【文档说明】江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高三上学期10月联合调研 数学答案.docx，共(21)页，1.217 MB，由小赞的店铺上传

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2023—2024学年第一学期10月六校联合调研试题高三数学2023.10一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合|2,xAyyx==R

，|ln(1)Bxyx==+，则AB=（）A.(1,)−+B.C.RD.(0,)+【答案】D【解析】【分析】根据指数函数值域和对数函数定义域求出集合A，B，然后由交集运算可得.【详解】由指数函数性质可知，()0,A=+，由10x+得1x−，所以()

1,B=−+，所以()()()0,1,0,AB=+−+=+.故选：D2.设{}na是等比数列，且1231aaa++=，234+2aaa+=，则678aaa++=（）A.12B.24C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得q的值，再由()5678123aaa

qaaa++=++可求得结果.【详解】设等比数列na的公比为q，则()2123111aaaaqq++=++=，()232234111112aaaaqaqaqaqqqq++=++=++==，因此，()5675256781111132aaaaqaqaqaqqqq++=++=++==.故选：D.【

点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．3.下列求导正确的是（）A.ππsinsincossin66xx−=−B.()()221221xx+=+C.()21logln2xx=D.()2222xxxx+=+【答案

】C【解析】【分析】根据基本函数的求导公式，及导数的运算法则和复合函数的求导法则，进行运算即可判断选项.【详解】对于A，()ππsinsinsinsincos66xxx−=−=，故A错误；对于B，根据复合函数的求导法则，()()()()2212

2121421xxxx+=++=+，故B错误；对于C，()21logln2xx=，故C正确；对于D，()()()22222ln22xxxxxx+=+=+，故D错误.故选：C.4.已知角终边上有一点5π5π(sin,cos)66P，则π

−是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】C【解析】【分析】根据5π6所在象限可判断点P所在象限，然后根据对称性可得.【详解】因为5π6是第二象限角，所以5π5πsin0,cos066，所以点P在第四象限，即角为第四象限角，所以

−为第一象限角，所以π−为第三象限角.故选：C5.已知直线:10lxy−−+=和圆22:40Cxyy+−=交于,AB两点，则AB的最小值为（）A.2B.2C.4D.22【答案】D【解析】【分析】求出直线l过定点()1,1，再利用弦长公式即可得到最小值.【详解】():110l

xy−−+=，令1x=，则1y=，所以直线l过定点()1,1，当1,1xy==得22114120+−=−，则()1,1在圆内，则直线l与圆必有两交点，因为圆心()0,2到直线l的距离()()2210122d−+−=，所以22

2222ABd=−．故选：D.6.已知样本数据131x+，231x+，331x+，431x+，531x+，631x+的平均数为16，方差为9，则另一组数据1x，2x，3x，4x，5x，6x，12的方差为（）．A.467B.477C.487D.7【答案】C【解析】【分析】由均

值、方差性质求数据1x，2x，3x，4x，5x，6x的平均数、方差，应用平均数、方差公式求新数据方差.【详解】设数据1x，2x，3x，4x，5x，6x的平均数为x，方差为2s，由3116x+=，299s=，得61156iix

x===，2261(56)11iixs==−=，则1x，2x，3x，4x，5x，6x，12的平均数为561267+=，方差为()6221(6)1267iix=−+−621(51)367iix=−−+=66211(5)2(5)16367iiiixx=

=−−−++=66211(5)21027iiiixx==−−+=26261024877sx−+==．故选：C7.已知定义在R上的偶函数()fx满足()()11fxfx−=−+，则下列说法正确的是（）A3522ff=−B.函数()fx的一个周期为2C.()2023

0f=.D.函数()fx的图象关于直线1x=对称【答案】C【解析】【分析】根据已知等式判断函数的对称性，结合偶函数的性质判断函数的周期，最后逐一判断即可.【详解】()()11,fxfx−=−+函数()fx关于点()1,0中心对称，因此

选项D不正确；又因为函数()fx为偶函数，所以()()fxfx−=，由()()()()()()()1124fxfxfxfxfxfxfx−=−++=−−=−+=，所以函数()fx的周期为4，所以选项B不正确；因为函数()fx是周期为4的偶函数，所以3

55222fff=−=，因此选项A不正确；在()()11fxfx−=−+中，令0x=，得()10f=，因为函数()fx的周期为()()()()4,20233110ffff==−==，因此选项C正确，故选：C8.已知点,MN是抛物线24yx=上不同的两点，F为

抛物线的焦点，且满足23MFN=，弦MN的中点P到直线1:16ly=−的距离记为d，若不等式22MNd恒成立，则的取值范围（）A.(,2−B.(,2−C.(,12−+D.(,3

−【答案】D【解析】【分析】令||,||MFaNFb==，利用余弦定理表示出弦MN的长，再利用抛物线定义结合梯形中位线定理表示出d，然后利用均值不等式求解作答.【详解】在MFN△中，令||,||MFaNFb==

，由余弦定理得222||||||2||||cosMNMFNFMFNFMFN=+−，则有222||MNabab=++，显然直线1:16ly=−是抛物线24yx=的准线，过,,MPN作直线l的垂线，垂足分别为,,ABC，如图，而P为弦MN的中点，PB为梯形MACN的中位线，由抛物线

定义知，11||(||||)()22dPBMANCab==+=+，因此22222222||4444444322222MNababababdabababababbaba++==−=−−=+++++++，

当且仅当ab=时取等号，又不等式22MNd恒成立，等价于22MNd恒成立，则3，所以的取值范围是(,3]−.故选：D【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能

明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的

得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9.设复数z满足3i1zz+=−−，则下列说法错误的是（）A.z为纯虚数B.z的虚部为2iC.在复平面内，z对应的点位于

第二象限D.||z＝5【答案】ABC【解析】【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数z，再对选项一一判断即可得出答案.【详解】设复数izab=+，由3i1zz+=−−得()3i1zz+=−−，则()()()()22i31ii3ii33i4i2=2i11i1i1i1i2z−−−−−+−====

−++−−，故A错误；z的虚部为2，故B错误；复平面内，z对应的点为()1,2−−，z对应的点位于第三象限，故C错误；()2215z=−+=，故D正确.故选：ABC.10已知向量()1,3a=−，(),2bx=，且()2aba−⊥，则（）A.()1,2b=B.225ab−=C.向量a与向量b的

夹角是45D.向量a在向量b上的投影向量坐标是()1,2【答案】ACD【解析】【分析】根据向量垂直的坐标公式求出向量b判断A，利用向量模的坐标运算判断B，利用数量积的夹角坐标公式求解判断C，利用数量积的几何意义求解判

断D.【详解】因为向量()1,3a=−，(),2bx=，所以()212,1abx−=−−−，由()2aba−⊥得1230x+−=，解得1x=，所以()1,2b=，故A正确；又()23,4ab−=−rr，所以()22

2345ab−=−+=rr，故B错误；设向量a与向量b的夹角为，因为()1,3a=−，()1,2b=，所以52cos2105abab===，又0180，所以45=，即向量a与向量b的夹角是45，故C正确；向量a在向

量b上的投影向量坐标是()51,25abbbbbbb===，故D正确.故选：ACD.11.已知函数()sin3cos(0)fxxx=+，下列说法正确的是（）A.函数()fx的值域为22−,B.若存在12,xxR，使得对xR都有()()()12fxfxfx，则12xx−

的最小值为2π.C.若函数()fx在区间ππ,63−上单调递增，则的取值范围为10,2D.若函数()fx在区间()0,π上恰有3个极值点和2个零点，则的取值范围为138,63【答案】ACD【解析】【分析】化简()fx的解析式，根据三角函数的值域、

最值、周期、单调性、极值点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】已知函数()π2sin3fxx=+，可知其值域为22−,，故选项A正确；若存在12,xxR，使得对xR都有()()()12fxfxfx，

所以12xx−的最小值为π2T=，故选项B错误；函数()fx的单调递增区间为πππ2π2π232kxk−++，()5ππ2π2π66,Zkkxk−+，所以5π2ππ6

6π2ππ63kk−−+，令0k=，则10,2的取值范围为10,2，故选项C正确；若函数()fx在区间()0,π上恰有3个极值点和2个零点，πππ,π333x

++，由如图可得：5ππ138π3π2363+，的取值范围为138,63，故选项D正确；故选：ACD12.已知函数()()()1lnR1axfxxax+=−

−，则下列说法正确的是（）A.当0a时，()fx在(1,)+上单调递增B.若()fx的图象在2x=处的切线与直线250xy+−=垂直，则实数34a=C.当10a−时，()fx不存在极值D.当0a时，()fx有且仅有两个

零点12,xx，且121=xx【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用导数即可判断；对于B，根据导数的几何意义可判断；对于C，取12a=−，根据导数判断此时函数的单调性，说明极值情况，即可判断；对于D，结合函数单调性，利用零点存在定理说明()fx有且仅有两个零点12,

xx，继而由()0fx=可推出10fx=，即可证明结论，即可判断.【详解】因为()()()1lnR1axfxxax+=−−，定义域为{|0xx且1}x，所以()()2121afxxx=+−，对于A，当0a时，

()0fx，所以()fx在(01),和(1,)+上单调递增，故A正确；对于B，因为直线250xy+−=的斜率为12−，又因为()fx的图象在2x=处的切线与直线250xy+−=垂直，故令1(2)222fa=+=，解得34a=，故B正确；对于C，当10a−时，不

妨取12a=−，则()()()222113111xxfxxxxx−+=−=−−，令()0fx=，则有231=0xx−+，解得122,3535222xx=−=+，当502,32x−时，()0fx¢>，()fx在0,3522−上单调递增；当3535,11

,2222x−+时，()0fx，()fx在3535,1,1,2222−+上分别单调递减；所以此时函数有极值，故C错误；对于D，由A可知，当0a时，()fx在

(01),和(1,)+上单调递增，当1x时，22(e)10e1e1aaaafaa=−+=−−−，()()()()313131313131e1e12e311e1e1aaaaaaafaa++++++−−+=+−+−=−()()()313131

31313e1e12e20e1e1aaaaaaaa+++++−−+−=−−，所以()fx在(1,)+上有一个零点，又因为当01x时，22(e10e1e1aaaafaa−−−−+=−−=)，()1313313122ee311311e11eaaaafaa

aa−+−−−+=−−−+=−−−+−−()()()3131313131311ee11e311e1eaaaaaaaaa++++++−+++=−−−=−−−()()31313131ee11eaaaaa+++−++=−−()3131313122e42e0

1ee1aaaaaaa++++−−=−=−−，所以()fx在(01),上有一个零点，所以()fx有两个零点，分别位于(01),和(1,)+内；设1201xx，令()0fx=，则有()1ln01axxx+−=−，则1fx=

()11111lnlnln1111xaaaxxxxxxxxxx+++−=−−=−+−−−()1[ln]01axxx+=−−=−，所以()0fx=的两根互为倒数，所以121=xx，故D正确．故选：ABD【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数知识的应用，综合性较，解答的难点在

于选项D的判断，要结合函数的单调性，利用零点存在定理判断零点个数，难就难在计算量较大并且计算复杂，证明121=xx时，要注意推出10fx=，进而证明结论三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.在()()54+21xy−的展开式中，32xy的系数

为______．【答案】240【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可.【详解】在()5+2x的展开式中，3x的系数为325C2=40；在()41y−的展开式中，2y的系数为224C1=6；所以在()()54+21xy−的展开式中，32xy的系数为322

54C2C=240；故答案为：24014.2023年杭州亚运会招募志愿者，现从某高校的6名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有_______种.【答案】80【解析】分析】应用排

列组合知识及计数原理可得答案.【详解】先从甲、乙之外的4人中选取1人担任语言服务工作，再从剩下的5人中选取2人分别担任人员引导、应急救助工作，则不同的选法共有1245CA454=80=种.【故答案为：80.15.已知22,1()e,1xxxfxx−−=−，若ab，()()f

afb=，则实数2ab−的取值范围是______．【答案】(1,3e−−−【解析】【分析】作出函数图象，设()()tfafb==，数形结合可知t的范围，2ab−转化为关于t的函数，利用导数求最值即可.【详解】作函数()fx图象，如图，设()()tfafb==，则10et

，e,,2e1112abab+−，又()(),e22afatfbbt===−=，()1ln2,2atbt==+，2ln2abtt−=−−，设()()110,,1ln21etgttttgttt−

=−−=−=，当10et时，()0gt，函数()gt为增函数，()1111ln23eeeegtg=−−=−−，即实数2ab−的取值范围是(1,3e−−−故答案为：(1,3e

−−−16.在正三棱锥ABCD−中，底面BCD△的边长为4，E为AD的中点，ABCE^，则以D为球心，AD为半径的球截该棱锥各面所得交线长为________．【答案】52π3【解析】【分析】首先证明,,ACABAD两两垂直，再求出所

对应的圆心角，则计算出其弧长，即可得到交线长.【详解】记CD中点为F，作AO⊥平面BCD，垂足为O，由正三棱锥性质可知，O为正三角形BCD的中心，所以O在BF上，因为CD平面BCD，所以AOCD⊥，由正三角形性质可知，BFCD⊥，又BFAOO

=，,BFAO平面ABO，所以CD⊥平面ABO，因为AB平面ABO，所以ABCD⊥，又,,,CEABCECDCCECD⊥=平面ACD，所以AB⊥平面ACD，因为AC平面ACD，所以ACAB⊥由正三棱锥性质可知，,,ACABAD两两垂直，且ABACAD==，则222BD

AD==，如图，易知以D为球心，AD为半径的球截该棱锥各面所得交线，是以D为圆心，AD为半径的三段圆弧，则π4ADCADB==，π3BDC=，则其圆心角分别为πππ,,443，所以其交线长为πππ52π2222224433++=，故答案为52π3

：.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面垂直的判定与性质得到,,ACABAD两两垂直，再求出所对应的三段弧长即可得到交线长.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列na的前n项和为nS，且满足5

2215aa=+，981S=．（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足,3,nnnanbn=为奇数为偶数，求数列nb的前2n项和2nT．【答案】（1）21nan=−（2）129928nnn+−−+【

解析】【分析】（1）利用等差数的性质，结合通项公式与前项和公式即可得解；（2）利用分组求和差，结合等差数列与等比数列的前项和公式即可得解.【小问1详解】（1）设数列等差数列na的公差为d，因为981S=，所以()59199812aaa+==，则59a=

，因为52215aa=+，即21815a=+，所以23a=，所以52932523aad−−===−，121aad=−=，所以()112nan=+−，即21nan=−.【小问2详解】因为,3,nnnanbn=为奇数为偶数，所以21,3,nnnnbn

−=为奇数为偶数，所以()()()24221353433nnTn=+++++−+()()2421543333nn=+++−++++()()2319143219nnn−+−=+−129928nnn+−=−+．18.已知函数(

)ππ23sinsin2cossin122fxxxxx=+−−+,（1）求函数()fx的最值；（2）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()2fA=，2b=，且2sinsin7sinBCA+=，求ABC的面积．【答案】（1）最大

值为2，最小值为2−（2）332或33【解析】【分析】(1)把()fx化为“一角一函数”的形式：先用诱导公式把角化为x，再用二倍角公式把二次项化为一次项，同时把角化为2x，最后用辅助角公式把函数名化为正弦，即可求出函数的最值；(2)先求出角A，由余弦定理得到关于,ac的方程，再由正弦定理把已知的方

程化简为含,ac的方程，联立方程组即可解出,ac的值，再代入三角形的面积公式即可.【小问1详解】因为()23sinsin2cossin122fxxxxx=+−−+223sincos2cos13s

in2cos2xxxxx=−+=−2sin26x=−，所以()fx的最大值为2，最小值为2−．【小问2详解】结合(1)可知()2sin226fAA=−=，所以sin216A−=．因为()0,A，所以112,666A−−

，则2,623AA−==．由余弦定理得2222241cos242bcacaAbcc+−+−===，化简得2224acc=−+①．又2sinsin7sinBCA+=，由正弦定理可得27bca+=，即47ca+=②．结合①②得7,3ac==或272,33ac==．3c=时，133s

in22ABCSbcA==；23c=时，13sin23ABCSbcA==△．综上，ABC的面积为332或33．19.在三棱锥SABC−中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，23SASC==，M、N分别为ABSB、的中点．（1）证明

：ACSB⊥；（2）求二面角NCMB−−正弦值的大小.【答案】（1）证明见解析（2）223【解析】【分析】（1）取AC得中点O，得SOAC⊥，BOAC⊥，可知AC⊥平面SBO，进而得结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN与平面MBC的法向量，根据向量的夹角公式求解.【小

问1详解】取AC得中点O，连接SO，OB，SASC=，ABBC=，SOAC⊥，BOAC⊥，又SO，BO交于点O，SO平面SBO，BO平面SBO，于是可知AC⊥平面SBO，又SB平面SBO，ACSB⊥；【小问2详解】∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC平面ABCAC=，SO平面SAC，

SOAC⊥，∴SO⊥平面ABC，以OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系Oxyz−,那么(0230)(200)(0022)(130)(032)BCSMN−,,,,,,,,,,,,,,，∴(330),(102)CMMN==−,,,,

，设(),,nxyz=为平面CMN的一个法向量，那么330=20CMnxyMNnxz=+=−+=，取1z=，那么2,6==−xy，∴(261)n=−,,，又(0,0,22)OS=为平面MBC一个法向量，的1cos,3nOSnOSnOS==，22s

in,3nOS=，即二面角NCMB−−的正弦值为223.20.为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比

赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为23，在项目B中甲班每一局获胜的概率为12，且每一局之间没有影响．（1）求甲班在项目A中获胜的概率；（2）设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）6481（2

）分布列见解析，209162【解析】【分析】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，利用独立事件的乘法公式求解即可；（2）先算出“甲班在项目B中获胜”的概率，然后利用独立事件的乘法公式得到X的分布列，即可算出

期望【小问1详解】记“甲班在项目A中获胜”为事件A，则()222223422221221264CC33333333381PA=++=，所以甲班在项目

A中获胜的概率为6481【小问2详解】记“甲班在项目B中获胜”为事件B，则()34522341111CC2222PB=++=，X的可能取值为0，1，2，则()()()()171170812162PXPAB

PAPB=====，()()()()64132281281PXPABPAPB=====，()()()111022PXPXPX==−=−==．所以X的分布列为X012P17162123281()17132209012162281162EX=++=．所以甲班获胜的项目个数的数

学期望为20916221.已知函数2()(1)ln1fxaxax=+++（1）讨论函数()fx的单调性；（2）设1a−.如果对任意12,(0,)xx+，()()12124fxfxxx−−，求a的取值范围．【答案】（1）当a≥0时，

()fx＞0，故f(x)在(0，+)单调增加；当a≤－1时，()fx＜0，故f(x)在(0，+)单调减少；当－1＜a＜0时，f(x)在（0，12aa+−）单调增加，在（12aa+−，+）（2）a≤－2【解析】【详解】（1）f(x)的

定义域为(0，+)，2121()2aaxafxaxxx+++=+=.当a≥0时，()fx＞0，故f(x)在(0，+)单调增加；当a≤－1时，()fx＜0，故f(x)在(0，+)单调减少；当－1＜a＜0时，令()fx＝0

，解得x=12aa+−.当x∈(0，12aa+−)时，()fx＞0；x∈(12aa+−，+)时，()fx＜0，故f(x)在（0，12aa+−）单调增加，在（12aa+−，+）单调减少.（2）不妨假设x1≥x2.由于a≤－2，故f(x)在（0，

+）单调减少.所以1212()()4fxfxxx−−等价于21()()fxfx−≥4x1－4x2，，即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x，则1()2agxaxx+=++4＝2241axxax+++

.于是()gx≤2441xxx−+−＝2(21)xx−−≤0.从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1)≤g(x2)，即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2，故对任意x1，x2∈(0，+)，1212()()4fxfxxx−−22.已知双曲线2222:1(0,0)xyC

abab−=过点(4,3)A，离心率72e=.（1）求双曲线C的方程；（2）过点(1,0)B的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线1x=于点P，Q，求||||PBQB的值.【答案】（1）22143xy−=

（2）||=1||PBQB【解析】【分析】（1）根据已知列关于a,b,c的方程组求解即可；（2）直线联立双曲线方程，写出直线MA，NA的方程，然后可得点P，Q坐标，将比值问题转化为纵坐标关系，利用韦达定理可

得0PQyy+=，然后可得.【小问1详解】由题知22222169172abcaabc−==+=，解得24a=，23b=，27c=，22143yx−=；【小问2详解】.设直线:(1)lykx=−，1122(,),(,)MxyNxy，联立22143(1)xyykx−==−

，则2222(34)84120kxkxk−+−−=，则2=144144k−，2122834kxxk−+=−，212241234kxxk−−=−，设直线113:3(4)4yMAyxx−−=−−，223:3(4)4yNAyxx−−=−−，令1x=，113334Pyyx−=−−，22333

4Qyyx−=−−，则12123363()44PQyyyyxx−−+=−+−−，因为121212121233(3)(4)(4)(3)44(4)(4)yyyxxyxxxx−−−−+−−+=−−−−121212

2(35)()8(3)=(4)(4)kxxkxxkxx−++++−−222222222(412)(35)(8)8(3)(34)7272==2(412)4(8)16(34)3636kkkkkkkkkkk−−−+−++−−=−−−−+−−所以12123363()=044P

Qyyyyxx−−+=−+−−，B为PQ的中点，所以||=1||PBQB.【点睛】本题难点在于能将所求转化为证明0PQyy+=的问题，可以通过取特殊方程求解，然后进行合理推测，或者尽量标准作图，通过图象进行猜测，从而确定求解方向.获得更多资源请扫码加入享学资源网

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