【文档说明】2024届高考二轮复习数学试题（新高考新教材） 专题突破练4　利用导数研究函数的单调性、极值与最值 Word版含答案.docx，共(9)页，84.709 KB，由小赞的店铺上传

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专题突破练4利用导数研究函数的单调性、极值与最值一、单项选择题1.若函数f(x)=(x-a)3-3x+b的极大值是M,极小值是m,则M-m的值()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,且与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,且与b有关2.若函数f(x)=x2-ax

+lnx在区间(1,e)内单调递增,则实数a的取值范围是()A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.[3,e2+1]D.[-e2+1,3]3.已知函数f(x)=3𝑥e𝑥,则下列关于函数f(x)的说法正确的是()A.在区间(-∞

,+∞)内单调递增B.在区间(-∞,1)内单调递减C.有极大值3e,无极小值D.有极小值3e,无极大值4.已知直线y=kx(k>0)和曲线f(x)=x-alnx(a≠0)相切,则实数a的取值范围是()A.(-∞

,0)∪(0,e)B.(0,e)C.(0,1)∪(1,e)D.(-∞,0)∪(1,e)5.(2022·新高考Ⅰ,7)设a=0.1e0.1,b=19,c=-ln0.9,则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b6.已知P是曲线y=-sinx(x∈[0,π])上

的动点,点Q在直线x-2y-6=0上运动,则当|PQ|取最小值时,点P的横坐标为()A.π4B.π2C.2π3D.5π67.已知曲线y=sin𝑥e𝑥+1(x≥0)的一条切线的斜率为1,则该切线的方程为()A.y=x

-1B.y=xC.y=x+1D.y=x+2二、多项选择题8.已知函数f(x)=x3-3lnx-1,则()A.f(x)的极大值为0B.曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为x轴C.f(x)的最小值为

0D.f(x)在定义域内单调9.已知函数f(x)={2𝑥+2,-2≤𝑥≤1,ln𝑥-1,1<𝑥≤e,若关于x的方程f(x)=m恰有两个不同的根x1,x2(x1<x2),则(x2-x1)f(x2)的取值可

能是()A.-3B.-1C.0D.210.(2022·新高考Ⅱ,9)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点(2π3,0)对称,则()A.f(x)在(0,5π12)单调递减B.f(x)在(-π12,11π12)有两个极值点C.直线x=7π6是曲线y=

f(x)的一条对称轴D.直线y=√32-x是曲线y=f(x)的一条切线三、填空题11.(2022·新高考Ⅰ,15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.12.试写出实数a的一个取值范围,使函数f(x)=sin𝑥-𝑎e𝑥有

极值.13.(2022·新高考Ⅱ,14)曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为,.四、解答题14.已知函数f(x)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐e𝑥的单调递增区间是[0,1],极大值是3e.(1)求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切

线方程;(2)若存在非零实数x0,使得f(x0)=1,求f(x)在区间(-∞,m](m>0)内的最小值.15.已知函数f(x)=aex-x-1(a∈R),g(x)=x2.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a>0时,若曲线C1:y1=f(x)+x+1与曲线C2:y2=g(x)存在

唯一的公切线,求实数a的值.16.已知f(x)=a2lnx-12ax2-(a2-a)x(a≠0).(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.专题突破练4利用导数研究函数的单调性、极值与

最值1.C解析因为f(x)=(x-a)3-3x+b,所以f'(x)=3(x-a)2-3,令f'(x)=3(x-a)2-3=0,得x=a-1或x=a+1,判断可得函数的极大值M=f(a-1)=-1-3(a-1)+b=2-3a+b,极小值m=f(a+1)=1-3(a+1)+b=-

2-3a+b,因此M-m=4.故选C.2.B解析依题意f'(x)=2x-a+1𝑥≥0在区间(1,e)内恒成立,即a≤2x+1𝑥在区间(1,e)内恒成立,令g(x)=2x+1𝑥(1<x<e),则g'(x)=2-1𝑥2=2𝑥2-1𝑥2=(√2𝑥+1)(√2�

�-1)𝑥2>0,所以g(x)在区间(1,e)内单调递增,而g(1)=3,所以a≤3,即实数a的取值范围是(-∞,3].故选B.3.C解析由题意得函数f(x)的定义域为R,f'(x)=3(1-𝑥)e𝑥.令f'(x)=0,得x=1,当x<1时,f'(x)>0,f(x)

单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故f(1)是函数f(x)的极大值,也是最大值,且f(1)=3e,函数f(x)无极小值.故选C.4.A解析设直线y=kx(k>0)与曲线f(x)=x-alnx(a≠0)相切于点P(x0,x0-alnx0)(x0>0

).由题意得,f'(x)=1-𝑎𝑥,则以P为切点的切线方程为y-x0+alnx0=1-𝑎𝑥0(x-x0),因为该切线过原点,所以-x0+alnx0=1-𝑎𝑥0(-x0),因此lnx0=1,即x0=e,所以k=1-𝑎e>0,得a<e,又a≠0,故实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0

,e).故选A.5.C解析令a1=xex,b1=𝑥1-𝑥,c1=-ln(1-x),则lna1-lnb1=lnxex-ln𝑥1-𝑥=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x).令y1=x

+ln(1-x),x∈(0,0.1],则当x∈(0,0.1]时,y1'=1-11-𝑥=-𝑥1-𝑥<0.于是函数y1=x+ln(1-x)在区间(0,0.1]内单调递减.于是y1<0,∴lna1-lnb1<0,∴b1>a1.令y2=a1

-c1=xex+ln(1-x),x∈(0,0.1],则y2'=xex+ex-11-𝑥=(1+𝑥)(1-𝑥)e𝑥-11-𝑥.令k(x)=(1+x)(1-x)ex-1,则当x∈(0,0.1]时,k'(x)=(1-

x2-2x)ex>0,∴k(x)在区间(0,0.1]内单调递增.∴k(x)>k(0)=0.∴在区间(0,0.1]内,y2'>0,∴y2=xex+ln(1-x)在区间(0,0.1]内单调递增.∴y2>0,∴a1>c1.∴在区间(0,0.1]内,b1>a1>c1.故当x=0.1时,有b>a>c.

6.C解析如图所示,要使|PQ|取得最小值,则曲线y=-sinx(x∈[0,π])在点P处的切线与直线x-2y-6=0平行,对函数y=-sinx求导得y'=-cosx,令y'=12,可得cosx=-12,由于0≤x≤π,所以x=2π3.故选C.7.C解析由题得y'=cos�

�·e𝑥-sin𝑥·e𝑥(e𝑥)2=cos𝑥-sin𝑥e𝑥.设切点为(x0,y0)(x0≥0),则y'|𝑥=𝑥0=cos𝑥0-sin𝑥0e𝑥0,由y'|𝑥=𝑥0=1,得e𝑥0=cosx0-sinx0.令f(x)=ex-cosx+sinx(x≥0)

,则f'(x)=ex+sinx+cosx=ex+√2sinx+π4,当0≤x<1时,f'(x)>0,当x≥1时,ex≥e,√2sin(𝑥+π4)≥-√2,f'(x)>0,所以∀x≥0,f'(x)>0,所以f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,则f(x)≥f(0)=0,所以

方程e𝑥0=cosx0-sinx0只有一个实根x0=0,所以y0=sin0e0+1=1,故切点为(0,1),切线斜率为1,所以切线方程为y=x+1.8.BC解析函数f(x)=x3-3lnx-1的定义域为(0,+∞),f'(x)=3x2-3𝑥=3𝑥(x3-1).令f'(x)=3𝑥(x3

-1)=0,得x=1,列表得:x(0,1)1(1,+∞)f'(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增所以f(x)的极小值,也是最小值为f(1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C正确,A,D错误;对于B,由f(1)=0及f'(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,

f(1))处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0,故B正确,故选BC.9.BC解析画出函数f(x)的图象,如图,因为f(x)=m的两根为x1,x2(x1<x2),所以x1=𝑚-22,x2=em+1,m∈(-1,0],从而(x2-x1)·f(x2)=em

+1-𝑚-22m=mem+1-𝑚22+m.令g(x)=xex+1-12x2+x,x∈(-1,0],则g'(x)=(x+1)ex+1-x+1.因为x∈(-1,0],所以x+1>0,ex+1>e0=1,-x

+1>0,所以g'(x)>0,从而g(x)在区间(-1,0]内单调递增.又g(0)=0,g(-1)=-52,所以g(x)∈-52,0,即(x2-x1)·f(x2)的取值范围是-52,0,故选BC.10.AD解析由题意得,f2π3=sin4π3+φ=0,所以4π3+φ=kπ,k

∈Z,即φ=-4π3+kπ,k∈Z.又0<φ<π,所以k=2,φ=2π3.故f(x)=sin2x+2π3.选项A,当x∈0,5π12时,2x+2π3∈2π3,3π2,所以f(x)在区间0,5π12内单调递减,故选项A正确;选项B

,当x∈-π12,11π12时,2x+2π3∈π2,5π2,由函数f(x)的图象(图略),易知y=f(x)只有一个极值点,由2x+2π3=3π2,可得极值点为x=5π12,故选项B错误;选项C,当x=7π6时,2x+2π3=3π

,f7π6=0,所以直线x=7π6不是曲线y=f(x)的对称轴,故选项C错误;选项D,结合该选项,若f'(x)=2cos2x+2π3=-1,得cos2x+2π3=-12,解得2x+2π3=2π3+2kπ或2x+2π3=4π3+2kπ,k∈Z,从而得x

=kπ或x=π3+kπ,k∈Z,所以函数y=f(x)的图象在点0,√32处的切线斜率为y'|x=0=2cos2π3=-1,切线方程为y-√32=-(x-0),即y=√32-x,故选项D正确.故选AD.11.(-∞,-4)∪(0,+∞)解析由题意可得,y'=ex+(x+a)ex=(1+x+a

)ex.设切点为(x0,(x0+a)e𝑥0),则切线方程为y-(x0+a)e𝑥0=(1+x0+a)e𝑥0(x-x0).又切线过原点,∴-(x0+a)e𝑥0=-x0(1+x0+a)e𝑥0,整理得𝑥02+ax0-a=0.∵曲线y=(x+a

)ex有两条过坐标原点的切线,∴𝑥02+ax0-a=0有2个不同实数解,∴Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.故a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).12.(-√2,√2)(答案不唯一)解析

f(x)=sin𝑥-𝑎e𝑥的定义域为R,f'(x)=cos𝑥-sin𝑥+𝑎e𝑥,由于函数f(x)=sin𝑥-𝑎e𝑥有极值,所以f'(x)=cos𝑥-sin𝑥+𝑎e𝑥有变号零点,因此由cosx-sinx+a=0,即a=sinx-cosx=√2sinx-π4,可得a∈(-√

2,√2),答案只要为(-√2,√2)的子集都可以.13.y=𝑥ey=-𝑥e解析当x>0时,y=lnx,点(x1,lnx1)(x1>0)上的切线为y-lnx1=1𝑥1(x-x1).若该切线经过原点,则lnx1-1=0,解得x1=e,此时切线方程

为y=𝑥e.当x<0时,y=ln(-x),点(x2,ln(-x2))(x2<0)上的切线为y-ln(-x2)=1𝑥2(x-x2).若该切线经过原点,则ln(-x2)-1=0,解得x2=-e,此时切线方

程为y=-𝑥e.14.解(1)因为f(x)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐e𝑥,所以f'(x)=-𝑎𝑥2+(2𝑎-𝑏)𝑥+𝑏-𝑐e𝑥.因为ex>0,所以f'(x)≥0的解集与-ax2+(2a-b)x+b-c≥0的解集相同,且同为[0,1].所以{𝑎>0,2𝑎-𝑏�

�=1,𝑏-𝑐-𝑎=0,解得a=b=c.所以f(x)=𝑎(𝑥2+𝑥+1)e𝑥(a>0),f'(x)=-𝑎𝑥2+𝑎𝑥e𝑥(a>0).因为a>0,所以当x<0或x>1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当0≤x≤1时,f'(x)≥0,函数f(

x)单调递增,且f'(1)=0,所以f(x)在x=1处取得极大值,又由题知,极大值为3e,所以f(1)=3𝑎e=3e,解得a=1,所以a=b=c=1.所以f(x)=𝑥2+𝑥+1e𝑥,f'(x)=-𝑥2+𝑥e�

�.所以f(-1)=1e-1=e,f'(-1)=-2e-1=-2e.所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y-e=-2e(x+1),即y=-2ex-e.(2)由(1)知函数f(x)在区间(-∞,0

)内单调递减,在区间(0,1)内单调递增,且f(0)=1e0=1,所以满足f(x0)=1(x0≠0)的x0∈(1,+∞).所以当0<m≤x0时,由函数f(x)的单调性易知,f(x)在区间(-∞,m]内的最小值为f(0)=1;当m>x0时,f(m)<f(x0)=f(0)=1,f(x)在区间(

-∞,m]内的最小值为f(m)=𝑚2+𝑚+1e𝑚.综上所述,f(x)在区间(-∞,m]内的最小值为{1,0<𝑚≤𝑥0,𝑚2+𝑚+1e𝑚,𝑚>𝑥0.15.解(1)f'(x)=aex-1.当a≤0时,f'(x)<

0恒成立,f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递减.当a>0时,由f'(x)=0,得x=-lna.当x<-lna时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>-lna时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a≤0时,f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递减;当

a>0时,f(x)在区间(-∞,-lna)内单调递减,在区间(-lna,+∞)内单调递增.(2)因为曲线C1:y1=aex与曲线C2:y2=x2存在唯一的公切线,设该公切线与曲线C1,C2分别切于点(x1,ae𝑥1),(x2,𝑥

22),显然x1≠x2.由于y1'=aex,y2'=2x,所以ae𝑥1=2x2=𝑎e𝑥1-𝑥22𝑥1-𝑥2,因此2x2x1-2𝑥22=ae𝑥1−𝑥22=2x2-𝑥22,所以2x1x2-𝑥

22=2x2,即x2=2x1-2.由于a>0,故x2>0,从而x2=2x1-2>0,因此x1>1.此时a=2𝑥2e𝑥1=4(𝑥1-1)e𝑥1(x1>1).设F(x)=4(𝑥-1)e𝑥(x>1),则问题等价于当x>1时,

直线y=a与曲线y=F(x)有且只有一个公共点.又F'(x)=4(2-𝑥)e𝑥,令F'(x)=0,解得x=2,所以F(x)在区间(1,2)内单调递增,在区间(2,+∞)内单调递减.而F(2)=4e2,F(1)=0,当x→+∞时,F(x)→0,所以F(x)的值域为0,4e

2,故a=4e2.16.解(1)由题意得,当a=1时,函数f(x)=lnx-12x2,其定义域为(0,+∞),因此f'(x)=1𝑥-x=1-𝑥2𝑥.令f'(x)>0,即1-x2>0,得0<x<1,所以f(x)在区间(0,1)内单调递增;令f'

(x)<0,即1-x2<0,得x>1,所以f(x)在区间(1,+∞)内单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)由题意,函数f(x)=a2lnx-12ax2-(a2-a)x(a≠0)

的定义域为(0,+∞),且f'(x)=𝑎2𝑥-ax-(a2-a)=-𝑎(𝑥+𝑎)(𝑥-1)𝑥.当a<0时,-a>0.①若-1<a<0.令f'(x)>0,即(x+a)(x-1)>0,得x>1或0<x<-a;令f'(x)<0,即(x+a)(x-1)<0,得-a

<x<1.所以函数f(x)在区间(1,+∞),(0,-a)内单调递增,在区间(-a,1)内单调递减.所以当x=1时,函数f(x)取得极小值,不符合题意.②若a=-1,可得f'(x)=(𝑥-1)2𝑥≥0,此

时函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,函数f(x)无极值,不符合题意.③若a<-1.令f'(x)>0,即(x+a)(x-1)>0,得x>-a或0<x<1;令f'(x)<0,即(x+a)(x-1)<0,得1<x<

-a.所以函数f(x)在区间(1,-a)内单调递减,在区间(0,1),(-a,+∞)内单调递增.所以当x=1时,函数f(x)取得极大值,符合题意.当a>0时,-a<0.令f'(x)>0,即(x+a)(x-1)<0,得0<x<1;令f'(x)<0,即(x+a)(x-1)>0,得x

>1,所以f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,所以当x=1时,函数f(x)取得极大值,符合题意.