【文档说明】高中数学人教B版必修4教学教案：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 （2） 含答案【高考】.doc，共(3)页，1.653 MB，由小赞的店铺上传

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-1-第二章2.2.2向量的正交分解与向量的坐标运算教学分析1．前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．2．本小节主要是运用向量线性运算的交

换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算．推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律．3．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？为今后

的学习打下伏笔。三维目标1．通过经历探究活动，使学生理解并掌握平面向量的坐标运算。2．引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体．3．在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．重点难点教学重点：

平面向量的坐标运算．教学难点：形成见数思形、以形助数的思维习惯．教学过程导入新课思路：对于平面内的任意向量a，过定点O作向量OA→＝a，则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定．如果以定点O为原点建立平面直角坐标系，那

么点A的位置可通过其坐标来反映，从而向量a也可以用坐标来表示，这样我们就可以通过坐标来研究向量问题了．事实上，向量的坐标表示，实际是向量的代数表示．引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的

坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？呈现形式：复习1平面向量的正交分解2平面向量的坐标表示新知探究提出问题①我们研究了平面向量的坐标表示，现在已知

a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b，λa的坐标表示吗？②如图1，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样表示AB的坐标？你能在图中标出坐标为(x2－x1，y2－y1)的P点吗？标出点P后，你能总结出

什么结论？活动：教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生到黑板去板书步骤．可得：a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，

y1＋y2)．同理a－b＝(x1－x2，y1－y2)．又λa＝λ(x1i＋y1j)＝λx1i＋λy1j.∴λa＝(λx1，λy1)．-2-教师和学生一起总结，把上述结论用文字叙述分别为：两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应

坐标．教师再引导学生找出点与向量的关系：将向量AB→平移，使得点A与坐标原点O重合，则平移后的B点位置就是P点．向量AB→的坐标与以原点为始点，点P为终点的向量坐标是相同的，这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系

．学生通过平移也可以发现：向量AB→的模与向量OP→的模是相等的．由此，我们可以得出平面内两点间的距离公式：|AB→|＝|OP→|＝x1－x22＋y1－y22.教师对总结完全的同学进行表扬，并鼓励学生，只要善于开动脑筋，勇于创新，展开思维的翅膀，就一定能获得意想不到的收获．讨

论结果：①能．②AB→＝OB→－OA→＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．合作探究1已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b,3a＋4b的坐标．活动：本例是向

量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算．可由学生自己完成．解：a＋b＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)；a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)；3a＋4b＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝

(－6,19)．点评：本例是平面向量坐标运算的常规题，目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.2如图2，已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2,1)、(－1,3)、(3,4)，试求顶点D的坐标．图2活动：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．这里给出了两种方法：方法一利用“两个向量

相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；方法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD→的坐标，进而得到点D的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系)，数形结合地思考，将顶点D的坐标表示为已知点的坐标．解：方法一：如图2，设

顶点D的坐标为(x，y)．∵AB→＝(－1－(－2)，3－1)＝(1,2)，DC→＝(3－x,4－y)．由AB→＝DC→，得(1,2)＝(3－x,4－y)．∴1＝3－x，2＝4－y.-3-∴x＝2，y＝2.∴顶点D的坐标为(

2,2)．方法二：如图2，由向量加法的平行四边形法则，可知BD→＝BA→＋AD→＝BA→＋BC→＝(－2－(－1)，1－3)＋(3－(－1)，4－3)＝(3，－1)，而OD→＝OB→＋BD→＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)，∴顶点D的坐标为(2,2)．点

评：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.变式训练如图3，已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形四个顶点．图3解：当平行四边形为ABCD1时，仿例2得

：D1＝(2,2)；当平行四边形为ACD2B时，仿例2得：D2＝(4,6)；当平行四边形为D3ACB时，仿例2得：D3＝(－6,0).当堂检测1．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，则－3a－2b等于()A．(7,1)B．(－7

，－1)C．(－7,1)D．(7，－1)2．已知A(1,1)，B(－1,0)，C(0,1)，D(x，y)，若AB→和CD→是相反向量，则D点的坐标是()A．(－2,0)B．(2,2)C．(2,0)D．(－2，－2)3．若A(2

,3)，B(x,4)，C(3，y)，且AB→＝2AC→，则x＝________，y＝________.4．已知ABCD中，AD→＝(3,7)，AB→＝(－2,1)，则CO→的坐标(O为对角线的交点)为________．课堂小结1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识

：平面向量的和、差、数乘的坐标运算，2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，化归、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好基础．课后

作业课本习题2.3A组2、3、4