【文档说明】安徽省池州市贵池区2023-2024学年高二上学期期中教学质量检测数学试卷 含解析.docx，共(27)页，2.492 MB，由小赞的店铺上传

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贵池区2023～2024学年度第一学期期中教学质量检测高二数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）命题单位：池州二中注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2

．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3．请按题号顺序在各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．；在草稿纸．．．．、试题卷．．．上答题无效

．．．．．.4．保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.直线1l：210xy+−=与直线2l：20axy++=平行，则=a（）A.12B.1

2−C.2D.2−【答案】A【解析】【分析】由两直线平行得到方程和不等式，求出答案.【详解】由题意得1120120aa−=+，解得12a=.故选：A2.已知两条直线1:240lxy−+=和2:20lxy+−=的交点为P，则过点P且与直线3:

3450xly−+=垂直的直线l的方程为（）A.4360xy−+=B.4360xy+−=C.3460xy−+=D.3460xy+−=【答案】B【解析】【分析】设所求直线l为24(2)0xyxy−+++−=，然后由直

线l与3l垂直，列方程可求出，从而可求出直线l的方程.【详解】设所求直线l的方程为24(2)0xyxy−+++−=，即(1)(2)420xy++−+−=，因为直线l与3:3450xly−+=垂直，所以3(1)4(2)0+−−=，解得11=，所以直线l的方

程为129180xy+−=，即4360xy+−=.故选：B.3.椭圆221xmy+=的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（）A.12B.14C.2D.4【答案】B【解析】【分析】将椭圆方程化为标准形式，再由条件列方程求m的值.【详解】椭圆221xmy+=化为标准

方程为2211yxm+=，故0m，因为焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，所以11244mm==，故选：B.4.如图，在正三棱柱111ABCABC-中，若12ABBB==，则点C到直线1AB的距离为（）A.14B.142C.143D.144【答案】B【解析】【分析】取AC中点O，以O为原点建

立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】取AC的中点O，则,3BOACBO⊥=，以O为原点，,OBOC的方向分别为,xy轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()10,1,0,3,0,2,0,1,0ABC−，所以()()13,1,2,0,2,0ABCA==−，所以CA在1A

B上的投影的长度为1122222CAABAB==，故点C到直线1AB的距离22214222d=−=．故选：B.5.已知四面体ABCD−的所有棱长都等于2，E是棱AB的中点，F是棱CD靠近C的四等分点，则EFAC等于（）A.12−B.12C.52−D.52

【答案】D【解析】【分析】由空间向量的线性运算可得1124EFABBCCD=++，结合数量积的运算性质和定义求EFAC.【详解】因为E是棱AB的中点，F是棱CD靠近C的四等分点，所以1124EFABBCCD=++，1124EFACABACBCACCDAC=++，因为的

cos,22cos602ABACABACABAC===，cos,22cos602BCACBCACBCAC===，cos,22cos1202CDACCDACCDAC===−，所以()115222242EF

AC=++−=．故选：D.6.已知圆C：()2214xy−+=，过点()0,1A的两条直线1l，2l互相垂直，圆心C到直线1l，2l的距离分别为1d，2d，则12dd的最大值为（）A.22B.1C.2D.4【答案】B【解析】【分析】由四边形AECF是矩形，应用勾股定理可求2212

2dd+=，再利用基本不等式可得答案.【详解】过圆心C分别作直线1l，2l的垂线，垂足分别为E，F．1l，2l互相垂直，所以四边形AECF为矩形．由圆C：()2214xy−+=，可得()1,0C，又()0,1A，2222212

12||||||22ddCECFACdd+=+==，所以121dd£，当且仅当121dd==时取等号，即12dd的最大值为1，故选：B.7.已知EF是圆22:2430Cxyxy+−−+=的一条弦，且CECF⊥，P是EF的中点，当弦EF在圆C上运动时，直线:

30lxy−−=上存在两点,AB，使得2APB恒成立，则线段AB长度的最小值是（）A.321+B.42+2C.43+1D.432+【答案】B【解析】【分析】根据已知条件先确定出点P的轨迹方程，然后将问题转化为“以AB为直径的圆要包

括圆22(1)(2)1xy−+−=”，由此利用圆心()1,2C到直线l的距离结合点P的轨迹所表示圆的半径可求解出AB的最小值.【详解】由题可知：22:(1)(2)2Cxy−+−=，圆心()1,2C，半径2r=，又CECF⊥，P是EF的中点，所以112C

PEF==，所以点P的轨迹方程22(1)(2)1xy−+−=，圆心为点()1,2C，半径为1R=，若直线:30lxy−−=上存在两点,AB，使得2APB恒成立，则以AB为直径的圆要包括圆22(1)(2)1xy−+−=，点()1,2C到直线l的距离为22123221(1)

d−−==+−，所以AB长度的最小值为()21422d+=+，故选：B．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于点P轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点以及线段长度可求点P轨迹方程，其次“2APB恒成立”转化为“以AB为直径的圆包括P的轨迹”，结合圆心到直线的距离加上半径

可分析AB的最小值.8.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，1333ABADAA===，点P为线段1AC上的动点，则下列结论错误．．的是（）A.当112ACAP=时，1,,BPD三点共线B.当115ACAP=时

，1AC⊥平面1DAPC.当113ACAP=时，1//DP平面1BDCD.当1APAC⊥时，1APDP⊥【答案】D【解析】【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，根据长方体的性质，可得判定A正确；求得1DAP的法向量

为(1,3,1)m=−−，结合1//ACm，可判定B正确；求得平面1BDC的法向量为(3,1,3)n=−，结合10DPn=，可判定C正确；由1APAC⊥时，结合10APDP，所以AP与1DP不垂直，所以D错误.【详

解】以D为原点，以1,,DADCDD所在的直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则1111(1,0,1),(0,0,0),(0,3,0),(0,0,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,3,0),(0,3,1)ADCDAABC，设111,(1,3,1)AC

kAPAC==−−，可得111131(1,,1)DPDAACkkkk=+=−−，对于A中，当112ACAP=时，即P为对角线1AC的中点，连接111,,ADBCBD，在矩形11ABCD中，可得P也是1BD的中

点，所以1,,BPD三点共线，所以A正确；对于B中，当115ACAP=时，可得434(,,)555P，所以134(,,)555AP=−，(1,0,1)AP=−，设平面1DAP的法向量为(,,)mabc=，则113405550m

APabcmDAac=−++==−=，取3b=，可得1,1=−=−ac，所以(1,3,1)m=−−，所以1//ACm，所以1AC⊥平面1DAP，所以B正确；对于C中，当113ACAP=时，可得232(,,)333P，所以1231(,,)333DP=−，设平面1

BDC的法向量为(,,)nxyz=，且1(1,3,0),(0,3,1)DBDC==，则13030mDBxymDCyz=+==+=，取1y=−，可得3,3xz==，所以(3,1,3)n=−，则1231330333DPn=−−=，所以1//DP平面1BDC，所以C正确；对于D中，当1A

PAC⊥时，131(,,1)APkkk=−−，由11310APACkkk=++=，解得5k=，则1134431434(,,)(,,)0555555252525APDP=−−=−+−,所以AP与1DP不垂直，所以D

错误.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对于空间一点O，下列命题中正确的是（）．A

.若1122OPOAOBOC=−+，则P，A，B，C四点共面B.若12233OPOAOBOC=−+−，则P，A，B，C四点共面C.若1433OPOAOB=−+，则P，A，B三点共线D.若2OPOAAB=+，则B是线段AP的中点【答案】BCD【解析】【分析】根据空间四点共面的结论即

可判断AB，再利用三点共线的结论和平面向量共线定理即可判断CD.【详解】对A，因为1110122−+=，则P，A，B，C四点不共面，故A错误；对B，因为122133−+−=，则P，A，B，C四点共面，故B正确；对C，因为14133−+=，则P，A，B

三点共线，故C正确；对D，2OPOAAB=+，即2OPOAAB−=，即2AAPB=，则2APAB=，APAB，共线，且点P,B在点A的一侧，又因为APAB，有公共点A，则点,,APB三点共线，则B是线段A

P的中点，故D正确.故选：BCD.10.以下四个命题表述正确的是（）A.圆222xy+=上有且仅有3个点到直线:10lxy−+=的距离都等于22B.曲线221:+20Cxyx+=与曲线222480C:xyxym+−−+=，恰有四条公切线，则实数m的取值范围为4mC.已知圆

22:2Cxy+=，P为直线230xy++=上一动点，过点P向圆C引一条切线PA，其中A为切点，则PA的最小值为2D.已知圆22:4Cxy+=，点P为直线:280lxy+−=上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，P

B，A，B为切点，则直线AB经过点11,2【答案】ACD【解析】【分析】选项A根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项C利用圆心与切点的连线垂

直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D利用切线的性质得切点弦方程，再根据切点弦方程求定点.【详解】选项A：圆222xy+=的圆心为()0,0O，半径2r=.圆心()0,0O到直线:10lxy−+=的距离121222Odr===，所以圆22

2xy+=上有且仅有3个点到直线:10lxy−+=的距离都等于22故选项A正确；选项B：方程22+20xyx+=可化为()2211xy++=，故曲线1C表示圆心为()11,0C−，半径11r=的圆.方程22480xyxym+−−+

=可化为()()222420xym−+−=−因为圆1C与曲线2C有四条公切线，所以曲线2C也为圆，且圆心为()22,4C，半径220rm=−(20m)同时两圆的位置关系为外离，有1212CCrr+，即5120m+−，解得420m.故选项B错

误；选项C：圆22:2Cxy+=的圆心()0,0C，半径2r=，圆心()0,0C到直线230xy++=的距离232Cdr=，所以直线与圆相离.由切线的性质知，PAC△为直角三角形，22222CPAPCrd=−−=，当且仅当PC与直线230xy++=垂直时等号成

立，所以PA的最小值为2.故选项C正确；选项D：设点()00,Pxy，因为点()00,Pxy在直线280xy+−=上，所以00280xy+−=，0082yx=−，由圆的切线性质知，直线AB的方程为004xxyy+=，()

00824xxyx+−=，整理得()02840xyxy−+−=，解方程20.840xyy−=−=得，1,12xy==.所以直线AB过定点11,2.故选项D正确.故选：ACD.11.已知

左、右焦点分别是1F，2F的椭圆C：()222210xyabab+=的离心率为e，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为P，则下列说法中正确的有（）A.2ABF△的周长为4aB.若直线OP的斜率为1k，AB的斜率为2k，则2122akkb=−C.若2125AF

AFc=，则e的最小值为77D.若2126AFAFc=，则e的最大值为77【答案】ACD【解析】【分析】根据椭圆的定义即可判断A；设()11,Axy，()22,Bxy，利用点差法和中点坐标公式可得2122bkka=−，进而判

断B；根据平面向量的坐标表示可得22222222121222,cAFAFxacacaca=+−−−，结合选项计算即可判断CD.【详解】A:根据椭圆的定义，2ABF△的周长为11224AFBF

AFBFa+++=，故A正确；B:设()11,Axy，()22,Bxy，则1212,22xxyyP++，所以12112yykxx+=+，12212yykxx−=−，由2211222222221

,1,xyabxyab+=+=得22221212220xxyyab−−+=，所以()()()()2121221212yyyybxxxxa+−=−+−，即2122bkka=−，故B不正确；C:()()22212111111,,AFAFcxycxyxyc=−−−−−=+−，因为()

22221222211221baxcyxacaa−==−+−，所以22222222121222,cAFAFxacacaca=+−−−，由2222225accac−−，得7676e，故C正确；D:由2222226accac−−，得724

7e，故D正确．故选：ACD.12.如图所示，该几何体由一个直三棱柱111ABCABC-和一个四棱锥11DACCA−组成，12ABBCACAA====，则下列说法正确的是（）A.若ADAC⊥，则1ADAC⊥B.若平面11ACD与平面ACD的交线为l，则AC//lC.三棱柱111AB

CABC-的外接球的表面积为143D.当该几何体有外接球时，点D到平面11ACCA的最大距离为2133−【答案】BD【解析】【分析】根据空间线面关系，结合题中空间几何体，逐项分析判断即可得解.【详解】对于选项A，若ADA

C⊥，又因1AA⊥平面ABC，但是D不一定在平面ABC上，所以A不正确；对于选项B，因为11//ACAC，所以//AC平面11ACD，平面11ACD平面ACDl=，所以//ACl，所以B正确；对于选项C，取ABC的中心O，

111ABC的中心1O，1OO的中点为该三棱柱外接球的球心，所以外接球的半径222321133R=+=，所以外接球的表面积为22843R=，所以C不正确；对于选项D，该几何体的外接球即为三棱

柱111ABCABC-的外接球，1OO的中点为该外接球的球心，该球心到平面11ACCA的距离为33，点D到平面11ACCA的最大距离为321333R−−=，所以D正确.故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.圆221:2120Cxyx++−=与圆222:440Cxyxy++

−=的交点为A，B，则弦AB的长为______．【答案】42【解析】【分析】先求出两圆的公共弦方程，观察发现222:440Cxyxy++−=的圆心在公共弦上，从而得到弦AB的长为圆2C的直径，求出公共弦长.【详解】圆221:2120Cxyx++−=与圆222:440Cxy

xy++−=联立可得：公共弦的方程为260xy−+=，222:440Cxyxy++−=变形为()()222:228Cxy++=−，故222:440Cxyxy++−=的圆心为()22,2C−，半径为22，而()22,2C−满足260xy−+=，故弦AB的长为圆2C的直径，为故弦AB

的长为42．故答案为：42.14.已知点()2cos10,2sin10P，点(2cos50,2sin50)Q−，则直线PQ的倾斜角为_______．【答案】70【解析】【分析】利用两点斜率公式结合三角恒等变换求得tan，

从而可得倾斜角；【详解】设直线PQ的倾斜角为()0180，则()()31cos50sin50sin6050sin502sin102sin5022tan2cos102cos50cos6050cos50

31sin50cos5022+−++===−−−−()()sin5060sin110sin70tan70sin5030sin20cos70+====−，所以直线PQ的

倾斜角为70；故答案为：70.15.如图，已知两个正四棱锥PABCD−与QABCD−的高分别为1和2，4AB=，则异面直线AQ与BP所成角的余弦值为______．【答案】39##139【解析】【分析】连接AC，BD，交于点O，则ACBD⊥，连接PQ，则PQ过点O，由正

四棱锥的性质知PQ⊥平面ABCD，故以O为坐标原点，以直线CA，DB，QP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可.【详解】由题设知，四边形ABCD是正方形，连接AC，BD，交于点O，则ACBD⊥．连接PQ，则PQ过点O．由正四棱锥的

性质知PQ⊥平面ABCD，故以O为坐标原点，以直线CA，DB，QP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,1P，()22,0,0A，()0,0,2Q−，()0,22,0B，所以()22,0,2AQ=−−，()0,22,1BP=−．于是3co

s,9AQBPAQBPAQBP==−，所以异面直线AQ与BP所成角的余弦值为39．故答案为：3916.已知椭圆22:143xyC+=，M、N是坐标平面内的两点，且M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在椭圆C上，则ANBN+=______．【答案

】8【解析】【分析】根据已知条件，作出图形，MN的中点连接椭圆的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为2a即可求出ANBN+．【详解】设MN的中点为D，椭圆C的左、右焦点

分别为1F、2F，如图，连接1DF、2DF，因为1F是MA的中点，D是MN的中点，则1DF是MAN△的中位线，所以，112DFAN=，同理可得212DFBN=，根据椭圆的定义可得1224DFDFa+==，所以，()122248ANBNDFDF+=

+==.故答案为：8.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知圆M经过点()()()3,1,6,8,1,1ABC−−−.（1）求圆M的标准方程；（2）过点()2,3P向圆M作切线，求切线方程.

【答案】（1）()()223425xy++−=（2）2x=或12590xy−−=【解析】【分析】（1）利用待定系数法去求圆M的标准方程；（2）利用几何法去求过点()2,3P的圆M的切线方程即可解决.【小问1详解】设圆M的方程为22+0xyDx

EyF+++=则91303664680110DEFDEFDEF+−−+=+−++=++++=，解之得680DEF==−=则圆M的方程为22680xyxy++−=则圆M的标准方程为(

)()223425xy++−=【小问2详解】圆M圆心4()3,M−，半径=5r当过点()2,3P的直线斜率不存在时直线方程为2x=，与圆M相切，符合题意；当过点()2,3P的直线斜率存在时直线方程可设为()23ykx=−+则253451kk

−+−=+，解之得125k=，则()12235yx=−+，整理得12590xy−−=故过点()2,3P的圆M的切线方程为2x=或12590xy−−=18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆()222210xyabab+=的焦点为()1,0Fc−

，()2,0Fc，点A为上顶点，直线1AF交椭圆于点B.（1）若2a=，1c=，求点B的坐标；（2）若22AFBF⊥，求椭圆的离心率.【答案】（1）41(,)33−−；（2）55.【解析】【分析】（1）先求解椭圆的方程和直线AB的方程，联立方程组可求点B的坐标；（2）利用椭圆的定义及垂直关

系求解12,BFBF，再结合余弦定理可求离心率.的【详解】（1）因为2a=，1c=，所以椭圆的方程为2212xy+=，直线:1AByx=+，222134021xyxxyx+=+==+，所以0x=或43x=−，所以点B的坐标为41(,)33−−.（2）设

1BFx=，则22BFax=−，因为点A为上顶点，所以12AFAFa==，因为22AFBF⊥，所以222(2)()aaxax+−=+，所以23ax=.在三角形2BAF中，223cos5AFBAFAB==,在

三角形12AFF中，()222222122224cos1222aacacFAFeaaa+−−===−,所以23125e−=，即55e=.【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系及椭圆的离心率，离心率的求解的关键是建立,,abc之间的关系式，侧重考查数学运算的核心

素养.19.如图，四边形11ACCA与四边形11BCCB是全等的矩形，1222ABACAA==.（1）若P是棱1AA的中点，求证：平面11PBC⊥平面1PBC；（2）若P是棱1AA上的点，直线BP与平面11ACCA所成角的正切值为31313，求二面角11BPCC−

−的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）137【解析】【分析】（1）易证BC⊥平面11ACCA，从而BCCP⊥，再由1222ACAA=，得到ACAP＝，从而π4APC=，同理11π4APC=，从而

1π2CPC=，即1PCCP⊥，再由//BC11BC，得到11BCCP⊥，然后利用线面垂直的判定定理得到⊥CP平面11PBC，然后利用面面垂直的判定定理证明；（2）根据（1）得到11AC，11BC，1CC两两垂直，以1CC，11CB，11CA所在直线分别为x，y，z轴建

立空间直角坐标系.，求得平面1PBC的一个法向量为(),,mxyz=，易知平面1PCC的一个法向量为()0,1,0n=，然后设二面角11BPCC−−的大小为，由cosmnmn=求解.【小问1详解】由题意知22ACBCAB==，所以ACBC⊥，又因为1CCBC⊥，且1CCACC=I，AC

平面11ACCA，1CC平面11ACCA，所以BC⊥平面11ACCA，又CP平面11ACCA，所以BCCP⊥.1222ACAA=，即112ACAA=，所以ACAP＝，所以π4APC=，同理11π4APC=，所

以1π2CPC=，即1PCCP⊥.又由于//BC11BC，所以11BCCP⊥，且1111PCBCC=，又1PC平面11PBC，11BC平面11PBC，所以⊥CP平面11PBC，又因为CP面1PBC，所以平面11PBC⊥平面1PBC.【小问2详解】由（1）知，B

C⊥平面11ACCA，所以CP是直线BP在平面11ACCA内的射影，所以BPC就是直线BP与平面11ACCA所成的角，即313tan13BPC=，所以131333CPBCAC==，所以由勾股定理得12133APACAA==，又由（1）知，11AC，11BC，1CC两两垂直，

以1CC，11CB，11CA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.设12AA=，则()2,0,0C，()10,1,0B，4,0,13P，()12,1,0BC=−，2,0,13PC=−，设平面1PBC的一个法向量为(),,mxyz=，由于1mBCmPC⊥⊥

，所以100mBCmPC==，即20203xyxz−=−=，令3x=，则6y=，2z=，即()3,6,2=m，易知平面1PCC的一个法向量为()0,1,0n=，设二面角11BPCC−−的大小为，可知为锐角，

所以222667263cosmnmn==++=.故二面角11BPCC−−的正弦值为137.20.如图，ACD和BCD△都是边长为2的等边三角形，平面ACD⊥平面BCD，EB⊥平面BCD．（1）证明：//EB平面ACD；（2）若点E到平面ABC的距离为5，求平面ECD与

平面BCD夹角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）533【解析】【分析】（1）取CD的中点，连接AO，先证明AO⊥平面BCD，则可证明//EBAO，即可证明//EB平面ACD；（2）连接EO，BO，取BC的中点F，连接DF，先求出EABCV−，AEBCV−，则可求到EB，

再证明平面ECD与平面BCD夹角的平面角为EOB，从而根据tanEBEOBOB=即可求解．【小问1详解】如图，取CD的中点，连接AO，则AOCD⊥，又因为平面ACD⊥平面BCD，且平面ACD平面=BCDCD，AO平面ACD，则AO⊥平

面BCD，又EB⊥平面BCD，所以//EBAO，又EB平面ACD，AO平面ACD，所以//EB平面ACD．【小问2详解】如图，连接EO，BO，取BC的中点F，连接DF，则DFBC⊥，因为226ABAOBO=+=，则等腰BAC的面积为110156222B

ACS==，所以三棱锥EABC−的体积为115535326EABCV−==，因为EB⊥平面BCD，DF平面BCD，则DFEB⊥，又因为DFBC⊥，EBBCB=，EB平面EBC，BC平面EBC，则DF⊥平面EBC，因为//EBAO，则点A到平面E

BC的距离等于点O到平面EBC的距离等于13=22DF，因为122EBCSEBEB==，则133326AEBCVEBEB−==，又EABCAEBCVV−−=，所以=5EB，因为EB⊥平面BCD，BC平面B

CD，BD平面BCD，则EBBC⊥，EBBD⊥，所以ECED=，所以EOCD⊥，所以平面ECD与平面BCD夹角的平面角为EOB，则553tan33EBEOBOB===，所以平面ECD与平面BCD夹角的正切值为533．21.如图，C是以AB

为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面,ABCPAC为正三角形，E，F分别是,PCPB上的动点.（1）求证：BCAE⊥；（2）若E，F分别是,PCPB的中点且异面直线AF与BC所成角的正切值为32，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直

线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）0,6【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明BC⊥平面PAC，即可证明BCAE⊥.（2）由已知结合线面平行的判定定理知//BC平

面AEF，结合线面平行的性质定理知//BCl，建立空间直角坐标系，设(2,,0)Qt，求出平面AEF的一个法向量，利用空间向量求线面角即可得解.【小问1详解】证明：因为C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，所以BCAC⊥，又平

面PAC⊥平面ABC，且平面PAC平面,ABCACBC=平面ABC，所以BC⊥平面,PACAE平面PAC.所以BCAE⊥【小问2详解】由E，F分别是,PCPB的中点，连结,AEEF，所以BCEF∥，

由（1）知BCAE⊥，所以EFAE⊥，所以在RtAFE中，AFE就是异面直线AF与BC所成的角.因为异面直线AF与BC所成角的正切值为32，所以3tan2=AFE，即32AEEF=又EF平面,AEFBC平面

AEF，所以//BC平面AEF，又BC平面ABC，平面EFA平面=ABCl，所以BCl∥所以在平面ABC中，过点A作BC的平行线即为直线l.以C为坐标原点，,CACB所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设2AC=.

因为PAC△为正三角形所以3AE=，从而2EF=由已知E，F分别是,PCPB的中点，所以24BCEF==则(2,0,0),(0,4,0),(1,0,3)ABP，所以1313,0,,,2,2222EF，所以33,0,,(0,2,0)22=−=EAFE，因为BC

l∥，所以可设(2,,0)Qt，平面AEF的一个法向量为(,,)mxyz=，则3302220xzAEmEFmy=−+===，取3z=，得(1,0,3)m=，又(1,,3)=−PQt，则211|cos,|0,2||||4

==+PQmPQmPQmt.设直线PQ与平面AEF所成角为，则211sin0,24=+t.所以直线PQ与平面AEF所成角的取值范围为0,6.22.在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原

点O且圆心在曲线3yx=上.（1）设直线l：343yx=−+与圆M交于C，D两点，且OCOD=，求圆M的方程；（2）设直线3y=与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线5x=上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐

标.【答案】（1）()()22134xx−+−=（2）()2,3【解析】【分析】（1）由题意设圆的方程为()222233xtxttt−+−=+，再根据直线l：343yx

=−+与圆M交于C，D两点，且OCOD=，由OMl⊥求解；（2）由题意设()()()011115,,,,,PyGxyHxy，又()()1,3,3,3EF−，得到0033,62PEPFyykk−−==，设,3PEPFkmkm==，分别得到直线PE和直线PF的方程，与圆的方程联立，结合韦达定理

，消去m得到()121227200xxxx−++=，再设直线GH的方程为：ykxb=+，代入圆的方程，将韦达定理代入上式求解.【小问1详解】解：因为圆心在曲线3yx=上，所以设圆心为3,Mtt，又圆M过

坐标原点O，则半径为：223rtt=+，设圆的方程为()222233xtxttt−+−=+，又直线l：343yx=−+与圆M交于C，D两点，且OCOD=,所以OMl⊥，则233OMkt==，解得1t=，当1t=时，圆的方程为

()()22134xx−+−=，此时，圆心到直线343yx=−+的距离()2312dr=−=，符合题意；当1t=−时，圆的方程为：()()22134xx+++=，此时，圆心到直线343yx=−+距离()2312dr=+=，不符合题

意；【小问2详解】如图所示：由题意设()()()011115,,,,,PyGxyHxy，又()()1,3,3,3EF−，则0033,62PEPFyykk−−==，则3PEPFkk=，设,3PEPFkmkm==，则直线PE的方程为()31ymx−

=−，代入圆的方程消去y得：()()222212230mxmxm++−+−=，()()()222222413160mmm=−−+−=，由韦达定理得212311mxm−−=+，即21231mxm−=−+，设直线PF的方程为：()333y

mx−=−，代入圆的方程消去y得：()()2222195428130mxmxm++++−=，()()()2222542419813160mmm=+−+−=，由韦达定理得222813319mxm−=+，即22237119mxm−=+，所以221

22233712119mmxxmm−−+=−+=++，222122242337111231199101mmmxxmmmm−−=−=−+++++，的消去m得()121227200xxxx−++=，设直线GH的方程为：ykxb=+，代入圆的方程消去y得：()(

)22212232230kxkbkxbb++−−+−=，()()()()2222222324123128834483kbkkbbkbkbb=−−−+−=−−+−+，由韦达定理得12222321kbkxxk

−−+=−+，2122231bbxxk−=−+，则()22723107330bkbkk+−+−+=，即()()23530bkbk+−+−=，解得23bk=−+或53bk=−+，当23bk=−+时，212120k

=+，直线GH的方程为()23ykx=−+，过定点()2,3；当53bk=−+时，248160k=−+，解得3333k−，直线GH方程为()53ykx=−+，过定点()5,3，此时G，H在直线EF同侧，不符合题意，故直线GH过

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