【文档说明】重庆市四川外语学院重庆第二外国语学校2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题 含答案.docx，共(14)页，379.359 KB，由小赞的店铺上传

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重庆第二外国语学校2023届开学检测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一

致。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题每小题5分，共

40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若复数i1imz−=+是实数，则实数m=()A．1−B．0C．1D．22．下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的是()A．12xy=B．2yxx=−C．1yx=−D．1yxx=−3．某种包装的大

米质量（单位：kg）服从正态分布~N（10，2），根据检测结果可知P（9.98≤≤10.02）=0.98，某公司购买该种包装的大米2000袋，则大米质量在10.02kg以上的袋数大约为()A．10В．20C．30D．404．

已知()sinfxxx=−，则不等式()()2110fmfm++−的解集为()A．(),2−−B．()2,−+C．()0,+D．(),0−5.在劳动技术课上某小组同学用游标卡尺测量一个高度为7毫米的零件50次时，所得数

据如下：测量值6.8毫米6.9毫米7.0毫米7.1毫米7.2毫米次数51510155根据此数据推测，假如再用游标卡尺测量该零件2次，则2次测得的平均值为7.1毫米的概率为（）A.0.04B.0.11C.0.13D.0.266．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，20

20年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（

单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式nCIt=，其中32log2n=为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流10AI=时，放电时间57ht=，则当放电电流15AI=，放电时间为()A．28hB．28.5hC．29hD．29.5h7．已知02

，2sin46−=，则sin1tan+的值为()A．41451B．21413C．41751D．217138．已知直线𝑙：𝑦=𝑘𝑥(𝑘>0)既是函数𝑓(𝑥)=𝑥2+1的图象的切线，同时也是函数𝑔(𝑥)=𝑝𝑥𝑥+1+𝑙𝑛𝑥(𝑝∈𝑅

)的图象的切线，则函数𝑔(𝑥)零点个数为()A．0B．1C．0或1D．1或2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.某人投

掷骰子5次，由于记录遗失，只有数据平均数为3和方差不超过1，则这5次点数中（）A.众数可为3B.中位数可为2C.极差可为2D.最大点数可为510.已知直线y=kx（k≠0）与双曲线22221(0,0)xyabab−=交于A，B两点，以AB为直径圆恰好经过

双曲线的右焦点F，若三角形ABF的面积为24a，则以下正确的结论有（）的A.双曲线的离心率为2B.双曲线的离心率为5C.双曲线的渐近线方程为y=±2xD.43k=11．已知函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥−√3𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥，𝜔>0，则下列结论中正确的是

()A．若ω=2，则将𝑓(𝑥)的图象向左平移𝜋6个单位长度后得到的图象关于原点对称B．若|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|=4，且|𝑥1−𝑥2|的最小值为𝜋2，则ω=2C．若𝑓(𝑥)在[0,𝜋3]上单调递增，则ω的取值范围为(0，3]D．若𝑓(𝑥)在

[0，π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是[73，103]12．已知抛物线𝐶:𝑦2=4𝑥的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影

．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是()A．对于任意直线m，均有AE⊥PFB．不存在直线m，满足𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切D．存在直线m，使|AF

|+|BF|=2|DF|三、填空題：本题共4小題，每小题5分，共20分.13．已知a，b是两个单位向量，c=2a+b，且⊥bc，则()+=aab________．14．正三棱锥S-ABC的底面边长为4，侧棱长为23，D为棱AC的中点，则异面直线SD与AB所成角的余弦值为．15．以抛物线C：

24yx=的焦点F为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知8AB=，则DE=．16．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=2，则四面体ABCD的外接球的半径为______，四面体ABCD的内切球与外接球的球心距为。四、解答题：本题共6小

题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，()sincsinsinaACabB−=−，5b=，cos1cA=．（1）求C；（2）求△ABC的面积．18.（本小题满分12分）己知等差数列

na的公差为正实数，满足14a=，且135,,4aaa+成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb的前n项和为nS，若11b=，且___________，求数列nnab的前项和为nT，以下有三个条件：①*21,NnnSn=−；②*21,NnnSbn=−

；③*121,NnnSSn+=−从中选一个合适的条件，填入上面横线处，使得数列nb为等比数列，并根据题意解决问题.19.如图，在直四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD为菱形，且60BAD=，E

为AB中点，F为1BC与1BC的交点.（1）求证：平面DEF⊥平面11CDDC；（2）若1DDAD=，求二面角1DDEF−−的余弦值20.(本小题满分12分)某公司对40名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节．笔试环节

所有40名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定．公司对40名试用员工的笔试得分(笔试得分都在[75，100]内)进行了统计分析，得到如下的频率分布直方图和2×2列联表．的男女合计优(得分不低于90分)8良

(得分低于90分)12合计40(1)请完成上面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；(2)公司决定：在笔试环节中得分低于85分的员工直接淘汰，得分不低于85分的员工都正式录用．笔试得分在[95，100]内的岗位等级直接定为

一级(无需参加面试环节)；笔试得分在[90，95)内的岗位等级初定为二级，但有25的概率通过面试环节将二级晋升为一级；笔试分数在[85，90)内的岗位等级初定为三级，但有35的概率通过面试环节将三级晋升为二级．若所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试．已

知甲、乙为该公司的两名试用员工，以频率视为概率．①若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；②若乙在笔试环节等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率．参考公式和数据：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中

n＝a＋b＋c＋d.P(χ2≥k0)0.150.100.050.010k02.0722.7063.8416.63521．（本小题满分12分）已知椭圆C：()2222120xyabab+=的上顶点为A，右焦点为F，原点O到直线AF的距离为255，△AOF的面积为1．（1）

求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l与C交于M，N两点，过点M作MEx⊥轴于点E，过点N作NQx⊥轴于点Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于516，若存在，求出直线l的方程：若不存在，请说明理由．22.(本小题满

分12分)已知函数f(x)＝lnx＋ax，其中a∈R，e为自然对数的底数，e≈2.718.(1)若函数f(x)在定义域上有两个零点，求实数a的取值范围；(2)当a＝1时，求证：f(x)＜exx＋sinx．参考答案选择题：ACBBCBCBACBCDABDAC填空题：1224221√

2、4-2√3解答题：17．解：（1）因为()sinsinsinaAcCabB−=−，所以由正弦定理得222acabb−=−，由余弦定理得2221cos22abcCab+−==，又()0,C，则3C=．（2）因为5b=，cos1cA

=，所以22212bcacbc+−=，即2215ac−=，因为222acabb−=−，所以22525aca−=−，所以8a=，所以113sin58103222ABCSabC===．18．解：（1）设等差数列na的公差为,0dd，因为135,,4aaa+成等比数列，所以()31

254aaa=+，即()()242448dd+=+，解得2d=（负值舍去），所以2d=，所以22nan=+；（2）选①，由*21,NnnSn=−，当2n时，112nnnnbSS−−=−=，当1n=时等式也成立，所以12nnb−=，则()1212nnnabn−=−

，所以()2113252212nnTn−=++++−，则()()231223252232212nnnTnn−=++++−+−，两式相减得()231222212nnnTn−=++++−−()()21212121212nnn−−=+−−

−()233n=−−−，所以()2323nnTn=−+.选②，由*21,NnnSbn=−，当2n时，1122nnnnnbSSbb−−=−=−，所以12nnbb−=，所以数列nb为以1为首项2为公比的等比数列，所以12nnb−=，则()1212nnnabn−=−，以下步骤同①.

选③，由*121,NnnSSn+=−，得121nnSS−=−，两式相减得：12nnbb+=，又11b=，所以数列nb为以1为首项2为公比的等比数列，所以12nnb−=，则()1212nnnabn−=−，以下步骤同①.19.解：

（1）如图，连接BD.在菱形ABCD中，连接BD，∠BAD=60°，所以ABD△为正三角形，因为E为AB的中点，所以DE⊥AB.因为AB//CD，所以DE⊥CD.因为1DD⊥平面ABCD，DE平面ABCD，所以1DDDE⊥，而1DDDCD=，所以DE⊥平面11CD

DC.又因为DE平面DEF，所以平面DEF⊥平面11CDDC.（2）设12DDAD==，以D为原点，以直线DE，DC，1DD分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D，()3,0,0E，33,,122F，()0,2,0C，所以()3,

0,0DE→=，33,,122DF→=.设(),,nxyz→=为平面DEF的法向量，由0,0,nDEnDF==得30,330,22xxyz=++=取2y=，得()0,2,3n→=−.由（1）11,,DCDEDCDDD

EDDD⊥⊥=，则DC⊥平面1DDE，即()0,2,0DC→=为平面1DDE的一个法向量，所以4213cos,13132||||nDCnDCnDC→→→→→→===，由图可知二面角1DDEF−−为锐角，所以二面角1DDEF−−的余弦值为21313.20.

解：(1)2×2列联表：男女合计优(得分不低于90分)8412良(得分低于90分)161228合计241640假设H0：试用员工的业务水平优良与否与性别无关．χ2＝40×（12×8－16×4）224×16×12×28≈0.317＜2.7

06，因为P(χ2≥2.706)＝0.10，所以没有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否与性别有关”．(2)①记“甲被公司正式录用”为事件A，“甲最终岗位等级为一级”为事件B.依题意，P(A)＝(0.06＋0.04＋0.02)×5＝35，P(AB)＝0.02×5＋0.04×5×2

5＝950，所以P(B|A)＝P（AB）P（A）＝95035＝310，故在甲已被公司正式录用的情况下，甲的最终岗位等级为一级的概率为310.②记“甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级”为事件C，所以P(C)＝0.02×5＋0.04×5×25＋0.04

×5×35×35＋0.06×5×35×35＝925，故甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位的概率为925.21.解：（1）由题意知()0,Ab，(),0Fc，因为△AOF的面积为1，所以112AOFSbc==．又直线AF的方程1xycb+=，即0bxcyb

c+−=，因为点O到直线AF的距离为255，所以22255bccb=+，解得2c=，1b=，5a=，所以椭圆C的方程为2215xy+=．（2）依题意，当直线MN斜率为0时，不符合题意；当直线斜率不为0时，设直线MN方程为()20xm

ym=+．联立22215xmyxy=++=，得()225410mymy++−=，易知()()22216452010mmm=++=+．设()11,Mxy，()22,Nxy，则12245myym+=−+，12215yym

=−+．因为MEx⊥轴，NQx⊥轴，所以()1,0Ex，()2,0Qx．所以直线QM：()1212yyxxxx=−−①，直线NE：()2121yyxxxx=−−②，联立①②解得()()1221122112121212222522pmyymyyxyxymyyxyyyyyy++++===+=++

+．因为MENQ∥，ME与直线52x=平行，所以1212121151122222PMNPNQMNQPSSSNQxxyxymyy=−=−=−=−，因为121214myyyy=+，所以()()22212121212211

1115142248845PMNmSyyyyyyyyym+=−=−=+−=++，由225154516mm+=+，得42690mm−+=，解得3m=，此时直线l的方程为320xy−−=或320xy+−

=．22.解：(1)因为f(x)＝lnx＋ax，x＞0，所以f′(x)＝x－ax2.①若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时f(x)在(0，＋∞)上至多有一个零点，不符合题意．②若a＞0，令f′(x)＝0，得x＝a.x(0，a)a(a，＋∞)

f′(x)－0＋f(x)极小值要使f(x)在(0，＋∞)上有两个零点，须满足f(a)＜0，得0＜a＜1e.当0＜a＜1e时，a2＜a＜1，f(a)＜0，f(1)＝a＞0，显然f(x)在(0，＋∞)上的图象是一条不间断的曲线，所以存在x1∈(a，

1)⊆(a，＋∞)，使得f(x)＝0；又f(a2)＝2lna＋1a，记g(a)＝2lna＋1a，0＜a＜1e，则g′(a)＝2a－1a2＝2a－1a2＜0，g(a)在(0，1e)上单调递减，故g(a)＞g(1e)＝e－2＞0，即f(a2)＞0，所以存在x2∈(a

2，a)⊆(0，a)，使得f(x)＝0.综上所述，当0＜a＜1e时，f(x)在(0，＋∞)上存在两个零点．(2)依题意，要证lnx＋1x＜exx＋sinx，即证xlnx－ex－xsinx＋1＜0.令h(x)＝xlnx－ex－xsinx＋1，x＞0.①当0＜x≤1时，xsinx

＞0，1－ex＜0，故h(x)＜0.②当1＜x≤2时，xsinx＞0，故h(x)＜xlnx－ex＋1.令u(x)＝xlnx－ex＋1，x∈(1，2]，u′(x)＝1＋lnx－ex，显然u″(x)＝1x－ex在(1

，2]上单调递减，u″(x)＜u″(1)＝1－e＜0，所以u′(x)在(1，2]上单调递减，u′(x)＜u(1)＝1－e＜0，所以u(x)在(1，2]上单调递减，u(x)＜u(1)＝1－e＜0，所以，当x∈(1，2]时，h(x)＜u(x)＜0.(9分)③当x＞2时，－1≤sinx≤1，－x≤x

sinx≤x，故h(x)≤xlnx－ex＋x＋1.令v(x)＝xlnx－ex＋x＋1，x＞2，v′(x)＝2＋lnx－ex，显然v″(x)＝1x－ex在(2，＋∞)上单调递减，v″(x)＜v″(2)＝12－e2＜0，所以v′(x)在(2，＋∞)上单调递减，v′(x)＜v′(2

)＝2＋ln2－e2＜0，所以v(x)在(2，＋∞)上单调递减，v(x)＜v(2)＝2ln2－e2＋2＋1＜5－e2＜0，所以，当x＞2时，h(x)≤v(x)＜0.综上所述，当x＞0时，h(x)＜0，得证．