【文档说明】山东省临朐县实验中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题含答案.doc，共(11)页，1.163 MB，由管理员店铺上传

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数学试题一、单选题1．196是A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．已知向量()1,3a→=，()1,bm→=−，且//ab→→，则m=（）A．3B．3−C．13D．13−3．已知tan3=，则3sincos2

+=（）A．110−B．110C．14−D．144．如果函数()cos2yx=+的图像关于点,06对称，那么的最小值为（）A．12B．6C．3D．235．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3a=，2b=，sincos6cAaC

=+，则c=（）A．1B．13C．4D．136．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若//m，n//，//，则//mnB．若//m，n/

/，mn⊥，则⊥C．若m⊥，⊥，n//，则mn⊥D．若m⊥，//mn，n⊥，则//7．球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣弧长，称为测地线．已知正三棱锥SABC−

，侧棱长为2，底面边长为3，设球O为其外接球，则球O对应的球面上经过S，A两点的测地线长为（）A．3B．2C．23D．48．已知P是ABC所在平面内的一动点且满足sinsinCBAPABACABAC=+，则动点F的轨迹一定通过ABC

的（）A．重心B．内心C．外心D．垂心二、多选题9．下列命题正确的是（）A．PAACPBBC→→→→+−=B．若3ABCD→→=，则A，B，C，D四点共线C．任意向量a→，3aaaa→→→→=D．若向量a→，b→满足abab→

→→→=，则a→，b→共线10．下列等式正确的是（）A．1sin15cos152=B．22tan22.511tan22.5=−C．443cos15sin152−=D．22cos2013sin502−=−11．若

复数21iz=+，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是A．的虚部为1−B．|2|z=C．2z为纯虚数D．的共轭复数为1i−−12．下列结论正确的是（）A．在ABC中，若AB，则sinsinABB．在锐角三角形ABC中，不等式2220bca+−恒成立C．在ABC中，若coscosaBbAc−

=，则ABC是直角三角形D．在ABC中，若360bA==，，三角形面积33S=，则三角形的外接圆半径为133三、填空题13．设向量1e，2e为单位正交基底，若122aee=−，12beke=+，且ab⊥，则k=______．14．在ABC中，已知3C=，若52CBCA=，则ABC的面积为

______．15．现有一个圆锥形礼品盒，其母线长为30cm，底面半径为10cm，从底面圆周上一点A处出发，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到A点，则所用金色彩线的最短长度为______cm．16．已知函数()1sinsin34fxxx=+−的定义域为(),mnmn，

值域为11,24−，则nm−的取值范围为___________________．四、解答题17．已知平面向量,,ab，且||1a=，||2b=，且a与b的夹角为3.（1）求|2|ab+；（2

）若3ab−与()abR+∈垂直，求的值.18．在ABC中，内角,,ABC的对面分别为,,abc，且满足3cossinbCcB=.（1）求C；（2）若5,7ac==，求b及ABC的面积.19．已知复

数2i(03)zaa=+，且是关于x的方程2450xx−+=的一个根．（1）求及zz；（2）若复数0z满足01||zz，则在复平面内0z对应的点0Z的集合是什么图形？并求出该图形的面积．20．如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝

60°，OA＝72cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面).试求：(1)AD的长；com(2)容器的容积．参考公式：1122

1()3VhSSSS=++21．已知函数()2sin23fxx=+，0,2x．（1）求函数()fx的单调区间；（2）若函数()()1gxfx=+−在0,2上有两个零点，求实数的取值范围．22．如图，某小区有一空地，要规划设计成矩形ABCD，A

Ca=米，拟在ACD和ACB两个区域内各自内接一个正方形PQMN和正方形1111PQMN用作喷泉水池，并且这两个正方形恰好关于线段AC的中点成中心对称，为了美观，矩形ABCD区域除了喷泉水池其余都种植鲜花．设1S表示矩形ABCD的面积，2S表示两个喷泉水池的面积

之和，02ACB=，现将比值12SS称为“规划指数”，请解决以下问题：（1）试用表示1S和2S；（2）当变化时，求“规划指数”取得最小值时角的大小．数学参考答案1．C由题195466=−，所以其终边在第三象限.2．B解：因为向量()1,3a→=，(

)1,bm→=−，且//ab→→，所以()310m−−=，解得3m=−.3．因为tan3=所以222223cos11sincoscos2sincostan110+=−=−=−=−++故选：A4．由题意，3cos()0+=

，则32k+=+，解得6k=+()kZ，∴当0k=时，的最小值为6.故选：B5．因为sincos6cAaC=+，由正弦定理得sinsinsincos6CAAC=+，又A是三角形内角，sin0A

，所以31sincos()coscossinsincossin66622CCCCCC=+=−=−，31sincos022CC−=，sin()06C−=，又(0,)C，所以06C−=，6C=．所以222cos34232cos16cababC=+−=+

−=．故选：A．6．DA：若//m，n//，//，则,mn平行或异面，错误；B：若//m，n//，mn⊥，则,垂直或平行，错误；C：若m⊥，⊥，n//，则,mn可能平行、异面、相交，错误；D：若m⊥，//mn，n⊥，则//，正确.7．设点D是点S在平面AB

C上的投影，则DADBDC==，点O在直线SD上，设球O的半径为R因为3,2ABBCACSA====所以3,1ADSD==，所以在直角AOD△中()2231RR=+−，解得2R=所以2OAOSSA===，所

以3AOS=球O对应的球面上经过S，A两点的测地线长为2233=故C8．A作ADBC⊥交BC与D点，不妨设AE的底边BC上的中线，所以sinADCAC=，sinADBAB=所以sinsinADA

DCBAPABACABACABACACABACAB=+=+()ADABACACAB=+，因为()12ABACAE+=，则动点F的轨迹一定通过ABC的重心，9．A.PAACPBPAPBACBAACBC→→→→→→→→→+−=−+=+=,所以该选项正确；B.若3ABCD→→=，则A，B，C，

D四点不一定共线，所以该选项错误；C.任意向量a→，2()aaaaa→→→→→=，所以该选项错误；D.若向量a→，b→满足abab→→→→=，则cosababab→→→→→→==，所以cos=1，所以两向量的夹角为零度，所以a→，b→共线，所以该选项正

确.故选：AD10．解：对于A选项，11sin15cos15sin3024==，故错误；对于B选项，22tan22.5tan4511tan22.5==−，故正确；对于C选项，()()442222223cos15sin15cos15

sin15cos15sin15cos15sin15cos302−=−+=−==，故正确；对于D选项，21cos403cos403sin5022cos2012223sin503sin503sin5

03sin502+−−−−====−−−−，故正确；故选：BCD11．因为()()()2122211i1i12iizii−−====−++−，对于A：的虚部为1−，正确；对于B：模长2z=，正确；对于C：因为22(1)2zii=−=−，故2

z为纯虚数，正确；对于D：的共轭复数为1i+，错误.故选：ABC.12．对于A，在ABC中，由ABab，利用正弦定理得2sin2sinsinsinRARBAB，故A正确.对于B，由锐角三角形知02A，则222cos02bcaAbc+−=，2220bca+−，故B正确.对于

C，由coscosaBbAc−=，利用正弦定理得sincossincossinABBAC−=，即()()sinsinABAB+=−，故ABAB++−=，即2A=，则ABC是直角三角形，故C正确.对于D，113sin333222Sb

cAc===，解得4c=，利用余弦定理知22212cos916234132abcbcA=+−=+−=，所以13a=，又因为132239132sin6033R===，393R=，故D错误.故选：ABC13．2因为向量1e，2e为单位正交基底，122aee=−，12

beke=+，ab⊥所以()()121220eeeke−+=，即()2211222210ekeeke+−−=所以20k−=，即2k=14．534解：因为3C=，52CBCA=，所以5cos32CBCA=，得5CBC

A=，所以111353sin5sin5223224ABCSCBCAC====，15．303解:如图，将圆锥展开，由题可知最短距离为'AA，因为圆锥形礼品盒，其母线长为30cml=，底面半径为10cmr=，设'ASA=，所以'2AArl==

，即23=，所以在等腰三角形'ASA中，取'AA中点B，则ABS为直角三角形，且30,60SABASB==，30AS=，所以3sin301532ABASASB===，所以'2303AAAB==.故答案为：30316．2,33

()1131sinsinsinsincos34224fxxxxxx=+−=+−2131311sinsincossin2cos2sin22244426xxxxxx=+−=−=−，因为值域为11,24

−，所以1sin21,62x−−，722,2666xkk−−++，(),26xkkkZ−++，则2623kk+−−+=，nm−的最大值为23，当n

m−最小时，2266nk−=+，2262mk−=−+，此时3nm−=，故nm−的取值范围为2,33，17．解：（1）因为2,ab==a与b的夹角为3，所以cos3abab=121.2==所以22|2|

(2)abab+=+2244aabb=++=++=所以21ab+=（2）因为abab(−)(+)⊥，所以=0abab(−)(+)，所以2210aabb+(−)−=，所以10+(−)−=，即20

−=，故2=.18．（1）因为3cossinbCcB=，由正弦定理得3sincos=sinsinBCBC，因为0B，所以sin0B，且易知cos0C所以tan3C=，又0C，所以3C=.（2）由（1）知

3c=，所以在ABC中，由余弦定理得，2227525cos3bb=+−，即25240bb−−=，因为0b，解得8b=，所以113sin58103222ABCSabC===△.18．（1）因是关于x的方程2

450xx−+=的一个根，则2(2i)4(2i)50aa+−++=，化简整理得210a−=，而0<<3a，解得1a=，所以2iz=+，22i(2i)34i2i(2i)(2i)55zz−−===−++−；（2）复数0z满足01||zz，由(1)得015z，于是

得在复平面内复数0z对应的点0Z的集合是以原点为圆心，1和5为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界，该图形的面积221][(5)4S=−=.19、(1)设圆台上、下底面半径分别为r、R，AD＝x，则OD＝72－x，由题意得

2πR＝60·π180×7272－x＝3R，∴R＝12x＝36.即AD应取36cm.(2)∵2πr＝π3·OD＝π3·36，∴r＝6cm，圆台的高h＝x2－(R－r)2＝362－(12－6)2＝635.∴V＝13π

h(R2＋Rr＋r2)＝13π·635·(122＋12×6＋62)＝50435π(cm3)．即容器的容积为50435πcm3.21．（1）令222232kxk−+++，解得()51212kxkkZ−+

+，令3222232kxk+++，解得()71212kxkkZ++，故函数()fx在0,12上单调递增，在,122上单调递减.（2）()()12

sin2213gxfxx=+−=++−，令()0gx=，则2sin22103x++−=，1sin2232x++=，故22236xk++=+或522236xk++=+，解得()12kxkZ−+−

=或()4kZxk+−=，因为在0,2上有两个零点，所以01242kk−−+−+，解得412kk−+−+，故实数的取值范围为(),412kkkZ

−+−+.22．解：（1）设正方形PQMN的边长为x米，则tanxAQ=，MCxtan=，ADacos=，CDasin=而ACAQQMMC=++，即tanxaxxtan=++，解得11tantanax=++，而221sinco

ssin2022aSADCDa===2222222sin2220sin22211tantanaSxa===+++（2）()2122sin221sin2114sin24044sin24

sin22sin2sin22SS+===+++令202tsin=（），记()44,(0,1]ftttt=++，由“对勾”函数图像得：∴(

)ft在(0,1]单调递减，∴当1t=时，即4=时，12SS有最小值，最小值为94.