【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第15讲 导数的应用——导数与函数的单调性 Word版含解析.docx，共(10)页，986.677 KB，由管理员店铺上传

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第15讲导数的应用——导数与函数的单调性思维导图知识梳理函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．题型归纳题型1证明（判断）函数的单调性【

例1-1】（2019春•合肥期中）已知函数21()(22)42fxxaxalnx=+−−，讨论函数()fx的单调性．【分析】21()(22)42fxxaxalnx=+−−，(0,)x+．4(2)(2)()(22)axaxfxxaxx+−=+

−−=．对a与0，1−的大小关系分类讨论，即可得出单调性．【解答】解：21()(22)42fxxaxalnx=+−−，(0,)x+．4(2)(2)()(22)axaxfxxaxx+−=+−−=．对a分类讨论：0a…时，函数()fx在(0,2)上单调递减，在(2,)+上单调递增．22a−=

，即1a=−时，2(2)()0xfxx−=…，函数()fx在(0,)+上单调递增．22a−，即1a−时，函数()fx在(0,2)，(2,)a−+上单调递增，在(2,2)a−上单调递减．022a−，即10a−时，函数()fx在(0,2)

a−，(2,)+上单调递增，在(2,2)a−上单调递减．【跟踪训练1-1】（2020春•吉林期末）函数sinyxx=+在区间(0,)上()A．单调递减B．单调递增C．(0,)2上单调递增，(,)2上单调递减D．(0,)2上单调递减，(,)2上单调递增

【分析】对函数sinyxx=+求导数，然后研究导数y在(0,)上的符号即可．【解答】解：因为1cos0yx=+，(0)x恒成立，故sinyxx=+在(0,)上是单调增函数．故选：B．【跟踪训练1-2】（2019秋•南充期末）试证明函数2()1fxx=+在(,0)−上是减函数．【

分析】在(,0)−上任取12xx，通过比较1()fx与1()fx的大小判断函数单调性．【解答】证明：在(,0)−上任取12xx，则：2212121212()()(1)(1)()()fxfxxxxxxx

−=+−+=+−；而120xx+，120xx−，所以12()()0fxfx−，即12()()fxfx；由12xx，12()()fxfx，2()1fxx=+在(,0)−上是减函数得证．【名师指导】讨论函数f(x)单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(

2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．题型2求函数的单调区间【例2-1】（

2020春•克什克腾旗校级月考）函数312yxx=−的单调递增区间为()A．(0,)+B．(,2)−−C．(2,2)−D．(2,)+【分析】先求出函数的导数，然后利用()0fx，解函数的单调增区间．【解答】

解：函数的导数为2()123fxx=−，由2()1230fxx=−，得24x，解得22x−，即函数的单调递增区间为(2,2)−．故选：C．【例2-2】（2020春•和平区校级月考）求函数2()()()xxfxeeaaxaR=−−的单调区间．【分析】2()(

)2()()2xxxxxxafxeeaeeaeea=−+−=+−．下面对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：2()()2()()2xxxxxxafxeeaeeaeea=−+−=+

−．下面对a分类讨论：0a=时，2()xfxe=在R上单调递增．0a时，令()0fx=，解得xlna=．可得：函数()fx在(,)lna−上单调递减，在(,)lna+上单调递增．0a时，令()0f

x=，解得()2axln=−．可得：函数()fx在(−，())2aln−上单调递减，在(()2aln−，)+上单调递增．综上可得：0a=时，()fx在R上单调递增．0a时，函数()fx在(,)lna−上单调递减，在(,)lna+

上单调递增．0a时，函数()fx在(−，())2aln−上单调递减，在(()2aln−，)+上单调递增．【跟踪训练2-1】（2020春•工农区校级期末）函数()(2)xfxxe=−的单调递增区间为()A．(1,)+B．(2,)+C．(0,2)D．(1,2)【分析】先求导，再根

据导数和函数单调性的关系即可求出．【解答】解：函数()(2)xfxxe=−，则()(1)xfxxe=−，令()0fx，解得1x，故函数()(2)xfxxe=−的单调递增区间为(1,)+，故选：A．【跟踪训练2-2】（2019秋•启东市期中）确定函数()

cos24cosfxxx=+，(0,2)x的单调区间．【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．【解答】解：函数的导数()2sin24sin4sin(cos1)fxxxxx=−−=−+，令()0fx，sin0x，又(0,2)x，所以2x；令()

0fx，sin0x，又(0,2)x，所以0x．故()fx的单调增区间为(,2)，单调减区间为(0,)．【名师指导】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′

(x)<0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．题型3函数

单调性的简单应用——比较大小或解不等式【例3-1】（2020•海东市模拟）已知2(3)51,,35lnelnabce+===，则()A．abcB．cbaC．acbD．bac【分析】结合已知可考虑构造函数1()lnxf

xx+=，然后对其求导，结合导数可判断单调性，进而可比较大小．【解答】解：设1()lnxfxx+=，则2()lnxfxx=−，令()0fx，得1x，所以()fx在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减．由题意可知af=（e），bf=（3），cf=（5），因为35

e，所以f（e）f（3）f（5），即abc．故选：A．【例3-2】（2020春•沈阳期末）()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，()()0fxxfx+，且(3)0f−=，则不等式()0fx的解集为()A．(3−，0)(3，)+B．(3−，0)(0，3)C．

(−，3)(3，)+D．(−，3)(0−，3)【分析】构造函数()()gxxfx=，易推出()gx在(,0)−上单调递减；由()fx是定义在R上的奇函数，可知()gx为偶函数，从而得()gx在

(0,)+上单调递增，且g（3）(3)0g=−=．在()0fx的情形下，再分0x和0x，讨论()gx与0的关系，从而得解．【解答】解：令()()gxxfx=，则()()()gxfxxfx=+，当0x时，()0gx，()

gx在(,0)−上单调递减，()fx是定义在R上的奇函数，()()()()gxxfxxfxgx−=−−==，即函数()gx为偶函数，()gx在(0,)+上单调递增，(3)0f−=，g（3）(3)3(3)0gf=−=−−=，当0x时，若()0fx，则()0gx

，03x；当0x时，若()0fx，则()0gx，3x−．不等式()0fx的解集为(−，3)(0−，3)．故选：D．【跟踪训练3-1】（2020春•海淀区校级期末）对于定义在R上可导的任意函数()fx，若满足()()0xafx−„，则必有()A．()fxf…（a）B

．()fxf„（a）C．()fxf（a）D．()fxf（a）【分析】根据已知题意，解()()0xafx−„；然后根据()fx的符号判断()fx的单调性，继而确定最大值，得到()fx与f（a）的关系即可．【解答】解：根据题意，对于R上可导的任意函数()fx，若满足()()0x

afx−„，当xa…时，0xa−…，此时()0fx„，即当xa…时，()fx为减函数，当xa时，0xa−，此时()0fx，即当xa时，()fx为增函数，综上，xa=时，()fx取最大值f（a），()fxf„（a）；故选：B．【跟踪训练3-2】（2020春•南充期末）已知函数

()fx的导函数为()fx，若对任意的xR，都有()()fxfx，且f（2）2e=−，则不等式1()flnxx−−的解集为()A．21(e，)+B．1(e，)+C．21(0,)eD．1(0,)e【分析】令()

()xfxgxe=，再研究函数()gx的单调性来转化不等式进行求解．【解答】解：令()()xfxgxe=，则()()()0xfxfxgxe−=，()gx在R递增，而g（2）1=−，不等式1()flnxx

−−，即()11flnxx−−，即()1lnxflnxe−−−即()glnxg−（2），则2lnx−，解得：21xe，故选：A．【跟踪训练3-3】（2020春•玉林期末）已知函数()fx的定义域为(0,)+，且()(24)()fxxxfx+，则不等式()

(232)(23)(2)fxxfxx−+−+的解集为()A．3(2，3)B．3(2，)+C．(0,3)D．(3,)+【分析】构造函数()()(0)2fxgxxx=+，求导后可判断出()gx在(0,)+上单调递减．原不等式可化为()(23)2232

fxfxxx−+−+，即()(23)gxgx−，于是23023xxx−−，解之即可．【解答】解：令函数()()(0)2fxgxxx=+，则221()(2)()()(24)()2()(2)2(2)fx

xfxfxxxfxxgxxxx+−+−==++，()(24)()fxxxfx+，()0gx，()gx在(0,)+上单调递减．0x，()(232)(23)(2)fxxfxx−+−+可化为()(23)2232fxfxxx−+−+，即()(2

3)gxgx−，23023xxx−−，解得332x．不等式的解集为3(2，3)．故选：A．【名师指导】一般地，在不等式中如同时含有f(x)与f′(x)，常需要通过构造含f(x)与另一函数的积或商的新函数来求解，再借助导数考查新函数的性质，继而获得解答．如本题已知条件“2f

(x)＋xf′(x)>0”，需构造函数g(x)＝x2f(x)，求导后得x>0时，g′(x)>0，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，从而问题得以解决．题型4函数单调性的简单应用——根据函数单调性求参数【例4-1】（2020春•利通区校级期末）若函数()mf

xlnxx=−在[1，3]上为增函数，则m的取值范围为()A．(−，1]−B．[3−，)+C．[1−，)+D．(−，3]−【分析】求出函数的导数，问题转化为0xm+…在[1，3]恒成立，求出m的范围即

可．【解答】解：221()mxmfxxxx+=+=，若()fx在[1，3]递增，则0xm+…在[1，3]恒成立，则()maxmx−…，则1m−…，故选：C．【例4-2】（2020春•五华区校级期末）已知函数()xfxxelnxx=−−，若存在0(0,)x+，使0(

)fxa„，则a的取值范围是()A．[1，)+B．[1e−，)+C．[2，)+D．[e，)+【分析】求导得11()1(1)()xxxfxexexexx=−−−=+−，定义域为(0,)+，令()0fx=，则1

xex=，设111xex=，1(0,1)x，于是有111xxe=，即110lnxx+=．易推出()fx在(0,)+上的单调性，然后求出()fx的最小值即可得解．【解答】解：()(0)xfxxelnxxx=−−，11()1(1)()xxxfxexexexx=−−−=+−，令(

)0fx=，则1xex=，设111xex=，1(0,1)x，111xxe=，即110lnxx+=，当1(0,)xx时，()0fx，()fx单调递减；当1(xx，)+时，()0fx，()fx单调递增．11111()()()101xminfxfxxelnxx==−+

=+=，1a…．故选：A．【例4-3】（2020春•肥城市期中）若函数()fxkxlnx=−在区间(1,)+单调递增，则k的取值范围是；若函数()fx在区间(1,)+内不单调，则k的取值范围是．【分析】求出导函数()fx，由导函数在(1,)+内大于等于0恒成立求解k

的取值范围；由函数()fxkxlnx=−在区间(1,)+不是单调函数，得函数在区间上有极值，即导函数在区间(1,)+内有解，由此求得k的取值范围．【解答】解：①由()fxkxlnx=−，得1()(0)fxkxx

=−，由函数()fxkxlnx=−在区间(1,)+单调递增，得1()0fxkx=−…在(1,)+上恒成立，即1kx…在(1,)+上恒成立，1k…．k的取值范围是[1，)+；②函数()fxkxlnx=−在区间(1,)+内不单调，()0

fx=在区间(1,)+有解．并且解的两侧，导函数的符号相反，由10kx−=，解得11xk=，(0,1)k．而()fx在区间1(1,)k上单调递减，在1(k，)+上单调递增．k的取值范围是(0,1)．故答案为：[1，)+；(0,1)．【跟踪训练4-1】（2020

春•烟台期末）若函数32()(2)13afxxaxx=+−++在其定义域上不单调，则实数a的取值范围为()A．1a或4aB．4a…C．14aD．14a剟【分析】求出函数的导数，得到()0fx=有变号

零点，结合二次函数的性质可求．【解答】解：2()32(2)3afxxax=+−+，若函数32()(2)13afxxaxx=+−++在其定义域上不单调，则2()32(2)03afxxax=+−+=有变号零点，故△24(2)40aa=−−，解得：4a或1a

，故选：A．【跟踪训练4-2】（2020春•潍坊期末）若函数()fxaxlnx=−在区间(0,1)上是减函数，则实数a的取值范围是．【分析】求出函数的导数，问题转化为10ax−„在区间(0,1)恒成立

，求出a的范围即可．【解答】解：()fxaxlnx=−，(0)x，1()fxax=−，若函数()fxaxlnx=−区间(0,1)上为减函数，则10ax−„在区间(0,1)恒成立，即1()1minax=„，故答案为：(−，1]．【跟踪训练4-3】（2020•

莆田二模）已知函数()2xfxaxlnx=−+在区间[e，3]e上单调递增，则a的取值范围为．【分析】求出()fx的导数，问题转化为21()()minlnxalnx−„，[xe，3]e，令21()()lnxhxlnx−=，[xe，3]e，求出函数()hx的最小值，求出a的范围即可．【解

答】解：21()()lnxfxalnx−=−，若()fx在[e，3]e上单调递增，则()0fx…在[e，3]e上恒成立，即21()()minlnxalnx−„，[xe，3]e，令21()()lnxhxlnx−=，[xe，3]e，则32()

()lnxhxxlnx−=，令()0hx，解得：2xe，令()0hx，解得：2xe，故()hx在[e，2)e递增，在2(e，3]e递减，故()hx的最小值是h（e）或3()he，而h（e）320()9he==，故()minhxh=（e）0=，故a的范围是(−，0]，故答案为：

(−，0]．【名师指导】已知函数单调性求参数范围(1)已知可导函数f(x)在区间D上单调递增，则在区间D上f′(x)≥0恒成立；(2)已知可导函数f(x)在区间D上单调递减，则在区间D上f′(x)≤0恒成立；(3)已知可

导函数f(x)在区间D上存在增区间，则f′(x)>0在区间D上有解；(4)已知可导函数f(x)在区间D上存在减区间，则f′(x)<0在区间D上有解．