【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第57讲 二项式定理（讲） Word版含解析.docx，共(6)页，161.509 KB，由小赞的店铺上传

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第57讲二项式定理思维导图知识梳理1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)；(2)通项公式：Tk＋1＝Cknan－kbk，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C

1n，…，Cnn.2．二项式系数的性质题型归纳题型1二项展开式中特定项及系数问题【例1-1】二项式x2－2x10的展开式中，x项的系数是()A.152B．－152C．15D．－15【解析】选Bx

2－2x10的二项展开式的通项为Tr＋1＝Cr10x210－r－2xr＝(－1)r22r－10Cr10x23-5r，令5－3r2＝12，得r＝3，所以x项的系数是(－1)3·2－4·C310＝－152.故选B.【例1-2】(2019·天津高考)2x－18

x38的展开式中的常数项为________．【解析】2x－18x38的通项为Tr＋1＝Cr8()2x8－r·－18x3r＝Cr828－r－18r·x8－4r.令8－4r＝0，得r＝2，∴常数项为T3＝C2826－182＝28.【答案

】28【跟踪训练1-1】(2019·浙江高考)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．【解析】由二项展开式的通项公式可知Tr＋1＝Cr9·(2)9－r·xr，r∈N,0≤r≤9，当

项为常数项时，r＝0，T1＝C09·(2)9·x0＝(2)9＝162.当项的系数为有理数时，9－r为偶数，可得r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.【答案】1625【跟踪训练1-2】ax＋1x6的展开式的常数项为160，则实数a＝________.【

解析】法一：ax＋1x6的展开式的通项Tr＋1＝Cr6(ax)6－r·1xr＝Cr6a6－rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以C36a6－3＝160，解得a＝2.法二：ax＋1x6＝ax＋1xax＋1xax＋1xax

＋1xax＋1xax＋1x，要得到常数项，则需ax与1x的个数相同，各为3个，所以从6个因式中选择3个ax的系数，即C36a3＝160，解得a＝2.【答案】2【名师指导】求二项展开式中的项的方法求二项展开式的特定项问题，实质是考查

通项Tk＋1＝Cknan－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n).题型2二项式系数的性质及各项系数和【例2-1】(1)(2020·合肥模拟)已知(ax＋b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135

与－18，则(ax＋b)6的展开式中所有项系数之和为()A．－1B．1C．32D．64(2)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝()A．0B．1C．32D．－1(3)在(

1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝________.【解析】(1)由二项展开式的通项公式可知x4项的系数为C26a4b2，x5项的系数为C16a5b，则由题意可得C26a4b2＝135，C16a5b＝－18，解得a＋b＝±2，故(a

x＋b)6的展开式中所有项的系数之和为(a＋b)6＝64.(2)由(1－x)5的展开式的通项Tr＋1＝Cr5(－x)r＝Cr5(－1)rxr，可知a1，a3，a5都小于0.则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.

在原二项展开式中令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0.(3)二项式中仅x5的系数最大，其最大值必为Cn2n，即得n2＝5，解得n＝10.【答案】(1)D(2)A(3)10【跟踪训练2-1】若x＋1

3xn的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是()A．63xB.4xC．4x6xD.4x或4x6x【解析】选A令x＝1，可得x＋13xn的展开式中各项系数之和为2n，即8<2n<32，解得n＝4，故第3项的系数最大，

所以展开式中系数最大的项是C24(x)213x2＝63x.【跟踪训练2-2】(2020·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A．1B．243C．121D．122

【解析】选B令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|

＋…＋|a5|＝122＋121＝243.【跟踪训练2-3】若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数

m的值为________．【解析】令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a

2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1.【答案】－3或1【跟踪训练2-4】已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为______

__．【解析】由已知得Cn－2n＋Cn－1n＋Cnn＝121，则12n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝C715(3x)7和T9＝C815(3x)8.【答案】C715(3x)7和C815(3x)8【名师指导】1

．赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，

求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．2．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项第n2＋1项的二项式系数最大；(2)如果n是奇数

，则中间两项第n＋12项与第n＋12＋1项的二项式系数相等并最大．题型3多项式展开式中特定项系数问题【例3-1】在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展开式中，含x2项的系数是()A．10B．15C

．20D．25【解析】含x2项的系数为C22＋C23＋C24＋C25＝20.【答案】C【例3-2】(1)(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12B．16C．20D．24(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，

则正实数a＝________.【解析】(1)(1＋x)4的二项展开式的通项为Tk＋1＝Ck4xk(k＝0,1,2,3,4)，故(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为C34＋2C14＝12.故选A.(2)(ax＋1)6的展开式中x2的系数为C46a2，x的系数为C56a，因为(x－

1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，所以－C46a2＋C56a＝0，解得a＝0或a＝25.因为a为正实数，所以a＝25.【答案】(1)A(2)25【例3-3】x＋1x＋25的展开式中

x2的系数是________．【解析】在x＋1x＋25的展开式中，含x2的项为2C15x＋1x4,23C35x＋1x2，所以在这几项的展开式中x2的系数和为2C15C14＋23C35C02＝40＋80＝120.【答案】

120【跟踪训练3-1】在x＋1x－16的展开式中，含x5项的系数为()A．6B．－6C．24D．－24【解析】选B由x＋1x－16＝C06x＋1x6－C16x＋1x5＋C26x＋1x4－…－C56x＋1x＋C66，

可知只有－C16x＋1x5的展开式中含有x5，所以x＋1x－16的展开式中含x5项的系数为－C05C16＝－6，故选B.【跟踪训练3-2】x2－3x＋4x1－1x5的展开式中常数项为()A．－30B

．30C．－25D．25【解析】选Cx2－3x＋4x1－1x5＝x21－1x5－3x1－1x5＋4x1－1x5，1－1x5的展开式的通项Tr＋1＝Cr5(－1)r1xr，易知当r＝4或r＝2时原式有常数项，令r＝4，T5

＝C45(－1)41x4，令r＝2，T3＝C25(－1)2·1x2，故所求常数项为C45－3×C25＝5－30＝－25，故选C.【名师指导】1.对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特

定的项，再求和即可．2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．3.(a＋b＋c)n展开式中特定项的求解方法