【文档说明】黑龙江讷河市拉哈一中2021-2022学年高二上学期9月月考数学试题 含答案.doc，共(19)页，1.410 MB，由小赞的店铺上传

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高二数学试卷考试时间：120分钟；一、选择题（每题5分，共60分。1-8为单选，9-12为多选题）1．已知i是虚数单位，若复数z满足()1i=2iz−，则z=（）A．1B．2C．2D．32．已知()5,6,1a=−，()6,5,0b=，则a与b（）A．垂直B．不垂直也不平行C．

平行且同向D．平行且反向的夹角为（）与则向量且），，，（已知bbaa,3),0,5,6(b101a.3===A．56B．23C．3D．64．若O为坐标原点，OA＝(1,1，－2)，OB＝(3,2,8)，OC＝(0,1,0)，则线段A

B的中点P到点C的距离为()A．1652B．214C．53D．5325．如图，已知在平行六面体1111ABCDABCD−中，1||||1ABADAA===，且113AADAABDAB===，则1AC=（）A．6B．3C．2D

．226．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，E为11AD的中点，则点1C到直线CE的距离为（）A．13B．33C．53D．637．在ABC中，若coscosaAbB=，则ABC的形状为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三

角形或直角三角形8．“1m=”是“直线1mxy+=与直线1xmy−=互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．已知空间向量(2,1,1)a=−−，(3,4,5)b=，则下列结论正确的是（）A．(2)//aba+B．5||3|

|ab=C．(56)aab⊥+D．a与b夹角的余弦值为3610．直线y＝ax＋1a可能是（）A．B．C．D．11．已知直线():10lxayaR−+=，则下列说法正确的是（）A．直线l过定点()1,0

−B．直线l一定不与坐标轴垂直C．直线l与直线():0lxaymmR−++=一定平行D．直线l与直线():0laxymmR++=一定垂直12．已知E，F分别是正方体1111ABCDABCD−的棱BC和CD的中点，则（）A．1AD与11BD是异面直线B．1A

D与EF所成角的大小为45C．1AF与平面1BEB所成角的余弦值为13D．二面角11CDBB−−的余弦值为63二、填空题（每题5分，共20分）13．直线12:++=kkxyl过定点P,则P点坐标为______.14．过点(3,2)A且垂直于直线4580xy+−=的直线方程为

__________．平行与直线时，直线当2)2(:2:_____a.15221+−=+−==xaylaxyl16．已知直线20kxy−+=和以(3,2),(2,5)MN−为端点的线段相交，则实数k的取值范围为___________.三、解答题（共70分）1

7．（本题10分）已知ABC的顶点()()()2,6,4,2,2,0ABC−.（1）求AB边所在直线的方程；（2）求AB边上的中线所在的直线方程。18．（本题12分）在正方体中1111ABCDABCD−，已知O为11AC中点，以D为原点，DA，DC，1DD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系Dxyz−.（1）求平面1ODC的法向量n，并证明1//BC平面1ODC；（2）求异面直线1BC与OD夹角的余弦值.19．（本题12分）在ABC中，a､b､c分别是角A､B､C的对边，且(2)coscos0acBbC+

+=．（1）求角B的大小;（2）若13,3bac==，求ABC的面积和周长．20．（本题12分）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，PD⊥平面ABCD，且4PDCD==，2AD=.（1）求

AP与平面CMB所成角的正弦；（2）求M点到面PBC的距离.21．（本题12分）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度

评分值（百分制）按照))50,60,60,70,,90,100分成5组，制成如图所示频率分直方图.（1）求图中x的值；（2）求这组数据的平均数和中位数；（3）已知满意度评分值在)50,60内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为)50,60的人中随机

抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.22．（本题12分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别是线段AD，BD的中点，o=90ABDBCD=∠∠，=2EC，2ABBD==，=2DC.（1）证明：EF⊥平面BCD；（2）求二面角ACEB−−的正弦值.

参考答案1．B【分析】先求出z,再求z.【详解】因为()1i=2iz−，所以()()()2i1i2i1i1i1i1iz+===−+−−+，所以11=2z=+.故选：B2．A【分析】根据空间向量平行及垂直的坐标表示判断向量a与b的位置关系.【详解】∵()5,6,1a=−，()6,5,0b=，又56

65100−++=∴ab⊥，∴a与b垂直，又650561−，∴a与b不平行，故选：A.3．D【分析】利用向量的数量积公式即可得解.【详解】23abx=+=rrQ，1x=，1,1(),2b=r，33cos,226||||ababab===rrrrrr，又,0,ab，

∴a与b的夹角为6，故选：D．4．D【分析】先求出OP的坐标，再利用三角形减法法则求PC的坐标，再求|PC|即得解.【详解】由题意OP＝12(OA＋OB)＝3(2,,3)2，PC＝OC－OP＝1(2,,3)2−−−，|PC|＝1534942++=.故答案为D【点睛】本题主要考查向量的坐标

运算，考查向量的三角形法则和平行四边形法则，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.5．A【分析】根据题意得11ACABADAA→→→→=++，进而根据空间向量求模即可.【详解】由题意可

知，因为11ACABADAA→→→→=++，所以2222211111222ACABADAAABADAAABADABAAADAA→→→→→→→→→→→→→=++=+++++1111116

=+++++=，所以16AC→=．故选：A．6．C【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可【详解】建立空间直角坐标系，如图，则(1,1,0)C，1(1,1,1)C，10,,12E，所以11,,12EC=−，1(0

,0,1)CC=，所以1CC在EC上的投影为1123||1114CCECEC−==−++，所以点1C到直线EC的距离22114||19||CCECdCCEC=−=−53=.故选：C.【点睛】此题考查空

间中点到线的距离，考查空间向量的应用，属于基础题7．D【分析】利用正弦定理将已知条件边化角，再逆用二倍角正弦公式进行化简，即可求解．【详解】解：在ABC中，coscosaAbB=，由正弦定理2sinsinabRAB==，得2sinaRA=，2sinbRB=，sincossin

cosAABB=，11sin2sin222AB=，sin2sin2AB=，22AB=或22AB=−，AB=或2AB+=，ABC为等腰三角形或直角三角形，故选：D．8．A【分析】根据充分必要条件的定义结合直线垂直的性质，从而得到答案．【详解】若1m=，则直线1xy+=和直线1x

y−=互相垂直，是充分条件；若直线1mxy+=与直线1xmy−=互相垂直，则()110mm+−=，因为m取任意实数都成立，故不是必要条件；故选：A．9．BC【分析】根据空间向量平行的坐标表示，模的坐标运算，垂直的坐标表示，数量积的定义计算后判断．【详解

】解：因为2(1,2,7)ab+=−，(2,1,1)a=−−，而121211−−，故A不正确；因为||6a=，||52b=，所以5||3||ab=，故B正确：因为2(56)565(411)6(645)0aabaab+=+=+++−−+=，故C正确；又5ab=−，53cos,66

52ab−==−，故D不正确．故选：BC.10．AB【分析】分类讨论0a和0a时，直线的位置．【详解】因为a≠0，所以C错；当a＞0时，1a＞0，不过第四象限，故A对；当a＜0时，1a＜0，不过第一象限，故D错，B对．故选：AB11．AD【分析】多项选择题，一个

一个选项验证：对于A:():10lxayaR−+=整理为：1ayx=+，判断过定点；对于B、D：判断直线与直线的垂直，用两直线垂直的条件判断；对于C:用两直线平行的条件判断.【详解】对于A:():1

0lxayaR−+=整理为：1ayx=+，恒过定点(-1,0)，故A正确；当0a=时，直线l与x轴垂直，故B错误；当1m=−时，两直线重合，故C错误；因为()110aa+−=，故直线l与直线l一定垂直，故D正确，故选：AD.【点睛】（1）证明直线过定点，通常有两类：直线方程整理为斜截式y=

kx+b，过定点(0,b)；（2）若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A1A2+B1B2=0,两直线垂直；只要A1B2=A2B1,B1C2≠B2C1，可判断两直线平行.12．AD【分析】对选项A，易判断A正确.以D为原点，DA，DC，1DD分别为x，y，z轴，建立空间直角坐

标系，设正方体边长为2，再利用向量法依次判断B，C，D即可.【详解】对选项A，由图知：1AD与11BD是异面直线，故A正确；以D为原点，DA，DC，1DD分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，对

选项B，()0,0,0D，()12,0,2A，()1,2,0E，()0,1,0F，所以()12,0,2AD=−−，()1,1,0EF=−−，设1AD与EF所成角为，则1121cos282ADEFADEF===，又因为090

，所以60=，故B错误.对选项C，由题知：平面1BEB的法向量为DC，因为()0,2,0DC=，()12,1,2AF=−−，设1AF与平面1BEB所成角为，则1121sin329AFDCAFDC==

=，22cos3=，故C错误；对选项D，()112,2,0DB=，()10,0,2BB=uuur，设平面11DBB的法向量()111,,mxyz=，则11111122020mDBxymBBz=+===，令11x=得

()1,1,0m=−ur，设平面11DBC的法向量()222,,nxyz=，()12,0,2BC=−−uuur则1122122220220nDBxynBCxz=+==−−=，令21x=得()1,1,1n=−−r，设二面角11CDBB−−的平面角为，则26cos323mn

mn===，又因为为锐角，所以6cos3=，故D正确.故选：AD13．(-2,1)14．5470xy−−=【分析】由题可设垂直于直线4580xy+−=的直线方程为540xyC−+=，进而待定系数即可求解.【详解】解：设垂直于直线4580xy+−

=的直线方程为540xyC−+=，将点(3,2)A代入得53420C−+=，解得7C=−所以所求方程为5470xy−−=.故答案为：5470xy−−=15．a=-116．43[,]32−.【分析】根据题意求得直线恒过定点(0,2)P，分别求得,PMPN的斜率，结合

图象，即可求解.【详解】由题意，直线20kxy−+=可化为2ykx=+，可得直线恒过定点(0,2)P，如图所示，又由(3,2),(2,5)MN−，可得224523,303202PMPNkk−−−==−==−−,结合图象可得4332k−，即实数k的取值范围为43[,]32−.故答

案为：43[,]32−.17．（1）2100xy+−=；（2）14.【分析】（1）先求出直线AB的斜率，再利用点斜式写出直线AB的方程；（2）先求得点C到直线AB的距离和AB，代入三角形面积公式求解.【详解】（1）直

线AB的斜率为26242−=−−，直线AB的方程为：()224yx−=−−，即2100xy+−=.（2）点C到直线AB的距离()222201014512d−+−==+，()()22246225AB=−+−=，故ABC的面积为1142

SABd==.18．（1）()1,1,1n=-，证明见解析；（2）32.【分析】（1）求出平面1ODC的基底向量，利用垂直关系即可得到平面1ODC的法向量n，借助平面法向量与直线方向向量的关系，即可证明1//BC平面1ODC；（2）写出1BC，ODuuur的坐标，根据空间向量

的夹角计算公式即可得解.【详解】（1）证明：11,,122O，()10,1,1C，故11,,122CO=，()10,1,1DC=，设平面1ODC的一个法向量为(),,nxyz=，由100nDOnDC==得110220xyzyz++=+=

，令1y=，则1z=−，1x=，所以()1,1,1n=-.又()11,0,1BC=−−，从而10nBC=.∵1BC平面1ODC，所以1BC平面1ODC；（2）解：设1BC、DO分别为直线1BC与OD的方向向量.则由()11,0,1

BC=−−，11,,122DO=，得111132cos,2322BCDO−−==−.所以两异面直线1BC与OD的夹角的余弦值为3cos2=.19．（1）23；（2）334ABCS=△，413+．【分析】（1）由余弦定理化角为边可得222

acbac+−=−，再利用余弦定理即可求解；（2）由面积公式即可求出面积，再利用余弦定理得出4ac+=即可求出周长.【详解】（1）由余弦定理，得222222cos,cos22acbabcBCacac+

−+−==，将上式代入(2)coscos0acBbC++=，整理得222acbac+−=−，∴2221cos222acbacBacac+−−===−，∵角B为ABC的内角，∴23B=．（2）在ABC中，1

1333sin32224ABCSacB===，在ABC中，由余弦定理2222cosbacacB=+−，将213,3,3bacB===，代入得22()22cosbacacacB=+−−，∴2113()212acac=+−−，∴4ac+=，ABC的周长为413acb++=+

．20．（1）45；（2）2【分析】（1）首先以D为原点，,,DADCDP分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求解AP与平面CMB所成角的正弦即可.（2）利用向量法求解M点到面PBC的距离即可.

【详解】（1）因为底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，所以以D为原点，,,DADCDP分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，如图所示：()2,0,0A，()0,0,4P，()1,0,2M，()0,4,0C，()

2,4,0B，()2,0,4AP=−，()1,4,2MB=−，()2,0,0BC=−，设平面CMB的法向量()111,,nxyz=，则111142020MBnxyzBCnx=+−==−=，令11y=，即()0,1,2n=，设AP与平面CM

B所成角为，则84sin540165APnAPn===++（2）()0,4,4PC=−，()1,4,2MC=−−，设平面PBC的法向量()222,,mxyz=，则22244020PCmyzBCnx=−==−=，令21y=，即()0,1,1m=，设M点到面PBC

的距离为d，则222MCmdm===21．（1）0.02x=；（2）平均数为77，中位数设为5407；（3）310.【分析】（1）由各组的频率和为1，列方程可求出x的值；（2）由平均数的公式直接求解，由图可得中位数在第3组，若设中位数设为m，则()0.050.27

00.0350.5m++−=，从而可求得m的值；（3）满意度评分值在)50,60内有1000.005105=人，其中男生3人，女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况，利用概率公式求解即可【详

解】（1）由()0.0050.010.0350.030101x++++=，解得0.02x=.（2）这组数据的平均数为550.05650.2750.35850.3950.177++++=.中位数设为m，则()0.050

.2700.0350.5m++−=，解得5407m=.（3）满意度评分值在)50,60内有1000.005105=人，其中男生3人，女生2人.记为12312,,,,AAABB，记“满意度评分值为)

50,60的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件A，从5人中抽取2人有：12AA，13AA，11AB，12AB，23AA，21AB，22AB，31AB，32AB，12BB所以总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为3个，所以()310PA=.22．（1）证明见解

析；（2）223.【分析】（1）首先根据题意易证EFCF⊥，EFBD⊥，再利用线面垂直的判定证明EF⊥平面BCD即可；（2）以B为原点，,BDBA分别为,yz轴，垂直BD的直线Bx为x轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求解二面角即可.【详解】（1）因为E，F

分别是线段AD，BD的中点，所以//EFAB，且112EFAB==.在RtBCD中，2BD=，则1CF=，在EFC中，1EF=，1CF=，=2EC，所以222EFCFCE+=，即EFCF⊥.又因为//ABEFEFBDABBD⊥⊥.所以EFBDEFCFEFBDCF

F⊥⊥⊥=平面BCD.（2）如图所示：以B为原点，,BDBA分别为,yz轴，垂直BD的直线Bx为x轴，建立空间直角坐标系，()0,0,2A，()0,0,0B，()0,2,0D，()0,1,1E，()1,1,0C，()1,1,2AC=−，()0,1,1AE=−，

()0,1,1BE=，()1,1,0BC=设平面ACE的法向量()111,,nxyz=，则11111200ACnxyzAEnyz=+−==−=，令11y=，即()1,1,1n=，设平面BCE的法向量()222,,mxy

z=，则222200BEmyzBCmxy=+==+=，令21x=，即()1,1,1m=−ur，则1111cos333mnmnmn−+===，又因为二面角ACEB−−为锐角，所以二面角的正弦值为2122133−=.