【文档说明】北京市西城区北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高一上学期阶段练习一（10月）数学试题 Word版含解析.docx，共(12)页，581.274 KB，由管理员店铺上传

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北京师范大学附属实验中学2027届高一上学期数学阶段练习一2024.10.8一､选择题（每小题4分，共32分）1.已知集合24,2,1,0,2AxxB==−−∣，则AB=（）A.1,0−B.2,1,0−−C.2,1,0,2−

−D.1,0,2−【答案】A【解析】【分析】先求得集合|22Axx=−，根据集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】由集合24|22,2,1,0,2AxxxxB==−=−−∣，

根据集合交集的概念及运算，可得1,0AB=−.故选：A.2.命题30,1xx的否定是（）A.30,1xxB.30,1xxC.30,1xxD.30,1xx【答案】B【解析】【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可.【

详解】命题30,1xx的否定是30,1xx.故选：B3.如图所示，阴影部分用M、P表示：（）A.MPB.MPC.()()UUCMCPD.()()UUCMCP【答案】C【解析】【分析】由图知，阴影部分是两集合并集的补集，将此关系用符号表示出

来，对照四个选项得出正确选项.【详解】由题意如图，阴影部分是MP的补集，其对应的集合为()UCMP,由集合的运算性质可得()UCMP()()UUCMCP=故选：C【点睛】本题考查韦恩图在集合基本运算中的应用以

及集合的运算性质，属于基础题.4.下列结论正确是（）A.若ab，则acbcB.若ab，则11abC.若ab，则22abD.若22acbc，则ab【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质逐个选项推导或举反例判断

即可.【详解】对A，若ab，0c=，则acbc=，故A错误；对B，若1,1ab==−，则ab，但11ab，故B错误；对C，若1,1ab==−，则ab，但22ab=，故C错误；对D，若22acbc，则20c，故2222acbccc，即ab，故D正确.故选：D5

.“21x−”是“220xx+−”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解绝对值不等式和一元二次不等式得到不等式的解，根据推出关系可得结论

.【详解】由21x−得：121x−−，解得：13x；由220xx+−得：2x−或1x；的132xx−或1x，2x−或131xx¿，“21x−”是“220xx+−”的充分不必要条件.故选：A.

6.已知23,21ab−−，则2ab−的取值范围是（）A.()6,7B.()2,5C.()4,7D.()5,8【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质计算即可.【详解】由23,21ab−−，得426,12−ab，所以528ab−.故选：D7.若命题“0,

3x，220xxa−−”为假命题，则实数a可取的最小整数值是（）A.1−B.0C.1D.3【答案】A【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“0,3x，220xxa−−”为真命题，分离

参数转化为22axx−在0,3x上有解，构造函数求解最小值即可.【详解】因为命题“0,3x，220xxa−−”为假命题，所以命题“0,3x，220xxa−−”为真命题，即220

xxa−−在0,3x上有解，即22axx−在0,3x上有解，记2()2fxxx=−，0,3x，则min()afx，因为2()2fxxx=−在0,1上单调递减，在(1,3上单调递增，所以min()(1)1fxf==−，所以1a−，所以实数

a可取的最小整数值是1−.故选：A8.对集合123An=，，，，的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果.例如：集合1246，，，的“交替和”为6-4+2-1=3,集合38,的“交

替和”为8-3=5,集合{6}的“交替和”为6,则集合A所有非空子集的“交替和”的和为（）A.2nB.²1nn+−C.12nn−D.2nn【答案】C【解析】【分析】根据新定义及子集的定义即可求解.【详解】由题意得：集合1,2,3,,

An=的非空子集中,除去集合n,还有22n−个非空集合,将这22n−个子集分成两类:第一类：包含n的子集；第二类：不包含n的子集；在第二类和第一类子集之间建立如下的对应关系：11fAAn→：，其中1A是第二类子集，显然这

种对应是一一映射设1A的“交替和”为k，则1An的“交替和”为nk−，这一对集合的“交替和”的和等于n，所以集合A的所有非空集合的“交替和”总和为()112222nnnnn−−+=.故选:C.二､填空题（每小题4分，共24分）9.集合4N|N5xx−可以

用列举法表示为__________.【答案】1,3,4【解析】【分析】根据题意，逐项验证，结合集合的表示方法，即可求解.【详解】当0x=时，可得44N505=−，不符合题意；当1x=时，可得41N51=−，符合题意

；当2x=时，可得44N523=−，不符合题意；当3x=时，可得42N53=−，符合题意；当4x=时，可得44N54=−，符合题意；当5x=时，显然不成立，当6,Nxn时，可得405x−，不符合题意，所以集合4N|N5xx−可以表示为集合1,3,4.故答案为

：1,3,4.10.方程组22235xyxy+=+=的解集是__________.【答案】211(2,1),(,)55−【解析】【分析】根据题意，利用消元法，准确计算，即可求解.【详解】由方程

23xy+=，可得32yx=−，将32yx=−代入方程225xy+=，可得22(32)5xx+−=，整理得251240xx−+=，解得2x=或25x=，当2x=，可得1y=−；当25x=时，可得115y=所以不

等式22235xyxy+=+=的解集为211(2,1),(,)55−.故答案为：211(2,1),(,)55−.11.若关于x的不等式20xmxn++的解集为{14}xx∣，则mn+的值为______.【答案】1

−【解析】【分析】根据题意，转化为1和4是方程20xmxn++=的两个实数根，结合一元二次方程根与系数的关系，即可求解.【详解】由关于x的不等式20xmxn++的解集为{14}xx∣，所以1和4是方程20xmxn++=的两个实数根，可得1414

mn+=−=，解得5,4mn=−=，所以1mm+=−.故答案为：1−.12.为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，某校计划新建校园图书馆精品阅读区1111DCBA，该项目由图书陈列区ABCD（阴影部分）和四周休息区

组成.图书陈列区ABCD的面积为21000m，休息区的宽分别为2m和5m（如图所示）.当校园图书馆精品阅读区1111DCBA面积最小时，则图书陈列区BC的边长为__________m.【答案】50【解析】

【分析】设,BCxCDy==，计算图书馆精品阅读区1111DCBA面积，然后计算图书馆精品阅读区1111DCBA面积最小时x的值即可.【详解】依题意，设,BCxCDy==，得1000xy=，图书馆精品阅读区1111DCBA面积为()()10441040xyxyxy++=+++240401

0002401000401440xyxy++=++=，当且仅当410xy=时，等号成立，此时410xy=，1000xy=，解得50x=.故答案为：50.13.已知集合11,,{|0}2xAaBxx+==−，且AB中有2个子集，则实数a的取值范围为___________

__.【答案】(),1[2,)−−+【解析】【分析】利用不等式的解法，求得集合{|12}Bxx=−，根据题意，得到AB中只有1个元素，结合集合交集的概念与运算，即可求解.【详解】由分式不等式的解法得，不等式102xx+−，解得12x−，即{|12}Bxx=−，又因

为1,Aa=，且AB中有2个子集，即AB中只有1个元素，可得1a−或2a，此时1AB=，符合题意，所以实数a的取值范围(),1[2,)−−+.故答案为：(),1[2,)−−+.14

.设集合1,2,Am=，其中m为实数，令2BaaA=，CAB=，若C中的所有元素之和为6，C中的所有元素之积为_________．【答案】8−【解析】【分析】根据C中的元素的和为6可得B的元素，从而

可求C中的元素，从而可得各元素的积，注意分类讨论.【详解】因为2BaaA=，而1,2,Am=，故21,4,BBmB，所以21,4,CCmC，若21m=，则1m=−或1m=（舍），此时1,2,

4,1C=−，故C中的所有元素之积为8−.若22m=，则2m=，这与1,2,4,2C=或1,2,4,2C=−，这与C中的所有元素之和为6矛盾.若2mm=，则0m=或1m=（舍），此时1,2,4,0C=，

这与C中的所有元素之和为6矛盾.若21,2,mm，则21,2,4,,Cmm=，则21246mm++++=，即210mm++=，无解.故答案为：8−.【点睛】思路点睛：对于集合中元素的确定问题，注意利用元素的互异性、确定性和无序性来分类讨论.三

､解答题（共44分）15.已知集合14,{123}AxxBxmxm=−=−−∣∣.（1）若4m=，求ARð和AB；（2）若BA，求实数m的取值范围.【答案】（1）(,1)(4,)−−+，[1,5)−（2）7(,]2−【解析】【分析】（1）将4m=，代入集合

B，由补集、并集的定义求解即可；（2）若BA，分B=和B两种情况求解m的取值范围.【小问1详解】4m=时，{35}Bxx=∣，又14Axx=−∣，(,1)(4,)A=−−+Rð，[1,5)AB=−.

小问2详解】若BA，当B=时，则123mm−−，解得2m，当B，则12323411mmmm−−−−−，解得722m，综上：实数m的取值范围为7(,]2−.16.设0ab，求证22baaabb++.【答案】证明见

解析【解析】【分析】根据题意，得到()2()()22baababaabbabb++−−=++，结合0ab，得到()()()02babaabb+−+，即可得证.【详解】由()()()()()22222()()2222babababaabababaabbabbabbabb

+−++−+−−===++++，因为0ab，可得20,0,0abbaba++−，所以()()()02babaabb+−+，即202baaabb+−+，所以22baaabb++.17.已知12,xx是方程2510xx−+=的两个不相等的实根，求值：（1）2212xx

+【（2）12xx−（3）3312xx+【答案】（1）23（2）21（3）110【解析】【分析】（1）结合一元二次方程的根与系数的关系，得到12125,1xxxx=+=，由222121212()2xxxxxx+

=+−，即可求解；（2）由2121212()4xxxxxx−=+−，即可求解；（3）由3322212121122121212()()()[()3]xxxxxxxxxxxxxx+=+−+=++−，即可求解.【小问1详解】解：因为12,xx是方程2510xx−

+=的两个不相等的实根，可得0，且12125,1xxxx=+=，所以1221222212()25223xxxxxx=+=−=+−.【小问2详解】解：由（1）知：12125,1xxxx=+=，则22121212()454121xxxxxx−=+−=−=.

【小问3详解】解：由（1）知：12125,1xxxx=+=，则12121233222212112212()()()[()3]5(531)110xxxxxxxxxxxxxx+=−+++=−==+−.18.已知关于x的方程()2110axa

x+−−=.（1）若该方程解集中只有一个元素，求a的值；（2）若2a=，且当0x时，()2119axaxbx+−−−恒成立，求实数b的取值范围；（3）若0a，解关于x的不等式()2110axax+−−.【答案】（1）0或1−的（2）(,9)−（3）答案见

解析【解析】【分析】（1）根据题意，分当0a=和0a，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解；（2）当2a=时，转化0x时，228xxbx++恒成立，结合基本不等式，即可求解；（3）根据题意，不等式转化为1(1)()0xxa−+，分类讨论，即可求解.【小问1详解】解：由关于

x的方程()2110axax+−−=，当0a=时，方程即为10x−−=，解得1x=−，满足题意；当0a时，若该方程的解集中只有一个元素，则满足()2Δ140aa=−+=，即2221(1)0aaa++=+=，解得1a=−

，综上可得，实数a的值为0或1−.【小问2详解】解：当2a=时，不等式为2219xxbx+−−，即228xxbx++，由0x时，228xxbx++恒成立，即为0x时，228xxbx++恒成立，又因为2288821221

9xxxxxxx++=+++=，当且仅当82xx=时，即2x=时，等号成立，所以9b，即实数b的取值范围为(,9)−.【小问3详解】解：由不等式()2110axax+−−，可化为(1)(1)0xax+−，因为0a，可得1(1)()0axxa+−，即为1(1)()0xxa+−，当1

1a−时，即1a−时，解得11xa−，不等式的解集为1(1,)a−；当11a−=时，即1a=−时，不等式为2(1)0x+，此时不等式的解集为；为当11a−时，即10a−时，解得11xa−，不等式的解集为1(,1)a−，综上可得：当1a−时，不等式的解集为1(1

,)a−；当1a=−时，不等式的解集为；当10a−时，不等式的解集为1(,1)a−.【附加题】19.已知有限集()12,,...2,nAaaann=N，如果A中的元素()1,2,...,iain=满足1212......nnaaaaaa+++=，就称A为

“完美集”．（1）判断：集合13,13−−−+是否是“完美集”并说明理由；（2）12、aa是两个不同的正数，且12,aa是“完美集”，求证：12、aa至少有一个大于2；（3）若ia为正整数，求：“完美集”A.【答案】

（1）是，理由见解析（2）证明见解析（3）1,2,3【解析】【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可；（2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可；（3）设A中123naaaa

，得到121naaan−，分2n=，3n=，4n进行分类讨论，【小问1详解】由()()13132−−+−+=−，()()13132−−−+=−，则集合13,13−−−+是“完美集”，【小问2详解】若12、aa是两个不同的正数，且12,a

a是“完美集”，设12120aaaat+==，根据根和系数的关系知，1a和2a相当于20xtxt−+=的两根，由240tt=−，解得4t或0t（舍去），所以124aa，又12,aa均为正数，所以12、aa至少有一个大于2.【小问3详解】不妨设A中123

naaaa，由1212nnnaaaaaana=+++，得121naaan−，当2n=时，即有12a，又ia为正整数，所以11a=，于是2211aa+=，则2a无解，即不存在满足条件的“完美集”；当3n=时，123aa，故只能1

1a=，22a=，求得33a=，于是“完美集”A只有一个，为1,2,3．当4n时，由()1211231naaan−−，即有()1231nn−，而()()()221242220nn

nnnn−−−=−+−=−−+，又()()()121231nnn−−−，因此()1231nn−，故矛盾，所以当4n时不存在完美集A，综上知，“完美集”A为1,2,3.【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略：①通过给

出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定

义特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.的