【文档说明】福建省福州市福清市西山学校2020-2021学年高一3月月考数学试题答案.docx，共(11)页，583.094 KB，由管理员店铺上传

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福清西山学校高中部2020-2021学年第二学期3月份高一月考数学试卷考试时间120分钟满分150分一.单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．下列说法错误的是（）A．

向量OA的长度与向量AO的长度相等B．零向量与任意非零向量平行C．长度相等方向相反的向量共线D．方向相反的向量可能相等【答案】D【解析】A.向量OA与向量AO的方向相反，长度相等，故A正确；B.规定零向量与任

意非零向量平行，故B正确；C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.2．已

知向量()11,3,3,2ab=−=，则2ab+=（）A．()7,2−B．()7,2C．115,2−D．115,2−−【答案】A【解析】因为1(1,3),3,2ab=−=，所以()()21,36,1(7,2)ab+=−+=

−．3．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=A．3144ABAC−B．1344ABAC−C．3144+ABACD．1344+ABAC【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424

BEBABDBABCBABAAC=+=+=++1113124444BABAACBAAC=++=+，所以3144EBABAC=−，故选A.4．已知向量,ab的夹角为34，||2,||1ab==，则|3|ab−=（）A．4B．5C．42D．52【答案】B【解

析】因为32||||cos21()142abab==−=−，所以2|3|(3)abab−=−2296aabb=−+18615=++=.5．ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．设向量(),pacb=+，(),qbaca=−

−．若//pq，则C等于（）A．6B．3C．2D．23【答案】B【解析】因为向量(),pacb=+，(),qbaca=−−，//pq，所以()()()0accabba+−−−=，整理得：222bacab+−=所以2221cos222+−===bacabCabab，解得3C=.6

．已知向量,ab不共线，且2,56ABabBCab=+=−+，72CDab=−，则一定共线的三点是（）A．,,ABDB．,,ABCC．,,BCDD．,,ACD【答案】A【解析】∵24BDBCCDab=+=+，2BAABab=−=−−，∴2BDBA=−，∴,,ABD三点共线.7．在A

BC中，若lgsinlgcoslgsinlg2ABC−−=，则该三角形的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】lgsinlgcoslgsinlg2ABC−−=，sin2cossinABC=,由正弦定理可

得sinsinacAC=，sin,cossin2AaaBCcc==，222cos22acbaBacc+−==，整理得22,cbcb==，ABC∴的形状是等腰三角形，故选A.8．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公

讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，ABC满足“勾3股4弦5”，且3AB=，E为AD上一点，BEAC⊥.若BEBABC=+，则+的值为（）A．925−B．725C．1625D．1【答案】B【解析】由题

意建立如图所示直角坐标系因为3AB=，4BC=，则()0,0B，()0,3A，()4,0C，()0,3BA=，()4,3AC=−，设(),3BEa=，因为BEAC⊥，所以490ACBEa=−=，解得94a=.由BABEAC=+，得()()90,

3,34,34=+−，所以940,4333,+=−=，解得，16,259,25==−，所以725+=，故选：B.二.多选题:本题共4小题，每题5分，共2

0分.再给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.9．（2020·山东潍坊一中高一期中）有下列说法，其中错误的说法为（）．A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若PAPBPBP

CPCPA==，则P是三角形ABC的垂心C．两个非零向量a，b，若abab−=+，则a与b共线且反向D．若a∥b，则存在唯一实数使得ab=【答案】AD【解析】对于选项A，当0b=时，a与c不一定共线，故A错误；对于选项B，由PAPBPBPC=，得0P

BCA=，所以PBCA⊥，PBCA⊥，同理PACB⊥，PCBA⊥，故P是三角形ABC的垂心，所以B正确；对于选项C，两个非零向量a，b，若abab−=+，则a与b共线且反向，故C正确；对于选项D，当0b=，0arr时，显然有a∥b，但此时不存在，故D错误.故选：AD10．设向量()2,0a

=，()1,1b=r，则（）A．ab=rrB．()//abb−C．()abb−⊥D．a与b的夹角为π4【答案】CD【解析】因为()2,0a=，()1,1b=r，所以2,2ab==，所以abrr，故A错误；因为(

)2,0a=，()1,1b=r，所以()()=1,1ab−−rr，所以()ab−与b不平行，故B错误；又()110abb−=−=rrr，故C正确；又22cos,222ababab===rrrrrr，所以a与b的

夹角为π4，故D正确.故选：CD.11对于ABC，有如下判断，其中正确的判断是（）A．若sin2sin2AB=，则ABC为等腰三角形B．若AB，则sinsinABC．若8a=，10c=，60B=，则符合条件的ABC有两个

D．若222sinsinsinABC+，则ABC是钝角三角形【答案】BD【解析】在ABC中，对于A，若sin2sin2AB=，则22AB=或22AB+=，当A＝B时，△ABC为等腰三角形；当2AB+=时，△ABC为直角

三角形，故A不正确，对于B，若AB，则ab，由正弦定理得sinsinabAB=，即sinsinAB成立．故B正确；对于C，由余弦定理可得：b＝22181028102+−＝84，只有一解，故C错误；对于D，若222sinsinsin

ABC+，由正弦定理得222abc+，∴222cos02abcCab+−=，∴C为钝角，∴ABC是钝角三角形，故D正确；综上，故选：BD．12．已知向量()()()2,1,1,1,2,,abcmn==−=−−其中,mn均为正数，且()//abc−，下列说法正确的

是（）A．a与b的夹角为锐角B．向量a在b方向上的投影为55C．24mn+=D．mn的最大值为4【答案】AD【解析】由题意知，10ab=，所以a与b的夹角为锐角，故选项A正确；向量a在b方向上的投影为1222abb==，故选项B错误；()1,2ab−=，因

为()//abc−，,mn均为正数，所以c为非零向量，且24,24nmmn−=−+=，故选项C正确；由基本不等式知，4222mnmn=+，2mn，当且仅当22mn==时取等号，故mn的最大值为4，故选项D正确

.故选：AD三.填空题:本题共4小题，每题5分，共20分.13．已知()2,3AB=，()1,ACm=−，若ABBC⊥，则实数m的值为___________.【答案】5【解析】由题()3,3BCACABm=−=−−，因为ABBC⊥，所以()=6330ABBCm−

+−=，得：5m=14．在平行四边形ABCD中，5ADABBD==，0ACBD=，则该四边形ABCD的面积是______．【答案】1552【解析】0ACBD=，ACBD⊥所以平行四边形ABCD是菱形，=ADAB5ADAB=，cos5ADABA=,即2cos5

ABA=①又5BD=，由余弦定理得222=+2cos25BDABADABADA−=即2222cos25ABABA−=②联解①②得2352AB=，2cos7A=02A，35sin7A=2115522sinsin=22ABDSSABADAABA===.15

．若|𝑎→|=3，|𝑏→|=2，|𝑎→+2𝑏→|=√37，则𝑎→与𝑏→的夹角为__________．【答案】π3【解析】设𝑎→与𝑏→的夹角为θ，则θ∈[0，π]，∵|𝑎→|=3，|𝑏→|=2，|𝑎→+2𝑏→|=√37，∴𝑎→2+4𝑎→⋅

𝑏→+4𝑏→2=9+4•3•cosθ+4•4=37，求得cosθ=12，∴θ=π3，故答案为：π3．16.已知平面向量a，b的夹角为120，且=2a，5b=，则b在a方向上的投影是________，()abR−的最小值是________．【

答案】52−；3【解析】因为平面向量a，b的夹角为120，且=2a，5b=，向量b在a方向上的投影为5cos,5cos1202bab==−，2222()2cos120ababab−=+−2

21425+10=25()35=+++，所以当1=5−时，min3ab−=四．解答题:本题共有6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10分）在（1）3cos5A=，5cos5C=

；（2）sinsinsincCAbB=+，60B=；（3）2c=，1cos4A=−.这三个条件中，任选一个补充在下面问题中的横线处，并加以解答.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4a=，______，求ABC的周长L和面积S.【解析】选①

：因为3cos5A=，5cos5C=，且0πA，0πB，所以4sin5A=，25sin5C=.在ABC中，πABC++=，即()πBAC=−+，所以()sinsinsincoscossinBACACAC=+=+45325105255555255=

+==，由正弦定理得254sin5254sin5aBbA===，因为sinsinBC=，所以25cb==，所以ABC的周长42525445Labc=++=++=+，ABC的面积1125sin425822

5SabC===.选②：因为sinsinsincCAbB=+，所以由正弦定理得，22cab=+.因为4a=，所以224bc=−.又因为60B=，由余弦定理得22116242bcc=+−，所以224164ccc−+=−，解得5c=，所以21b=，所以ABC

的周长4215921Labc=++=++=+，ABC的面积1sin532SacB==.选③：因为2c=，1cos4A=−，所以由余弦定理得，21164224bb=++，即2120bb+−−，解得3b=或4b=−(舍去).所以ABC的

周长4329Labc=++=++=.因为()0,πA，所以215sin1cos4AA=−=，所以ABC的面积1153153221sin244SbcA===.18．在平面直角坐标系中，已知𝑎→=

(1，−2)，𝑏→=(3，4)．（1）若(3𝑎→−𝑏→)∥(𝑎→+𝑘𝑏→)，求实数k的值；（2）若(𝑎→−𝑡𝑏→)⊥𝑏→，求实数t的值．【解析】（1）3𝑎→−𝑏→=(0，−10)，𝑎→+𝑘𝑏→=(3𝑘+1，4𝑘−2)，∵(3𝑎→−𝑏→)∥(𝑎→+𝑘𝑏

→)，∴3k+1=0，解得𝑘=−13；（2）𝑎→−𝑡𝑏→=(1−3𝑡，−2−4𝑡)，∵(𝑎→−𝑡𝑏→)⊥𝑏→，∴(𝑎→−𝑡𝑏→)⋅𝑏→=3(1−3𝑡)−4(2+4𝑡)=0，解得𝑡=−15．19．（1

2分）已知在直角坐标系中（O为坐标原点），()2,5OA=，()3,1OB=，(),3OCx=．（1）若A，B，C共线，求x的值；（2）当6x=时，直线OC上存在点M使MAMB⊥，求点M的坐标．【解析】（1

）()1,4ABOBOA=−=−；()3,2BCOCOBx=−=−∵A、B、C共线，∴//ABBCuuuruuur∴()2430x+−=，∴52x=．（2）∵M在直线OC上，∴设()6,3OMOC==∴()26,53MAOAOM=−=−−，()36,13MBOBOM=−=

−−∵MAMB⊥，∴()()()()263653130−−+−−=即：24548110−+=，解得：13=或1115=.∴()2,1OM=uuur或2211,55OM=．∴点M的坐标为()2,1或22

11,55．20．（12分）平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)abc==−=.（1）求32abc+−；（2）求满足ambnc=+的实数m和n；（3）若()(2)akcba+⊥−，求实数k.【解析】（1）由(3,2),(1,2),(4,1)abc==−

=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)abc==−=()()32918,6220,6abc+−=−−+−=，2232066abc+−=+=；（2）()(),2,4,mbmmncnn=−=，()4,2mbncnmmn+=−+，ambnc=+，()4,2(3,2)anmmn==−+，故4

322nmmn−=+=，解得58,99mn==；（3）(3,2),(4,)akckk==，()34,2akckk+=++，(3,2),2(2,4)ab==−，()25,2ba−=−，()()2akcba+⊥−，()()20akcba+−=，即()()534220kk−++

+=，解得1118k=−.21．（12分）已知m，x∈R，向量a＝(x，－m)，b＝((m＋1)x，x)．(1)当m>0时，若|a|<|b|，求x的取值范围；(2)若a·b>1－m对任意实数x恒成立，求m的取值范围．【解析】(1)由题意，得|a|2＝x2＋m2

，|b|2＝(m＋1)2x2＋x2.因为|a|<|b|，所以x2＋m2<(m＋1)2x2＋x2.因为m>0，所以mm＋12<x2，所以x<－mm＋1或x>mm＋1，故x的取值范围是(－∞，－mm＋1)∪(mm＋1，＋∞)．(2)因为a·b＝(m＋1

)x2－mx.由题意可得(m＋1)x2－mx>1－m，对任意的实数x恒成立，即(m＋1)x2－mx＋m－1>0对任意x恒成立．当m＋1＝0，即m＝－1时，显然不成立，所以m＋1>0，m2－4（m＋1）（m－1）<0，解得m>233，故m的取值范围是233，＋∞.22

.（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足1233OCOAOB=+.（1）求ACCB值；（2）已知2(1,cos),(1cos,cos),0,,()223AxBxxxfxOAOCmAB+=

−+若()fx的最小值为()gm，求()gm的最大值.【解析】（1）由题意知,,ABC三点满足1233OCOAOB=+，可得2()3OCOAOBOA−=−，所以22()33ACABACCB==

+，即1233ACCB=即2ACCB=，则2ACCB=，所以||2||ACCB=.（2）由题意，函数2222()2||1coscos2cos333fxOAOCmABxxmx=•−+=++−+22(co

s)1xmm=−+−因为0,2x，所以cos[0,1]x，当0m时，()fx取得最小值()1gm=，当01m时，当cosxm=时，()fx取得最小值2()1gmm=−，当1m>时，当cos1x=时，

()fx取得最小值()22gmm=−，综上所述，210()101221mgmmmmm=−−，可得函数()gm的最大值为1，即()gm的最大值