【文档说明】黑龙江省大庆市2021届高三下学期第二次教学质量监测试题（二模）（4月） 数学（文） 含答案.doc，共(13)页，1006.000 KB，由小赞的店铺上传

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高三年级第二次教学质量检测试题文科数学2021.04注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选

涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A＝{x|x>2}，B＝{0，1，2，3，4}，则A∩B＝A.{3，4}

B.{0，3，4}C.{0，1，2}D.{0}2.设i是虚数单位，则复数z＝2i(3－2i)对应的点在复平面内位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.命题“∀x∈R，x2－x＋2021>0”的否定是A.∃x0∈R，x02－x0＋2021<0B.∀x

∈R，x2－x＋2021≤0C.∀x∈R，x2－x＋2021<0D.∃x0∈R，x02－x0＋2021≤04.sincos1212=A.12B.14C.32D.345.已知直线l：x＋y＋1＝0与圆C：(x＋1)2＋(y＋2

)2＝8相交于A，B两点，则弦AB的长度为A.6B.22C.26D.426.已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断不正确的是A.若m⊥α，nα，则m⊥n。B.若m，n都与l相交且m/

/n，则直线m，n，l共面。C.若m⊥α，n⊥β，m//n，则α//β。D.若m，n，l两两相交，且交于同一点，则直线m，n，l共面。7.已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，x)，(2a＋b)⊥a，则x的值为A.－4B.－8C.4D.88.日晷是我国古代按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测

量影子的长度。我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同。二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，如此周而复始。已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长

为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是A.白露比立秋的晷长长两尺B.大寒的晷长为一丈五寸C.处暑和谷雨两个节气的晷长相同D.立春的晷长比立秋的晷长长9.定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)，当x∈[0，1]时，f

(x)＝x，则函数f(x)的图象与g(x)＝3x的图象的交点个数为A.5B.6C.7D.810.函数f(x)＝12esin2xx−的部分图象大致是11.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，

b2＋c2－bc＝3，则△ABC面积的取值范围是A.(32，334]B.(32，334)C.(34，334)D.(34，334]12.已知函数f(x)＝ex－e－x，g(x)＝cosx＋12x2－ax。对于任意x1，x2∈[－2，2

]且x1≠x2，都有()()()()1212fxfx0gxgx−−，则实数a的最大值是A.2B.2＋1C.1－2D.1第II卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题

、第23题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(－1，3)，则cosα＝。14.若x，y满足约束条件

xy0xy20x20−+−−，则z＝y－2x的最小值为。15.某机构一年需购买消毒液300吨，每次购买x吨，每次运费为3万元，一年的总存储费用为4x万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是。16.已知抛物线y2＝2px(p>0)，圆(x－

2p)2＋y2＝1与y轴相切，斜率为k的直线过抛物线的焦点与抛物线交于A，D两点，与圆交于B，C两点(A，B两点在x轴的同一侧)，若AB4CD=，则k的值为。三、解答题：共70分。解答应写出必要的文字

说明、证明过程和演算步骤。17.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－3(n∈N*)。(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝3n3n11logaloga+，求数列{bn}的前n项和Sn。18

.(本小题满分12分)随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨。为拉动消费，某市政府分批发行2亿元政府消费券。为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在全市市民中随机抽取了

200人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如下表所示，其中年龄在45岁及以下的人数占样本总数的35，没使用过政府消费券的人数占样本总数的310。(1)请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市

市民是否使用政府消费券与年龄有关？(2)现从45岁及以下的样本中按是否使用过政府消费券进行分层抽样，抽取8人做进一步访谈，然后再从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，则抽取的2人中恰好一个使用过政府消费券，一个没使用过政府消费券的概率为多少?附：22()()()()(

)nadbcKabcdacbd−=++++，其中n＝a＋b＋c＋d。19.(本小题满分12分)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，且E，F分别为BB1，DD1的中点。(1)求证：AE

//平面BC1F；(2)求四面体A－BC1F的体积。20.(本小题满分12分)已知椭圆E：22221(0)xyabab+=的长轴长为4，离心率为22。(1)求椭圆E的方程；(2)设P为椭圆右顶点，过点C(23，0)作斜率不为0的直线l与曲线E

交于A，B两点，求证：PA⊥PB。21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x－alnx。(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个相异零点x1，x2，求证：x1·x2>e2。请考生在第22、23二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时，用2B铅

笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为1xt23y3t2==+(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建

立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝22cos23sin+。(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知点P(0，3)，若直线l与曲线C相交于不同的两点M，N，求11PMPN−的值。23.(

本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f(x)＝|x＋3|＋|x－2|的最小值为M。(1)求M；(2)设a，b，c均为正实数，且2a＋2b＋c＝M，证明：555111822abc−−−

。大庆市高三年级第一次教学质量检测文科数学答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.题号123456789101112答案AADBCDBBCAAC二

、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.1010−；14.4−；15.15；16.22.三.解答题17.（本小题满分12分）解：（1）当1n=时，11233aa=−，解得13a=，……………1分当2n时，111222333333nnnnnnnaS

Saaaa−−−=−=−−+=−，……………3分得13nnaa−=，因为0na，所以13nnaa−=，因为13a=，所以数列na是以3为首项，3为公比的等比数列，……………5分所以3nna=.……………6分

（2）因为33llg3ogonnna==，……………7分所以()3311111loglog11nnnbaannnn+===−++，……………9分所以数列nb的前n项和1111111111122334111nnSnnnn

=−+−+−++−=−=+++L.……………12分18.（本小题满分12分）解：（1）由题意得，总人数为200人，年龄在45岁及以下的人数为32001205=人，没使用过政府消费券的人数为32006010=人，完成表格如下：……………2分由列联

表可知()22200903050303.5711406080120K−=，……………4分因为3.5712.706，所以有90%的把握认为该市市民民是否使用政府消费券与年龄有关．……………6分（2）由题意可知，从45岁及以下的

市民中采用分层抽样的方法可以抽取使用过政府消费券的市民6人，没有使用过政府消费券的市民2人，……………7分设使用过政府消费券的人为1，2，3，4，5，6，没使用过政府消费券的人为A，B，则全部情况为：12，13，14，15，16，23，24，25，26，

34，35，36，45，46，56，1A，2A，3A，4A，5A，6A，1B，2B，3B，4B，5B，6B，AB，共计28种情使用过政府消费券没使用过政府消费券总计45岁及以下903012045岁以上50308

0总计14060200况，……………9分其中，一个使用过政府消费券，一个没使用过政府消费券的情况有12种，……………10分所以恰好抽到“一个使用过政府消费券，一个没使用过政府消费券”的概率为123287=．………12分19.（本小题满分12分）取1CC中点为G，

连接DG、EG，因为1111ABCDABCD−是正方体，点G和E为所在棱中点，所以AD∥EG，ADEG=，所以四边形AEGD为平行四边形，所以AE∥DG，……………2分在正方形11CDDC中，点G和F为中点，所以1CF∥DG，……………3分所以AE∥1FC，……………4分

又因为1AEBCF平面，11CFBCF平面，……………5分所以AE//平面1BCF．……………6分（2）因为AE∥平面1BCF，所以111==ABCFEBCFFBCEVVV−−−，……………8分在四面体1FBCE−中，1111112122B

CESBECB===，……………10分F到平面1BCE的距离为2，所以1112==12=33ABCFFBCEVV−−．……………12分20．（本小题满分12分）解：（1）因为椭圆C的长轴长

为4，所以24a=，即2a=．……………1分又因为椭圆C上的离心率为22，22ca=，即2c=，……………2分所以2222222bac=−=−=，所以椭圆C的方程为22142xy+=．……………4分（2）由（1）得()2,0P，因

为2(,0)3C，设直线AB的方程为23xmy=+，1122(,),(,)AxyBxy，……………5分联立方程得2223142xmyxy=++=，化简得22(918)12320mymy++−=，21

44(916)0m=+，……………7分且1221221291832·918myymyym−+=+=−+，……………9分因为11(2,)PAxy=−uur，22(2,)PBxy=−uur，所以()()()()21212121241622139PAPBxxyymyymyy=−

−+=+−++()()222222232(161623241216103991891)98181mmmmmmmmm−+++−=+++==++++()2222222232(161621616323232011)91898mmmmmmmm−++++−+−==+++，……………

11分所以PAPB⊥．……………12分21.（本小题满分12分）解：由题意得()()10axafxxxx−=−=，……………1分①0a时，0xa−恒成立，所以()0fx，所以()fx在()

0+，单调递增．……………3分②0a时，在()0a，上()0fx，在()+a，上()0fx，所以()fx在()0a，单调递减，在(),a+单调递增．……………5分综上,0a时，()fx在()0+，单调递增．0a时，()fx在()0a，单调递减，在(),a+单调递增．……

………6分（2）因为()fx有两个相异零点1x，2x，由（1）可知，0a，不妨设120xx，因为()10fx=，()20fx=，所以11ln0xax−=，220lnxax−=，所以()1212xxaxx−=−lnln，……………7分要证212xxe

，即证12lnln2xx+，等价于证明122xxaa+，而1212lnln1xxaxx−=−，所以等价于证明121212lnln2xxxxxx−−+，也就是()1212122lnxxxxxx−+.（*）……………9分令12xtx=，则1

t，于是欲证（*）成立，等价于证明()21ln1ttt−+成立，设函数()()()21ln11tgtttt−=−+，求导得()()()()222114011tgttttt−=−=++，所以函数(

)gt是()1,+?上的增函数，……………11分所以()()10gtg=，即()21ln1ttt−+成立，所以212xxe成立．……………12分22．（本小题满分10分）解：（1）由12332xtyt

==+（t为参数），消去参数t可得直线l的普通方程为330xy−+=，……………2分由222coss23in=+，得2222cos2sin2+=，即2222yx+=，整理可得曲线C的直角坐标

方程为2212xy+=．……………4分（2）直线l经过点(0,3)P，将直线l的参数方程12332xtyt==+（t为参数）代入椭圆C2221xy+=中，整理得2724160tt++=，…………

…6分显然0，设点A，B对应的参数分别为1t，2t，则有12247tt+=−，12167tt=，……………8分因为12,tt同号，故21212121212()41122ttttPMPNttPMPNPMPNtttt+−=−−−===．……………10分23．（本小题满分10分）解：（1

）法一：由绝对值三角不等式可得()32325fxxxxx=++−+−+=，……………2分当且仅当32x−时，等号成立，所以5M=．……………4分法二：因为()32fxxx=++−．①当3x−时，()32215fxxxx=−

−+−=−−；……………1分②当32x−时，()325fxxx=++−=；……………2分③当2x时，()32215fxxxx=++−=+；……………3分综上，()fx的最小值5M=．……………4分（2）因为225abc++=，所以55221222abcaaa−+−=

=，同理可得52122acbb+−=，5221abcc+−=，……………6分由基本不等式可得()()()()()()2222225551112242bcacabbcacababcabcabc++++++−−−==2222282bca

cababc=，……………9分当且仅当5223abc===时，等号成立，因此555111822abc−−−．……………10分