【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修三）综合测试卷：选择性必修三全册（提高篇） Word版含解析.docx，共(21)页，184.840 KB，由小赞的店铺上传

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选择性必修三全册综合测试卷（提高篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022春·山西太原·高二期中）以下说法错误的是（）A．用样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度时，若|𝑟|越大

，则成对样本数据的线性相关程度越强B．经验回归方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂一定经过点(𝑥,𝑦)C．用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好D．用相关指数𝑅2来刻画模型的拟合效果

时，若𝑅2越小，则相应模型的拟合效果越好【解题思路】根据回归分析的相关依次讨论各选项即可得答案.【解答过程】解：对于A选项，样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度，当|𝑟|越大，则成对样本数据的线性相关程度越强，

故A正确；对于B选项，经验回归方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂一定经过样本中心点(𝑥,𝑦)，故B正确；对于C选项，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；对于D选项，相关指数𝑅2来刻画模型的拟合效果时，若𝑅2越大，则相应模型的拟合效果越好，故错误.故选

：D.2．（5分）（2023春·山西晋城·高三阶段练习）某文艺演出团从包括甲、乙、丙在内的7名演员中选派4名参加演出，要求甲、乙、丙这3名演员中至少有1人参加，且当这3名演员都参加时，甲和乙的演出顺序不能相邻，丙必须排在前两位，则所选派的这4名演员不同的演出顺

序有（）A．680种B．720种C．744种D．768种【解题思路】考虑甲乙丙中有1，2，3人参加时三种情况，根据分类和分步原理，结合排列组合公式计算种数相加得到答案.【解答过程】当甲乙丙中有1人参加时：C31⋅C43⋅A44=288种顺序；当甲乙丙中有2人参加时：C32⋅C42⋅A44=432种

顺序；当甲乙丙中有3人参加时：C41⋅A22⋅A32÷2=24种顺序；综上所述：共有288+432+24=744种顺序.故选：C.3．（5分）（2023·高二单元测试）为了了解居家学习期间性别因素是否对学

生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的2×2列联表：性别锻炼情况合计不经常经常女生/人14721男生/人81119合计/人221840注：𝜒2独立性检验中，𝜒2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)

(𝑏+𝑑),𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑．常用的小概率值和相应的临界值如下表：𝛼0.10.050.010.0050.001𝑥𝛼2.7063.8416.6357.87910.828根据这些数据，给出下列四个结论：①依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体

育锻炼的经常性有影响；②依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响；③根据小概率值𝛼=0.05的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概率不超过0.05；④根据小概率值𝛼=0.05的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响

，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响．其中，正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解题思路】分别求出男生和女生经常锻炼的频率即可依据频率稳定于概率的原理判断，求出卡方值，和3.841比较即可根据小概率值𝛼=0.05的独立

性检验判断.【解答过程】由表可知，女生有21人，其中经常锻炼的有7人，频率为721=13，男生有19人，其中经常锻炼的有11人，频率为1119，因为1119>13，依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，故①正确，②错误；𝜒2=40×(14×11−7×8)22

1×19×22×18≈2.431<3.841，所以根据小概率值𝛼=0.05的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响，故④正确，③错误.故选：B.4．（5

分）（2023·全国·高三专题练习）随机变量𝑋的分布列是（）𝑋246𝑃𝑎𝑏𝑐A．𝐸(𝑋)≥√𝐷(𝑋)B．𝐸(𝑋)≤√𝐷(𝑋)C．𝐸(𝑋)≥𝐷(𝑋)D．𝐸(𝑋)≤𝐷(𝑋)【解题思路】由均值的定义求出均值𝐸(𝑋)=2𝑎+4𝑏+6𝑐,𝑎+�

�+𝑐=1，由方差公式计算出方差𝐷(𝑋)=(2－𝐸(𝑋))2𝑎+(4－𝐸(𝑋))2𝑏+(6－𝐸(𝑋))2𝑐，做差比较𝐸2(𝑋)－𝐷(𝑋)可得.【解答过程】𝐸(𝑋)=2𝑎+4𝑏+6𝑐，𝑎+𝑏+𝑐

=1，𝐷(𝑋)=(2－𝐸(𝑋))2𝑎+(4－𝐸(𝑋))2𝑏+(6－𝐸(𝑋))2𝑐，𝐸2(𝑋)－𝐷(𝑋)=(2𝑎+4𝑏+6𝑐)2−[(2－𝐸(𝑋))2𝑎+(4－𝐸(𝑋))2𝑏+(6－𝐸(𝑋))2𝑐]=2(2𝑎+4𝑏+6𝑐)2−(

4𝑎+16𝑏+36𝑐)=4[2(𝑎+2𝑏+3𝑐)2−(𝑎+4𝑏+9𝑐)]=4[2(1+𝑏+2𝑐)2−(1+3𝑏+8𝑐)]=2(1+𝑏+2𝑐)2−(1+3𝑏+8𝑐)=4{2[1+(𝑏+2

𝑐)2+2(𝑏+2𝑐)]−(1+3𝑏+8𝑐)}=4[1+2(𝑏+2𝑐)2+𝑏]>0，故选：A.5．（5分）（2022春·湖北十堰·高二阶段练习）已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试

成绩𝑋近似服从正态分布𝑁(100,225)，则下列说法正确的有（）（参考数据：①𝑃(𝜇−𝜎<𝑋≤𝜇+𝜎)=0.6827；②𝑃(𝜇−2𝜎<𝑋≤𝜇+2𝜎)=0.9545；③𝑃(𝜇−3𝜎<𝑋≤𝜇+3𝜎)=0.9973）A．这次考试成绩超过100分的约有500人B

．这次考试分数低于70分的约有27人C．𝑃(115<𝑋≤130)=0.0514D．从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为23【解题思路】由正态分布的性质则𝑃(𝑋>100)=12，求出人数判断A，由正态

分布的对称性求出相应概率判断BC，利用独立事件的概率公式和互斥事件概率公式计算后判断D．【解答过程】由题意可知，对于选项A，𝜇=100，𝜎=15，则𝑃(𝑋>100)=12，则成绩超过100分的约有1200×12=

600人，所以选项A错误；对于选项B，𝑃(𝑋>70)=𝑃(70<𝑋<100)+𝑃(𝑋>100)=12𝑃(100−2×15<𝑋<100+2×15)+0.5=12×0.9545+0.5=0.97725，所以𝑃(𝑋<70)=1−𝑃(𝑋

>70)=1−0.97725=0.02275，所以分数低于70分的人数约为0.02275×1200=27.3，即约为27人，所以选项B正确；对于选项C，𝑃(𝑋<115)=𝑃(𝑋<100)+12𝑃(100−15<𝑋<100+15)=0.5+12×0.6827=0.84

135，𝑃(𝑋<130)=𝑃(𝑋<100)+12𝑃(100−2×15<𝑋<100+2×15)=0.5+12×0.9545=0.97725，所以𝑃(115<𝑋≤130)=𝑃(𝑋≤130)−𝑃(𝑋<115)=0.97725−0.84135=0.1359，所以选项C错误；对

于选项D，因为𝑃(𝑋>100)=12，且至少有2人的分数超过100分的情况如下：①恰好2人时概率为C32(12)2⋅12=38；②3人均超过100分时的概率为(12)3=18，则至少有2人的分数超过100分的概率为3

8+18=12，所以选项D错误；故选：B．6．（5分）（2023秋·安徽亳州·高二期末）已知(1−2𝑥)2023=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+⋅⋅⋅+𝑎2023𝑥2023，下列命题中，不正确的是（）A．展开式中所有项的二项式系数的和为22023B．展

开式中所有偶数项系数的和为32023+12C．展开式中所有奇数项系数的和为32023−12D．𝑎12+𝑎222+𝑎323+⋅⋅⋅+𝑎202322023=−1【解题思路】根据二项式系数的和即可判断A；

分别令𝑥=1,𝑥=−1，即可判断BC；令𝑥=0.𝑥=12即可判断D.【解答过程】对于A，二项式(1−2𝑥)2023展开式中所有项的二项式系数的和为22023，A正确；对于B，令𝑥=1，𝑎0+𝑎1+𝑎2+𝑎3+⋅⋅⋅+𝑎2023=−

1，令𝑥=−1，则𝑎0−𝑎1+𝑎2−𝑎3+⋅⋅⋅−𝑎2023=32023，两式相减得展开式中所有偶数项系数的和为−32023+12，B不正确；对于C，由选项B知，两式相加得展开式中所有奇数项系数的和为32023−12，C正确；对于D，令𝑥=0，则𝑎

0=1，令𝑥=12，则𝑎0+𝑎12+𝑎222+𝑎323+⋅⋅⋅+𝑎202322023=0，所以𝑎12+𝑎222+𝑎323+⋅⋅⋅+𝑎202322023=−1，D正确.故选：B.7．（5

分）（2022秋·陕西咸阳·高三开学考试）某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念，投入大量科研经费进行技术革新，该企业统计了最近6年投入的年科研经费x（单位：百万元）和年利润y（单位：百万元）的数

据，并绘制成如图所示的散点图．已知x，y的平均值分别为𝑥=7，𝑦=10．甲统计员得到的回归方程为𝑦̂=1.69𝑥+𝑎̂；乙统计员得到的回归方程为𝑦̂=2.52e0.17𝑥；若甲、乙二人计算均未出现错误，有下

列四个结论：①当投入年科研经费为20（百万元）时，按乙统计员的回归方程可得年利润估计值为75.6（百万元）（取e3.4=30）；②𝑎̂=−1.83；③方程𝑦̂=1.69𝑥+𝑎̂比方程𝑦̂=2.52e0.17𝑥拟合效果好；④y与

x正相关．以上说法正确的是（）A．①③④B．②③C．②④D．①②④【解题思路】结合样本中心点过回归直线方程，已知数据，散点图等依次判断各命题即可得答案.【解答过程】解：将𝑥=20代入𝑦̂=2.52e0.17𝑥，得𝑦̂=75.6，①正确；将𝑥̅=7，𝑦̅=10代入𝑦

̂=1.69𝑥+𝑎̂得𝑎̂=−1.83，②正确；由散点图可知，回归方程𝑦̂=2.52e0.17𝑥比𝑦̂=1.69𝑥+𝑎̂的拟合效果更好，③错误；因为𝑦随𝑥的增大而增大，所以𝑦与𝑥正相关，④正确．故①②④正确．故选：D．8．（5分）（2

022春·全国·高二期末）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以𝐴1,𝐴2和𝐴3表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出

一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（）①事件𝐴1与𝐴2相互独立；②𝐴1，𝐴2，𝐴3是两两互斥的事件；③𝑃(𝐵|𝐴2)=411；④𝑃(𝐵)=922；⑤𝑃(𝐴1|𝐵)=49A．5B．4C．3D．2【解题思路】先判断

出𝐴1，𝐴2，𝐴3是两两互斥的事件，且不满足𝑃(𝐴1𝐴2)=𝑃(𝐴1)⋅𝑃(𝐴2)，①错误，②正确，用条件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出结论.【解答过程】显然，𝐴1，𝐴2，𝐴3是两两互斥的事件，且𝑃(𝐴1)=55+2+3=12，

𝑃(𝐴2)=25+2+3=15，而𝑃(𝐴1𝐴2)=0≠𝑃(𝐴1)⋅𝑃(𝐴2)，①错误，②正确；𝑃(𝐴2)=25+2+3=15，𝑃(𝐴2𝐵)=15×411=455，所以𝑃(𝐵|𝐴

2)=411，③正确；𝑃(𝐵)=𝑃(𝐵|𝐴1)⋅𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐵|𝐴2)⋅𝑃(𝐴2)+𝑃(𝐵|𝐴3)⋅𝑃(𝐴3)=12×511+411×15+310×411=922④正确；𝑃(𝐴1|𝐵

)=𝑃(𝐴1𝐵)𝑃(𝐵)=12×511922=59，⑤错误，综上：结论正确个数为3.故选：C.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023·全国·高二专题练习）下列结论正确的是（）A．∑2𝑘𝑛𝑘=0𝐶𝑛𝑘=3𝑛(𝑛∈𝑁∗)B．多项式(1+2�

�−𝑥)6展开式中𝑥3的系数为52C．若(2𝑥−1)10=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+⋯+𝑎10𝑥10,𝑥∈𝑅，则|𝑎0|+|𝑎1|+|𝑎2|+⋯+|𝑎10|=310D．2𝐶2�

�0+𝐶2𝑛1+2𝐶2𝑛2+𝐶2𝑛3+⋯+𝐶2𝑛2𝑛−1+2𝐶2𝑛2𝑛=3⋅22𝑛−1(𝑛∈𝑁∗)【解题思路】对于A利用二项式定理可证明，对于B分4种情况分别求𝑥3的系数后可得知答案

，对于C，运用赋值法可求解，对于D，分成两类组合式可证明.【解答过程】对于A，∑2𝑘𝑛𝑘=0𝐶𝑛𝑘=20𝐶𝑛0+21𝐶𝑛1+22𝐶𝑛2+⋯+2𝑛𝐶𝑛𝑛=𝐶𝑛0×1𝑛×20+𝐶𝑛1×1𝑛−1×21+𝐶𝑛2×1𝑛−2×22+

⋯+𝐶𝑛𝑛×10×2𝑛=(1+2)𝑛=3𝑛，故A正确；对于B，(1+2𝑥−𝑥)6的展开式的通项为𝐶6𝑟(2𝑥−𝑥)𝑟，要求𝑥3的系数，𝑟≥3，当𝑟=3时，有𝐶63(2𝑥−𝑥)3，其中𝑥3的系数为𝐶63𝐶3320×(−1)3=−20；当𝑟=4时，有𝐶

64(2𝑥−𝑥)4，不存在𝑥3；当𝑟=5时，有𝐶65(2𝑥−𝑥)5，其中𝑥3的系数为𝐶65𝐶5421×(−1)4=60；当𝑟=4时，有𝐶66(2𝑥−𝑥)6，不存在𝑥3.故多项式(1+2𝑥−𝑥)6展开式中𝑥3的系数为−20+

60=40，故B不正确；对于C，(2𝑥−1)10的展开式的通项为(−1)10−𝑟2𝑟𝐶10𝑟𝑥𝑟，可知𝑎1<0,𝑎3<0,𝑎5<0,𝑎7<0,𝑎9<0，𝑎0>0,𝑎2>0,�

�4>0,𝑎6>0,𝑎8>0,𝑎10>0，所以|𝑎0|+|𝑎1|+|𝑎2|+⋯+|𝑎10|=𝑎0−𝑎1+𝑎2−⋯+𝑎10，所以令𝑥=−1，有(−2−1)10=𝑎0−𝑎1+�

�2−⋯+𝑎10=310，因此|𝑎0|+|𝑎1|+|𝑎2|+⋯+|𝑎10|=310.故C正确；对于D，2𝐶2𝑛0+𝐶2𝑛1+2𝐶2𝑛2+𝐶2𝑛3+⋯+𝐶2𝑛2𝑛−1+2𝐶2𝑛2𝑛=

(𝐶2𝑛0+𝐶2𝑛1+𝐶2𝑛2+⋯+𝐶2𝑛2𝑛)+(𝐶2𝑛0+𝐶2𝑛2+⋯+𝐶2𝑛2𝑛)=22𝑛+22𝑛−1=3⋅22𝑛−1，故D正确.故选：ACD.10．（5分）（2022春·重庆万

州·高二阶段练习）第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行.甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（）A．若短道速滑赛区必须安排2人，

其余各安排1人，则有60种不同的方案B．若每个比赛区至少安排1人，则有240种不同的方案C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法D．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的

站法【解题思路】应用分步计数法，结合不平均分组分配、捆绑法、特殊位置法，利用组合排列数求各选项对应安排方法的方法数.【解答过程】若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则先从5人中任选2人安排在短道速滑赛区，剩余3人在其余三个比赛区全排列，故有C52A33=60种，A正确：若每个比

赛区至少安排1人，则先将5人按“2，1，1，1”形式分成四组，再分配到四个岗位上，故有C52A44=240种，B正确：若甲、乙相邻，可把2人看成一个整体，与剩下的3人全排列，有A44种排法，甲、乙两人相邻有A22种排法，所以共有A44A22=48种站法，C错误；前排有A52种站法，后排3人中最高

的站中间有A22种站法，所以共有A52A22=40种站法，D正确.故选：ABD.11．（5分）（2022春·江苏常州·高二期末）北京冬奥会成功举办后，大众对冰雪运动关注度不断上升，为研究市民对冰雪运动的喜好是否和性别有关，

某校学生社团对市民进行了一次抽样调查，得到列联表如下：冰雪运动的喜好性别合计男性女性喜欢140m140＋m不喜欢n8080＋n合计140＋n80＋m220＋m＋n若男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数710，女性喜欢冰雪运动

的人数占女性人数35，则（）A．列联表中n的值为60，m的值为120B．随机对一位路人进行调查，有95%的可能性对方喜欢冰雪运动C．有95%的把握认为市民对冰雪运动的喜好和性别有关D．没有99%的把握认为市民对

冰雪运动的喜好和性别有关【解题思路】根据题意分别计算𝑚,𝑛的值，填写列联表，计算观测值，对照临界值即可得出结论．【解答过程】解：因为男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的710，所以140140+𝑛=710，解得𝑛=60，又因为女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的35，所

以𝑏80+𝑚=35，解得𝑚=120，所以选项A正确；计算260400=0.65，所以随机对一路人进行调查，有65%的可能性对方喜欢冰雪运动，选项B错误；填写列联表为：冰雪运动的喜好性别合计男性女性喜欢140120260不喜

欢6080140合计200200400由表中数据，计算𝐾2=400×(140×80−120×60)2200×200×260×140≈4.396>3.841，所以有95%的把握认为市民性别和喜欢冰雪运

动有关系，选项C正确；因为𝐾2≈4.396<6.635，所以没有99%的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系，选项D正确．故选：ACD．12．（5分）（2022·高二单元测试）以人工智能、量子信息等颠覆性技术为

引领的前沿趋势，将重塑世界工程科技的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大．某公司抓住机遇，成立了甲、乙、丙三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组攻克该技术难题的概率分别为

12，12，23，且三个小组各自独立进行科研攻关，则下列说法正确的是（）A．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为16B．只有甲小组受到奖励的概率为12C．受到奖励的小组数的期望值等于32D．该技术难题被攻克，且只有丙小组受到奖励的概率为211【解题思路】根据相互独立事件的概率计算公式针对不同

的选项分别求解，即可判断A，B；利用概率公式结合期望公式可判断C；利用条件概率的计算公式，即可判断选项D．【解答过程】对于A，甲、乙、丙三个小组均受到奖励，即三个小组都攻克了该技术难题，其概率为12×12×23=16，故A正确；对于B，只有甲小组受到奖励，即

只有甲小组攻克该技术难题，其概率为12×(1−12)×(1−23)=112，故B错误；对于C，记受到奖励的小组数为𝑋，则𝑋的所有可能取值为0，1，2，3，且𝑃(𝑋=0)=(1−12)(1−12)

(1−23)=112，𝑃(𝑋=1)=12×(1−12)(1−23)+(1−12)×12×(1−23)+(1−12)(1−12)×23=13，𝑃(𝑋=3)=16，𝑃(𝑋=2)=1−112−13−16=512，故𝑋的数学期望𝐸𝑋=0×112+1×13+2×

512+3×16=53，故C错误；对于D，设事件A为“该技术难题被攻克”，事件B为“只有丙小组受到奖励”，由题意得𝑃(𝐴)=1−(1−12)(1−12)(1−23)=1112，𝑃(𝐴∩𝐵)=(1−12)(1−12

)×23=16，所以𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴∩𝐵)𝑃(𝐴)=161112=211，故D正确．故选：AD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023春·江西·高二开学考试）网课期间，小王同学趁课余时间研究起了七巧板，有一次

他将七巧板拼成如下图形状，现需要给下图七巧板右下方的五个块涂色（图中的1，2，3，4，5），有4种不同颜色可供选择，要求有公共边的两块区域不能同色，有252种不同的涂色方案.【解题思路】先给2涂色，再涂5，再涂3、4，这一步要分3与5同色和3和5不同色两种情况，

最后涂1，按分步计数乘法原理计算.【解答过程】第一步：涂2，有4种颜色；第二步：涂5，有3种颜色第三步：涂3、4，当3与5同色时，4有3种颜色；当3和5不同色时，3有2种颜色，4有2种颜色，第三步共7

种.第四步：涂1，有3种颜色.共计4×3×7×3=252种.故答案为：252.14．（5分）（2023·高三课时练习）已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布𝑁(90,𝜎2)，且𝑃(𝑋<70)=0.2，从

试验田中随机抽取10株，果实个数在[90，110]的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为2.1．【解题思路】由𝑃(𝑋<70)=0.2,利用正态分布的对称性求得𝑃(90<𝑋<110)=0.5−0.2=0.3,则𝑋

~𝐵(10,0.3),利用二项分布的方差公式可得结果.【解答过程】∵𝑋~𝑁(90,𝜎2),且𝑃(𝑋<70)=0.2，110+702=90，∴𝑃(𝑋>110)=0.2,∴𝑃(90≤𝑋≤110)=0.5−0.2

=0.3,由题意可得𝑋~𝐵(10,0.3),所以𝑋的方差为10×0.3×(1−0.3)=2.1，故答案为:2.1.15．（5分）（2022·全国·高三专题练习）有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85

分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀总计甲班10b乙班c30已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是②③．①列联表中c的值为30，b的值为

35；②列联表中c的值为20，b的值为45；③根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；④根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．【解题思路

】根据题意可计算出成绩优秀的学生数，从而求得c，继而求得b，判断①②；根据列联表数据计算𝐾2的值并与临界值表中数据进行比较，即可判断③④.【解答过程】由题意得在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概

率为27，则成绩优秀的学生有105×27=30人，甲班有10人，则乙班20人，即c=20,成绩非优秀的学生有75人，乙班由30人，则甲班哟有45人，即b=45,故①错误，②正确；由列联表可得𝐾2=105×(10×30−20×45)255×50×30×75≈6.109

>3.841，故按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”，③正确，④错误；故答案为：②③.16．（5分）（2022·高二单元测试）现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第𝑛关要抛掷骰子𝑛次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2𝑛+𝑛，则算闯过第

𝑛关，𝑛=1，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则下列结论错误的序号是（2）．（1）直接挑战第2关并过关的概率为712；（2）连续挑战前两关并过关的概率为524；（3）若直接挑战第3关，设A＝“三个点数之和等于15”，B＝“至少出现一个5点”，则𝑃(𝐴|𝐵)=113；

（4）若直接挑战第4关，则过关的概率是351296．【解题思路】由古典概型，独立事件的乘法公式，条件概率公式对结论逐一判断【解答过程】对于（1），22+2=6，所以两次点数之和应大于6，即直接挑战第2关并过关的概率为𝑃1=2136=712，故（1）正确；对

于（2），21+1=3，所以挑战第1关通过的概率𝑃2=12，则连续挑战前两关并过关的概率为𝑃=𝑃1𝑃2=12×712=724，故（2）错误；对于（3），由题意可知，抛掷3次的基本事件有63=216，抛掷3次至少出

现一个5点的事件共有63−53=216−125=91种，故𝑃(𝐵)=91216，而事件𝐴∩𝐵包括：含5，5，5的1种，含4，5，6的有6种，共7种，故𝑃(𝐴∩𝐵)=7216，所以𝑃(𝐴|𝐵)=𝑃(𝐴∩𝐵)𝑃(𝐵)=7216×21691=113，故（3）

正确；对于（4），当𝑛=4时，2𝑛+𝑛=24+4=20，而“4次点数之和大于20”包含以下35种情况：含5，5，5，6的有4种，含5，5，6，6的有6种，含6，6，6，6的有1种，含4，6，6，6的有4种，含5，6，6，6的有4种，含4，5，6，6的有12种，含3，6，6，6的有4种，所

以𝑃4=356×6×6×6=351296，故（4）正确．故答案为：（2）.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022春·高二课时练习）已知(1−𝑥)2020=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+...+𝑎2020𝑥2020.（1）求𝑎1+𝑎2+...+𝑎2020的

值；（2）求1𝑎0+1𝑎1+1𝑎2+...+1𝑎2020的值.【解题思路】（1）根据已知条件，令𝑥=0，求得𝑎0，令𝑥=1，即可求得𝑎1+𝑎2+...+𝑎2020的值；（2）由二项

式定理可得𝑎𝑘=(−1)𝑘𝐶2020𝑘，求得1𝐶𝑛𝑘，由1𝐶2020𝑘=20212022(1𝐶2021𝑘+1𝐶2021𝑘+1)，进而求得∑1𝑎𝑘2020𝑘=0，即可求得答案.【解答过程】（1）(1−𝑥)2020=𝑎0+�

�1𝑥+𝑎2𝑥2+⋅⋅⋅+𝑎2020𝑥2020——①.在①中，令𝑥=0，得𝑎0=1.在①中，令𝑥=1，得𝑎0+𝑎1+𝑎2+⋅⋅⋅+𝑎2020=0，∴𝑎1+𝑎2+⋅⋅⋅+𝑎2020=−1.（2）∵(1−𝑥)2020=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2

𝑥2+...+𝑎2020𝑥2020.由二项式定理可得𝑎𝑘=(−1)𝑘𝐶2020𝑘，𝑘=0，1，2，⋅⋅⋅，2020.∵1𝐶𝑛𝑘=𝑘!(𝑛−𝑘)!𝑛!=𝑛+1𝑛+2⋅𝑘!(𝑛−

𝑘)!(𝑛+2)(𝑛+1)!=𝑛+1𝑛+2⋅𝑘!(𝑛−𝑘)!(𝑘+1+𝑛+1−𝑘)(𝑛+1)!=𝑛+1𝑛+2[𝑘!(𝑛+1−𝑘)!(𝑛+1)!+(𝑘+1)!(𝑛−𝑘)!(𝑛+1)!]=𝑛

+1𝑛+2(1𝐶𝑛+1𝑘+1𝐶𝑛+1𝑘+1)，∴∑1𝑎𝑘2020𝑘=0=∑1(−1)𝑘𝐶2020𝑘2020𝑘=0=∑(−1)𝑘𝐶2020𝑘200𝑘=0=1𝐶20200−1𝐶20201+1𝐶20202−⋅⋅⋅+(−1)20201𝐶202

02020.∵1𝐶2020𝑘=20212022(1𝐶2021𝑘+1𝐶2021𝑘+1)，∴∑1𝑎𝑘2020𝑘=0=20212022[(1𝐶20210+1𝐶20211)−(1𝐶20211+1𝐶

20212)+⋯+(−1)2020(1𝐶20212020+1𝐶20212021)]=20212022(1𝐶20210+1𝐶20212021)=20211011.18．（12分）（2022·高二单元测试）1.如图，已知图形A

BCDEF，内部连有线段.（用数字作答）(1)由点A沿着图中的线段到达点E的最近路线有多少条？(2)由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有多少条？(3)求出图中总计有多少个矩形？【解题思路】（1）由题意转化条件为点A需向右移动3次、向上移动3次，结合组合的

知识即可得解；（2）设出直线𝐷𝐸上其它格点为𝐺、𝐻、𝑃，按照𝐴→𝐸→𝐶、𝐴→𝐺→𝐶、𝐴→𝐻→𝐶、𝐴→𝑃→𝐶分类，结合分步乘法、组合的知识即可得解；（3）由题意转化条件为从竖线中选出两条、横线中选出两条组成图形，按照矩形的边在不在𝐶𝐷上分类，利

用分步乘法、组合的知识即可得解.【解答过程】（1）由题意点A沿着图中的线段到达点E的最近路线需要移动6次：向右移动3次，向上移动3次，故点A到达点E的最近路线的条数为𝐶63⋅𝐶33=20；（2）设点𝐺、𝐻、𝑃的位置如图所示：则点A沿着图中的线段到达点C的最近路线可分为

4种情况：①沿着𝐴→𝐸→𝐶，共有𝐶63⋅𝐶33⋅𝐶32=60条最近路线；②沿着𝐴→𝐺→𝐶（不经过E），共有𝐶53⋅𝐶22⋅𝐶31⋅𝐶22=30条最近路线；③沿着𝐴→𝐻→𝐶（不经过E、G），共有�

�43⋅𝐶41⋅𝐶33=16条最近路线；④沿着𝐴→𝑃→𝐶（不经过E、G、H），共有𝐶51⋅𝐶44=5条最近路线；故由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有60+30+16+5=111条；（3）由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情

况：①矩形的边不在𝐶𝐷上，共有𝐶42⋅𝐶62=90个矩形；②矩形的一条边在𝐶𝐷上，共有𝐶41⋅𝐶32=12个矩形；故图中共有90+12=102个矩形.19．（12分）（2023·陕西宝鸡模拟预测）在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师

整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，共6组

，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于90分为优秀．(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；(2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在[70,100]内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人

数为X，求X的分布列与数学期望．【解题思路】（1）先由频率直方图中频率之和为1求得𝑎=0.025，从而求得不低于70分与不低于90分的人数，由此求得这名学生成绩是优秀的概率；（2）结合（1）中结论，求得成绩在[70,80]，[80,90]与[90,100]内

的人数，从而利用分层抽样比例相同求得各区间所抽人数，由此利用组合数求得𝑋各取值的概率，进而得到X的分布列与数学期望．【解答过程】（1）依题意，得(0.005+0.010+0.020+0.030+𝑎+0.010)×10=1，解得𝑎=0.025，则不低于70分的人数为

200×(0.030+0.025+0.010)×10=130，成绩在[90,100]内的，即优秀的人数为200×0.010×10=20；故这名学生成绩是优秀的概率为213；（2）成绩在[70,80]内的有200×0.030×10=60（人）；成绩在

[80,90]内的有200×0.025×10=50（人）；成绩在[90,100]内的有20人；故采用分层抽样抽取的13名学生中，成绩在[70,80)内的有6人，在[80,90)内的有5人，在[90,100]内的有2人，所以由题可知，X的可能取值为0，1，

2，则𝑃(𝑋=0)=C113C133=1526，𝑃(𝑋=1)=C112⋅C21C133=1026=513，𝑃(𝑋=2)=C111⋅C22C133=126，所以X的分布列为：X012P152651

3126故𝐸(𝑋)=0×1526+1×513+2×126=613．20．（12分）（2023·河北衡水·模拟预测）某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个

技能，技能一是每次发动攻击后有12的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有12的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的

伤害全部变为原来的2倍，但是多次触发时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2倍伤害加成）.每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害为1，

技能一和技能二的各次触发均彼此独立：(1)当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A为“技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件B为“技能一和技能二各触发1次”，求条件概率𝑃(𝐵|𝐴)(2)设n是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为2𝑛的概

率记为𝑃𝑛，求𝑃𝑛.【解题思路】（1）分析试验过程，分别求出𝑃(𝐴)和𝑃(𝐴𝐵)，利用条件概率的公式直接计算；（2）分析“突击者”一轮攻击造成的伤害为2𝑛,分为：i.进行2𝑛次，均不触发技能二；前面的2𝑛−1次触发技能一，最后一次

不触发技能一；ii.第一次触发技能二，然后的𝑛−1次触发技能一，第𝑛次未触发技能一；iii.前面的2𝑘,(𝑘=1,2,𝑛−1)次未触发技能二，然后接着的第2𝑘+1次触发技能二；前面的𝑛+𝑘−1触发技能一，第𝑛+𝑘次未触发技能一.分别求概率.即可求出𝑃𝑛.【解答过程

】（1）两次攻击，分成下列情况：i.第一次攻击，技能一和技能二均触发，第二次攻击，技能一和技能二均未触发；ii.第一次攻击，技能一触发，技能二未触发，第二次攻击，技能二触发，技能一未触发；iii.第一、二次攻击，技能一触发，技能二未触发，第三次攻击，技能一、二未触发；所以𝑃(𝐴)=1

2×12×12×12+12×12×12×12+12×12×12×12×12×12=964.𝑃(𝐴𝐵)=12×12×12×12+12×12×12×12=18.所以𝑃(𝐵|𝐴)=18964=89.（2）“突击者”一轮攻击造成的伤害为2𝑛,分为：i.记事件D：进行2𝑛次，均不触

发技能二；前面的2𝑛−1次触发技能一，最后一次不触发技能一.其概率为：𝑃(𝐷)=(12)2𝑛×(12)2𝑛−1×12=(12)4𝑛ii.记事件E：第一次触发技能二，然后的𝑛−1次触发技能一，第𝑛次未触发技能一.其概率为：𝑃(𝐸)

=12×(12)𝑛−1×12=(12)𝑛+1iii.记事件𝐹𝑘：前面的2𝑘,(𝑘=1,2,𝑛−1)次未触发技能二，然后接着的第2𝑘+1次触发技能二；前面的𝑛+𝑘−1触发技能一，第𝑛+𝑘次未触发技能一.其概率为：𝑃(𝐹𝑘)

=(12)2𝑘×12×(12)𝑛+𝑘−1×12=(12)𝑛+3𝑘+1，则事件𝐹1,𝐹2⋯𝐹𝑛−1彼此互斥，记𝐹=𝐹1+𝐹2+⋯+𝐹𝑛−1，所以𝑃(𝐹)=𝑃(𝐹1)+𝑃(𝐹2)+⋯𝑃(𝐹𝑛−1)=(12)𝑛

+3+1+(12)𝑛+3×2+1+⋯+(12)𝑛+3(𝑛−1)+1=(12)𝑛+1−(12)𝑛+3(𝑛−1)+1×(12)31−(12)3−(12)𝑛+1，=8[(12)𝑛+1−(12)4𝑛+1]7−(12)𝑛+1.所以𝑃𝑛=𝑃(𝐷)+𝑃(𝐸)+𝑃(𝐹)=(

12)4𝑛+(12)𝑛+1+8[(12)𝑛+1−(12)4𝑛+1]7−(12)𝑛+1=(12)4𝑛+8[(12)𝑛+1−(12)4𝑛+1]7=87(12)𝑛+1+37(12)4𝑛.21．（12分）（2022秋·重庆沙坪坝·高三阶段练习）下面给出了根据我国2012年

～2018年水果人均占有量𝑦（单位：kg）和年份代码𝑥绘制的散点图和线性回归方程的残差图（2012年～2018年的年份代码𝑥分别为1～7）.（1）根据散点图说明𝑦与𝑥之间的相关关系（线性正相

关、线性负相关或无相关关系）；（2）根据散点图相应数据计算得∑𝑦𝑖𝑛𝑖=1=1071，∑𝑥𝑖7𝑖=1𝑦𝑖=4508，求𝑦关于𝑥的线性回归方程；（3）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合

效果.附：回归方程𝑦=𝑎+𝑏̂𝑥中斜率和截距的最小二乘计公式分别为：𝑏̂=∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑛⋅𝑥⋅𝑦∑(𝑥𝑖−𝑥)2𝑛𝑖=1,𝑎=𝑦−𝑏̂𝑥.【解题思路】（

1）由图像的走势，即可得解；（2）求线性回归方程相关量𝑥，𝑦以及∑(𝑥𝑖−𝑥)27𝑖=1，代入即可得解；（3）由残差图，观察即可得解.【解答过程】（1）𝑦与𝑥之间线性正相关；（2）𝑥=1+2+3+4+5+6+77=4，𝑦=17∑𝑦𝑖7𝑖=1=10717=1

53，∑(𝑥𝑖−𝑥)27𝑖=1=(−3)2+(−2)2+(−1)2+02+12+22+32=28，𝑏̂=∑𝑥𝑖7𝑖=1𝑦𝑖−7⋅𝑥⋅𝑦∑(𝑥𝑖−𝑥)27𝑖=1=4508−7×4×15328=8，𝑎̂=𝑦−𝑏̂⋅𝑥=153−8×4=121，所

以𝑦关于𝑥的线性回归方程为𝑦̂=8𝑥+121.（3）由残差图知，残差的绝对值相对于𝑦𝑖(1≤𝑖≤7)较小，残差图均匀分布在一个较窄的带形区域内，故线性回归方程的拟合效果较好.22．（12分）（

2023春·浙江杭州·高三开学考试）中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变

化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量𝑦（单位：万台）关于𝑥（年

份）的线性回归方程为𝑦=4.7𝑥−9459.2，且销量𝑦的方差为𝑠𝑦2=2545，年份𝑥的方差为𝑠𝑥2=2.(1)求𝑦与𝑥的相关系数𝑟，并据此判断电动汽车销量𝑦与年份𝑥的相关性强弱；(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到

的数据如下表：性别购买非电动汽车购买电动汽车总计男性39645女性301545总计692190依据小概率值𝛼=0.05的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随

机抽取3人，记这3人中，男性的人数为𝑋，求𝑋的分布列和数学期望.①参考数据：√5×127=√635≈25；②参考公式：（i）线性回归方程：𝑦=𝑏̂𝑥+𝑎，其中𝑏̂=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)𝑛𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛�

�=1,𝑎=𝑦̅−𝑏̂𝑥̅；（ii）相关系数：𝑟=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)𝑛𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)√∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1∑(𝑦𝑖−𝑦̅)2𝑛𝑖=1，若𝑟>0.9，则可判断𝑦与𝑥线性相

关较强.（iii）𝜒2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑.附表：𝛼0.100.050.0100.001𝑥𝛼2.7063.8416.63510.828【解题思路】

(1)利用相关系数𝑟的求解公式，并转化为𝑏̂和方差之间的关系，代入计算即可；（2）直接利用独立性检验公式求出𝜒2，根据零点假设定理判断购买电动汽车与车主性别是否有关；(3)采用分层抽样先得出男性车主和女性车主的选取人数，得出𝑋可能取值0,1,2，分

别求出对应概率，即可得𝑋的分布列，再结合期望公式，即可求解.【解答过程】（1）（1）相关系数为𝑟=∑⬚𝑛𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥)(𝑦𝑖−𝑦)√∑⬚𝑛𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥)2∑⬚𝑛𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦)2=∑⬚𝑛𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥)(𝑦𝑖−𝑦)∑⬚𝑛𝑖

=1(𝑥𝑖−𝑥)2⋅√∑⬚𝑛𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥)2√∑⬚𝑛𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦)2=𝑏̂⋅√𝑛𝑠𝑥2√𝑛𝑠𝑦2=𝑏̂⋅√𝑠𝑥2√𝑠𝑦2=4.7×√10254=47√10×√25

4=472√635≈4750=0.94>0.9故𝑦与𝑥线性相关较强.（2）零假设为H0：购买电动汽车与车主性别相互独立，即购买电动汽车与车主性别无关.𝜒2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+�

�)=90×(39×15−30×6)245×45×69×21≈5.031>3.841，所以依据小概率值𝛼=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.（3）抽样比=615=25，男性车主选取2人，女性车主选取5人，则𝑋

的可能取值为0,1,2故𝑃(𝑋=0)=C53C73=27,𝑃(𝑋=1)=C21C52C73=47,𝑃(𝑋=2)=C22C51C73=17，故𝑋的分布列为：𝑋012𝑃274717∴𝐸(𝑋)=0×27+

1×47+2×17=67.