【文档说明】河南省沁阳市第一中学2020-2021学年高二下学期期末密集练（二）数学（理）试题含答案.doc，共(16)页，673.374 KB，由小赞的店铺上传

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1沁阳市第一中学高二年级下学期期末密集练理科数学试题（二）时间：120分钟分数：150分一、单选题(共12题，每题5分，共60分)1．已知复数，z是z的共轭复数，若z·a=2+bi，其中a，b均为实数，则b的值为（）A．-2B．-1C．1D．22．利用数学归纳法证明“()

()()()*1221321,nnnnnnn+++=−N”时，从“nk=”变到“1nk=+”时，左边应增乘的因式是（）A．21k+B．211kk++C．()()2122kk++D．()221k+

3．“2,1x−，220xa−”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．0aB．1aC．2aD．3a4．在ABC中，已知2,1,ABACA==的平分线1AD=,则ABC的面积为（）A．734B．374C．738D．378

5．在平行四边形ABCD中，2AB=，4=AD，4ABAD=，E为AB的中点，则CEBD=（）A．4−B．8−C．12−D．16−6．在四面体ABCD中，2,3,1====ACCDBCAB，当四面体ABCD的体积最大时

，其外接球的表面积为（）A．2πB．3πC．6πD．8π7．设函数21228()log(1)31fxxx=+++，则不等式212(log)(log)2xxff+的解集为A．(0,2B．1,22

C．)2,+D．)10,2,2+8．设F为抛物线28yx=的焦点，,,ABC为该抛物线上不同的三点，且0FAFBFC++=，O为坐标原点，若OFAOFBOFC、、的面积分别为2123SSS、、，则222123++=SSS（）A．36B．4

8C．54D．649．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为34，若他前一球投不进则后一球投进的概率为14．若他第1球投进的概率为34，则他第3球投进的概率为（）A．34B．58C．116D．916

10．等差数列na前n项和为nS，已知310061006(1)2013(1)1,aa−+−=310081008(1)2013(1)1,aa−+−=−则（）A．2013100810062013,Saa=B．201310081

0062013,Saa=C．2013100810062013,Saa=−D．2013100810062013,Saa=−11．已知椭圆22122:1(0)xyCabab+=，其长轴长为4，且离心率为32，在椭圆1C上任取一点P，过点P作圆222:(3)2Cxy++=的两条

切线PM，PN，切点分别为M，N，则22CMCN的最小值为（）A．2−B．32−C．53−D．43−12．()()2log02()1222xxfxxx=−+，若abc、、互不相等，且()()()fafbfc==，则abc的取值范围是（）A．

()0,1B．()0,2C．()1,2D．()2,4二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．若向量()()3,1,7,2==−ab，则−ab的单位向量的坐标是______．14．在42()(1)xxx+−的展开式中，2x项的系数是______

______.315．如图是一个三角形数阵，满足第n行首尾两数均为n，(),Aij表示第()2ii行第j个数，则()100,2A的值为__________．16．已知函数()22gxxx=−+，()()2gxfx

x=00xx，若()()1fafa+，则a的取值范围为______.三、解答题(共70分)17．(本题10分)ABC三内角,,ABC成等差数列，对边分别为,,abc.证明：113abbcabc+=++++.18．(本题12分)在△A

BC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且满足tanA＝12tanB＝13tanC．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为15，求a的值．19．(本题12分)如图,已知四棱锥SABCD−中,底面ABCD是边长为2的菱形,60BAD=,5,7SASDSB===,点E是

棱AD的中点,点F在棱SC上,且SFSC=,SA//平面BEF.（1）求实数的值;（2）求二面角SBEF−−的余弦值.20．(本题12分)4本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租

车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次),设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42;两小时以上且不超过三小时还车的

概率分别为11,24;两人租车时间都不会超过四小时.(1)求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率;(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元时的概率.21．(本题12分)如图，过椭圆22221(0)xyabab+=的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，点A和点B分别为椭

圆的右顶点和上顶点，OPAB∥．（1）求椭圆的离心率e；（2）过右焦点2F作一条弦QR，使QRAB⊥，若1FQR△的面积为203，求椭圆的方程．22．(本题12分)已知函数f(x)=lnx+ax2-2x,（a∈R,a≠0）(1)若函数f(x)的图象在x=1处的

切线与x轴平行,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)≤ax在x∈[12,+∞)上恒成立,求a的取值范围.5高二理科数学密集训练（二）答案1．A【分析】根据共轭复数的定义，结合复数的运算性质和复数相等的性质进

行求解即可.【详解】因为1zi=+，所以1zi=−，因此221bibziiaaa+==+=−，所以21a=且1,ba=−则2,2ab==−.故选：A2．D【分析】根据“nk=”变到“1nk=+”变化规律确定选项.【详解】因为nk=时，左边为()()()12kkkk+++,1nk=+时左

边为()()()()()111211111kkkkkkkk++++++−+++++,因此应增乘的因式是()()()()1112211kkkkkk+++++=++，选D.【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析求解能力，属基本题.3．D【分析】先确定“2

,1x−，220xa−”为真命题时a的范围，进而找到对应选项.【详解】若命题“2,1x−，220xa−”为真命题，则2()22maxxa=…，则3a是2a的充分不必要条件，故选：D．4．D【分析】根据BADC

ADABCSSS+=和12BADCADBAC==可求得cosBAD，利用同角三角函数和二倍角公式可求得sinBAC，代入三角形面积公式求得结果.【详解】BADCADABCSSS+=6111sinsinsin222ABADBADACADCADABACBAC+=

AD为角平分线12BADCADBAC==3sinsin22BADBAD=，即3sin2sincos2BADBADBAD=3cos4BAD=237sin1cos44BADBAD=−==则37sin2sincos8BACBADBAD==137

sin28ABCSABACBAC==本题正确选项：D【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，关键是能够通过面积桥的方式，借助角平分线可构造出关于三角函数值的方程，从而使得问题得以求解.5．C【分析】由平面向量的线性运算及平面向量数量积运算可得；【详解】解：由2AB=，4=AD，4ABAD=，

所以11()()()()22CEBDCBBAADABADABADAB=+−=−+−22111222ABADABAD=+−=−，故选：C．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积运算，属于中档题

．6．C【分析】先利用勾股定理得出是直角三角形，且BC为斜边，并可计算出的外接圆直径为BC，然后由平面ABC可得出此时四面体ABCD的体积取最大值，再利用公式可得出外接球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．【详解】2,3,1===ACBCAB

，由勾股定理可得222BCACAB=+，所以ABC是以BC为斜边的直角三角形，且该三角形的外接圆直径为3=BC，当时平面ABCCD⊥，四面体ABCD的体积取最大值，此时，其外接球的直径为6222=+=CDBCR，

因此，四面体ABCD的外接球的表面积为642=R．故选C．【点睛】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于选择合适的模型计算球体的半径，7属于中等题．7．B【分析】∵f（﹣x）=12log（x2+

1）+2831x+=f（x），∴f（x）为R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，再通过换元法解题．【详解】∵f（﹣x）=12log（x2+1）+2831x+=f（x），∴f（x）为R上的偶函数，且在区间[

0，+∞）上单调递减，令t=log2x，所以，12logx=﹣t，则不等式f（log2x）+f（12logx）≥2可化为：f（t）+f（﹣t）≥2，即2f（t）≥2，所以，f（t）≥1，又∵f（1）=12l

og2+831+=1，且f（x）在[0，+∞）上单调递减，在R上为偶函数，∴﹣1≤t≤1，即log2x∈[﹣1，1]，解得，x∈[12，2]，故选B．【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的性质，涉及奇偶性

和单调性的判断及应用，属于中档题．8．B【详解】试题分析：由题意可知(1,0)F，设112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy，则112233(1,),(1,),(1,)FAxyFBxyFAxy=−=−=−，由0FAFBFC++=得123(1)(1)(1)0xxx−+−+−=，即123

3xxx++=，又112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy在抛物线上，所以，111222333111111,,,222222SOFyySOFyySOFyy======，所以22222212312312311++=()(444)344SSSyyyxxx++=++=，故选B.考点：

1.向量的坐标运算；2.抛物线的标准方程与性质；3.三角形面积公式.【名师点睛】本题考查向量的坐标运算、抛物线的标准方程与性质、三角形面积公式，中档题.向量与圆锥曲线的相关知识融合，是最近高考命题的热点，解题思路上由向量运算得到坐标之间的关系或几何元素之间的关

系，然后再根据圆锥曲线相关的知识经过运算求解.9．D【分析】分两种情况讨论：第2球投进和第2球投不进，利用独立事件的概率公式可得出所8求事件的概率.【详解】分以下两种情况讨论：（1）第2球投进，其概率为3311544448+

=，第3球投进的概率为53158432=；（2）第2球投不进，其概率为53188−=，第3球投进的概率为3138432=.综上所述：第3球投进的概率为1539323216+=，故选D.【点睛】本题考查概率的求法，考查独立事件概率乘法公式的应用，同时也考查对立事件概率公式的应用，

解题时要注意对事件进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.10．B【详解】试题分析：因为310061006(1)2013(1)1,aa−+−=310081008(1)2013(1)1,aa−+−=−两式相加得，故所以，又两式相减，易得，，故，选B.考点：等差数列点评：本题多项

式为载体考查等差数列，关键是能结合等式合理变形得出，从而求解，属中档题.11．B【分析】根据题意求得椭圆方程，再将目标式转化为关于2PC的函数，求得2PC的最大值，即可求得目标式的最小值.【详解】由椭圆22122:1(0)xyCabab+=，其长轴长为4且离心率为32，

∴24a=，32ca=，222abc=+，解得2a=，1b=，∴椭圆1C的标准方程为2214xy+=．9不妨设22MCN=，由对称性可得22PCMPCN==，则()222222||cos22cos222cos1CMCNCMCNMCN===−uuuuruuuuruuuuruuu

ur22222284cos2422PCPC=−=−=−，再设点(,)Pxy，则2214xy+=，可得2244xy=−，点2(0,3)C−，2222222(3)44693(1)16PCxyyyyy=

++=−+++=−−+，∵11y−剟，∴当1y=时，22PC的最大值为16．因此22CMCN的最小值为832162−=−．故选：B.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中向量问题的最值，本题的难点在于设出角度，将问题表述

为函数关系，属综合中档题.12．D【分析】作出函数()fx的图像，然后令()()()fafbfck===，则可得,,abc为函数()fx图像与yk=的交点的横坐标，根据图像可得,,abc的范围，同时22|log||log

|ab=,可得1ab=,即可得答案.【详解】由()()2log02()1222xxfxxx=−+作出函数的图像如下:不妨设abc,则22|log||log|ab=，即22loglogab=−，则

2log()0ab=，所以1ab=,又由图可知24c，则(2,4)abcc=，故选：D.【点睛】本题考查分段函数，对数运算性质及数形结合思想，正确画出函数图像和熟练掌握对数函数的图像是解决本题的关键，属于中档题.1013．43,55−【解析】试题分析：因

,而,故的单位向量是43,55−,应填43,55−．考点：向量的坐标形式等有关知识的综合运用．14．12−【分析】由题意结合二项式定理可得4(1)x−的通项公式为()141rrrrTCx+=−，分别令1r=、3r=，求和即可得解.【详

解】由题意44422()(1)(1)(1)xxxxxxx+−=−+−，因为4(1)x−的通项公式为()()414411rrrrrrrTCxCx−+=−=−，令1r=，则()()1144114rrCC−=−=−；令3r=，则()()3344114rrCC−=−=−；所以42()(

1)xxx+−的展开式中，2x项的系数为()42412−+−=−.故答案为：12−.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，掌握公式是解题关键，属于基础题.15．4951【解析】分析：计算前

5行的第二个数字，发现其中的规律，得出结论．详解：设第n行的第2个数为an，由图可知，a2=2=1+1，a3=4=1+2+1，a4=7=1+2+3+1，a5=11=1+2+3+4+1…归纳可得an=1+2+3+4+…+（n

-1）+1=(1)2nn−+1，故第100行第2个数为：10099149512+=，故答案为4951点睛：本题考查了归纳推理，等差数列和，属于基础题．16．113,,22+−+

【分析】根据函数()fx的定义域结合函数的图象，分1a−，10a−，01a，12a，2a五种情况讨论求解.11【详解】函数()()2gxfxx=00xx的图象如图所示：当1a−时

，10a+，所以()()()=2,121faafaa+=+，因为()()1fafa+，所以()221aa+，成立，此时，1a−，当10a−时，0+11a，所以()()()()()2=2,11121faafagaa

a+=+=−+++，因为()()1fafa+，所以()()22121aaa−+++，成立，此时，10a−，当01a时，1+12a，所以()()()()()()()()22=2,111121fagagaaafagagaaa==−++=+=+=−+++因为()()1fafa+，

所以()()222121aaaa−+−+++，解得12a，此时，102a，当12a时，+12a，所以()()()()()()()()22=2,111121fagagaaafagagaaa==−++=+=−+=+−+，因为()()1fafa+，所以()()2

22121aaaa−++−+，即2210aa−−，解得132a+或132a−，此时，1322a+，当2a时，+13a，所以12()()()()()()()()22=2,111121fagagaaafagagaa

a=−=−+=+=−+=+−+，因为()()1fafa+，所以()()222121aaaa−+−+，即210a−，解得12a，此时，2a，综上：a的取值范围为113,,22+−+.故答案为：113,,22+−+

【点睛】本题主要考查函数与不等式问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.17．【分析】利用分析法，要证113abbcabc+=++++只需证222caacb+=+，再根据三角形内角和定理，等差中项，余弦定理即可求证；【详解】（1）要

证113abbcabc+=++++，只需证3abcabcabbc+++++=++，即证：1caabbc+=++，即证()()()()cbcaababbc+++=++，即：222caacb+=+又因ABC的三个内角A，B，C成等差数列，故0=60B.由余弦定理可22202cos60bca

ac=+−，即：222bcaac=+−，故222caacb+=+，所以113abbcabc+=++++成立.18．（1）π4A=；（2）5a=.【分析】（1）根据题意可得到tan2tanBA=，tan3tanCA=，利用三角恒等变换，可知求解tan1A=，即可求解角A的大

小.（2）利用正弦定理得出sinsinBbaA=，代入三角形的面积公式，即可求解a的值．【详解】（1）由题可知：tantantan23BCA==，则tan2tanBA=，tan3tanCA=．在ABC中，()tantantantan1tantanBCABCBC+=−+=−−．则22tan3tan

tan16tanAAAA+=−−，解得2tan1A=，tan1A=−或tan1A=，当tan1A=−时，tan2B=−，则A，B均为钝角，与πABC++=矛盾，故舍去，故tan1A=，则π4A=．（2）由tan1A=可得tan2B=，tan3C=，13则211cos51

tan==+BB，211cos101tan==+CC所以2sin5B=，3sin10C=．在ABC中有sinsinabAB=，则2sin2105sin522BbaaaA===，则21121033sin15225510△====ABCaSabCaa．得225=a，所以5a=．【点睛

】本题考查了正弦定理以及面积公式的应用，熟练掌握公式，审清题意，属中档题.19．（1）见解析（2）255【解析】试题分析：（Ⅰ）若线面平行，则线线平行，所以连结ACBEG=，连结GF，可得//SAFG，根据~GEAGBC，可得比

例关系，和平行线比例关系可得；（Ⅱ）根据长度以及垂直关系可证明SE⊥平面ABCD，所以以点E为原点建立如图坐标系，分别求两个平面,SBEBEF的法向量，根据cos,mn求值.试题解析：（Ⅰ）连接AC，设ACBEG=，则平面SAC平面EFBFG=，SA//平面

EFB，SA//FG，GEA∽GBC，12AGAEGCBC==，1123SFAGSFSCFCGC===，13=；（Ⅱ）5,,2SASDSEADSE==⊥=，又2,60ABADBAD===，3

BE=222SEBESB+=，SEBE⊥，SE⊥平面ABCD，以,,EAEBES所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，14则()()()1,0,0,0,3,0,0,0,2ABS，平面SEB的法向量()1,0,0mEA==，设平面EFB的法向量(),,nxy

z=，则()(),,0,3,000nEBxyzy⊥==，()(),,1,0,202nGFnASxyzxz⊥⊥−==，令1z=，得()2,0,1n=，25cos,5mnmnmn==即所求二面角的余弦值是255．20．（1）516；（2）516

.【分析】先计算出两人租车超过三小时，不超过四小时的概率.（1）甲、乙两人所付租车费用相同有三种情况，即0,2,4三种情况，分别用相互独立事件概率计算公式求概率，然后相加，求得“甲、乙两人所付租车费用相同的概率”.（2）甲、乙两人所付的租车费用之和为4元分成三种情

况：甲4元乙0元，甲2元乙2元，甲0元乙4元.分别利用相互独立事件概率计算公式求概率，然后相加，求得“甲、乙两人所付的租车费用之和为4元时的概率”.【详解】甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为1-111424

−=,1-111.244−=(1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况.付0元的概率为p1=111428=,付2元的概率为p2=111248=,付4元的概率为p3=111.4416=则甲、乙两人所付租车费用相同的概率为p=p1+p

2+p3=5.16(2)设甲、乙两人所付的费用之和为ξ元,则ξ=4表示两人的租车费用之和为4元,其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元;②2元、2元;③4元、0元.所以可得P(ξ=4)=111111544244216++=,即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元时的概

率为5.16【点睛】本小题主要考查相互独立事件的识别以及相互独立事件概率的计算，考查分类加法计数原理的应用，属于基础题.21．【解析】（1）∵1(,0)Fc−，∴2,bPca−，∵OPAB∥，∴OPABkk=，15∴2bba

ca=，解得cb=，∴2ac=，故22e=．（2）由（1）知椭圆方程可化简为22222xyb+=．①易求直线QR的斜率为2，故可设直线QR的方程为：2()yxb=−．②由①②消去y得225820xbxb−+=．∴1285bxx+=，21225bxx=．于是1FQ

R△的面积21212121222()4Scyycxxbxxxx=−=−=+−22282432()4203555bbbb=−==，∴5b=．因此椭圆的方程为22250xy+=，即2215025xy+=22．（1）单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.（2）-4-4ln

2≤a<0.【分析】(1)f'(x)=1x+2ax-2由f'(1)=1+2a-2=0,解得a=12,得f'(x)=221xxx−+≥0恒成立，则单调区间可求；(2)f(x)≤ax转化为lnx+ax2-2x-ax≤0,构造函数g(x)

=lnx+ax2-2x-ax,x∈[12,+∞),求导求其最大值即可求解【详解】(1)函数f(x)=lnx+ax2-2x,定义域为(0,+∞),f'(x)=1x+2ax-2.由已知f'(1)=1+2a-2=0,解得a=12,于是f'(x)=

221xxx−+≥0恒成立,从而f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.(2)f(x)≤ax转化为lnx+ax2-2x-ax≤0,设g(x)=lnx+ax2-2x-ax,x∈[12,+∞),则g'(x)=1x+2ax-2-a=()()121ax

xx−−.①当a<0时,g(x)在[12,+∞)上单调递减,因而g(12)=ln12+14a-1-12a≤0,故-4-4ln2≤a<0;②当0<a<2时,11a2,g(x)在[12,1a]上单调递减,在(1a,+∞)上单调递增,

16因而g(x)∈[g(1a),+∞),不符合题意;③当a≥2时,11a2,g(x)在[12,+∞)上单调递增,因而g(x)∈[g(12),+∞),不符合题意.综上,-4-4ln2≤a<0.【点睛】本题考查导数与函数的

综合应用，考查函数的单调性，不等式恒成立问题，分类讨论思想，转化化归能力，是中档题