【文档说明】四川省成都市第七中学2022-2023学年高二下学期3月月考试题 数学（文） 含解析.docx，共(10)页，615.829 KB，由小赞的店铺上传

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成都七中高2024届高二下阶段性测试数学试题（文科）考试时间120分钟，总分150分一、单选题（每小题5分，共60分）1．“tan1x=”是“4x=”成立的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分

又不必要条件2．已知x，y的取值如表所示：如果y与x线性相关，且线性回归方程为1ˆ2ˆ3ybx=+，则ˆb等于（）x234y645A．12−B．12C．110−D．1103．已知向量a，b满足||2a=，1ab=，且a与的夹角为60，则||b的值为（）A．33B．1C．3D．24．双

曲线2219yx−=的渐近线方程为（）A．19yx=B．13yx=C．3yx=D．9yx=5．执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（）A．4iB．5iC．6iD．7i6．若x，y满足约束条件2240xyxyy++，则

2zxy=−的最大值为（）A．4B．4−C．52D．52−7．已知0m，0n，直线11eyxm=++与曲线ln2yxn=−+切，则11mn+最小值是（）A．16B．12C．8D．48．已知函数()yfx=对任意的,22x−满足(

)cos()sin0fxxfxx−（其中()fx是函数()fx的导函数），则下列不等式成立的是（）A．234ff−−B．234ffC．2(0)3ffD．2

(0)4ff9．在正方体1111ABCDABCD−中，下列结论正确的有（）①异面直线1AD与BD所成角的大小为4；②直线1BD与直线AC垂直；③直线1BD与平面ABCD所成角的正切值为22；③平面1CBD与平面

BCD夹角的正切值为2．A．①②B．①②③C．②③④D．③④10．已知点P在椭圆2222:1(0)xyCabab+=上，且1F，2F为两个焦点，1260FPF=，在12FPF中满足1PF，212PF，1212FF成等差数列，则椭圆的离心率是（）A．12B．1313C．22D．2131311

．已知函数24e,0()e,0xxxfxxx+=（e是自然对数的底数），若存在10x，20x，使得()()12fxfx=，则()12xfx的取值范围是（）A．24e,0−B．3(16e)e,016−−C．3(16e)e0,16−D

．20,4e12．若0.2ea=，1.2b=，ln3.2c=，则（）A．abcB．acbC．bacD．cba二、填空题（每小题5分，共20分）13．若样本数据1210,,,xxx的标准差为10，则数据121031,31,,31xx

x−−−的方差为______．14．已知等比数列na中，23122aaaa+=+，48a=，则6a=______．15．已知F为抛物线24xy=的焦点，由直线2y=−上的动点P作抛物线的切线，切点分别

是A，B，则ABO与AFO（O为坐标原点）的面积之和的最小值是______．16．若过点(1,)()PmmR有3条直线与函数()exfxx=的图象相切，则m的取值范围是______．三、解答题（共70分）17．（

10分）某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，按分组)80,90，)90,100，)100,110，)110,120，)120,130，)130,140，140,150整理后得到如下频率分布直方图．（1）求图中x的值；（2）用分

层随机抽样的方法，从样本内语文成绩在)130,140，140,150的两组学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人语文成绩在)130,140的概率．18．（12分）已知函数()lnafxxx=+

，aR．（1）当2a=时，求曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程；（2）若函数()fx在1,e上的最小值是，求a的值．19．（12分）如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD是矩形，O是AC与BD的交点，E为PB的中点．（Ⅰ）求

证：OE∥平面PAD；（Ⅱ）若PD⊥平面ABCD，DFPA⊥，垂足为F，2PDBD==，1AD=，求三棱锥PDEF−的体积．20．（12分）过抛物线2:4Exy=的焦点F作斜率分别为1k，2k的两条不同的直线1l，2l，且1l与E相交于点A，B，2l与E

相交于点C，D．以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为l．（1）若122kk=，求FMFN；（2）若122kk+=，求点M到直线l的距离的最小值．21．（12分）已知函数()2e()(3)e4

2axfxxxx=−−−．（1）当1a=时，求函数()fx的单调区间；（2）当02a时，讨论函数()fx的零点个数．22．（12分）已知P为圆22:4Mxy+=上一动点，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，若点Q满足32DQDP=．（1）求点的轨迹方程；（2）设点Q的轨迹为曲线C，过点()1,

0N−作曲线C的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为EF，过点N作直线EF的垂线，垂足为点H，是否存在定点G，使得GH为定值？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．成都七中高2024届高二下阶段性测试数学试题（文科）参考答案BABCAADCC

DAB900324325,0e−17【详解】（1）由频率分布直方可知，()0.0120.0220.0280.0180.0080.002101x++++++=，解得0.01x=；（2）由题知，样本内语文成绩在)

130,140，140,150的学生分别有8名和2名，按分层随机抽样抽取的5名学生中，分数在)130,140的学生有4名，记为A，B，C，D，在140,150的学生有1名，记为e，从这5名学生中随机选出

2人，所有的情况有10种：AB，AC，AD，Ae，BC，BD，Be，CD，Ce，De，其中恰有一人语文成绩在)130,140的有4种：Ae，Be，Ce，De，则这5名学生中随机选出2人，恰有一人语文成绩在)130

,140的概率为42105P==．18．【详解】（1）当2a=时，2()lnfxxx=+，()12f=，所以切点为()1,2，212()fxxx−=，则(1)121f=−=−，所以切线方程为()21yx−=−−，

即30xy+−=．（2）221()axafxxxx−=−=，0x，若1a，则()0fx在1,e上恒成立，所以()fx在1,e上单调递增，所以min3()(1)2fxfa===，不满足题意：若1ea，令()0fx

，解得1xa，令()0fx，解得eax，所以函数()fx在)1,a单调递减，(,ea单调递增，所以min3()()ln12fxfaa==+=，解得ea=，满足题意；．若ea，则()0fx

在1,e上恒成立，所以()fx在1,e上单调递减，所以min3()(e)1e2afxf==+=，解得e2a=，不满足题意，综上，ea=．19．【详解】解：（Ⅰ）因为四边形ABCD是矩形，所以O是BD的中点又E是PB的中点，所以OEPD∥因为OE平面PAD，

PD平面PAD所以OE∥平面PAD．（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PDAB⊥又ABAD⊥，,PDAD平面PAD，PDADD=所以AB⊥平面PAD，DF平面PAD，所以ABDF⊥又DFPA⊥，,PAAB平面PAB，PAABA=，所以DF⊥平面PA

B因为,EFPB平面PAB，所以DFEF⊥，DFPB⊥．因为PDBD=，PEEB=，所以DEPB⊥又,DEDF平面DEF，DEDFD=，所以PB⊥平面DEF因此PE是三棱锥PDEF−的高．由PD⊥平面ABCD，BD平面ABCD，得PDBD⊥在RtPBD中，

由2PDBD==，得22PB=，122DEPB==．在RtPAD中，25ADPDDFPA==．在RtDEF中，2226(2)55EF=−=于是1111126232332321555PDEFDEFVSPEDFEFPE−====所以三棱锥PDEF−的体积是2315．2

0．【详解】（1）依题意，抛物线E的焦点为()0,1F，且其在抛物线内部，设直线l1的方程为11ykx=+，由1214ykxxy=+=，得21440xkx−−=，设A，B两点的坐标分别为()11,xy，()22,xy，则12,xx是上述方程的两个实数根，

所以()1212121214242xxkyykxxk+=+=++=+，所以点M的坐标为()2112,21kk+，()2112,2FMkk=，同理可得N的坐标为()2222,21kk+，()2222,2FNkk=

，于是()2212124FMFNkkkk=+，又122kk=，所以24FMFN=．（2）结合（1），由抛物线的定义得1||1FAy=+，2||1FBy=+，所以2121||244AByyk=++=+，所以圆M的半径21

122rk=+，所以圆M的方程为()()()2222211122122xkykk−+−−=+，化简得()22211422130xykxky+−−+−=，同理可得圆N的方程为()22222422130xykxky+−−+−=，于是圆M与圆N

的公共弦所在直线l的方程为()()2221210kkxkky−+−=，又210kk−，122kk+=，则直线l的方程为20xy+=，所以点M到直线l的距离221111744224455kkkd++++==，故当114k=−时，取最小值7752045=．21．【详解】（1）当1a

=时，()()(2)ee(2)(2)eexxfxxxx=−−−=−−，当1x时，()0fx；当12x时，()0fx；当2x时，()0fx，所以函数()fx的单调增区间为(1),−和(2,

)+，单调减区间为()1,2．（2）()()(2)ee(2)(2)eexaxafxxxx=−−−=−−，令()0fx=，得2x=或xa=，由于02a，当xa时，()0fx；当2ax时，()0fx，当2x时，()0fx．所以函数()fx的单调增区间为(,)a−和

(2,)+，单调减区间为(),2a．()()22ee()(3)e46622aaafaaaaaa=−−−=−+−，令()0fa=，得33a=−，当033a−时，()()20ffa，又4(4)e0f=，所以存在唯一1(2,4)x，使得()10f

x=，此时函数()fx有1个零点1x；当33a=−时，()()20ffa=，又4(4)e0f=，所以存在唯一2(2,4)x，使得()20fx=，此时函数()fx有2个零点2x和a；令2(2)e2e0

af=−+=，得2ln2a=−，现说明332ln2−−，即ln231−，即312e−显然成立．因为107722.7e，故73110ee2−，当332ln2a−−时，(2)0()ffa，又4(4)e0f=，(0)3

0f=−．所以存在唯一3(0,)xa，唯一4(,2)xa，唯一5(2,4)x，使得()()()3450fxfxfx===，此时函数()fx有3个零点345,,xxx，当2ln2a=−时，()()20faf=，又()030f=−．所以存在唯一6(0,)xa，使得()

60fx=，此时函数()fx有2个零点6x和2．当2ln22a−时，()()20faf，又()030f=−．所以存在唯一7(0,)xa，使得()70fx=，此时函数()fx有1个零点7x．综上所述，当033a−时，函数()fx有1个

零点；当33a=−时，函数()fx有2个零点；当332ln2a−−时，函数()fx有3个零点；当2ln2a=−时，函数()fx有2个零点；当2ln22a−时，函数()fx有1个零点．22．【详解】（1）由题意得，设点()

,Qxy，()00,Pxy，则点()0,0Dx，因为32DQDP=，所以()()003,0,2xxyy−=，则00233xxyy==，因为点P在圆224xy+=上，所以22004xy+=，则222343xy+=

，即22143xy+=，所以点Q轨迹方程为22143xy+=．（2）①若两条互相垂直的弦所在直线的斜率均存在，则可设直线:1(0)ENxtyt=−，联立221143xtyxy=−+=，得()2243690tyty+−−=，设直线EN与曲线C

两交点的坐标分别为()11,xy，()22,xy，则122643tyyt+=+，∴1223243Eyytyt+==+，24143EExtyt=−=−+；∵ENFN⊥，∴直线1:1FNxyt=−−，同理可得：2334Ftyt=−+，22434Ftxt=−+，设直线

EF与x轴交于点(),0TTx，则当直线EF斜率存在时，由22222334334444334TTtttttxxtt−++=−−−−++得()()227744Ttxt+=−+，∴22444777Ttxt+=−

=−+，即直线EF恒过点4,07T−；当直线EF斜率不存在时，由222444334ttt−=−++得21t=，则47EFxx==−，则直线EF恒过点4,07T−；②若两条互相垂直的弦所在直线中有一条斜率

不存在，则直线EF为x轴，恒过4,07T−，综上：直线EF恒过点4,07T−；∵NHEF⊥，∴NHHT⊥，∴H在以NT中点11,014−为圆心，||NT为直径的圆上，取11,014G−，则13||||214GH

NT==为定值；∴存在点11,014G−，使得GH为定值．