【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用）专题21 导数极值点偏移问题 Word版无答案.docx，共(9)页，276.199 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-5cf271796c6726e21d0e82265daec48f.html

以下为本文档部分文字说明：

专题21导数极值点偏移问题知识梳理方法技巧题型归类题型一：消参减元题型二：对称变换题型三：比(差)值换元题型四：对数均值不等式培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试解答题：共12题一、【知识梳理】【方法技巧】

众所周知，函数)(xf满足定义域内任意自变量x都有)2()(xmfxf−=，则函数)(xf关于直线mx=对称；可以理解为函数)(xf在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(xf为单峰函数，则mx=必为)(xf的极值点.如二次函数)(xf的顶点就是极值

点0x，若cxf=)(的两根的中点为221xx+，则刚好有0212xxx=+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(xf的极值点为m，且函数)(xf满足定义域内mx=左侧的

任意自变量x都有)2()(xmfxf−或)2()(xmfxf−，则函数)(xf极值点m左右侧变化快慢不同.故单峰函数)(xf定义域内任意不同的实数21,xx满足)()(21xfxf=，则221xx+与极值点m必有确定的大小关系：①若221xxm+，则称为极值点左偏；②

若221xxm+，则称为极值点右偏.[来源:学_科_X_K]1.对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下：(1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0.(2)构造函

数，即根据极值点构造对称函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，若证x1x2>x20，则令F(x)＝f(x)－fx20x.(3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性.(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大

小关系.(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求.2.含参函数问题可考虑先消去参数，其目的就是减元，进而建立与所求解问题相关

的函数.3.比(差)值换元就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的.一般用t表示两个极值点之比(差)，继而将所求解问题转化为关于t的函数

问题.4.对数均值不等式可用对称化构造或比值换元进行证明，在解答题中，一般要先证明后应用.设a，b>0，a≠b，则a＋b2>a－blna－lnb>ab，其中a－blna－lnb被称之为对数平均数，上述不等式称为对数均值不等式.二、【题型归类】【题型一】消参减元

【典例1】已知函数f(x)＝lnx－ax，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2，求证：x1·x2>e2.【典例2】已知函数f(x)＝ln(ax)＋12ax2－2x，a>0.设x1，x2是函数f(x)的两个极值点，且x1<x2，求证：x

1＋x2>2.【题型二】对称变换【典例1】已知函数f(x)＝exx－lnx＋x－a.(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1.【典例2】已知函数f(x)＝2x＋lnx.(1)求f(x)的极值和单调区间；(2)若函数g(x)＝f(x)－

a(a>2)的两个零点为x1，x2，证明：x1＋x2>4.【题型三】比(差)值换元【典例1】已知函数f(x)＝xlnx的图象与直线y＝m交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2).求证：x1x2

<1e2.【典例2】已知函数f(x)＝lnxx－mm∈0，1e的两个零点为x1，x2，证明：lnx1＋lnx2>2.【题型四】对数均值不等式【典例1】设函数()(),xfxeaxaaR=−+

其图象与x轴交于12(,0),(,0)AxBx两点,且12xx.（1）求实数a的取值范围；（2）证明：12()0(()fxxfx为函数()fx的导函数）；【典例2】已知f(x)＝a－1x－lnx有两

个零点x1，x2，且x1<x2，求证：2<x1＋x2<3ea－1－1.三、【培优训练】【训练一】已知函数f(x)＝xe－x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2.【训练二】已知函数f(x)＝xlnx－12mx2－x，m∈R.(1)若g(x

)＝f′(x)(f′(x)为f(x)的导函数)，求函数g(x)在区间[1，e]上的最大值；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证：x1x2>e2.【训练三】已知函数()sinexxfx=，()0,x．（1）求函数()fx的单调区

间；（2）若12xx，且()()12fxfx=，证明：122xx+．【训练四】已知函数2()lnlnfxxxmx=−+有两个极值点x1,x2．（1）求实数m的取值范围；（2）证明：x1x2＜4．【训练五】已知函数f(x)＝x(1－lnx)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a，b为

两个不相等的正数，且blna－alnb＝a－b，证明：2<1a＋1b<e.【训练六】已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，求证：x1＋x2<2.四、【强化测试】【解答题】1.已知函数f(x)＝2x＋lnx，若x1≠

x2，且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>4.2.已知函数f(x)＝exex，f(x1)＝f(x2)＝t(0<x1<x2，0<t<1).证明：x1＋x2>2x1x2.3.已知函数f(x)＝x－lnx－a有两个不

同的零点x1，x2.(1)求实数a的取值范围；(2)证明：x1＋x2>a＋1.4.已知f(x)＝x2－2alnx，a∈R.若y＝f(x)有两个零点x1，x2(x1<x2)．(1)求实数a的取值范围；(2)若x0是y＝f(x)的极值点，求证：x1＋3x2>4x0.5.已知a是实

数，函数f(x)＝alnx－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个相异的零点x1，x2且x1>x2>0，求证：x1x2>e2.6.已知函数f(x)＝lnx－ax有两个零点x1，x2.(1

)求实数a的取值范围；(2)求证：x1·x2>e2.7.已知函数f(x)＝x2a－2lnx(a∈R，a≠0)．(1)求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1<x2)，且a＝4，证明：x1＋x2>4.8.已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有两个不同的零

点x1，x2.证明：x1＋x2>2.9.已知函数()2ln1fxxxax=−+．（1）若()0fx恒成立，求实数a的取值范围．（2）若函数()31yfxaxax=−+−的两个零点为1x，2x，证明：212exx．10.已知函数31()28

ln6fxxaxx=−+．（1）若函数()fx在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（2）若函数()fx存在两个极值点12,xx，求证：124xx+．11.已知aR,()axfxxe−=,（其中e为自然对数的底数）.（1）求函数()yfx=的单调区间；（2）若0a,函数()yfx

a=−有两个零点x,2x,求证：22122xxe+.12.已知函数()()ln2fxaxx=+−.（1）当1a=时,求()fx的最大值；（2）设点()()11,Axfx和()()22,Bxfx是曲线()yfx=上不同的两点,且()()12fxfx=,若12akxx+

恒成立,求实数k的取值范围.