【文档说明】四川省宜宾市叙州区第一中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学（文）试题 含解析.docx，共(22)页，1.282 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-68917a451c5531555525e03c00e5f42d.html

以下为本文档部分文字说明：

四川省叙州区一中高2023届高三上期末考试文科数学本试卷共4页.考试结束后，只将答题卡一并交回注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔

书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．1.集合12,AxxxN=−，1B=，则AB=ð（）A.1112xxx−或B.1,0,2−C.0,2D.2【答案】C【解析】【分析】根据集合补集的定义即可求解.【详解】解：因为12,0,1,2Ax

xxN=−=，1B=，所以0,2AB=ð，故选：C.2.i为虚数单位，则24iii=+（）A.1i2−−B.1i2−+C.1i2+D.1i2−【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘方和除法运算即可求解.【

详解】解：()24221ii11iii1i112−−−−+===+++，故选：B.3.如图，茎叶图记录了甲、乙两个家庭连续9个月的月用电量（单位：度），根据茎叶图，下列说法正确的是（）A.甲家庭用电量的中位数为33B.乙家庭用电量的极差为46C.甲家庭

用电量的方差小于乙家庭用电量的方差D.甲家庭用电量的平均值高于乙家庭用电量的平均值【答案】C【解析】【分析】根据给定茎叶图，逐项分析计算，再判断作答.【详解】对于A，由茎叶图知，甲家庭用电量的中位数为32，A不正确；对于B，由茎叶图知，乙家庭用电量的极差56-11=4

5，B不正确；对于C，甲家庭用电量的平均数112232425323337415027799x++++++++==，乙家庭用电量的平均数211233438394042515633499x++++++++==，甲家庭用电量的方差2222

211277277277277[(12)(23)(24)(25)99999s=−+−+−+−2222227727727727727781936(32)(33)(37)(41)(50)]99999729+−+−+−+−+−=，乙家庭用电

量的方差2222221334334334334[(11)(23)(34)(38)99999s=−+−+−+−22222334334334334334119628(39)(40)(42)(51)(56)]99999729+−+−+−+−+−=，显然81936

119628729729，即甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差，C正确；对于D，由C选项的计算知27733499，甲家庭用电量的平均值低于乙家庭用电量的平均值，D不正确.故选：C4.已知0,2，tan2=，则cos2=（）A.23−B.23C.1

3−D.13【答案】C【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式、弦化切可求得cos2的值.【详解】22222222cossin1tan1cos2cossincossin1tan3−−=−===−++.故选：C.5.新冠肺炎疫情是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围

最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：)(rtIte=描述累计感染病例数()It随时间t（单位：天）的变化规律，其中指数增长率0.38r，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的10倍需要的时间约为（ln102.30）

（）A.4天B.6天C.8天D.10天【答案】B【解析】【分析】设所需时间为1t，可得()10.380.3810tttee+=，解出即可.【详解】设所需时间为1t，则()10.380.3810tttee+=，则10.3810te=，10.38ln102.3t=，1

2.360.38t=.故选：B.6.已知,mn为整数，且,[1,5]mn，设平面向量(,)amn=与(2,1)b=−的夹角为，则,2的概率为（）A.932B.964C.425D.625【答案】D【

解析】【分析】依题意可得1cos0−，再根据向量夹角的坐标表示得到不等式，再用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：因为平面向量(,)amn=与(2,1)b=−的夹角为，且,2，所以1cos0−，即222105mnmn−−

+，所以()22520mnmn−+−，因为,mn为整数，且,[1,5]mn，(,)amn=，所以a共有5525=种可能，又因为20mn−，]5[1n,，所以1m=或2，①当1m=时，由()22520mnmn−+−，即25520nn−+

−，所以2n=或3或4或5，满足题意；②当2m=时，由()22520mnmn−+−，即220540nn−+−，所以4n=或5，满足题意；故()1,2a=r或()1,3或()1,4或()1,5或

()2,4或()2,5共6种情况符合题意，所以,2的概率为625；故选：D7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看

丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）A.乙可以知道其他两人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】

【分析】根据所给信息进行推理．【详解】甲、乙、丙、丁四位同学中有2位优秀，2位良好，因为甲看乙、丙的成绩后仍不知道自己的成绩，可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己

的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选：D．8.设()fx是定义域为R的奇函数，且()()1fxfx+=−.若1133f−=，则53f=（）A.53−B.13−C.13D.53【答案】C【解析】【分析】由题意利用函数的奇

偶性和函数的递推关系即可求得53f的值.【详解】由题意可得：522213333ffff=+=−=−，而21111133333ffff=−==−−=−

，故5133f=.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.9.已知圆C的方程为22(1)(1)2xy−+−=，点P在直线3yx=+上，线段AB为圆C的直径，则||PA

PB+的最小值为（）A.322B.32C.42D.3【答案】B【解析】【分析】将PAPB+转化为2PC，利用圆心到直线的距离求得|2|PC的最小值.【详解】因为C为AB的中点，所以2PAPBPC+=，从而|||2|=2||

PAPBPCPC+=，可知|PC的最小值为点C到直线3yx=+的距离，|113|3222d−+==，所以min32||2322PAPB+==.故选：B.10.在ABC中，||||||ABBCABBC→→→→−==，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（）A.12+B.13+C.12

2+D.132+【答案】D【解析】【分析】设ABa→=，求出212BBCaA→→=，||3ACa→=，即得解.【详解】解：设ABa→=，则||BCa→=，||BABaC→→−=，所以2222ABABBCBCa→→→→−+=，故21

2BBCaA→→=，因此222||23ABBCABABBCBaACC→→→→→→→=+=++=，所以双曲线的离心率3123ABaeaaACBC→→→+===−−.故选：D.11.已知球O是直三棱柱111ABCABC-的外接球，若12AAACBC==，1BABC==，则球O的体

积为（）A.4π3B.32π3C.4πD.9π2【答案】A【解析】【分析】根据三棱柱111ABCABC-中各棱的数量关系知其底面为直角三角形，将其补全为长方体，根据长方体与外接球直径的关系即可求半径R，进而求球的体积；【详解】由2ACBC=，1BABC==，可得△ABC为直角三

角形，由题意，111ABCABC-所在的长方体中，过同一顶点的三条棱的长分别为：1，1，2，设外接球的半径为R，则()()222221124R=++=，所以1R=，所以球的体积3444ππ1π333VR===，故选：

A．【点睛】本题考查了棱柱的外接球问题，根据三棱柱棱长的数量关系确定底面三角形形状，结合其所在长方体与外接球直径关系求球体的半径，应用球体的体积公式求体积；12.已知函数()()()ln10mxxfxxmxem=−+

+，若存在01x，使()00fx，则实数m取值范围为（）A.(),e−−B.(,e−−C.),0e−D.(),0e−【答案】B【解析】【分析】由()0fx，得()ln10mxxxmxe−++，变形后得lnmm

xxxex−−−−，构造函数()lnFttt=−，由导数可得()Ft在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，01mx，01xe−，从而得mxxe−，即ln1xxm−，构造函数ln()xgxx=−，再利用求出其最小值，进而可求出实数m的取值范围【详解】解：由()

0fx，得()ln10mxxxmxe−++，即ln10xmxxmxexeex−++，所以ln1xmmxxexxexe−−−，所以1lnmmxxxxe−−−，即lnmmxxxex−−−−，令()lnFttt=−，则'11()1tFttt−=−=（0t），当01

t时，'()0Ft，当1t时，'()0Ft，所以()Ft在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，因为0,1mx，所以01mx，01xe−，则只需()()mxxFxFexe−−=−−即可，即mxxe−，所以lnmxx−，因为0m，所以ln1

xxm−，令ln()xgxx=−，则'21ln()xgxx−=−，的当(0,)xe，则'()0gx，当(,)xe+时，'()0gx，所以()gx在(0,)e上递减，在(,)e+上递增，所以min1()()gxgee==−，所以11me−，得me−，故选

：B【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查不等式能成立问题，解题的关键是由()0fx，得lnmmxxxex−−−−，构造函数()lnFttt=−，由导数可得()Ft在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，从而将问题转化为mxxe−，即ln1xxm−，再

利用导数求出ln()xgxx=−的最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若020,30xxyxy−+−则zxy=+的最小值是___________.【答案】3【

解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．【详解】作出可行域如图所示：作出直线yxt=−+经过()()0,3,2,1AB时，zxy=+取得最小值3.故答案为：314.已知等比数列na的前n项和为nS，且37S=，663S=，则7a=_________.

【答案】64【解析】【分析】根据等比数列前n项和公式列出方程组，解出首项公比，根据通项公式求出.【详解】设等比数列公比为q，首项为1a，由已知，可得()()3136161711631aqSqaqSq−==−−==−，解得，

112aq==所以，67164aaq==故答案为：64.15.若函数()()2ln1fxxax=−−在区间()1,+上是单调增函数，则实数a的取值范围是______．【答案】(,0−【解析】【分析】利用复合函数单调性的原则进行计算即可.【详解】由函数()()2ln1fxxa

x=−−在区间()1,+上是单调增函数，只需函数21yxax=−−在()1,+上是单调增函数，且当1x时210xax−−恒成立，所以满足1,2110,aa−−解得0a．故答案为：(

,0−16.若指数函数xya=（0a且1a）与五次函数5yx=的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围是______．【答案】e51,e【解析】【分析】依题意方程5xax=有两个不

同的解，两边取对数可得lnln5axx=，从而可转化为()ln5afx=与()lnxgxx=在图象上有两个不同的交点，利用导数说明函数()gx的单调性，即可求出()gx的最值，从而得到eln105a，即可求

出参数的取值范围；【详解】解：指数函数xya=（0a且1a）与五次函数5yx=的图象恰好有两个不同的交点，等价于方程5xax=有两个不同的解．对方程5xax=两边同时取对数，得5lnlnxax=，即ln5lnxax=．因为0x，所以lnln5axx=，从而

可转化为()ln5afx=与()lnxgxx=在图象上有两个不同的交点，()221ln1lnxxxxgxxx−−==．当()0,ex时，()0gx，当()e,x+时，()0gx，所以函数()gx

在()0,e上单调递增，在()e,+上单调递减，所以函数()gx在ex=处取到极大值，也是最大值，且最大值为1e．又因为当()0,1x时，()0gx；当()1,x+时，()0gx，所以()eln105afx=．解得5e1ea，即

5e1,ea．故答案为：e51,e三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17.某

学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人．为了了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取按性别分层抽样，随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450~950分之间．将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．根据调查的结

果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示．（1）求a值，并估计该校学生分数的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若样本中属于“高分选手”的女生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关

．属于“高分选手”不属于“高分选手”合计男生女生合计参考公式：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．()20PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0

246.6357.87910.828【答案】（1）见解析（2）填表见解析；有【解析】【分析】（1）由频率和为1可得a值,由直方图中众数、平均数和中位数的计算公式进行计算即可；（2）由题意得到2×2列联表，然后计算2K的观测值k，然后与题目中表格的数据进行比较即可得到结论.【

小问1详解】()1000.00150.00250.00150.00101a++++=，解得0.0035a=．众数估计值为600分．平均数估计值为5000.156000.357000.258000.159000.1670+

+++=（分）分数分布在450~650分之间时，频率为()1000.00150.00350.5+=，故中位数估计值为650分．【小问2详解】由题意可知，样本中男生有40人，女生有60人，属于“高分选手”的有25人，其中女生10人．因此，得到2×2

列联表如下：的属于高分选手不属于高分选手合计男生女生合计因此，2K的观测值()210015501025505.5565.024406025759k−==，所以有的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有

关．18.锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3tantancosaBCcB=+．（1）求角C值；（2）若23c=，D为AB的中点，求中线CD的范围．【答案】（1）3C=（2）(7,3CD【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简可得出tanC，结合角C为锐角可

求得结果；（2）由余弦定理可得出2212abab=+−，利用平面向量的线性运算可得出()12CDCACB=+uuuruuruur，由平面向量数量积的运算可得出2132CDab=+uuur，利用正弦定理结合正弦型函数的基本性质可求得ab的取值范围，可得出2CD的取值范围，即可得解【小问1详解

】由3tantancosaBCcB=+，()sin3sinsinsinsincoscossinsinsincoscoscoscoscoscoscoscoscosBCABCBCBCACBBCBCBCBC++=+

===，sin3cosCC=，()0,C，tan3C=，3C=．【小问2详解】()12CDCACB=+uuuruuruur，()2214CDCACB=+uuuruuruur，()22214CDabab=++，的由余弦定理有：222cabab=+−，2212

abab=+−，所以()22214CDabab=++，()211122342CDabab=+=+，由正弦定理sinsinsinabcABC==，234sinsin32abAB===，4sinaA=，4sinbB=，212338sinsin38sinsin23

CDabABAA=+=+=+−，2238sinsincoscossin33AAA=+−138sinco3ssin22AAA=++2343sincos4sinAAA=++()323sin2

21cos2AA=++−3154sin2cos222AA=+−54sin26A=+−254sin26CDA=+−，因为ABC为锐角三角形，所以02A且2AC

+，则,62A，52666A−,则(27,9CD，(7,3CD．19.如图，在三棱柱111ABCABC-中，11122AABAAC===，2ABAC==，90BAC=.（1）证明：平面1ABC

⊥平面111ABC；（2）求四棱锥111ABCCB−的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）463.【解析】【分析】（1）取BC的中点M，连AM，1AM，证明1AM与底面ABC垂直，得面面垂直，再由棱柱上下底面平行得证结论；（2）由棱柱、棱锥体积得11112AB

CCBAABCVV−−=，计算三棱锥体积可得结论．【详解】（1）如图，取BC的中点M，连AM，1AM，因为2ABAC==，90BAC=，所以22BC=，2AM=，又因为1122==ABAC，所以16AM=，在1AAM中，由122AA=，满足22211A

AAMAM=+，所以1AMAM⊥，且1AMBC⊥，BCAMM=，,BCAM平面ABC，所以1AM⊥平面ABC，又1AM平面1ABC，所以平面1ABC⊥平面ABC，又平面//ABC平面111ABC，所以平面1ABC⊥平面111ABC.（2）由（1）可知1AM⊥平面ABC，1

11113AABCABCABCVV−−=，所以四棱锥111ABCCB−的体积1111146222633ABCCBAABCVV−−===.20.已知椭圆E的中心在原点，左焦点1F、右焦点2F都在x轴上，点M是椭圆E上的

动点，12FMF的面积的最大值为3，在x轴上方使122=MFMF成立的点M只有一个．（1）求椭圆E的方程；（2）过点(1,0)−的两直线1l，2l分别与椭圆E交于点A，B和点C，D，且12ll⊥，比较12()ABCD+与7ABCD的大小．【答案】（1）22143xy+=（2）12()7

ABCDABCD+=【解析】【分析】（1）根据已知设椭圆E的方程为22221(0)xyabab+=，由已知分析得22122232bcMFMFbccab==−==−，解得23ab==，即得椭圆E的方程

为22143xy+=.（2）先证明直线AB的斜率为0或不存在时，()127ABCDABCD+=.再证明若AB的斜率存在且不为0时，()127ABCDABCD+=.【详解】（1）根据已知设椭圆E的方程为22221(0)xyabab+=，22cab=−.在x轴上方使122MFMF=

成立的点M只有一个，∴在x轴上方使122MFMF=成立的点M是椭圆E的短轴的端点.当点M是短轴的端点时，由已知得22122232bcMFMFbccab==−==−，解得23ab==.∴椭圆E的方程为22143xy+=.（2）()127ABCDABCD

+=若直线AB的斜率为0或不存在时，24ABa=−且223bCDa==或24CDa==且223bABa==.由()()12123484ABCD+=+=，773484ABCD==得()127ABCDABCD+=

.若AB的斜率存在且不为0时，设AB：()()10ykxk=+，由()221143ykxxy=++=得()22224384120kxkxk+++−=，.设()11,Axy，()22,Bxy，则2122843kxxk+=−+，212241243kxxk−=+，

于是()()222211212114ABkxxkxxxx=+−=++−()2212143kk+=+.同理可得()2222112112134143kkCDkk−++==+−+.∴()222113443712121kkABCDk++++==+

.∴()127ABCDABCD+=.综上()127ABCDABCD+=.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.2

1.已知函数3211132xfxxeaxxaR=--+?（）（），．（1）当0a=时，求fx（）在点11f（，（））处的切线方程；（2）当0x＞时，fx（）是否存在两个极值点，若存在，求实数a的最小整数值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()112yex

e=+−−；（2）4【解析】【分析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．（2）求函数的导数，结合极值与导数之间的关系，转化为0fx=（）有两个不同的根，构造函数转化为函数hx（）与x轴的交点问题，

利用数形结合进行求解即可．【详解】（1）函数导数2xfxxeaxx=−+（），当0a=时，2111122xfxxexf=−+=（）（），（），11xfxxexfe=+=+（），（），即在点（1，12

）处的切线斜率1ke=+，则对应的切线方程为()()1112yex−=+−即()112yexe=+−−．（2）当0x＞时，若()fx存在两个极值点，则0fx=（）有两个不同的解，即2010xxfxxeaxxeax=−+=−=+（），有两个根，即1x

eax+=有两个不同根，设1'xxhxehxaxea=+=--（），（）当1a时，'0hx³（）所以hx（）在(0,)+上单调递增，不符合题意．当1a时，'0lnhxxa>?（）'00lnhxxa<?<（）所以hx（）在(0,ln)a上单调递减，在(ln,)a+上单调递增要使函数hx

（）与x轴有两个不同的交点，必须0ln0hhaì>ïí<ïî（0）（），得ln10aaa-+<设()ln1gaaaa=-+，则'ln0gaa=-（）＜，即ga（）在（1，+∞）上为减函数，43ln3054ln40gg=-=-（3

）＞，（4）＜存在0(3,4)aÎ使得0ga（）=0.即当0aa时，ln10aaa-+<此时a有最小正整数4a=，使得函数hx（）与x轴有两个不同的交点.即当0x＞时，()fx是存在两个极值点，此时最

小的a的整数值为4的【点睛】本题利用数形结合思想和函数与方程思想，先将函数()fx的零点问题转化为函数hx（）的图像的交点问题，利用数形结合思想，通过直函数hx（）图像与x轴的交点个数来确定参数a的取值范围．（二）选考题：共10

分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1cos(sinxy=+=为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin224+

=．（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（2）若射线02=与曲线C交于点A（不同于极点O），与直线l交于点B，求||||OAOB的最大值．【答案】（1）:C2cos=，直线l：4xy+=；（2

）124+．【解析】【分析】（1）曲线C的参数方程消去参数得曲线C的普通方程，由222xy=+，cosx=，siny=能求出曲线C的极坐标方程以及直线l的直角坐标方程．（2）设1(A，)，2(B，)，则12222cos,sin()4==+，由此能求出|||

|OAOB的最大值．【详解】解：（1）曲线C的参数方程为1cos(sinxy=+=为参数），消去参数得曲线C的普通方程为22(1)1xy−+=，即2220xyx+−=，由222xy=+，cosx=，siny=得曲线C的极

坐标方程为22cos=，即2cos=．因为直线l的极坐标方程为sin224+=，所以sincoscossin2244+=，所以22sincos2222

+=，所以4xy+=（2）设1(A，)，2(B，)，则12222cos,sin()4==+，所以22cossin()2cossin()||sincos1112144sin2cos2sin2||24444442222OAcosOB

+++====++=++，由02，得52444+，所以2sin2124−+„，所以||||OAOB的最大值为124+．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公式cossinxy

==可轻松自如进行极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于中档题．23.已知函数2fxxax=--+（）．（1）当1a=时，求不等式fxx?（）的解集；（2）若21fxa?（）恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）{|313}xxx−−或；（2）1515

2][2-+-ト+?（，，）【解析】【分析】（1）1a=时利用分段函数表示fx（），再求不等式fxx?（）的解集；（2）利用绝对值三角不等式求出fx（）的最大值，再将不等式21fxa?（）转化为化为221aa++，即可求得a的取值范围．【详解】（1）当1a=时，12fxxx=−−+（），

即fx（）=32{212131xxxx−−−−−，，＜＜，，不等式fxx?（）即为2{3xx−−或21{21xxx−−−−或1{3xx−−，即有3x−或11x-?＜或13x，则为3x−或13x−，所以不等式

的解集为{3|xx?或13x−}；（2）222xaxxaxa−−+−−−=+2fxa+（）若21fxa?（）恒成立，则221aa++即22{21aaa−−−+或22{21aaa−++解得：152a-

£或152a+³∴实数a的取值范围是151522−+−+（，，）.【点睛】（1）在解fxx?（）时，常用零点分段法将绝对值函数转化成分段函数的形式来求解；（2）在解决xaxbc+−+型的不等式恒成立问题时，可利用绝对值三角不等式ababab−−+对不等式进行化简

．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com