即光线l与x轴交点的横坐标为-1.由直线AB'可得入射角为90°-30°=60°,则折射角为30°,折射光线的斜率为k=tan(30°+90°)=-3,折射光线的方程为y=-3(x+1),令x=0,可得

y=-3,故折射光线所在直线的纵截距为-3.14.-6∵y=ex,∴y'=ex,∴y=ex在点(ak,e������)处的切线方程为y-e������=e������(x-ak),整理,得e������x-y-ake������+e������=0

.∵切线与x轴交点的横坐标为ak+1,∴ak+1=ak-1,∴{an}是首项为a1=0,公差d=-1的等差数列,∴a1+a3+a5=0-2-4=-6.15.解将点P(1,m)的坐标代入动直线l0的方程,得a+bm+c-3=0.又点Q(4,

0)到动直线l0的距离的最大值为3,则有|PQ|=3.∴(4-1)2+���2=3,解得m=0.∴a+c=3.又a>0,c>0,∴12���+2���=13(a+c)(12���+2���)=13(52+���2���+2��

����)≥13(52+2���2���·2������)=32,当且仅当a=1,c=2时取等号.所以12���+2���的最小值为32.16.(1)证明直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,故直线l过定点(-2

,1).(2)解直线l的方程可化为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则���≥0,1+2���≥0,解得k≥0,故k的取值范围是[0,+∞).(3)解直线l在x轴上的截距为-1

+2������,在y轴上的截距为1+2k,且k>0,所以点A(-1+2������,0),B(0,1+2k),故S=12|OA||OB|=12×1+2������×(1+2k)=12(4k+1���+4)≥12×(4+4)=4,当且仅当4

k=1���,即k=12时取等号,故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.17.C由f(π3-x)=f(π3+x)知函数f(x)的图象关于直线x=π3对称,所以f(0)=f2π3,得a=-3b,则直线ax-

by+c=0的斜率为k=������=-3,所以直线的倾斜角为2π3.故选C.18.B因为|AC|=|BC|,所以△ABC的欧拉线为AB的垂直平分线.又A(1,0),B(0,2),故AB的中点为(12,1),kAB=-2,故AB的垂直平分线方程为y-1=12(x-12),即2x-4y+3=0.

考点41参考答案1.B由已知得原点O到直线x-y+2=0的距离d=22=2,故|OP|的最小值为2.2.B|AB|=(cos10°-cos100°)2+(sin10°-sin100°)2=cos210°-2cos10°cos100°+cos2100°+sin210°-2sin10°sin100°

+sin2100°=2-2(cos10°cos100°+sin10°sin100°)=2-2cos(10°-100°)=2-2cos90°=2.3.C∵l1∥l2,∴a≠2,且a≠0,1���-2=���3≠62���,解得a=-1,∴两直线方程分别为l1

:x-y+6=0,l2:x-y+23=0,∴直线l1与l2之间的距离为d=6-232=823.4.C由点到直线的距离公式,得点P到直线3x+4y-12=0的距离为d=|3cos���+4sin���-12|32+42=|5sin(���+���)-12|5,其

中sinφ=35,cosφ=45.因为5sin(θ+φ)-12∈[-17,-7],所以d∈75,175.5.C因为直线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,所以这三条直线必有两条直线平行.又直线2x+y-4=0与x-y+1=0不平行,所以当直线2x+y-

4=0与ax-y+2=0平行时,a=-2;当直线x-y+1=0与ax-y+2=0平行时,a=1.所以实数a的值为1或-2.6.(-2,3)13依题意,直线l的方程可化为λ(y-3)+x+2=0,所以直线l恒过定点Q(-2,3),点P(1,1

)到该直线的距离的最大值为|PQ|=32+22=13.7.x-2y=0由���=2���+3,���=���+1,解得直线l1与l的交点坐标为(-2,-1),所以可设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线l上取一点(1,2),由题设知点(1,2

)到直线l1,l2的距离相等,由点到直线的距离公式得|���-2+2���-1|���2+1=|2-2+3|22+1,解得k=12(k=2舍去),所以直线l2的方程为x-2y=0.8.6x-y-6=0设点M(-3,4)关于直线l:

x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则反射光线所在直线过点M',所以���-4���-(-3)·1=-1,-3+���2-���+42+3=0,解得���=1,���=0,点M'的坐标为(1,0).又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为y=6-

02-1(x-1),即6x-y-6=0.9.22或142因为AB∥CD,所以可设直线CD的方程为x+y+m=0,由2���-���-1=0,���+���+���=0,得C(1-���3,-1-2���3),由4���+���-

23=0,���+���+���=0,得D(���+233,-23-4���3).所以|CD|=1-���3-���+2332+-1-2���3--23-4���32=223|m+11|.又直线AB与CD之间的距离d=|���+4|2,所以223|m+11|=|�

��+4|2,解得m=-8或m=-32,所以正方形ABCD的边长为22或142.10.解(1)若l1⊥l2,则m+2=0,解得m=-2.(2)直线l1的方程可化为2x+2y+4=0.若l1∥l2,则���2=22≠���4,解得m=2.又两直线之间的距离为5,则|��

�-4|22+22=5,解得n=4+210或n=4-210.11.C设A(-4,2)关于直线y=2x的对称点为(x,y),则���-2���+4×2=-1,���+22=2×-4+���2,解得���=4,���

=-2,所以BC所在直线的方程为y-1=-2-14-3(x-3),即3x+y-10=0.同理可得点B(3,1)关于直线y=2x的对称点为(-1,3),所以AC所在直线的方程为y-2=3-2-1-(-4)(x+4),即

x-3y+10=0.由3���+���-10=0,���-3���+10=0,解得���=2,���=4,所以点C的坐标为(2,4).故选C.12.C若三条直线x-2y+2=0,x=2,x+ky=0将平面划分成6个部分,则

其中有2条直线互相平行,第三条直线和这2条平行线都相交,此时k=-2或k=0,或者三条直线经过同一个点,即直线x-2y+2=0和x=2的交点(2,2)在直线x+ky=0上,此时k=-1.综上,k=-2或k=0或k=-1.13.CD由已知得y'=1-1���2,设点P

(x0,y0),则曲线在点P处的切线的斜率为1-1���02.当点P到直线3x-4y-2=0的距离最小时,曲线y=x+1���(x>0)在点P处的切线的斜率应等于直线3x-4y-2=0的斜率,即1-1���02=34,解得x

0=2,所以y0=2+12=52,点P的坐标为2,52,所以点P到直线3x-4y-2=0的距离的最小值为|3×2-4×52-2|9+16=65.故选CD.14.5由���=2���,���+���=3,解得���=1,��

�=2.将x=1,y=2代入mx+ny+5=0,得m+2n+5=0.所以m=-5-2n.所以点(m,n)到原点的距离d=���2+���2=(5+2���)2+���2=5(���+2)2+5≥5,当n=-2时取等

号,此时m=-1.所以点(m,n)到原点的距离的最小值为5.15.345由题意,可知纸的折痕既是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线,也是点(7,3)与点(m,n)连线的垂直平分线,易求得纸的折痕所在直线的方程为y=2x-3,于

是3+���2=2×7+���2-3,���-3���-7=-12,解得���=35,���=315.故m+n=345.16.解(1)设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),则���-0���-2=-2,���+22-2·���+02+8=0,解得���=-2,���=8,所以A'(-2,8)

.因为P为直线l上一点,所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,当且仅当B,P,A'三点共线时,等号成立,此时点P为直线A'B与直线l的交点,则有���=-2,���-2���+8=0,解得���=-2,���=3.所以当点P的坐标为(-2,3)时

,|PA|+|PB|的值最小.(2)因为A,B两点在直线l的同侧,P为直线l上一点,直线AB与l相交,所以||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,等号成立,此时点P为直线AB与l的交点.由题意可知直线AB的方程为y=x

-2.由���=���-2,���-2���+8=0,解得���=12,���=10.所以当点P的坐标为(12,10)时,||PB|-|PA||的值最大.17.A由题意可知,点M到直线y=x+1的距离为|5-0+1|2=32>4,

点M到直线y=2的距离为2<4,点M到直线y=43x的距离为|4×5-3×0|16+9=4,故②③符合题意,①不符合题意.故选A.18.-∞,-34由题意,设直线m的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=

0,点C的坐标为(x,y),由已知得-4���1+���2+-2���1+���2+������-���-3���1+���2=0,化简得kx-y-9k=0,则直线kx-y-9k=0与圆x2+(y-18)2=8

1有公共点,所以|-18-9���|1+���2≤9,解得k≤-34.考点42参考答案1.A由题意得,点(a,1)到两条直线的距离相等,且为圆的半径r,∴|2���-1+4|22+(-1)2=|2��

�-1-6|22+(-1)2,解得a=1.∴r=|2×1-1+4|22+(-1)2=5,∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.2.B圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=5,则圆心(1,2)到直线x-y+a=0的距离为|1-2+���|2=22,解得a=0或a=2.3.A由

题意,可知圆心坐标为(-a,-a),圆心都在直线y=x上.4.C由圆(x+2)2+(y-12)2=4可得圆心坐标为(-2,12),半径为2,则所求圆的圆心与点(-2,12)关于直线x-y+8=0对称,且半径为2.设所求圆的圆心坐标为(a,b),

则���-22-���+122+8=0,���-12���+2=-1,解得���=4,���=6.故所求圆的方程为(x-4)2+(y-6)2=4.故选C.5.A将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d=|1-1-2|2=2,故

圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为d+1=2+1.故选A.6.ABD圆M的方程可化为(x-4)2+(y+3)2=25,圆心坐标为(4,-3),半径为5.显然选项C不正确.ABD均正确.7.B将x2+y2-2ax-2y+a+1=0化为(x-a)2+(y-1)2=a2-a.当点

(0,1)在圆x2+y2-2ax-2y+a+1=0外时,���2-���>0,���>0,解得a>1.故“a>0”是“点(0,1)在圆x2+y2-2ax-2y+a+1=0外”的必要不充分条件.8.(x-2)2+���+322=254因为圆C经过点(0,0)和(4,0),所以设圆心坐标

为(2,m).又因为圆C与直线y=1相切,所以22+���2=|1-m|,解得m=-32.所以圆C的方程为(x-2)2+���+322=254.9.(1,2)因为x2+y2-ax-2y+a2-2=0表示一个圆,所以(-a)2+(-2)2-4(a2-2)>0,解得-2<a<2.因为过点P(-1,1

)作圆x2+y2-ax-2y+a2-2=0的切线有两条,所以点P在圆外,所以(-1)2+12-a·(-1)-2×1+a2-2>0,解得a<-2或a>1.所以1<a<2.所以a的取值范围是(1,2).10.35-1如图,作点B(6,1)关于x轴的对称点B'(6,-1),连接圆心与点

B',与圆的交点为A,则|AB'|即为|AW|+|BW|的最小值,|AB'|=(6-0)2+(-1-2)2-1=35-1.11.解(1)过点A(2,4)且与直线4x+3y-20=0垂直的直线方程为3x

-4y+10=0,又AP的垂直平分线的方程为x=6,则圆心M的坐标为(6,7),所以半径r=|AM|=(6-2)2+(7-4)2=5,所以圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25.(2)因为直

线l∥OA,所以直线l的斜率为4-02-0=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=|2×6-7+���|5=|���+5|5.因为|BC|=|OA|=22+42=25,而r2=d2+|������|22,所以25=(���

+5)25+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.12.解方程x2+y2-6x-6y+14=0可化为(x-3)2+(y-3)2=4,则圆C的半径为2.(1)������表示圆上

的点P与原点O连线的斜率,显然当PO与圆C相切时,斜率最大或最小,如图所示.设切线方程为y=kx,即kx-y=0,由圆心C(3,3)到切线的距离等于圆C的半径,可得|3���-3|���2+1=2,解得k=9±2145.所以������的最大值为9+2145,最小值为9-2145.(2)设x+y=

b,则b表示动直线y=-x+b在y轴上的截距,显然当动直线y=-x+b与圆C相切时,b取得最大值或最小值,如图所示.由圆心C(3,3)到切线x+y=b的距离等于圆C的半径,可得|3+3-���|12+12=2,即|b-6|=22,解得b=6±22.所以x+y的最大值为6+22,最小值为

6-22.13.C圆x2+y2-4x+1=0的标准方程为(x-2)2+y2=3.因为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=3的两个交点关于直线x+y+b=0对称,所以直线y=kx与直线x+y+b=0垂直,直线x+y+b=0经过圆的圆心(2,0

),所以k=1,b=-2.14.A圆的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=5-a,可得圆心坐标为(2,-1),半径为r=5-���.因为圆与x轴、y轴都有公共点,所以2≤5-���,1≤5-���,5-���>0,解得a≤1.故选A.15.D设圆C的方程为x2+y2+Dx+E

y+F=0,将点(4,6),(-2,-2),(5,5)的坐标分别代入可得,52+4���+6���+���=0,8-2���-2���+���=0,50+5���+5���+���=0,解得���=-2,���=-4,���=-20.故圆C的方

程为x2+y2-2x-4y-20=0,即(x-1)2+(y-2)2=25,故△CMN的面积S=12·|CM|·|CN|·sin∠MCN≤12×5×5=252.故选D.16.(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2设圆C的方程为(x-a)2

+(y-b)2=r2,则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|,|a|.由题意可知2���2=(2���)2,���2=���2+1,|���-2���|5=55,解得���=-1,���=-1,���2=2或���=1,���=1,���2=2.故所求圆C的方程为(x+

1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2.17.x2+y2-4x=0(0≤x<1)设点P(x,y),由题意,可知�����������·�����������=0,又�����������=(x,y),�����������=(4-x,-y),所

以(4-x)x-y2=0,即x2+y2-4x=0.所以点P在圆x2+y2-4x=0上.又点P在☉O内,圆x2+y2-4x=0与☉O交于点(1,3),(1,-3),所以0≤x<1.所以点P的轨迹方程为x2+y2-4x

=0(0≤x<1).18.解圆x2+y2+4x-12y+1=0的标准方程为(x+2)2+(y-6)2=39,∵圆x2+y2+4x-12y+1=0关于直线ax-by+6=0(a>0,b>0)对称,∴该直线经过圆心(-2,6),

即-2a-6b+6=0,∴a+3b=3.又a>0,b>0,∴2���+6���=23(a+3b)1���+3���=231+3������+3������+9≥2310+23������·3������=323,当且仅当3������=3������,即a=b=34时取等号.故2���+6

���的最小值为323.19.解(1)设点P(x,y),圆P的半径为r,则y2+2=r2,x2+3=r2.∴y2+2=x2+3,即y2-x2=1.∴圆心P的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设点P的坐标为(x0,y0),则|���0-���0|2=22,即|x0-y0|=1.∴y0-x

0=±1,即y0=x0±1.①当y0=x0+1时,由���02−���02=1,得(x0+1)2-���02=1.∴x0=0,y0=1,∴r2=3.∴圆P的方程为x2+(y-1)2=3.②当y0=x0-1时,由���02−���02=1,得(x0-1)2-���02

=1.∴x0=0,y0=-1,∴r2=3.∴圆P的方程为x2+(y+1)2=3.综上所述,圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.20.解(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把点(0,-1),(3+2,0),(3-2,0)的坐标分别代入,得1-

���+���=0,11+62+(3+2)���+���=0,11-62+(3-2)���+���=0,解得���=-6,���=8,���=7.故圆C的方程为x2+y2-6x+8y+7=0.(2)由���

2+���2-6���+8���+7=0,���+���+���=0,得2x2+(2a-14)x+a2-8a+7=0.∵圆C与直线x+y+a=0交于A,B两点,∴Δ=(2a-14)2-8(a2-8a+7)>0,解得-5<a<7.

设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=7-a,x1x2=���2-8���+72,y1y2=(-x1-a)(-x2-a)=x1x2+a(x1+x2)+a2.∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=2x1x2+a(x1+x2)+a2=0,∴2×���2-8���+72+(7-a

)a+a2=0,整理,得a2-a+7=0,Δ'=1-28<0,该方程无解,∴不存在实数a,使得圆C与直线x+y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB.考点43参考答案1.A圆(x-a)2+y2=1的圆心为(a,0),由题意知直线经过圆心,所以2a+0-1

=0,解得a=12,故选A.2.B由x2+y2-4x-1=0,得(x-2)2+y2=5,故圆心C(2,0),半径R=5.过点D(0,-2)作圆的切线,与圆的两个切点为A,B,连接AC,BC,CD,AB,则AB⊥CD,∠CAD=∠CBD

=π2,∠ADC=∠BDC=���2,由几何知识得,BC=AC=5,CD=(0-2)2+(-2-0)2=22.由勾股定理得,AD=BD=������2-���2=3.cos���2=������������=322=64,sin���

2=������������=522=104,sinα=2sin���2cos���2=2×104×64=154.故选B.3.B圆C:(x-1)2+y2=1的圆心C为(1,0),半径为1,则以|PC|=(1

-1)2+(-2-0)2=2为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1,将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y+1=0,即y=-12.4.AD圆(x+a)2+y2=a2的圆心为(-a,0),半径为|a|,圆心到直线的距离为d=|-���2+���|���2+1

,令|-���2+���|���2+1<|a|,可得|1-���|���2+1<1,即1-2a+a2<1+a2,化简得a>0.则当a>0时,直线与圆相交,故A正确,C不正确;当a<0时,直线与圆相离,故D正确,B不正确.5.C如图

,过点O作OH⊥MN,垂足为H,由∠MON≥2π3,得∠MOH≥π3,可得OH≤2.所以点O到直线x-y+m=0的距离d=|���|2≤2,所以-22≤m≤22.所以m的取值范围是[-22,22].故选C.6.A由题意,可知点C1(1

,-2),圆C1与圆C2相交,则相交弦所在直线方程为3x-5y-m2-4=0.因为圆C2平分圆C1的圆周,所以点C1在相交弦所在直线上,所以3+10-m2-4=0,即m2=9.又m>0,所以m=3.7.ABD对于A,因为两圆相交,所以有两条公切线,故A正

确.对于B,将两圆方程相减,可得直线AB的方程为-2x+2y-2=0,即x-y+1=0,故B正确.对于C,因为直线AB经过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,所以圆O2中不存在比AB长的弦,故C错误.对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆

心到直线AB:x-y+1=0的距离为|1+1|2=2,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+2,故D正确.故选ABD.8.32由题意,得圆心为O(0,0),半径为1.如图所示,∵P(1,3),∴PB

⊥x轴,|PA|=|PB|=3.又△POA为直角三角形,|OA|=1,|PA|=3,∴∠OPA=30°,∴∠APB=60°.∴�����������·�����������=|�����������||�����������|·cos∠APB=3×3×cos60°=32.9.43圆

C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为C(4,0),半径为1.由题意知圆心C(4,0)到直线kx-y-2=0的距离应不大于2,即|4���-2|���2+1≤2,整理得3k2-4k≤0,解得0≤k≤43.故k的最大值是43.10.解圆C的标准方程

为(x+1)2+(y-2)2=4,则圆心为C(-1,2),半径r=2.(1)当l的斜率不存在时,l的方程为x=1,此时圆心C到l的距离d=2=r,满足题意.当l的斜率存在时,设斜率为k,得l的方程为y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,则|-

���-2+3-���|1+���2=2,解得k=-34,故l的方程为y-3=-34(x-1),即3x+4y-15=0.综上,切线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.(2)设点P(x,y),则|PM|2=|

PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-4,|PO|2=x2+y2,因为|PM|=|PO|,所以(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2,整理,得2x-4y+1=0,所以点P的轨迹方程为2x-4y+

1=0.11.D由已知得☉M:(x-1)2+(y-1)2=4.因为S四边形PAMB=12|PM|·|AB|=2S△PAM=|PA|·|AM|=2|PA|=2|������|2-4,所以|PM|·|AB|最小,即|PM|最小,此时PM与直线l垂直,PM所

在直线的方程为y=12x+12,直线PM与直线l的交点为P(-1,0).|PM|=(1+1)2+(1-0)2=5,在Rt△APM中,|AP|=|������|2-|������|2=1.又|AP|=|BP|=1,以P(-1,0)为圆心,|AP|=1为半径作圆,则AB为☉M与☉

P的公共弦,☉P的方程为(x+1)2+y2=1,即x2+2x+y2=0.两圆方程相减得4x+2y+2=0,即直线AB的方程为2x+y+1=0.12.D如图,由已知得圆C的圆心C的坐标为(2,0),半径为1,S四边形APBC=2S△PAC=2×12

·|AC|·|PA|=|������|2-1.要使四边形APBC的面积最小,只需|PC|最小.当PC垂直于直线x-y=0时,|PC|取得最小值,为|2-0|2=2.所以四边形APBC的面积的最小值为2-1

=1.13.AC对于A,根据题意知圆M的圆心坐标为(1+cosθ,2+sinθ),半径为1.无论θ取何值,都有(1-1-cosθ)2+(2-2-sinθ)2=1,从而圆M过定点(1,2).又因为kx-y-k+2

=0可化为k(x-1)-y+2=0,所以直线l过定点(1,2),从而直线l和圆M有公共点.对于B,圆心到直线l的距离d=|���(1+cos���)-(2+sin���)-���+2|���2+1=|���cos���-sin���|���2+1=|���2+1(sin���cos

���-cos���sin���)|���2+1=|sin(β-θ)|≤1=r(其中sinβ=������2+1,cosβ=1���2+1),从而不存在实数k与θ,使直线与圆M相离,所以不正确.对于C,因为对任意实数k,tanβ=k

,所以必存在实数θ,使d=|sin(β-θ)|=sinπ2+k0π=1=r,k0∈Z,即直线l与圆M相切,所以正确.对于D,对任意实数θ,不一定存在实数k,使得直线l与圆M相切,如θ=0时,k不存在,所以不正确.14.4如图,由题意可知O1A⊥OA,AB⊥OO1,|AB|

=2|AC|.∵|OA|=5,|O1A|=25,∴|OO1|=5.在Rt△OO1A中,|AC|=|������||���1���||������1|=2,∴|AB|=2|AC|=2×2=4.15.23-32,3+32当a=1时,圆心C(1

,0),r=1,则圆心C到直线l的距离d=|1-2|1+1=22,所以弦长=2���2-���2=21-12=2.设P(m,-m+2),如图,过点P作PB⊥x轴,则有|PA|=2|PB|,又因为|PA|=2|PQ|,所以|PQ|=|PB|.因为|PQ|2=|PC|2-r2=(m-a)2+(-m

+2-a+1)2-1,所以(-m+2)2=(m-a)2+(-m+2-a+1)2-1,整理得m2-2m+2a2-6a+4=0,由题意可知关于m的该方程有解,则Δ=4-4(2a2-6a+4)=-8a2+24a-12≥0,解得3-32

≤a≤3+32.16.[-7,7]因为直径所对的圆周角为90°,而∠APB=90°,所以以AB为直径的圆x2+y2=4与圆(x-a)2+(y-3)2=4存在公共点,故两圆相交或相切.所以0≤���2+32≤4,解得-7≤

a≤7.17.解(1)如图,以B为原点,建立平面直角坐标系,由题意可知台风中心移动路径所在的直线的斜率为1,点A(-400,0),故台风中心移动路径所在的直线方程为y=x+400.(2)以B为圆心,30

0为半径作圆,和直线y=x+400相交于A1,A2两点.可以认为,当台风中心移到A1时,城市B开始处于危险区域,直到台风中心移到A2时解除影响.因为点B到直线y=x+400的距离d=2002,所以|A1A2|=230

02-(2002)2=200,而20020=10(小时),所以城市B处于危险区域的时间是10小时.18.解(1)圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,圆心为M(6,7),半径为r=5.由题意,设圆N的方程为(x-6)2+(y-b)2=b2(b>0),且(

6-6)2+(���-7)2=b+5.解得b=1.故圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为kOA=2,所以可设l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0.又|BC|=|OA|=22+42=25,由题意,圆M的圆心到直线l的距离为d=52-|������|2

2=25-5=25,所以|2×6-7+���|22+(-1)2=25,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为y=2x+5或y=2x-15.(3)由����������+����������=�����������,可知����������=�����������,因

为P,Q为圆M上的两点,所以|PQ|≤2r=10.所以|TA|=|PQ|≤10,即(���-2)2+42≤10,解得2-221≤t≤2+221.故实数t的取值范围为[2-221,2+221].19.C因为P是直线x+2y-9=0上的任一点,所以设P(9-2

m,m).因为PA,PB为圆O:x2+y2=9的两条切线,切点分别为A,B,所以OA⊥PA,OB⊥PB,所以点A,B在以OP为直径的圆C上,所以AB是圆O和圆C的公共弦.易知圆C的方程为���-9-2���22+���-���22=(9-2���)2+���2

4,两圆的方程相减,得(2m-9)x-my+9=0,即公共弦AB所在直线的方程为(2m-9)x-my+9=0,可化为m(2x-y)+(-9x+9)=0,由2���-���=0,-9���+9=0得���=1,���=2.所以直线AB恒过定点(1,2).故选C.

20.ACD因为|AB|=|AC|,所以△ABC的“欧拉线”为线段BC的垂直平分线,由点B(-1,3),C(4,-2)可得线段BC的中点为32,12,且kBC=3+2-1-4=-1,所以线段BC的垂直平分线的方程为y-12=x-32,即x-y-1=

0.因为△ABC的“欧拉线”与圆M:(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,所以圆心(3,0)到直线x-y-1=0的距离d=r=|3-1|12+(-1)2=2,所以圆M的方程为(x-3)2+y2=2,圆心(3,0)到直线x-y+3=0的距离为|3+3|2=32.A中,圆M上的点到直线x-y+3

=0的距离的最小值为32−2=22,所以A正确.B中,圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最大值为32+2=42,所以B不正确.C中,令t=x+3y,即y=���-���3,代入圆M的方程(x-3)2+y2=2,可得(x-3)

2+(���-���)23=2,整理可得4x2-(18+2t)x+t2+21=0,因为点(x,y)在圆M上,所以4x2-(18+2t)x+t2+21=0有根,所以Δ=(18+2t)2-4×4×(t2+2

1)≥0,整理可得t2-6t+1≤0,解得3-22≤t≤3+22,所以t的最小值为3-22,即x+3y的最小值为3-22,所以C正确.D中,圆(x-a-1)2+(y-a)2=8的圆心坐标为(a+1,a),半径为22,圆M的圆心坐标为(3,0),

半径为2,要使圆(x-a-1)2+(y-a)2=8与圆M有公共点,则圆心距d∈[22−2,22+2],即圆心距d∈[2,32],所以2≤(���+1-3)2+���2≤32,解得1-22≤a≤1+22,所以D正确.考点44参考答案1.A由已知得F1(-3,0),∵PF1⊥x轴,∴P

(-3,±12),∴|PF1|=12,又|PF1|+|PF2|=4,∴|PF2|=4-12=72.2.A由已知得过椭圆C的下顶点(0,-b)且斜率为34的直线的方程为y=34x-b,即34x-y-b=0,点F(c,0),则c=34���-���342+1,即(2c-b)(c+2b

)=0,因为b>0,c>0,所以b=2c.又a2=b2+c2,a>0,所以a=5c,所以e=������=55.3.C如图,设F1P的延长线与直线F2M交于点Q.由直线l平分∠F1PF2的外角,l⊥F2Q,可得|PQ|=|P

F2|,M为F2Q的中点.又O为F1F2的中点,所以|OM|=12|F1Q|.由椭圆的定义,可知|F1Q|=|PF1|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=2a=10,所以|OM|=5.4.D根据题意可知,当P,Q分别在椭圆短轴端点处时,四边形PF1QF

2的面积最大.不妨令P(0,1),∵F1(-3,0),F2(3,0),∴������1������=(-3,-1),������2������=(3,-1),∴������1������·������2������=-2.5.ACD由|F1F2|=2可得F2(1

,0),所以PF2⊥x轴.A中,|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|=2a-(|QF2|-|QP|)≥2a-|PF2|=2a-1,当且仅当Q,P,F2三点共线且点Q在第一象限时,取到最小值为2a-1,所以A正确.B中,因为P在椭圆内,所以b>1,短轴长2b>2,故B不正

确.C中,因为P在椭圆内,所以长轴长2a>|PF1|+|PF2|=1+5,所以离心率e=2���2���<25+1=5-12,所以e∈0,5-12,所以C正确.D中,因为������1������=���1���������,所以F1为PQ的中点,

又F1(-1,0),F2(1,0),P(1,1),所以Q(-3,-1),所以长轴长2a=|QF1|+|QF2|=(-3+1)2+(-1)2+(1+3)2+12=5+17,所以D正确.6.���29+���26=1∵

△F2AB是面积为43的等边三角形,∴AB⊥x轴,∴A,B两点的横坐标为-c,代入椭圆方程,可得|F1A|=|F1B|=���2���.又|F1F2|=2c,∠F1F2A=30°,∴���2���=33×2

c.①又���△���2������=12×2c×2���2���=43,②a2=b2+c2,③由①②③解得a2=9,b2=6,c2=3,∴椭圆C的方程为���29+���26=1.7.22联立���2���2+���2���2=1,���2���2+���2���2=1,两式相减得���2-

���2���2=���2-���2���2,又a≠b,所以x2=y2=���2���2���2+���2,故四边形ABCD为正方形,其面积为4���2���2���2+���2=163.(*)由题意知a2=b2+2,将其代入(

*)式整理得3b4-2b2-8=0,所以b2=2,所以a2=4,所以椭圆C1的离心率e=22.8.解由题意得F1(-1,0),F2(1,0),圆F1的半径为4,且|MF2|=|MP|,从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4>|F1F2|

,所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中长轴长为4,焦距为2,则短半轴长为3,所以点M的轨迹方程为���24+���23=1.9.解椭圆方程可化为���2���+���2������+3=1,m>0.∵m-������+3=���(���+2)���+3>0,∴m>������+3.

∴a2=m,b2=������+3,c=���2-���2=���(���+2)���+3.由e=32,得���+2���+3=32,∴m=1.∴椭圆的标准方程为x2+���214=1,∴a=1,b=12,c=32.∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=2和2b=1,焦点坐标分别为F1(-3

2,0),F2(32,0),四个顶点的坐标分别为A1(-1,0),A2(1,0),B1(0,-12),B2(0,12).10.C椭圆C1:���2���2+���2���2=1的离心率e1=���1���=1-���2���2,双曲线C2:���2���2−���2���2=1的离心

率e2=���2���=1+���2���2,由���1���2=33,得1-���2���21+���2���2=33,则a=2b.由���2+2���2-2���2=0,���-���+3=0,得3x2+12x+18-2b2=0,由Δ=122-4×3×(

18-2b2)=0,解得b2=3,则a2=6,故椭圆C1的方程为���26+���23=1.故选C.11.BD对于A选项,设A(x1,y1),B(x2,y2),则M(���1+���22,���1+���22).由已知得���122+���124=1,��

�222+���224=1,两式相减,整理得���1-���2���1-���2·���1+���2���1+���2=-2,即kAB·kOM=-2≠-1,故选项A错误.对于B选项,因为kAB·kOM=-2,kOM=1,所以kAB=-2,所以直线方程为y-1=-2(x-

1),即2x+y-3=0,故选项B正确.对于C选项,若直线方程为y=x+1,点M(13,43),则kAB·kOM=1×4=4≠-2,所以选项C错误.对于D选项,直线方程为y=x+2,与椭圆方程���22+���24=1联立,得到2x2+(x

+2)2-4=0,整理得3x2+4x=0,解得x1=0,x2=-43,所以|AB|=-43-02+23-22=423,故选项D正确.12.AD因为椭圆C:���24+y2=1,所以a=2,b=1,c=���2

-���2=3,所以e=������=32.故A正确.设点P(x,y),则������2������=(3-x,-y),因为点P在椭圆C上,所以|������2������|2=(���-3)2+y2=(���-3)2+1-���24=3���24-23x+4.因为-2

≤x≤2,所以当x=-2时,|������2������|2最大,即|������2������|最大,此时|������2������|max=2+3.故B错误.因为���△������1���2=12×2c·|y|=3|y|,所以当|y|最大时,△PF1F2的面积最大.又-1≤y≤1,

所以当y=±1时,△PF1F2的面积取得最大值,为3.故C错误.设坐标原点为O,则|������1������+������2������|=2|�����������|=2���2+���2=23���2

4+1.因为-2≤x≤2,所以1≤3���24+1≤4,所以2≤|������1������+������2������|≤4.故D正确.故选AD.13.94据题意������=32,b=1,a2=b2+c2,解得a=2,c=3,于是|PF1|+|PF2|=2a=4,所以1|������

1|+4|������2|=14(1|������1|+4|������2|)(|PF1|+|PF2|)=14(5+|������2||������1|+4|������1||������2|)≥94,当且

仅当|PF2|=2|PF1|,即|PF2|=83,|PF1|=43时,等号成立.14.-1+52设左顶点A(-a,0),上顶点B(0,b),则直线AB的方程为bx-ay+ab=0,以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆

经过两个焦点,则原点到直线AB的距离���������2+���2=c,即a2b2=a2c2+b2c2,即(a2-c2)b2=a2c2,即b4=(ac)2,所以b2=ac.长轴长、短轴长、焦距依次组成等比数列,则(2b)2=2a×2c=4ac,所以b2=ac.综上,b2=ac,即a2-c2

=ac,两边同除以a2得1-e2=e,又0<e<1,解得e=-1+52.15.(0,12)如图所示,设椭圆的右焦点为E,则四边形AFBE是平行四边形,∵∠AFB≥120°,∴∠FAE≤60°.设|AE|=m,|AF|=n,由椭圆的定义可知,m+n=2a,

则mn≤(���+���)24=a2.在△AFE中,由余弦定理知,cos∠FAE=���2+���2-������22������=(���+���)2-2������-������22������=4���2-4���22

������-1=2(���2-���2)������-1≥2(���2-���2)���2-1=1-2e2.∵∠FAE≤60°,∴cos∠FAE∈[12,1),∴1-2e2≥12,∴e2≤14.又0<e<1,∴e∈(0,12].16.解(1)因为|F1F2|为|PF1|和

|PF2|的等差中项,所以a=2c,得a2=4c2.又点P(-1,32)在椭圆上,所以14���2+3223���2=1,所以c=1,所以a2=4,b2=3,故椭圆的标准方程为���24+���23=1.(2)由(1)知点A(2,0),因

为点P-1,32,所以直线AP的方程为x+2y-2=0,所以H(0,1).当直线MN与x轴垂直时,不合题意.当直线MN与x轴不垂直时,设直线MN的方程为y=kx+1,由���=������+1,���24+���23=1,可得(4k2+3)x2+8kx-8=0.设点M(x1,y1),N(

x2,y2),则���1+���2=-8���4���2+3,���1���2=-84���2+3.①由S△HMA=6S△PHN,可得|AH||MH|=6|NH||PH|,又|AH|=2|PH|,所以|MH|=3|NH|,得x1=-3x2,代

入①,可得-2���2=-8���4���2+3,-3���22=-84���2+3,所以3×16���2(4���2+3)2=84���2+3,解得k=±62,所以直线MN的方程为y=62x+1或y=-62x+1.17

.解(1)∵点Q(0,12)在直线AB上,∴设直线AB的方程为y=kx+12.设E(x,y)为椭圆上除P之外的一点,已知点P(0,1),则|PE|2=(y-1)2+x2=(y-1)2+12-12y2=-11y2-2y+13=-

11[y2+211y+(111)2]+111+13=-11(y+111)2+14411.∵-1≤y≤1,∴当y=-111时,|PE|2取得最大值,为14411.∴|PE|max=121111.(2)由���2+12���2=12,���=������+12,得(12k2+1)x2+12kx

-9=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-12���12���2+1,x1·x2=-912���2+1,直线PA:y-1=���1-1���1(x-0),即y=���1-1���1x+

1.由���=-12���+3,���=���1-1���1���+1,得xC=4���1���1+2���1-2=4���1(2���+1)���1-1.同理可得xD=4���2���2+2���2-2=4���2(2���+1)���2-1,则|CD|=1

+(-12)2|xC-xD|=524���1(2���+1)���1-1-4���2(2���+1)���2-1=20���1-���2[(2���+1)���1-1][(2���+1)���2-1]=20|���1-���2||(2���+1)2���

1���2-(2���+1)(���1+���2)+1|=20144���2+9×4(12���2+1)(12���2+1)2(2���+1)2×(-9)12���2+1+(2���+1)12���12���2+1+1=2036(16���2+1)12���2+1-

9(4���2+4���+1)+24���2+12���+12���2+112���2+1=6208·16���2+1|3���+1|=35216���2+1(3���+1)2.令3k+1=t,则k=���-13,16���2+1(3���+1)2=259

·1���2-329·1���+169.当1���=1625,即t=2516,k=316时取得最小值.故|CD|min=35216×(316)2+1(2516)2=352×1625=655.18.(6,8]由(x-1)2+y2=a2(x<0),令y=0,可得x=1-a,即A1(1-

a,0).由半椭圆的方程可得A2(a,0),B2(0,b),B1(0,-b),由∠B1FB2=120°,可得������=3,由F(1,0)可得b=3,所以a=2,所以半椭圆和圆弧的方程分别为���24+���23=1(x≥0),(x-1)2+y2=4,所以A1(-1,0),A2(2,0),

B1(0,-3),B2(0,3),可得A1相当于椭圆的左焦点,△A1PQ的周长为|PF|+|PA1|+|A1Q|+|QF|,当点P,Q均在半椭圆上时,|PF|+|PA1|=4,|A1Q|+|QF|=4,此时△A1PQ的周长为8.当点P,Q有一个在半椭圆上,另一个在圆弧上时,不妨设点P在圆弧上,则|

A1Q|+|QF|=4,|PF|=2,0<|PA1|<2,此时△A1PQ的周长的取值范围为(6,8).综上所述,△A1PQ的周长的取值范围为(6,8].考点45参考答案1.A若双曲线C的方程为x2-���24=1,则渐近线方程为y=±2x;若渐近线方

程为y=±2x,则双曲线C的方程为x2-���24=λ(λ≠0).所以“双曲线C的方程为x2-���24=1”是“双曲线C的渐近线方程为y=±2x”的充分不必要条件.故选A.2.D因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|=b,|OA|=a,所以ab=2.又双曲线C的离心率

为5,所以1+���2���2=5,即b2=4a2,解得a2=1,b2=4.所以双曲线C的方程为x2-���24=1.故选D.3.B由题意知F2(c,0),不妨令点M在渐近线y=������x上,由题意可知|F2M|=���������2+��

�2=b,所以|OM|=���2-���2=a.由���△���������2=16,可得12ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,������=52,所以a=8,b=4,c=45,所以双曲线C的实轴长为16.故选B.

4.A不妨设|PF2|=1,则|PF1|=3,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=7,所以2c=|F1F2|=7,所以c=72.由双曲线的定义,可知2a=|PF1|-|PF2|=2,所以a=

1.所以离心率e=������=72.5.B由题意及正弦定理得sin∠������2���1sin∠������1���2=|������1||������2|=e=2,∴|PF1|=2|PF2|.由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=4,

|PF2|=2.又|F1F2|=4,由余弦定理可知cos∠PF2F1=|������2|2+|���1���2|2-|������1|22|������2|·|���1���2|=4+16-162×2×4=14,∴���2���������·���2���1��

�����=|���2���������|·|���2���1�������|·cos∠PF2F1=2×4×14=2.故选B.6.D依题意,双曲线C:���2���2−���2���2=1(a>0,b>0)的右焦点F为(c,0),渐近线方程为y=±������x.因为四边形OFAB为

菱形,点A在双曲线C的右支上,且在x轴上方,点B在渐近线上,所以点B在渐近线y=-������x上,|OB|=|AB|=|OF|=c.如图,设点B���,-���������,x<0,则|OB|=���2+-���������2=c,解得x=-a,可得点B(-a,b).因为AB∥OF,所以点A的纵

坐标为b,代入双曲线C的方程,可得点A(2a,b).所以|AB|=2a+a=c,所以e=������=2+1.7.y=±3x由已知得e=������=2,即c=2a.又a2+b2=c2=4a2,所以b2=3a2,所以������=3.故此双曲

线的渐近线方程为y=±3x.8.132如图,连接OT,PF2,则OT⊥PF1,过F2作F2Q∥OT,因为2���1���������=����������,|OF1|=c,|OT|=a,所以|TF1|=

|TQ|=|QP|=b,|QF2|=2a,|PF2|=|PF1|-2a=3b-2a.在Rt△PQF2中,(3b-2a)2=(2a)2+b2,整理得������=32.所以e=���2���2=1+���2���2=132.所以双曲线C的离心率e=132.9.解(1)因为椭圆的长轴长为10,所以a

=5.由椭圆的焦距为4,可得c=2,则b=21.又焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为���225+���221=1.(2)双曲线的一个焦点为(-3,0),则c=3.又渐近线方程为y=2x,所以������=2.又a2+b2=c2,所以a2=1,b2=2.所以双曲线的标准方程为x2

-���22=1.10.解(1)由题意可得,双曲线C的焦点在x轴上,且a=3,������=3,b2=c2-a2,解得a2=3,b2=6,所以双曲线C的方程为���23−���26=1.(2)由(1)可得F2(3,0),由题意可知直线方程为y

=3(x-3).设点A(x1,y1),B(x2,y2),由���=3(���-3),2���2-���2=6,整理可得x2-18x+33=0,则有x1+x2=18,x1x2=33.可得y1-y2=3[(x1-3)-(x2-3)]=3(x1-x2),所以S△AOB

=12|OF2|·|y1-y2|=12×3×3(���1+���2)2-4���1���2=332×182-4×33=36.故△AOB的面积为36.11.AC对于A,由题意,可知a2=m+n,b2=m-n,所以c2=a2+b2=m+

n+m-n=2m.因为2c=4,所以c=2,所以c2=2m=4,可得m=2.故A正确.对于B,当n=0时,双曲线C:���22−���22=1,此时a=b=2,c=���2+���2=2,所以离心率e=������=2.故B不正确.对于C

,由已知得点F1(-2,0),渐近线方程为2-���x±2+���y=0,则点F1到渐近线的距离d=|-22-���|2=2-���,所以d随着n的增大而减小.故C正确.对于D,当n=1时,a=2+1=3,b=2-1=1,所

以双曲线C的实轴长为23,虚轴长为2,此时实轴长不是虚轴长的2倍,故D不正确.12.D连接OP(图略),由������1������·������2������=0,可得△PF1F2为直角三角形,故|OP|=12|F1F2|=c

.不妨设点P在渐近线y=������x上,且在第一象限,在△OPN中,tan∠PON=������,则cos∠PON=������.又|ON|=a,则|PN|2=|OP|2+|ON|2-2|OP|·|ON|·cos∠PON,解得|PN|=b.由|OP|2-|ON|2=|PN|2知PN⊥ON,

即PN⊥MN.故在Rt△PMN中,tan∠MPN=|������||������|=2������=3,故������=233.故所求渐近线方程为y=±233x.13.A由双曲线C1的方程可得渐近线方程为y=±������x,即bx±ay=0,圆C2的标准方程为(x-a)2+y2=

14a2,圆心C2的坐标为(a,0),半径r=12a.由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,得|������|���2+���2<12a,即c>2b,即c2>4b2.又b2=c2-a2,所以c2>

4(c2-a2),即c2<43a2,所以e=������<233.又e>1,所以双曲线C1的离心率的取值范围为(1,233).故选A.14.���23-y2=1因为F(-2,0),N(-3,-1),所

以直线AB的斜率k=1.设双曲线C的方程为���2���2−���2���2=1(a>0,b>0),则a2+b2=4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-6,y1+y2=-2,���1-���2���1-���

2=k=1.由���12���2−���12���2=1,���22���2−���22���2=1,得(���1+���2)(���1-���2)���2−(���1+���2)(���1-���2)���2=0,即-6���2+2

���2=0,所以a2=3b2.所以a2=3,b2=1.所以双曲线C的方程为���23-y2=1.15.(0,12]∵双曲线D:���2���2−���2���2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±3x,∴������=3,可得b=3a,c=���2+�

��2=2a.∵P为双曲线D右支上一点,∴|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2c,∴0<|������1|-|������2||������1|+|������2|≤2���2���=������.∵c=2a

,∴������=12,∴|������1|-|������2||������1|+|������2|的取值范围是(0,12].165(-52,1)如图,设F'为双曲线C的左焦点,连接PF',QF',则|QF'|=|QF|

,|PF|=|PF'|+2,所以△PQF的周长l=|PQ|+|PF|+|QF|=|PQ|+|PF'|+|QF|+2.因为|PQ|+|PF'|≥|QF'|=���2+���2,所以△PQF的周长l≥2���2+���2+2.因为△PQF的周长的最小

值为8,所以2���2+���2+2=8,又b2+1=c2,所以b=2,c=5,所以双曲线C的离心率为������=5.当△PQF的周长取最小值时,点P在直线QF'上,易知直线QF'的方程为y=255x+2,由���=255���+2,���2-���24=1,解得���=-52,���=1或��

�=5,���=4(舍去).故点P的坐标为-52,1.17.解(1)设机器鼠所在位置为点P,由题意可得|������|���0−|������|���0=8���0,即|PA|-|PB|=8<10,可得P的轨迹

为双曲线的右支,且2c=10,2a=8,即有c=5,a=4,b=3,则P的轨迹方程为���216−���29=1(x≥4),时刻t0时,|OP|=4,即点P(4,0),可得机器鼠所在位置的坐标为(4,0).(2)设与直线l平行的直线l1的方程为y=x+m,将

其代入轨迹方程���216−���29=1(x≥4),可得7x2+32mx+16m2+144=0,当直线l1和轨迹相切时,Δ=(32m)2-28(16m2+144)=0,解得m=-7或m=7(舍去),则l1的方程为y=

x-7,切点即为双曲线右支上距离l最近的点,此时l与l1的距离为d=|-7|2=142,即机器鼠距离l最小的距离为142>1.5,故机器鼠保持目前运动轨迹不变,没有“被抓”的风险.18.解(1)∵点A(2,1)在双曲线

C:���2���2−���2���2-1=1(a>1)上,∴4���2−1���2-1=1,解得a2=2.∴双曲线的标准方程为���22-y2=1.易知直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+m,点P(x1,y1),Q(x2,y2),由���2-2���2=2,���=�����

�+���,得(1-2k2)x2-4kmx-2(m2+1)=0.∴Δ>0,x1+x2=4������1-2���2,x1x2=-2(���2+1)1-2���2.设直线AP,AQ的斜率分别为kAP,kAQ

,则kAP+kAQ=���1-1���1-2+���2-1���2-2=0.∴(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)=0,∴(kx1+m-1)(x2-2)+(kx2+m-1)(x1-2)=0,整理,得2kx1x2+(m-1-2k)(x1

+x2)-4(m-1)=0,∴2k(-2m2-2)+4km(m-1-2k)-4(m-1)(1-2k2)=0,即2k2+k(m+1)+m-1=0,(k+1)(2k+m-1)=0.∴k=-1或m=1-2k,把m=1-2k代入y=kx+m,得y=kx+1-2k=k(x-2)+1,此时直线PQ过点A(2,

1),舍去,∴k=-1,即直线l的斜率为-1.(2)由(1)知,直线l的方程为y=-x+m,x1+x2=4m,x1x2=2m2+2,则���12+���22=12m2-4,∴|PQ|=1+���2·(���1+���2)2-4���1���2

=2·16���2-8���2-8=4���2-1,点A(2,1)到直线l的距离d=|2+1-���|2=|3-���|2.∴△PAQ的面积S△PAQ=12d·|PQ|=2|3-m|���2-1.由tan∠PAQ=22,得cos∠PAQ=13,sin∠PAQ=223.∴S△PAQ=12|PA|

|QA|sin∠PAQ=23|PA||QA|,∴13|PA|·|QA|=|3-m|���2-1.在△PAQ中,由余弦定理,得cos∠PAQ=|������|2+|������|2-|������|22|������||���

���|=13.∴|PA|2+|QA|2-|PQ|2=(x1-2)2+(y1-1)2+(x2-2)2+(y2-1)2-(x1-x2)2-(y1-y2)2=2m2-12m+18=23|PA||QA|.∴m2-6m+9=|3-m|���2-1,∴|m-3|=���2-1或m

-3=0,即m=53或m=3(舍去,若m=3,则点A在直线PQ上).∴S△PAQ=2×43×43=1629.19.10218双曲线En:x2-y2=���1020(n∈N*,且n≤1020)的两条渐近线为y=x,y=-x,它们互相垂直.因为直线x=2与双曲线En在第一象限内的交点为An,所以点

An的坐标为(2,4-���1020),又点An在双曲线En的两条渐近线上的射影分别为Bn,Cn,所以不妨令|AnBn|=2-4-���10202,|AnCn|=2+4-���10202,所以an=12|AnBn||AnCn|=���10204=���4080,所以a1+a2+a3+…+a102

0=14080+24080+…+10204080=1+10202×10204080=10218.考点46参考答案1.C抛物线C的方程可化为x2=1���y(m>0),因为点A(a,2)到抛物线C的准线的距离为4,

所以14���+2=4,解得m=18.2.D由已知得双曲线的焦点为(-2,0),(2,0).设抛物线C的方程为y2=±2px(p>0),则���2=2,所以p=22,所以抛物线C的方程为y2=±42x.故选D.3.

C依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又焦点为F12,0,F为△ABC的重心,所以x1+x2+x3=3×12=32,则|FA|+|FB|+|FC|=���1+12+���2+12+���3+12=(x1+

x2+x3)+32=32+32=3.4.D过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹是以点F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,故其方程为x2=12y.5.C由抛物线的定义可得|AF|=|AH|,∵AF的斜率为

33,∴AF的倾斜角为30°.∵AH垂直于准线,∴∠FAH=60°,故△AHF为等边三角形.设A���,���24,m>0,过F作FM⊥AH于点M,则在△FAM中,|AM|=12|AF|,∴���24-1=12���24+1,解得m=23,故等边三角形AHF的边长|A

H|=4,∴△AHF的面积是12×4×4sin60°=43.故选C.6.C抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),直线l:y=kx-k过抛物线C的焦点F.当k>0时,如图所示,过点M作MM'垂直于准线x=-1,垂足为M',由抛物线的定义,得|MM'|=|MF|,易知∠M'MN与直线l的倾斜角相

等,由2�����������=������������,得cos∠M'MN=|������'||������|=12,则tan∠M'MN=3,故直线l的斜率k=3.当k<0时,可得直线l的斜率k=-3.故选C.7.ACD选项A,由题意知,点A在线段MF的垂直平分线上,则xA=��

�2+���2=34p,所以������2=2pxA=2p·34p=32p2(yA>0).所以yA=62p,故kAB=62���-034���-���2=26,故选项A正确;选项B,直线AB的方程为y=26x-���2,联立���=26(���-���2),�

��2=2������,消去y得24x-���22=2px,整理得12x2-13px+3p2=0,即(4x-3p)(3x-p)=0,解得x=3���4或x=���3.因为点A的横坐标为3���4,所以点B的横坐标为

���3,从而其纵坐标为26���3−���2=-6���3,所以|OB|=(���3)2+(-6���3)2=7���3,所以|OF|=���2≠|OB|.故选项B错误;选项C,|AB|=34p+���3+p=2512p>2p=

4|OF|,故选项C正确;选项D,由选项A,B知,A34p,62p,B���3,-63p,所以�����������·�����������=34p,62p·���3,-63p=���24-p2=-34p2<0,所以∠A

OB为钝角.又�����������·�����������=-���4,62p·-2���3,-63p=���26-p2=-56p2<0,所以∠AMB为钝角.所以∠OAM+∠OBM<180°.故选项D正确.故选ACD

.8.545因为抛物线的方程为y2=4x,所以准线方程为x=-1,点F(1,0).因为|MF|=6,所以xM+1=6,解得xM=5.所以yM=±25.因为MN⊥x轴,所以点N(5,0),所以|FN|=5-1=4.所以S△MNF=12|FN|·|yM|=12×4×25=4

5.9.962抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为l:x=-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),过点A作AD⊥l于点D(图略),由抛物线的定义可知|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4.∵��������

���=3�����������,∴|PA|=3|AD|,∴|PD|=22|AD|,∴直线PF的斜率为±22.∵F(2,0),∴直线PF的方程为y=±22(x-2).将y=±22(x-2)代入方程y2=

8x,得8(x-2)2=8x,化简得x2-5x+4=0,∴x1+x2=5,于是|AB|=x1+x2+4=9.点O到直线PF的距离d=423,∴S△AOB=12|AB|·d=12×9×423=62.10.解(1)易知点F的坐标为(1,0),则直线l的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程y2=4

x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.由题意知k≠0,且Δ=[-(2k2+4)]2-4k2·k2=16(k2+1)>0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=2���2+4���2,x1x2=1.由抛物线的定义知|AB|

=x1+x2+2=8,∴2���2+4���2=6,∴k2=1,即k=±1,∴直线l的方程为y=±(x-1).(2)由题意知点D的坐标为(x1,-y1),直线BD的斜率kBD=���2+���1���2-���1=���2+���1���224-���124=4

���2-���1,∴直线BD的方程为y+y1=4���2-���1(x-x1),即(y2-y1)y+y2y1-���12=4x-4x1.∵���12=4x1,���22=4x2,x1x2=1,∴(y1y2)2=16x1x2=16,即y1y2=-4(y1,y2异号),∴直线BD的方程为

4(x+1)+(y1-y2)y=0,故直线BD恒过点(-1,0).11.C如图所示,设l与x轴交于点M,过点A作AD⊥l并交l于点D,由抛物线的定义知,|AD|=|AF|=4,由F是AC的中点,知|AF|=2|MF|=2p,所以2p=4

,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+���2=x1+1=4,所以x1=3,又x1x2=���24=1,所以x2=13,所以|AB|=x1+x2+p=163.故选C.12.B设A(x1,y1),B(x2,

y2),由���=������+1,���2=4���,消去y得x2-4kx-4=0,∴x1+x2=4k,x1x2=-4,∴|AB|=1+���2·(���1+���2)2-4���1���2=1+���2·16���2+16=4

(1+k2).设M(x3,y3),N(x4,y4),由���=2������+2,���2=8���,消去y得x2-16kx-16=0,∴x3+x4=16k,x3x4=-16,∴|MN|=1+4���2

·(���3+���4)2-4���3���4=1+4���2·(16���)2+64=8(1+4k2).∵λ|AB|-|MN|=4λ(1+k2)-8(1+4k2)=4[λ-2+(λ-8)k2]为定值,∴λ-8=0,即λ=8.13.BCD由已知得焦点F

的坐标为(0,1),故A错误.设直线AB的方程为y=kx+1,由���2=4���,���=������+1,消去y,得x2-4kx-4=0,∴x1+x2=4k,x1x2=-4,∴y1y2=k2x1x2+k(x1

+x2)+1=1,∴�����������·�����������=x1x2+y1y2=-4+1=-3,故B正确.设直线AB的方程为y=kx+m,由���2=4���,���=������+���,消去y,得x2-4kx-4m=0,∴

x1+x2=4k,x1x2=-4m,∴y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=-4k2m+4mk2+m2=m2.∵直线OA与OB的斜率之积为-14,∴���1���1·���2���2=-14,即���2-4���=

-14,解得m=1,∴直线AB的方程为y=kx+1,即直线AB过点F,故C正确.∵|AB|=1+���2·(���1+���2)2-4���1���2=1+���2·16���2+16���=6,∴4(1+k2)(k2+m)=9,∴m=94(1+�

��2)-k2.∵y1+y2=k(x1+x2)+2m=4k2+2m,∴AB的中点到x轴的距离为d=2k2+m=2k2+94(1+���2)-k2=k2+94(1+���2)=k2+1+94(1+���2)-1≥2(���2+1)·94(1+���2)-1=3-1=2,当且

仅当k2=12时取等号,故AB的中点到x轴的距离的最小值为2,故D正确.14.(-∞,-3)∪(0,+∞)由题意知k≠0.因为直线l与圆相切,所以|���+1|1+���2=1,即k2=t2+2t.由k2>0,得t>0或t<-2.把直线l

的方程代入抛物线方程,整理得x2-4kx-4t=0,于是由Δ=16k2+16t=16(t2+2t)+16t>0,得t>0或t<-3.综上,实数t的取值范围是(-∞,-3)∪(0,+∞).15.解(1)直线AB的方程为y=22���-���

2,与y2=2px(p>0)联立,从而有4x2-5px+p2=0.由题意知,Δ=25p2-16p2=9p2>0,方程有两个不等实根,所以x1+x2=5���4.由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=5���4+p=9,所以p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.(

2)由于p=4,则4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0,则有x1=1,x2=4,于是y1=-22,y2=42,则有A(1,-22),B(4,42).设C(x3,y3),则�����������=(x3,y3)=(1,-22)+λ(4,42)=(4λ+1,

42���-22).又���32=8x3,即[22(2λ-1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.16.(1)解抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点坐标为F���2,0,直线l1的方程为y=33���-���2,设点A(x1,y1),B

(x2,y2),由���=33���-���2,���2=2������,整理得x2-7px+���24=0,所以x1+x2=7p,所以|AB|=x1+x2+p=8p=12,所以p=32,所以抛物线E的方程

为y2=3x.(2)证明由(1)可知抛物线E的准线方程为x=-34,焦点F34,0,所以直线l1的方程为y=33���-34,代入抛物线的方程,得13x2-72x+316=0,可得x1x2=916,则���123·���223=916,即y1y2=-94.直

线l2的方程为y=3���-34,设点C(x3,y3),D(x4,y4),由���=3���-34,���2=3���,整理得16x2-40x+9=0,x3x4=916,可得y3y4=-94.所以直线AC的斜率为���

1-���3���123-���323=3���1+���3,可得直线AC的方程为y-y1=3���1+���3���-���123,同理可得直线BD的方程为y-y2=3���2+���4���-���223,准线方程为x=-34.将

准线方程代入直线AC的方程,得y=���1���3-94���1+���3,将准线方程代入直线BD的方程可得y=���2���4-94���2+���4.由���1���3-94���1+���3−���2���4-94���2+���4=���1���3-94(�

��2+���4)-���2���4-94(���1+���3)(���1+���3)(���2+���4),上式的分子为y1y2y3+y1y3y4-94y2-94y4-(y1y2y4+y2y3y4-94y1-94y3)=-94y3-94y1-94y

2-94y4-(-94y2-94y4-94y1-94y3)=0,得直线AC,直线BD与准线交于同一点,即抛物线E的准线、直线AC和直线BD三线共点.17.D设A(x1,y1),B(x2,y2),因为A,B两点在抛物线上,所以���12=4y1,���22=4y2.以A为

切点的切线方程为y-y1=���12(x-x1),即y=���12x-y1.①同理,以B为切点的切线方程为y=���22x-y2.②设直线y=x-2上任一点P(x0,y0),将P(x0,y0)的坐标代入①②,得�

��0=���12���0-���1,���0=���22���0-���2,所以直线AB的方程为y0=���2x0-y,即y=���02x-y0.又y0=x0-2,所以y=x0���2-1+2.因为直线AB过定点C(2,2),所以当CF⊥AB时,F(0,1)到直线AB的距离的最大值为(2

-0)2+(2-1)2=5,当直线AB过点F时,距离的最小值为0.考点47参考答案1.B设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,���1236+���129=1,���2236+

���229=1,两式相减,得(���1+���2)(���1-���2)36+(���1+���2)(���1-���2)9=0,所以2(���1-���2)9=-4(���1-���2)9,所以k=���1-���2���1-���2=-12.故选B.2.C由题意得F(-

1,0),设点P(x0,y0),则���02=31-���024(-2≤x0≤2).因为�����������=(x0,y0),����������=(x0+1,y0),所以�����������·����������=x0(x0+1)+���02=���02+x0+���02

=���02+x0+31-���024=14(x0+2)2+2.因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,�����������·����������取得最大值,最大值为6.3.C依题意,点F12,0,设直线l的方程为x=ky+12,点A(x1,y1),B(x2,y2),且y1

>0>y2,由���2=2���,���=������+12,得y2-2ky-1=0,Δ=4k2+4>0,则y1+y2=2k,y1y2=-1.由已知得点C-12,���1,D-12,���2,因为|CF|=2|DF|,所以1+���12=4+4���22,即�

��12=3+4���22.由���1���2=-1,���12=3+4���22,���1>0>���2,解得���1=2,���2=-12.所以2k=32,即k=34.故直线l的斜率为43.4.A设点M(x1,y1),N(x2,y2

),由���=������+���,���22-���2=1,得(1-2k2)x2-4kmx-2(1+m2)=0.因为直线l与双曲线的右支相交,所以1-2k2≠0,Δ=16k2m2+8(1-2k2)(1+m2)>0,即1+m2-2k2>0,x1+x2=4������1-2���2

>0,x1x2=-2(���2+1)1-2���2>0.设MN的中点为G(x0,y0),则x0=2������1-2���2,y0=���1-2���2.所以kAG=1+���-2���22������.由题意,可知AG⊥MN,所以1+���

-2���22������·k=-1,即2k2=3m+1.因为x1x2>0,所以1-2k2<0,所以m>0.将2k2=3m+1代入1+m2-2k2>0,解得m>3.5.C设A(x1,y1),B(x2,y2),∵�����������=3�����������,

∴y1=-3y2.设直线l的方程为x=my+1,由���2=4���,���=������+1消去x,得y2-4my-4=0,∴y1y2=-4,∴���1=23,���2=-233,∴y1+y2=4m=433,∴m=33.∴x1+x2=10

3,AB的中点坐标为(53,233).∴过AB中点且垂直于直线l的直线方程为y-233=-33x-53,令y=0,可得x=113,即G113,0,∴S△ABG=12×113-1×23+233=3239.6.(1,5)由题意得������<2,∴e=������=���

2+���2���2<1+4=5.∵e>1,∴1<e<5,∴此双曲线离心率的取值范围为(1,5).7.3设直线OP的方程为y=kx(k≠0),由���=������,���2=2������,解得P2

������2,2������,由���=������,���2=8������,解得Q8������2,8������,∴|OP|=4���2���4+4���2���2=2���1+���2���2

,|PQ|=36���2���4+36���2���2=6���1+���2���2,∴���△������������△���������=|������||������|=3.8.���24−���22=13由双曲线与椭圆���29

+���23=1有相同的焦点,可设双曲线的方程为���2���2−���26-���2=1,又双曲线以x+2y=0为其一条渐近线,所以6-���2���2=12,解得a2=4.所以双曲线的方程为���24−

���22=1.右焦点坐标为(6,0),当过右焦点的直线垂直于x轴时,代入双曲线方程得y=±1,则弦长为2<4,不满足题意.当过右焦点的直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-6),代入双曲线方程得(2k2-1)x2-46k2x+12k2+4=0,设直线与双曲线的两个交点坐标分别为

(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=46���22���2-1,x1x2=12���2+42���2-1,所以弦长为1+���2(���1+���2)2-4���1���2=4(1+���2)|2���2-1|=4,解得k=0或k=

±2.故满足题意的弦有3条.9.(1)解由题意,得点F���2,0,则4-00-���2=-2,解得p=4.故抛物线C的方程为y2=8x.(2)证明设点A(x1,y1),B(x2,y2),D(x,y),直线l的方程为x=m(y-4).由���2=8���,���=���

(���-4),得y2-8my+32m=0,则Δ=64m2-128m>0,即m<0或m>2,y1+y2=8m,y1y2=32m.由�����������=��������������,�����������=������������

��,得y1-4=λ(y2-4),y-y1=λ(y2-y),故(y1-4)(y2-y)=(y-y1)(y2-4),即y=2���1���2-4(���1+���2)���1+���2-8=4������-1,所以y≠4.又x=m(y

-4),所以m=������-4,所以y=4������-4������-4-1,化简得xy-y2+4y-4x=0,即(x-y)(y-4)=0.又y≠4,所以x-y=0.故点D在定直线x-y=0上.10.C不妨令直线l的方程为y=������x,设|MF|=|NF|=r,取Q为MN的中点

,由题意可知△MNF为等腰直角三角形,则FQ⊥MN,|FQ|=|NQ|=|MQ|=2���2.在Rt△OFQ中,tan∠FOQ=|������||������|=������,∴|OQ|=������2���

.∴|ON|=|OQ|-|NQ|=���2���-������,|OM|=|OQ|+|MQ|=���2���+������.又������������=��������������(2≤λ≤5),∴���2���

+������=������2���-������,整理得λ=���+������-���∈[2,5],∴2���≥3���,���≤3���,即4���2≥9���2,���2≤9���2,即4���2≥

9(���2-���2),���2≤9(���2-���2),解得109≤���2���2≤139.∴103≤e≤133.11.BC如图,设P(x0,y0),则���02���2+���02���2=1,���������1·���������2=���0

+������0·���0-������0=���02-���2���02=-���2���2,A不正确.∵点P在圆x2+y2=b2外,∴���02+���02-b2>0,∴������1������·������2������=(-x0,-b-y0)·(-x0

,b-y0)=���02+���02-b2>0,B正确.如图,当点P在长轴的顶点A上时,∠B1PB2最小且为锐角,设△PB1B2的外接圆半径为r,由正弦定理可得2r=2���sin∠���1������2≤

2���sin∠���1������2=2���sin2∠���������2=2���2���������2+���2=���2+���2���.∴r≤���2+���22���,∴△PB1B2的外接圆半径的最大值为���2+���22���,C正确.直线PB1的方程为y+b=���0

+������0x,直线QB2的方程为y-b=���0-���-���0x,两式相乘可得y2-b2=���02-���2-���02x2,可化为���2���2−���2���2=1,∵点P不与点B1,B2重合,∴点M的轨

迹为双曲线的一部分,∴D不正确.12.D设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a,2b,2c(a>b>0,c>0),不妨设椭圆的焦点在x轴上,中心在坐标原点,显然x=±a,y=±b均为椭圆的切线,即(a,b),(a,-

b),(-a,b),(-a,-b)均在蒙日圆上,根据对称性分析可得,蒙日圆的圆心为坐标原点,半径R=���2+���2,则椭圆方程为���2���2+���2���2=1.设椭圆上任一点P(acosθ,bsinθ),F1(-c,0),F2(c,0),则������1������=

(-c-acosθ,-bsinθ),������2������=(c-acosθ,-bsinθ),可得������1������·������2������=(-c-acosθ)(c-acosθ)+(-bsinθ)·(-bsinθ)=a2cos2

θ-c2+b2sin2θ=(a2-b2)cos2θ-c2+b2(sin2θ+cos2θ)=c2cos2θ+b2-c2.注意到c2>0,cos2θ∈[0,1],故������1������·������2������=

c2cos2θ+b2-c2≥b2-c2,当且仅当cos2θ=0时,等号成立,即������1������·������2������的最小值为b2-c2,故b2-c2=15R2=15(a2+b2),整理得4b2-5c2=a2,即4(a2-c2)-5c2=a2,整

理得���2���2=13,即e=������=33.13.2由题意知抛物线C的焦点为(1,0),则过抛物线C的焦点且斜率为k的直线方程为y=k(x-1)(k≠0),由���=���(���-1),���2=4���,消去y得k2(x-1)2=4x,即k

2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2���2+4���2,x1x2=1.由���=���(���-1),���2=4���,消去x得y2=41��

����+1,即y2-4���y-4=0,则y1+y2=4���,y1y2=-4.因为∠AMB=90°,所以有�����������·�����������=(x1+1,y1-1)·(x2+1,y2-1)=x1x2+x1+x2+1+y1y2-(y1+y2)+

1=0,①将x1+x2=2���2+4���2,x1x2=1与y1+y2=4���,y1y2=-4代入①,得k=2.14.x-2y+1=0由已知得s+t=19(s+t)������+������=19���+���+���������+���������≥19(m+

n+2������)=19(���+���)2.因为s+t的最小值是49,所以19(���+���)2=49,���+���=2,又m+n=2,所以m=n=1.设以点(1,1)为中点的弦的两个端点的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),则有���1+��

�22=���1+���22=1,即x1+x2=y1+y2=2.①又该两点在双曲线上,则有���124−���122=1,���224−���222=1,两式相减得(���1+���2)(���1-���2)4−(���1+���2)(���1-���2)2=0.②由①②得���1-���2

���1-���2=12,即所求直线的斜率是12,所以所求直线的方程是y-1=12(x-1),即x-2y+1=0.15.(1)解由已知得c=2,e=������=63,所以a=3,所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为���23+y2=1.(2)证明由(1)得,曲线为x2+y2=1(x>0

).当直线MN的斜率不存在时,直线MN:x=1,显然不符合题意.当直线MN的斜率存在时,设点M(x1,y1),N(x2,y2).必要性:若M,N,F三点共线,则可设直线MN:y=k(x-2),即kx-y-2k=0.由直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切,可得|2���|���2+1

=1,解得k=±1.由���=±(���-2),���23+���2=1,可得4x2-62x+3=0,所以x1+x2=322,x1x2=34,所以|MN|=1+1·(���1+���2)2-4���1���2=3.所以必要性成立.充分性:

设直线MN:y=kx+b(kb<0),即kx-y+b=0.由直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切可得|���|���2+1=1,所以b2=k2+1.由���=������+���,���23+���2=1,可得(1+3k2)x2

+6kbx+3b2-3=0,所以x1+x2=-6������1+3���2,x1x2=3���2-31+3���2,所以|MN|=1+���2(���1+���2)2-4���1���2=1+���2·-6������1+3���22-4·3���2-31+3���2=1+���2·24���21

+3���2=3,化简得3(���2-1)2=0,所以k=±1,所以���=1,���=-2或���=-1,���=2,所以直线MN:y=x-2或y=-x+2,所以直线MN过点F(2,0),即M,N,F三点共线.所以充分性成立.所以M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=3.16

.解(1)设F1,F2分别为(-c,0),(c,0),可得������=2,b2=c2-a2=3a2,又点1,32在双曲线C上,∴1���2−94���2=1,又a>0,b>0,∴a=12,c=1.由题意易知四边形PF1QF2为平行四边形.∴|PF1|+

|PF2|=22>2,∴动点P的轨迹是以点F1,F2分别为左、右焦点的椭圆(除左、右顶点),∴动点P的轨迹方程为���22+y2=1(y≠0).(2)∵���12+���22=2,���122+���12=1,���222+���22=1,∴���12+���22=1.∴|

OG|·|MN|=(���1-���2)2+(���1-���2)2·���1+���222+���1+���222=123-2���1���2-2���1���2·3+2���1���2+2���1���2≤123-2���1���2-2��

�1���2+3+2���1���2+2���1���22=32,当3-2x1x2-2y1y2=3+2x1x2+2y1y2,即x1x2+y1y2=0时取等号,所以|OG|·|MN|的最大值为32,此时OM⊥ON,即△OMN为直角三角形.17.(1)解设椭圆的半焦距为c,由

题意可得e=������=1-���2���2=32,所以a=2b.①因为双曲线���24-y2=1的渐近线方程为y=±12x,所以可设双曲线的渐近线与椭圆C在第一象限的交点为P(2t,t),所以��

�2+(2���)2=102,即t2=12.因为点P在椭圆上,所以4���2���2+���2���2=1,即2���2+12���2=1.②由①②可得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为���24+y2=1.(2)证明①由题意可得点M,N

关于原点对称,可设点D(x1,y1),M(x2,y2),N(-x2,-y2),因为点D,M在椭圆上,所以���124+���12=1,���224+���22=1,所以���12=1-���124,���22=1-���224,所以

k1k2=���1-���2���1-���2·���1+���2���1+���2=���12-���22���12-���22=1-���124-1-���224���12-���22=-14.②可

设k1>0,k2<0,因为k1+k2=0,k1k2=-14,所以k1=12,k2=-12.因为直线DM过点(0,m),直线DN过点(0,n),所以直线DM的方程为y=12x+m,DN的方程为y=-12x+n.由���=12���

+���,���2+4���2=4,可得x2+2mx+2m2-2=0,所以x1x2=2m2-2.由���=-12���+���,���2+4���2=4,可得x2-2nx+2n2-2=0,所以-x1x2=2n2-2,所以x1x2+(-x1x2)=2m2+2n2-4=0,

所以m2+n2=2,为定值.18.解(1)根据椭圆的定义,可得|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,∴△AF1B的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a,

∴4a=43,a=3,∴椭圆E的方程为���23+���2���2=1.将P1,233代入得b2=2,∴椭圆E的方程为���23+���22=1.(2)由(1)可知c2=a2-b2=1,得点F2(1,0),由题意可知直线l的斜率不为0,故可设直线l的

方程为x=my+1,由���23+���22=1,���=������+1,消去x,整理得(2m2+3)y2+4my-4=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-4���2���2+3,y1y2=-42���2+3.不妨设y1>0,y2<0,则|AF2|=

(���1-1)2+���12=(������1+1-1)2+���12=���2+1·|y1|=���2+1·y1.同理|BF2|=���2+1·|y2|=-���2+1·y2.所以1|������2|+1|������2|=1���2+1·���1+1-���2+1·���

2=1���2+11���1-1���2=1���2+1·���2-���1���1���2=1���2+1·-|���2-���1|���1���2=1���2+1·-16���2+16(2���2+3)2���2

+3-42���2+3=1���2+1·43(���2+1)4=3,即|AF2|+|BF2|=3|AF2|·|BF2|.所以存在实数λ=3,使得|AF2|+|BF2|=λ|AF2|·|BF2|成立.考点48参考答案1.C根据

题意,行车路线的起点有4种,行驶方向有3种,因此行车路线共有4×3=12(种).故选C.2.B依题意,分四类:第一类,从1,2和6,7,8,9中各取一个数,组成的两位数有2×4×2=16(个);第二类,

从3,4,5和6,7,8,9中各取一个数,组成的两位数有3×4×2=24(个);第三类,从1,2和3,4,5中各取一个数,组成的两位数有2×3×2=12(个);第四类,从3,4,5中取两个不同的数,组成的两位数有3×2=6(个).故组成的没有重复数字的两位数有

16+24+12+6=58(个).3.C先涂A,B,E三个点,有4×3×2=24(种)涂色方法;再涂点C,有2种涂色方法;最后涂点D,有2种涂色方法.故不同的涂色方法有24×2×2=96(种).4.D第一步安排学生,因为学生只能

从东门或西门进入校园,所以3名学生进入校园的方式共有23=8(种);第二步安排教师,因为教师只能从南门或北门进入校园,所以2名教师进入校园的方式共有22=4(种).由分步乘法计数原理,可知2名教师和3名学生进入校园的方式共有8×4=32(种).5.C分

两类:第一类,M中的元素作为点的横坐标,N中的元素作为点的纵坐标,在第一象限内的点共有2×2=4(个),在第二象限内的点共有1×2=2(个);第二类,M中的元素作为点的纵坐标,N中的元素作为点的横坐标,在第一象限内的点共有2×2=4

(个),在第二象限内的点共有2×2=4(个).故所求不同点的个数为4+2+4+4=14.6.36另两边长用x,y(x,y∈N*)表示,且不妨设1≤x≤y≤11,要构成三角形,必须x+y≥12.当y取11时,x可取1,2,3,…,11,有11个三角形;当

y取10时,x可取2,3,…,10,有9个三角形;……当y取6时,x只能取6,只有1个三角形.因此所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.7.36第一步,安排女生演讲顺序,有3×2×1=6(种);第二步,安排男生演讲顺序,女生安排好后,有4个空位

,因为男生不排第一个演讲,且两名男生不能相邻演讲,所以只有3个空位可选,有3×2=6(种).故演讲顺序有6×6=36(种).8.180分三步完成:第一步任取一个数为a,由于a不为0,有6种方法;第二步从剩余的

6个数中任取一个数为b,有6种方法;第三步从剩余的5个数中任取一个数为c,有5种方法.由分步乘法计数原理,可知共有6×6×5=180(个)不同的解析式.9.20根据“凸数”的特点,中间的数字只能是3,4,5,故分三

类.第一类,当中间数字为“3”时,此时有2种;第二类,当中间数字为“4”时,从1,2,3中任取两个放在4的两边,故有A32=6(种);第三类,当中间数字为“5”时,从1,2,3,4中任取两个放在5的两

边,故有A42=12(种).根据分类加法计数原理,可知组成无重复数字的三位凸数的个数是2+6+12=20.10.96按区域1与3是否同色分类:第一类,区域1与3同色,第一步,涂区域1与3,有4种涂色方法;第二步,涂区域2,4,5,有A33种涂色方法.故当区域1与3同色时,共有4A33=2

4(种)涂色方法.第二类,区域1与3不同色,第一步,涂区域1与3,有A42种涂色方法;第二步,涂区域2,有2种涂色方法;第三步,涂区域4,只有1种涂色方法;第四步,涂区域5,有3种涂色方法.故当区域1与3不同色时,共有A42×2×1×3=72(种)涂色方法.由分类加法计数原理,可

知不同的涂色方法种数为24+72=96.11.D先涂区域1,2,5,有A53=60(种)涂色方法;再涂区域3,4,若区域3与区域1同色,则区域3只有1种涂色方法,区域4有3种涂色方法,若区域3与区域1不同色,则区

域3有2种涂色方法,区域4有2种涂色方法.故不同的涂色方法有60×(1×3+2×2)=420(种).12.B因为A,B,C三门至多选一门,所以可分两类:第一类,A,B,C三门课都不选,有C53=10(种)方案;第二类,A,B,C中选一门,剩余5门课中选2门,有C31C5

2=30(种)方案.故根据分类加法计数原理知共有10+30=40(种)方案.13.B根据题意,分两类情况讨论.第一类,数字3不出现,此时四位数的每个数位上的数都为6或9,故四位数有2×2×2×2=16(个).第二类,数字3出现一次,此时四位数的一个数位上的数为3,剩下的三个数位上的数为6或9,故

四位数有4×2×2×2=32(个).故可以组成的四位数的个数为16+32=48.14.64若选2门课,只需体育类和艺术类各选1门,有C41×C41=16(种)不同的选课方案;若选3门课,分两类.体育类选1门、艺术类选2门,体育类选2门、艺术类选1门,有C41×C42+C42×C4

1=48(种)不同的选课方案.综上,共有16+48=64(种)不同的选课方案.15.900第一步,选左边第一个数字和右边第一个数字相同,有9种选法;第二步,选左边第二个数字和右边第二个数字相同,有10种选法;第三步,选左边第三个数字,也就是右边第三个数字,有10种选法.故五位回文数

有9×10×10=900(个).16.12由D为△ABC的外接圆的圆心,�����������+�����������=��������������(λ∈R),可知△ABC为等腰三角形,且|BA|=|BC|,则必有f(1)=f(3),f(1)≠f(2).当f(1)=f(3)=1

时,f(2)=2,3,4,有3种;当f(1)=f(3)=2时,f(2)=1,3,4,有3种;当f(1)=f(3)=3时,f(2)=1,2,4,有3种;当f(1)=f(3)=4时,f(2)=1,2,3,有3种.故满足条件的函数有12种.

17.36依题意,只需考虑A,B,C,D四点处种植树苗情况即可.当A,B,C三点处种植树苗均不相同时,有A33=6(种)种植方法,此时点D处有3种种植方法,故不同的种植方法有6×3=18(种);当A,B,C三点处有两点种植树苗相同时,有C32A32=18

(种)种植方法,此时点D处只有1种种植方法,故不同的种植方法有18×1=18(种).由分类加法计数原理,可知不同的种植方法有18+18=36(种).18.8520第一类,6种颜色都用上,此时涂色方法有

A66=720(种).第二类,6种颜色只用5种,第一步,选出5种颜色,方法有C65种;第二步,涂A,B,C三点,方法有A53种;第三步,涂D,E,F三点中的两点,方法有A32种;第四步,涂剩余的一点,方法有2种.故此时涂色方法有C65·A53·A32·2=4320(种).第三

类,6种颜色只用4种,第一步,选出4种颜色,方法有C64种;第二步,涂A,B,C三点,方法有A43种;第三步,涂D,E,F三点中的一点,方法有3种;第四步,涂剩余的两点,方法有3种.故此时涂色方法有C64·A43·3×3=3240(种).第四类,6种颜色只用3种,第一步,选出

3种颜色,方法有C63种;第二步,涂A,B,C三点,方法有A33种;第三步,涂D,E,F三点,方法有2种.故此时涂色方法有C63·A33·2=240(种).由分类加法计数原理,可知不同的涂色方法有720+4320+3240+240=8520(种).考点49参考答案1.C将4个车位捆绑在一起,看成

一个整体,与3辆不同型号的车排列,故不同的停放方法有A44=24(种).2.D因为红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,所以红色菊花的两边各摆放一盆白色菊花,一盆黄色菊花,所以共有C21C21A22A22=16(种)摆放方法.3.D由题意可知

个位上的数只能是1,3,5中的一个,有3种排法,将剩下的4个数全排列,有A44种排法,故满足条件的五位数有3A44=72(个).故选D.4.C在4名护士中任选2人安排到C医院,有C42=6(种)安排方法,将剩下

的2名护士分别安排到A,B医院,有A22=2(种)安排方法,则护士的安排方法有6×2=12(种).将5名医生安排到三所医院,当C医院安排3人时,有C53A22=20(种)安排方法,当C医院安排2人时,有C52C32A22=60(种)安排方法,则医生

的安排方法有20+60=80(种).故不同的安排方法有12×80=960(种).5.60依题意,分两类:第一类,3张中奖奖券分给3人,有A43种分法;第二类,3张中奖奖券分给2人,先把3张中奖奖券分成两组,再分给4

人中的2人,有C32A42种分法.故不同的获奖情况有A43+C32A42=60(种).6.36不同的分配方案可分为以下两种情况:①甲、乙两人在一个路口,其余三人分配在另外的两个路口,其不同的分配方案有C32A33=18(种);②甲、乙所在路口分配三人,另

外两个路口各分配一个人,其不同的分配方案有C31A33=18(种).由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有18+18=36(种).7.66共有4个不同的偶数和5个不同的奇数,要使和为偶数,则4个数全为奇数,或全为偶数,或2个奇数和2个偶数,故不

同的取法共有C54+C44+C52C42=66(种).8.120先从除了甲、乙以外的6人中选1人,安排在甲、乙中间,有C61A22=12(种)排法,再把这3人看成一个整体,与从剩下的5人中选出的1人全排列,有C51A22=10(种)排法,故不同的

发言顺序共有12×10=120(种).9.150当3个盒子中有1个盒子放入3个球,另外2个盒子各放入1个球时,有C53A33=60(种)放法;当3个盒子中有2个盒子各放入2个球,另外1个盒子放入1个球时,有C52C32A22·A33=90(种)放法.故一共有60+90=150(种)放法.10

.D(方法一:直接法)若3个不同的项目投资到4个城市中的3个,每个城市1个项目,共A43种方法;若3个不同的项目投资到4个城市中的2个,一个城市1个项目、一个城市2个项目,共C32A42种方法.由分类加法计数原理知,共A43+C32A42=60(种)

方法.(方法二:间接法)先任意安排3个项目,每个项目各有4种安排方法,共43=64(种)排法,其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求,共4种,因此不同的投资方案共64-4=60(种).11.C分类讨论:(1

)甲选花卷,则有2人选同一种主食,方法有C42C31=18(种),剩下2人选其余主食,方法有A22=2(种),共有方法18×2=36(种);(2)甲不选花卷,其余4人中1人选花卷,方法为4种,甲选包子或面条,方法为2种,其余3人,若有1人选甲选的主食,剩下2人选其余主食,方法为3A

22=6(种);若没有人选甲选的主食,方法为C32A22=6(种),共有4×2×(6+6)=96(种).故共有36+96=132(种).故选C.12.D依题意,满足要求的三位数可分为八类:第一类,由0,1,2组成,有C2

1A22=4(个);第二类,由0,1,5组成,有C21A22=4(个);第三类,由0,2,4组成,有C21A22=4(个);第四类,由0,4,5组成,有C21A22=4(个);第五类,由1,2,3组成,有A33=6(个);第六类,由1,3,5组成,有A33=6(个);第七

类,由2,3,4组成,有A33=6(个);第八类,由3,4,5组成,有A33=6(个).故满足要求的三位数有4+4+4+4+6+6+6+6=40(个).13.12分三类:①同一天2家有快递:可能是2层和5层、3层和5层、3层和6层,共3种情况;②同一天3家

有快递:考虑将有快递的3家插入没有快递的4家形成的空位中,有C53种插入法,但需减去1层、3层与7层有快递,1层、5层与7层有快递这两种情况,所以有C53-2=8(种)情况;③同一天4家有快递:只有1层、3层、5层、7层有快递这一种情况.根据分类加法计数原

理可知,同一天7家住户有无快递的可能情况共有3+8+1=12(种).14.1440若小明等待的时间为1分钟,则他的前面只有1名男生,此时,排队方法种数为C31A55=360.若小明等待的时间为2分钟,则他的前面有2名男生或1名

女生,此时排队方法种数为A32A44+C31C31A44=360.若小明等待的时间为3分钟,则他的前面有3名男生或1名男生1名女生,此时排队方法种数为A33A33+C31C31(A44+C21A33)=360.若小明等待的时间为4分钟,则他的前面有2名男生1名女生或2名女生,

此时排队方法种数为C21C31A32A33+C31A33A22+A32C31A33=360.故不同的排队方法种数为360+360+360+360=1440.考点50参考答案1.ABD由二项式系数的性质知C100+C101+C102+…+C1010=210=1024,故A正确;依题

意,展开式中有11项,故二项式系数最大的项为中间项,即为第6项,故B正确,C错误;由展开式的通项Tr+1=C10���a10-r(-b)r=(-1)rC10���a10-rbr知,第6项的系数最小,为-C105,故D正确.2.B因为���

-1������2���的展开式的通项公式为Tk+1=C2������x2n-k·-1���������=C2������(-1)k���4���-5���2,令4���-5���2=0,得k=4���5,所以n可取10.3.D(1+3)4=1+

C41×3+C42×(3)2+C43×(3)3+(3)4=28+163,由题设可得a=28,b=16,故a+b=44.4.B由题意知an=C10���-1(n=1,2,3,…,11).因为(1+x)10的展开式中二项式系数最大的项是第6项,所以a6=C105最大,所以k的最大值为6.5.

D令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243,即|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=243.6.Aa1+a2+a3+…+a10=C22+C32+C42+…+C112=C33+C32+C42+…+

C112=C43+C42+…+C112=C53+C52+…+C112=…=C123=220.7.4-64���322���-13���6的展开式的通项为Tr+1=C6���(2���)6-r·-13������=-

13���·26-rC6������6-3���2.由6-3���2∈Z,得r=0,2,4,6,故有理项共4项.若项的系数最小,则r为奇数,即r=1或3或5.当r=1时,系数为-64;当r=3时,系数为-16027;当r=5时,系

数为-481.故系数最小的项为T2=-64���32.8.5依题意,C���03n+C���13n-1+C���23n-2+…+C������-13+C������=(3+1)n=4n=1024,解得n=5.9.510因为a1为展开式中x

3的系数,所以a1=C30(-1)0+C41=5.令x=1,则有1+a1+a2+a3+a4=(1-1)3+(1+1)4=16,所以a2+a3+a4=16-5-1=10.10.60∵(x+1)6=[(x-1)+2]6,∴Tr+1=C6���(

x-1)6-r·2r,令6-r=4,则r=2,∴T3=C62(x-1)4·22=60(x-1)4,即a4=60.11.C令x=1,可得1+������2(1+x)6的展开式中各项系数的和为(1+a)·26=256,解得a=3.故1+3���2(1+x)6的展开式中x3的系数

为C63+3C65=38.12.B令x=1,得a0+a1+a2+…+a12=36,①令x=-1,得a0-a1+a2-…+a12=1,②由①+②,可得a0+a2+a4+…+a12=36+12.令x=0,得a0=1,故a2+a

4+…+a12=36+12-1=364.13.D依题意,令x=1,可得各项系数的和为2n=128,解得n=7.故���+1���7的展开式的通项公式为Tr+1=C7������7-3���2.由7-3���2∈Z,得r=0,2,4

,6,故展开式中有4项为有理项,有4项为无理项.把展开式中各项重新排列,则有理项都互不相邻的排法有A44A54种,而所有的排法有A88种,故有理项都互不相邻的概率为A44A54A88=114.14.AD令x=-1,得a0=(-2+1)10

=1,故A正确.由已知得(2x+1)10=[-1+2(x+1)]10,故ar=C10���(-1)10-r2r,r=0,1,2,…,10,故B错误.令x=0,得a0+a1+a2+…+a10=1,又a0=1,则a1+a2+…+a10=0,故C错误.令x=-2,得a0-a1+

a2-…+a10=310,则(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=(a0+a2+…+a10+a1+a3+…+a9)(a0+a2+…+a10-a1-a3-…-a9)=1×310=310,故D正确.15.81因为9192=(

90+1)92=C9209092+C9219091+…+C9290902+C929190+C9292=C9209092+C9219091+…+C9290902+8200+81,所以9192除以100的余数是81.16.84依题意

,x2的系数为C22+C32+C42+…+C82=C93=84.17.BC设内切球的半径为r,则圆柱的高为2r,所以m=π���2·2���43π���3=32,n=2π���2+2π���·2���4π���2=32,所以������=1,所以

f(x)=���3-1���8.对于A,f(x)的展开式的通项公式为Tr+1=C8���x24-3r·-1������=(-1)rC8���x24-4r,令24-4r=0,解得r=6,所以f(x)的展开式中的常数项为(-1)6C86=28,故A错误.

对于B,f(1)=0,即f(x)的展开式中的各项系数之和为0,故B正确.对于C,f(x)的展开式中的二项式系数的最大值为C84=70,故C正确.对于D,f(i)=i3-1i8=(-i+i)8=0,故D错误.考点51参考答案1.AA项合理;B项中飞机

零件每一件都得合格,故用全面调查;C项中调查具有破坏性,故用抽样调查;D项中应对每一位应聘人员都进行面试,故采用全面调查.2.A由已知得���3500+1500=703500,解得n=100.3.C在频率分布直方图中,每个小矩形的面积等于该小矩形对应组的频率,且各小矩形的面积之和

为1,设中间一组的频率为x,则其余4组的频率之和为1-x,由题意知x=25(1-x),解得x=27,所以中间一组的频数为27×140=40.4.ABD对于A,甲校抽取的人数为1200×1101200+

1000=60,乙校抽取的人数为110-60=50,所以x=60-3-4-8-15-15-3-2=10,y=50-1-2-8-9-10-10-3=7.故A正确.对于B,估计甲校的优秀率为10+3+260=25%,乙校的优秀率为10+7+350=40%.故

B正确.对于C,估计甲校的数学成绩的众数为105和115,乙校的数学成绩的众数为115和125.故C错误.对于D,估计甲校的平均数学成绩为160×(75×3+85×4+95×8+105×15+115×15+125×10+135×3+

145×2)=109.5,乙校的平均数学成绩为150×(75×1+85×2+95×8+105×9+115×10+125×10+135×7+145×3)=114.5,故D正确.5.25000设该水池中鱼

的尾数为x,则2000���=40500,解得x=25000.6.170.02cm样本平均值为3232+18×173.5+1832+18×163.83≈170.02(cm).7.120由已知得6018

0=300120+180+240+���,解得x=360.故在15~16岁学生问卷中抽取的问卷份数为360×60180=120.8.B依题意,甲应付560×100560+350+180=5141109(钱),乙应付350×100560+350+180=321210

9(钱),丙应付180×100560+350+180=1656109(钱).故三人中甲付的钱最多,丙付的钱最少.9.C依题意,设该公司全体员工中对户外运动持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x,2x,3x,由3x-2x=13,得x=13.

故该公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的人数为6×13=78.10.C因为A,B,C三种产品的数量刚好构成一个公比为q的等比数列,抽取的C产品的数量为20,所以抽取的A产品的数量为20���2,抽取的B产品的数量为20���.因为抽取的样本容量为260,所以

20���2+20���+20=260,解得q=13或q=-14(舍去).所以抽取的A产品的数量为2019=180.11.36根据题意可知,样本中参与跑步的人数为200×(1-25)=120,故从高二年级参与跑步的学生中抽取的人数为120×32+3+5=36.12.335由已知得男生中选出

的人数为60×5100=3,则所求概率为C31C21C52=35.13.0或16由题意可知a=400×19400+300+250=8,b=300×19400+300+250=6,c=250×19400+300+2

50=5.则圆A:(x-8)2+(y-6)2=52的圆心为(8,6),半径为5.又圆B:(x-m)2+(y-34m)2=25的圆心为(m,3���4),半径为5,圆A与圆B外切,所以(8-���)2+(

6-3���4)2=5+5=10,解得m=0或m=16.考点52参考答案1.B把该组数据按从小到大的顺序排列为12,15,16,20,20,23,23,28,排在中间的两个数是20,20,故这组数据的中位数为20+202=20.故选B.2.B由题图可知第二季度的三个月中,

PM2.5的平均浓度指数变化较为平缓,因此其方差最小.故选B.3.D由频率分布直方图,可知评分在区间[82,86)内的影视作品数量为400×0.05×4=80.4.B5.BCD若平均数为3,则第五轮投中的个数为2,极

差为4-2=2,方差为15×[(2-3)2×2+(3-3)2+(4-3)2×2]=0.8.故A错误,C正确.若中位数为3,则第五轮投中的个数为0或1或2或3,当投中的个数为0时,极差为4,方差为2.24;当投中的个数为1时,极差为3,方差为1.36;当投中的个数为2

时,极差为2,方差为0.8;当投中的个数为3时,极差为2,方差为0.56.故B,D正确.6.AD对于A,由频率分布直方图可知(a+0.02+0.035+0.025+a)×10=1,解得a=0.01,故A正确

.对于B,由频率分布直方图可知成绩落在[70,80)内的考生人数最多,故B错误.对于C,由频率分布直方图可知成绩落在[50,70)内的频率为(0.01+0.02)×10=0.3,落在[50,80)内的频率为0.3+0.03

5×10=0.65,故成绩的中位数位于[70,80)内,故C错误.对于D,由频率分布直方图可知成绩的平均数为55×0.01×10+65×0.02×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.01×1

0=75.5,故成绩的平均数落在[70,80)内,故D正确.7.39005008.0.79由频率分布直方图得这项指标值在[185,215)内的频率为(0.022+0.033+0.024)×10=0.79,故估计该企业生产的

这种产品在这项指标上的合格率为0.79.9.65因为平均数为5,所以-1+x+4+0+15+6=6×5,得x=6.故这组数据的众数为6,中位数为4+62=5.10.解(1)甲的极差为103-98=5,乙的极差为102-99=3.���甲=16×(99+100+98+100

+100+103)=100,���乙=16×(99+100+102+99+100+100)=100,���甲2=16×[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)

2]=73,���乙2=16×[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.(2)由(1)知���甲=���乙,���甲2>���乙2,故乙机床加工零件的质量更稳定.11.BD对于选项A,如1,2,2,2

,2,5的平均数不等于2,2,2,2的平均数,故A错误;对于选项B,不妨设x2≤x3≤x4≤x5,x2,x3,x4,x5的中位数为���3+���42,x1,x2,…,x6的中位数为���3+���42,故B正确;对于选项C,因为x1是最小值,x6是最大值,

所以x1,x2,…,x6的数据波动更大,故C错误;对于选项D,不妨设x2≤x3≤x4≤x5,则x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,所以x5-x2≤x6-x1,故D正确.故选BD.12.AC对于A,抽样比为50500=110,所以样本中男生有110×

300=30(人),故A正确.对于B,由分层随机抽样,可知每名女生入样的概率为50500=110,故B错误.对于C,样本中男生有30人,女生有20人,所以所有样本的均值为170×30+160×2050=166(cm),故C正确.对于D,设男生身高分别为x1,x2,…,x30,女

生身高分别为y1,y2,…,y20,则由题意,可知130(���12+���22+…+���302-30×1702)=17,120(���12+���22+…+���202-20×1602)=30,即���12+���22+…+���30

2=867510,���12+���22+…+���202=512600.所以所有样本的方差为150(���12+���22+…���302+���12+���22+…+���202-50×1662)=46.2,故D错误.

13.(4,8),(5,7),(6,6),(7,5),(8,4)由题意,可知���甲=15×(1+2+4+7+11)=5,���乙=15×(1+2+a+b+10)=5,即a+b=12,���甲2=15×[(1-5)2+(2-5)2+(4-5)2+(7-5)2+(11-5)2]=

665,���乙2=15×[(1-5)2+(2-5)2+(a-5)2+(b-5)2+(10-5)2]=���2+���2-205.∵���乙2<���甲2,∴���2+���2-205<665,即a2+b2<86.又a+b=12,a,b∈N*,∴(a,b)为(4,8),(5,7),(6,6),(

7,5),(8,4).14.解(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14+7100=0.21.产值负增长的企业频率为2100=0.02.用样本频率分布估计总体分布,得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21

%,产值负增长的企业比例为2%.(2)���=1100(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,s2=1100∑���=15ni(yi-y)2=1100[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.40

2×7]=0.0296,s=0.0296=0.02×74≈0.17.故这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.15.解(1)根据数据计算可知,鲤鱼与鲫鱼的平均条数分别为80,20.由题意知,池塘中鱼的总数量为1000÷80+202000=20000(条),则估计

鲤鱼数量为20000×80100=16000(条),鲫鱼数量为20000-16000=4000(条).(2)①根据题意,结合直方图可知,池塘中鱼的质量在3kg以上(含3kg)的条数约为20000×(0.12+0.08+0.04)×0.5=2400.②设第二组鱼的条数

为x,则第三、四组鱼的条数分别为x+7,x+14,则有x+x+7+x+14=100×(1-0.55),解得x=8,故第二、三、四组的频率分别为0.08,0.15,0.22,它们在频率分布直方图中的小矩形的高度分别为0.16,0.30,0.44,据此可将

频率分布直方图补充完整(如图).③众数为2.25kg,平均数为0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+…+4.25×0.02=2.02(kg),估计鱼的总质量为2.02×20000=40400(kg).考点53参考答案1.D结合题中散点图,由

图象的大致走向判断,此函数应该是对数函数模型,故应该选用的函数模型为y=a+blnx.2.D由已知得���=0+1+2+3+45=2,���=10+15+20+30+355=22,则t=���-6.5���=22-6.5×2=9.故���^=6.5x+9.故预测202

4年该型号无人机的年销售量为6.5×6+9=48(万件).3.B设调查的男、女学生的人数均为5x,根据题意,得到2×2列联表为性别网络课程合计喜欢不喜欢男4xx5x女3x2x5x合计7x3x10x则χ

2=10���·(8���2-3���2)25���·5���·3���·7���=10���21.由题意可知6.635≤10���21<10.828,即139.335≤10x<227.388.只有选项B符合题意.4.A

BC因为经验回归直线的斜率���^=0.84>0,所以y与x正相关,故A正确.经验回归直线必过样本点的中心(x,y),故B正确.当x=179时,y的预测值为y^=0.84×179+28.96=179.32,故C正确,D错误.5.

16由已知得���=1,则���=-2���+4=-2×1+4=2.故∑���=18yi=8y=8×2=16.6.没有差别零假设为H0:这两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别.根据2×2列联表中的数据,

计算得到χ2=392×(39×167-29×157)268×324×196×196≈1.779<2.706=x0.1.根据小概率值α=0.1的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此认为H0成立,即这两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别.7.解(

1)由已知得这5天中有3天发芽的种子数不小于25,故事件“m,n均不小于25”的概率为C32C52=310.(2)依题意,���=11+13+123=12,���=25+30+263=27,∑���=13

(xi-x)(yi-y)=(-1)×(-2)+1×3+0×(-1)=5,∑i=13(xi-���)2=(-1)2+12+0=2.则���^=52,���^=27-52×12=-3.故y关于x的经验回归方程为���^=52x-3.(3)当x=10时,���^=52×10-3=

22,|22-23|<2.当x=8时,���^=52×8-3=17,|17-16|<2.故经验回归方程���^=52x-3可靠.8.BD对于A,成对样本数据的线性相关程度越强,|r|越接近1,故A错误.对于B,在回归分析中,残差的平方和越小,模型的拟合效果

越好,故B正确.对于C,当x增加1个单位时,y不一定增加0.1个单位,故C错误.对于D,根据小概率值α=0.001的独立性检验的规则,可知D正确.9.18设男生人数为x,则由题意可得2×2列联表为性别微电影合计喜欢不喜欢男x65x6x女2x9x9x3

合计7x1817x184x3零假设为H0:学生性别和喜欢微电影无关.根据2×2列联表中的数据,计算得到χ2=4���3(���6·���9-5���6·2���9)2���·���3·7���18·17

���18=36���119.依据小概率值α=0.05的独立性检验,推断H0不成立,则χ2=36���119≥3.841=x0.05,解得x≥12.697.又人数均为整数,所以xmin=18.故男生至少有

18人.10.解(1)设学生日均体育锻炼时间为x分钟,根据频率分布直方图可知x≥40的频率为(0.025+0.020+0.005)×10=0.5.抽取总人数为100,故评价为“良好”的学生人数为50.列联表如下:学生性别是否良好合计非良好良好男183250女321850合计5050100(2)

零假设为H0:高中生的性别与喜欢体育锻炼无关.根据2×2列联表中的数据,计算得到χ2=100×(18×18-32×32)250×50×50×50=7.84>6.635=x0.01.根据小概率值α=0.01的独立性检验,有充分证据推断H0不

成立,即高中生的性别与喜欢体育锻炼有关,此推断犯错误的概率不超过0.01.11.解(1)由已知得样本平均数���=120∑���=120yi=60,从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000.(2)样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)

的相关系数r=∑i=120(������-���)(������-���)∑���=120(������-���)2∑���=120(������-���)2=80080×9000=223≈0.94.(3)分层随机抽样:先根据植物覆盖面积的大小对地块分层,

再对200个地块进行分层随机抽样.理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层随机抽样的方法较好

地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.12.解(1)由已知得样本中有25周岁以上(含25周岁)组工人60名,25周岁以下组工人40名.故样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上(含25

周岁)组工人有60×0.05=3(人),记为A1,A2,A3;25周岁以下组工人有40×0.05=2(人),记为B1,B2.从中随机抽取2名工人,该试验的样本空间Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2)

,(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)}.设事件A=“至少有1名‘25周岁以下组’工人”,则A={(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)}.故所求的概率P(A)=710

.(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上(含25周岁)组”中的生产能手有60×0.25=15(人),“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15(人),据此可得2×2列联表如下:组别是不是生产能手合计生产能手非生产能手25周

岁以上(含25周岁)组15456025周岁以下组152540合计3070100零假设为H0:生产能手与工人所在的年龄组无关.χ2=100×(15×25-15×45)260×40×30×70≈1.786<2.706=x0.1.根据小概

率值α=0.1的独立性检验,没有证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为生产能手与工人所在的年龄组无关.考点54参考答案1.D对于A,事件“至少有1个黑球”与“都是黑球”可以同时发生,故A中两个事件不互斥.对于B,事件“至少有1个黑球”与“都是红球”不能同

时发生,但一定有一个发生,故B中两个事件为对立事件.对于C,事件“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”可以同时发生,故C中两个事件不互斥.对于D,事件“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生,但可能同时不发生,故D中两个事件互斥而不对立.2.A因为事件“甲不输”包含“两人下成和棋”和“甲

获胜”这两个互斥事件,所以甲不输的概率为12+13=56.3.D由题意可知产品长度在区间[25,30)内的频率为1-(0.02+0.04+0.06+0.03)×5=0.25,故从该批产品中随机抽取一件,

其为二等品的概率为0.04×5+0.25=0.45.4.C依题意,所求概率为0.8×0.5×0.4+0.8×(1-0.5)×0.6=0.4.5.8151415由于“取得2个红球”与“取得2个绿球”是互斥事件,取得

2个同色球,只需两互斥事件有一个发生即可,因而取得2个同色球的概率为P=715+115=815.由于事件A“至少取得1个红球”与事件B“取得2个绿球”是对立事件,则至少取得1个红球的概率为P(A)=1-P(B)=1-115=1415.6.0.78设事件A=“抽到一等

品”,B=“抽到二等品”,C=“抽到三等品”,则���(���)+���(���)=0.93,���(���)+���(���)=0.85,���(���)+���(���)+���(���)=1,解得���(���)=0.78,���(���)=0.15,���(���)=0.07.所

以抽到一等品的概率为0.78.7.解(1)甲品牌产品寿命小于200h的频率为5+20100=14,用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命小于200h的概率估计值为14.(2)根据频数分布直方图可得寿命不低

于200h的两种品牌产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命不低于200h的产品是甲品牌的频率是75145=1529.据此估计已使用了200h的该产品是甲品牌的概率为1529.8.解从袋中任取一球,记事件“得到红球”“得到黑球”“

得到黄球”“得到绿球”分别为A,B,C,D,则有P(A)=13,P(B∪C)=P(B)+P(C)=512,P(C∪D)=P(C)+P(D)=512,P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-13=2

3,解得P(B)=14,P(C)=16,P(D)=14,因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14,16,14.9.B甲解决问题而乙没有解决问题的概率是p1(1-p2),乙解决问题而甲没有解决问题的概率是p2(1-p1).故恰有1人解决问题的概率是p1(1-p2)+p2(1-

p1).10.解(1)由题意,得13������=124,(1-���)1-13(1-���)=14,���>���,解得m=12,n=14.(2)设事件A=“获得校本选修学分4分”,B=“获得校本选修学分5分”,C=“获得校本选修学分6分

”,则由已知得P(A)=12×1-13×14=112,P(B)=1-12×13×14=124,P(C)=12×13×14=124,故该新生在社团方面获得校本选修学分不低于4分的概率P=P(A)+P(B)+P(C)=16.11.解(1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制,至少需要进行

四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为116;乙连胜四场的概率为116;丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1-116−116−18=34.(3)丙最终获胜,有两种情况:比赛四场结束且

丙最终获胜的概率为18;比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为116,18,18.因此丙最终获胜的概率为18+116+18+18=716.12.解设事件A

1=“元件T1正常工作”,A2=“元件T2正常工作”,A3=“元件T3正常工作”,则P(A1)=12,P(A2)=34,P(A3)=34.(1)设事件A=“该电路不发生故障”,则由题意可知A=(A2∪

A3)A1.因为P(A2∪A3)=1-1-34×1-34=1516,P(A1)=12,所以P(A)=1516×12=1532.(2)将元件T2,T3并联后再与元件T1串联接入电路,由(1)知,此时电路

不发生故障的概率P1=1532.将元件T1,T3并联后再与元件T2串联接入电路,此时电路不发生故障的概率P2=P((A1∪A3)A2)=P(A1∪A3)P(A2)=2132.将元件T1,T2并联后再与元件

T3串联接入电路,此时电路不发生故障的概率P3=P((A1∪A2)A3)=P(A1∪A2)·P(A3)=2132.因为P2=P3>P1,所以将元件T1,T3并联后再与元件T2串联接入电路或将元件T1,T2并联后再与元件T3串联接入电路,才能使电路不发生故障

的概率最大.考点55参考答案1.B设“清明节当天下雨”为事件A,“清明节随后一天下雨”为事件B,则P(A)=0.9,P(AB)=0.63,故P(B|A)=���(������)���(���)=0.630.9=0.7.2.A由题意可知P(A)=6×5×463=59,P(B)=63-5

363=91216,P(AB)=C31×5×463=518,故P(A|B)=���(������)���(���)=6091,P(B|A)=���(������)���(���)=12.3.AP(B|A)=���(���)���(���|�

��)���(���)=0.5×0.30.6=0.25.4.B从9枚徽章中任取3枚的不同取法有C93种,其中没有凤纹徽章的不同取法有C53种,故其中至少有1枚凤纹徽章的概率为1-C53C93=3742.5.112从集合{1,2,3,4,5

,6,7,8,9}中任取两个不同的数,有C92=36(种)情形,设事件A=“其中一个数恰是另一个数的3倍”,则A={(1,3),(2,6),(3,9)},共3种等可能的样本点,故所求概率为336=112.6.0.038

设事件A=“任取一个零件是次品”,B1=“任取一个零件是甲生产的”;B2=“任取一个零件是乙生产的”,B3=“任取一个零件是丙生产的”,则由题意可知P(B1)=0.2,P(B2)=0.4,P(B3)=0.4,P(A|B1

)=0.05,P(A|B2)=0.04,P(A|B3)=0.03,故P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)·P(A|B3)=0.2×0.05+0.4×0.04+0.4×0.03=0.038.7.解(1)由题意可知从A地区商品中抽取50×650+150+100=

1(件),从B地区商品中抽取150×650+150+100=3(件),从C地区商品中抽取100×650+150+100=2(件).(2)从6件商品中随机抽取2件,有C62=15(种)不同的取法,其中2件商品来自相同地区

的不同取法有C32+C22=4(种),故所求概率为415.8.解设事件A1=“乘火车来”,A2=“乘轮船来”,A3=“乘汽车来”,A4=“乘飞机来”,B=“迟到”.由题意得P(A1)=310,P(A2)=15,P(A3)=110,P(A4)=25,P(B|A1)=14

,P(B|A2)=13,P(B|A3)=112,P(B|A4)=0.由贝叶斯公式,得P(A1|B)=���(���1)���(���|���1)∑���=14P(Ak)P(B|Ak)=12.同理P(A2|B)=49,P(A3|B)=118,P(A4|B)=0.因为P(A1|B)>P(

A2|B)>P(A3|B)>P(A4|B),所以推断此人乘火车来的可能性最大.9.A由题意可知样本空间Ω={(a,b)|a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5}},其中共有12个等可能的样本点.设事件A=“函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+

∞)内单调递增”.由函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)内单调递增,可知①当a=0时,f(x)=-2bx,则-2b>0,即b<0,故b=-1.②当a>0时,需要满足������≤1,故当a=1时,b=-1或b=1,当a=2时,b=-1或b=1.所以A={(0,-1),(

1,-1),(1,1),(2,-1),(2,1)},n(A)=5.所以函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)内单调递增的概率P(A)=512.10.B由频率分布直方图,可得(0.01+0.07+0.06+a+0.02)×5=1,解得a=0.

04.由分层随机抽样,可知从区间[55,60)中抽取6×0.060.06+0.04+0.02=3(人),从区间[60,65)中抽取6×0.040.06+0.04+0.02=2(人),从区间[65,70]中抽取6×0.020.06+0.

04+0.02=1(人).所以从这6名学生中随机抽取3人,这3人中恰有2人体重位于区间[55,60)的概率为C32C31C63=920.11.C记事件Ai=“骰子掷出的点数为i(i=1,2,3)”,B=“取出的球全是白球”,则P(Ai)=16,P(B|Ai)=C3���C7

���,所以P(B)=∑���=13P(Ai)P(B|Ai)=16×���31���71+16×���32���72+16×���33���73=110.所以若取出的球全是白球,则掷出2点的概率为P(A2|B)=P(A2B)P(B)=16×���32�

��72110=521.12.解(1)从甲箱中任取2个产品,有C82=28(种)不同的取法,其中2个产品都是次品的不同取法有C32=3(种),故从甲箱中任取2个产品,这2个产品都是次品的概率为328.(2)设事件A=“从乙箱中取出1个

产品是正品”,B1=“从甲箱中取出2个产品都是正品”,B2=“从甲箱中取出1个正品,1个次品”,B3=“从甲箱中取出2个产品都是次品”,则P(B1)=C52C82=514,P(B2)=C51C31C82=1528,P(B3)=C32C82=328,P(A|B1)=

23,P(A|B2)=59,P(A|B3)=49,故所求概率P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=514×23+1528×59+328×49=712.13.解记事件B=“仪器不合格”,Ai=“仪器有i个部件不是优质品”,i=0,1

,2,3.显然A0∪A1∪A2∪A3=Ω,且A0,A1,A2,A3两两互斥.根据题意得P(B|A0)=0,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=0.9,P(A0)=0.8×0.7×0.9=0.504,P(A1)=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0

.8×0.7×0.1=0.398,P(A3)=0.2×0.3×0.1=0.006,P(A2)=1-P(A0)-P(A1)-P(A3)=0.092.(1)由全概率公式,得P(B)=∑���=03P(Ai)P(B|Ai)=0.

504×0+0.398×0.2+0.092×0.6+0.006×0.9=0.1402.(2)由贝叶斯公式,得P(A0|B)=0,P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)P(B)=398701,P(A2|B)=P(A2)P(B|A2

)P(B)=276701,P(A3|B)=P(A3)P(B|A3)P(B)=27701.比较结果可知,若已发现一台仪器不合格,则它有一个部件不是优质品的概率最大.14.解(1)设事件A:“第2次投篮的人是乙”,则P(A)=P(甲乙)+P(乙乙)=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6

.(2)设第i次是甲投的概率为pi,则第i次是乙投的概率为1-pi.由题意可知p1=12,pi+1=pi×0.6+(1-pi)×0.2=0.2+0.4pi.则pi+1-13=25pi+15−13=25(pi-13),故数列{pi-13}为公比为25的等比数列.故pi-13=(p1-13)×25�

��-1=16×25���-1,得到pi=13+16×25���-1,i∈N*.(3)由(2)知,每次投篮的人选都服从二项分布,所以当n≥1时,E(Y)=∑���=1���pi=16∑���=1���25���-1+���3=518[1-25���]+���3,n∈N*.综上所述,可知

E(Y)=∑���=1���pi=518[1-25���]+���3,n∈N*.考点56参考答案1.CP(X=10)=1-23-…-239=1-2×13×1-1391-13=139.2.D因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c.所以a+b+c=3b=1,即b=13.所

以P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=1-P(X=0)=1-13=23.3.C由题意知P(X=i)=1���,i=1,2,3,…,n,所以P(X<4)=3���=0.3,解得n=10.4.D由已知得P(X=1)+P(X=2)+P

(X=3)+P(X=4)=���1×2+���2×3+���3×4+���4×5=45a=1,解得a=54.故P12<���<52=P(X=1)+P(X=2)=���1×2+���2×3=23a=23×54=56.5.2527依题意,P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=5363+3×526

3=2527.6.0.6由离散型随机变量分布列的性质,可求得P(X=3)=0.25,P(X=5)=0.15,故X取奇数值时的概率为P(X=1)+P(X=3)+P(X=5)=0.2+0.25+0.15=0.6.7.解(1)X的可能取值分别为10,20,30,40,且取得任意一本的概率相等,故X的分布

列为X10203040P14141414(2)根据题意,Y的可能取值为20,30,40,P(Y=20)=1C42=16,P(Y=30)=2C42=13,P(Y=40)=3C42=12.故Y的分布列为Y203040P1613128

.解(1)依题意,该顾客中奖的概率P=1-C62C102=1-13=23.(2)由已知得X的可能取值为0,10,20,50,60,P(X=0)=C62C102=13,P(X=10)=C31C61C102=25,P(X

=20)=C32C102=115,P(X=50)=C11C61C102=215,P(X=60)=C11C31C102=115.故X的分布列为X010205060P1325115215115P(5≤X≤25)=P(X=10)+P(X=20)=25+11

5=715.9.B由题意知2���=���+���,���+���+���=1,解得b=13.因为f(x)=x2+2x+X有且只有一个零点,所以Δ=4-4X=0,解得X=1.所以所求概率为P(X=1)=13.10.2

9由题意知13+a+b=1,且0≤a≤1,0≤b≤1,所以a+b=23,所以(a+b)2=a2+b2+2ab=49≤2(a2+b2),当且仅当a=b=13时,等号成立,所以a2+b2≥29.故a2+b2的最小

值为29.11.解方案甲化验次数X的可能取值为1,2,3,4,P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=0.2,P(X=4)=0.4,故X的分布列为X1234P0.20.20.20.4方案乙化验次数Y的可能取值为2,3,P(Y=2

)=C42C11C53·C11C31+C43C53=0.6,P(Y=3)=C42C11C53·C21C31=0.4.故Y的分布列为Y23P0.60.412.解(1)X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=123=18,P(X=1)=C312

3=38,P(X=2)=C3223=38,P(X=3)=123=18.故X的分布列为X0123P18383818Y的可能取值为0,1,2,P(Y=0)=122=14,P(Y=1)=C2122=12,P(Y=2)=122=1

4.故Y的分布列为Y012P141214(2)这种规定合理.理由如下:由(1)知P(X>Y)=18×1+38×14+12+38×14=12,P(X≤Y)=38×14+38×12+14+18×1=12.故甲、乙获胜的概率相等,所以这种规定合理.13.解用A表示“甲在4局以内(含

4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,则P(Ak)=23,P(Bk)=13,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)

·P(A3)P(A4)=232+13×232+23×13×232=5681.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=59,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P

(A2)·P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=29,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)·P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=1081,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=881.故X的分

布列为X2345P59291081881考点57参考答案1.C由题意知���2+���22=1,a>0,解得a=1.所以E(X)=0×12+1×12=12.故选C.2.A由题意可知E(X)=1.2×16

+1.18×12+1.17×13=1.18.3.BD依题意,取球次数X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=35,P(X=2)=25×34=310,P(X=3)=25×14×1=110.故E(X)=1×35+2×310+3×110=32,D(X)=1-322×35+2-

322×310+3-322×110=920.设事件A=“取2次后停止”,B=“停止取球时,取出的白球个数不少于黑球个数”,则P(A)=P(X=2)=310,P(B)=P(X=1)+P(X=2)=910.故选BD.4.AB因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=13,所以P(

X=1)=23,所以E(X)=0×13+1×23=23,D(X)=0-232×13+1-232×23=29.所以E(3X+2)=3E(X)+2=4,D(3X+2)=9D(X)=2.故选AB.5.4760依题意,用频率估计概率,可知一年后获利6000元的概率为0.96,获利-25000元的概率为0

.04,故估计一年后可获收益的均值为6000×0.96+(-25000)×0.04=4760(元).6.179由题意可知E(X)=23x1+13x2=49,D(X)=���1-492×23+���2-492×13=2,因为x1<x2,所以x1=-59,x2=229.

所以x1+x2=179.7.3925设黑球的个数为n,由题意可知C���3C53=110,解得n=3.X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=C22C31C53=310,P(X=2)=C21C32C53=35,P(X=3)=C33C53=110.故X的分布列为

X123P31035110E(X)=1×310+2×35+3×110=95,D(X)=1-952×310+2-952×35+3-952×110=925.8.57127依题意,从7天中随机抽取3天,有C73=35(种)取法,其中至少有1天空气质量为良的取法有C21

C52+C22C51=25(种),故抽取的3天中至少有1天空气质量为良的概率为2535=57.由已知得X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C33C73=135,P(X=1)=C41C32C73=1235,P(X=2)=C42

C31C73=1835,P(X=3)=C43C73=435.故E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127.9.解(1)依题意,Y1的分布列为Y1124P121316Y2的分布列为Y2321P(1-p)22p(1-p)p2则E(Y1)=1×12+2×13+

4×16=116,E(Y2)=3×(1-p)2+2×2p(1-p)+1×p2=3-2p.(2)由E(Y1)>E(Y2),得3-2p<116,解得p>712.又0<p<1,所以712<p<1,所以p的取值范围是712,1.10.解(1)根据题中条形图可得样本中选择饮品A的频率为0.35,

选择饮品B的频率为0.45,选择饮品C的频率为0.2,则样本中三种饮品每件的平均利润为4×0.35+3×0.45+7×0.2=4.15(元).故估计三种饮品每件的平均利润为4.15元.(2)①设事件A=“工艺改进成功”,B=“新饮品研发成功”,C=“工艺改进和新饮品研发恰有

一项成功”.由题意可知A,B相互独立,P(A)=45,P(B)=13,故P(C)=P(A���)+P(���B)=45×23+15×13=35.②由已知得X的可能取值为-100,10,120,230,P(X=-100)=15×23=215,P(X=10)=45×23=81

5,P(X=120)=15×13=115,P(X=230)=45×13=415.故E(X)=-100×215+10×815+120×115+230×415=1843.11.解(1)记“甲考核为优秀”为事件

A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为事件C,“甲、乙、丙三名志愿者中至少有一名考核为优秀”为事件E,则事件A,B,C相互独立,事件���������与事件E是对立事件.故P(E)=1-P(���������)=1-P(

���)P(���)P(���)=1-15×13×13=4445.(2)依题意,X的可能取值为32,2,52,3,则P���=32=P(���������)=145,P(X=2)=P(A������)+P(���������)+P(������

C)=845,P���=52=P(AB���)+P(A���C)+P(���BC)=49,P(X=3)=P(ABC)=1645.故X的分布列为X322523P145845491645E(X)=32×14

5+2×845+52×49+3×1645=7730.12.解(1)依题意,每台机器维修次数为0,1,2,3的概率分别为110,15,25,310,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,则P(X=0)=110×110=1100,P(X=1)=110×15×2=125,P(X=2

)=110×25×2+15×15=325,P(X=3)=110×310×2+15×25×2=1150,P(X=4)=310×15×2+25×25=725,P(X=5)=310×25×2=625,P(X

=6)=310×310=9100,故X的分布列为X0123456P110012532511507256259100(2)选择方案一,设所需费用为Y1元,则当X≤2时,Y1=5000,当X=3时,Y1=6000,当X=4时

,Y1=7000,当X=5时,Y5=8000,当X=6时,Y1=9000,故Y1的分布列为Y150006000700080009000P1710011507256259100E(Y1)=5000×17100+6000×1150+7000×725+8000×625

+9000×9100=6860.选择方案二,设所需费用为Y2元,则当X≤4时,Y2=6230,当X=5时,Y2=6230+t,当X=6时,Y2=6230+2t,故Y2的分布列为Y262306230+t6230+2tP67

1006259100E(Y2)=6230×67100+(6230+t)×625+(6230+2t)×9100=6230+21���50.要使选择方案二对客户更合算,则E(Y2)<E(Y1),即6230+21���50<6860,解得t<1500.又1000≤t≤2000,所以1000≤t<15

00.故t的取值范围为[1000,1500).13.解(1)记“从该校随机抽取1位教师,该教师手机月使用流量不超过3G”为事件D.依题意,P(D)=(0.0008+0.0022)×100=0.3.从该校教师中随机抽取3人,设这3人中手机月使用

流量不超过3G的人数为X,则X~B(3,0.3),所以从该校教师中随机抽取3人,至多有1人手机月使用流量不超过3G的概率为P(X=0)+P(X=1)=C30×0.30×(1-0.3)3+C31×0.3×(1-0.3)2=0.343+0.4

41=0.784.(2)依题意,从该校随机抽取1位教师,该教师手机月使用流量L∈(3,5]的概率为(0.0025+0.0035)×100=0.6,L∈(5,7]的概率为(0.0008+0.0002)×100=0.1.当学校订购A套餐时,设学校为1位教师承担的月

费用为X1,则X1的所有可能取值为20,35,50,且P(X1=20)=0.3,P(X1=35)=0.6,P(X1=50)=0.1,所以X1的分布列为X1203550P0.30.60.1所以E(X1)=20×0.3+35×0.6+50×0.1

=32.所以学校为1位教师承担的月费用的平均值为32元.当学校订购B套餐时,设学校为1位教师承担的月费用为X2,则X2的所有可能取值为30,45,且P(X2=30)=0.3+0.6=0.9,P(X2=45)=0.1,所以X2的分布列为X23045P0.90.

1所以E(X2)=30×0.9+45×0.1=31.5.所以学校为1位教师承担的月费用的平均值为31.5元.当学校订购C套餐时,因为每位教师的手机月使用流量均不超过7G,所以学校为1位教师承担的月费用为38元.因为31.5<32<38,所以

学校订购B套餐最经济.考点58参考答案1.A依题意,在5次测量中恰好出现2次正误差的概率为P=C52×122×1-123=516.2.D设取出的次品件数为X,则X服从超几何分布.由题意知10件产品中有2件次品,故所求概率为P(X=1)=C21C81C102=1

645.3.CP(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=C60×126+C61×126+C62×126+C63×126=2132.4.BD2件都是一等品的概率为C22C42=16,故A错误

.2件中有1件是次品的概率为C11C31C42=12,故B正确.2件都是正品的概率为C32C42=12,故C错误.2件中至少有1件是一等品的概率为C21C21+C22C42=56,故D正确.5.C依题意,小球从起点到第③个格子的过

程中,要向左边滚动5次,向右边滚动2次,而每次向左或向右的概率均为12,故所求的概率为C72×122×125=21128.6.12767由题意,可知X的可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=C33C73=135,P(X=1)=C41C32C73=1235,P(X=2)=C42C

31C73=1835,P(X=3)=C43C73=435.所以E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127.P(A)=C41C32+C42C31C73=67.7.38由已知可得,等差数列的通项公式为an=10-2n(n=1,2,3,…),其中a1,a

2,a3,a4为正数,a5=0,a6,a7,a8,a9,a10为负数,所以从中取一个数为非负数的概率为510=12,取一个数为负数的概率为12.3次取数相当于一个3重伯努利试验.故取出的数恰为两个非负数和一个负数的概率为C32×122×12=38.8.解(1)设甲、乙两名考生正确

完成题数分别为X,Y,则X的所有可能取值为1,2,3,Y的所有可能取值为0,1,2,3.由题意可知P(X=1)=C61C22C83=328,P(X=2)=C62C21C83=1528,P(X=3)=C63C20C83=514.故X的分布列为X123P3281528514E(X)=1×328+2×

1528+3×514=94.P(Y=0)=C30×340×1-343=164,P(Y=1)=C31×34×1-342=964,P(Y=2)=C32×342×1-34=2764,P(Y=3)=C33×343×1-34

0=2764.故Y的分布列为Y0123P16496427642764E(Y)=3×34=94.(2)由(1)知E(X)=E(Y),P(X≥2)=1528+514=2528,P(Y≥2)=2764+2764=2732,所以P

(X≥2)>P(Y≥2).故从正确完成题数的均值考察,两人水平相当;从至少正确完成2道题的概率考察,甲的概率大.因此可以判断甲的实验操作能力较强.9.解(1)当n=5时,红球有2个,则从袋中任取1个球,取出红球的概率为210=15.有放回地连续取三

次,相当于一个三重伯努利试验,故三次取出的球中恰有2个红球的概率P=C32×152×1-15=12125.(2)依题意,从袋中一次性任意取出2个球,颜色相同的概率P=C32+C���2+C7-���2C102=415,整理得n2-7n+12=0,解得n

=3(舍去)或n=4.故红球的个数为7-4=3.(3)依题意,X的所有可能取值为2,3,4,5,6,则P(X=2)=C42C102=215,P(X=3)=C41C31C102=415,P(X=4)=C31C41+C32C102=

13,P(X=5)=C31C31C102=15,P(X=6)=C32C102=115.故X的分布列为X23456P2154151315115E(X)=2×215+3×415+4×13+5×15+6×115=195.10.BD由题意可知Pk=C6���

23���1-236-���,k=0,1,2,…,6,故P1=C61×23×135=4243,P5=C65×235×13=64243,显然P1<P5.故A错误,B正确.因为∑���=06Pk=1,而P0=136≠0,所以∑

k=16Pk≠1.故C错误.设P0,P1,P2,…,P6中Pi(0≤i≤6,且i∈N)最大,则������≥������+1,������≥������-1,即C6���23���136-���≥C6���+123���+1135-��

�,C6���23���136-���≥C6���-123���-1137-���,解得113≤i≤143,因为i∈N,所以i=4,所以P0,P1,P2,…,P6中P4最大.故D正确.11.3将每一次掷骰子放球看作一次试验,试验的

结果分为将球放入丙盒或将球不放入丙盒,且将球放入丙盒的概率为12,则Z~B6,12,所以E(Z)=3.又X+Y+Z=6,所以M=X+Y=6-Z,所以E(M)=E(6-Z)=6-E(Z)=6-3=3.12.解(1)设样本中对花粉过敏的人数为X,则X~B(20,0.

25),故P(X=2)=C202×0.252×0.7518≈190×0.0625×0.0056=0.0665,P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0.7520-C201×0.25×0.7519≈1-0.0032-0.021=

0.9758.故恰好有2人过敏的概率为0.0665,至少有2人过敏的概率为0.9758.(2)设检测n人,n人中检测到对花粉过敏的人数为Y,则Y~B(n,0.25),故P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0.

75n>0.999,即0.75n<0.001,两边取对数得nlg0.75<-3,解得n>-3lg0.75≈24.02,故至少要检测25人.(3)由(1)知20名大学生中不到2人过敏的概率为1-0.9758=0.0242,此概率非常小,故认为在正常情况下这种情况几乎不会发生,而检测后发现过敏的不到

2人,说明检测可能出现问题,原因可能有:①原假设不成立,即每个人对这种花粉过敏的概率不到0.25.②只检测大学生,没有随机性.③检测环节出现问题.13.解(1)依题意,p=1-(1-m)(1-0.5)=0.5+0.5m.(2)由已知得f(p)=C129p9(1-p)3,0

<p<1.则f'(p)=C129[9p8(1-p)3-3p9(1-p)2]=3C129p8·(1-p)2(3-4p),0<p<1,由f'(p)>0,得0<p<0.75,由f'(p)<0,得0.75<p<1,所以f(p)在区间(0,0.75)内单调递增,在区间

(0.75,1)内单调递减.故当p=0.75时,f(p)取最大值.此时,由0.5+0.5m=0.75,解得m=0.5.所以当f(p)取最大值时,p,m的值分别为0.75,0.5.(3)设该组中一名大学生射击过关测试所得分数为随机变量X,则X的可能取值为5,4,2,P(

X=5)=0.5,P(X=4)=(1-0.5)×0.5=0.25,P(X=2)=(1-0.5)×(1-0.5)=0.25,故E(X)=5×0.5+4×0.25+2×0.25=4.14.解(1)依题意,有C53p

3(1-p)2+C54p4(1-p)+C55p5=C32p2(1-p)+C33p3,整理得2p3-5p2+4p-1=(p-1)2(2p-1)=0,解得p=1(舍去)或p=12.故p的值为12.(2)由题意知X的所有可能取值为0,100,

200,300,400,500,则P(X=0)=C50×125=132,P(X=100)=C51×125=532,P(X=200)=C52×125=516,P(X=300)=C53×125=516,P(X=400)=C54×125=532

,P(X=500)=C55×125=132.故X的分布列为X0100200300400500P132532516516532132E(X)=0×132+100×532+200×516+300×516+400×532+500×132=250.因为系统B中

第1个坏部件的维修费用为200元,第2个坏部件的维修费用为250元,第3个坏部件的维修费用为300元,所以Y的所有可能取值为0,200,250,300,450,500,550,750,则P(Y=0)=18,P(Y=

200)=18,P(Y=250)=18,P(Y=300)=18,P(Y=450)=18,P(Y=500)=18,P(Y=550)=18,P(Y=750)=18.故Y的分布列为Y0200250300450500550750P18

18181818181818E(Y)=0×18+200×18+250×18+300×18+450×18+500×18+550×18+750×18=375.考点59参考答案1.B因为随机变量X服从正态分布N(1,0.16),所以μ=1,σ=0.4,所

以E(X)=1,D(X)=0.16,P(X>1)=0.5.2.ACD由曲线知,甲同学的平均成绩为75,乙同学的平均成绩为85,所以乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩,故A正确,B错误.由曲线可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩更集中于平均值附近,故C正确.若σ1=5,则随机抽取一次,甲同学的成绩高

于80的概率约为0.5-12×0.6827=0.15865,故D正确.故选ACD.3.AD因为X~N(9,4),所以μ=9,σ=2,所以该校学生每周平均阅读时间为9h,该校学生每周阅读时间的标准差为2,故A正确,B错误.因为P(3≤X≤15)≈0.9973,所以P(X

≤3)=1-���(3≤���≤15)2≈0.00135,所以该校学生每周阅读时间不超过3h的人数约占该校学生总人数的0.135%,故C错误.因为P(5≤X≤13)≈0.9545,所以P(3≤X≤5)=12[P(3≤X≤15)-P

(5≤X≤13)]≈0.0214,所以每周阅读时间在3~5h的人数约为10000×0.0214=214,故D正确.4.D因为P(X>-1)+P(X≥5)=1,而P(X>-1)+P(X≤-1)=1,所以P(X≥5)=P(X≤-1).又X~N(μ,σ2),所以μ=5+(-1)2=

2.5.1359因为X~N(172,52),所以P(167≤X≤177)≈0.6827,P(162≤X≤182)≈0.9545,所以P(177≤X≤182)=12[P(162≤X≤182)-P(167≤X≤177)]≈0.1359.所以适合身高在

177~182cm的员工的工作服大约要定制10000×0.1359=1359(套).6.61125因为X~N(600,σ2),P(500≤X≤700)=35,所以P(X>700)=12[1-P(500≤X≤700)]=15.所以所

求概率为1-1-153=61125.7.解(1)因为X~N(80,σ2),所以P(X>85)=P(X<75)=0.3,所以P(80<X<85)=0.5-P(X>85)=0.2,P(95<X<100)=P(X>95)=0.1,P(85<X<95)=0.5-0.2-0.1=0.

2.故所求概率P=A33×0.2×0.2×0.1=0.024.(2)因为X~N(80,σ2),P(80<X<85)=0.2,所以P(75<X<85)=2P(80<X<85)=0.4.由题意知Y~B(3,0.4),则P(Y=0)=0.63=0.216,P(Y=1)=C31×0.4×

0.62=0.432,P(Y=2)=C32×0.42×0.6=0.288,P(Y=3)=0.43=0.064.故Y的分布列为Y0123P0.2160.4320.2880.064E(Y)=3×0.4=1.2.8.AC由题意可知μ=100,σ=10,所以该地水稻的平均株高为100cm,

该地水稻株高的方差为100.故A正确,B错误.因为X~N(100,102),所以P(90≤X≤110)≈0.6827,P(80≤X≤120)≈0.9545,P(70≤X≤130)≈0.9973.所以P(X>120)=12[1-P(80≤X≤120)]≈0.02275,P(

X<70)=12[1-P(70≤X≤130)]≈0.00135,P(80<X<90)=12[P(80≤X≤120)-P(90≤X≤110)]≈0.1359,P(100<X<110)=12P(90≤X≤110)≈0.34135.所以株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下

的概率大,株高在区间(80,90)和(100,110)的概率不相等.故C正确,D错误.9.x+y+2=0由题意可知P(X<100)=12,P(X≤80)=P(X>120)=a,因为P(X≤80)+P(80<X<100)=P(X<100),所以a+b=12.①因

为直线l:ax+by+12=0与圆C:x2+y2=2相切,所以12���2+���2=2,即a2+b2=18.②由①②解得a=b=14.所以直线l的方程为14x+14y+12=0,即x+y+2=0.10.375因为三个电子元件

的使用寿命均服从正态分布N(10000,102),所以三个电子元件的使用寿命超过10000小时的概率均为12.由题意可知该部件的使用寿命超过10000小时的概率为1-12×12×12=38.所以这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的均值为1000×38=375(台).11

.解(1)由频率分布直方图可知,平均分为(65×0.01+75×0.04+85×0.035+95×0.015)×10=80.5.(2)由(1)可知X~N(80.5,7.362),设学校期望的平均分约为m,则P(X≥m)=0.8414.因为P(μ-σ

≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-σ≤X≤μ)≈0.3414,所以P(X≥μ-σ)≈0.8414,即P(X≥73.14)≈0.8414,所以学校期望的平均分约为73分.(3)由频率分布直方图可知,分

数在[80,90)和[90,100]的频率分别为0.35和0.15,那么按照分层随机抽样抽取10人,其中分数在[80,90)的应抽取10×0.350.35+0.15=7人,分数在[90,100]的应抽取10×0.150.35+0.15=3人.记事件Ai:抽测i(i=1,2,3

)份试卷,事件B:取出的试卷都不低于90分,则P(Ai)=16,P(B|Ai)=C3���C10���.故P(B)=∑���=13P(Ai)P(B|Ai)=16×(���31���101+���32���102+���33���103)=11

6,则P(A3|B)=P(A3B)P(B)=16×���33���103116=145.12.解(1)由题意知,从面包师出售的面包中任取一个,其质量大于1000g的概率为12,X~B2,12,则P(X=0)=C20×120×122=14,P(X=1

)=C21×12×12=12,P(X=2)=C22×122×120=14.故X的分布列为X012P141214E(X)=2×12=1.(2)依题意,假设面包师没有撒谎,则面包师出售的面包的质量Y(单位:g)服从正态分布N(1000,5

02).根据附①,可知从面包师出售的面包中任取25个,其平均质量Z(单位:g)服从正态分布N(1000,102).故P(980≤Z≤1020)≈0.9545,P(Z<980)=1-���(980≤���≤1020)2≈0.02275<0.05,

即事件“抽取的25个面包的平均质量小于980g”为小概率事件.而购买的25个面包的总质量为24468g,平均质量为978.72g,小于980g,即小概率事件发生,故认为假设不成立,即认为面包师撒谎.