【文档说明】2023届高考人教A版数学一轮复习试题（适用于老高考旧教材）课时规范练25　平面向量的概念及线性运算含解析【高考】.docx，共(8)页，116.511 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1课时规范练25平面向量的概念及线性运算基础巩固组1.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗与𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗相等.则所有正确命题的序号是()A.①B.③C.①③D.①②2.(202

1福建福州模拟)如图,则a-b=()A.2e1-3e2B.-2e1+3e2C.3e1-2e2D.-3e1+2e23.(2021四川泸州诊断测试)在四边形ABCD中,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,则()A.四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形C.四边形

ABCD是正方形D.四边形ABCD是平行四边形4.(2021广东珠海模拟)已知正六边形ABCDEF中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=()A.𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗B.𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗C.𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗D.05.(2021贵州贵阳清华中

学高三月考)如图,在△ABC中,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b,则𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗等于()A.13a+13bB.-12a+14bC.12a+14bD.-13a+13b2

6.(2021山东潍坊三模)如图,在平行四边形ABCD中,𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,若𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+μ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,则λ+μ=()A.-13B.1C.

23D.137.(2021陕西西安中学高三月考)在四边形ABCD中,AB∥CD,设𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+μ𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗(λ,μ∈R).若λ+μ=43,则|𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|

=()A.23B.12C.13D.148.给出以下5个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;④|a|=0或|b|=0;⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是(填序号).9.(2021浙江湖州

模拟)已知|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=10,|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=7,则|𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|的取值范围为.10.(2021北京通州一模)设向量e1,e2是两个不共线的向量,已知𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2e1-e2,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=e1+3e2,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2e1-

ke2,且B,C,D三点共线,则𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(用e1,e2表示);实数k=.综合提升组11.(2021福建福州一模)在△ABC中,E为AB边的中点,D为AC边上的点,BD,CE交于点F.若𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=37𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+1

7𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则𝐴𝐶𝐴𝐷的值为()A.2B.3C.4D.512.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征,正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且𝑃𝑇𝐴𝑃=√5-

12,则()A.𝐶𝑇⃗⃗⃗⃗⃗=3-√52𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+3-√52𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗3B.𝐶𝑇⃗⃗⃗⃗⃗=√5-12𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+√5-12𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗C.𝐶𝑇⃗⃗⃗⃗⃗=√5-12𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+3-√54𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗D.𝐶𝑇⃗⃗⃗⃗⃗=3-√

54𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+√5-12𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗13.(2021湖北武汉模拟)已知O是△ABC所在平面内的一定点,动点P满足𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|,λ∈(0,+∞),

则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.内心B.外心C.重心D.垂心14.点M在△ABC内部,满足2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,则S△MAC∶S△MAB=.15.(2021江苏盐城中学高三月考)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E

,F分别在边BC,CD上,且满足𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,则|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗|=.创新应用组16.(2021山东淄博一模)已知等边三角形ABC的边长为6,点P满足𝑃𝐴⃗⃗

⃗⃗⃗+2𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,则|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=()A.√32B.2√3C.3√3D.4√317.(2021四川凉山三模)如图,P为△ABC内任意一点,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知

总有优美等式S△PBC𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+S△PAC𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+S△PAB𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0成立.现有以下命题:①若P是△ABC的重心,则有𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0;②若a𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗

+b𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+c𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0成立,则P是△ABC的内心;③若𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=25𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+15𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则S△ABP∶S△ABC=2∶5;④若P是△ABC的外心,A=π

4,𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=m𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+n𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则m+n∈[-√2,1).则正确的命题有.答案：课时规范练41.A解析:根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向

量不一定相等,故②错误;向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗与𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗互为相反向量,故③错误.2.A解析:由图知:a=3e1+e2,b=e1+4e2,则a-b=2e1-3e2.3.D解析:根据向量加法的平行四边形法则可得,以AB,AD为

邻边作平行四边形ABCD,如图,可得𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,所以四边形ABCD为平行四边形.4.D解析:如图,连接AD,BE,设AD与BE交于O点,则𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶�

�⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=0.5.B解析:因为𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=3�

�𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗−𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=3(𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗),所以4𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+3𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗.又因为𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,

所以4𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,可得4𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗),所以4𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=-2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,即𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=-12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,即𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=-12a+14b.6.D解析:𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−

13(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)=23𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,又𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗不共线,根据平面向量基本定理可得λ=23,

μ=-13,∴λ+μ=13.7.C解析:∵AB∥CD,∴设|𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=k,则𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=k𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,k>0,∵𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗=k𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,∴{𝜆=𝑘,𝜇=1.∵𝜆+μ=43,∴1+k=43,即k=13,即|𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=13.8.①③④解析:相等向量一定是共线向量,①能使a∥b;|a|=

|b|,不能确定方向,所以②不能使a∥b成立;方向相同或相反的向量一定是共线向量,③能使a∥b;零向量与任一向量平行,④能使a∥b成立;单位向量的模相等,但方向不确定,所以⑤不能使a∥b成立.9.[3,17]解析:因为𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以|𝐶𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|,5又||𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|-|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗||≤|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|≤|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|+|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|,即3≤|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−

𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|≤17,即3≤|𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|≤17.10.-e1+4e28解析:由向量减法法则得𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=-e1+4e2,由于B,C,D三点共线,所以𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐵𝐶⃗⃗⃗

⃗⃗,即2e1-ke2=λ(-e1+4e2),所以{-𝜆=2,-𝑘=4𝜆,解得{𝜆=-2,𝑘=8.11.C解析:设𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,因为𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=37𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+17𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=37𝐴𝐵⃗⃗⃗

⃗⃗+17𝜆𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,因为B,F,D三点在同一条直线上,所以37+17𝜆=1,所以λ=4,所以𝐴𝐶𝐴𝐷=4.12.A解析:设AP=a,因为𝑃𝑇𝐴𝑃=√5-12,所以PT=√5-12a,CP=√5+12a,CA=√5+32a,所以𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗

⃗=√5+1√5+3𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝑃𝑇⃗⃗⃗⃗⃗=√5-12𝑇𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=√5-12𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗−√5-12𝐶𝑇⃗⃗⃗⃗⃗.因为𝐶𝑇⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝑇⃗⃗⃗⃗⃗,所以√5

+12𝐶𝑇⃗⃗⃗⃗⃗=√5+1√5+3𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+√5-12𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐶𝑇⃗⃗⃗⃗⃗=2√5+1·√5+1√5+3𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+√5-1√5+1𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2√5+3𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+√5-1√5+1𝐶𝐸

⃗⃗⃗⃗⃗=3-√52𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+3-√52𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗.13.A解析:如图,设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,则𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗

,𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗均为单位向量,以𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗为邻边作平行四边形AEDF,连接AD,并延长至与BC相交.则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,易知四边形AEDF为菱形,所以AD平分∠BAC,由𝑂𝑃⃗⃗

⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|,λ∈(0,+∞),得𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,又𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗与𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗有公共点A,故A,D,P三点共线,

所以点P在∠BAC的角平分线上,故动点P的轨迹经过△ABC的内心.14.3∶4解析:由题意,分别延长MA至D,MB至E,MC至F,连接ED,DF,EF.使MD=2MA,ME=3MB,MF=4MC,如图,

6由2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,得𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以点M是△DEF的重心,所以S△MDE=S△MEF=S△MFD,设S△MDE=1,则S△MAB=12×13=16,S△MAC=12×14=

18,所以S△MAC∶S△MAB=18∶16=3∶4.15.3解析:因为𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗.又因为𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,所以|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗|=32|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=32|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|

.又因为∠BAD=120°,所以∠ADC=60°,所以△ADC为等边三角形,所以AC=AD=2,所以|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗|=32|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=32×2=3.16.C解析:依题意𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0

,𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-2𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=-2𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,如图,在△ABC中,设D是AC中点,连接BD,由于三角形ABC是等边三角形,所以BD⊥AD,

∠ABD=∠CBD=30°,由于𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,所以四边形BDAP是矩形,在图中作出四边形BDAP,所以∠ABP=90°-30°=60°,Rt△APB

中,AP=AB·sin60°=6×√32=3√3,即|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=3√3.17.①②④解析:对于①,如图所示,7因为D,E,F分别为CA,AB,BC的中点,所以CP=2PE,S△AEC=12S△ABC,S△APC=23S△AEC=13S△ABC,同理可得S△APB=13S△ABC,S

△BPC=13S△ABC,所以S△PBC=S△PAC=S△PAB.又因为S△PBC𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+S△PAC𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+S△PAB𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0.①正确;对于②,记点P到AB,BC,CA的

距离分别为h1,h2,h3,S△PBC=12a·h2,S△PAC=12b·h3,S△PAB=12c·h1,因为S△PBC𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+S△PAC𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+S△PAB𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,则12a·h2·𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+12b·h3·𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12c

·h1·𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,即a·h2𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+b·h3𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+c·h1𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,又因为a𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+b𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+c𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以h1=h

2=h3,所以点P是△ABC的内心.②正确;对于③,因为𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=25𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+15𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=-25𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−15𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵⃗

⃗⃗⃗⃗=35𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−15𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-25𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+45𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以S△PBC-25𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗

⃗−15𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+S△PAC35𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−15𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+S△PAB-25𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+45𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,化简得-25S△PBC+35S△PAC-25S△PAB𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+-15S△PBC-15S△PAC+45S△PAB𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗=0,又因为𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗不共线,所以{-25𝑆△𝑃𝐵𝐶+35𝑆△𝑃𝐴𝐶-25𝑆△𝑃𝐴𝐵=0,-15𝑆△𝑃𝐵𝐶-15𝑆△𝑃𝐴𝐶+45𝑆△𝑃𝐴𝐵=0⇒{𝑆△𝑃𝐵𝐶=2𝑆△𝑃𝐴𝐵,𝑆△𝑃𝐴𝐶=

2𝑆△𝑃𝐴𝐵,𝑆△𝐴𝐵𝑃𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝑃𝐴𝐵𝑆△𝑃𝐵𝐶+𝑆△𝑃𝐴𝐶+𝑆△𝑃𝐴𝐵=15.③错误;对于④,因为P是△ABC的外心,A=π4,所以∠BPC=π2,|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑃𝐶⃗

⃗⃗⃗⃗|,𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=|𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|×|𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|×cos∠BPC=0,因为𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=m𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+n𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|2=m2|𝑃�

�⃗⃗⃗⃗⃗|2+2mn𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+n2|𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2,化简得m2+n2=1,8(m+n)2≤2(m2+n2),又m+n<1,∴m+n∈[-√2,1).④正确.