【文档说明】四川省泸县第五中学2022-2023学年高二下学期期中数学（理）试题 含解析.docx，共(21)页，1.893 MB，由小赞的店铺上传

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泸县第五中学2023年春期高二期中考试数学（理工类）第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，若复数()()i

aiaR−+的实部与虚部相等，则=aA.-2B.-1C.1D.2【答案】B【解析】【分析】利用实虚部相等列式求解【详解】复数()1ziaiai=−+=−.实部与虚部相等，则1a=−.故选：B.2.已知,,,mnpq为正整数，且mnpq+=+，则在数列na中，“mn

pqaaaa=”是“na是等比数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若“{an}是等比数列”，

则am•an＝a12qm+n﹣2，ap•aq＝a12qp+q﹣2，∵m+n＝p+q，∴am•an＝ap•aq成立，即必要性成立，若an＝0，则{an}是等差数列，当m+n＝p+q时，由“am•an＝ap•aq”成立，但“{an}是等比数列”不成立

，即充分性不成立，则“am•an＝ap•aq”是“{an}是等比数列”的成立的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的通项公式和性质是解决本题的关键．判断充要

条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若

p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3.已知x与y之间的一组数据：若y关于x的线性回归方程

为ˆ2.11.25yx=−，则m的值为（）x1234ym3.2487.5A.1B.0.85C.0.7D.0.5【答案】D【解析】【分析】求出样本数据中心点坐标，代入回归直线方程求解.【详解】()112342.54x=

+++=，()()113.24.87.515.544ymm=+++=+，因为y关于x的线性回归方程为ˆ2.11.25yx=−，所以()115.52.12.51.254m+=−，解得0.5m=，故选：D

4.执行如图所示的程序框图，则输出的S为A.13−B.32−C.2D.23−【答案】B【解析】.【分析】计算各循环得周期进而得到结果【详解】输入2,1Si==不满足2018i，11,112213Si=−=−=+=

+不满足2018i，13,31213Si=−=−=−+不满足2018i，12,4312Si=−==−+观察规律可得：S的取值周期为3，由201836722=+可得不满足2018i，1,20183Si=−=不满足2018i，3,20192S

i=−=满足2018i，退出循环，输出32S=−故选:B5.在71xx−的展开式中，含x项的系数为（）A.21B.－21C.35D.－35【答案】D【解析】【分析】首先写出二项式展开式的通项，再令721r−

=求出r，再代入计算可得；【详解】解：二项式71xx−展开式的通项为()7721771CC1rrrrrrrTxxx−−+=−=−，令721r−=，解得3r=，所以含x项的系数为()337C135−=−；故选：D

6.已知新华中学高一2班有20人，某次数学考试中，得分被评为A等的5人，B等8人，C等7人.从中随意选取2人，则这两人得分在同一等级的概率为（）A.1995B.59190C.49190D.31190【答案】B【解析】【分析】根据选取的2人全为A等或B等或C等中的人，结合古典概型概率计算公式，计算出

所求概率.【详解】设“两人得分在同一等级”为事件A，则22258722059()190CCCPAC++==.故选：B.7.2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚

来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按0,10，(10,20，(20,30，(30,40，(40,50分组，分别得到频率分布直方图如下：估计该体育院校学

生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是1x和2x，方差分别是21s和22s，则（）A.12xx，2212ssB.12xx，2212ssC.12xx，2212ssD.12xx，2212ss【答案】A【解析】【分析】分别计算出1x和2x，进行比较

；由方差的意义比较21s和22s，即可得到答案.【详解】由题意进行数据分析，可得：()()()()10.0201000.01020100.03030200.015300.75x−+−+−+−=，解得：140x=；()()()(

)20.0101000.02020100.03030200.025300.75x−+−+−+−=，解得：236x=；所以12xx.比较两个频率分布直方图可以看出：雪上项目的数据更分散，冰上项目的

数据更集中，由方差的意义可以得到：2212ss.故选：A8.如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)．且点C与点D在函数1,0(){11,02xxfxxx+=−+的图像上．若在矩形ABCD内随

机取一点，则该点取自空白部分的概率等于A.34B.14C.16D.12【答案】A【解析】【分析】计算点CD坐标，得阴影和空白面积得概率【详解】由题意(1,2)C，(2,2)D−，(2,0)A−，326ABCDS==，阴影部分面积为13'3122S==，空白部分面积为39

622−=，所求概率为93264P==．故选：A9.若直线30xya+−=是曲线214ln2yxx=−的一条切线，则实数=a（）A.12B.32C.52D.72【答案】D【解析】【分析】利用导数，根据斜率求得切点坐标，进而求得a.【详解】因为

214ln2yxx=−，所以4yxx=−，令43xx−=−，即2340xx+−=，得1x=或4x=−（舍去），所以切点是11,2，代入30xya+−=，得1302a+−=，72a=.故选：D10.一个等腰三角

形的周长为10，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为A.500281B.500227C.53D.152【答案】A【解析】【分析】由题意作出草图，设底面正方形边长的一半为x，由勾股定理，求出

棱锥的高，利用棱锥体积公式得到体积关于x的函数，再利用导数求最值，即可得到结果．【详解】设四棱锥为PABCD−，如下图所示：设四棱锥高为PO，取BC中点M，设四棱锥底面正方形边长的一半为x，则侧面等腰三角形的腰长10252xABx−==−，所以2225()xPxM

−−=，在直角PMO△中，OMx=，所以四棱锥的高2222225102()5POPMOMxxxxx=−=−−−=−−+，所以()226541421025102533PABCDVxxxxxx−=−−+=−−+．设()()654

10250fxxxxx=−−+，，则()()()()54332365010023255021035fxxxxxxxxxx=−−+=−−+=+−+，令()0fx=，可得10x=−（舍去）或53x=，当50,3x时，()0fx

¢>，当5,+3x时，()0fx；所以函数()fx在50,3上单调递增，在5,+3上单调递减，所以当53x=时，()fx取到最大值，即当53x=时，PAB

CDV−取到最大值∴()max500281PABCDV−=．故选：A．【点睛】本题主要考查了锥体体积的求法，考查导数在求最值中应用，是中档题．11.设椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别

为1F，2F，过点1F的直线与C交于A，B两点，若113AFBF=，且2||ABBF=，则C的离心率为（）A.155B.105C.22D.53【答案】B【解析】【分析】由已知条件和椭圆定义，将212||,||,||,

||ABBFAFAF用a表示，在2ABF中求出cosA，在12AFF△用余弦定理，建立,ac等量关系，即可求解.【详解】设1BFm=，则13AFm=，24ABBFm==，所以1252BFBFma+==，解得25ma=，所以165AFa=，2845ABBFma===，连

接2AF，则21425AFaAFa=−=.在2ABF△中，由余弦定理得222222222641664||1252525cos8424255aaaABAFBFAABAFaa+−+−===，在12AFF△中，由余弦定理

得2222222212122123616413252525cos64212255aacAFAFFFacAAFAFaaa+−+−−===，所以22213251124aca−=，整理得22225cea==，因为0e，所以105e=.故选：B12.已知函数()lnfxx=，()1gxax=+，

若存在01xe使得()()00fxgx=−，则实数a的取值范围是（）A.212,ee−B.21,2ee−C.21,2eeD.21,2ee【答案】B【解析】【分析】利用()()00fxgx=−，把问题转化为ln

yx=与1yax=−+在1xe有交点，利用数形结合进行分析，即可求解【详解】()()00fxgx=−，所以，00ln1xax=−+，即lnyx=与1yax=−+在1xe有交点，分情况讨论：①直线1yax=−+过点1(,1)e

−，即11ae−=−+，得2ae=；②直线1yax=−+与lnyx=相切，设切点为(,)mn，得1ln1ammam−+=−=221meae==−，切点为2(,2)e，故实数a的取值范围是21,2ee

−故选：B【点睛】本题考查函数方程的交点问题，主要考查学生的数形结合能力，属于中档题第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()23xfxe=−+的图像在0x=处的切线方程为_____.【答案】210xy+−=【

解析】【分析】首先计算()0f，得到切点为()0,1，求导将0x=代入得到()02kf==−，再利用点斜式写出切线方程即可.【详解】()00231=−+=fe，所以切点为()0,1()2xfxe=−，则()02kf==−所以切线方程为：()120yx−=−−即210yx

+−=故答案为：210yx+−=【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于简单题.14.已知命题：P：不等式20xmxm−+的解集为R；Q：不等式2xxm−−的解集为R，若命题P与命题Q中至少有一个为假命题，则m的取值范围为_______________.【答案】

(,0][2,)−+【解析】【分析】先求得,PQ均为真命题时m的取值范围，再求得,PQ至少有一个为假命题时m的取值范围.【详解】当P为真命题时，240mm=−，解得04m.当Q为真命题时，2xxmxmxxmxm−−=−−+−=，

解得22m−.故,PQ均为真命题时m的取值范围是()0,2，所以命题P与命题Q中至少有一个为假命题，则m的取值范围为(,0][2,)−+.故填：(,0][2,)−+.【点睛】本小题主要考查命题真假性，考查不等式的解集恒成立问题，属于基础题.15.有六种不

同颜色,给如图的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有________.【答案】4320【解析】【分析】利用分步乘法原理，保证相邻两块的颜色不同，即可得答案.【详解】第一个区域有6种不同的涂色方法，第二个区域有5种不同的涂色方法，第三个区域有4种

不同的涂色方法，第四个区域有3种不同的涂色方法，第五个区域有4种不同的涂色方法，第六个区域有3种不同的涂色方法，根据乘法原理6543344320=.【点睛】本题考查分步乘法原理的应用，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解

能力.16.已知函数()()()202lnfxaxxxa=+−有两个极值点1x、()212xxx，则()()12fxfx+的取值范围为_________.【答案】(),16ln224−−【解析】【分析】确定函数()yfx=的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦

达定理，即可求()()12fxfx+的取值范围．【详解】函数()()22lnfxaxxx=−+的定义域为()0,+，()21222212xaxafxaxxx−+=−+=，依题意，方程22220xaxa−+=有两个不等的正根1x、2x

（其中12xx），则241604aaa=−，由韦达定理得120xxa+=，120xxa=，所以()()()()()22121212122ln2fxfxaxxxxaxx+=++−+()()()2222121212122ln222ln222ln2axxxxxxaxxaaaaaaaaa

=++−−+=+−−=−−，令()()22ln24haaaaaa=−−，则()2ln2haaa=−，()()2122ahaaa−=−=，当4a时，()0ha，则函数()yha=在()4,+上单调递减，则()()44ln280hah=−，所以，函数

()yha=在()4,+上单调递减，所以，()()416ln224hah=−.因此，()()12fxfx+的取值范围是(),16ln224−−.故答案为：(),16ln224−−.【点睛】本题考查了函数极值点问题，考查了函

数的单调性、最值，将()()12fxfx+的取值范围转化为以a为自变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为

选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.已知三次函数()32fxaxbxcx=++的极大值是20，其导函数()'yfx=的图象经过点()()20,4,0，，如图所示，求（1）a，b，c的值；（2）若函数()yfxm=−有三个零点，求m的取值范围．【答案】（1）1a=，

9b=−，24c=；（2）1620m.【解析】【分析】（1）根据导数的正负判断原函数的单调性，进而判断原函数的极值点，再利用代入法求解即可；（2）根据函数零点的定义，通过数形结合思想进行求解即可.【小问1详解】由导函数的图象可知：当2x时，()0fx¢>，

函数()fx单调递增；当24x时，()0fx，函数()fx单调递减；当>4x时，()0fx¢>，函数()fx单调递增，所以2x=是函数()fx的极大值点，4x=是函数()fx的极小值点，于是有()()()240

,220fff===，由()()32232fxaxbxcxfxaxbxc=++=++，所以有12401488098422024abcaabcbabcc++==++==−++==；【小问2详解】由（1）函数的极小值为(

)416f=，极大值为()220f=，而知函数的图象如下图所示因为函数()yfxm=−有三个零点，所以函数()yfx=的图象与直线ym=有三个不同的交点，所以1620m.18.随着2022年北京冬季奥运会的如火如荼地进行.2022年北京冬季奥运会吉祥物“冰墩墩”受到人们的青睐，现

某特许商品专卖店每天均进货一次，卖一个吉祥物“冰墩墩”可获利50元，若供大于求，则每天剩余的吉祥物“冰墩墩”需交保管费10元/个；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时调剂的每一个吉祥物“冰墩墩”该店仅获利20元．该店调查上届冬季奥运会吉祥物每天(共计20天)的需求量(单位：

个)，统计数据得到下表：每天需求量162163164165166频数24653以上述20天吉祥物的需求量的频率作为各需求量发生的概率．记X表示每天吉祥物“冰墩墩”的需求量．（1）求X的分布列；（2）若该店某一天购进164个吉祥物“冰墩墩”，则当天的平均利润为多

少元．【答案】（1）X162163164165166P1101531014320（2）8187（元）【解析】【分析】（1）X可取162，163，164，165，166，求出对应概率，然后再写出分布列即可；（2）设Y表示每天的利润，求出所有Y的取值，再根据期望公式即可得解.【小问

1详解】解：X可取162，163，164，165，166，()211622010PX===，()41163205PX===，()631642010PX===，()51165204PX===，()316620PX==，所以分布列为：X162163164165

166P1101531014320【小问2详解】设Y表示每天的利润，当162X=时，162502108080Y=−=，当163X=时，16350108140Y=−=，当164X=时，164508200Y==，当16

5X=时，16450208220Y=+=，当166X=时，164502208240Y=+=，所以平均利润为1131380808140820082208240818710510420++++=（元）.19.如图，四棱锥PABCD−中，

底面ABCD为平行四边形，PA⊥面ABCD，ABPC⊥，22BCAPAB===．（1）求点A到平面PBC的距离；（2）求二面角CPDA−−的正弦值．【答案】（1）255（2）63【解析】【分析】(1)连接AC，根据线面垂直得

到线线垂直，再利用线面垂直判定得到AB⊥面PAC，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求解即可；(2)根据（1）中的坐标，分别求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式和同角三角函数的基本关系即可求解.【小问1详解】连接AC，PA⊥面ABCD,PAABPAAC⊥⊥ABPA⊥，ABPC⊥，PA面P

AC，PC面PAC，PAPCP=，AB⊥面PAC，ABAC⊥，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴建立坐标系则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0),(2,2,0)APBCD−，(2,2,0)BC=−，(2,

0,2)BP=−，设平面PBC的法向量为()000,,nxyz=，00nBCnBP==即0000220220xyxz−+=−+=，令01z=，则002xy==，(2,2,1)n=，A到面PBC距离||225||55APndn===.【小问2详解】由（1）可知：(0,

2,2)CP=−，(2,0,0)CD=−，(2,2,0)AD=−，(0,0,2)AP=，设平面PCD的法向量为()1111,,nxyz=，1100nCPnCD==即11122020yzx−+=−=，10x=，令11z=，则112

,(0,2,1)yn==，设面PAD的法向量为()2222,,nxyz=，2200nADnAP==即2222220,020xyzz−+===令21x=，则21y=，2(1,1,0)

n=，12121223cos,332nnnnnn===，∴二面角CPDA−−正弦值为63.20.设A，B分别是直线22yx=和22yx=−上的动点，且2AB=uuur，设O为坐标原点，动点G满足OGOAOB=+．（1）求点G运动曲线C的方程；（2）直线:(0)lykxmm=+与曲

线C交于M，N两点，O为坐标原点，当k为何值，22||||OMON+恒为定值，并求此时MON△面积的最大值．【答案】（1）2214xy+=（2）12k=，1【解析】的的【分析】（1）设ABG、、三点坐标，利用平面向量的坐标表示及向量模的坐标表示即可求解曲线C的方程；（2

）设交点坐标()11,Mxy，()22,Nxy，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理得出12xx+，12xx的表达式，求解22||||OMON+的表达式，22||||OMON+为定值即与参数m无关，可求得k的值，然后利用弦长公式及点到直线的距离公式即可求解MON△面积的最大值.【小问1详解】解

：设()Gxy,，2,2AAAxx，2,2BBBxx−，则有ABxxx=+，2222AByxx=−()22ABxx=−，()22||2ABABxx==−222222222ABxxxy++=+，整理可得2

214xy+=.【小问2详解】（2）设()11,Mxy，()22,Nxy，联立2244ykxmxy=++=，消元得()222418440kxkmxm+++−=，当()()222264164110

kmkm=−+−，即22410km−+时，则122841kmxxk−+=+，21224441mxxk−=+，则22||||OMON+=222212121144xxxx+−++−()2212324xx=++()2222222462462

41kmmkk−++=++()()()22222641641241mkkk−++=++，当22||||OMON+为定值时，即与2m无关，故2410k−=，得12k=，此时()221212||14MNkxxxx=++−2222414114kmkk+−=++252m=−，

又点O到直线l的距离2||2||51mmdk==+，所以21|||22MONSdMNmm==−∣△22212mm+−=，当且仅当2||2mm=−，即1m=时，等号成立，经检验，此时0成立，所以MON△面积最大值为

1．21.已知函数1()ln1fxxx=+−.（1）求函数单调区间；（2）求证：()*ln(1)!241nnnn+−+N.【答案】(1)单调递增区间是()1,+，单调递减区间是()0,1.(2)证明见解析【

解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；（2）先证明111ln(1)!22231nnn+−++++，再利用数学归纳法证明11121231nn+++++，即得证.【详解】（1）∵函数1()ln1fxxx=+−，∴函数211()fxxx=−，（0)

x.由211()0fxxx=−，解得1x，由211()0fxxx=−，得01x.∴函数的单调递增区间是()1,+，单调递减区间是()0,1.（2）证明：由（1）知，()yfx=的最小值为()10f=，∴()0fx（0x且1x），即1ln1xx

−，∴1ln212−，1ln313−，…，1ln111nn+−+，累加得：111ln2ln3ln1111231nn++++−+−++−+，即1111ln[234(1)]2231nnn+−++++，的的∴111ln(

1)!22231nnn+−++++，下面利用数学归纳法证明11121231nn+++++.当1n=时，左边22=，右边22=，不等式成立；假设当nk=时不等式成立，即11121231kk+++++，那么，当1nk=+时，111112123122kkkk++++++

+++.要证121222kkk++++，只需证2232124kkk++++，也就是证89，此时显然成立.∴121222kkk++++，即11122232kk+++++，综上，11121231nn+++++.∴()*ln(1)!

241nnnn+−+N.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查不等式的证明和数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.（选修4-4极坐标与参数方程）2

2.在平面直角坐标系xOy中，直线l的普通方程为3yx=，曲线C的参数方程为23cos3sinxy=+=（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求直线l的参数方程和极坐标方程；(Ⅱ)设直线l与曲线C相交

于,AB两点，求11||||OAOB+的值.【答案】(Ⅰ)直线l的参数方程为1232xtyt==(t为参数)极坐标方程为π3=(R)(Ⅱ)265【解析】【分析】(Ⅰ)直线l的普通方程为3yx=，可以确定直线过

原点，且倾斜角为3，这样可以直接写出参数方程和极坐标方程；(Ⅱ)利用22sincos1+=，把曲线C的参数方程化为普通方程，然后把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，化简11||||OAOB+，利用根与系数的关系和参数的意义，可

以求出11||||OAOB+的值.【详解】解:(Ⅰ)直线l的参数方程为1232xtyt==(t为参数)极坐标方程为π3=(R)(Ⅱ)曲线C的普通方程为22(2)9xy−+=将直线l的参数方程代入曲线22:(2)9Cx

y−+=中，得2250tt−−=，设点,AB对应的参数分别是12,tt，则122tt+=，125tt=−2121212121224(5)111126||||55ttttOAOBtttttt+−−−+=+====【点睛】本题考查了直线的参数方程化为普通方程和极坐标方程问题，

同时也考查了直线与圆的位置关系，以及直线参数方程的几何意义.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|1||1|fxxx=++−，2()gxxx=−．（1）求不等式()()fxgx的解集；（2）若()()fxgxa+恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）()(),13

,−−+；（2）7,4−【解析】【分析】（1）由题意零点分段求解不等式可得不等式的解集为()(),13,−−+．（2）令()()()hxfxgx=+，由绝对值三角不等式和二次函数的性质

可知当12x=时，()hx取到最小值为1724h=，则a的取值范围是7,4−．【详解】（1）由题意可知，211xxxx++−−，①当1x时，原式可化为230xx−，即0x或

3x，∴3x；②当11x−时，原式可化为220xx−−，即1x−或2x，∴x无解；③当1x−时，原式可化为20xx+，即1x−或0x，∴1x−；综上所述，()(),13,x−−+．（2）由题意可

知，()()()11112fxxxxx=++−+−−=，当11x−时，等号成立，又()214gxxx=−−，当且仅当12x=时，等号成立，令()()()hxfxgx=+，当12x=时，()hx取到最小值为1724h=

，由题意可知74a，故7,4a−．【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.

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