【文档说明】新疆乌鲁木齐市第八中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题 含答案.docx，共(17)页，146.141 KB，由小赞的店铺上传

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乌鲁木齐市第八中学2020—2021学年第一学期高二年级期末考试数学(理科）问卷（考试时间：120分钟卷面分值：150分）（命题范围：选修2-1，选修2-2）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.i是虚数单位，𝑎,𝑏∈

𝑅，则𝑎=0是𝑎+𝑏𝑖为纯虚数的()条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既非充分也非必要2.一场考试之后，甲乙丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀

；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多．则可以完全确定的是()A.甲同学三个科目都达到优秀B.乙同学只有一个科目达到优秀C.丙同学只有一个科目达到优秀D.三位同学都达到优秀的科目是数学3.过双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的右顶

点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A，若C的右焦点到点A，O距离相等且长度为2，则双曲线的方程为()A.𝑥2−𝑦23=1B.𝑥2−𝑦22=1C.𝑥24−𝑦23=1D.𝑥23−𝑦22=14.下列四个函数中，在𝑥=0处取得极值的是()①𝑦=𝑥3；②𝑦=𝑥

2+1；③𝑦=|𝑥|；④𝑦=2𝑥．A.①②B.②③C.③④D.①③5.已知命题p“函数𝑓(𝑥)=log2(𝑥2−2𝑥−3)在(1,+∞)上单调递增”，命题q“函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+1−1的图象恒过(0,0)点”，则下

列命题正确的是()A.𝑝∧𝑞B.𝑝∨𝑞C.𝑝∧(¬𝑞)D.(¬𝑝)∨𝑞6.若𝐴(𝑥,5−𝑥,2𝑥−1)，𝐵(1,𝑥+2,2−𝑥)，当|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|取最小值时，x的值等于()A.19

B.−87C.87D.19147.如图所示，正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为a，M，N分别为𝐴1𝐵和AC上的点，且𝐴1𝑀=𝐴𝑁=√23𝑎，则MN与平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶的位

置关系是()A.斜交B.平行C.垂直D.不能确定8.设曲线𝑦=𝑥2+1上任一点(𝑥,𝑦)处的切线的斜率为𝑔(𝑥)，则函数𝑦=𝑔(𝑥)cos𝑥的部分图象可以为()A.B.C.D.9.已知抛物线C：𝑥=4𝑦2的焦点为F，若斜率为18的直线l过点F，且与抛物线C交于

A，B两点，则线段AB的中点到准线的距离为()A.658B.654C.12916D.129810.已知𝐹1，𝐹2是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠𝐹1𝑃𝐹2=60°，则椭圆离心率e的取值范围是()A.[√22,1)B.(0,√

22)C.[12,1)D.[12,√22)11.已知函数𝑓(𝑥)=√2sin(𝑥+𝜋4)，𝑓1(𝑥)=𝑓′(𝑥)，𝑓2(𝑥)=𝑓1′(𝑥)，𝑓3(𝑥)=𝑓2′(𝑥)，…，依此类推，𝑓2020(𝜋4)=(

)A.√2B.−√2C.0D.±√212.某市响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行大力整治．目前该市的空气质量位于全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一

个旅游团于近期来到该市的国家森林湿地公园．数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数𝑓(𝑥)=12ln𝑥−𝑥+𝑥𝑥2+144(4≤𝑥≤22)，其中x为每天的时刻，则当x等于多少时，该时刻的空气质量指数最

高()A.10B.11C.12D.13二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，在空间四边形OABC中，𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎⃗⃗，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑐⃗，点M

在OA边上，且𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗，N为BC的中点，则𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=________(用𝑎⃗⃗,𝑏⃗,𝑐⃗表示)．14.曲线𝑦=𝑒𝑥，𝑦=𝑒−𝑥及𝑥

=1所围成的图形的面积为________．15.已知定点𝐴(−2,√3)，F是椭圆𝑥216+𝑦212=1的右焦点，在椭圆上求一点M，使取得最小值时M点的坐标__________16.已知定义域为R的奇函数𝑦=𝑓(𝑥)的导函数为𝑦=𝑓′

(𝑥)，当𝑥≠0时，𝑓′(𝑥)+𝑓(𝑥)𝑥>0，若𝑎=12𝑓(12)，𝑏=−2𝑓(−2)，𝑐=(ln12)𝑓(ln12)，则a，b，c的大小关系正确的是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.数列{𝑎�

�}中，𝑎𝑛=1𝑛(𝑛+1)，前n项的和记为𝑆𝑛．(1)求𝑆1,𝑆2,𝑆3的值，并猜想𝑆𝑛的表达式；(2)请用数学归纳法证明你的猜想．18.分别根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)右焦点为𝐹(√5,0)，离心率𝑒=√52；(2)双曲线的一条渐近线方程为

𝑦=√52𝑥，且双曲线与椭圆𝑥212+𝑦23=1有公共焦点．19.如图(1)所示，在△𝐵𝐶𝐷中，AD是BC边上的高，且∠𝐴𝐶𝐷=45°，𝐴𝐵=2𝐴𝐷，E是BD的中点．现沿AD进行翻折，使得平面𝐴𝐶𝐷⊥平面ABD，得到的

图形如图(2)所示．(Ⅰ)求证：𝐴𝐵⊥𝐶𝐷；(Ⅱ)求直线AE与平面BCE所成角的正弦值．20.(1)已知𝑝:4−2𝑥≥0，𝑞:1𝑥+1<0，若𝑝∧¬𝑞为真命题，求x的取值范围;(2)设𝑝:2𝑥2−3𝑥+1≤0，𝑞:(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑎−1)

≤0，若¬𝑞是¬𝑝的充分不必要条件，求实数a的取值范围．21.已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥−𝑎2𝑥2+𝑎𝑥(𝑎∈R).(1)当𝑎=1时，求函数𝑓(𝑥)的最值；(2)若函数𝑓(𝑥)在区间[1,+∞)上是减函数

，求实数a的取值范围．22.已知抛物线𝑦2=4𝑥的焦点为椭圆𝐶：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的右焦点F，点B为此抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|𝐵𝐹|=53．(Ⅰ)求

椭圆C的方程；(Ⅱ)过点F作两条互相垂直的直线𝑙1,𝑙2，直线𝑙1与椭圆C交于𝑃,𝑄两点，直线𝑙2与直线𝑥=4交于点T，求|𝑇𝐹||𝑃𝑄|的取值范围．2020—2021学年第一学期高二数学（理科）期末考试答案一、选择题（本大题共12小题，共

60.0分）1.【答案】B【解析】解：复数𝑎+𝑏𝑖是纯虚数，则{𝑎=0𝑏≠0，.∴“𝑎=0”是“复数𝑎+𝑏𝑖是纯虚数”的必要不充分条件．故选：B复数𝑎+𝑏𝑖是纯虚数，则{𝑎=0�

�≠0，即可判断出结论．本题考查了纯虚数的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由题意可知，丙至少有一个科目达到优秀，又因为丙说：乙达到优秀的科目比我多，所以乙至少有两个科目达到优秀，因为乙说：我的英语没有达到优秀，所以乙确定有两个科

目达到优秀，所以丙只有一个科目达到优秀，故选：C．由题意可知，丙至少有一个科目达到优秀，乙至少有两个科目达到优秀，又乙说：我的英语没有达到优秀，所以乙确定有两个科目达到优秀，丙只有一个科目达到优秀，本题主要考查了简单

的合情推理，是基础题．3.【答案】A【解答】解：由题意，可得𝐹𝑂=2，故𝑐=2，不妨设渐近线方程为𝑦=𝑏𝑎𝑥，则𝐴(𝑎,𝑏)，故22=𝑏2+(2−𝑎)2，①由𝑐2=𝑎2+𝑏2=4，②由①②，解得𝑎=1

，𝑏=√3，即有双曲线的方程为𝑥2−𝑦23=1，故选A．4.【答案】B【解答】解：①𝑦′=3𝑥2≥0恒成立，所以函数在R上递增，无极值点②𝑦′=2𝑥，当𝑥>0时函数单调递增；当𝑥<0时函数单调

递减且𝑦′|𝑥=0=0②符合③结合该函数图象可知在(0,+∞)递增，在(−∞,0]递减，③符合④𝑦=2𝑥在R上递增，无极值点故选：B．5.【答案】D【解析】【解答】解：函数𝑓(𝑥)=log2(𝑥2−2𝑥−3)的定义域为：(−∞,−1)∪(3,+∞)，故

命题p“函数𝑓(𝑥)=log2(𝑥2−2𝑥−3)在(1,+∞)上单调递增”，为假命题；令𝑥+1=0，则𝑥=−1，𝑎𝑥+1−1=0，故函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+1−1的图象恒过(−1,0)点，故命题q“函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+1−1的图象恒过(0,0)点

”，为假命题；则𝑝∧𝑞，𝑝∨𝑞，𝑝∧(¬𝑞)均为假命题；(¬𝑝)∨𝑞为真命题，故选：D．6.【答案】C【解答】解：𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1−𝑥,2𝑥−3,−3𝑥+3)，则|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=√(1−𝑥)2+(2𝑥−3)2+(−3𝑥+3)2=√14𝑥2

−32𝑥+19=√14(𝑥−87)2+57，故当𝑥=87时，|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|取最小值，7.【答案】B【解答】解：设𝐴1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎⃗⃗，𝐴1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，𝐴1𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑐⃗由题意，知𝐴1𝐵=𝐴𝐶=√2

𝑎．又𝐴1𝑀=𝐴𝑁=√23𝑎，∴𝐴1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(𝑎⃗⃗+𝑏⃗)，𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=13(𝑏⃗+𝑐⃗)，则𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴1𝐴⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗+𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎⃗⃗+13(𝑏⃗+𝑐⃗)−13(𝑎⃗⃗+𝑏⃗)=23𝑎⃗⃗+13𝑐⃗，因此，𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗与𝐴1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴1𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗共面，∴𝑀𝑁//平面𝐴𝐴1𝐷1

𝐷，从而𝑀𝑁//平面𝐵𝐵1𝐶1C.8.【答案】A【解答】解：𝑔(𝑥)=2𝑥，𝑔(𝑥)⋅𝑐𝑜𝑠𝑥=2𝑥⋅𝑐𝑜𝑠𝑥，𝑔(−𝑥)=−𝑔(𝑥)，cos(−𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥，

∴𝑦=𝑔(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥为奇函数，故排除B、D．令𝑥=0.1，𝑦=𝑔(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥>0．故排除C．故选A．9.【答案】A解：抛物线C：𝑥=4𝑦2，即𝑦2=14𝑥，可

得准线方程为：𝑥=−116，焦点𝐹(116,0)，过点𝐹(116,0)且斜率18的直线l：𝑦=18(𝑥−116)，由题意可得：{𝑥=4𝑦2𝑦=18(𝑥−116)，可得𝑥2−1298𝑥+1256=0，直线l与抛物线C相交于A、B两点，则线段AB的中点的横坐标为：129

16，则线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为：12916+116=658．故选：A．求出抛物线的标准方程，然后求解准线方程，求出线段AB的中点的横坐标，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．10.【答案】C【解答】解：如

图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠𝐹1𝑃𝐹2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点𝑃0处时，张角∠𝐹1𝑃𝐹2达到最大值．由此可得：∵存在点P为椭圆上一点，使得∠𝐹1𝑃𝐹2=60°，∴

△𝑃0𝐹1𝐹2中，∠𝐹1𝑃0𝐹2≥60°，可得𝑅𝑡△𝑃0𝑂𝐹2中，∠𝑂𝑃0𝐹2≥30°，所以𝑃0𝑂≤√3𝑂𝐹2，即𝑏≤√3𝑐，其中𝑐=√𝑎2−𝑏2∴𝑎2−𝑐2≤3𝑐2，可

得𝑎2≤4𝑐2，即𝑐2𝑎2≥14∵椭圆离心率𝑒=𝑐𝑎，且𝑎>𝑐>0∴12≤𝑒<1故选C．11.【答案】A【解析】解：函数𝑓(𝑥)=√2sin(𝑥+𝜋4)=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥，∴𝑓1(𝑥)=𝑓′(𝑥)=𝑐�

�𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑓2(𝑥)=𝑓1′(𝑥)=−𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥，𝑓3(𝑥)=𝑓′2(𝑥)=−𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑓4(𝑥)=𝑓′3(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥𝑓5(𝑥)=𝑓4′(�

�)=𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥，…，即𝑓𝑛(𝑥)是周期为4的周期函数，则𝑓2020(𝑥)=𝑓4(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥，所以𝑓2020(𝜋4)=𝑓4(𝜋4)=sin𝜋4+cos𝜋4=√2，故选：A．利用两角和的正弦公式将函

数化简，求函数的导数，判断函数的周期，利用函数的周期进行计算即可．本题主要考查导数的计算，根据函数的导数公式判断函数的周期是解决本题的关键．12【答案】C【解答】解：由题意，得𝑓⬚′(𝑥)=12𝑥−1+144−𝑥2(𝑥2+144)2=(12−𝑥)[1𝑥+12+𝑥(𝑥2+

144)2]，当𝑥∈[4,12)时，𝑓′(𝑥)>0，当𝑥∈(12,22]时，𝑓′(𝑥)<0，故𝑥∈[4,12)时，𝑓(𝑥)递增；𝑥∈(12,22]时，𝑓(𝑥)递减所以当𝑥=12时，𝑓(𝑥)

取得最大值，所以此时刻的空气质量指数最高．故选C．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.【答案】−23𝑎⃗⃗+12𝑏⃗+12𝑐⃗【解析】解：∵𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎⃗⃗，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑐⃗，𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗=2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗，N为BC的中点，∴𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+12(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=−23𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+12𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12𝑂𝐶⃗⃗⃗

⃗⃗=−23𝑎⃗⃗+12𝑏⃗+12𝑐⃗．故答案为−23𝑎⃗⃗+12𝑏⃗+12𝑐⃗．14.【答案】𝑒+1𝑒−2【解答】解：作出图形，如图所示．所以．故答案为𝑒+1𝑒−2．15.【答案】(−2,3)【解答】解

：显然椭圆𝑥216+𝑦212=1的𝑎=4，𝑐=2，𝑒=12，设左焦点为𝐹′(−2,0),由椭圆的定义可知|𝑀𝐹|+|𝑀𝐹′|=2𝑎=8,故|𝑀𝐹|=8−|𝑀𝐹′|,|𝐴𝑀|+|𝑀𝐹|=|𝐴𝑀|−|𝑀

𝐹′|+8⩾8−|𝐴𝐹′|,当A，M，𝐹′在同一条直线上且M在第二象限时，|𝐴𝑀|+|𝑀𝐹|取得最小值，令𝑥=−2代入椭圆方程得𝑦=±3，由于M在第二象限，故𝑀(−2,3)故答案为：(−2,3)．16.【答案】𝑎<𝑐<𝑏【解析】解：∵定义域为R的奇

函数𝑦=𝑓(𝑥)，∴𝐹(𝑥)=𝑥𝑓(𝑥)为R上的偶函数，𝐹′(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑥𝑓′(𝑥)∵当𝑥≠0时，𝑓′(𝑥)+𝑓(𝑥)𝑥>0，∴当𝑥>0时，𝑥⋅𝑓′(𝑥)+𝑓(𝑥)>0，当𝑥<0时，𝑥⋅𝑓′(𝑥)+𝑓(𝑥)<0，

即𝐹(𝑥)在(0,+∞)单调递增，在(−∞,0)单调递减．𝐹(12)=𝑎=12𝑓(12)=𝐹(ln√𝑒)，𝐹(−2)=𝑏=−2𝑓(−2)=𝐹(2)，𝐹(ln12)=𝑐=(ln12)𝑓(ln12)

=𝐹(𝑙𝑛2)，∵ln√𝑒<𝑙𝑛2<2，∴𝐹(ln√𝑒)<𝐹(𝑙𝑛2)<𝐹(2)．即𝑎<𝑐<𝑏．故答案为：𝑎<𝑐<𝑏．根据式子得出𝐹(𝑥)=𝑥𝑓(𝑥)为R上的偶函数，利用𝑓′(𝑥)+𝑓(𝑥)�

�>0，当𝑥>0时，𝑥⋅𝑓′(𝑥)+𝑓(𝑥)>0，当𝑥<0时，𝑥⋅𝑓′(𝑥)+𝑓(𝑥)<0，判断单调性即可证明a，b，c的大小．本题考查了导数在函数单调性的运用，根据给出的式子，得出需要的函数，运用导数判

断即可，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.【答案】解(1)∵𝑎𝑛=1𝑛(𝑛+1)，∴𝑆1=𝑎1=12,𝑆2=𝑎1+𝑎2=𝑆1+𝑎2=23,𝑆3=𝑆2+𝑎3=34,∴猜想𝑆𝑛=𝑛�

�+1;(2)证明：①当𝑛=1时，𝑆1=𝑎1=12，猜想成立；②假设当𝑛=𝑘时，猜想成立，即：𝑆𝑘=𝑘𝑘+1；∴当𝑛=𝑘+1时，𝑆𝑘+1+𝑎𝑘+1=𝑘𝑘+1+1(𝑘+1)(𝑘+2)=(𝑘+1)2(𝑘+1)(𝑘+2)=𝑘+1𝑘+2=(𝑘+1)

(𝑘+1)+1，∴𝑛=𝑘+1时猜想成立，∴由①、②得猜想𝑆𝑛=𝑛𝑛+1成立．【解析】本题主要考查数列的递推公式及数列求和，以及数学归纳法，是基础题．(1)根据𝑎𝑛=1𝑛(𝑛+1)，可求𝑆1，𝑆2，𝑆3的值，进而猜想𝑆𝑛的表达式；(2)由(1)

猜想𝑆𝑛的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明即可．18.【答案】解：(1)∵右焦点为𝐹(√5,0)，∴双曲线的焦点在x轴上，且𝑐=√5．又离心率𝑒=𝑐𝑎=√52，∴𝑎=2，𝑏2=𝑐2−𝑎2=1，∴所求双曲线的标准方程为𝑥24−

𝑦2=1．解：(2)设双曲线的方程是𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)，∵双曲线的一条渐近线方程是𝑦=√52𝑥，∴𝑏𝑎=√52①.再根据椭圆的方程可知，双曲线的焦点是(−3,0)和(3,0)，∴双曲线方程中的𝑐=3，∴𝑎2+𝑏2=9②．解①

②得𝑎2=4，𝑏2=5，∴所求双曲线的标准方程为𝑥24−𝑦25=1．【解析】(1)本题考查双曲线标准方程的求法，根据双曲线的焦点在x轴上，且𝑐=√5，然后根据离心率求出结果，属于基础题．(2)本题考查椭圆的标准方程和双曲线标准方程的求法，根据渐

近线可得𝑏𝑎=√52，然后根据椭圆的焦点即可求出双曲线的焦点，即可求出结果，属于基础题．19.【答案】证明：(Ⅰ)由图(1)可知，在图(2)中𝐴𝐶⊥𝐴𝐷，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，∵平面𝐴𝐶𝐷⊥平面ABD，平面𝐴𝐶𝐷∩平面𝐴𝐵𝐷=𝐴𝐷，𝐴𝐵⊂平面ABD

，∴𝐴𝐵⊥平面ACD，∵𝐶𝐷⊂平面ACD，∴𝐴𝐵⊥𝐶𝐷．解：(Ⅱ)由(Ⅰ)可知𝐴𝐵⊥平面ACD，𝐴𝐶⊂平面ACD，∴𝐴𝐵⊥𝐴𝐶．以A为原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设𝐴𝐶=1，则𝐵(0,2，

0)，𝐶(1,0，0)，𝐷(0,0，1)，𝐸(0,1,12)，∴𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,12)，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−2,0)，𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−1,12)．设平面BCE的法向量为𝑛⃗⃗=

(𝑥,𝑦,𝑧)，则{𝑛⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛⃗⃗⋅𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=0，即{𝑥−2𝑦=0−𝑦+12𝑧=0,令𝑦=1，得𝑥=2，𝑧=2，则𝑛⃗⃗=(2,1,2)是平面BCE的一个法向量．设直线AE与平面BCE所成角为𝜃，则，故直线AE与平面BCE所成角的正弦

值为4√515．【解析】本题主要考查了面面垂直和线面垂直的性质，考查了利用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题．(Ⅰ)根据已知可得𝐴𝐶⊥𝐴𝐷，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，因为平面𝐴𝐶𝐷⊥平面ABD，根据面面垂直的性质，可得𝐴𝐵⊥平面ACD，再根据线面垂直的性

质，即可得到𝐴𝐵⊥𝐶𝐷；(Ⅱ)正确建立空间直角坐标系，求出向量𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,12)，再求出平面BCE的法向量𝑛⃗⃗=(2,1,2)，故直线AE与平面BCE所成角的正弦值即可得．20.【答案】解：(1)𝑝:4−2𝑥≥0，即𝑥

≤2;𝑞:1𝑥+1<0，即𝑥<−1．当𝑝∧¬𝑞为真命题时，有{𝑥≤2𝑥≥−1，所以x的取值范围是[−1,2]．(2)𝑝:2𝑥2−3𝑥+1≤0，即12≤𝑥≤1;𝑞:(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑎−1)≤0，即𝑎≤𝑥≤𝑎+1．因为¬𝑞是¬𝑝的充分不必要条件，所以p是q的

充分不必要条件．则有[12,1]⫋[𝑎,𝑎+1]，所以{𝑎≤12𝑎+1>1或{𝑎<12𝑎+1≥1，解得0≤𝑎≤12，即实数a的取值范围是[0,12].【解析】本题考查了复合命题及其真假和充分必要条件的判定，属基础题．(1)根据

复合命题的真值表知：p真q假；由此求出x的取值范围；(2)非q是非p的充分不必要条件，等价于p是q的充分不必要条件，等价于p是q的真子集．21.【答案】解：(1)当𝑎=1时，𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥−𝑥2+𝑥，其定义域是(0,+∞)，---------

(1分)∴𝑓′(𝑥)=1𝑥−2𝑥+1=−2𝑥2−𝑥−1𝑥-------------------(2分)令𝑓′(𝑥)=0，即−2𝑥2−𝑥−1𝑥=0，解得𝑥=−12或𝑥=1．∵𝑥>0，∴𝑥=−12舍去．当0<𝑥<1时

，𝑓′(𝑥)>0；当𝑥>1时，𝑓′(𝑥)<0．∴函数𝑓(𝑥)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减∴当𝑥=1时，函数𝑓(𝑥)取得最大值，其值为𝑓(1)=𝑙𝑛1−12+1=0.---(6分)

(2)法一：因为𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥−𝑎2𝑥2+𝑎𝑥其定义域为(0,+∞)，所以𝑓′(𝑥)=1𝑥−2𝑎2𝑥+𝑎=−2𝑎2𝑥2+𝑎𝑥+1𝑥=−(2𝑎𝑥+1)(𝑎𝑥

−1)𝑥①当𝑎=0时，𝑓′(𝑥)=1𝑥>0，∴𝑓(𝑥)在区间(0,+∞)上为增函数，不合题意----------(8分)②当𝑎>0时，𝑓′(𝑥)<0(𝑥>0)等价于(2𝑎𝑥+1)(𝑎𝑥−1)>0(𝑥>0)，即𝑥>1𝑎．此时𝑓(𝑥)

的单调递减区间为(1𝑎,+∞)．依题意，得{1𝑎≤1𝑎>0.解之得𝑎≥1.-------------------(12分)③当𝑎<0时，𝑓′(𝑥)<0(𝑥>0)等价于(2𝑎𝑥+1)(𝑎𝑥−1)>0(𝑥>0)，即𝑥>12𝑎⋅此时𝑓(𝑥)的

单调递减区间为(−12𝑎,+∞)，∴{−12𝑎≤1𝑎<0.得𝑎≤−12(14分)综上，实数a的取值范围是(−∞,−12]∪[1,+∞)-----------(16分)法二：∵𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥−𝑎2𝑥2+𝑎𝑥，𝑥∈(0,+∞)∴𝑓′(𝑥

)=−2𝑎2𝑥2+𝑎𝑥+1𝑥由𝑓(𝑥)在区间(1,+∞)上是减函数，可得−2𝑎2𝑥2+𝑎𝑥+1≤0在区间(1,+∞)上恒成立．--------------8分①当𝑎=0时，1≤0不合题意---

-------------------------------10②当𝑎≠0时，可得{14𝑎<1𝑓(1)≤0即{𝑎>14或𝑎<0−2𝑎2+𝑎+1≤0∴{𝑎>14或𝑎<0𝑎≥1或𝑎≤−12-----------14分∴𝑎∈(−∞,−12]∪[1,+∞)-------

---------------------------16分【解析】(1)把𝑎=1代入函数，利用导数判断出函数的单调性，进而可求出函数𝑓(𝑥)最大值；(2)对参数a进行讨论，然后利用导数𝑓′(𝑥)≤0(注意函数的定义域)来解答，方

法一是先解得单调减区间A，再与已知条件中的减区间(1,+∞)比较，即只需要(1,+∞)⊆𝐴即可解答参数的取值范围；方法二是要使函数𝑓(𝑥)在区间(1,+∞)上是减函数，我们可以转化为𝑓′(𝑥)≤0在

区间(1,+∞)上恒成立的问题来求解，然后利用二次函数的单调区间于对称轴的关系来解答也可达到目标．本题以函数为载体，综合考查利用函数的导数来解决有关函数的单调性、最值等问题的能力，考查已知函数的单调性的条件下怎样求解参数

的范围问题，考查分类讨论，函数与方程，配方法等数学思想与方法．22.【答案】解：(Ⅰ)由𝑦2=4𝑥得其焦点坐标是𝐹(1,0)，设𝐵(𝑥0,𝑦0)，(𝑥0>0,𝑦0>0)，则|𝐵𝐹|=𝑥0+1=53，解得：𝑥0=23，∴𝑦02=4×23=83，由点

B在椭圆C上，得𝑥02𝑎2+𝑦02𝑏2=1，即49𝑎2+83𝑏2=1，又𝑎2=𝑏2+1，解得：𝑎2=4，𝑏2=3，∴椭圆C的方程是𝑥24+𝑦23=1；(Ⅱ)设直线PQ的方程为𝑥=

𝑚𝑦+1，𝑃(𝑥1,𝑦1)，𝑄(𝑥2,𝑦2)，由{𝑥=𝑚𝑦+1𝑥24+𝑦23=1，得(3𝑚2+4)𝑦2+6𝑚𝑦−9=0，则△=36𝑚2+36(3𝑚2+4)>0，𝑦1+𝑦2=−6𝑚3𝑚2+4，𝑦1𝑦2=−93𝑚2+4，∴|𝑃𝑄|=√1+�

�2|𝑦1−𝑦2|=√1+𝑚2√(−6𝑚3𝑚2+4)2−4⋅−93𝑚2+4=12(𝑚2+1)3𝑚2+4，当𝑚≠0时，直线FT的方程为𝑦=−𝑚(𝑥−1)，由{𝑥=4𝑦=−𝑚(𝑥−1)，得𝑥=4，𝑦=−3𝑚，即𝑇(4,−3𝑚)，∴|

𝑇𝐹|=3√1+𝑚2，∴|𝑇𝐹||𝑃𝑄|=3√1+𝑚21+𝑚2⋅3𝑚2+412=14(3√𝑚2+1+1√𝑚2+1)，设𝑡=√𝑚2+1，则𝑡>1，则|𝑇𝐹||𝑃𝑄|=34𝑡+14𝑡，应用𝑦=34𝑡+1

4𝑡在(1,+∞)递增，则|𝑇𝐹||𝑃𝑄|>1，当𝑚=0时，PQ的中点是F，𝑇(4,0)，则|𝑇𝐹|=3，|𝑃𝑄|=3，∴|𝑇𝐹||𝑃𝑄|=1，综上，|𝑇𝐹||𝑃𝑄|≥1，故|𝑇𝐹||

𝑃𝑄|的取值范围是[1,+∞)．【解析】本题考查了求椭圆的方程问题，考查直线和圆的位置关系以及不等式的应用，是一道综合题．(Ⅰ)得出B的坐标，带入椭圆的方程，求出𝑎2，𝑏2的值，求出椭圆方程即可；(Ⅱ)设直线PQ的方程为𝑥=𝑚𝑦+1，𝑃(𝑥1

,𝑦1)，𝑄(𝑥2,𝑦2)，联立方程组，得到(3𝑚2+4)𝑦2+6𝑚𝑦−9=0，表示出|𝑇𝐹||𝑃𝑄|，求出其范围即可．