【文档说明】四川省眉山市仁寿县第一中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学（理）试题 含解析.docx，共(22)页，1.349 MB，由小赞的店铺上传

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仁寿一中南校区高2021级高二（下）第二次月考理科数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其它答案标号3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.4.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.1.在某次射击比赛中，甲、乙两人各射击5次，射中的环数如图，则下列说法正确的是（）A.xx甲乙，22ss甲乙B.xx甲乙，22ss甲乙C.xx甲乙，22ss甲乙D.xx甲乙，22ss甲乙【答案】C【解析】【分析】由图表进行数据分析，得到甲射击5次所得

环数分别为：9，8，10，9，10；乙射击5次所得环数分别为：6，9，9，8，10；利用平均数公式及方差公式计算即可．【详解】由图可知，甲射击5次所得环数分别为：9，8，10，9，10；乙射击5次所得环数分别为：

6，9，9，8，10；故98910109.25x++++==甲，6989108.45x++++==乙，222220.81.220.20.565s++==甲，222222.420.60.41.61.845s+++==乙，故选：C．2.某中学举行党史学习教育知识竞赛，甲队有A、B、C、D、

E、F共6名选手其中4名男生2名女生，按比赛规则，比赛时现场从中随机抽出2名选手答题，则至少有1名女同学被选中的概率是（）A.13B.25C.12D.35【答案】D【解析】【分析】现场选2名选手，共15种情况，设A，B，C，D四位同学为男同学则没有女同学被选中的情况，共有6种，利用对立事件

进行求解，即可得到答案；【详解】现场选2名选手，基本事件有：(),AB，(),AC，(),AD，(),AE，(),AF，(),BC，(),BD，(),BE，(),BF，(),CD，(),CE，(),C

F，(),DE，(),DF，(),EF共15种情况，不妨设A，B，C，D四位同学为男同学则没有女同学被选中的情况是：(),AB，(),AC，(),AD，(),BC，(),BD，(),CD共6种，则至少有一

名女同学被选中的概率为631155−=.故选：D.3.已知实数a满足05a，则函数()3231fxxaxx=−++存在极值的概率为（）A.19B.25C.35D.89【答案】B【解析】【分析】首先分析三次函数有极值的条件，即为导函数对称的判别式大于零，找出对应的取值范围，

然后利用几何概型的概率计算公式即可求解.【详解】函数()3231fxxaxx=−++的导数为2()323fxxax=−+，若函数()3231fxxaxx=−++存在极值，则24360a=−，解得3a或3a−，

因为05a，所以35a，由几何概型的概率计算公式可得，532505P−==−，故选：B.4.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的

32人中，编号落入区间401,755的人数为A.10B.11C.12D.13【答案】C【解析】【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an＝30n﹣19

，由401≤30n﹣21≤755，求得正整数n的个数，即可得出结论．【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列，又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到

的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，∴等差数列的通项公式为an＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，由401≤30n﹣19≤755，n为正整数可得14≤n≤25，∴做问卷C的人数为25﹣14+1＝12，故选C．【点睛】本题主

要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．5.点P在边长为2的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离2PA的概率为（）A.34B.14C.π4D.4π4−【答案】D【解析】【分析】求出满足条件的正方形A

BCD的面积及动点动点P到定点A的距离2PA对应平面区域的面积，代入几何概型的概率公式，结合对立事件的概率公式即可求出答案.【详解】解：满足条件的正方形ABCD，如图所示，其中满足动点P到定点A的距离2PA的平面区域如图中阴影所示：则正方形的面

积14S=，阴影部分的面积2144S==，故动点P到定点A的距离2PA的概率2114SPS==，所以满足2PA的概率1π41144PP−=−=−=；故选：D.6.要从甲､乙等7人中选4人在座谈会上发言，若甲､

乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有（）A.80种B.120种C.60种D.240种【答案】A【解析】【分析】根据先选后排原理，再根据插空法，进行排列组合即可得解.【详解】除甲乙外再选两人共有25C种可

能，从选中的两人中选一人插在甲乙中间，共有12C种可能，将此三人看作整体进行排列，共有22A种可能，再松绑甲乙共有212252221022280CCAA==，故选：A7.曲线2()xfxxe=+在点()()0,0f处的切线方程为（）A.2yx=B.21y

x=+C.3yx=D.31yx=+【答案】D【解析】【分析】求出导数，求得切线的斜率，即可求得答案.【详解】∵2()xfxxe=+，∴2()12xfxe=+，∴(0)123f=+=，又(0)1f=，∴

曲线2()xfxxe=+在点()()0,0f处的切线方程为31yx=+.故选：D8.已知函数()yfx=的导函数图像，如图所示，那么函数()yfx=（）A.在(),1−−上单调递增B.在0x=处取得极小值C.在1x=处切线斜率取得最大值D.在2x=处取得最大值【答案】C【解析】【分析】本

题首先可根据导函数图像分析出函数()yfx=的单调性与极值，即可判断出A、B、D错误，然后根据导函数值的几何意义即可得出C正确.【详解】结合图像易知，当(),1x−−时，函数()yfx=是减函数，当=1x−时，函数()yfx=取极

小值，当()1,2x−时，函数()yfx=增函数，当2x=时，函数()yfx=取极大值，不一定是最大值，当()2,x+时，函数()yfx=是减函数，.是结合上述易知，A、B、D错误，因为函数在某点

处的导函数值即函数在这点处的切线斜率，所以由图像易知，在1x=处切线斜率取得最大值，C正确，故选：C.9.若函数在2()4lnfxxxax=−−+在1,2上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.6aB.6a

C.16aD.16a【答案】D【解析】【分析】求出函数的导函数，依题意()240afxxx=−−+在1,2x上恒成立，参变分离得到224axx+，1,2x，根据二次函数的性质求出224xx+的最大值，即可得解.【详解】因为2()4lnfxx

xax=−−+，所以()24afxxx=−−+，依题意()240afxxx=−−+在1,2x上恒成立，所以()2224212axxx+=+−，令()()2212gxx=+−，1,2x，因为()()2212gxx=+−在1,2上单调递增，则()()m

ax216gxg==所以16a，即实数a的取值范围是16a.故选：D10.定义在R上的偶函数()fx的导函数为()fx，且当0x时，()2()0xfxfx+．则（）A.2(e)(2)4effB.9(3)(1)ffC.4(2)9(3)−−

ffD.2(e)(3)9eff−【答案】D【解析】【分析】构造函数()()2gxxfx=，利用导数判断出函数()gx的单调性即可比较.【详解】令()()2gxxfx=，因为()fx是偶函数，所以()gx为偶函数，当0x时，()()()()()2220gxxfxxfxxfxxfx

=+=+，所以()gx在()0,+单调递减，在(),0−单调递增，则()()e2gg，即()()22ee22ff，则2(e)(2)4eff，故A错误；()()31gg，即()()

931ff，故B错误；()()23gg−−，即4(2)9(3)ff−−，故C错误；()()()e33ggg=−，即()()2ee93ff−，则2(e)(3)9eff−，故D正确.故选：D.11.已知

120212021ea=，2022b=，则（）A.1ab+B.1bab−C.1bab+D.1ab−【答案】C【解析】【分析】令()1xgxex=−−，0x，利用其单调性判断,ab的关系，令()e21

xhxx=−−，得到e21xx+，取12021x=，判断1ab+即可．【详解】解：令()1xgxex=−−，0x，则()10xgxe=−，则()gx在()0,+上单调递增，且()()00gxg=，因此1202112022e020212021g

=−，即120212022e2021，则1202120222021e202120222021ab===．令()e21xhxx=−−，当10,2x时，()e20xhx=−，则()hx在10,2上单调递减，即()()00hxh=，即e

21xx+，取12021x=，得120212e12021+，则1202122021e20211202312021b+==+，即1ab+．综上，1bab+，故选：C．12.若函数32,1()1ln,1xxmxfxxxx−−++

=+−的值域为)2,+，则下列结论：①(3)(2)ff；②2m；③ln212eff；④(1)log(1)log(2)mmmm+++；其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】①用导数法判断()fx在[1,)

+上的单调性即可；②判断()fx在(,1)−上的单调性求值域即可；③令()lnxgxx=，判断ln21,2e的大小，再利用函数的单调性判断；④利用基本不等式结合等式运算判断.【详解】当1x时，()1lnfxxx=+−，则()110fxx=−，所以()fx在[1,)+上递增

，所以()()32ff且()12f=，所以()2fx，故①正确；当1x时，()32fxxxm=−−++，()2310fxx=−−，所以()fx在(,1)−上单调递减，所以()()1fxfm=，则()fx的值域是(),m+，又因为()fx

的值域是)2,+，所以2m，故②正确；令()lnxgxx=，则()21lnxgxx−=，当0ex时，()0gx，所以()gx在()0,e上单调递增，则()()2egg，即ln2112e，由②

知()fx在(,1)−上单调递减，所以ln212eff，故③正确；当2m时，因为()()2221221210mmmmmmm+−+=++−−=，即()()212mmm++，所以()1221mmm++，所以()()2lglg2l

glg22mmmm+++()()()22122lg2lg2lg12mmmmm+==++，所以()()lg1lg2lglg(1)mmmm+++，即()()1log1log2mmmm+++故④正确，故选：D第Ⅱ卷二、填空题：本大

题共4小题，每小题5分.13.按如图所示的程序框图运算，若输入的x的值为8，则输出的k等于________．【答案】3【解析】【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的k的值．【详解】第一次循环88x=，1k=，通过判断得，需要继续循环；第

二次循环888x=，2k=，通过判断得，需要继续循环；第三次循环8888x=，3k=，通过判断，结束循环，输出3k=.故最后输出的k值为3.故答案为：314.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1

个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，则不同的排法有_____种.（用数字作答）【答案】288【解析】【分析】只需要4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲

艺节目各自在能排的位置进行全排列即可，然后再乘起来.【详解】4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，有44A=24种排法；3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，有336A=种排法；2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有222A=种排法.故共

有24×6×2＝288种排法.故答案为：288.【点睛】本题考查两个计数原理与排列数公式的应用，属于基础题.15.已知函数()()23(2)fxaxx=−−，当2x=时，()fx有极小值，则实数a的取值范围是__________.【答案】6a【解析】【分析】求出函数的导函数，令()0fx

=求出其两根，再分类讨论，分别得到函数的单调性，即可得到函数在2x=处取得极值情况，即可得解.【详解】因为()()23(2)fxaxx=−−，所以()()()()232322fxxaxx=−−+−−()()()()236262926xxaxxxa=−−++−=−−−−，令

()0fx=，解得2x=或269ax+=，当2629a+，即6a时，()fx在(),2−上单调递减，在262,9a+上单调递增，所以()fx在2x=处取极小值，当2629a+，即6a时，()fx在()2,+上单调递减，在26,29

a+上单调递增，所以()fx在2x=处取极大值，不符合题意，当2629a+=，即6a=时，()0fx，所以()fx在R上单调递减，不符合题意；综上可得6a.故答案为：6a.16.已知函数21,0()

ln,0xxfxxx++=，若存在实数abc，满足()()()fafbfc==，则()()()afabfbcfc++的最大值是______．【答案】33e12−【解析】【分析】作出()fx的函数图象，得出4ab+=−，3(e,e]c，将()()()afabfbcfc

++化简为(4)lncc−，构造函数()(4)lngxxx=−，3(e,e]x，由()0gx得出()gx单调递增，求出()gx的最大值，即可求得答案．【详解】解：作出()fx的函数图象如图所示：∵存在实数abc，满足()(

)()fafbfc==，4ab+=−，()()()()()(4)()(4)lnafabfbcfcabcfccfccc++=++=−=−，由图可知，1()3fc，3eec，设()(4)lngxxx=−，其中3

(e,e]x，4()ln1gxxx=+−，显然()gx在3(e,e]x单调递增，4()20ege=−，3(e,e]x，()0gx，()gx在3(e,e]x单调递增，()gx在3(e,e

]x的最大值为333(e)3(e4)3e12g=−=−，(4)()cfc−的最大值为33e12−，故答案为：33e12−．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛

学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图

，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60)，[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（2）根据样本直方图估计所取样本的中位数及平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）．【答案】（1

）n＝50，x＝0.030，y＝0.004（2）中位数为71，平均数70.6【解析】【分析】（1）由茎叶图得到[50，60)内的数据有8个，根据频率分布直方图可得在该组的频率，从而得到样本容量n，进而得x，y的值；（2）先判断中位数所在的范围，再根据中位数将频率

分布直方图分为面积相等的两部分得出结果；根据平均数的算法得到平均数．【小问1详解】由茎叶图可知，在[50，60)内的数据有8个，又由频率分布直方图得[50，60)的频率为0.016，故样本容量8500.01610n==，所以20.0045010y==，故x=010.

040.101.160.4－－－－＝0.030．小问2详解】设中位数为a，由频率分布直方图可知：第一组频率为0.16，第二组频率为0.3，第三组频率为0.4，所以中位数位于第三组，由0.16＋0.3＋(a－70)×0.04＝0.5，解得a＝71，所以中位数为71．平均数＝0.16×55＋

0.3×65＋0.4×75＋0.1×85＋0.04×95＝70.6．18.近日，国家卫健委公布了2020年9月到12月开展的全国性近视专项调查结果：2020年，我国儿童青少年总体近视率为52.7%.为掌握

某校学生近视情况，从该校高三（1）班随机抽取7名学生，其中4人近视、3人不近视.现从这7人中随机抽取球3人做进一步医学检查.（1）用X表示抽取的3人中近视的学生人数，求X所有可能的取值以及相应的概率；（2）设A为事件“抽取的3人，既有近视的学生，又有不近视的学

生”，求事件A发生的概率.【答案】（1）答案见解析（2）67【解析】【分析】（1）根据题意，得到随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，然后分别计算其对应概率即可得到结果；（2）根据题意，由互斥事件的概率计算公式，代入计算即可得到结果.【小问1详解

】随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，则()034337CC10C35PX===，()124337CC121C35PX===，()214337CC182C35PX===，【()304337CC43C35PX===；【小问2详解】

设B为事件“抽取的3名学生中，不近视2人，近视1人”；设C为事件“抽取的3名学生中，不近视1人，近视2人”，则ABC=，且B与C互斥，6()()(2)(1)7PAPBCPXPX===+==，所以事件A发生的概率为67.19.某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将

产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据()(),1,2,...,6iixyi=，如表所示：试销单价x（元）456789产品销量y（件）q8483807568已知80y=（1）求q的值；（2）已知变量,xy具有线性相关性，求产品销量y关于试销单价x的线性回

归方程ˆˆˆybxa=+.（可供选择的数据662113050,271iiiiixyx====）参考数据：线性回归方程中ˆˆ,ba的最小二乘估计分别是()1221ˆ,ˆˆniiiniixynxybaybxxnx==−==−

−【答案】（1）90；（2）4106yx=−+.【解析】【详解】（1）因为8483807568806qy+++++==，所以90q=；（2）因4567896.56x+++++==，所以()616222163050ˆ66.580427166.56iiiiixyxy

bxx==−−===−−−，所以()8046.5106ˆˆaybx=−=−−=，所以线性回归方程为4106yx=−+.为【点睛】本题考查根据平均数计算参数以及求解线性回归方程，难度较易.求解线性回归方程中a的值，可以根据回归直线方

程过样本点中心(),xy去求解.20.已知函数()xaxfxe=，a为正实数，若函数()fx极大值为1.（1）求a的值；（2）若2()fxmx对任意的[2,)x+恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）ae=；（2）1,2e+.【解析】【分析】（1）对

函数求导，可得当1x=时，取得极大值，所以由函数()fx的极大值为1，可得(1)1afe==，从而可求出a的值；（2）由2()fxmx对[2,)x+恒成立，得2xexmxe对[2,)x+恒成立，由不等式可得0m，所

以转化为11xxem−恒成立，构造函数1()xhxxe−=，利用导数求其最小值，从而可求出m的取值范围【详解】解：（1）由题意(1)()xaxfxe−=，因为0a时，令函数(1)()0xaxfxe−=，得到1x，则()fx在(,1)−上单

调递增；()fx在(1,)+上单调递减，所以()fx的极大值为(1)1afe==，可得ae=（2）由2()fxmx对[2,)x+恒成立，即2xexmxe对[2,)x+恒成立，由不等式可得0m，当[2,)x+时，2xexmxe，即11xmxe−

，由0m，有11xxem−，记1()xhxxe−=，则1()(1)xhxex−=+，[2,)x+，故()hx在[2,)x+上单调递增，的min()(2)2hxhe==，则12em，结合0m，所以12me，所以m

的取值范围为1,2e+.21.已知函数()()ln2fxxaxaR=+−，()()2ln3gxxx=−−.（1）若0a=，求函数()()()hxxfxgx=−的最大值；（2）若函数()fx的一个极值点为1x=，求证：()()exfxg.【答案】（1）1（2）

证明见解析【解析】【分析】(1)根据导数的运算公式和法则求得()hx，令()0hx、()0hx，分别解不等式即可得出函数的单调性，进而求出函数的最大值；(2)根据极值点的概念求出函数()fx的解析式，将原不等

式转化为()ln10exFxxxx=−−−在()0,+上恒成立，求出()()GxFx=，利用导数研究函数()Gx的单调性，结合零点的存在性定理可知()0Gx、()0Gx的范围，即为函数()Fx的单调区间，根据零点的概念计算即可求出()minFx.【小问1详解】

函数()hx的其定义域为()0,+，若0a=，()()()2ln23hxxfxgxxx=−=−+，所以()()2122xhxxx−=−=，由()0hx，得1x；由()0hx，得01x，所以()hx的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+，所以()()max1

1hxh==.【小问2详解】()()10fxaxx=+，则由题意知()1101fa=+=，解得1a=−，经检验1a=−，符合题意，所以()ln2fxxx=−−，所以要证()()exfxg，即证eln10xxxx−−−.令()()eln10xFxxx

xx=−−−，则()()()111e11exxFxxxxx=+−−=+−.令()()()11e0xGxxxx=+−.()()'211e0xGxxx=++则()Gx在()0,+上单调递增，因为()()12e10G=−，()13e2022G=−

，所以01,12x，使得()00Gx=，即001exx=，所以当()00,xx时，()0Gx，当()0,xx+时，()0Gx所以()Fx在()00,x上单调递减，在()0,x+上单调递增.所以()()00000mineln1xFxFxxxx==−−−.又因为00

1exx=，即00lnxx=−，所以()00min110Fxxx=−+−=，所以()0Fx，即eln10xxxx−−−，即()()exfxg.【点睛】导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不

等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22.已知函数()()sinln1,Rfxaxxa=−+．（1）若对(1,0]x−时，()0fx，求正实数a的最大值；（2）证明：221sinln2nii=；（3）若函数()()1esinxgxfxax+=+−的最

小值为m，证明：方程()1eln10xmx+−−+=有唯一的实数根，（其中e2.71828=是自然对数的底数）【答案】（1）1（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求()fx，并判断()fx的单调性，分类讨论()fx的正负，得到()fx的单调性

，求出()0fx时a的范围，从而得到a的最大值；（2）利用第（1）问的结论，可得到sinln(1)xx+，令21xi=−，不等式两边求和即可证明；（3）求()gx并判断()gx的单调性，结合零点存在性定理1111ln11mxx=+++，要证方程

1eln(1)0xmx+−−+=有唯一的实数解，只要证方程1eeln(1)0xmx+−+=有唯一的实数解．令1()eeln(1)xmHxx+=−+，522m，求()Hx结合()Hx的单调性以及零点存在性定理，可知()221ln1mxx=+++，由于形

式相同，可构造函数()lnmxxx=+，通过()mx单调性可知21111xx+=+且()21ln11xx+=+，代入min()Hx可证明.【小问1详解】1()cos1fxaxx=−+（10−x）a为正实数，∴函数()fx在区间(1,0]−上单调递增，且(0)1fa=−．

①当01a时，()(0)0fxf，所以函数()fx在(1,0]−上单调递减，此时()(0)0fxf=，符合题意．②当1a时，11(0)10,1cos10fafaaaaaa=−−=−−−=，由零点存在定理，0(1,0

)x−时，有()00fx=，即函数()fx在()01,x−上递减，在()0,0x递增，所以当()0,0xx时，有()(0)0fxf=，此时不符合．综上所述，正实数a的最大值为1．【小问2详解】由（1）知，当1,(1,0)ax=−时，sinln(1)xx+，令21

xi=−时，有2222111sinln1lniiii−−−=，即2221sinln1iii−，累加得，2212232sinlnlnln2lnln2132111ninnninnn

===++++．【小问3详解】因为1()eln(1)xgxx+=−+，所以11()e1xgxx+=−+，即函数()gx在(1,)−+上递增，又1(0)e10,e202gg=−−=−，由零点存在定理

，11,02x−时，有()10gx=，即1111e1xx+=+，因此()11111lnln11xxx+==−++，而函数()gx在()11,x−上递减，在()1,x+上递增，所以()()()1

1111min111111eln1ln1111xmgxgxxxxxx+===−+=+=+++++，即52,2m．要证方程1eln(1)0xmx+−−+=有唯一的实数解，只要证方程1eeln(1)0xmx+−+=有唯

一的实数解．设15()eeln(1)22xmHxxm+=−+，则()1ee1mxHxx+=−+，所以函数()Hx在(1,)−+上递增，又(0)ee0mH=−，e(1)(1)0mmHmm−−=，由零点存在定理，2(0,1)xm−时，2()0Hx=，即2

12ee1mxx+=+，因此()221ln1mxx=+++，又1111ln11mxx=+++，设()lnmxxx=+，则函数()mx在(0,)+上递增，于是21111xx+=+且()21ln11xx+=+，而函数()Hx在()21,x−上递减，在()2,x+

上递增，()()()()()21min2221121()eeln1eln1e1101xmmmHxHxxxxxx+==−+=−+=+−+=+，即函数()Hx有唯一零点2x，故方程1eln(1

)0xmx+−−+=有唯一的实数解．【点睛】方法点睛：零点存在性定理：当函数()yfx=在区间,ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb，那么函数()yfx=在区间(),ab内有零点.零点代换：当

()yfx=存在零点，且满足等式时，对应在此点处的等量运算也成立，即若有1111e1xx+=+，则有()11111lnln11xxx+==−++.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com