【文档说明】湖南省五市十校教研教改共同体2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷含解析【精准解析】.doc，共(21)页，1.669 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年湖南省五市十校教研教改共同体高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1．已知集合A＝{x|2x＞1}，B＝{x|（x+2）（x﹣1）＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣2，1

）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，2）2.已知向量(1)am→=−，，(21)bm→=+，，若ab⊥，则实数m的值是（）A.2−B.13−C.1D.23．若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m⊥l”是“m∥α”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．某小区居民上网年龄分布图如图所示，现按照分层抽样的方法从该小区抽取一个容量为n的样本．若样本中90后比00后多52人，则n＝（）A．400B．450C．500D．5505

.函数||2()cosxxfxx=，,22x−的部分图象大致是（）A.B.C.D.6.已知函数()cos()(0)3fxx=+在4(0,)3单调递减，在4(,2)3单调递增，则

()fx的最小正周期为（）A.2B.C.2D.47．设a＝log318，b＝log424，141log32c=，则（）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．c＞b＞a8.已知a，b，c分别为ABC

内角A，B，C的对边，2sinacB=，则tanA的最大值为（）A.2B.22C.4D.8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知复数21iz=−+，则下列命题正确的

是（）A.z的虚部为1−B.2z=C.22iz=D.z在复平面内对应的点位于第三象限10．某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均

在[40，100]内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，则下列说法正确的是（）A．频率分布直方图中第三组的频数为10人B．根据频率分布直方图估计样本的众数为75分C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分D

．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分11.已知三棱锥SABC−的顶点均在表面积为8的球O的球面上，SA、SB、SC两两垂直，2SA=，2SB=，则下列结论中正确的是（）A.球O的半径为2B.2SC=C.S到平面ABC的距离为55D.O到平面ABC的距离为5512.已

知ABC的重心为G，过G点的直线与边AB，AC的交点分别为M，N，若AMMB=，且AMN与ABC的面积之比为920，则的可能取值为（）A.43B.32C.53D.3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若向量a，b满足10a=，5b=

，5ab=−，则a与b的夹角为_________.14．从长度（单位：cm）分别为2，3，4，5的4条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率为．15.已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，5cos25C=，1a=，5

b=，则tanA=_______.16.《九章算术》中，刍甍（chúméng）是一种五面体，其底面为矩形，顶部为一条平行于底面矩形的一边且小于此边的线段.在如图所示的刍甍ABCDFE中，平面ADFE⊥平面ABCD，//EFAD，且四边形ADFE为等腰

梯形，5ABAE==，3EF=，5AD=，则刍甍ABCDFE的体积为________，二面角CBDE−−的余弦值为______.四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.在ABC中，2CDDB=，设ADxAByAC=+（x、y为实数）.（1）求x，y的值；（2）若(1

3)AB=，，(43)AC=，，求ADBC.18.函数()3sin(2)6fxx=+的部分图像如图所示.（1）写出图中0x、0y的值；（2）将函数()fx的图像向右平移6个单位，再将所得图像上所有点的纵坐标缩短为原来的13倍，横坐标不变，得到函数()gx的图像，

求方程1()2gx=在区间[,]−上的解.19．为了参加数学选拔赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩（单位：分）记录如下：理科：79，80，81，79，94，92，85

，90文科：94，80，90，81，73，84，90，80（1）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥更好；（2）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出2人进行培训，求抽出的2人中至少有1名理科组同学的概率．20.如图，四棱锥111B

AACD−中，111ABC△为等边三角形，1AA⊥平面111ABC，11//AADC，112AADC=，F为11AB的中点.（1）证明：1//CF平面1ADB；（2）证明：平面1ADB⊥平面11AAB；（3）若112AB=，

122AA=，求直线1AA与平面1ADB所成角的正弦值.21.ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，15sin8A=，11cos16B=.（1）证明：2:3:4abc=：：；（2）若8ACCB+=，求ABC的周长.22.如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面互相垂直

，M、N分别在BD，AE上，2ENNA=，2DMMB=.（1）证明：MNBD⊥；（2）证明：//CF平面BMN；（3）求平面BMN截三棱柱AFDBEC−所成大小两部分的体积比.参考答案一、单项选择题（共8

小题，每题5分，共40分）.1．已知集合A＝{x|2x＞1}，B＝{x|（x+2）（x﹣1）＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，2）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵A＝{x|2x＞1}＝{x|2x＞20

}＝{x|x＞0}，B＝{x|（x+2）（x﹣1）＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，∴A∩B＝（0，1）．故选：C．2．已知向量＝（m，﹣1），＝（2，m+1），若⊥，则实数m的值是（）A．﹣2B．C．1D．2【分析】根据题意，分析可得•＝2m﹣m﹣1＝0，解可得m的值

，即可得答案．解：根据题意，向量＝（m，﹣1），＝（2，m+1），若⊥，则•＝2m﹣m﹣1＝0，解可得：m＝1；故选：C．3．若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m⊥l”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充

分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据线面垂直和线面平行的性质和判定定理，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解：①由l⊥α，m⊥l⇒m∥α或m⊂α，∴充分性不成立，②由l⊥α，m∥α⇒m

⊥l，∴必要性成立，∴m⊥l是m∥α的必要不充分条件．故选：B．4．某小区居民上网年龄分布图如图所示，现按照分层抽样的方法从该小区抽取一个容量为n的样本．若样本中90后比00后多52人，则n＝（）A．400B．450C．500D．550【分析】利用抽样比相等

和比例的基本性质列式求解．解：根据题意可知，解得n＝400．故选：A．5．函数，的部分图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除BD，再分析函数的单调性，排除C，即可得答案．解：根据题意，，，有f（﹣x）＝﹣f（x），即

函数f（x）为奇函数，排除B、D，又由y＝cosx，y＝2x，y＝x在上分别为减函数、增函数、增函数，且函数值均为正数，所以f（x）在上为增函数，排除C，故选：A．6．已知函数在单调递减，在单调递增，则f（x）的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π【分析】由题意利用余弦函数

的图象和性质，求得ω的值，从而得出结论．解：由函数在单调递减，在单调递增，由题意，结合余弦函数图像可得，当x＝时，f（x）在y轴的右侧第一次取得最小值，∴，∴，最小正周期，故选：D．7．设a＝log318，b＝log

424，，则（）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．c＞b＞a【分析】根据题意，，a＝log318＞log39＝2，b＝log424＞log416＝2，再具体分析a与b的大小关系即可确定答案．解：，a＝log318＞log39

＝2，b＝log424＞log416＝2，∴，，∵log64＞log63＞0，∴，∴log424＜log318，即b＜a，∴c＜b＜a．故选：A．8．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，，则tanA的最大值为（）A．2B．C．4D．8【分析】利用正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函

数基本关系式化简已知等式可得，当B，C都为锐角时，利用基本不等式可得tanBtanC≥2，进而根据两角和的正切公式可求tanA≤2，若B，C其中一个为钝角时，可得，即可得解tanA的最大值．解：由已知及正弦定

理得，∴，两边除以sinBsinC，得，当B，C都为锐角时，，∴tanBtanC≥2，当且仅当时，等号成立，∴，若B，C其中一个为钝角时，∴，∴tanA的最大值为．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的

选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知复数，则下列命题正确的是（）A．z的虚部为﹣1B．|z|＝2C．z2＝2iD．在复平面内对应的点位于第三象限【分析】先利用复数的除法运算求出z的代数形式，然后由虚

部的定义、模的定义、复数的几何意义进行判断即可．解：因为，z的虚部为﹣1，|z|＝，z2＝（﹣1﹣i）2＝2i，在复平面内对应的点（﹣1，1）位于第二象限，所以选项A，C正确，选项B，D错误．故选：AC．10．某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城

市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40，100]内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，则下列说法正确的是（）A．频率分布直方图中第三组的频数为1

0人B．根据频率分布直方图估计样本的众数为75分C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分【分析】利用直方图中小矩形的面积和为1，计算[60，70）的频率，进而估计众数、中位数、平均数．解：分数在[60，70）内的频率为1﹣10×（

0.005+0.020+0.030+0.025+0.010）＝0.10，所以第三组[60，70）的频数为100×0.10＝10（人），故A正确；因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看

出众数在区间[70，80）上，估计值为75分，故B正确；因为（0.005+0.020+0.010）×10＝0.35＜0.5，（0.005+0.020+0.010+0.03）×10＝0.65＞0.5，所以中位数位于[70，80）设为x，则0.35+（x﹣70）×0

.03＝0.5，解得x＝75，估计值为75，故C正确；样本平均数的估计值为45×（10×0.005）+55×（10×0.020）+65×（10×0.010）+75×（10×0.03）+85×（10×0.025）+95×（10×0.01）＝73

（分），故D错误．故选：ABC．11．已知三棱锥S﹣ABC的顶点均在表面积为8π的球O的球面上，SA、SB、SC两两垂直，SA＝2，，则下列结论中正确的是（）A．球O的半径为B．C．S到平面ABC的距离为D．O到平面ABC的距离为【分析】由球的表面积公式求出球的半径判

断A；再由分割补形法求得长方体的对角线长求解SC判断B；由等体积法求S到平面ABC的距离判断C；求出三角形ABC外接圆的半径，利用勾股定理求得O到平面ABC的距离判断D．解：设球O的半径为R，由4πR2＝8π，得R＝，故A正确；将三棱锥S﹣ABC放置在长体中，由，得，解得，故B正确；∵SA＝

2，SB＝SC＝，∴AB＝AC＝，BC＝2，△ABC的面积为，设S到平面ABC的距离为d1，由等体积法可得，得S到平面ABC的距离，故C错误；在△ABC中，cos∠BAC＝，sin∠BAC＝，设△ABC外接圆的半径为r，则，又外接球的半径R＝，∴球心O到平面ABC的距

离为，故D正确．故选：ABD．12．已知△ABC的重心为G，过G点的直线与边AB，AC的交点分别为M，N，若，且△AMN与△ABC的面积之比为，则λ的可能取值为（）A．B．C．D．3【分析】可得出，进而得出，可设，进而得出，从而可得出，然后根据三角形的面积公式可得出，然后解出λ的值即可．解：如图，

∵，∴，即，设，则，∵M、G、N三点共线，∴，∴，，∵△AMN与△ABC的面积之比为，∴，即，化简得2λ2﹣9λ+9＝0，解得或3．故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若

向量，满足||＝，||＝，•＝﹣5，则与的夹角为．【分析】利用向量数量积的夹角公式直接求解即可．解：∵向量，满足||＝，||＝，•＝﹣5，∴，∵两个向量夹角的范围为[0，π]，∴与的夹角为．故答案为：．14

．从长度（单位：cm）分别为2，3，4，5的4条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率为．【分析】列举出4条线段中任取3条的所以可能情况后再确定其中能构成钝角三角形的基本事件个数，最后利用概率计算公式即可得出所求概率．解：4条线段中任取3条的可能情况有234，235，245，345

，共4种，其中能构成钝角三角形的情况有234，245，共2种，所以能构成钝角三角形的概率为＝．故答案为：．15．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，，a＝1，b＝5，则tanA＝．【分析】由已知利

用二倍角的余弦公式可求cosC的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，根据余弦定理可求c的值，利用正弦定理可求sinA，进而根据同角三角函数基本关系式可求tanA的值．解：∵，∴，，，∴，，∵a＜b，可得A为锐角，∴，∴．故答案为：．16．《九章算术》中，刍甍（chúméng）是一种五

面体，其底面为矩形，顶部为一条平行于底面矩形的一边且小于此边的线段．在如图所示的刍甍ABCDFE中，平面ADFE⊥平面ABCD，EF∥AD，且四边形ADFE为等腰梯形，，EF＝3，AD＝5，则刍甍ABCDFE的体积为，二面角C﹣BD﹣E的余

弦值为．【分析】由图可将刍甍ABCDEF分割成由四棱锥E﹣ABCD和三棱锥C﹣DEF构成，分别求出四棱锥E﹣ABCD和三棱锥C﹣DEF的体积即可；根据二面角的定义可知∠EHG为二面角C﹣BD﹣E的补角，求出cos∠EHG即可．解：连接

CE，则刍甍ABCDFE被分割为四棱锥E﹣ABCD和三棱锥C﹣DEF，平面ADFE⊥平面ABCD，∴CD⊥平面DEF，过点E作EG⊥AD，则EG⊥平面ABCD，∴，，∴刍甍ABCDFE的体积为．过点G作GH⊥BD，连接EH，则BD⊥EH，∴∠EHG为二面角C﹣

BD﹣E的补角，在△BDG中，由等面积法易得，，∴，∴二面角C﹣BD﹣E的余弦值为．四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在△ABC中，，设（x、y为实数）．（1）求x，y的值；（2）

若，，求．【分析】（1）利用向量的线性运算可得＝，从而可求得x，y的值；（2）利用向量的坐标运算及数量积的坐标运算即可求解．解：（1）∵，∴＝+＝+＝+（﹣）＝，∴，．（2）由（1）得，，∴．18．函数的部分图象如图所示．（1）写出图中x0、y0的值；（2）将函数f（x）的

图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数g（x）的图象，求方程在区间[﹣π，π]上的解．【分析】（1）利用三角函数的最大值，可得y0＝3，由f（x）在x＝x0处是x正半轴上取得第二个最大值，即可求出的

x0值；（2）先利用三角函数的图象变换，求出g（x）的解析式，然后令g（x）＝，利用整体代换的思想以及特殊角的三角函数，求出x的值即可．解：（1）因为函数，则函数f（x）的最大值为3，所以y0＝3，由题意可知

，f（x）在x＝x0处是x正半轴上取得第二个最大值，令＝3，解得x＝，，所以，y0＝3；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数，由，可

得，所以或，k∈Z，解得或，k∈Z，又x∈[﹣π，π]，所以方程的解为．19．为了参加数学选拔赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩（单位：分）记录如下：理科：79，80，81，79，94，92，85，90文科

：94，80，90，81，73，84，90，80（1）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥更好；（2）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出2人进行培训，求抽出的2人中至少有1名理科组同学的概率．

【分析】（1）根据已知条件，结合平均数和方差公式，即可求解．（2）得出成绩不低于90分的同学有理科3个，文科3个，用列举法求出基本事件数，求出对应的概率．解：（1）从平均数和方差的角度看，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好，理由如下：理科组同学成绩的平均数，方差为：＝3

3.5，文科组同学成绩的平均数，方差为：＝41.75，由于，，所以理科组同学在此次模拟测试中发挥更好．（2）设理科组同学中成绩不低于90分的3人分别A，B，C，文科组同学中成绩不低于90分的3人分别为a，b，c，则从他们中随机抽

出2人有以下15种可能：AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc．其中全是文科组同学的情况有ab，ac，bc三种，记“抽出的2人中至少有一名理科组同学同学”为事件M则．20．如图，四棱锥B1﹣AA1C1D中，△A1B1C1为等边三角形，AA1⊥平

面A1B1C1，AA1∥DC1，AA1＝2DC1，F为A1B1的中点．（1）证明：C1F∥平面ADB1；（2）证明：平面ADB1⊥平面AA1B1；（3）若A1B1＝2，AA1＝2，求直线A1A与平面ADB1所成角的正弦值．【分析】（1）取AB1中点E，证

明DE∥C1F；（2）先证明C1F⊥平面AA1B1，再结合DE∥C1F，证明面面垂直．（3）过点A1作A1G⊥AB1，由（2）知A1G⊥平面ADB1，求∠A1AG．解：（1）证明：取AB1中点E，连接DE，EF，则，

∴四边形EFC1D为平行四边形，∴DE//FC1，∵DE⊂平面ADB1，FC1⊄平面ADB1，∴FC1//平面ADB1．（2）证明：∵AA1⊥平面A1B1C1，△A1B1C1是正三角形，∴C1F⊥A1B1，C1F⊥AA1，∵A1

B1∩AA1＝A1，∴C1F⊥平面AA1B1，∵DE//FC1，∴DE⊥平面AA1B1，∵DE⊂平面ADB1，∴平面ADB1⊥平面AA1B1．（3）过点A1作A1G⊥AB1，则A1G⊥平面ADB1，∴∠A1AG即为直线A1A与平面ADB1所成角，在△AA1

B1中，利用等面积法得，所以．21．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．（1）证明：a：b：c＝2：3：4；（2）若，求△ABC的周长．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，cos

A，利用两角和的正弦公式可求sinC的值，进而根据正弦定理即可证明．（2）由（1）利用两角和的余弦公式可求cosC的值，将已知等式平方，设a＝2t，b＝3t，c＝4t，利用平面向量数量积的运算即可求解．解：（1）证明：，∴A＜B，A为锐角，，∴，由正弦定

理可得，得证．（2）由（1）知，∵，∴，设a＝2t，b＝3t，c＝4t，则，解得t＝2，∴△ABC的周长为9t＝18．22．如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面互相垂直，M、N分别在BD，AE上，EN＝2NA，DM＝2MB．（1）证明：M

N⊥BD；（2）证明：CF∥平面BMN；（3）求平面BMN截三棱柱AFD﹣BEC所成大小两部分的体积比．【分析】（1）设正方形边长为3，过N向AB作垂线交AB于H，连接MH，求解三角形证明HM⊥BD，再由平面与平面垂直的性质可得NH⊥BD，得到BD⊥平面NMH，从而可

得MN⊥BD；（2）连接AC交BD于O，延长BN交AF于P，连接OP，则OP//FC，再由平行线截线段成比例可得OP//MN，又平行公理可得MN//CF，进一步得到CF//平面BMN；（3）由（2）得平面BDP即为截面BMN．设正方形边长为1，分别求出三棱锥P﹣A

BD与三棱柱ADF﹣BCE的体积，则答案可求．【解答】（1）证明：设正方形边长为3，过N向AB作垂线交AB于H，连接MH，则，NH＝1，BH＝2，，由余弦定理求得，可得BM2+HM2＝BH2，∴HM⊥BD，又∵NH⊥AB，平面AB

CD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，NH⊂平面ABEF，∴NH⊥平面ABCD，则NH⊥BD，又NH∩MH＝H，∴BD⊥平面NMH，则MN⊥BD；（2）证明：连接AC交BD于O，延长BN交AF于P

，连接OP，则OP//FC，又由平行线截线段成比例可得OP//MN，∴MN//CF，∵MN⊂平面BMN，CF⊄平面BMN，∴CF//平面BMN；（3）解：由（2）得平面BDP即为截面BMN．∵，∴，设正方形边长为1，则，，∴体积比为．