【文档说明】北京市西城区北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期期中测验数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.147 MB，由管理员店铺上传

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北师大实验中学2024-2025学年度第一学期期中试卷高二数学2024年11月本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择

题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.直线的倾斜角是23，则斜率是（）A.33−B.33C.3−D.3【答案】C【解析】【分析】由直线的倾斜角与斜率的关系

即得.【详解】∵直线的倾斜角是23，∴直线的斜率为2tantan()tan3333=−=−=−.故选：C.2.已知点P在椭圆22132xy+=上，点()11,0F，()21,0F−，则12PFPF+=（）A.2B.22C.23D.25【答案】C【解析】【分析】根据题意由椭圆标

准方程以及椭圆定义即可得出结果.【详解】由椭圆方程为22132xy+=可知3,1ac==，则()11,0F，()21,0F−即为椭圆左、右焦点，由椭圆定义可得12223PFPFa+==.的故选：C3.已知圆222610xyxy+

−++=关于直线0xym++=对称，则实数m=（）A.－2B.－1C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根据圆关于直线对称即圆心在直线上得到答案.【详解】将222610xyxy+−++=化成标准方程为()(

)22139xy−++=，圆心为()1,3−，半径为3，因为圆222610xyxy+−++=关于直线0xym++=对称，所以圆心()1,3−在直线上，即130m−+=，解得2m=.故选：D.4.以点()2,1A为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为（）A.()()2221

1xy−+−=B.()()22214xy−+−=C.()()22211xy+++=D.()()22214xy+++=【答案】A【解析】【分析】根据圆心和半径可得圆的方程.【详解】以点()2,1A为圆心，且与x轴相切的圆的半径为1．故圆

的标准方程是()()22211xy−+−=．故选:A．5.已知Q为直线:210lxy++=上的动点，点P满足()1,3QP=−，记P的轨迹为E，则（）A.E是一个半径为5的圆B.E是一条与l相交的直线C.E上的点到l的距离均为5D.E是两条平行直线【答案】C【解析】【分析】设(),

Pxy，由()1,3QP=−可得Q点坐标，由Q在直线上，故可将点代入坐标，即可得P轨迹E，结合选项即可得出正确答案.【详解】设(),Pxy，由()1,3QP=−，则()1,3Qxy−+，由Q在直线:210lxy++=上，故()12310xy−+++=，化简得260xy++=

，即P的轨迹为E为直线且与直线l平行，E上的点到l的距离2261512d−==+，故A、B、D错误，C正确.故选：C.6.如图，三棱锥D-ABC中，DC⊥平面ABC，DC=1，且𝛥𝐴𝐵𝐶为边长等于2的正三角

形，则DA与平面DBC所成角的正弦值为A.255B.155C.55D.25【答案】B【解析】【分析】先过A点作出高线，利用等体积法先求高线，再计算线面角．【详解】过点A作垂直于平面BCD的直线，垂足为O，利用等体积法求解AO．0111

31VDCS60221VAOS33233DABCABCABCDBCDsin−−=====，由此解得AO3=，DA与平面DBC所成角为ADO，所以15sinADO5AOAD==,故选B【点睛】本题考查了等体积法和线面角基本求法，

综合性强，在三棱锥中求高线，利用等体积法是一种常见处理手段，计算线面角，先找线面角，要找线面角必找垂线，而求解垂线的基本方法为等体积法或者点到平面的距离公式．7.点M是直线250xy−+=上的动点，O是坐标原点，则以OM为直径的圆经过定点（）

．的A.(0,0)和(1,1)−B.(0,0)和(2,2)−C.(0,0)和(1,2)−D.(0,0)和(2,1)−【答案】D【解析】【分析】过点O作OP垂直于直线250xy−+=，根据圆的性质可得以OM为直径的圆过定点O和P，得解.【详解】如图，过点

O作OP垂直于直线250xy−+=，垂足为P，则以OM为直径圆过定点O和P，易知直线OP的方程为12yx=−，联立25012xyyx−+==−，解得21xy=−=，即()2,1P−.所以以OM为直

径的圆经过定点()0,0和()2,1−.故选：D.8.“3m=”是“椭圆2214xym+=的离心率为12”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分

析】根据椭圆2214xym+=的离心率为12求出m，进而求得答案.【详解】椭圆2214xym+=的离心率为12，当04m时，4122m−=，得3m=；的当4m时，412mm−=，得163m=．即“3m=”是“椭圆221

4xym+=的离心率为12”的充分不必要条件．故选：A.9.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为

1，则点P到平面QGC的距离是（）A.12B.22C.32D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合向量法求解点到面的距离，即可得到结果.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()0,2,0,0,0,2,1,0

,2,2,0,1CGQP，则()()()1,0,0,0,2,2,2,2,1GQGCCP==−=−，设平面QGC的一个法向量为(),,nxyz=，则0220GQnxGCnyz===−=，取1z=，得()0,1

,1n=，所以点P到平面QGC距离是021222nCPn−+==.故选：B10.如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形11BCCB的边界及其内部运动．以下四个结论中错误的是（）A.存在点P满足15PMPD+=B.存在点P满足1π2DPM=C.满

足1APDM⊥的点P的轨迹长度为π4D.满足1MPDM⊥的点P的轨迹长度为24【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量解决此题，对于A，利用两个特殊点求出1PMPD+的值，判断5在此范围内即可；对于B

，利用向量垂直数量积等于零解方程即可求P点坐标；对于C，D利用向量垂直数量积等于零可求P点的轨迹方程，根据图形找到P点的轨迹求长度即可．【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，则(1A,0,0)，1(0D,0,1)，1(1,,0)2M，1(0

C,1,1)，动点P设为(Px,1,)z，的对于A，点M关于平面11BCBC的对称点为13(1,,0)2M，当动点P在点1M时，此时21min11317()1()1522PMPDDM+==++=，当动点P在点1C时，此时1111351522PM

PDCDCM+=+=+=，所以存在点P满足15PMPD+=，所以A正确；对于B，1(1,,)2PMxz=−−−，1(,1,1)PDxz=−−−，若1π2DPM=，则11(1)(1)02PMPDxxzz=−−+−

−=，化简得：2211()()022xz−+−=，解得1212xz==，即11(,1,)22P，满足题意，所以B正确；对于C，(1,1,)APxz=−，11(1,,1)2DM=−，若1APDM⊥，则11102APDMxz=−+−=，即

12zx=−，取BC中点E，1BB中点F，则点P的轨迹为线段EF，长度为22，所以C错误；对于D，1(1,,)2MPxz=−，11(1,,1)2DM=−，若1MPDM⊥，则11104MPDMxz=−+

−=，即34zx=−，取BF中点H，BE中点K，则点P的轨迹为线段HK，长度为24，所以D正确．故选：C．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.椭圆22194xy+=的离心率是________

_．【答案】53【解析】【分析】利用标准方程，求出a，b，然后求解c，即可求解离心率．【详解】椭圆22194xy+=的长半轴为a＝3，短半轴为b＝2，则半焦距为c945=−=．所以椭圆的离心率为：e53ca==．故答

案为53．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．12.已知直线1l：()210mxy+++=，2l：()5210xmy+−+=．若12ll∥，则实数m的值为______．【答案】－3【解析】【分析】根据两直线平

行的条件列式求解即可.【详解】若12ll∥，则()()2250mm+−−=，解得3m=或3m=−，当3m=时，直线1l：510xy++=与2l：5310xy++=重合，不符合题意；当3m=−时，直线1l：10xy−++=与2

l：5510xy−+=，符合题意，综上，3m=−故答案为：－3.13.在正三棱柱111ABCABC−中，2AB=，12AA=，则异面直线1AB与1BC所成角的大小为______．【答案】π2【解析】【分析】利用异

面直线夹角的向量求法建立空间直角坐标系计算可得结果.【详解】分别取11,BCBC的中点1,OO，连接1,AOOO，由正三柱性质可知11,,AOBCOOBCAOOO⊥⊥⊥，以O为坐标原点，1,,OAOBOO所在直线分别为,,x

yz轴建立空间直角坐标系，如下图所示：由2AB=，12AA=可得()()()()113,0,0,0,1,0,0,1,2,0,1,2ABBC−，所以()()113,1,2,0,2,2ABBC=−=−，又

111111022cos,066ABBCABBCABBC−+===，且11,0,πABBC；所以11π,2ABBC=.故答案为：π214.已知点P是圆()2211xy−+=上的动点，直线1l：3470xy−+=，2l：340xym−+=，记P到直线1l，2l的距离分别为1d，2d（

若P在直线上，则记距离为0），（1）1d的最大值为______；（2）若当点P在圆上运动时，12dd+为定值，则m的取值范围是______．【答案】①.3②.(,8−−【解析】【分析】（1）根据圆上点到直线的距离

最大值为圆心到直线的距离加半径求解即可；（2）根据12dd+为定值，分析得到圆的位置，结合直线与圆的位置关系求解.【详解】（1）圆()2211xy−+=，圆心(1,0)，半径为1，圆心到直线1l的距离()2231407234d−+==+−，所以P到直线1l的距离1d的最大值为

13d+=；（2）当7m=时，两直线重合，不符题意；当7m时，直线1l，2l平行，若当点P在圆上运动时，12dd+为定值，所以圆在两平行线之间，此时直线2l与圆相离，所以()223140134md−+=+−，解得2m≥或8m−，又

因为当2m≥时，直线1l，2l在圆同侧，不符合题意，所以8m−，故答案为：3，(,8−−.15.伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比

处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线．在平面直角坐标系xOy中，到定点(),0Aa−，(),0Ba的距离之积为()20aa的点的轨迹C就是伯努利双纽线，C的方程为()()2222222xyaxy+=−，其形状类似于符号∞，若点()00,Pxy是轨迹C上一点

，给出下列四个结论：①曲线C关于原点中心对称；②00yx恒成立；③曲线C上任一点到原点的距离不超过2a；④当0xa=时，0y取得最大值或最小值．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①②③【解析】【分析】根据曲线的方程，结合对称性的判定方法，联立方程组，以及不等

式和三角形面积，逐项判定，即可求解.【详解】在曲线C上任取一点(),Mxy，关于原点的对称点为(),Mxy−−，代入曲线C的方程，可知M在曲线C上，所以曲线C关于原点中心对称，故①正确；因为点()00,Pxy是轨迹C上一点，所以()()22222200002xyaxy+=−，因为()

222000xy+，所以()()222222000020xyaxy+=−，即2200yx，所以00yx，故②正确；因为()()()22222222222xyaxxyya+=−+，所以2222xya+，所以222xya+，所以曲线C上任一点到原点的距离不超过2a，故③

正确；因为()00,Pxy，所以12121212011||||sin||||22PFFSPFPFFPFFFy==，又212||||PFPFa=，所以2120sin2||aFPFay=，即012||sin22aayFPF

=，所以022aay−，当12π2FPF=时等号成立，故④错误，故答案为：①②③【点睛】方法点睛：本题考查曲线的轨迹及其性质的问题，同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出

文字说明、验算步骤或证明过程．16.已知直线l：()()211510xy++−−−=，R．（1）当直线l与直线20xy+=垂直时，求的值；（2）设直线l恒过定点P，求P的坐标；（3）若对任意的实数，直线l与圆()2220xyrr+=总有公共点，直接写出r的取

值范围．【答案】（1）14=（2）()2,1P（3）5r【解析】【分析】（1）根据直线与直线垂直关系列方程即可求得的值；（2）将直线方程转化为()1250xyxy−−++−=，列方程组解得定点坐标即可；（3）根据直线与圆位置关系结合点与圆位置关系求解即可.【小问1详解】当直

线l：()()211510xy++−−−=与直线20xy+=垂直时，可得()()21112410++−=−=，解得14=；【小问2详解】直线l：()()211510xy++−−−=方程整理

得()1250xyxy−−++−=，令10,250xyxy−−=+−=，解得2,1,xy==即直线l恒过定点()2,1P；【小问3详解】对任意的实数，直线l与圆()2220xyrr+=总有公共点，则直线l恒过定点()2,1P在圆上或者圆内，则5OP

r=，即5r.17.已知C经过点()0,2A−，()3,1B，并且圆心C在直线28yx=−上，（1）求C的方程；（2）设过点()2,0P的直线l与C交于M，N两点，若42MN=，求l的方程．【答案】（1）()()22329xy−++=

（2）2x=或3460xy+−=．【解析】【分析】（1）根据圆的几何性质确定线段AB的垂直平分线方程，从而联立直线可得圆心坐标，根据圆的定义得半径，从而得圆的方程；（2）根据直线与圆相交弦长公式，分直线斜率存在与不存在两种情

况验证求解直线方程即可.【小问1详解】因为()0,2A−，()3,1B，则1ABk=，且线段AB中点为31,22−，则线段AB的垂直平分线的斜率为1−，故其方程为1322yx+=−−，即10xy+−=，由圆的对称性知点C

在AB的垂直平分线上，因此联立10,28,xyyx+−==−解得3,2,xy==−即点()3,2C−，又因为3rAC==，所以圆C：()()22329xy−++=．【小问2详解】圆心()3,2C−，半径3r=当1l的斜率不存在时，1l：2x=，则圆心C到直线1l的距离为1d=，此

时相交弦长22242MNrd=−=，满足题意；当1l的斜率存在时，设1l：()2ykx=−，即20kxyk−−=，因为相交弦长22242MNrd=−=，所以C到1l的距离为222211kkdk+−==+，解得34k=−，此时，直线1l：3460xy+−=，综上，直线1l的方程为2

x=或3460xy+−=．18.已知椭圆C：()222210+=xyabab的左、右焦点分别为()13,0F−和()23,0F，长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，()1,0M．若存在实数使得

12PFPFPM+=，求的取值范围．【答案】（1）2214xy+=（2）4,263．【解析】【分析】（1）根据椭圆,,abc的关系列方程组求得,,abc的值，即可得椭圆方程；（2）根据椭圆的定义可得124PFPF+=，再根据两点距离公式结合点在椭圆上

求解PM的取值范围，即可得所求.【小问1详解】由题知2223,24,,caabc===+解得2,1,3,abc===所以，C的方程为2214xy+=．【小问2详解】由椭圆的定义可知124PFPF+

=，设点𝑃(𝑥0,𝑦0)，其中220014xy+=，则220014xy=−，所以()222020200033421224433PMxyxxx=−+=−+=−+，因为022x−，所以2293PM，即633PM当且仅当043x=时，63PM=，02x=−时，3PM

=，因为12PFPFPM+=，则12PFPFPM+=，所以4,263．综上所述，的取值范围是4,263．19.如图，在三棱台111ABCABC−中，若1AA⊥平面1,,2ABCABACABACAA⊥===，

111,ACN=为AB中点，M为棱BC上一动点（不包含端点）.（1）若M为BC的中点，求证：1//AN平面1CMA.（2）是否存在点M，使得平面1CMA与平面11ACCA所成角的余弦值为66？若存在，求出BM长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）223【解析】【

分析】（1）利用三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】连接NM，因为N为AB中点，M为BC的中点，所以1//,2NMACNMAC=，因为111ABCABC−是正三棱台，111,2ACA

C==，所以11111//,2ACACACAC=，于是有11111//,2NMACNMAC=，因此四边形11NMCA是平行四边形，所以111//,ANCMAN平面1CMA，1CM平面1CMA，所以1//AN平面1CMA【小问2详解】假设存在点M，使得平面1CMA与平面11ACC

A所成角的余弦值为66，因为1AA⊥平面,,ABCABAC平面ABC，所以11,AAABAAAC⊥⊥，而ABAC⊥，所以建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()()10,0,0,0,1,2,2,0,0,0,2,0,,,AC

BCMxyz，设()()()()()0,12,,2,2,022,2,0BMBCxyzM=−=−−，设平面1CMA的法向量为(),,mabc=，()()1220,1,2,0,,2,ACAM=−=，所以有()1202,2,1

12220mACbcmmAMab=+==−−=−+=，因为1AAAB⊥，ABAC⊥，11,,AAACAAAACA==，所以AB⊥平面11ACCA，所以平面11ACCA的法

向量为()2,0,0AB=，所以()2224661cos,6622121mABmABmAB−===+−+−，解得13=，1=−舍去，即42,,033M，2242222333BM=−+=，即BM长度为223

.20.平面直角坐标系xOy中，点M到点()0,1F的距离比它到x轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）设斜率为k的直线l过定点()1,0P，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围．【答案】（1）24,00,0yyxy=（2）

)0,1．【解析】【分析】（1）根据题意列出等量关系并整理即可得出轨迹C的方程；（2）分情况将曲线C与直线方程联立，根据方程根的个数求得实数k的取值范围．【小问1详解】设点𝑀(𝑥,𝑦)，由题知()2211xyy+−

=+，两边平方，并整理得24,0220,0yyxyyy=+=,所以轨迹C的方程为24,00,0yyxy=.【小问2详解】易知直线():1lykx=−，当0y时，如下图所示：联立()214ykxxy=−=，消去y得2440xkxk−+=，21616

kk=−，当0=，即0k=或1k=时，有且仅有一个公共点且满足题意；当0，即01k时，无公共点；当0y时，令0x=，yk=−，当0k时，无公共点；当0k时，有一个公共点；综合以上可知当01k时，有且仅有一个公共点，故k的取值范围是)0,1．21.

用一个矩形铁皮制作成一个直角圆形弯管（如图1）：将该矩形铁皮围成一个圆柱体（如图2），再用一个与圆柱底面所成45的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到直角圆形弯管．现使用长为2π，宽为π的矩形铁皮制作一个直角圆形弯管，当得到

的直角圆形弯管的体积最大时（不计拼接损耗部分），解答下列问题．（1）求该直角圆形弯管的体积；（2）已知在制造直角圆形弯管时截得的截口是一个椭圆，求该椭圆的离心率；（3）如图3，若将圆柱被截开的一段的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展成平面图形（如图4），证明：该截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数

的部分图象，并指出该正弦型函数的最小正周期与振幅．【答案】（1）2π（2）22（3）证明见解析，最小正周期为2π，振幅为1【解析】【分析】（1）易知直角圆形弯管的体积即为切割前圆管体积，且当矩形的长或宽作为圆柱的高时，体积最大，分别求两种情况的体积；（2）根据

圆柱截面的性质可得2ab=，即可得离心率；（3）以椭圆的短轴所在直线在底面的投影为x轴建立平面直角坐标系，设对于底面圆上一点()cos,sinP，则()1,0与P所连接的弧长为，假设短轴对应的高度为0，可得点P对应到椭圆上的点的高度，即可得截口展开形成的图形的

函数，进而可得最小正周期与振幅.【小问1详解】易知直角圆形弯管的体积即为切割前圆管体积，且当矩形的长或宽作为圆柱的高时，体积最大，当矩形的长作为圆柱的高时，圆柱体的底面圆周长为π，则底面半径为12，高为2π，体

积为221π2ππ22=；当矩形的宽作为圆柱的高时，圆柱体的底面圆周长为2π，则底面半径为1，高为π，体积为222ππ1ππ2=；所以体积为2π；【小问2详解】设该椭圆为()222210+=xyabab

，因此222ab=，即2ab=，所以22212cbeaa==−=；【小问3详解】以椭圆的短轴所在直线在底面的投影为x轴建立平面直角坐标系，设对于底面圆上一点()cos,sinP，则()1,0与P所连接弧长为，假设短轴对应的高度为0，则点P对应到椭圆上的点

的高度为sintan45sin=，所以，截口展开形成的图形的函数解析式为sinyx=，的最小正周期为2π，振幅为1.