【文档说明】湖北省武汉市新洲区问津联合体2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题 Word版含答案.docx，共(9)页，473.411 KB，由小赞的店铺上传

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问津教育联合体2025届高二5月联考数学试题（考试用时：120分钟试卷满分：150分）2024.5一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合()()24!5!Annn

=−−N，444CCnnBn−==N，则AB=（）A.B.3,4C.1,3,4D.0,1,2,32.某商场进行有奖促销活动，满500元可以参与一次掷飞镖游戏.每次游戏可掷7只飞镖，采取积分制，掷中靶盘，得1分，不中得0分，连续掷中2次额外加1分，连续掷中3次额外加2分，以此

类推，连续掷中7次额外加6分.小明购物满500元，参加了一次游戏，则小明在此次游戏中得分X的可能取值有（）种A.10B.11C.13D.143.若()13PBA=，()14PA=，()12PB=，则()PAB=（）A.14B.13

C.12D.344.设nS为等差数列na的前n项和，若8109232aaaa+−=−，则10S=（）A.5B.10C.252D.155.已知随机变量X的分布列如下所示，则()DbX的最大值为（）X123pa2baA.127B.227C.19D.296.下列说法中正确的

是（）①设随机变量X服从二项分布16,2B，则()5316PX==②一批零件共有20个，其中有3个不合格.随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为4657③小赵、小钱、小孙、小李

到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则()29PAB=；④()()2323EXEX+=+；()()2343DXDX+=+.A.①②B.②③C.①③④D.

①②③7.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三

角”的结论正确的是（）A.222234511CCCC220++++=B.记第n行的第i个数为ia，则11134inniia=−+=C.第30行中第12个数与第13个数之比为13:18D.第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等8.已知过点(

),0Aa可以作曲线()1xyxe=−的两条切线，则实数a的取值范围是（）A.()1,+B.()(),e2,−−+C.()(),22,−−+D.()(),31,−−+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共1

8分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如2

2，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（）A.四位回文数有4

5个B.四位回文数有90个C.2n（*nN）位回文数有10n个D.21n+（*nN）位回文数有910n个10.现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从

1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（）A.在第一次抽到2号球的条件下，第二次也抽到2号球的概率是14B.在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是35C.第二次取到1号球的概

率12D.如果第二次取到1号球，则它来自3号口袋的概率最大11.甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出i（1,2i=）个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为()iEX，()iEY，则下列结论正确的是（）A

.()()115EXEY+=B.()()11EXEYC.()()21EXEXD.()()()()1122EXEYEXEY+=+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列na满足11a=，()11123nnnanan+−+=+++

+，则20232024aa=______.13.若()522100121032xxaaxaxax−+=++++，则5a=______.14.已知函数()2sinfxxx=−，若()()2230ftft+−，则实数t的取值范围为____

__.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在①各项系数之和为512−；②常数项为17−；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，

并解答问题.在()211nxx−+的展开式中，______.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）（1）求展开式中3x项的系数；（2）求435n+被7除的余数.16.（本小题满分

15分）已知数列na满足31121231111111nnnaaaaaaaaa+++−−−−=，且23a=，其前n项和记为nS.（1）求数列na的通项公式；（2）记数列1nS的前n项和记为nT，求证：119nT.17.（本小题满分15分）某商场为

了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下：

方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖；方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖.（1）顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据；（2）已知有300

位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？18.（本小题满分17分）已知函数()2lnafxxxx=−++（aR）.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）当1x时，()1fxxx−恒成立，求实数a的取值范围.19.（本小题满分17分）AI机器人，即人工智能机器人

，是一种基于人工智能（AI）技术的机器人，目前应用前景广阔．我国某企业研发的家用AI机器人，其生产共有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测工序，包括智能自动检测与人工抽检，其中智能自动检测为次品的

会被自动淘汰，合格的进入流水线进行人工抽检.已知该家用机器人在生产中前三道工序的次品率分别为123，124，125.（1）已知某批次的家用机器人智能自动检测显示合格率为99%，求在人工抽检时，工人抽检一个家用AI机器人恰好为合格品的概率；（

2）该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力，在直播现场进行家用AI机器人推广活动，现场人山人海，场面火爆，从现场抽取幸运顾客参与游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运顾客，每次都要有放回地从10张分别写有数字1～10的卡片中随机抽取

一张，指挥家用机器人运乒乓球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的球，乙箱中没有球，若抽的卡片上的数字为奇数，则从甲箱中运一个乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的数字为偶数，则从甲箱中运两个乒乓球到乙箱，当乙箱中的乒乓球数目达

到9个时，获得奖品优惠券400元；当乙箱中的乒乓球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得奖品时游戏结束.①求获得“优惠券”的概率；②若有32个幸运顾客参与游戏，每人参加一次游戏，求该企业预备的优惠券总金额的期望值.问津教

育联合体2025届高二5月联考数学试题答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.C3.C4.B5.A6.D7.B8.D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BD10.AC11.ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.2023202513.1683−14.()3,1−四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）选条件①各项系数

之和为512−，取1x=，则()21251n=−−，解得9n=此时展开式中3x项的系数为()34991C2C168+−=−；选条件②常数项为17−，由()()()221111nnnxxxxx−+=+−+，则常数项为01C2C17nn−=−，解得9n=

；选条件③各项系数的绝对值之和为1536，即()211nxx++的各项系数之和为1536，取1x=，则321536n=，解得9n=.（注：若选②③赋分同①）（2）()9909188199

94354215C42C42C4215+=++=+++++()0817899942C42C42C6=++++，()0817899976C42C42C6=++++，所以435n+被7除的余数为

6.16.【详解】（1）由31121231111111nnnaaaaaaaaa+++−−−−=得，当2n，31212311111nnnaaaaaaaaa−−−−=，所以1111nnnnaaaa+++−=，即11nnaa+−=，故

na为公差是1的等差数列，又当1n=时，12122111aaaaa−−=，即()()12111aaa−−=，且23a=，所以12a=，所以211nann=+−=+，故na通项公式为1nan=+；（2）∵由（1）知na为等差数列，∴()2132122nnnSnnn+=+

−=，()21222113333nSnnnnnn===−+++，∴1211111nnTSSSS=++++2111111111111113425364721123nnnnnn=−+−+−+−++−−+−−+−++21

11111323123nnn=++−−−+++21111111361239nnn=−−−+++，即119nT.17.【详解】（1）方案一：设中奖次数为X，若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为224428CC3C7+=，因

为两次抽奖相互独立，所以中奖次数X服从二项分布，即32,7XB，所以X的数学期望为()36277EX==，方差为()342412027749245DX===；方案二：设中奖次数为Y，若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数Y的所有可能取值为0，1，

2，则()111133442286CCCC120CC35PY===，()222211113344244422228686CCCCCCCC161CCCC35PY++==+=，()222244242286CCCC12CC5PY++===，所以Y的分布列为Y012P1235

163515所以Y的数学期望为()121616012353557EY=++=，方差()2226126166112801273573575245DX=−+−+−=，()()EXEY=，()()DXDY，

两种方案中奖次数的期望相同，但方案一的方差较小，中奖的波动性小，稳定性较好，故从中奖的数字特征角度来看，顾客甲选方案一较好.（2）每位顾客按照方案二抽奖中奖2次的概率为15，则300位顾客按照方案二抽奖，其中中奖2次的

人数1300,5ZB，恰有k人中奖2次的概率为()30030014C55kkkPZk−==，0300k，kN，令()()13001130030030014C130015511414C55kkkkk

kPZkkPZkk+−−+−=+−===+，解得59.2k，于是，当59k时，()()1PZkPZk==+；当60k时，()()1PZkPZk==+，故当60k=时，()PZk=最大，所以300位顾

客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为60的概率最大.18.【详解】（1）函数()2lnafxxxx=−++的定义域是()0,+，()222221axxafxxxx−−=−−+=令()0fx=

即220xxa−−=，Δ44a=+①当Δ0，即1a−时，()0fx，函数()fx在()0,+上单调递增.②当Δ0，即1a−时，令()0fx，得1111axa−+++；令()0fx，得11xa−+或11xa++，

又因为()0,x+，令110a−+，即10a−所以当10a−时，()fx在()0,11a−+和()11,a+++递增，在()11,11aa−+++上单调递减；当0a时，()fx在()0

,11a++上单调递减，()11,a+++上递增；（2）当1x时，()1fxxx−恒成立，即22ln21axxx−+恒成立，设()22ln21gxxxx=−+，则()()2ln242ln21gxxxxx=+−=−+，令()ln21uxxx=−+，则()12uxx

=−，当1x时，()0ux，所以()ux在)1,+上递减，()()110uxu=−，即()0gx，()gx在)1,+上递减，()()max11ggx==−，故1a−.19.【详解】（1）设家用机器人经过前三道工序后是合格品的概率为p，则1112211123242

525p=−−−=，设家用机器人智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，则()99100PA=，()2225PAB=，所以()()()22100825999PABPBAPA===，即在人工抽检时，工人抽检一个家用

AI机器人恰好为合格品的概率约为89；（2）①设乙箱中有n个球的概率为nP（110n），第一次抽到奇数，家用机器人运1个乒乓球，概率为12，即112P=，乙箱中有2个球，有两类情况，所以21113

2224P=+=，乙箱中有n（39n）个球的情况有：ⅰ家用机器人已运()2n−个球，又抽出偶数，其概率为212nP−；ⅱ家用机器人已运()1n−个球，又抽出奇数，其概率为112nP−；所以211122nnnPPP−−=+，且3113152

2428P=+=，所以()11212nnnnPPPP−−−−=−−，所以32531848PP−=−=−，即当39n时数列1nnPP−−是公比为12−的等比数列，所以31111822nnnn

PP−−−=−−=−，又112P=，22112PP−=−，所以当2n=时112nnnPP−−=−也成立，所以22112PP−=−，33212PP−=−，……，112nnnPP−−=−，

上述各式相加得231111222nnPP−=−+−++−2111112211116212nn−−−−−==−−

+，又112P=，所以121132nnP+=−−，（29n），经检验，当1n=时上式也成立，所以121132nnP+=−−（19n，*n

N），所以10921341132512P=−−=，即获得“优惠券”的概率为341512；②设参与游戏的32个幸运顾客中获得优惠券的人数为X，则34132,512XB，所以X的期望()341

3413251216EX==，设优惠券的总金额为Y元，则400YX=，所以32个幸运顾客中获得优惠券总金额的期望值()()()4004008525EYEXEX===（元），故该企业预备的优惠券总金额的期望值为8525元.