【文档说明】2020年全国普通高等学校统一招生考试试验检测卷2数学（理科）答案.pdf，共(9)页，648.897 KB，由小赞的店铺上传

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2020年高考数学理科试验检测卷2答案(本卷共9页)12020年全国普通高等学校统一招生考试数学理科试验检测卷2答案参考答案及评分标准今年全国普通高等学校统一招生考试数学卷，会保持2019年的命题惯性，其考查内容和考查要求遵循高考评价体系中“一核”“四层”“四翼”的原则，

命题会逐步向文理合卷方向过渡，在考查基础知识的大前提下，会更加注重对数学素养导向、思想方法和数学能力的考查.展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、一般性、综合应用性和创新性，重视试题间的层次性，合理调控创新题与综合题难度，坚持基础性、多角度、多方面、多层次考查.

实现全面考查考生的数学素养要求.试卷全面覆盖中学教学的主干内容，区分度更加合理，试卷具有较好的信度、效度和区分度，更加科学和人性化，与时俱进，平中见奇,稳中求新,新中有度.试卷的命制充分发挥其在实现考生健康成长，国家选材、社会公平三者有机统一作用.一．单

选题详解1.A【命题立意】本题考查的是复数的代数表示形式，复数模的基本概念也考查了考生的基本运算能力.试题精准地体现了新课标对复数这部分内容的要求，面向全体考生，注重考查基础知识，增强了考生的考试信心.试题难度：易.【解析】∵𝐳=(i−1)2+4𝟏+𝐢=𝟒−𝟐𝐢𝟏+𝐢=(𝟒−

𝟐𝐢)(𝟏−𝐢)(𝟏+𝐢)(𝟏−𝐢)=𝟏−𝟑𝐢,|𝐳|=|1−3i|=√12+(−3)2=√10,故选A.2.B【命题立意】本题考查的是集合相关概念和分类讨论思想，试题题干简洁，注重考查基础知识，回归教材，为不同层次考生搭建

了展示不同水平的平台，试题能够稳定全体考生的心态，有利于考生在后面的解题正常发挥.命题体现了直观想象、数学基本运算的核心素养.本题难度：易.【解析】根据题意先简化A，而A含参变数a，故对参变数a讨论：①当a>1时，A={

x|x≥a或x≤1},∵A∪B=R,结合数轴作图知a−1≤1,即得1<a≤2;②当a=1时，显然A∪B=R；③当a<1时，A={x|x≥1或x≤a},结合数轴作图知a−1<a,此时A∪B=R恒成立，由①②③知a≤2，故选B.3.D【命题立意】本题以对数复合型函数为载体，求解过程中能体现了以生

考熟的化归思想，突破核心关键点---构造新函数、利用函数的奇偶性巧妙的解决问题，同时考查了等价转换、数学运算求解能力、观察逻辑推理能力.试题难度：易偏中【解析】设F(x)=f(x)−1=ln(√1+9x2−3x),显然定义域为R.而F(−x)=f(−x)−1=l

n(√1+9x2+3x),即F(x)+F(−x)=ln1=0,则F(−x)=−F(x)，∴F(x)是奇函数，又lg12=−lg2，即F(lg2)+F(lg12)=F(lg2)+F(−lg2)=0，则[f(lg2)−1]+[f(lg12)−1]=

0.于是f(lg2)+f(lg12)=2，故选D.4.C【命题立意】命题以正四棱锥为背景考查考生对三视图的基础知识和基本技能的掌握与运用，考查了考生空间想象和运算求解能力，让考生通过对三视图的观察分析，挖掘数量关系及不等式模型，这体现了数学转化、数学应用意识、数学思维的严密性和谐美

学思想.合2020年高考数学理科试验检测卷2答案(本卷共9页)2符新课标的改革目标方向.本题难度：易偏中.【解析】根据题意易知，正四棱锥的左视图与主视图应完全相同，其平面图形为等腰三角形，其腰长均为2，底边长为2

a.设四棱锥的高为h，则a2+h2=22=4.于是主视图的面积为s=12∙2a∙h=ah≤a2+h22=2,即当且仅当a=h=√2时，s最大，此时该四棱锥体积为V=13∙(2a)2∙h=8√23,其表面积为

s表=(2a)2+4∙12∙2a∙2=8+8√2.故选C.5.B【命题立意】命题以等差数列与组合数联袂为载体命题，这是一道小综合题型，主要考查了数列性质与组合性质的应用，考查了教材中利用倒序相加法求和问题，这是一道紧扣教材的好题，同时考查了考生的观察能力、逻辑推理能力与运算求

解能力.试题反映了以生考熟常考思维.本题难度：中【解析】根据等差数列性质:若m+n=p+k则am+an=ap+ak与组合性质∁nm=∁nn−m于是有a0+an=a1+an−1=a2+an−2=⋯=am+an−m且∁n0=∁nn

，∁n1=∁nn−1，∁n2=cnn−2,…，∁nm=∁nn−m，an=2(n+1),n∈N,进而有∁nmam+∁nn−man−m=(am+an−m)∁nm,于是{sn+1=a0∁n0+a1∁n1+⋯+amcnm+⋯+an−1∁nn−1+an∁nn………………………

…①sn+1=an∁nn+an−1∁nn−1+⋯+an−m∁nn−m+⋯+a1∁n1+a0∁n0……………………②,①+②得2sn+1=(a0+an)∁n0+(a1+an−1)∁n1+⋯+(am+an−m)cnm

+⋯+(an+a0)∁nn整理得2sn+1=(a0+an)(∁n0+∁n1+⋯+∁nn)=(2n+4)2n,即sn+1=(n+2)2n.于是s11=12×210=12288,故选B.6.C【命题立意】命题人通过给出的两组数据为依托，考查考生对数据的观察和分析

能力，然而作出变量相关关系判断，这体现了考生对数学的应用，数学推理的核心素养.本题难度：偏中.【解析】∵在回归线性方程应用中易知回归系数r=b̂∙√sx2√sy2(b̂为回归方程的斜率，sx2、sy2分别为变量x、y的方差)，从第一组数据中看出数b1̂>0，故r1>0;从第二组数据中看出数

b2̂<0，故r2<0;于是有r2<0<r1，故选C.7.A【命题立意】本题以三角函数为载体考查的是函数单调性及参变量的取值范围问题，在求解过程中运用了余弦的和角公式和数学转化思想，体现了数学迁移转化，数学基本运算的核心素养.试题难度:

偏中.【解析】∵f(x)=cosx−sinx=√2(cosx√22−sinx√22)=√2(cosxcosπ4−sinxsinπ4)=√2cos(x+π4),显然函数f(x)的减区间由2kπ≤x+π4≤2kπ+π求出，即得−π4+2kπ≤x

≤2kπ+3π4，根据题意且结合选项则[−a，a]⊆[−π4,3π4],则有{−a≥−π4a≤3π4，解得0<a≤π4,于是a的最大值为π4，故选A.8.D【命题立意】命题人以已知条件为依托，经过巧妙的构思设制一道组合优题，考查了考2020年高考数学理科试验检测卷2答案(本

卷共9页)3生灵活的运用均值公式和探究问题的能力，这体现了数学的理性思维、等价转化、恒等变形的数学核心素养，落实了基础性、探究开放的考查要求.试题难度：中.【解析】∵a+b=2，则a+b+1=3,于是整合得1a+4b+1=(a+1a)+(b+1+4b+1)

−3≥2√a∙1a+2√(b+1)∙4b+1−3=2+4−3=3,当且仅当a=b=1时取等号，于是1a+4b+1的最小值为3.故选D.9.B【命题立意】本题是向量与解三角形交汇问题，考查了向量的相关知识和正余弦定理，同时考查了考生观察、联想、类比、化归和推理运算求解能力，这体现了数学等价转化、直

观想象等核心素养.本题难度：中.【解析】∵√7sinA∙GA⃗⃗⃗⃗⃗+3sinB∙GB⃗⃗⃗⃗⃗+3√7sinC∙GC⃗⃗⃗⃗⃗=𝟎，又G是△ABC的重心，∴GA⃗⃗⃗⃗⃗+GB⃗⃗⃗⃗⃗+GC⃗⃗⃗⃗⃗

=𝟎，观察类比得：√7sinA=3sinB=3√7sinC=1，由正弦定理知：√7a=3b=3√7c，则a=3c，b=√7c，即得cosB=a2+c2−b22ac=10c2−7c22∙3∙c2=3c26c2=12，∴B=60°，故

选B.10.B【命题立意】考查的是向量与椭圆相关知识，同时还考查了等价转换、数形结合思想和运算求解能力，这体现了数学和谐的美学思想及数学转化等核心素养.试题难度：中.快解：由题意，易知此题条件是动态的，其命题结果是确定的，故可采用特殊方法.∵(OP⃗⃗

⃗⃗⃗−OF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)(OP⃗⃗⃗⃗⃗−OF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=0，∠F1PF2=90°，△F1PF2的三边长成等差数列，特取|PF1|=3，|PF2|=4，|F1F2|=5，则2a=7，2c=5，即e=2c2a=57，故选B

.【解析】通法：∵O为F1F2的中点，∴OF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−OF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，由于(OP⃗⃗⃗⃗⃗−OF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)(OP⃗⃗⃗⃗⃗−OF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=0，则(OP⃗⃗⃗⃗⃗−OF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)(OP⃗⃗⃗⃗⃗+OF1⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗)=0，故OP⃗⃗⃗⃗⃗2−OF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=0，即得|OP|=|OF1|=|OF2|，且∠F1PF2=90°，如图所示.设|PF1|=m，则|PF2|=2a−m，在△F1PF2中，∵2

|PF2|=|PF1|+|F1F2|，即有2(2a−m)=m+2c，则m=13(4a−2c)，进而|PF2|=2a−m=2a−13(4a−2c)即|PF2|=13(2a+2c)，由于|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，故4c2=19(4a−2c)2

+19(2a+2c)2，5a2−2ac−7c2=0，即7(ca)2+2∙ca−5=0，于是有7e2+2e−5=0，∵0<e<1,解得e=57，故选B.11.B【命题立意】本题命制是以新定义为背景，考查向量长度

及数量积等知识概念，同时考查了等价转换、不等式恒成立问题，符合以生考熟的高考理念，考查知识内容源于教材，试题面向全体考生，不同思维能力层次的考生度可以利用熟悉的通法来解决问题，从而增强考生的自信心，有利于考生

正常发挥.试题难度：中.yxPPF1F2O2020年高考数学理科试验检测卷2答案(本卷共9页)4【解析】由于d(𝐚，𝐛)=|𝐚−𝐛|，又对于t∈R，恒有d(𝐚，t𝐛)≥d(𝐚，𝐛)，显然有|𝐚−t𝐛|≥|𝐚−𝐛|，即(𝐚−t

𝐛)2≥(𝐚−𝐛)2，则t2−2t𝐚∙𝐛+(𝟐𝐚∙𝐛−1)≥0对于任意的t∈R恒成立，显然有△=(−2𝐚∙𝐛)2−4(𝟐𝐚∙𝐛−1)≤0成立，即(𝐚∙𝐛−1)𝟐≤0，则𝐚∙𝐛=1，故序号①错误，进而𝐚∙

𝐛=|𝐚|∙|𝐛|cosθ=1,∵|𝐛|=1,于是cosθ=1|𝐚|≤1，得|𝐚|≥1，即序号④正确.再由𝐚∙𝐛−1=0得𝐚∙𝐛−𝐛2=0，得𝐛(𝐚−𝐛)=0，∴𝐛⊥(𝐚−𝐛)，显然序号②正确.从而序号③错

误,再由②𝐚≠𝐛,故序号⑤错误.综上知本题正确的序号为②④.故选B.12.C【命题立意】本题以椭圆方程为载体，考查的是直线与椭圆的位置关系、求弦长、求最值等相关综合问题，同时考查了等价化归、理性思维、运算求解能力.

命题体现了逻辑推理、数学建模、数学本质等核心素养.试题难度：偏难.【解析】对选项A,由方程x23+y22=1知，{x=√3cosθy=√2sinsθ(θ为参数，且θ为任意角)，则x+y=√3cosθ+√2

sinsθ=√5sin(θ+∅)(∅为辅助角)∴−√5≤x+y≤√5，则序号①正确.对序号②，∵AC⊥BD，垂足为P(x0，y0)，∴△F1PF1是直角三角形,且|F1F2|=2为斜边,即P(x0，y0)的轨迹是以|F1F2|=2为直径的圆，于是得x02+y02=1,则序号②正确.

对序号③，作草图知，当BD⊥x轴时，|BD|为椭圆通径时最小，即|BD|=2b2a=4√3=4√33.于是序号③也正确.对序号④.当直线BD的斜率k=0或不存在时，四边形面积为sABCD=2×12×2√3×2√33=4.结合草图可以估算当k=1时四边形ABCD的面

积比4要小.故序号④错误.综上所知正确的序号为①②③，故C选项正确.二.填空题详解13.填23.【命题立意】本题命制是以等差数列通项公式为载体，考查的是数列前n项和与通项公式的转化与化归的应用，试题面向全体，可以有效缓解考试过程中的压力，增强考生的考试信心，通过本题的求解可促使考生正常发挥.本题难

度：易.【解析】∵数列{an}的通项公式为an=4n+1(一次函数y=kn+b型)，即知{an}为等差数列，即其前n项为sn=2n2+3n(二次函数型y=An2+Bn,其中A=d2,B=a1−A),于是数列{snn}的通项

公式为bn=snn=2n+3,于是b10=23.故填2314.填135°【命题立意】本题命制目的是考查向量几何意义、向量的基本公式运用，同时考查考生的直观想象和分析能力及基本运算求解能力.试题面向全体，不同思维能力层次的考生都可以利用自己熟悉

的方法来求解.这体现了数学转化等核心素养.试题难度：偏中.【解析】方法一.根据题意作草图，即a⃗与b⃗−a⃗的夹角如两个红箭头所示，于是a⃗与向量b⃗−a⃗夹角为135°，故填135°.𝑏⃗𝑎2020年高

考数学理科试验检测卷2答案(本卷共9页)5方法二.∵a⃗，b⃗是单位向量且|a⃗+b⃗|=|b⃗−a⃗|，∴(a⃗+b⃗)2=(b⃗−a⃗)2即得a⃗∙b⃗=0,于是cos＜a⃗，b⃗−a⃗＞=a⃗∙(b⃗⃗−a⃗)|a⃗|∙|b⃗⃗−a⃗|=−a⃗2√a⃗2∙√(b⃗⃗

−a⃗)2=−√22，于是＜a⃗，b⃗−a⃗＞=135°.15.填：n=8,x4，358x,1256x−2.【命题立意】本题命制是以二项式定理为背景，考查的是二项式定理的展开式通项公式的运用，同时考查了考生的等价转换、运算求

解能力.试题难度：中.根据题意，前三项系数依次为∁n0，12∁n1，∁n2(12)2，则有∁n0+∁n2(12)2=12∙2∁n1，整理得1+n(n−1)2×14=n,解得n=8.设第r+1项为展开式的有理项，于是Tr+1=(12)r∁8rx(4−34r

)，即(4−34r)∈Z时，Tr+1为有理项，又0≤r≤8且r∈z，于是r=0,4,8，共有三项，即依次为x4，358x,1256x−2.故本题前一空为8，后一空依次为x4，358x,1256x−2.16.填：512，−350.【命题立意】本题考查的是观察、联想、归纳、抽象概括能

力，这体现了数学猜想、推理运算等核心素养.试题难度：偏难.∵给出的五个式子是恒等式，根据前四个式子规律恒等式右边的首项系数规律为22n−1,故当k=5时，⑤式等号右边的首项系数为m=22×5−1=29=512，由于⑤式是恒等式，即与参变量α的值无关，于是令

α=0，代入恒等式得：p+r=−350.故前空填512，后空填−350.此一问也可用观察、类比、归纳得出p与r的值.三.解答题详解17.【命题立意】本题以我们熟知的三角形为背景，探究的是三角形即有多解的形成条件，考查目的是让考生发现、

揭示问题本质的关联点，从而有效的激发考生学习兴趣，借以帮助学生从多角度把握解题方向.本题同时考查了考生的逻辑推理能力、直观想象能力.本是一道开放性试题.试题难度：易偏中.【解析】先作草图，由∠B出发，作BC边上的高AH(H为垂

足)，易知h=AH=sin60°AB即h=AH=32=1.5，结合图形观察知，当AH<AC<AB时，即32<AC<√3时，此时有两解，即①△ABC(C为钝角)②△ABC′(C=C′为锐角)……………………………5分由此可确定:为使△ABC在∠B=60°,AB=√3时有两个解所

补充的条件是:32<AC<√3，或者是0<BC<√32,√32<BC<√3,∵三角形的边AC与BC的长度范围为开区间，故△ABC的面积不存在最值.………………………………………10分.★★★★★说明：当且仅当AC=32或AC>√3时，△ABC仅有唯一解.18.【命题立意】本题以三棱

锥为背景，考查的是空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.重点考查考生的空间想象力、逻辑推理能力和运算求解能力.试题通过考查ABH𝐶′C2020年高考数学理科试验检测卷2答案(本卷共9页)6求二面角大

小的计算方法，还考查考生综合应用知识分析问题、解决问题的能力.本题难度：中.(1).证明：∵D，N，E，F分别是AC，BC，AP，BP的中点，∴EF∥AB，DN∥AB.于是EF∥DN.又EF不在平面PND内，DN⊂平面PND，则EF∥平面PND.……………………………2分又EF

⊂平面EFC，结合图形知：平面EFC∩平面PND=GH，则EF∥GH，又EF∥AB，故AB∥GH.…………………………………………………………………………………………………………………………5分.(2)解析.在△ABC中，∵AC=

2BD,AD=DC,AB=BC,∴∠ABC=90º,又PB⊥平面ABC,∴BA,BC,BP两两垂直.…………………………………………6分取B(0，0，0)为空间原点，BA⃗⃗⃗⃗⃗，BC⃗⃗⃗⃗⃗，BP⃗⃗⃗⃗⃗所在的方向

为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系.根题意不妨取|BA|=|BC|=|BP|=2,则相关点坐标为C(0,2,0)，D(1,1,0)，E(1，0，1)，F(0,0,1),N(0,1,0),P(0,0,2).………………7分进而得向量EC⃗⃗⃗⃗=(−1，2，−1)，FC⃗

⃗⃗⃗=(0，2，−1)，DP⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,−1,2),NP⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−1,2).………………………………………………………8分设平面EFC的法向量为𝐦=(x1，y1，z1),由于𝐦⊥平面EFC，则{𝐦∙EC⃗⃗⃗⃗

=0𝐦∙FC⃗⃗⃗⃗=0，于是得{−x1+2y1−z1=02y1−z1=0取y1=1，易得𝐦=(0,1,2).……………………………9分再设平面PDN法向量为𝐧=(x2，y2，z2).由于𝐧⊥平面PDN，则{𝐧∙DP⃗⃗⃗⃗⃗=0𝐧

∙NP⃗⃗⃗⃗⃗=0进而得{−x2−y2+2z2=0−y2+2z2=0取z2=1，易得𝐧=(0,2,1).…………………………………10分进而|cos﹤𝐦，𝐧﹥|=|𝐦∙𝐧|𝐦|∙|𝐧||=|1×2+2×1√5∙

√5|=45，结合图形知二面角D-GH-E为钝角，∴二面角D-GH-E的余弦值为−45.……………………………………………………12分.19.【命题立意】本题命题目的是考查椭圆定义、离心率等基本概念的应用，直线与椭圆方程的综合应用，同时还考查等价转换、数形

结合、运算求解能力.能体现考生对基础知识的理解、由浅入深推理过程，突出重点，较好的达到考查目的，中等成绩以上考生基本都会解答此题，这有利于中学教学稳步发展.试题难度:中.【解析】(1).在椭圆C:x2a2+y2b2=1中，∵|F1F2|=4√3，∴F1(−2√3，0)，F2(2√3，0),

又知A(√3，−√132)为C上的点，根据椭圆定义有|AF1|+|AF2|=2a.…………………2分.ZPEFGHxABDNC𝑦2020年高考数学理科试验检测卷2答案(本卷共9页)7|AF1|+|AF2|=√(3√3)2+(−√132)2+√(−√3)

2+(−√132)2易计算得a=4.………3分.b2=a2−c2=4,即椭圆C方程为x216+y24=1.故e=ca=√32.…………………………4分(2).根据题意作草图，设G(x0，y0)，(x0≠0且x0≠±4)根据(1)知M(4,0)，N(0,2)，则直线GM:y=y0

x0−4(x−4)，令x=0，得yP=−4y0x0−4,即得P(0，−4y0x0−4)，直线GN:y=y0−2x0x+2,令y=0,得xQ=−2x0y0−2,即得Q(−2x0y0−2，0)，则|PN|=

|2+4y0x0−4|,|QM|=|4+2x0y0−2|.…………7分于是|PN|∙|QM|=|2+4y0x0−4|∙|4+2x0y0−2|=4|(1+2y0x0−4)(2+x0y0−2)|……………………9分=4|x02+4y02+4x0y0−8x0−16y0+16x

0y0−2x0−4y0+8|…………★…………………………………………………10分将x02+4y02=16代入★整理得|PN|∙|QM|=16.故|PN|∙|QM|为定值.………………12分.20【命题立意】本题考查函数的导数及其

应用，考查初等函数求导、导数与极值、导数与函数单调性之间的关系以及单调函数介值定理的应用，考查考生的逻辑思维、运算求解能力以及灵活应用导数运算、函数基本概念和性质分析解决问题的能力、还考查了等价转换、换元技能、数列求和及放缩

法证明不等式的基本技能.本题求解过程即有即有较高的区分度，使考生思维的广度和深度以及进一步学习潜能得到展现，本试题突出了选拔功能.【解析】(1).∵f(x)=ax−lnx.且x∈(0，e]，求导得f′(x)=a−1x=a(x−1a)x.①当a≤0时，f′(x)<0，即f(x)在x∈(0

，e]恒为减函数，f(e)=ea−1≤−1.故不存在最小值3.………………………………………………………………………………………………………2分②当a>0时，0<x<1a时，f′(x)<0，即x∈(0，1a)

时函数f(x)单调递减;当1a≤x≤e时，f′(x)≥0，即x∈[1a，e]时函数f(x)单调递增，由此f(x)≥f(1a)=1+lna，于是f(x)存在最小值3，即f(x)min=1+lna=3.解得a=e2.即f(𝐱)=�

�𝟐𝐱−𝐥𝐧𝐱≥𝟑…………………5分.(2).由(1)知，x∈(0，+∞)时，恒有f(𝐱)=𝐞𝟐𝐱−𝐥𝐧𝐱≥𝟑成立，即e2x≥3+lnx成立.即x≥1e2(3+lnx)>19(3+lnx)成立.………………………………………………………………………………8分进而x>�

�𝟗(𝟑+𝐥𝐧𝐱)，根据不等式特征取x=kk+1.进而有kk+1>19(3+lnkk+1).…………10分现对n赋值，取k=1，2,3，…，n，累加得12+23+34+⋯+nn+1=19[3n+ln12+ln23+ln34+⋯+lnnn+1]=13(3n+ln1n+1)=19(3n−ln

(n+1))=13n−13∙13ln(n+1)=13n−19ln√n+13>13(n−ln√n+13).P𝑦N(0,2)M(4,0)xG(x0，y0)QO2020年高考数学理科试验检测卷2答案(本卷共9页)8即不等式恒成立.………

…………………………………………………………………………………………………13分.★★★★★解密：事实上，不等式左边是数列{an}的前n项和，通项公式为an=nn+1，而不等式右边必然是数列{bn}的前n项和简化式.即bn=sn−sn−1.于是只需转

化证明an>bn即可.进而就有了构造函数的条件.∵bn=13(n−ln√n+13)−13(n−1−ln√n3)=13(1−13lnnn+1).于是转化证明nn+1>13(1−13lnnn+1)，用nn+1代替x,即证明x−13(1−13lnx)>0即可，然后构造函数g(x)=x−19(

3−lnx)也可得证.21.【命题立意】本题是以工业生产为背景命制的试题，命题目的:其一是考查考生能够在实际情景中从数学的视角发现问题、分析问题、建立模型、解决模型、改进模型；能对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问

题.其二是考查考生对概率知识、随机变量分布列、数学期望、回归分析、相关关系等概念的应用；其三是考查考生的数据处理能力、逻辑推理能力、和运算求解能力及建模能力.体现了数学应用和数学转化的数学素养，落实了高考对数学应用性、综合性的考查

要求.试题难度：偏难.(1).解析：根据图示柱表，易知更换易损零件的频数为10的频率为1050=0.2.易损零件的频数为20的频率为2050=0.4.……………………………………………………………………1分∵将频率视为概率，且知每台机床易损零件的发生

与否是相互独立的，结合图表得：当X=16时，p(X=16=8+8)=0.2×0.2=0.04;当X=17时，P(X=17=8+9=9+8)=0.2×0.4+0.4×0.2=0.16;当X=18时，P(X=18=9+9=10+8=8+10)=0.4×0.4+2×0.2×0.2=0.2

4;当X=19时，P(X=19=10+9=9+10=11+8=8+11)=2×0.4×0.2+2×0.2×0.2=0.24.…………………………………………………………………………5分据互斥事件发生的概率知P(X≤18)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18

)=0.44<0.5;P(X≤19)=P(X≤18)+P(X=19)=0.44+0.24=0.68>0.5.于是n的最小值为19.……………………………………………………………………………………………………6分.(2).由(1)进而知，随机变量X的可能取值为：16、17、18、

19、20、21、22.当X=20时，P(X=20=10+10=11+9=9+11)=0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.2;当X=21时，P(X=21=10+11=11+10)=2×0.2×0.2=0.08;当X=22时，P(X=22=11+11)=0.2×0.2

=0.04.于是分布列为：………………………………8分进而结合(1)知，当备用的易损零件数n=19时.X随机变量取值为16,17,18,19,20,21，22需注意的是，虽备用的易损零件数n=19时，但发生的概率仍按实际需要的X台机床时计算.则购买易损零件所产生的实际费用数学

期望为E(X)=19×300×0.04+19×300×0.16+19×300×0.24+19×300×0.24+(19×300+500)×0.2+(19×300+2×500)×0.08+(19×300+3×500)×0.04=19×300

(0.04+0.16+0.24+0.24)+1240+536+288=3876+1488+536+288=5940.(元)……………………………………………………10分X16171819202122P0.040.160.240.24

0.20.080.042020年高考数学理科试验检测卷2答案(本卷共9页)9(3).①先根据回归方程易知ŷ=2.4×50+80=200(元)，即50岁的技工日使用该机床产生的效益为200元.②∵由方差计算公式知sx2=150[(x1−x̅)2+(x2−x̅)2+⋯

+(x50−x̅)2],即等价化为50sx2=(x1−x̅)2+(x2−x̅)2+⋯+(x50−x̅)2，同理50sy2=(y1−y̅)2+(y2−y̅)2+⋯+(y50−y̅)2.又sx2=14.4,sy2=22.5,b̂=2.4，据公式

求出相关系数r则有r=∑(xi−x̅)50i=1(yi−y̅)√∑(xi−x̅)250i=1·√∑(yi−y̅)250i=1=∑(xi−x̅)50i=1(yi−y̅)∑(xi−x̅)250i=1×√∑(xi−x̅)250i=1√∑(y

i−y̅)250i=1=b̂×√50sx2√50sy2=2.4×12√515√5=1.92>1.易知：该机床的技工所产生的日经济效益与技工的年龄具有非常强的相关关系.…………13分.22.【命题立意】本题考查的是极坐标方程一直线方程的转化、圆的参数方程与普通方

程的转化应用，同时考查了数形结合思想和运算求解能力、逻辑思维能力.本题难度:易偏中.解析：(1)∵ℓ极坐标方程为ρsin(π3−θ)=√32，整理得√32ρcosθ−12ρsinθ=√32,即√3ρcosθ−ρsinθ=√3，代换得直线ℓ普通方程√3x−

y−√3=0.………………………3分又C参数方程为{x=1+cosαy=sinα(α为参变数，且0≤α≤π)，即知0≤x≤2且0≤y≤1.消去参变数α得曲线C：(x−1)2+y2=1.(0≤x≤2，0≤y≤1)………………………………5分(2).

根据(1)知，直线ℓ方程y=√3(x−1)过定点(1,0)，曲线C的轨迹是以(1,0)为圆心，半径为1的的半圆，结合图象知，动点P到直线ℓ的距离最大值为d=r=1,最小值为d=0,故d的取值范围是d∈[0,1]

.………………………………………………………………………………………………10分.23.【命题立意】试题以考生熟悉的绝对值函数为背景，主要考查考生对绝对值概念的理解和对绝对值函数与不等式的转换及求解运算

能力，同时还考查了绝对不等式的意义及逻辑推理能力，本题难度与“坐标系与参数方程”的考题保持基本平衡，是共性好考的题型.(1)解析：∵所给变量x，y，a，b，且满足x≥a>0，y≥b，故|x−a|=x−a,|y−b|=y−b,于是原不等式等价为x2+x+x−a+y−b+a+b−8≤0.整理为

x2+2x−8≥0,即有{x>0x2+2x−8≤0，则有{x>0−4≤x≤2，于是不等式的解为0<x≤2,解集为{x|0<x≤2}.………………………………………………5分(2).证明：∵x=a+c，y=b+c，根据已知条件有x−a=c>0，y−b=c>0.即有0<c≤2.又

|2x+3y−2a−3b|=|2(x−a)+3(y−b)|≤2|x−a|+3|y−b|=2(x−a)+3(y−b)=2c+3c=5c≤10.即|2x+3y−2a−3b|≤10.成立.……………………………………………………………………………

10分.