【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第57讲 二项式定理（达标检测） Word版含解析.docx，共(15)页，163.639 KB，由小赞的店铺上传

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《二项式定理》达标检测[A组]—应知应会1．（2020•北京）在（﹣2）5的展开式中，x2的系数为（）A．﹣5B．5C．﹣10D．10【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．【解答】解：（﹣2）5的展开式中，通项公式为Tr

+1＝•（﹣2）r•，令＝2，求得r＝1，可得x2的系数为•（﹣2）＝﹣10，故选：C．2．（2020春•烟台期中）若的展开式中x3项的系数是240，则实数m的值是（）A．2B．C．±2D．【分析】由二项式定理可得的展开式的通项，令x的系数为3，解可得

r的值，结合展开式中x3的系数即可得关于m的方程，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，的展开式通项为Tr+1＝C6r（mx）6﹣r（﹣）r＝C6r×m6﹣r•（﹣2）r•x，令6﹣r＝3，解可得r＝2，则有C62×m4•（﹣2）2＝240，解可得：m＝±，即实数m的值

为±；故选：D．3．（2020春•如东县校级期中）（1+2x）4展开式中含x2的项为第______项（）A．1B．2C．3D．4【分析】先写出通项，然后令x的指数为2，求出此时k的值即可．【解答】解：由

题意得：，令k＝2得，故第3项中含x2．故选：C．4．（2020春•余姚市校级期中）8011被9除的余数为（）A．﹣1B．1C．8D．﹣8【分析】利用80＝92﹣1以及二项展开式的性质即可求解．【解答】解：∵8011＝（9

2﹣1）11；其展开式共有12项，前11项均有92，都能被9整除，最后一项为：（﹣1）11＝﹣1＝﹣9+8，∴8011被9除的余数为：8．故选：C．5．（2020春•越秀区期末）已知的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含x10项的系数是（）A．4B．﹣4C．

D．91【分析】由已知展开式中第6项与第8项的系数相等求二项式指数n，然后结合通项公式求解即可．【解答】解：∵的展开式中第6项与第8项的系数相等，∴＝；所以n＝12，则展开式的通项公式为：Tr+1＝•x12﹣r•（﹣）r＝（﹣）r••x12﹣2r；令12﹣2

r＝10可得r＝1；∴含x10项的系数是：（﹣）1•＝﹣4．故选：B．6．（2020•新课标Ⅰ）（x+）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．20【分析】先把条件整理转化为求

（x2+y2）（x+y）5展开式中x4y3的系数，再结合二项式的展开式的特点即可求解．【解答】解：因为（x+）（x+y）5＝；要求展开式中x3y3的系数即为求（x2+y2）（x+y）5展开式中x4y3的系数；展开式含x4y3的项为：x2•x2•y3+y2•x4•y

＝15x4y3；故（x+）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为15；故选：C．7．（2020春•清江浦区校级期末）（x2+2）3（﹣1）7展开式中常数项是（）A．15B．﹣15C．7D．﹣7【分析】分别求出两个二项

式的展开式，相乘，令指数为0，即可求得结论．【解答】解：（x2+2）3展开式的通项为Tr+1＝2rx6﹣2r（0≤r≤3）（﹣1）7展开式的通项为Tk+1＝（﹣1）kx2k﹣14（0≤k≤7）所以（x2+

2）3（﹣1）7展开式的通项为（﹣1）k2rx2k﹣2r﹣8（0≤r≤3，0≤k≤7），令2k﹣2r﹣8＝0，则k﹣r＝4，则k＝4，r＝0或k＝5，r＝1或k＝6，r＝2或k＝7，r＝3，所以（x2+2）3（﹣1）7展开式中常数项为（﹣1）

420+++＝﹣15．故选：B．8．（2020春•南岗区校级期中）在（1﹣x）（x+2）4的展开式中，含x3项的系数为（）A．﹣16B．16C．﹣8D．8【分析】把（x+2）4展开，求出二项式（1﹣x）（x+2）4的展开式

中含x3项的系数．【解答】解：（1﹣x）（x+2）4＝（1﹣x）（•x4+•2x3+•22x2+•8x+•24），∴二项式（1﹣x）（x+2）4展开式中，含x3项的系数为：﹣•22+•2＝﹣16，故选：A．9．（2020•吉林模拟）已知不等式logax＜1（a＞0且a≠1）的解集为

（0，2），则二项式的展开式中系数最大项的系数为（）A．16B．80C．240D．480【分析】由不等式可求得a的值，再由通项公式列出不等式组，求得当r＝2时，系数最大，并求得此最大值．【解答】解：由题意，当a＞1时，由logax＜1，可得0＜x＜a，当0＜a＜1时，由logax

＜1，可得x＞a，所以a＝2．故，∴r＝2，∵r＝2，系数为正，故展开式中系数最大项的系数为＝240．故选：C．10．（2020春•渭滨区校级期中）若（1+x+x2）6＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…++a12x12，则a2+a4+…+a12＝（）A．256B．364C．296D．5

13【分析】分别令x＝1和x＝﹣1，代入原式，可得到关于a0+a2+a4+…+a12和a1+a3+…+a11的方程组，问题可解．【解答】解：令x＝1得：（a0+a2+a4+…+a12）+（a1+a3+…

+a11）＝36……①．令x＝﹣1得：：（a0+a2+a4+…+a12）﹣（a1+a3+…+a11）＝16……②．联立①②解得：a0+a2+a4+…+a12＝365．又令x＝0得：a0＝1，所以a2+a4+…+a12＝

364．故选：B．11．（2020•鼓楼区校级模拟）设ai（i＝0，1，2，…，2020）是常数，对于∀x∈R，都有x2020＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）（x﹣2）+…+a2020（x﹣1）（x﹣2）…（x﹣2020），则﹣a0+

a1﹣a2+2！a3﹣3！a4+4！a5﹣…+2018!a2019﹣2019！a2020＝（）A．2019B．2020C．2019！D．2020！【分析】求出a0的值，求出a1﹣a2+2a3﹣3！a4+4！a5﹣…+2018!a2019﹣2019！a2020的值，从

而求出答案即可．【解答】解：代入x＝1，得a0＝1，∴x2020﹣1＝a1（x﹣1）+a2（x﹣1）（x﹣2）+…+a2020（x﹣1）（x﹣2）…（x﹣2020），而x2020﹣1＝（x﹣1）（1+x+x2+…+x

2019），∴x2019+x2018+…+x+1＝a1+a2（x﹣2）+…a2020（x﹣2）…（x﹣2020），代入x＝1得2020＝a1﹣a2+2a3﹣3！a4+4！a5﹣…+2018!a2019﹣2019！a2020，∴﹣a0+a1﹣a

2+2！a3﹣3！a4+4！a5﹣…+2018!a2019﹣2019！a2020＝2020﹣a0＝2020﹣1＝2019，故选：A．12．（多选）（2020春•龙华区校级期中）已知展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，则下列结论正确的是（）A．展开式中的有

理项是第2项和第5项B．展开式中没有常数项C．展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项D．展开式中系数最大的项是第5项【分析】先求出展开式的通项，然后结合x的指数满足的条件解决A，B项；根据二项式系数和系数的性质研究C，D项．【解答】解：由题意

可得4n﹣2n＝992，求得2n＝32，∴n＝5．∴的展开式的通项公式为Tr+1＝•3r•.若为有理数，则r＝2，5，展开式中的有理项是第3项和第6项，故A错误；令＝0，解得r＝﹣，不符合题意，故展开式中没有常数项，故B正确；由n＝5可知，展开式中二项式系数最大的

项为第三项或第四项，故C正确；假设第k+1项系数最大，则，解得3.5≤k≤4.5，∵k∈N*，∴k＝4，∴展开式中系数最大的项是第5项，故D正确.故选：BCD．13．（多选）（2020春•潍坊期中）关于（a﹣b）11的说法，正确的是（）A．展开式中的二项式系数之

和为2048B．展开式中只有第6项的二项式系数最大C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最大【分析】利用赋值法可以判定A的对错；根据中间项的二项式系数最大判定B，C的对错；然后构造系数满足的不等式判定D的对错．【解答】解：展开式通项为

展开式中的二项式系数之和为211＝2048，故A正确；根据二项式系数的性质可知，中间项的二项式系数最大，易知，中间项是第6、7项的二项式系数最大，故B错，C对；因为，第六项系数为＜0，第五项系数为，显然D错．故选：AC．14．（202

0•天津）在（x+）5的展开式中，x2的系数是．【分析】在的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可得到展开式中x2的系数．【解答】解：∵的展开式的通项公式为Tr+1＝x5﹣r2rx﹣2r＝2rx

5﹣3r，令5﹣3r＝2，得r＝1，∴x2的系数是2×＝10，故答案为10．15．（2020•新课标Ⅲ）（x2+）6的展开式中常数项是（用数字作答）．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，

求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为Tr+1＝•2r•x12﹣3r，令12﹣3r＝0，求得r＝4，故常数项的值等于•24＝240，故答案为：240．16．（2020•浙江）二项展开式（1+2x）5＝a0

+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝，a1+a3+a5＝．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可．【解答】解：（1+2x）5＝0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝＝80．a1+a3+a5＝＝122．故答案为：80；122．

17．（2020•马鞍山三模）（x+1）5（x﹣1）4的展开式中x3的系数为．（用数字作答）【分析】先根据（x+1）5（x﹣1）4＝（x2﹣1）4•（x+1）；再结合（x2﹣1）4展开式的通项公式即可求解结论．【解答】解：∵（x+1）5（x﹣1）4＝

（x2﹣1）4•（x+1）；又因为（x2﹣1）4展开式的通项公式为：Tr+1＝•（x2）4﹣r•（﹣1）r；∴（x+1）5（x﹣1）4的展开式中x3的系数为：•（﹣1）3＝﹣4．故答案为：﹣4．18．（2020春•南

岗区校级期中）若展开式中x的系数为8，则展开式中的常数项是（用数字作答）．【分析】先求出（1+）4的展开式的通项公式，结合已知条件求出a，进而求得结论．【解答】解：∵（1+）4的展开式的通项公式为：Tr+1＝•（）r；含x﹣1项的系数为＝4，∴展开式中x的系数为

：4a＝8，解得a＝2．∴展开式中的常数项是：1×1+a•＝1+2×6＝13，故答案为：13．19．（2020•柯桥区二模）在二项式的展开式中，第6项系数最大，则n＝，其常数项为．【分析】利用二项展开式的

通项公式求出通项，得到项的系数与二项式系数相同；据展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n，在通项中，令x的指数为0求出常数项．【解答】解：的展开式的通项为Tr+1＝•（）2n﹣r•＝•x；所以项的系数是二项式系数C2nr；根据

展开式中间项的二项式系数最大又中间项是第n+1项所以n+1＝6解得n＝5所以展开式的通项为Tr+1＝•x，令5﹣＝0解得r＝6所以常数项为C106＝210；故答案为：5，210．20．（2020春•余姚市校级期中）已知（2x﹣1）4（x﹣2）＝a0+a1（x﹣1）+a2（x

﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，则a4＝；a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝．（用数字作答）【分析】由题意，结合二项式定理即可确定a4的值，对所给的等式两侧求导，然后利用赋值法即可确定a1+2a2+3a3+4a4+5a

5的值．【解答】解：（2x﹣1）4（x﹣2）＝[2（x﹣1）+1]4[（x﹣1）﹣1]＝（x﹣1）[2（x﹣1）+1]4﹣[2（x﹣1）+1]4，展开后含有（x﹣1）4的项为：，所以a4＝16；，等号两边分别求导，得，令x＝2

，得（2×2﹣1）4＝a1+2a2+3a3+4a4+5a5，则a1+2a2+3a2+4a4+5a5＝81．故答案为：16；81．21．（2020•汕头校级三模）（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（x∈R），则a1+

a3+a5+…+a2019的值为．【分析】先求出a0的值，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求得展开式的系数和，从而得出结论．【解答】解：∵（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2020x2020（x∈R），令x＝1，可得a

0+a1+a2+a3+…+a2020＝1，令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020＝32020，两式相减除以2，可得a1+a3+a5+…+a2019＝；故答案为：．22．（2020春•大连期末）若（+）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则二项展开式中有理项系数之和为．【

分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于整数，求得r的值，可得结论．【解答】解：根据二项式+）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，可得只有最大，故有n＝6，故通项公式为Tr+1＝•（）6﹣r•＝•x，r＝0，1，2…6；若为整数，则r＝0，3，6，共计3个，对应项的系数和为：+＝22；

故答案为：22．23．（2020春•湖北期末）定义：（在（x2﹣x﹣1）n＝Px2n+Px2n﹣1+Px2n﹣2+…+Px+P（n∈N）中，把P，P，P，…，P叫做三项式（x2﹣x﹣1）n的n次系数列（例如三项式的1次系数列是1，﹣1，﹣1）．

按照上面的定义．三项式（x2﹣x﹣1）n的5次系数列各项之和为，P＝．【分析】令x＝1，可得（x2﹣x+1）5的5次系数列各项之和．（x2﹣x+1）4的通项公式为Tk+1＝（x2﹣x）k，（x2﹣x）k的通项公式为：Tr+1＝（x2）k

﹣r（﹣x）r＝（﹣1）rx2k﹣r，令2k﹣r＝1，即可得出．【解答】解：令x＝1，可得（x2﹣x﹣1）5的5次系数列各项之和为﹣1．（x2﹣x﹣1）4的通项公式为Tk+1＝（﹣1）4﹣k（x2﹣x）k，（x2﹣x）k的通项公式为：T

r+1＝（x2）k﹣r（﹣x）r＝（﹣1）rx2k﹣r，令2k﹣r＝1，可得k＝1，r＝1，∴P＝（﹣1）4﹣1•（﹣1）1＝4．故答案为：﹣1，4．24．（2020春•市中区校级期中）已知二项式展开式中的第4项是常数项．（1

）求n；（2）求展开式中有理项的个数．【分析】（1）二项式展开式中的通项公式为，根据第4项是为是常数项，可得，解得n．（2）要使展开式中的项为有理项，需为整数，可得r．【解答】解：（1）二项式展开式中的通项公式为，∵第4项是为是常数项，∴，

∴n＝12．（2）要使展开式中的项为有理项，需为整数，故有r＝0，3，6，9，12，故展开式中有理项共有5项．25．（2020春•烟台期中）已知的展开式中所有偶数项的二项式系数和为64．（1）求展开式中二项式系数

最大的项；（2）求展开式中的常数项．【分析】（1）根据二项式系数的性质求得n＝6，从而求得展开式中二项式系数最大的项．（2）根据的展开式的通项公式求出x﹣1项以及x2项的系数，即可求得结论．【解答】解：（1）由展开式

中所有的偶数项二项式系数和为64，得2n﹣1＝64，所以n＝7所以展开式中二项式系数最大的项为第四项和第五项．因为的展开式的通项公式为，所以f（x）的展开式中二项式系数最大的项为，；（2）由（1）知n＝7，且的展开式中x﹣1项为，x2项为，所以展开式的常数项

为2×（﹣84）+1×280＝112．26．（2020春•张家港市期中）设（3x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求下列各式的值：（1）a1+a2+a3+a4+a5；（2）a0+a2+a4；（3）a1+2a2+3a3+4a4+5a5．【分析】（1）分别给

x赋值0，1，可得要求式子的值．（2）令x＝﹣1结合第一问即可求解，（3）对原式两边求导，再令x＝1即可求解结论．【解答】解：∵（3x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，①（1）令x＝0

可得：﹣1＝a0，②，令x＝1得：a0+a1+a2+a3+a4+a5＝25＝32，∴a1+a2+a3+a4+a5＝33．（2）令x＝﹣1可得：45＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5，∴a0+a2+a4＝（32+45）＝528，（3）对（3x﹣1）5＝a

0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5两边求导可得：15（3x﹣1）4＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，令x＝1可得：15×24＝a1+2a2+3a3+4a4+5a5．∴a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝24

0．27．（2020春•辽宁期末）在①只有第八项的二项式系数最大，②奇数项二项式系数之和为47，③各项系数之和为414，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．设二项式（+）

n，若其展开式中，______，是否存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．【分析】由二项式系数的性质，可得选填条件①③时，n＝14，写出二项展开式的通项，由x的指数

为0求得k值，即可得到存在整数k＝3，使得Tk是展开式中的常数项；选填条件②时，n＝15，写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得k值，可知不存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项．【解答】解：若选填条件①，即只有第八项的二项式系数最大，则n＝14；若选填条件③

，即各项系数之和为414，则4n＝414，即n＝14．二项式（+）14展开式的通项：＝．由21﹣7k＝0，得k＝3．即存在整数k＝3，使得Tk是展开式中的常数项；若选填条件②，即奇数项二项式系数之和为47，则2n﹣1＝47＝214，∴

n＝15．二项式（+）15展开式的通项：＝．由22﹣7x＝0，得k＝∉Z．即不存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项．28．（2020春•徐州期末）在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线

上，并完成解答．条件①：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64”；条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为22”．问题：已知二项式（1+3x）n，若_____（填写条件前的序号），（1）求

展开式中二项式系数最大的项：（2）求（1+3x）n（1﹣x）5中含x2项的系数．【分析】当选填条件①时，由题意列式求得n＝6，当选填条件②时，由前3项的二项式系数和为22求得n＝6．（1）把n＝6代入（1+3x）n，可知第四项的二项式系数最大，由二项展开式的通项得答案；（2

）把n＝6代入（1+3x）n（1﹣x）5，由第一个因式的常数项乘以第二个因式含含x2项的系数，由第二个因式的常数项乘以第一个因式含含x2项的系数，第一个因式含有x项的系数乘以第二个因式含有x项的系数，作和得答案

．【解答】解：若选填条件①，即展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64，则，即n＝6．若选填条件②，即展开式中前三项的二项式系数之和为22，则，即n＝6．（1）当n＝6时，展开式共7项，二项式系数最大的项为；（2）（1+3x）n（1﹣x）5＝（1+3x）6

（1﹣x）5中，含x2项的系数为＝55．29．（2020春•济宁期末）在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．注

：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知（2x﹣1）n＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N*），若（2x﹣1）n的展开式中，．（1）求n的值；（2）求|a1|+|a2|+|a3|

+…+|an|的值．【分析】（1）由二项式系数的性质及组合数公式可知，无论选填三个条件中的哪一个，n值都是10；（2）把n＝10代入（2x﹣1）n＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn，由二项展开式的通项可知，x的奇数次

方的系数为负，x的偶数次方的系数为正．然后分别取x＝0和x＝1，联立即可求得|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值．【解答】解：（1）在二项式（2x﹣1）n的展开式中，若选填①，只有第6项的二项式系数最大，则展开式中有1

1项，即n＝10；若选填②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，即n＝10；若选填③，所有二项式系数的和为210，则2n＝210，即n＝10．故n＝10；（2）（2x﹣1）n＝（2x﹣1）10＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a10x10．∵二项式（2x﹣1）10的展开式的通项＝．

可知x的奇数次方的系数为负，x的偶数次方的系数为正．在（2x﹣1）10＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a10x10中，取x＝0，得a0＝1；取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+…+a10＝310．∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+

a10﹣a0＝310﹣1．[B组]—强基必备1．（2020春•锡山区校级期中）设n∈N*，an为（x+4）n﹣（x+1）n的展开式的各项系数之和，bn＝[]+[]+…+[]（[x]表示不超过实数x的最大整数），则（t∈R）的最小值为．【分析】令x＝1，有an＝5n﹣2n，

求出bn，则（t∈R）的几何意义为点（n，）到点（t，2﹣t）的距离的平方，最小值为点（1，0）与（2，1）到直线y＝2﹣x的距离d的平方，然后利用点线距离公式求解即可得答案．【解答】解：令x＝1，有an＝5n﹣2n，∴＝n[1﹣（）n]，∴[

]＝n﹣1，bn＝[]+[]+…+[]＝0+1+2+…+（n﹣1）＝，因此表示点A（n，）到直线y＝2﹣x上的点的距离的平方，因为y＝与y＝2﹣x的交点的横坐标x0∈（1，2）且n∈N*，又点（1，0）与（2，1）距直线y＝2﹣x近，

故≥（）2＝．故答案为：．2．（2020•广陵区校级模拟）（1）已知（1﹣2x）2n+1的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1：4，求n的值．（2）记，n∈N*，①求|a0|+|a1|+…+|a2n+1|；②设，求和：1•b0+2•b1+3

•b2+…+（k+1）•bk+…+（2n+2）•b2n+1．【分析】（1）直接根据二项式的系数比即可求解n；（2）①（1+2x）2n+1＝|a0|+|a1|x+…+|a2n+1|x2n+1；令x＝1即可求得结论；②根据ak

＝•（﹣2）k；又，求得bk＝；进而结合二项式系数的性质求解结论．【解答】解：（1）已知（1﹣2x）2n+1的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1：4，∴＝；则n＝4；（2）①由题意知：（1+2x）2n+1＝|a0|+|a1|x+…+|a2n+1|x2n+1；令x＝1得

：|a0|+|a1|+…+|a2n+1|＝32n+1；②由题意：ak＝•（﹣2）k；又，∴bk＝；∴（k+1）bk＝（k+1）•＝k+＝（2n+1）+；∴1•b0+2•b1+3•b2+…+（k+1）•bk+…+（2n+2）•b2n+1＝1•+2•+3•+…+（2n+2）•＝（++

…+）+（2n+1）（++..+）＝22n+1+（2n+1）•22n＝（2n+3）•22n．