【文档说明】黑龙江省大庆市2021届高三下学期第二次教学质量监测试题（二模）（4月） 数学（理） 含答案.doc，共(17)页，1.278 MB，由小赞的店铺上传

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高三年级第二次教学质量检测试题理科数学2021.04注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡

上，写在本试卷上无效。第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A＝{x|x>2}，B＝{0，1，2，3，4}，则A∩B＝A.

{3，4}B.{0，3，4}C.{0，1，2}D.{0}2.设i是虚数单位，则复数z＝2i(3－2i)对应的点在复平面内位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.sincos1212=A.12B.14C.32D.344.已知直线l：x＋y＋1＝0与圆C：(x＋1

)2＋(y＋2)2＝8相交于A，B两点，则弦AB的长度为A.6B.22C.26D.425.已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断不正确的是A.若m⊥α，nα，则m⊥n。B.若m，n都与l相交且m//n，则直线m，n，l共面。C.若m⊥α，n

⊥β，m//n，则α//β。D.若m，n，l两两相交，且交于同一点，则直线m，n，l共面。6.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－3，则a6＝A.72B.96C.108D.1267.某空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是A.2B.32C.2D.3228.已知向量a＝(2，1)，

b＝(－1，x)，|b|≤3，(2a＋b)⊥b，则x的值为A.－12B.－1C.1D.－39.日晷是我国古代按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度。我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同。二十四节气及晷

长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，如此周而复始。已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是A.白露比立秋的晷长长两尺B.大

寒的晷长为一丈五寸C.处暑和谷雨两个节气的晷长相同D.立春的晷长比立秋的晷长长10.函数f(x)＝12esin2xx−的部分图象大致是11.设F1，F2为椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，F1，F2分别为左、右焦点

，C1与C2在第一象限的交点为M。若△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且双曲线C2的离心率e∈[2，72]，则椭圆C1离心率的取值范围是A.[49，59]B.[0，716]C.[25，716]D.[72，1]12.若指数函数y＝ax(a>1)与函数y＝x4的图象恰有三个不同的交点，则

实数a的取值范围是A.(1，4ee)B.(1，14e)C.(1，e4)D.(1，4e)第II卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题

：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.“十三五”期间，中国有5575万农村贫困人口实现脱贫。为防止返贫，继续巩固脱贫成果，进一步推进乡村振兴，市扶贫办在A乡镇的2个脱贫村与B乡镇的4个脱贫村中，随机抽取两个村进一步实施产业帮扶，则抽取的

两个脱贫村来自同一乡镇的概率为。14.某机构一年需购买消毒液300吨，每次购买x吨，每次运费为3万元，一年的总存储费用为4x万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是。15.定义在R上的函

数f(x)满足f(2＋x)＝f(x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则函数f(x)的图象与g(x)＝3x的图象的交点个数为。16.已知抛物线y2＝2px(p>0)，圆(x－2p)2＋y2＝1与y轴相切

，斜率为k的直线过抛物线的焦点与抛物线交于A，D两点，与圆交于B，C两点(A，B两点在x轴的同一侧)，若ABCD=，λ∈[2，4]，则k2的取值范围为。三、解答题：共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。

17.(本小题满分12分)在①(sinB＋sinC)2＝sin2A＋3sinBsinC，②c＝acosB＋12b这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题。在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且。(1)求角A的大小；(2)若△ABC是锐角三角形，

且b＝2，求c的取值范围。(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)18.(本小题满分12分)随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨。为拉动消费，某市政府分批发行2亿元政府消费券。为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况

，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在全市市民中随机抽取了200人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如下表所示，其中年龄在45岁及以下的人数占样本总数的35，没使用过政府

消费券的人数占样本总数的310。(1)请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？(2)为配合政府消费券的宣传，现需该市45岁及以下的3位市民参与线上访谈。用随机抽样的方法从该市45岁及以下市民中每

次抽取1人，共抽取3次，每次抽取的结果相互独立，记抽取的3人中“没使用过政府消费券”的人数为X，以样本频率作为概率，求随机变量x的分布列和数学期望E(X)。附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中n＝a＋b＋c＋d。19.(

本小题满分12分)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在棱BB1上运动，F为DD1的中点。(1)若E为BB1中点，求证：AE//平面BC1F；(2)若1BEBB＝λ，求当λ为何值时，二面角B－C1F－E的平面角的余弦值为

42121。20.(本小题满分12分)已知椭圆E：22221(0)xyabab+=的长轴长为4，离心率为22。(1)求椭圆E的方程；(2)点F1，F2分别为椭圆E的左、右焦点，若过点F2的直线交椭圆E于A，B两点，过点F1的直线

交椭圆E于C，D两点，且AB⊥CD，求|AB|＋|CD|的最小值。21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝alnx＋22ax＋x(a≠0)。(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a>0，点A(x1，

y1)，B(x2，y2)为曲线F(x)＝f(x)－22ax－x上两个不同的点，且0<x1<x2。若存在x3∈(x1，x2)，使曲线y＝F(x)在点P(x3，F(x3))处的切线与直线AB平行，证明：1232x

xx+。请考生在第22、23二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中

，直线l的参数方程为1xt23y3t2==+(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝22cos23sin+。(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知点P(0，3)，若直线l与曲线C

相交于不同的两点M，N，求11PMPN−的值。23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f(x)＝|x＋3|＋|x－2|的最小值为M。(1)求M；(2)设a，b，c均为正实数，且2a＋2b＋c＝M，证明：

555111822abc−−−。大庆市高三年级第二次教学质量检测理科数学答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．题号123456789101112答案AABCDBDCBACA二、填空题:本大

题共4小题，每小题5分，共20分．13．715；14．15；15．7；16．8,16122+．三．解答题17．（本小题满分12分）解：（1）选条件①，因为()22sinsinsin3sinsinBCABC+=+，所以222sinsinsin

sinsinBCABC+−=，根据正弦定理得，222bcabc+−=，……………2分由余弦定理得，1cos2A=，……………4分因为A是ABC的内角，……………5分所以3A=．……………6分选条件②，因为1cos2caBb

=+，由正弦定理得，1sinsincossin2CABB=+，……………2分因为A,B,C是ABC的内角，所以sinsin()CAB=+，所以1sin()sincossin2ABABB+=+，展开得，1cossinsin2ABB=，因为B是ABC的内角，所以sin

0B，所以1cos2A=，……………4分因为A是ABC的内角，……………5分所以3A=．……………6分（2）因为3A=，ABC为锐角三角形，所以022032BB−，解得62B．……………8分在ABC中，sinsin2cCB=，所以3122cossi

n2sin223cossin3sinsisinnBBBBBcBBB+−+===，即1ta3ncB=+，……………10分由62B可得，1tan3B，所以103tanB，所以14c．…………

…12分18．（本小题满分12分）解：（1）由题意得，总人数为200人，年龄在45岁及以下的人数为32001205=人，没使用过政府消费券的人数为32006010=人，完成表格如下：……………2分由列联表可知()222009030503

03.5711406080120K−=，……………4分使用过政府消费券没使用过政府消费券总计45岁及以下903012045岁以上503080总计14060200因为3.5712.706，所以有90%的把握认为该市市民民是否使用政府消费券与年龄有关．…………

…6分（2）由题意可知，从该市45岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，没使用政府消费券的频率为14，所以13,4XB，X的所有可能取值为0，1，2，3，……………7分()3033270464PXC===，()2131327

14464PXC===，()22313924464PXC===，()333113464PXC===，……………9分所以X的分布列为：X0123P27642764964164……………10分所以()1334

4EX==．……………12分19．（本小题满分12分）解：（1）取1CC中点为G，连接DG、EG，因为1111ABCDABCD−是正方体，点G和E为所在棱中点，所以AD∥EG，ADEG=，所以四边形AEGD为平行四边形，所以AE∥DG，……………2分在正方形11CDDC中，点G和F为中点

，所以1CF∥DG，……………3分所以AE∥1FC，……………4分又因为1AEBCF平面，11CFBCF平面，……………5分所以AE//平面1BCF．……………6分（2）因为1111ABCDABCD−为正方体，所以11,,

DADCDADDDCDD⊥⊥⊥，以D为坐标原点，以1,,DADCDD分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为1，则()()()111,1,0,0,0,,0,1,1,1,1,2BFCE

，所以1(1,1,)2FB=−，11(0,1,)2FC=，1(1,1,)2FE=−，……………7分设平面1BFC的法向量为(,,)nxyz=，平面1EFC的法向量为(,,)pstw=，则100nFBnFC==，即102102xyzyz+−=+=，取1x=，则12,

1yz=−=，故1(1,,1)2n=−，……………8分又100nFEnFC==，即102102stwtw++−=+=，取1w=，则1,12st=−=−，故11,,12p=−−，…………

…9分设二面角1BCFE−−的平面角为，则()2194co342s1112124npnp−===−++，……………10分整理得21624270+−=，可化简为()()43490−+=，解得34=，所以当34=时，二面角1BCFE−−的平面角的余弦值为42121．……………1

2分20．（本小题满分12分）解：（1）因为椭圆C的长轴长为4，所以24a=，即2a=．……………1分又因为椭圆C的离心率为22，22ca=，即2c=，……………2分所以2222222bac=−=−=，所以椭圆C的方程为22142xy+=．……………4分（2）法一：当AB斜率为0时，

24ABa==，222bCDa==，6ABCD+=，同理，当AB斜率不存在时，也有6ABCD+=．……………5分当AB斜率存在且不为0时，设斜率为k，则AB方程为(2)ykx=−，设1122(,),(,)AxyBxy，联立22142(2)xyykx+==−得2222(12)42440k

xkxk+−+−=，易知216160k=+，且21224212kxxk+=+，21224412kxxk−=+，……………6分由弦长公式得，2222222121222242444(1)1()414121212kkkABkxxxx

kkkk−+=++−=+−=+++，……………8分设3344(,),(,)CxyDxy，因为ABCD^，所以直线CD的斜率为1k-，所以22221414(1)2112kkCDkk+−

+==++−，……………9分所以，ABCD+=222222224(1)4(1)4(1)(33)122(12)(2)kkkkkkkk+++++=++++424212(21)2

52kkkk++=++422242425112[(1)]6226252252kkkkkkkk++−==−++++226612()5kk=−++，……………10分因为2212kk+，当且仅当21k=即1k=时取“=”，所

以616693ABCD+?=，.……………11分显然1663，所以ABCD+的最小值为163，此时1k=..……………12分法二：当AB斜率为0时，24ABa==，222bCDa==，6ABCD+=，同理，当AB斜率不存在时，也有6ABCD+=．……………5分当AB斜率存在且不为0时，设

斜率为k，则AB方程为(2)ykx=−，设1122(,),(,)AxyBxy，联立22142(2)xyykx+==−得2222(12)42440kxkxk+−+−=，易知216160k=+，且21224212kxxk+=+，2122

4412kxxk−=+，……………6分由弦长公式得，2222222121222242444(1)1()414121212kkkABkxxxxkkkk−+=++−=+−=+++，……………8分设3344(,),(,)CxyDxy，因为

ABCD^，所以直线CD的斜率为1k-，所以22221414(1)2112kkCDkk+−+==++−，……………9分所以22113334(1)4kABCDk++==+，……………10分所以()4114416(2)(22)3333ABCDABCD

ABCDABCDCDAB+=++=+++=，当且仅当83ABCD==时取“=”，此时1k=，……………11分因为1663，所以ABCD+的最小值为163，此时1k=．……………12分21

．（本小题满分12分）解：由题意得()()()22(0)xaxafxxx−+=，……………1分当0a时，因为0x，由()0fx得()()20xaxa−+，解得xa；由()0fx得()()20xaxa−+，解得0x

a，所以函数()fx在()0,a上单调递减，在(),a+上单调递增．……………3分当0a时，因为0x，由()0fx得()()20xaxa−+，解得2xa−；由()0fx得()()20xaxa−+，

解得02xa−，所以函数()fx在()0,2a−上单调递减，在()2,a−+上单调递增．……………5分所以，当0a时，()fx在()0,a上单调递减，在(),a+上单调递增．当0a时，函数()

fx在()0,2a−上单调递减，在()2,a−+上单调递增．……………6分（2）证明：由题意知()lnFxax=，直线AB的斜率2121lnlnABaxaxkxx−=−，又因为()()33,aaFxFxxx==，所以212

13lnlnaxaxaxxx−=−，因为0a，所以21321lnlnxxxxx−=−.……………7分故1221123212lnln2xxxxxxxxx+−+−.因为120xx，所以210xx−，211xx，21lnlnxx>，整理211221lnln2xxxxxx

−+−可得()2121122lnlnxxxxxx-<-+，即()2211221211212ln1xxxxxxxxxx−−=++，（*）……………9分令21xtx=，则1t，欲证（*）成立，等价于证明()21ln1ttt−+成立，即证：()21

ln0,11tttt−−+，令函数()()21ln,11tgtttt−=−+，则()()214lnln211tgttttt−=−=+−++，()()()()222114011tgttttt−=−=++，所以()gt在()1，+?上为单调递增函数，……………11分所以()()

()21ln101tgttgt−=−=+，即()21ln1ttt−+成立，所以1232xxx+．……………12分22．（本小题满分10分）解：（1）由12332xtyt==+（t为

参数），消去参数t可得直线l的普通方程为330xy−+=，……………2分由222coss23in=+，得2222cos2sin2+=，即2222yx+=，整理可得曲线C的直角坐标方程为2212xy+=．……………4分

（2）直线l经过点(0,3)P，将直线l的参数方程12332xtyt==+（t为参数）代入椭圆C2221xy+=中，整理得2724160tt++=，……………6分显然0，设点A，B对应的参数分别为1t，2t，则有12247tt+=−，12167

tt=，……………8分因为12,tt同号，故21212121212()41122ttttPMPNttPMPNPMPNtttt+−=−−−===．……………10分23．（本小题满分10分）解：（1）法一：由绝对值三角不等式可得()323

25fxxxxx=++−+−+=，……………2分当且仅当32x−时，等号成立，所以5M=．……………4分法二：因为()32fxxx=++−．①当3x−时，()32215fxxxx=−−+−=−−；……………1分②当32x−时，()325fxxx

=++−=；……………2分③当2x时，()32215fxxxx=++−=+；……………3分综上，()fx的最小值5M=．……………4分（2）因为225abc++=，所以55221222abcaaa−+−==，同理可得52122acbb+−=，5221abcc+−=，……

………6分由基本不等式可得()()()()()()2222225551112242bcacabbcacababcabcabc++++++−−−==2222282bcacababc=，……………9分当且仅当5

223abc===时，等号成立，因此555111822abc−−−．……………10分