【文档说明】重庆市江津中学2022-2023学年高二上学期10月阶段性考试数学试题 含解析.docx，共(29)页，2.402 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-5a37fd8b1f9b2fc8f7fee51ffc6360c9.html

以下为本文档部分文字说明：

江津中学2022—2023学年度上期阶段一考试高2024级数学试卷命题人：刘顺利王娟第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.在空间直角坐标系Oxyz中，点()4,2,15M−−关于y轴的对称点

M的坐标为（）A.()4,2,15−B.()4,2,15−−C.()4,2,15−−−D.()4,2,15−−2.已知方程221221xykk+=−−表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是A.1,22B.(1,)+C.(1,2)D.1,12

3.在三棱锥OABC−中，,,,2OAaOBbOCcAMMO====，N为BC中点，则MN=（）A.121232abc−+B.111322abc−++C.111222abc+−D.121332abc+−4.

王老师在课堂上与学生探究直线l时，有四位同学分别给出了一个结论.甲：直线l经过点()1,2.乙：直线经过点()3,9.丙：直线l经过点()0,1−.丁：直线l的斜率为整数.如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是

（）A.甲B.乙C.丙D.丁5.点()3,1在圆22220xyxya+−++=的外部，则a的取值范围为（）A.6a−B.2aC.6a−D.62a−6.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学

问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为()2,0B−，若将军从山脚下的点1,03A处出发，河岸线所在直线

方程为23xy+=，则“将军饮马”的最短总路程为（）A.1453B.5C.1353D.1637.已知直线()3300mxymm++−=与圆2212xy+=交于A，B两点，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D两点，若6CD=，则m为（）A.3−B.33−C.33D.38

.设F是椭圆22143xy+=上的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线34120xy−−=上的动点，则PAPF−的最小值为（）A.95B.5C.1−D.4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列利用方向向量

、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A.两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1ab=−=−−，则12ll//B.直线l的方向向量()1,1,2a=−，平面的法向量是()6,4,1u=−，则l⊥C.两个不同的平面,的法向量分别是()(

)2,2,1,3,4,2uv=−=−，则⊥D.直线l的方向向量()0,3,0a=，平面的法向量是()0,5,0u=−，则//l10.已知直线:20lxy+−=与圆22:(1)(1)4Cxy−++=，则（）A.直线l与圆C相离B.直线l与圆C相交C.圆C上到直线l的距离为1的点共有2个

D.圆C上到直线l的距离为1的点共有3个11.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左､右焦点分别为12,FF，长轴长为4，点(2,1)P在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则（）A.椭圆C的离心率的取值范围是20,2B.当椭圆C的

离心率为32时，1QF的取值范围是[23,23]−+C.存在点Q使得120QFQF=D.1211QFQF+的最小值为112.在正方体1111ABCDABCD−中，1AB=，点P满足1CPCDCC=

+，其中0,1,0,1，则下列结论正确的是（）A.当1//BP平面1ABD时，1BP可能垂直1CDB.若1BP与平面11CCDD所成角为4，则点P的轨迹长度为2C.当=时，1||DPAP+的最小值为252+D.当1=时，

正方体经过点1A､P､C的截面面积的取值范围为[62，2]第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知椭圆的两焦点为()13,0F−，()23,0F，离心率32e=.则此椭圆的方程为______.14.从圆222210xyxy+−−+=外一点(

)2,3P向圆引切线，则此切线的长为______．15.如图，两条异面直线a，b所成角为60，在直线上a，b分别取点A，E和点A，F，使AAa⊥且AAb⊥.已知2AE=，3AF=，5EF=.则线段AA=______.16.参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上

时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球

，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P（当成质点），灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，影子椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e=______.四、解答题

（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知椭圆C：2222xyab+=1（a＞b＞0）的离心率为22，短轴一个端点到右焦点的距离为32．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y＝x

﹣1与椭圆C交于不同的两点A、B，求|AB|．18.已知圆22:6680Cxyxy++−+=，直线20xy−+=是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线40xy−=.（1）求公共弦AB的长度；（2）求圆E的方程.19.如图，在正四棱柱1111AB

CDABCD−中，已知2AB=，15AA=，E、F分别为1DD、1BB上的点，且11DEBF==．（1）求证：BE⊥平面ACF；（2）求点E到平面ACF的距离．20.在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点()3,4A，AB边上中线CD所在直线方程为23

110xy+−=，AC边上的高BH所在直线方程为370xy−+=，求：（1）顶点C的坐标；（2）求ABC的面积.21.如图，四棱锥PABCD−中，PAB为等边三角形，ABDC，90BCD=，2ABBCCD==.（1）证明：DCPD⊥；（2）若平面PAB⊥平面ABCD，且2PMMC=，求平

面AMD与平面PAB夹角的余弦值.22.已知椭圆2222:1xyab+=（0ab），点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知2b=.（1）若5a=，判断椭圆是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆是“圆

椭圆”，求a的取值范围；（3）若椭圆是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论.江津中学2022—2023学年度上期阶段一

考试高2024级数学试卷命题人：刘顺利王娟第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.在空间直角坐标系Oxyz中，点()4,2,15M−−关于y轴的对称点M的坐标为（）A.()4,2,15−B.()4,2,15−−C.()4

,2,15−−−D.()4,2,15−−【答案】B【解析】【分析】根据空间中点关于坐标轴对称的知识求得正确答案.【详解】空间中，点关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标和竖坐标相反.所以点()4,2,15M−−关于y轴的对称点M的坐标为()

4,2,15−−.故选：B2.已知方程221221xykk+=−−表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是A.1,22B.(1,)+C.(1,2)D.1,12【答案】C【解

析】【详解】解：因为方程221221xykk+=−−表示焦点在y轴上的椭圆，因此2k-1>0,2-k>0,同时2k-1>2-k,这样解得为选项C3.在三棱锥OABC−中，,,,2OAaOBbOCcAMMO====，N为BC中点，则MN=（）A.121232abc−+B.111322

abc−++C.111222abc+−D.121332abc+−【答案】B【解析】【分析】连接ON，得()12ONOBOC=+，13OMOA=，所以()12MNMOONOMOBOC=+=−++可得答案.【详解】连接ON

，所以()()1122ONOBOCbc=+=+，因为2AMMO=，所以1133OMOAa==，所以()11112322MNMOONOMOBOCabc=+=−++=−++.故选：B.4.王老师在课堂上与学

生探究直线l时，有四位同学分别给出了一个结论.甲：直线l经过点()1,2.乙：直线经过点()3,9.丙：直线l经过点()0,1−.丁：直线l的斜率为整数.如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】B【解析】【分析】设(1,2)A，(3,

9)B，(0,1)C−，求出三条直线的斜率即得解.【详解】设(1,2)A，(3,9)B，(0,1)C−，则72ABk=，103BCk=，3ACk=，易知(1,2)A，(3,9)B，(0,1)C−三点不共线，所以甲乙丙不可能都正确，至少有一个是错误的，由于只有一位同学的结论是错误的，所以丁同学的

结论是正确的；而72ABk=，103BCk=，3ACk=，丁同学的结论是正确的，所以只有可能是,AC在这条直线上，B不在这条直线上.故乙同学的结论是错误的.故选：B5.点()3,1在圆22220xyxya+−++=的外部，则a的取值范围为（）A.6a−

B.2aC.6a−D.62a−【答案】D【解析】【分析】根据点和圆的位置关系列不等式，由此求得a的取值范围.【详解】由于方程22220xyxya+−++=表示圆，所以()22224840,2aaa−+−=−，由于点()3,1在圆22220xyxya+−++=的外部，所以22

3123210,6aa+−++−.综上所述，a的取值范围是62a−.故选：D6.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出

发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为()2,0B−，若将军从山脚下的点1,03A处出发，河岸线所在直线方程为23xy+=，则“将军饮马”的最短总路程为（）A.1453B.5C.1353D.

163【答案】A【解析】【分析】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程.【详解】如图所示，设点()2,0B−关于直线23xy+=的对称点为()11,Cxy，在直线23xy+=上取点P，连接PC，则PB

PC=．由题意可得1111112222322yxxy−=−+−+=，解得1104xy==，即点()0,4C，所以()22114504033PAPBPAPCAC+=+=−+−=，当且仅当A，P，C三

点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为1453．故选：A．7.已知直线()3300mxymm++−=与圆2212xy+=交于A，B两点，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D两点，若6CD=，则m为（）A.3−B.33

−C.33D.3【答案】C【解析】【分析】求得,AB两点的坐标，利用6CD=求得m的值.【详解】直线()3300mxymm++−=，即()()3300mxym++−=，不妨设直线过定点()3,3A−，直线()3300mxymm++−

=的斜率为m−.()3,3A−满足圆的方程2212xy+=，所以A在圆上，33OAk=−，所以过A的圆的切线的斜率为3，故3,3mm−−（同时依题意0m），由2233012mxymxy++−=+=消去y并化简得()()22221623

96390mxmmxmm++−+−−=，222222623623623,3111ABBAmmmmmmxxxxmmm−−−+=−=−−=−++++，所以22623331ABmmCDxxm−=−=−−−+

+223661mm+==+，2333mm+=+，两边平方并化简得335230mm+−=，2223363230mmmmm++−−−=，()()22333633603mmmmm++−++=()2333603mmm−++=①，对于2336m

m++，3436330=−=−，所以方程①的解为33m=.故选：C【点睛】本题研究直线和圆的位置关系，联立直线的方程和圆的方程后，列出根与系数关系，利用方程的思想建立m与CD的关系式，对3次方程因式分

解，考虑分组分解法，也可以用代入选项法确定m的值.8.设F是椭圆22143xy+=上的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线34120xy−−=上的动点，则PAPF−的最小值为（）A.95B.5C.1−D.4【答案】C【解析】【分析】设椭圆左焦点为1F，则12PFPFa+=.()

1122PAPFPAaPFPAPFa−=−−=+−，后利用点到直线垂线段最短得答案.【详解】由题可知，2a=，()1,0F.设椭圆左焦点为1F，则()11,0F−.由椭圆定义有14PFPF+=，则()1144PAPFPAPFPAPF−=−−=+−又将椭圆方程与直线方程联立有2214334120

xyxy+=−−=2724320xx−+=，其0，故直线与椭圆相离.如图，要使14PAPF+−最小，只需保证1FP与直线34120xy−−=垂直即可.此时1FPA，，三点共线，则()1122312334PAPFFA−−+=+−，故PAPF−14PAPF=+−341−=−.由上可

知A，B，D错误，C正确.故选：C.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A.两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1a

b=−=−−，则12ll//B.直线l的方向向量()1,1,2a=−，平面的法向量是()6,4,1u=−，则l⊥C.两个不同的平面,的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2uv=−=−，则⊥D.直线l的方向向量()0,3,0a=，平面的法向量是()0,5

,0u=−，则//l【答案】AC【解析】【分析】根据条件结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可．【详解】对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是(2,3,1),(2,3,1)ab=−=−−，且ba=−，所以12ll//，选项A正确∶对于B，直线l的方向向量(1,1,2

)a=−，平面的法向量是(6,4,1)u=−且16142(1)0au=−+−=，所以//l或l，选项B错误；对于C，两个不同的平面,的法向量分别是(2,2,1),(3,4,2)uv=−=−，且2(3)24120uv=−+−=，所以⊥，选项C正

确；对于D，直线l的方向向量(0,3,0)a=，平面a的法向量是(0,5,0)u=−且53ua=−，所以l⊥，选项D错误．故选∶AC10.已知直线:20lxy+−=与圆22:(1)(1)4Cxy−+

+=，则（）A.直线l与圆C相离B.直线l与圆C相交C.圆C上到直线l的距离为1的点共有2个D.圆C上到直线l的距离为1的点共有3个【答案】BD【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系可判断.【详解】由圆22:(1

)(1)4Cxy−++=，可知其圆心坐标为(1,1)−，半径为2，圆心(1,1)−到直线:20lxy+−=的距离22|112|111d−−==+，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误.故选：BD11.已知椭圆2222

:1(0)xyCabab+=的左､右焦点分别为12,FF，长轴长为4，点(2,1)P在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则（）A.椭圆C的离心率的取值范围是20,2B.当椭圆C的离心率为32时，1QF的取值范围是[23,23]−+C.存

在点Q使得120QFQF=D.1211QFQF+的最小值为1【答案】BCD【解析】【分析】根据点()2,1P在椭圆C外，即可求出b的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A，根据离心率求出c，则1

,QFacac−+，即可判断B，设上顶点A，得到120AFAF，即可判断C，利用基本不等式判断D.【详解】解：由题意得2a=，又点()2,1P在椭圆C外，则22114b+，解得2b，所以椭圆C的离心率24222cbea−==，即椭圆C的离心率的取值范围是2,12

，故A不正确；当32e=时，3c=，221bac=−=，所以1QF的取值范围是,acac−+，即23,23−+，故B正确；设椭圆的上顶点为()0,Ab，()1,0Fc−，()2,0Fc，由于222212·20AFAFbcba=−=−，所以存在点Q使得120QFQF=，故

C正确；()21121212112224QFQFQFQFQFQFQFQF++=+++=，当且仅当122QFQF==时，等号成立，又124QFQF+=，所以12111QFQF+，故D正确．故选

：BCD12.在正方体1111ABCDABCD−中，1AB=，点P满足1CPCDCC=+，其中0,1,0,1，则下列结论正确的是（）A.当1//BP平面1ABD时，1BP可能垂直1CDB.若1BP与平面11CCDD所成角为4，则点P的轨迹长度为2C.当=时

，1||DPAP+的最小值为252+D.当1=时，正方体经过点1A､P､C的截面面积的取值范围为[62，2]【答案】ABD【解析】【分析】依题意画出图形，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算A、D，连接1CP，则11BPC即为1BP与平面11CCDD所成角

，根据锐角三角函数得到P的轨迹，即可判断B，将平面1CDD与平面11ABCD沿1CD展成平面图形，化曲为直，利用余弦定理计算即可判断C；【详解】解：对于A选项：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，则()0,0,0A，()1,0,0B，()0,1,0D，()1,1,0C，()10,0,1A，()

11,1,1C，()10,1,1D，所以()11,0,1CD=−，11BPBCCP=+11BCCDCC=++(),1,1=−−，则()11,0,1BA=−，()1,1,0BD=−，设平面1ABD的一个法向量为(),,nxyz

=，所以100BAnxzBDnxy=−+==−+=，令1x=，则1yz==，即平面1ABD的一个法向量为()1,1,1n=，若1//BP平面1ABD，则10nBP=，即=，则当12λμ==时，1110BPCD=+−=，即P为1CD中

点时，有1//BP平面1ABD，且11BPCD⊥，故A正确；B选项：因为11BC⊥平面11CCDD，连接1CP，则11BPC即为1BP与平面11CCDD所成角，若1BP与平面11CCDD所成角为4，则11111ta

n1CPBPCBC==，所以1111CPBC==，即点P的轨迹是以1C为圆心，以1为半径的14个圆，于是点P的轨迹长度为2，故B正确；C选项：如图，将平面1CDD与平面11ABCD沿1CD展成平面图形，线段1AD即为1

DPAP+的最小值，利用余弦定理可知222111111132cos4ADADDDADDD=+−所以122AD=+，故C错误；D选项：正方体经过点1A､P､C的截面为平行四边形1APCH，以A为坐标原点，建立如图所示

的空间直角坐标系Axyz−，则()0,0,0A，()1,1,0C，()10,0,1A，()0,1,Pt，所以()1,0,PCt=−，()11,1,1AC=−，11PCACt=+，21PCt=+，13

AC=，所以点P到直线1AC的距离为2222111||13PCACtdPCtAC+=−=+−22223tt−+=，于是当12t=时，1PAC△的面积取最小值，此时截面面积为62；当0=t或1时，1PAC△的面

积取最大值，此时截面面积为2，故D正确.故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知椭圆的两焦点为()13,0F−，()23,0F，离心率32e=.则此椭圆的方程为______.【

答案】2214xy+=【解析】【分析】根据已知条件求得,ab，由此求得椭圆的方程.【详解】依题意可知，3c=，且椭圆焦点在x轴上，所以222332ccaabc===+，解得2,1ab==，所以椭圆

方程为2214xy+=.故答案为：2214xy+=14.从圆222210xyxy+−−+=外一点()2,3P向圆引切线，则此切线的长为______．【答案】2【解析】【分析】作图，利用圆心到定点的距离、半径、切线长满足勾股定理可得.【详解】将圆化为标准方程：22(1)(1)1xy−+−=

，则圆心()1,1C，半径1，如图，设()2,3P，5PC=，切线长512PA=−=．故答案为：215.如图，两条异面直线a，b所成角为60，在直线上a，b分别取点A，E和点A，F，使AAa⊥且AAb⊥.已知2AE=，3AF=，5EF=.则线段A

A=______.【答案】32或6【解析】【分析】根据空间向量的加法，利用向量数量积的性质计算模长，建立方程，可得答案.【详解】因为EFEAAAAF=++，所以()22EFEAAAAF=++222222EAAAAFEAAAEAAFAAAF

=+++++，由于AAa⊥，AAb⊥，则20EAAA=，20AAAF=，又因为两条异面直线a，b所成角为60，所以,60EAAF=或120，故2222523223cos,AAEAAF=+++，可得32AA

=或6.故答案为：32或616.参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他

还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P（当成质点），灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，影子椭圆的右顶点到A点的

距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e=______.【答案】79【解析】【分析】建立平面直角坐标系，解得图中N、Q的横坐标，列方程组即可求得椭圆的a、c，进而求得椭圆的离心率.【详解】以A为原点建立平面直角坐标

系，则(0,4)P，(3,0)R−，直线PR的方程为443yx=+设(,1)Mn,(,0)Qn由M到直线PR的距离为1，得244131413n+−=+，解之得72n=−或1n=−（舍）则7(,1)2M−，7(,0)2Q−又设直线PN

的方程为4ykx=+由M到直线PN的距离为1，得2741211kk−+−=+，整理得24521804kk−+=则123245kk=，又43PRk=，故815PNk=则直线PN的方程为8415yx=+，15(,0)2N−故715

422NQac=−+==+，71322RQac=−+==−由412acac+=−=，解得9474ac==，故椭圆的离心率774994cea===故答案为：79【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法

，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知椭

圆C：2222xyab+=1（a＞b＞0）的离心率为22，短轴一个端点到右焦点的距离为32．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y＝x﹣1与椭圆C交于不同的两点A、B，求|AB|．【答案】(1)221189xy+=；(2)42

63．【解析】【分析】（1）由题意得离心率及短轴一个端点到右焦点的距离即为a的值，和a，b，c之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆联立得两根之和与两根之积，由弦长公式求出弦长．【详解】（1）由题意：e22ca==，a＝32，a2＝b2+c

2，∴a2＝18，b2＝9，所以椭圆的标准方程：221189xy+=；（2）设A（x，y），B（x'，y'），与椭圆的方程联立整理：3x2﹣4x﹣16＝0，∴x+x'43=，xx'163=−，所以弦长|AB|211=+•|x﹣x'|2=•2(')4'2xxxx+−=•2416426()4333−

−=，所以弦长|AB|的值：4263．【点睛】考查直线与椭圆相交弦长的公式的应用，属于中档题．18.已知圆22:6680Cxyxy++−+=，直线20xy−+=是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线40xy−=.（1）求公共弦AB的长度；（2）求圆E的方程

.【答案】（1）22（2）224xy+=【解析】【分析】（1）利用配方法，整理圆C的标准方程，明确圆心与半径，根据弦长公式，利用点到直线距离求弦心距，可得答案；（2）利用两圆相交弦的性质，利用直线垂直求直线CE的方程，根据弦长公式，求得半径，可

得答案.【小问1详解】依题意，圆()()22:3310Cxy++−=的圆心()3,3C−，半径110r=，则点C到直线20xy−+=的距离()223322211d−−+==+−，即有221222ABrd=−=，

所以公共弦AB的长度是22.【小问2详解】依题意，直线CE垂直平分公共弦AB，由直线:20ABxy−+=，可设直线:0CExyc++=，将圆心()3,3C−代入上式，于是得直线CE的方程为：0xy+=，联立可得：040xyxy+=−=，解得00xy=

=，即点()0,0E，点E到直线AB的距离为()222211d==+−，因此圆E的半径222122rdAB=+=，所以圆E的方程是224xy+=.19.如图，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，已知

2AB=，15AA=，E、F分别为1DD、1BB上的点，且11DEBF==．（1）求证：BE⊥平面ACF；（2）求点E到平面ACF的距离．【答案】（1）证明见解析（2）53【解析】【分析】（1）以D为原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，写出要用的

点的坐标，要证明线与面垂直，只要证明这条直线与平面上的两条直线垂直．（2）BE为平面ACF的一个法向量，向量AE在BE上的射影长即为E到平面ACF的距离，根据点到面的距离公式得到结果．【小问1详解】解：如图，以D为原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则(0

D，0，0)，(2A，0，0)，(2B，2，0)，(0C，2，0)，1(0D，0，5)，(0E，0，1)，(2F，2，4)，(2AC=−，2，0)，(0AF=，2，4)，(2BE=−，2−，1)，(2AE=−，0，1)．()()2222010B

EAC=−−+−+=，()2022410BEAF=−+−+=，BEAC⊥，BEAF⊥，且ACAFA=，,ACAF平面ACF，BE⊥平面ACF【小问2详解】解：由（1）知，BE为平面ACF的一个法向量，()()2222213BE=−+−+=，()()2202115B

EAE=−−+−+=，向量AE在BE上的射影长即为E到平面ACF的距离设为d，于是53||AEBEdBE==，故点E到平面ACF的距离53；20.在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点()3,4A，AB边上中线CD所在直线方程为23110xy+−=，AC边上的高B

H所在直线方程为370xy−+=，求：（1）顶点C的坐标；（2）求ABC的面积.【答案】（1）()4,1（2）7【解析】【分析】（1）根据ACBH⊥设出直线AC的方程，利用A的坐标求得直线AC的方程，通过联立,ACCD的方程求得C点的坐标.（2

）求得B点坐标，然后求得B到直线AC的距离，利用两点间的距离公式求得AC，进而求得ABC的面积.【小问1详解】∵ACBH⊥，BH的方程为370xy−+=，不妨设直线AC的方程为30xym++=，将()3,4A代入得940m++=，解得13m=−，∴直线

AC的方程为3130xy+−=，联立直线AC，CD的方程，即313023110xyxy+−=+−=，解得点C的坐标为()4,1；【小问2详解】设()00,Bxy，则0034,22xyD++，∵点B在BH上，

点D在CD上，所以000037031231102xyyx−+=+++−=，解得()1,2B−，直线AC的方程为3130xy+−=，则()1,2B−到直线AC的距离为223213141031−+−=+，又(3,4)A，(4,1)C，则(

)()22344110AC=−+−=，114107.210ABCS==21.如图，四棱锥PABCD−中，PAB为等边三角形，ABDC，90BCD=，2ABBCCD==.（1）证明：DCPD⊥；

（2）若平面PAB⊥平面ABCD，且2PMMC=，求平面AMD与平面PAB夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1717【解析】【分析】（1）取AB的中点O，通过证明DC⊥平面POD来证得DCP

D⊥.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面AMD与平面PAB夹角的余弦值.【小问1详解】取AB的中点O，连接OP，OD，PAB△为等边三角形，POAB⊥.又//ABDC，PODC⊥，2ABCD=.OB平行且等于DC.四边形OBCD

为平行四边形.//ODBC.90DCB=，DCBC⊥，DCOD⊥.POODO=，OD、PO平面POD，DC⊥平面POD，PD平面POD.DCPD⊥.【小问2详解】平面PAB⊥平面ABCD，BCAB⊥，平面PAB平面ABCDAB=，AB平面PAB，B

C⊥平面PAB，//ODBC，OD⊥平面PAB.分别以OP，OD，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz−，设6AB=.则()0,0,3A，()0,0,3B−，()0,6,3C−，()0,6,0D，()33,0,0P.则有()33,0,3AP=−，(

)33,6,3PC=−−.由2PMMC=，得()23,4,2PM=−−，()3,4,5AMAPPM=+=−，又()0,6,3AD=−，设平面AMD的法向量为(),,nxyz=，则00AMnADn

==，即3450630xyzyz+−=−=令1y=，得平面AMD的一个法向量为()23,1,2n=.而平面PAB的一个法向量为()0,1,0m=.则||117cos17||||171nmnm

nm===，所以平面AMD与平面PAB夹角的余弦值为1717.22.已知椭圆2222:1xyab+=（0ab），点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆

为“圆椭圆”，已知2b=.（1）若5a=，判断椭圆是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆是“圆椭圆”，求a的取值范围；（3）若椭圆是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A点，直线AP、AQ分别与x轴交

于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论.【答案】（1）是；（2）(2,22]；（3）是，证明见解析.【解析】【分析】（1）直接判断即可，（2）由（1）的方法判断，可得y＝﹣2时，函数值达到最大，

分别讨论二次项系数的正负，是否满足条件得出a的取值范围；（3）设参数方程满足以MN为直径的圆过原点，使数量积为零得出定点（0，22）．【详解】（1）由题意得椭圆方程：2254xy+=1，所以A（0，2），设P（x，y）则|PA|2＝x2++（y﹣2）2＝5•（12

4y−）+（y﹣2）214=−y2﹣4y+9，y∈[﹣2，2]，二次函数开口向下，对称轴y＝﹣8，y∈[﹣2，2]上函数单调递减，所以y＝﹣2时，函数值最大，此时P为椭圆的短轴的另一个端点，∴椭圆是“圆椭圆”；（2）由（1）的方法

：椭圆方程：2224xya+=1，A（0，2）设P（x，y），则|PA|2＝x2+（y﹣2）2＝a2•（124y−）+（y﹣2）2＝（24a−+1）y2﹣4y+4+a2，y∈[﹣2，2]，由题意得，当且仅当y＝﹣2时，函数值达到最

大，讨论：①当开口向上时，满足：2210440214aa−+−−−+＞＞⇒2222aa−−＜＜＜＜⇒﹣2＜a＜2（与ab矛盾，舍）；②当开口向下时，满足2210442214aa−+−−−

−+＜⇒2＜a≤22，综上a的范围：（2，22]．（3）a＝22，椭圆方程：2284xy+=1，由题意：设P（22cosθ，sinθ），θ∈[0，2π]，且2，则Q（﹣22cosθ，﹣sinθ），则直线AP：

y2222sincos−=−x+2⇒M（221cossin−，0）则直线AQ：y2222sincos+=+2⇒N（221cossin−+，0），MN为直径的圆过定点C，由对称性知C在y轴上，∴设C（0，n）则，且CNCM=0，∴221cosCNnsin−=−+（，）

,CM=（221cossin−−，n），∴280n−=,所以得定点（0，22）．【点睛】考查新定义圆椭圆的定义，以及圆过定点问题，涉及到二次函数最值问题的考查，考查了分类讨论及转化的数学思想，属于中档题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiang

xue100.com