【文档说明】【精准解析】湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题【武汉专题】.docx，共(23)页，1.060 MB，由小赞的店铺上传

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数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，(2,4)OA=，(1,3)OB=，若点E满足3OCEC=，则点E的坐标为（）A.11(,)33−−B.11(,)33C.22(,

33−−）D.22(,)33【答案】C【解析】【分析】首先根据向量减法法则求出C的坐标，设(),Exy，则()333,33ECxy=−−−−，根据3OCEC=得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意可得()()()

1,32,41,1OCOBOA=−=−=−−，所以()1,1C−−，设(),Exy则()()331,133,33ECxyxy=−−−−=−−−−，由3OCEC=所以331331xy−−=−−−=−，解得23

23xy=−=−，所以点E的坐标为22,33−−故选：C【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题.2.已知数列na和nb都是等差数列，若22443,5abab+=+=，则77ab+=（）A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】试题分析：因为数列

na和nb都是等差数列,为等差数列,由22443,5abab+=+=,得．77ab+=．故选B．考点：等差数列．3.设4ab=，若a在b方向上的投影为23，且b在a方向上的投影为3，则a和b的夹角等于（）A.3B.6C.

23D.3或23【答案】A【解析】【分析】设a与b的夹角为，运用向量的数量积的定义和投影的概念，解方程可得1cos2=，进而得到夹角．【详解】解：设a与b的夹角为，由4ab=，可得||||cos4ab=，若a在b方向上的投影为23，则2||cos3

a=，所以||6b=，又b在a方向上的投影为3，则||cos3b=，综上可得1cos2=，由于0剟，则3=．故选：A．【点睛】本题考查向量的数量积的定义和投影的概念，考查特殊角的三角函数值的求法，属于基础题．4.设0ab，0c，则下列不等式中不成立的是（）A.cc

abB.abcc−−C.acbc−D.ccaba−【答案】D【解析】【分析】利用不等式的基本性质可逐个判断．【详解】解：0abQ，0c，所以10c，110baabab−−=，即11ab，所以ccab，故

A正确，0ab−−，ab−−，所以abcc−−，故B正确，||||abb=−，所以acbc−，故C正确；110()babaaab−=−−，所以11aba−，所以ccaba−，故D不正确．故选：D．【点睛】本题考查不等式的基本性质，考查学生运用不等式性质解决问题的能力，

属于基础题．5.已知等差数列na和nb的前n项和分别为nS和nT，且5231nnSnTn+=+，则99ab的值为（）A.1752B.3752C.6752D.8752【答案】D【解析】【分析】由等差数

列的性质11711791791717()217()2aaaSbbbT+==+，即可得出．【详解】解：由等差数列的性质11711791791717()217()2aaaSbbbT+==+，又因为5231nnSnTn+=+，所以911977517287317152aSbT+===+故选：D

．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.ABC中，31ac=−，tan2tanBacCc−=，则角A为（）A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数基本关

系式化简已知等式，整理可得1cos2B=，结合B的范围可求B的值，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得coscos()22ACC−=−，利用余弦函数的性质即可得解3CA−=，进而可求C，A的值．【详解】解：tan2tanBacCc−=，得：21sinBcosCsinAsi

nCcosBsinC=−，可得2sinAsinAsinCcosBsinC=，(),0,ABsin0A整理解得：12cosB=，所以3B=即23AC+=31sinAsinC+=，2223ACACsincossinC+−=，所

以22ACcossinCcosC−==−22ACC−=−或22ACC−=−．AC+=，或3CA−=，当AC+=时，由于23AC+=，矛盾，可得：3CA−=，结合23AC+=，可得：

512C=，4A=故选：C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．7.当4a时，关于x的不等式22(21)x

ax−的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是（）A.2549,916B.11,42C.57,34D.()3,4【答案】A【解析】【分析】由题意可得04a，求出不等式的解集，由111422a+，且解集中一定含有整数1，

2，3，可得1342a−„，由此求得a的范围．【详解】解：因为不等式等价于2(4)410axx−+−+，其中△40a=，且有40a−．故04a，不等式的解集为1122xaa+−，由111422a+，可得解集中一定含有整数1，2，3，可得1342a−„，5374aa

„，解得2549916a，所以a的取值范围为2549,916，故选：A．【点睛】本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用，考查了分类讨论思想以及逆向思维的能力，属于中档题．8.已知,0ab，1ab+=，则1221

1ab+++的最小值是（）A.95B.116C.75D.2215+【答案】A【解析】【分析】由权方和不等式可得，212212121112abab+++++++，将1ab+=代入，即可求出结果.【详解】由

权方和不等式,0ab，1ab+=，2192212292=+11521115122221abbaab++==+++++++，当且仅当2=11212ba++时，取等号；故选：A.【点睛】本题主要考查了权方和不等式，权方和不等式：若0,0iiab，则222212121212

()()nnnnaaaaaabbbbbb+++++++成立；当iiab=时，等号成立.9.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且2cos2cBab=+，若ABC的面积为312Sc=，则ab的最小值为（）A.12B.13C.16D.3【答案】B【解析

】试题分析：由正弦定理，有，又2c·cosB＝2a＋b，得2sinC·cosB＝2sinA＋sinB，由A＋B＋C＝π，得sinA＝sin(B＋C)，则2sinC·cosB＝2sin(B＋C)＋sinB，即2sinB·cosC＋sin

B＝0，又0＜B＜π，sinB＞0，得cosC＝－，因为0＜C＜π，得C＝，则△ABC的面积为S△＝absinC＝ab，即c＝3ab，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，化简，得a2＋b2＋ab＝9a2

b2，∵a2＋b2≥2ab，当仅当a=b时取等号，∴2ab＋ab≤9a2b2，即ab≥，故ab的最小值是．考点：1.正弦定理和余弦定理；2.基本不等式.10.设等差数列na的前n项和为nS，若10100a，100910100aa+，则满足10nnSS+的正整数n为（）A.20

17B.2018C.2019D.2020【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质，即可得出．【详解】解：10100a，100910100aa+，公差0d，1201820181009101020

18()1009()02aaSaa+==+，12019201910102019()201902aaSa+==，因此满足10nnSS+的正整数n为2018．故选：B．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力

与计算能力，属于中档题．11.P、Q为三角形ABC中不同两点,若PAPBPCAB++=,QA3QB5QC0++=,则PABQABS:S为A.13B.35C.57D.79【答案】B【解析】令D为AC的中点PAPBPCAB++=,化为PAPCABPB+=−,即2PD

AP=,可得3ACAP=,且点P在AC边上,则12PABABCSS=,设点,MN分别是,ACAB的中点,则由350QAQBQC++=可得260QMQNQC++=,设点T是CN的中点,则2520QMQNQT++=,设点S是MT的中点,则450QSQN+=,因此可得59QABABCSS=,

所以3:5PABQABSS=，故选B.点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题

转化为向量的数量积来解决．本题的解答中利用共线向量，得到450QSQN+=，从而确定三角形的面积比.12.已知G点为ABC的重心，设ABC的内角,,ABC的对边为,,abc且满足向量BGCG⊥，若tansinaAbC=，则实数=（）A.2B.3C.23D.12【答案】D【解析】如

图,连接AG延长交AG交BC于D,由于G为重心，故D中点，∵CGBG⊥，∴12DGBC=，由重心的性质得，3ADDG=，即32ADBC=，由余弦定理得，2222cosACADCDADCDADC=+−，2222cosABADBDADBD

ADB=+−，∵,ADCBDCCDBD+==，∴222222ACABADCD+=+，∴2222219522ACABBCBCBC+=+=，∴2225bca+=，由tansinaAbC=，将正切化为正弦与余弦的商，利用正弦定理可得2cosabcA=，∴22222

2222152aabcaaa===+−−故选D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在

C处的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则A，B两处岛屿间的距离为__________海里．【答案】206【解析】分析：根据已知条件，分别在ADC和BDC中计算,ADBD，在ADB用余弦定理计算AB.详

解：连接AB，由题可知40CD=，105ADC=，45BDC=，90BCD=，30ACD=，60ADB=，则45DAC=在ADC中，由正弦定理sinsinADCDACDDAC=得202AD=BDC为等腰直角三角形，则402BD=在ADB中，由余弦定

理得222cos206ABADBDADBDADB=+−=故答案为206.点睛：解三角形的应用问题，先将实际问题抽象成三角形问题，再合理选择三角形以及正、余弦定理进行计算.14.若na是正项递增等比数列，nT表示其前n项之积，且1020TT=，

则当nT取最小值时，n的值为________．【答案】15【解析】试题分析：因为1020TT=，所以所以na是正项递增等比数列,所以，所以最小.考点：等比数列的性质.15.已知ABC中，点D满足20BDCD+=，过D的直线l与直线AB，AC分别

交于点,EF，AEAB=，AFAC=．若0,0，则+的最小值为________．【答案】2213+【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，即可求得+的最小值．【详解】解：因为20BDCD+=，所以2BDDC

=，所以23ADACCDACCB=+=+()212333ACABACACAB=+−=+因为AEAB=，AFAC=，0，0所以1ABAE=，1ACAF=所以31232331ADACABAFAE=+=+因为D、E

、F三点共线，所以12133+=所以()12213333+=++=++因为0，0，所以03，203，所以2222112133333+=+++=+当且仅当233=，即223+=，213+=时等号成立综上所

述，+的最小值为2213+，故答案为：2213+【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理以及基本不等式的应用问题，属于中档题．16.已知,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC的对边，8b=，且

223cos5acBabbc=−+，O为ABC内一点，且满足0OAOBOC++=，30BAO=，则OA=__________．【答案】6415【解析】【分析】利用余弦定理求得cosA的值，再根据平方关系求得sinA的值，由题意知O为ABC的重心，且

13ABOABCSS=，利用三角形的面积公式求出||OAuur的值．【详解】解：ABC中，223cos5acBabbc=−+，由余弦定理可得22222325acbacabbcac+−=−+，22265bcabc+−=，222635cos225bcbcaAbcbc+−===，4sin5

A=；6b=，30BAO=，且0OAOBOC++=，O为ABC的重心，且13ABOABCSS=，如图所示；则111||sin30sin232cOAcbBAC=，求得1464||823515O

A==．故答案为：6415．【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了平面向量的应用问题，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知平面

内三个向量：()()()3,2,1,2,4,1abc==−=（1）若()()//2akcba+−，求实数k的值；（2）设(),dxy=，且满足()()abdc+⊥−，5dc−=，求d.【答案】（1）1613k=−（2）(6,0)(2,2)d=或【解析】【

分析】（1）根据向量平行坐标表示得方程，解得实数k的值；（2）根据向量垂直坐标表示以及模的定义列方程组解得d.【详解】()()()()13,2,1,2,4,1,abc==−=()()34,2,25,2akckkba+=++−=−()()//2,akcba又+−(

)()234520,kk+++=1613k=−()()()22,4,4,1abdcxy+=−=−−()(),5abdcdc+⊥−−=又()()()()222441062,,02x415xyxxyyy−+−=====−+−=解得或()()6,02,2d=或【点

睛】向量平行：1221//abxyxy=，向量垂直：121200abxxyy=+=，向量加减：1212(,).abxxyy=18.在△ABC中，3sin,223ABCAB==,点D在线段AC上，且432,3ADDCBD==,（1）求cosABC；（

2）求BC和AC的长【答案】(1)13；(2)BC=3，AC=3【解析】【分析】（1）利用二倍角公式，求得cosABC的值.（2）设出,BCDC的长，在三角形ABC、BDC、BDA中，分别用余弦定理列方程，解方程求得,BCDC，进而求得AC的长.【详解】(1)2231c

os12sin12233ABCABC=−=−=.(2)设,BCaDCb==则2,3ADbACb==在ABC中，2222cosACABBCABBCABC=+−,即2219422,3baa=+

−224943baa=+−…①在ABC中，216443cos43223bBDAb+−=，22163432c3osbBDabC+−=，由coscos0BDCBDA+=得2236ba=−…②由①、②解得3,1ab==，所以3,3BCAC=

=.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查二倍角公式，考查方程的思想，属于基础题.19.已知函数2()2fxaxbxa=+−+．（1）若关于x的不等式()0fx的解集是(1,3)−，求实数,ab的值；（2）

若2,b=0,a解关于x的不等式()0.fx【答案】（1）12ab=−=；（2）答案见解析．【解析】【分析】（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程220axbxa+−+=的两根分别为1−和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得

到实数a、b的值；（2）不等式可化成(1)(2)0xaxa+−+，当0a=时，()0fx，即220x+，解得即可；当0a时，由此讨论1−与2aa−的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．【详解】解：（1）∵不等式()0fx的解集是(1,

3)−，∴1−，3是方程220axbxa+−+=的两根，∴可得209320abaaba−−+=+−+=，解得12ab=−=．（2）当2b=时，()()()22212fxaxxaxaxa=+−+=+−+，①

当0a=时，()0fx，即220x+，∴1x−，即解集为|1xx−；②0a，∴2(1)(2)0(1)0axaxaxxa−+−++−，（ⅰ）当21aa−−=，即1a=时，解集为{|xxR且1}x?；（ⅱ）当21aa−−，即01a时，解集为{2|axxa−

或1}x−；（ⅲ）当21aa−−，即1a时，解集为{|1xx−或2}axa−．【点睛】本题给出二次函数，讨论不等式()0fx的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二

方程的关系等知识国，属于中档题．20.已知nb为单调递增的等差数列，385626,168bbbb+==，设数列na满足2312322222nbnnaaaa++++=．（I）求数列nb的通项；（II）求数列na的前n项

和nS．【答案】（I）22=+nbn；（II）1324,nnSnN+=−．【解析】【分析】（I）设nb的公差为d，运用等差数列的性质，解方程可得561214bb==，可得2d=，再由等差数列的通项公式，即可得到结果；（I

I）由221224nbnn++==，递推得8,132,2nnnan==，即可利用等比数列的求和，求解数列的和．【详解】（I）解法1：设nb的公差为d，∵nb为单调递增的等差数列，∴0d且65bb由385626168bbbb+==得56

5626168bbbb+==解得561214bb==∴652dbb=−=，()()55122522nbbndnn=+−=+−=+，∴22=+nbn.解法2：设nb的公差为d，∵nb

为单调递增的等差数列，∴0d由385626168bbbb+==得()()111292645168bdbdbd+=++=，解得142bd==，∴()()1142122nbbndnn=+−=+−=+，∴22=+nbn.（II）221224nbnn++==由23112312

22222nbnnnnaaaaa−−+++++=……①得1231123122222nbnnaaaa−−−++++=……②−①②得，∴32,2nnan=，又∵1182ba==不符合上式，∴8,132,2nnnan==

.当2n时，()()21231212832228332412nnnnS−+−=++++=+=−−∵18S=符合上式，∴1324,nnSnN+=−.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法

：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．．21.在锐角ABC中，,,abc分别为角,,ABC的对边，且

()24sincos3cossin33AABCA−+=+．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若2b=，求ABC面积的取值范围．【答案】(1)3A=；（2）3,232.【解析】试题分析：（Ⅰ）由()sin3sin2

sin2coscos2sinAAAAAAA=+=+，根据二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简可得3sin32A+=，从而可得结果；（Ⅱ）在ABC中，由正弦定理得22sin2sin331sinsintanBCcBBB−===+，又,62B

，∴()10,3tanB，∴()1,4c，又∵13sin22ABCSbcAc==，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）∵ABC++=，∴()coscosBCA+=−①，又∵32AAA=+，∴()sin3sin2sin2cos

cos2sinAAAAAAA=+=+②，又sin22sincosAAA=③，将①，②，③代入已知得：2sin2cos3cossin2coscos2sin3AAAAAAA+=++，整理得sin3cos3AA+=，即3sin32

A+=，又∵0,2A，∴233A+=，即3A=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得23BC+=，∴23CB=−，∵ABC为锐角三角形，∴20,32B−且0,2B，解得,62

B，在ABC中，由正弦定理得：2sinsincBC=，∴22sin2sin331sinsintanBCcBBB−===+，又,62B，∴()10,3tan

B，∴()1,4c，又∵13sin22ABCSbcAc==，∴3,232ABCS．22.已知数列na的前n项和为nS，且2nSn=，数列nb满足112ba=，且11nnnbabn++=.（1）求数列na，

nb的通项公式；（2）若11nnnbca+=−，数列1nc的前n项和为nT，若不等式()112nnnnT−−+对一切*nN恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）21nan=−.2nnb=.（2）

()2,3−【解析】【分析】（1）由1nnnaSS−=−代入计算可得21nan=−；将21nan=−代入11nnnbabn++=，可得12nnbb+=，可得2nnb=；（2）由11nnnbca+=−，可得nc的通项公式，由错位相减法可得nT的

值，由()112nnnnT−−+，可得()21142nn−−−，分n为偶数与奇数进行讨论，可得实数的取值范围.【详解】（1）由已知可得111aS==.当2n时，2nSn=，21(1)nSn−=−，所以121nnnaSSn−=−=−.显然11a=也满足上式，所以21nan

=−.因为11nnnbabn++=，所以12112nnbnbn+−+==.又1122ba==，所以数列nb是首项为2，公比为2的等比数列.所以2nnb=.（2）由（1）可得112212nnnnnbcann−+===−，所以112nnnc−=.所以21231222nnnT−=++++，所

以23111231222222nnnnnT−−=+++++，两式作差，得231111111222222nnnnT−=+++++−L1122212212nnnnn−+=−=−−所以1242nnnT−+=

−.不等式()112nnnnT−−+，化为()21142nn−−−.当n为偶数时，则2142n−−.因为数列2142n−−单调递增，所以222min1144322n−−−=

−=.所以3.当n为奇数时，即2142n−−−，即2142n−−.因为2142n−−单调递减，所以212max1144222n−−−=−=−.所以2−.综上可得：实数的取值范围是()2,3−.【点睛】本题主要考查等差数列等比数列通项公

式的求法、错位相减法求数列的和及数列与不等式的综合，考查学生的运算求解能力，需注意解题方法的积累，属于中档题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众

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