【文档说明】山东省泰安市宁阳县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题word版含解析.docx，共(19)页，1.683 MB，由小赞的店铺上传

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高二上学期阶段性考试（一）数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第一部分（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点(1,

1,2)A−关于z轴的对称点为B，则AB等于（）A.22B.26C.2D.32【答案】A【解析】【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解.【详解】点(1,1,2)A−关于z轴的对称点为B()1,1,2−，所以44022AB=++=.故选：A.2.以下各组向量中的三个向

量，不能构成空间基底的是（）A.()1,0,0a=，()0,2,0b=，1(,2,0)2c=−B.()1,0,0a=，()0,1,0b=，()0,0,2c=C.()1,0,1=a，()0,1,1b=，()2,1,2c=D.()1,1,1a

=，()0,1,0b=，()1,0,2c=【答案】A【解析】【分析】结合空间三个向量a，b，c能构成空间的基底，则向量a，b，c不共面，逐一检验即可.【详解】若空间三个向量a，b，c能构成空间的基底，则向量a，b，c不共面，反之亦然，对于A，由()1,0,0a=，()0,2,0b

=，1(,2,0)2c=−，得1222cab=−，即向量a，b，c共面，不能构成空间基底；对于B，令cxayb=+，则(0,0,2)(,,0)xy=，不成立，即,,abc不共面，可构成基底；对于C，令cxayb=+，则(2,1,2

)(,,)xyxy=+，即212xyxy==+=无解，即,,abc不共面，可构成基底；对于D，令cxayb=+，则(1,0,2)(,,)xxyx=+，即112xxyx=+==无解，即,,abc不共面，可构成基底.故选：A3.在空间四边形ABCD中，E，F分

别为BC，CD的中点，则1()2AFABAC−+=（）A.EF−B.BDC.EFD.BD−【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量运算计算即得.【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则AB+AC=2AE，所以1()

2AFABACAFAEEF−+=−=.故选：C4.已知点(),3,5Aa−，()0,,2Bb，()2,7,1C−，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（）A.2−，3B.1−，2C.1，3D.2−，2【答案】

D【解析】【分析】由A，B，C三点共线，得AB与BC共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可.【详解】因为(),3,5Aa−，()0,,2Bb，()2,7,1C−，所以(,3,3)ABab=−+−，(2,7,3)BCb=−−，因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使ABk

BC=，所以(,3,3)(2,7,3)abkb−+−=−−，所以23(7)33akbkbk−=+=−−=−，解得1,2,2kab==−=.故选：D5.直线:l2310xy+-=的一个方向向量为（）A.()2,3−B.(

−3,2)C.(2,3)D.()3,2【答案】B【解析】【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可.【详解】由2310xy+-=得，2133yx=−+，所以直线的一个方向向量为2(1,)3−，而2(3,2)3(1,)3−=−−，所以(3,2)−也是直线

的一个方向向量.故选：B.6.在所有棱长均为2的平行六面体1111ABCDABCD−中，1160AABAADBAD===，则1AC的长为（）A.23B.25C.26D.6【答案】C【解析】【分析】先将1AC用1,,AB

ADAA表示，然后再结合数量积的运算律即可得解.【详解】因为111ACABBCCCABADAA=++=++，所以()222211ACABADAAABAD=++=+2111222AAABADABAAADAA++++444222cos60222cos60222cos60=+++

++44444424=+++++=，从而126AC=，即1AC的长为26．故选：C.7.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已

知ABCV的顶点为()0,0A，()5,0B，()2,4C，则该三角形的欧拉线方程为（）A1522yx=−+B.1126yx=+C.210yx=−+D.210yx=−【答案】A【解析】【分析】根据顶点坐标可得

重心与外心的坐标，进而得欧拉线方程.【详解】由重心坐标公式可得：重心052004,33G++++，即74,33G.由()0,0A，()5,0B，可知外心M在AB的垂直平分线上，所以设外心5,2Ma，因为MAMC=，所以()()2222550024

22aa−+−=−+−，解得54a=，即：55,24M，则4513475232GMk−==−−，故欧拉线方程为：417323yx−=−−，即：1522yx=−+，故选：A.8.在棱长为a的正方体1111ABCDABCD−中，M，N分别为1BD，

11BC的中点，点P在正方体表面上运动，且满足MPCN⊥，点P轨迹的长度是（）．A.()25a+B.()33a+C.()35a+D.4a【答案】A.【解析】【分析】建立空间直角坐标系设点(),,Pxyz，利用MPCN⊥以及M，N两点的位置关系可得点P的轨迹为四边形EFGH，求出该矩形周

长即可得结果.【详解】在正方体1111ABCDABCD−中，以D为坐标原点，分别以DA，DC，1DD为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，∴()0,0,0D，,,222aaaM，,,2aN

aa，()0,,0Ca，∴,0,2aCNa=，设(),,Pxyz，则,,222aaaMPxyz=−−−，∵MPCN⊥，∴0222aaaxaz−+−=，可得2430xza+−=；当xa

=时，4az=，当0x=时，34az=，取,0,4aEa，,,4aFaa，30,0,4aH，30,,4aGa，连结EF，FG，GH，HE，则()0,,0EFHGa==，,0,2aEHFGa==−，∴四边形EFGH为矩形，则0EFC

N=，0EHCN=，即EFCN⊥，EHCN⊥，又EF和EH为平面EFGH中的两条相交直线，∴CN⊥平面EFGH，又,,224aaaEM=−，,,224aaaMG=−，∴M为E

G的中点，则M平面EFGH，为使MPCN⊥，必有点P平面EFGH，又点P在正方体表面上运动，所以点P的轨迹为四边形EFGH，又EFGHa==，52EHFGa==，∴EFEH，则点P的轨迹不是正方形，则矩形EFGH的周长为()25a+．故选：

A【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用线面垂直证明MPCN⊥过程中辅助线较为复杂，所以建立空间直角坐标系可简化求解过程，得出点P的轨迹形状即可求得周长.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线l：10mxy++＝，()1,0A，()3,1B，则下列结论正确的是（）A.直线l恒过定点()0,1B.当m＝1时，直线l的倾斜角为3π4C.当m＝0时，直线l的斜率不存在D.当m＝2时，直线l与直线AB垂

直【答案】BD【解析】【分析】对于选项A，将0x=代入，即可求得定点坐标；对于选项B、C、D，分别将m＝1、m＝0、m＝2代入，求斜率、倾斜角和判断两条直线垂直即可．【详解】对于选项A，直线l：10mxy++＝，令010xy=+=，解得直线l恒过定点(0,1)−，选项A

错误；对于选项B，当m＝1时，设直线l的方程为10xy++＝，斜率为1−，倾斜角为3π4，选项B正确；对于选项C，当m＝0时，直线l的方程化为10y+＝，斜率为0，斜率存在，选项C错误；对于选项D，当m＝2时，直线:l210xy++＝，所以2lk=−．由()1,0A，(

)3,1B，可得011132ABk−==−，得1ABlkk=−，所以直线l与直线AB垂直，选项D正确．故选：BD．10.已知向量()()1,2,2,25,,1ammbmm=−=−，则下列结论正确的是

（）A.若a∥b，则3m=B.若ab⊥，则25m=−C.a的最小值为2305D.a的最大值为4【答案】AC【解析】【分析】对于A，利用共线定理列方程求解判断，对于B，由ab⊥，得0ab=求解m，对于CD，表示出a后利用二次函数性质求最值判断.【详解】对于A，若a∥b，且()()1,2,2,

25,,1ammbmm=−=−，则存在唯一实数使得ab=，即()()()1,2,225,,mmmm−=−，则1(25)22mmmm−=−==，解得32m==，故A正确；对于B，若ab⊥，则0ab=，即()()2125220m

mm−−++=，化简得24770mm−+=，因为491670=−，所以无实数解，故B错误；对于CD，222(1)44525ammmm=−++=−+，故当15m=时，a取得最小值为2305，无最大值，故C正确，D错误.故选：AC.11.已知四面体ABCD满足1ABCD==，2BCAD

BDAC====，则（）A.直线AC与BD所成的角为30B.直线AB与CD所成的角为90C.点M为直线AD上的动点，M到BC距离的最小值为22D.二面角CABD−−平面角的余弦值为57【答案】BCD【解析】【分析】将四面体放入长方体中，根据四面体棱长求解长方体的长宽高，即可建立空间直角

坐标系，结合选项利用向量法求解.【详解】将四面体放入长方体中，（如图），设长方体的长宽高分别为,,xyz，的则2222221,2,2ABxzADxyACyz=+==+==+=，所以解得26,22xzy===，建立如图所示空间直角坐标系，

则222626,0,0,0,0,,,,,0,,0222222ABCD,故62620,,,0,,,2222ACBD==−故1cos,2ACBD=

，所以直线AC与BD所成的角为60，A错误，22262,0,,,,,22222ABCD=−=−−由于2226211,0,,,002222222ABCD=−−−=+−=

，故ABCD⊥，直线AB与CD所成的角为90，B正确，对于C，点M为直线AD上的动点，当M位于AD的中点时，此时M到BC距离的最小，且最小值为长方体的高，即为22，C正确，对于D，取AB中点E，连接,ECED,由于1A

BCD==，2BCADBDAC====，所以,CEABDEAB⊥⊥,故CED为所求角，22,0,44E,262262,,,,,424424ECED==−−故1315828cos77744ECED−+−==，，故D正确.故选：BCD的第二部分（非选

择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线()3sin20xy++=的倾斜角的取值范围是_________．【答案】π2π0,,π33U【解析】【分析】借助倾斜角与

斜率的关系及三角函数值域即可得.【详解】tan3sin3,3=−−，故π2π0,,π33.故答案为：π2π0,,π33U.13.在正方体ABCDABCD−中，点E是上底面ABCD的中心，若AExADyABz

AA=++，则实数xyz++=________．【答案】2【解析】【分析】先根据空间向量的线性运算将AE用,,ADABAA表示，再根据空间向量基本定理即可得解.【详解】因为()1122AEAAAEAAACAAABAD=+=+=++1

1112222AAABADADABAA=++=++，又AExADyABzAA=++，所以12x=，12y=，1z=，2xyz++=．故答案：2.14.在如图所示的试验装置中，两个正方形框

架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记为(02)CMBNaa==，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正

弦值为_______.【答案】222##233【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，运用两点间的距离公式可求得MN，借助二次函数，求出MN最小时对应的a的值，然后找出二面角的平面角,借助向量夹角公式计算求解即可.【详解】以B原点建立如图所示

的空间直角坐标系，则(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0)ACFE，因为CMBNa==，所以(,0,1),(,,0)2222aaaaMN−，所以222121()22MNaaa=−+=−

+，当22a=时，MN最小，此时，,MN为中点，则1111(,0,),(,,0)2222MN，取MN的中点G，连接,AGBG，则111(,,)244G，因为AMAN=，BMBN=，所以AGMN⊥，BGMN⊥，所以

AGB是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角，因为111(,,)244GA=−−，111(,,)244GB=−−−，所以111·141616cos,3111111·4161641616GAGBGAGBGAGB−++===−+

+++，所以平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是13，所以平面MNA与平面MNB夹角的正弦值是21221()33−=．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.15.已知平面内两点()6,6A−，()2,2B

．（1）求过点()1,3P且与直线AB垂直的直线l的方程．（2）若ABCV是以C为顶点的等腰直角三角形，求直线AC的方程．【答案】（1）250xy−+=（2）3240xy−−=或3120xy++=【解析】【分析】（1）利用斜率公式求出直线

AB的斜率，再根据直线AB的斜率与直线AB垂直的直线l的斜率乘积为1−和点斜式求解即可；（2）求出线段AB垂直平分线的方程为280xy−−=，故点C在直线上，设点C为()28,aa+，根据等腰直角三角形两直角边垂直，所在直线斜率存在，斜

率之积为1−建立等式求解即可．【小问1详解】由题意得62262ABk−−==−−，则直线l的斜率为12，所以过点()1,3P且与直线AB垂直的直线l的方程为：()1312yx−=−，即250xy−+=．【小问2详

解】AB的中点坐标为()4,2−，由（1）可知线段AB垂线的斜率为12，所以线段AB垂直平分线的方程为()1242yx+=−，即280xy−−=．因为ABCV是以C为顶点的等腰直角三角形，所以点C在直线280xy−−=上，故设点C为()28,aa+，由⊥CBCA可得：6212

86282aaaa+−=−+−+−，解得0a=或4a=−，所以点C坐标为()8,0或()0,4−，则直线AC的方程为3240xy−−=或3120xy++=．16.如图，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，124AAAB==，E，F分别为1BB，1CC的中点.（1）证明：1//AF平面CDE.

（2）求1AE与平面CDE所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）借助正四棱柱的性质可建立空间直角坐标系，求出空间向量1AF与平面CDE的法向量后，借助空间向量计算即可得；（

2）求出空间向量1AE与平面CDE的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得.【小问1详解】在正四棱柱1111ABCDABCD−中，AB，AD，1AA两两垂直，且124AAAB==，以A为坐标原点，AB，AD，1AA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角

坐标系，则()2,2,0C，()0,2,0D，𝐴1(0,0,4).因为E，F分别为11BBCC，的中点，所以()2,0,2E，()2,2,2F，则()2,0,0CD=−，()0,2,2CE=−，()12,2,2AF=−，设平面CDE的法

向量为𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则00CDmCEm==，即20220xyz−=−+=，令1y=，则有0x=，1z=，即()0,1,1m=，因为()12021210AFm=++−=，所以1

AFm⊥，又1AF平面CDE，所以1//AF平面CDE；【小问2详解】由（1）可知，()12,0,2AE=−，11121cos,2222AEmAEmAEm−===−，所以1AE与平面CDE所成角的正弦值为12.17.已知直线:120(R)lkxykk−+−=．

（1）求证：直线l经过一个定点；（2）若直线l交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设AOBV的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）min4S=，240xy+−=.【解析】【分析】（1）利用直线的点斜式方程即可得到直线l经过一个定点

.（2）先求得AOBV的面积S的表达式，再利用均值定理即可求得S的最小值，进而求得此时直线l的方程.【小问1详解】直线:120(R)lkxykk−+−=，化为(2)1ykx=−+，当2x=时，对任意实数k，恒有1y=，所以直

线l过定点(2,1).【小问2详解】依题意，显然0k，直线:120(R)lkxykk−+−=交x轴于点1(2,0)Ak−，交y轴于点(0,12)−Bk，而点,AB分别在,xy轴的正半轴上，即120,120kk−−，于是0k，则AOBV的面积为111111(2)(12)2

[4()]224()4222Skkkkkk=−−=+−++−=−−，当且仅当14()kk−=−，即12k=−时取等号，所以当12k=−时，min4S=，直线l的方程的方程为240xy+−=.18.如图，已知四棱锥PABCD−的底面ABCD是平行四边形，4BC=，60ABC

=，PAB是边长为2的等边三角形，PBAC⊥，E是线段PD的中点.（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）若(01)PFPC=，是否存在，使得平面BEF和平面PAD夹角的余弦值为35？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在

，12=【解析】【分析】（1）先在ABCV中，利用余弦定理求得AC，再由勾股定理可证ACAB⊥，然后结合PBAC⊥，利用线面垂直、面面垂直的判定定理，即可得证；（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量

法求平面与平面的夹角的方法列出关于参数的方程，即可得解．【小问1详解】证明：在ABCV中，由余弦定理知，222c14162241222osACABCCABBABBC=+−=+=−，所以222ACABBC+=，即ACAB⊥，因为PBAC⊥，且ABPBB=，AB、

PB平面PAB，所以AC⊥平面PAB，又AC平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD．【小问2详解】以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，作Az⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A，0，0)，(2B，0，0)

，(0C，23，0)，(2D−，23，0)，(1P，0，3)，1(2E−，3，3)2，所以(1AP=，0，3)，(2AD=−，23，0)，5(2BE=−，3，3)2，(1BP=−，0，3)，(1PC=−，23，3)−，所以(1BFBPPFBPPC

=+=+=−，0，3)(1+−，23，3)(1−=−−，23，33)−，设平面BEF的法向量为(nx=，y，)z，则00nBEnBF==，即533022(1)23(33)0xyzxyz−++=−−++−=，取41z=−，则3(21)x=−，32y=

−，所以(3(21)n=−，32−，41)−，设平面PAD的法向量为(ma=，b，)c，则00mAPmAD==，即302230acab+=−+=，取1c=，则3a=−，1b=−，所以(3m=−，1−，1)，因为平面BEF和平面PAD

夹角的余弦值为35，所以()()()()22232132413cos,553213241mnmnmn−−−++−===−+−+−，整理得，28(26111)0−−=，即8(21)(131)0−+=，解得12

=或113=−，因为01，所以12=，故存在，使得平面BEF和平面PAD夹角的余弦值为35，此时12=．19.如图，在三棱台ABCDEF−中，2ABBCAC===，1ADDFFC===，N为DF的中点，二面角DACB−−的大小为．（1）求证：ACBN⊥；（2）若π2=

，求三棱台ABCDEF−的体积；（3）若A到平面BCFE的距离为62，求cos的值．【答案】（1）证明见解析；（2）78（3）3cos5=−【解析】【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BMN，可证明结论

；（2）由二面角定义并利用棱台的体积公式代入计算可得结果；（3）建立空间坐标系，求出平面BCFE的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出cos的值.【小问1详解】取AC中点为M，连接,NMBM；如下图所示：易知平面//ABC平面DEF，且平面ABC平面DACFAC=，平

面DEF平面DACFDF=；所以//ACDF，又因为1ADFC==，可得四边形DACF为等腰梯形，且,MN分别为,ACDF的中点，所以MNAC⊥，因为2ABBCAC===，所以BMAC⊥，易知BMMNM=，且,BMMN平面BMN，所以AC⊥平面BMN，又BN平面

BMN，所以ACBN⊥；【小问2详解】由二面角定义可得，二面角DACB−−的平面角即为BMN，当π2=时，即π2BMN=，因此可得MN⊥平面ABC，可知MN即为三棱台的高，由1,2ADDFFCAC====可得32MN=；易知三棱台

的上、下底面面积分别为3,34DEFABCSS==，因此三棱台ABCDEF−的体积为133373334428V=++=【小问3详解】的由（1）知，BMAC⊥，MNAC⊥，二面角DACB−−的平面

角即为()0,πBMN=；以M为坐标原点，分别以,MAMB所在直线为,xy轴，过点M作垂直于平面ABC的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系：可得()()()()331,0,0,1,0,0,0,3,0,0,cos,sin,0,0,022ACBNM−，易知11,0,02

2NFMC==−，可得133,cos,sin222F−；则()1331,3,0,,cos,sin222CBCF==设平面BCFE的一个法向量为(),,nxyz=，所以30133cossin0222nCBxynCFxyz=+=

=++=，令1y=，则1cos3,sinxz−=−=，可得1cos3,1,sinn−=−；显然()2,0,0AC=−，由A到平面BCFE的距离为62，可得62ACnn=，即223621cos31sin=−++，可得21cos4si

n−=；整理得25cos2cos30−−=，解得3cos5=−或cos1=；又()0,π，可得3cos5=−.【点睛】方法点睛：求解点到平面距离常用方法：（1）等体积法：

通过转换顶点，利用体积相等可得点到面的距离；（2）向量法：求出平面的法向量，并利用点到平面距离的向量求法公式计算可得结果.