【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修三）综合测试卷：选择性必修三全册（基础篇） Word版含解析.docx，共(16)页，54.844 KB，由小赞的店铺上传

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选择性必修三全册综合测试卷（基础篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023春·北京·高三开学考试）在二项式(𝑥−2𝑥)5的展开式中，含𝑥3项的二项式系数为（）A．5B．−

5C．10D．−10【解题思路】由二项式定理可得展开式通项为𝑇𝑟+1=(−2)𝑟C5𝑟𝑥5−2𝑟，即可求含𝑥3项的二项式系数.【解答过程】解：由题设，𝑇𝑟+1=C5𝑟𝑥5−𝑟(−2𝑥)𝑟=(−2)𝑟C5𝑟𝑥5−2𝑟，∴当𝑟=1时，𝑇2=(

−2)1C51𝑥3=−10𝑥3.∴含𝑥3项的二项式系数C51=5.故选：A.2．（5分）（2023·湖南娄底·高三阶段练习）设随机变量𝜉服从正态分布𝑁(6,𝜎2)，若𝑃(𝜉<3𝑎−3)=𝑃

(𝜉>−𝑎+1)，则a的值为（）A．9B．7C．5D．4【解题思路】根据正态分布概率密度函数的对称性即可求解.【解答过程】由题意，根据正态分布的对称性，得3𝑎−3−𝑎+12=6，解得𝑎=7，故选：B．3．（5分）（2022春·湖南长沙·高二期末

）设随机变量X的分布列如下表所示，且𝐸(𝑋)=1.6，则𝑏−𝑎等于（）X0123P0.1ab0.1A．0.2B．0.1C．−0.2D．−0.4【解题思路】根数学期望的公式，结合概率的性质求解即可【解答过程】由分布列的性质可得，0.1+𝑎+𝑏

+0.1=1，即𝑎+𝑏=0.8①，∵𝐸(𝑋)=1.6，∴0×0.1+1×𝑎+2×𝑏+3×0.1=1.6，即𝑎+2𝑏=1.3②，联立①②解得𝑎=0.3，𝑏=0.5，故𝑏−𝑎=0.5−0.3=0.2．故选：A．4．（5分）（202

3·贵州贵阳·统考模拟预测）“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路线不能重复画的游戏，下图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中𝐴,𝐵,𝐶为节点，若研究发现本局游戏只能以𝐴为

起点𝐶为终点或者以𝐶为起点𝐴为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为（）A．6种B．12种C．24种D．30种【解题思路】采用分步乘法可计算得到以𝐴为起点，𝐶为终点的方法数，再利用分类加法计数原理求得结果.【解答过程】以𝐴为起点时，三条路线依次连接

即可到达𝐵点，共有3×2=6种选择；自𝐵连接到𝐶时，在𝐶右侧可顺时针连接或逆时针连接，共有2种选择，∴以𝐴为起点，𝐶为终点时，共有6×2=12种方法；同理可知：以𝐶为起点，𝐴为终点时，共有12种方法；∴完成该图“一笔

画”的方法数为12+12=24种.故选：C.5．（5分）（2023·江西上饶·统考一模）某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得

到线性回归方程𝑦=−2𝑥+𝑎，当气温为−3°C时，预测用电量为（）气温x（°C）181310－1用电量y（度）24343864A．68度B．66度C．28度D．12度【解题思路】根据样本中心满足回归方程𝑦̂=−2𝑥+𝑎̂即可解决.【解答

过程】由表中数据可知𝑥=18+13+10−14=10，𝑦=24+34+38+644=40，所以回归方程𝑦̂=−2𝑥+𝑎̂过(10,40)，得40=−2×10+𝑎̂，即𝑎̂=60，则回归方程为𝑦

̂=−2𝑥+60，当𝑥=−3时，𝑦̂=−2×(−3)+60=66，故选：B.6．（5分）（2023·全国·高二专题练习）中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年1

0月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正

式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（）A．450种B．72种C．90种D．360种【解题思路】利用分组和分配的求法求得6名航天员的安排方案，再利用分

类加法计数原理即可求得.【解答过程】由题知，6名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，可分两种情况考虑：第一种：分人数为1−2−3的三组，共有C61C52C33⋅A33=360种；第二种：分人数为2−2−2的三组，共有C6

2C42C22A33⋅A33=90种；所以不同的安排方法共有360+90=450种.故选：A.7．（5分）（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三期末）端午节为每年农历五月初五，又称端阳节、午日节、五月节等.端午节是中国汉族人民纪念屈原的传统节日，以围绕才华横溢、遗世独立的楚国大夫屈原而展开，传播至华

夏各地，民俗文化共享，屈原之名人尽皆知，追怀华夏民族的高洁情怀.小华的妈妈为小华煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽，小华随机取出两个，事件A“取到的两个为同一种馅”，事件B“取到的两个都是艾香粽”，则𝑃(𝐵|𝐴)=（）A．35

B．313C．58D．1328【解题思路】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.【解答过程】由题意，𝑃(𝐴)=C52+C32C82=1328，𝑃(𝐴𝐵)=C32C82=328，所以𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(

𝐴)=3281328=313.故选：B.8．（5分）（2023秋·四川绵阳·高二期末）某学校调查学生对2022年卡塔尔世界杯的关注是否与性别有关，随机抽样调查了110名学生，进行独立性检验，列联表及临界值表如下：男生女生合计关注

50不关注20合计30110𝑃(𝐾2≥𝑘0)0.150.10.050.0250.01𝑘02.0722.0763.8415.0246.635附：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑

.则下列说法中正确的是（）A．有97.5%的把握认为学生对卡塔尔世界杯的关注与性别无关B．男生不关注卡塔尔世界杯的比例低于女生关注卡塔尔世界杯的比例C．在犯错误概率不超过1%的前提下可认为学生对卡塔尔世界杯的关注为性别有关D．在犯错误概率不超过1%的前提下可认为学生

对卡塔尔世界杯的关注与性别无关【解题思路】先根据已知完成列联表，再根据已知公式得出𝐾2，查表即可得出答案.【解答过程】列联表如下：男生女生合计关注501060不关注302050合计8030110则𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑

)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)=110×(50×20−30×10)280×30×60×50≈7.486对于A：𝐾2≈7.486>5.024，则有97.5%的把握认为学生对卡塔尔世界杯的关注与性别有关，故A错误；对于B：男生不关注卡塔尔世界杯的比例为

3080=38，女生关注卡塔尔世界杯的比例为1030=13，且38>13，则男生不关注卡塔尔世界杯的比例高于女生关注卡塔尔世界杯的比例，故B错误；对于C、D；𝐾2≈7.486>6.635，则在犯错误概率不超过1%的前提下可认为学生对卡塔尔世界杯的关注为

性别有关.故C正确，D错误.故选：C.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2022春·辽宁沈阳·高二期中）以下结论正确的是（）A．具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,�

�2)，⋯，(𝑥𝑛,𝑦𝑛)，由此得到的线性回归方程为𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂，回归直线𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂至少经过点(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)，⋯，(𝑥𝑛,𝑦𝑛)中的一个点；B．相关系数𝑟的绝对值越接近于1，两个随机变量

的线性相关性越强C．已知随机变量𝑋服从二项分布𝐵(𝑛,𝑝)，若𝐸(𝑋)=30，𝐷(𝑋)=20，则𝑝=13D．设𝜉服从正态分布𝑁(0,1)，若𝑃(𝜉>1)=𝑝，则𝑝(−1<𝜉<0)=12−𝑝【解题思路】根据回

归方程的性质可判断选项A，根据相关系数与相关性的强弱关系可判断选项B，根据二项分布的特征可判断选项C，根据正态分布的性质判断选项D.【解答过程】对于A，由回归直线的特征可知：样本点不一定在回归直线上，故选项A错误；对于B，相关系数𝑟的绝对值越接近于1，两个随机变量

的线性相关性越强，故选项B正确；对于C，因为随机变量𝑋服从二项分布𝐵(𝑛,𝑝)，且𝐸(𝑋)=30，𝐷(𝑋)=20，则{𝑛𝑝=30𝑛𝑝(1−𝑝)=20，解得：𝑝=13，故选项C正确；对于D，若随机变量𝜉服从正态分布𝑁(0,1)，则其图象关于𝑦轴对称，

若𝑃(𝜉>1)=𝑝，则𝑃(0<𝜉<1)=12−𝑝，所以𝑃(−1<𝜉<0)=12−𝑝，故选项D正确.故选：BCD.10．（5分）（2022·高二单元测试）某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为

“优秀”“合格”“不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其他为“合格”．该市某校高二年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层随机抽样的方法从高二学生中抽取

了90名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如表（单位：人）：等级性别优秀合格不合格男30𝑥8女306𝑦根据表中统计的数据，下列说法正确的是（）A．𝑥=12B．𝑦=12C．没有90%的把握判断综合素质评价结果为优秀与性别有关D．有95%的把握判断综合素质评价结果为优秀与

性别有关【解题思路】根据分层抽样求出男女生人数，计算𝑥,𝑦判断AB，再由𝜒2判断CD即可.【解答过程】设从高二年级男生中抽出𝑚人，则𝑚500=90500+400，解得𝑚=50，所以𝑥=50−38=12，𝑦=40−36=4，故A正确，B错误；根据评价结果是否优秀可

以得到2×2列联表为（单位：人）等级性别优秀非优秀总计男302050女301040总计603090则𝜒2=90×(30×10−20×30)250×40×60×30=2.25<2.706，故没有90%的把握判断综合素质评价结果为优秀与性别有关，故C正确，D错误

.故选：AC．11．（5分）有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（）A．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480B．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240C．6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安

排方法D．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种【解题思路】A选项，利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法；B选项，利用倍缩法求解；C选项，先进行平均分组，再进行全排列，得到答案；

D选项，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，再进行全排列，得到答案.【解答过程】A选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有A44=24种排法，再将甲、乙两人插空，有A52=20种排法，则共有24×20=480种不同的排法，A正确；B选项，6人站成一排，甲、乙

、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即A66A33=120种不同的站法，B错误；C选项，6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有C62C42C22A33A33=90种不同的安排方法

，C正确；D选项，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有C32C11=3种分法，再将三组同学和三个活动进行全排列，则有A33=6种安排方法，故不同的分组方法有3×6=

18种方法，D错误.故选：AC.12．（5分）（2023·全国·模拟预测）已知某签盒内有2支不同的礼物签、6支不同的问候签，某寝室8位室友不放回地从该签盒中依次抽签，直到2支礼物签都被取出．记事件Ai表示“第i次取出的是礼物签”，𝑖=1,2,⋯,8，则下列结论正确的是（）A．A1和A2

是互斥事件B．𝑃(𝐴2)=14C．A2与A5不相互独立D．𝑃(𝐴5|𝐴2)=17【解题思路】根据互斥事件的定义判断A选项根据题意计算𝑃(𝐴2)，判断B选项根据题意计算𝑃(𝐴5)，𝑃(𝐴2𝐴5)，利用相互独立事件及条件概率的计算公

式判断C，D选项.【解答过程】显然事件A1和事件A2可能同时发生，故A错误；由题意知𝑃(𝐴2)=C21A77A88=14，故B正确；𝑃(𝐴5)=C21A77A88=14，𝑃(𝐴2𝐴5)=A22A66A88=128，显然𝑃(𝐴2𝐴5)≠𝑃(𝐴2)𝑃(𝐴5

)，A2与A5不相互独立，故C正确；又𝑃(𝐴5|𝐴2)=𝑃(𝐴2𝐴5)𝑃(𝐴2)=17，故D正确．故选：BCD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2022秋·湖南衡阳·高三期中）若(𝑥2−2𝑥+2)5=𝑎0+𝑎1

𝑥+𝑎2𝑥2+⋅⋅⋅+𝑎10𝑥10，则|𝑎1|+|𝑎2|+|𝑎3|+⋯+|𝑎9|=3092．【解题思路】由多项式分析知：𝑘为奇数，项系数为负；𝑘为偶数，项系数为正，可得|𝑎1|+|𝑎2|+⋅⋅⋅+|𝑎10|=

−𝑎1+𝑎2−𝑎3⋯−𝑎9+𝑎10，再应用赋值法求𝑎0、𝑎0−𝑎1+𝑎2−𝑎3⋯−𝑎9+𝑎10，然后计算出𝑎10即可.【解答过程】由题设，含𝑥𝑘的项中，当𝑘为奇数，项系数为负，而当𝑘为偶数，项系数为正，所以|𝑎1|+|𝑎2|+⋅⋅⋅+

|𝑎10|=−𝑎1+𝑎2−𝑎3⋯−𝑎9+𝑎10，令𝑥=0，则𝑎0=25=32；令𝑥=−1，得𝑎0−𝑎1+𝑎2−𝑎3⋯−𝑎9+𝑎10=55=3125，所以|𝑎1|+|𝑎2|+

⋯+|𝑎10|=3125−32=3093．由(𝑥2−2𝑥+2)5=(𝑥2−2𝑥+2)(𝑥2−2𝑥+2)(𝑥2−2𝑥+2)(𝑥2−2𝑥+2)(𝑥2−2𝑥+2)可知𝑥10的系数𝑎10为5项中𝑥2的系数相乘，故𝑎

10=1所以|𝑎1|+|𝑎2|+⋯+|𝑎9|=|𝑎1|+|𝑎2|+⋯+|𝑎10|−|𝑎10|=3093−1=3092故答案为：3092.14．（5分）（2023秋·天津·高三期末）一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个红球，从中摸出两个球，若𝑋表示摸出白球的个数，则

𝐸(𝑋)=23．【解题思路】求出𝑋的可能取值即每个𝑋对应的概率，再由均值公式即可求出𝐸(𝑋).【解答过程】𝑋的可能取值为0,1,2，𝑃(𝑋=0)=C20C42C62=25，𝑃(𝑋=1)=C21C41C62=815，𝑃(𝑋=2)=C22C40C62=115，则�

�(𝑋)=0×25+1×815+2×115=1015=23.故𝐸(𝑋)=23.故答案为：23.15．（5分）（2023春·北京·高三开学考试）有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，准备从

庐山、三清山、龙虎山和明月山四个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，甲、乙的选择相互独立．记事件A为“甲和乙至少一人选择庐山”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则𝑃(𝐵|𝐴)=67．【解题思路】根据题意分别计算出𝑛(𝐴)和𝑛(𝐴𝐵)，再利用条件概率公式计算即可.【解

答过程】由题意知事件𝐴：“甲和乙至少一人选择庐山”包含𝑛(𝐴)=C21⋅C31+1=7种情况，事件𝐴𝐵：“甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山”包含𝑛(𝐴𝐵)=C21⋅C31=6种情况，所以𝑃(𝐵|𝐴)=𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝐴)=67.故答案为:67

.16．（5分）（2022·全国·高三专题练习）下列说法中错误的有（1）（4）．（1）残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；（2）两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好；（3）设随机变量𝑋服

从正态分布𝑁(0,1)，若𝑃(𝑋>1)=𝑝，则𝑃(−1<𝑋<0)=12−𝑝；（4）根据下表提供的数据，线性回归方程𝑦̂=0.7𝑥+0.35，那么表中𝑡=3.15．𝑥3456𝑦2.4𝑡3.84.

6【解题思路】（1）根据残差的概念与残差图的特点即可判断；（2）根据残差平方和的概念即可判断；（3）根据正态分布𝑁(0,1)的性质求解并判断；（4）根据表中数据计算𝑥̅,𝑦̅，代入线性回归方程中求得𝑡的值，即可判断．【解答过程】对于（1），残差图中残差点所在的

水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，所以（1）错误；对于（2），两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，所以（2）正确；对于（3），根据正态分布𝑁(0,1)的性质可得，若𝑃(𝑋>1)=𝑝，则𝑃(𝑋<

−1)=𝑝，∴𝑃(−1<𝑋<1)=1−2𝑝，∴𝑃(−1<𝑋<0)=1−2𝑝2=12−𝑝，所以（3）正确；对于（4），根据表中数据，计算𝑥̅=14×(3+4+5+6)=4.5，𝑦̅=14×(2.4+𝑡+3.8+4.6)=2.7+𝑡4，代入线性回归方程𝑦̂

=0.7𝑥+0.35中，得2.7+𝑡4=0.7×4.5+0.35，解得𝑡=3.2，所以（4）错误．故答案为：（1）（4）．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023秋·广西桂林·高二期末）从6名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下

，各共有多少种不同的排法？（写出计算过程，并用数字作答）(1)甲､乙两人必须跑中间两棒；(2)若甲､乙两人都被选且必须跑相邻两棒．【解题思路】（1）由甲､乙两人必须跑中间两棒，甲乙之间会有一个排列A22，余下的两个位置需要在剩余4人中选出共

有A42种，根据分步计数原理即可求解.（2）由题意可将甲乙两人捆绑，并且有A22种结果，其余4人选出两人和甲乙组合成三个元素的排列共有C42A33种结果，再根据分步计数原理即可求解.【解答过程】（1）甲､乙两人跑中间两

棒，甲乙两人的排列有A22种，剩余两棒从余下的4个人中选两人的排列有A42种，故有A22A42=24种；（2）若甲､乙两人都被选且必须跑相邻两棒，甲乙两人相邻两人的排列有A22种，其余4人选两人和甲乙组合成三个元素的排列有C4

2A33种，故有A22C42A33=72种．18．（12分）（2022春·福建泉州·高二期中）已知(1+2𝑥)𝑛的展开式的所有项的二项式系数和为512.(1)若(1+2𝑥)𝑛=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2

𝑥2+⋯+𝑎𝑛𝑥𝑛，求𝑎1−𝑎2+𝑎3−𝑎4+⋯+(−1)𝑛−1𝑎𝑛；(2)求(1+2𝑥)𝑛展开式中系数最大的项.【解题思路】（1）由题意，利用二项式系数的性质求得𝑛，再利用赋值法求得要求式子的值.（2）设第𝑟+1项系数最大

，则{C9𝑟.2𝑟≥C9𝑟+1.2𝑟+1C9𝑟.2𝑟≥C9𝑟−1.2𝑟−1，求得𝑟的值，可得(1+2𝑥)𝑛展开式中系数最大的项.【解答过程】（1）∵(1+2𝑥)𝑛的展开式的所有项的二项式系数和为2𝑛=512，∴𝑛=9.

∵(1+2𝑥)𝑛=(1+2𝑥)9=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+⋅⋅⋅+𝑎9𝑥9，∴令𝑥=0，可得𝑎0=1，∴再令𝑥=−1，可得1−𝑎1+𝑎2−𝑎3+𝑎4−⋯−𝑎9=−1，即1−(𝑎1−𝑎2+𝑎

3−𝑎4+⋯+𝑎9)=−1，∴𝑎1−𝑎2+𝑎3−𝑎4+⋯+𝑎9=2.（2）设第𝑟+1项系数最大，则{C9𝑟.2𝑟≥C9𝑟+1.2𝑟+1C9𝑟.2𝑟≥C9𝑟−1.2𝑟−1，求得173≤𝑟≤203，∴𝑟=6，故(1+2𝑥)𝑛展开式中系数最大的项

为𝑇7=C96⋅26⋅𝑥6=5376𝑥6.19．（12分）（2023·云南昆明·模拟预测）某批规格相同的产品由甲、乙、丙三个工厂共同生产，甲厂生产的产品次品率为2%，乙厂和丙厂生产的产品次品率均为4%，三个工厂生产的产品混放在

一起，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的40%，40%，20%.(1)任选一件产品，计算它是次品的概率；(2)如果取到的产品是次品，分别计算此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率.【解题思路】(1)根据独立事件

同时发生的概率计算公式求解；(2)利用条件概率公式求解.【解答过程】（1）设𝐵表示“取到的产品是次品”，𝐴1表示“产品由甲工厂生产”，𝐴2表示“产品由乙工厂生产”，𝐴3表示“产品由丙工厂生产”，易知𝐴1，𝐴2，𝐴3两两互斥，根据题意得𝑃(𝐴1)=0.4，𝑃(

𝐴2)=0.4，𝑃(𝐴3)=0.2，根据全概率公式可得𝑃(𝐵)=∑⬚3𝑖=1𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖)=0.02×0.4+0.04×0.4+0.04×0.2=0.032，故取到次品的概率为0

.032.（2）“如果取到的产品是次品，计算分别出自三个工厂的概率”，就是计算在𝐵发生的条件下，事件𝐴𝑖发生的概率.𝑃(𝐴1|𝐵)=𝑃(𝐴1𝐵)𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1)𝑃(𝐵)=0.4×0.020.032=14.同理可得𝑃(𝐴

2|𝐵)=12，𝑃(𝐴3|𝐵)=14.所以如果取到的产品是次品，此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率分别是14，12，14.20．（12分）（2023秋·辽宁营口·高三期末）甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），

在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得−1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概

率13，且各次踢球互不影响．(1)经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；(2)求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．【解题思路】（1）先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期

望；（2）根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合（1）中的数据分析运算.【解答过程】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A，乙进球为事件B，A，B相互独立，由题意得：𝑃(𝐴)=12×(1−13)=13，𝑃(𝐵)=12×(1−

12)=14，甲的得分X的可能取值为−1,0,1，𝑃(𝑋=−1)=𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)=(1−13)×14=16，𝑃(𝑋=0)=𝑃(𝐴𝐵)+𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)+𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)=13×14+(1−13)×(1

−14)=712𝑃(𝑋=1)=𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)=13×(1−14)=14，所以X的分布列为：X−101p1671214𝐸(𝑋)=−1×16+0×712+1×14=112.（2）经过三轮踢球，甲

累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得−1分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为𝑃1=(14)3=164，甲3轮中有2轮

各得1分，1轮得0分的概率为𝑃2=C32(14)2×712=764，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得−1分的概率为𝑃3=C32(14)2×16=132，甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为𝑃4=

C31×14×(712)2=49192，所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率𝑃=164+764+132+49192=79192.21．（12分）（2023·陕西西安·统考一模）偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某同学的

某科考试成绩与该科平均成绩的差叫某科偏差（实际成绩－平均成绩＝偏差）.在某次考试成绩统计中，教研人员为了对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成

绩偏差数据如下：学生序号12345678数学偏差x/分20151332−5−10−18物理偏差y/分6.53.53.51.50.5−0.5−2.5−3.5(1)若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；(2)若本次考试数学平均成绩为100分，物理平均成绩为70.5分，试由（1）的

结论预测数学成绩为116分的同学的物理成绩.参考公式：𝑏̂=∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑛𝑥𝑦∑𝑥𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛𝑥2，𝑎̂=𝑦−𝑏̂𝑥.参考数据：∑𝑥𝑖28𝑖=1=1256，∑𝑥𝑖8𝑖=1𝑦𝑖=32

4.【解题思路】(1)根据线性回归方程的求法直接求解；(2)利用回归方程以及偏差的定义求解.【解答过程】（1）由题意可得，𝑥=18×[20+15+13+3+2+(−5)+(−10)+(−18)]=52，𝑦=18×[6

.5+3.5+3.5+1.5+0.5+(−0.5)+(−2.5)+(−3.5)]=98，又∑𝑥𝑖28𝑖=1=1256，∑𝑥𝑖8𝑖=1𝑦𝑖=324，∴𝑏̂=324−8×52×981256−8×(52)2=14，𝑎̂=98−14×52=12，∴y

关于x的线性回归方程为：𝑦̂=14𝑥+12.（2）设该同学的物理成绩为W，则物理偏差为W－70.5.又数学偏差为116−100=16，∴𝑊−70.5=14×16+12，解得𝑊=75.∴预测这位同学的物理成绩为75分.22．（12分）（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三期末）盲盒

里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开后才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内装有正版海贼王手办，且每个盲盒只装一个.某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机抽取了400

人进行问卷调查，并全部收回.经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，男生占13；而在未购买者当中，男生、女生各占50%.(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关？女生男生总计购买未购买总计(2)从购买该款盲盒的人中按性别用分层抽样的

方法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取3人发放优惠券，求抽到的3人中恰有1位男生的概率.参考公式：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中𝑛

=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑.参考数据：𝑃(𝐾2≥𝑘0)0.100.050.0250.0100.0050.001𝑘02.7063.8415.0246.6357.87910.828【解题思路】（1）结合

题意可完成2×2列联表，结合公式即可计算𝐾2≈9.428，即可判断是否有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关（2）列举基本事件个数，结合古典概型的概率计算公式即可求解.【解答过程】（1）由题可得：购买了该款盲盒的人数为400×30%=120人，其中购买了该款盲盒的男生人数为120×

13=40人，则购买了该款盲盒的女生为80人，所以未购买者总人数为280人，男生、女生各占50%为140人，则2×2列联表为：女生男生总计购买8040120未购买140140280总计220180400根据列联表中的数据，可得𝐾2=400×(80×140−40

×140)2220×180×120×280=2800297≈9.428，因为9.428>7.879，所以有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关.（2）抽取6人中，女生有：6×8080+40=4（人），记为𝑎,𝑏,�

�,𝑑.男生有：6×4080+40=2（人），记为A，B.从这6人中随机抽取3人，有(𝑎,𝑏,𝑐),(𝑎,𝑏,𝑑),(𝑎,𝑏,𝐴),(𝑎,𝑏,𝐵),(𝑎,𝑐,𝑑),(𝑎,𝑐,𝐴),(𝑎,𝑐,𝐵)，(𝑎,𝑑,𝐴),(𝑎,𝑑

,𝐵),(𝑎,𝐴,𝐵),(𝑏,𝑐,𝑑),(𝑏,𝑐,𝐴),(𝑏,𝑐,𝐵),(𝑏,𝑑,𝐴),(𝑏,𝑑,𝐵),(𝑏,𝐴,𝐵),(𝑐,𝑑,𝐴)，(𝑐,𝑑,

𝐵),(𝑐,𝐴,𝐵),(𝑑,𝐴,𝐵)，共20种基本事件，其中抽到的3人中恰有1位男生，有(𝑎,𝑏,𝐴),(𝑎,𝑏,𝐵),(𝑎,𝑐,𝐴),(𝑎,𝑐,𝐵),(𝑎,𝑑,𝐴),(𝑎,�

�,𝐵)，(𝑏,𝑐,𝐴),(𝑏,𝑐,𝐵),(𝑏,𝑑,𝐴),(𝑏,𝑑,𝐵),(𝑐,𝑑,𝐴),(𝑐,𝑑,𝐵)，共12种基本事件，所以抽到的3人中恰有1位男生的概率𝑃=1220=35.