【文档说明】河北省大名县第一中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试卷（含部分解析）.doc，共(13)页，1.799 MB，由小赞的店铺上传

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大名县第一高级中学校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选（每题5分，共40分）1．已知()3,2,5=−ra，()1,5,1b=−，则()3aab+等于（）A．（0，34，10）B．（-3，19，7）C．44D．232．如

图，在四面体OABC中，OAa=，OBb=，OCc=，点M在OA上，且2OMMA=，点N为BC的中点，则MN=（）．A．121232abc−+B．211322abc−++C．112223abc+−rrrD．221332abc+−rrr3．在直角坐标平面内，与点(0,3)A距离为2，且

与点(4,0)B距离为3的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条4．已知空间向量(2,1,2)a=−，(1,2,1)b=−，则向量b在向量a上的投影向量是（）A．424(,,)333−B．(2,1,2)−C．242(,,)333−D．(1,2,1)−5．已知直线l过定点(

)2,3,1A，且方向向量为()0,1,1s=，则点()4,3,2P到l的距离为（）A．322B．22C．102D．26．经过两条直线12:,2:21=−=+yxlyxl的交点，且直线的一个方向向量)2,3(−=v的直线方程为（）

.012.A=−−yx032.B=−+yx0523.C=−−yx0532.D=−+yx7．“1a=”是“直线10xay+−=与直线10axy−+=相互垂直”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知点3(2,)A−，(3,2)B−−

．若直线:10lmxym+−−=与线段AB相交，则实数m的取值范围是（）)+−−，，443.A(+−−，，434.B−4,43.C−43,4.D二、多选题（每小题5分，共20分。全部选对5分，部分选对2分，有选错的0分）9．下列命题是

真命题的有（）.A．直线l的方向向量为(1,1,2)a=−，直线m的方向向量为12,1,2b=−，则l与m垂直B．直线l的方向向量为(0,1,1)a=−，平面的法向量为(1,1,1)n=−−，则l⊥C．平面，的法向量分别为1(0,1,3)n=，2(1,0,2)n=

，则//D．平面经过三点(1,0,1)A−，(0,1,0)B，(1,2,0)C−，向量(1,,)nut=是平面的法向量，则1ut+=10．如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，P是线段1BC上的动点，则下列结论中正确的是（）A．1ACB

D⊥B．1AP的最小值为62C．1//AP平面1ACDD．异面直线1AP与1AD，所成角的取值范围是,4211．已知直线:20lkxyk−+=和圆22:16Oxy+=，则（）A．直线l恒过定点()2,0B．存在k使得直线l与直线0:220lxy−+=垂直C．直线l与圆O相交D．若

1k=−，直线l被圆O截得的弦长为412．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置，连接PC，构成三棱锥PBCD−．设二面角PBDC−−为，直线PB和直线CD所成角为，在翻折过程中，下列说法正确的是（）A

．PC与平面BCD所成的最大角为45°B．存在某个位置，使得PB⊥CDC．当233，时，cos的最大值为58D．存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为3三、填空题（每题5分，共20分）13．已知(3,2,3)a=−−，(1,1,1)bx=−−，且a与b的夹角为

钝角，则x的取值范围是___.14．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且1OA=，2OB=，3OC=，G为ABC的重心，则()OGOAOBOC++=______．15．已知两圆O：224xy+=，C：22224510xaxyaya−+

−+−=，当两圆相交时，实数a的取值范围是______.16．已知点P为棱长等于2的正方体1111ABCDABCD−内部一动点，且2PA=，则11PCPD的值达到最小时，1PC与1PD夹角大小为__________．四、解答题（17题10分

，其他各题12分，共70分）17．已知直线l过点()3,4P．(1)若直线l与直线4350xy−+=垂直，求直线l的方程；(2)若直线l在两坐标轴的截距相等，求直线l的方程．18．已知实数,xy满足22410x

yx+−+=，求：(1)xy+的最小值；(2)22xy+的最大值．19．在如图所示的几何体ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，2CECACBDB===，90ACB=，M为AD的中点．(1)证明：EMAB⊥；(2)求直线BM和平面ADE所成角的正弦值．20．已知线段AB的端

点B的坐标是()65，，端点A在圆()()221:434Cxy−+−=上运动．(1)求线段AB的中点P的轨迹2C的方程；(2)设圆1C与曲线2C的两交点为M，N，求线段MN的长；(3)若点C在曲线2C上运动，点Q在x轴上运动，求

AQCQ+的最小值．21．如图，在四棱椎PABCD−中，已知四边形ABCD是梯形，AB∥CD，ADAB⊥，22ABBCCD===，PBC是正三角形．(1)求证：BCPA⊥；(2)当四棱锥PABCD−体积

最大时，求：①点A到平面PBC的距离；②平面PAB与平面PAD夹角的余弦值．22．已知直线()():212420lmxmym++−+−=与圆22:20Cxxy−+=交于,MN两点．（1）求出直线l恒过定点的坐

标（2）求直线l的斜率的取值范围（3）若O为坐标原点，直线,OMON的斜率分别为12,kk，试问12kk+是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由参考答案一、单选题1．C2．B3．C4．A5．A6．D7．

B解析：因为直线10xay+−=与直线10axy−+=相互垂直，所以1()(1)0aa+−=，所以aR.所以1a=时，直线10xay+−=与直线10axy−+=相互垂直，所以“1a=”是“直线10xay+−=与直线10axy−+=相互垂直”的充分条件；当直线10xay+−=与直线10axy−

+=相互垂直时，1a=不一定成立，所以“1a=”是“直线10xay+−=与直线10axy−+=相互垂直”的非必要条件.所以“1a=”是“直线10xay+−=与直线10axy−+=相互垂直”的充分非必要条件.8．A解析：设直线l过定点(,)Pxy，则直线:10lmxym+−−=

可写成(1)10mxy−+−=，令10,10,xy−=−=解得1,1.xy==直线l必过定点(1,1)P．31421PAk−−==−−，213314PBk−−==−−．直线:10lmxy

m+−−=与线段AB相交，由图象知，34m−或4m−−，解得34m−或4m≥，则实数m的取值范围是3,[4,)4−−+．故选：A二、多选题9．AD10．ABC解析：如图建立空间直角坐

标系，则()1,0,0A，()0,1,0C，()10,0,1D，()11,0,1A，()1,1,0B，()10,1,1C，所以()1,1,0AC=−，()11,1,1BD=−−，()10,1,1AB=−，()11,0,1BC=−，所以10ACBD=，所以1ACBD⊥，故A正

确；因为P是线段1BC上一动点，所以1BBCP=()01，所以()()()110,1,11,0,1,1,1APBBAP=+=−+−=−−，所以()21221311222AP=+−+=−+，当且仅当12=时m1in6

2AP=，故B正确；设平面1ACD的法向量为(),,nxyz=，则1·0·0nACnAD==，即00xyxz−+=−+=，令1x=，则1yz==，所以()1,1,1n=，因为1110nPA=−++−=，即1nAP⊥，因为1AP平面1ACD，所以1/

/AP平面1ACD，故C正确；设直线1AP与1AD所成的角为，因为11//ADBC，当P在线段1BC的端点处时，3=，P在线段1BC的中点时，2=，所以,32，故D错误；11

．BC解析：对于A、C，由:20lkxyk−+=，得(2)0kxy+−=，令200xy+=−=，解得20xy=−=，所以直线l恒过定点(2,0)−，故A错误；因为直线l恒过定点(2,0)−，而()2220416−+=，即(2,

0)−在圆22:16Oxy+=内所以直线l与圆O相交，故C正确；对于B，直线0:220lxy−+=的斜率为12，则当2k=−时，满足直线l与直线0:220lxy−+=垂直，故B正确；对于D，1k=−时，直线:20lxy++=，圆心到直线的距离为22002211d++==+，所以直线l被圆O截

得的弦长为()22222242214rd−=−=，故D错误.12．BC解析：取BD的中点O，连接OPOC、，则,OPBDOCBD⊥⊥，又OPOCO=，可得BD⊥平面OPC，BD平面BDC，所以平面OPC⊥平面B

DC，PC与平面BCD所成的角为∠PCO，当PC3=时，△OPC为等边三角形，此时∠PCO＝60°＞45°，故A错误；由上可知POC为PBDC−−的平面角，即POC=，因为,PBOBOPCDODOC=−=−，所以()()13cosPBCDOBOPODOCOBODOBOCOPODO

POC=−−=−−+=−+，当1cos3=时，0PBCD=，即PBCD⊥，故B正确；又13coscoscos,4PBCDPBCDPBCD−+===，当2,33时，11515cos,,13

cos,,13cos0,22222−−+−−+，所以5cos0,8，即cos的最大值为58，故C正确；∵点B到PD的距离为3，点B到CD的距离为3，∴若B到平面PDC的距离为3，则平面PBD⊥平面PCD．平面CBD⊥平面PCD，

则有DB平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾，故D错误．三、填空题13．523−，∪5+3，14．143解析：如图所示，连接AG并延长与BC相交于点D．点G是底面ABC的重心，22

11()(2)3323AGADABACOBOCOA==+=+−，又11(2)()33OGOAAGOAOBOCOAOAOBOC=+=++−=++，则1()()()3OGOAOBOCOAOBOCOAOBOC++=++++222211()(||||||222)33OAOBOCO

AOBOCOAOBOAOCOBOC=++=+++++114(149)33=++=．15．355535,,5555−−解析：由22224510xaxyaya−+−+−=，则()()2221xaya−+−=，即圆C的圆心(),2Caa，半径1r=，同

理圆O的圆心()0,0O，半径2R=，则2245OCaaa=+=，由两圆相交，则21521a−+，即53555a，解得355535,,5555a−−.16．90解析：由题意得，取11

CD中点M，则111111()()()()PCPDPMMCPMMDPMMCPMMC=++=+−22211PMMCPM=−=−，因为2PA=，所以P在以A为球心的球面上，所以min2321PMAM=−=−=，因为1112PMCD=，所以11PDPC⊥，所以1PC与1P

D的夹角为090.四、解答题17．(1)34250xy+−=(2)430xy−=或70xy+−=（1）解：因为直线l与直线4350xy−+=垂直所以，设直线l的方程为340xym++=，因为直线l过点()3,4P，所以33440m++=，解得25m=−，所以直

线l的方程为34250xy+−=．（2）解：当直线l过原点时，斜率为43，由点斜式求得直线l的方程是43yx=，即430xy−=．当直线l不过原点时，设直线l的方程为xya+=，把点()3,4P代入方

程得7a=，所以直线l的方程是70xy+−=．综上，所求直线l的方程为430xy−=或70xy+−=．18．(1)26−(2)743+（1）由题意，圆的标准方程为()2223xy−+=．令xyt+=，当直线与圆相切时，t取得最值，则2032t+−=，解得26t=−

或26+．所以t的最小值为26−．（2）令22xys+=，则s表示点(),xy到点()0,0距离的平方，因为圆()2223xy−+=上的点到原点距离最大值为()()222000323−+−+=+，所以()2max23743s=+=+．19．（1）由EC⊥

面ABC，,ACBC面ABC，则,ECACECBC⊥⊥，又90ACB=，则ACBC⊥，故以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设1DB=，则2CECACB===．依题意(2,0,0)A，(0,2,0)B，(0,0,2)E，(0,2,1)D，1(1,1,)2M，3(1,

1,)2EM=−，(2,2,0)AB=−，则2200EMAB=−++=，EMAB⊥，即EMAB⊥．（2）由（1）知：1(1,1,)2BM=−，(2,0,2)AE=−，(0,2,1)DE=−，设面ADE

的法向量为(,,)nxyz=，则22020nAExznDEyz=−+==−+=，取(2,1,2)n=，设直线BM和平面ADE所成角为，则4sin|cos,|9BMnBMnBMn===．因此直线BM和平面ADE所成角的正弦值

为49.20．(1)22(5)(4)1xy−+−=.(2)142.(3)523−.(1)解：设点P的坐标为()xy，，点A的坐标为()00xy，，由于点B的坐标为()65，，且点P是线段AB的中点，所以062xx+=，0

52yy+=，于是有002625xxyy=−=−①，因为点A在圆221:(4)(3)4Cxy−+−=上运动，即：2200(4)(3)4xy−+−=②，把①代入②，得22(264)(253)4xy−

−+−−=，整理，得22(5)(4)1xy−+−=，所以点P的轨迹2C的方程为22(5)(4)1xy−+−=.(2)解：将圆()()221:434Cxy−+−=与圆()()222:541Cxy−+−=的方程相

减得：22190xy+−=，由圆()()222:541Cxy−+−=的圆心为()54，，半径为1，且()54，到直线22190xy+−=的距离22|10819|2422d+−==+，则114||2182MN=−=；(3)解：圆()()221:

434Cxy−+−=是以()143C，为圆心，半径12r=的圆，圆2C是以()254C，为圆心，半径21r=的圆，所以1122123QAQCQCrQCrQCQC+−+−=+−①，当且仅当A在线段1QC且C在线段2QC上时，取等号．设()343C−，为()143C，关于x轴的对

称点，则13QCQC=，代入①式得：323QAQCQCQC++−233523CC−=−…，当且仅当23CQC，，共线时，取等号．所以AQCQ+的最小值为523−．21．（1）如图，取AB的中点E，连接CE，AC．∵2ABCD=，ABCD∥

，∴CD与AE平行且相等，∴四边形AECD是平行四边形，又ADAB⊥，∴四边形AECD是矩形，∴CEAB⊥．∴ACBC=，∴ABC是等边三角形．取BC的中点O，连接AO，则AOBC⊥．连接PO，∵PBP

C=，∴POBC⊥，∵POAOO=，POAO，平面PAO，∴BC⊥平面PAO，∵PA平面PAO，∴BCPA⊥；（2）①由(1)知，ABC是等边三角形，∴3CE=，∴梯形ABCD的面积332S=为定值，故当平面PBC⊥平面ABCD时，四棱锥PABCD−体积最大．∵POBC⊥，∴P

O⊥平面ABCD，∴POOA⊥，∵OA⊥BC，BC∩PO=O，BC、PO平面PBC，∴AO⊥平面PBC，故此时点A到平面PBC的距离等于3OA=；②∵OP，OA，OB两两互相垂直，∴以O为坐标原点，OA，OB，OP分别为x轴、y轴和z轴的正方向，建立如图所示的空间

直角坐标系，则(3,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,0,3)ABCP−．由12CDBA=，可得33,,022D−．∴(3,0,3),(0,1,3)PAPB=−=−，33,,0,(3,0,3)22ADAP=−−=−．设

平面PAD的一个法向量为()000,,mxyz=，由0,0mADmAP==得0000330,22330xyxz−−=−+=，可取0003,1xzy===−，则(3,1,3)m=−．设平面PAB的法向量为(

)111,,nxyz=，则00PAnPBn==，即111133030xzyz−=−=，取111xz==，则13y=，则(1,3,1)n=．设平面PAB与平面PAD的夹角为，则||3105cos||||3535mnmn===．故所求的平面PAB与平面P

AD的夹角的余弦值为10535．22．（1）()0,2；（2）3,4−−；（3）12kk+为定值1.解：（1）将直线l方程整理为：()()24220xymxy−+++−=，令240220xyxy−+=+−=，解得：02xy==，直线l恒过定点()

0,2；（2）设直线l斜率为k，由（1）可知：直线l方程可设为：()20ykx−=−，即20kxy−+=；圆C方程可整理为()2211xy−+=，则其圆心()1,0C，半径1r=，直线l与圆C交于,MN两点，圆心C到直线l距离dr，即2211kk++，解得：34k

−，即直线l斜率的取值范围为3,4−−；（3）设()11,Mxy，()22,Nxy当12m=时，:0lx=与圆C仅有一个交点，不合题意，12m，则直线2:221mlyxm+=+−，可设直线l方程为2ykx=+，由22220ykxxxy=+−+=

得：()()2214240kxkx++−+=，由（2）知：34k−；122241kxxk−+=+，12241xxk=+，()()12211212211212121222kxxkxxyyyxyxkkxxxxx

x+++++=+==()212121222422212212141kkxxxxkkkkxxk−+++==+=+−=+，12kk+为定值1.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com