【文档说明】江苏省常州市金坛区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.798 MB，由小赞的店铺上传

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2021~2022学年度第二学期期末质量调研高一数学试卷2022.6注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答

案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数1i1i

z=−（i是虚数单位），若复数z与1z在复平面上对应的点关于原点对称，则复数z为（）.A.1i2−B.1i2+C.1i2−−D.1i2−+【答案】A【解析】【分析】利用复数运算法则化简复数1z，得到其在复平面上的对应点为A，记复数z在复平面对应点为B，由于点A、B关于原点对称，得B的坐标，

即可求得复数z．【详解】解：()()()1i1ii1i11i1i1i1i222z+−+====−+−−+则1z在复平面上的对应点为11(,)22A−设z在复平面上的对应点为B，由于点A、B关于原点对称11(,)22B−即复数z为：1i2−.故选：A.2.运动员甲10次射击成绩（单

位：环）如下：7，8，9，7，4，8，9，9，7，2，则下列关于这组数据说法不正确的是（）.A.众数为7和9B.平均数为7C.中位数为7D.方差为24.8s=【答案】C【解析】【分析】根据众数的含义可判断A;计算出平均数判断B,算出中位数判断C;计

算出方差判断D.【详解】由题意，这组数据中7和9都出现3次，其余数出现次数没超过3次，故众数为7和9，A正确；计算平均数为7897489972710+++++++++=，故B正确；将10次射击成绩从小到大排列为：2，4，7，7，7，8，8，9，9，9，则中位数为787.52+=，故C错误

；方差为2222221[(77)3(87)2(97)3(47)(27)]4.810s=−+−+−+−+−=，故D正确，故选：C3.已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）.A.若//mn，//m，则//nB.若m⊥，

⊥，则//mC.若⊥，⊥，则//D.若//mn，//，m⊥，则n⊥【答案】D【解析】【分析】根据平面的基本性质判断A、B、C，由线面垂直、面面平行的性质判断D即可.【详解】A：//mn，//m，则

//n或n，错误；B：m⊥，⊥，则//m或m，错误；C：⊥，⊥，则,相交或平行，错误；D：//mn，m⊥，则n⊥，又//，故n⊥，正确.故选：D4.甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为

0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（）.A.0.9B.0.8C.0.7D.0.2【答案】C【解析】【分析】求出甲乙两人分别解决不了难题的概率，即可求得该难题不能被解决即甲乙两人同时都解决不了该难题的概率，根据对立事件的概率计算，可得答案.【详解】

由题意可知甲不能解决该难题概率为1-0.4=0.6,乙不能解决出该难题的概率为1-0.5=0.5，故该难题被解决出的概率为10.60.50.7−=，故选：C5.已知()2cos1sin12a=−，221tan22.51

tan22.5b−=+，sin22cos24cos22sin24c=+，则a，b，c的大小顺序为（）.A.bacB.cbaC.cabD.bca【答案】B【解析】【分析】利用和差角正弦公式及商数关系可得sin44a=、sin45b=、sin46c=，根据正弦函

数的性质判断大小.【详解】cos1sin45sin1cos45sin44a=−=，2222221tan22.5cos22.5sin22.5cos45sin451tan22.5cos22.5sin22.5b−−====++，sin22cos24co

s22sin24sin46c=+=，所以cba.故选：B6.设平面向量a，b满足12a=，()2,5b=，18ab=，则b在a上投影向量的模为（）.A.32B.332C.3D.6【答案】A【解析】【分析】表示出b在a上投影向量，结合

已知条件12a=即可求得答案.【详解】由题意可知：b在a上投影向量为18||||abaaaa=，的故b在a上投影向量的模为113||12882a==，故选：A7.如图，一个底面半径为2a的圆锥，其内部有一个底面半径为a的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为33πa，则该圆锥的

体积为（）.A.323π3aB.383π3aC.343πaD.383πa【答案】B【解析】【分析】作出该几何体的轴截面，求出内接圆柱的高，利用三角形相似求出圆锥的高，即可求的其体积.【详解】作出该几何体的轴截面如图示：AB为圆锥的高，设内接圆柱的高为

h，而2,BCaBDra===,因为内接圆柱的体积为33πa，即23π3πaha=，则3ha=，由于ABED∥,故CABCED△∽△，则hDCABBC=,即322aaaABa−=，故23ABa=，所以圆锥体积为23183π(2)23π33Vaaa==，故选：B8.在ABC中，角A

，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S，若()224Sbca=+−，则角A的值为（）.A.2π3B.π2C.π3D.π4【答案】B【解析】【分析】由()224Sbca=+−可得2222sin2bcAbbcca=++−,

利用余弦定理结合二倍角公式化简，即可得sincos,tan1222AAA==，进而求得答案.【详解】由()224Sbca=+−可得：2222sin2bcAbbcca=++−，即2sin2cos2bcAbcAbc=+,即sin

cos1AA=+，所以22sincos2cos222AAA=，因为(0,π)A,故cos02A，则sincos,tan1222AAA==，由于π(0,π),(0,)22AA，故ππ,242AA==，故选:B二、选

择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设向量a，b满足1ab==rr，且313ab−=，则下列结论正确的是（）.A.1,3ab=B.12ab+=C.3ab−=D.

37ab+=【答案】CD【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算性质可求得2(3)16913abab−=−+=，从而求出ab的值，进而可求出向量a，b的夹角余弦值，再由数量积的运算性质判断各选项式子的正误.【详解】解：||||1ab==，|3|13ab−=；2

(3)16913abab−=−+=；12ab=−rr；1cos,2||||ababab==−；又0,ab剟；2,3ab=．故选项A错误；222()21ababaabb+=+=++=，故选项B错误；2

22()23ababaabb−=−=−+=，故选项C正确；2223(3)697ababaabb+=+=++=，故选项D正确.故选：CD．10.某教育局对全区高一年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E

五个层次内，根据抽样结果得到统计图表如下，则下列结论正确的是（）.A.男生人数为80人B.B层次男女生人数差值最大C.D层次男生人数多于女生人数D.E层次女生人数最少【答案】ABD【解析】【分析】根据条形图求出抽取女生人，得出抽取男生人，再对照图表判断选项中的命题是否正确即可．【详解】解：由条形图

知，抽取女生学生有184830186120++++=（人），所以抽取男生有20012080−=（人），选项A正确；B层次的男生有80(110%15%20%25%)24−−−−=（人)，A，B，C，D，E五个层次男生人数分别：8，24，20，16，12（人），与女生各层次差值分别为：10，

24，10，2，6，选项B正确；D层次的男生有12（人），女生有18人，男生人数少于女生，选项C错误；E层次的女生人数最少，选项D正确．故选：ABD．11.已知复数1izab=+，复数2cosisinz=+，其中，a，b为实数，i为虚数单位，定义：复数()()12izzz

fg==+为“目标复数”，其中()f和()g分别为“目标复数”的实部和虚部，则下列结论正确的为（）.A.()sincosgab=+B.()cossinfab=+C.若()π2sin6f=−，则1a=，3b=D.

若1a=，3b=，且()2g=，则锐角的值为6【答案】ACD【解析】【分析】根据()()12izzzfg==+，利用复数的乘法以及复数相等，可求得(),()fg，即可判断A,B;根据()π2sin6f=

−利用两角差的正弦公式结合复数相等，确定a,b的值，判断C;利用()2g=结合三角恒等变换，可求得锐角的值，判断D.【详解】由题意知：()()()()12iicosisinzzzfgab==+=++()cossinsincosiabab=−++，

故()cossinfab=−，()sincosgab=+，故A正确，B错误；若()π2sin6f=−，即cossincos3sinab−=−，则1a=，3b=，故C正确；若1a=，3

b=，且()2g=，即()sin3cos2g=+=，即π2sin()23+=，因为为锐角，故6=，D正确，故选：ACD12.如图，二面角l−−的大小为120°，点A，B在二面角的棱l上，过点A，B分别在平面和内作直线l的垂线段AC和BD，且6AC=，8BD

=，43AB=，则下列结论正确的是（）.A.异面直线AC和BD的所成之角为120°B.14CD=C.点C到平面与点D到平面的距离之比为3:4D.异面直线AB和CD的之间距离是1211137【答案】BCD【解析】【分析】对A

，根据线线角的范围判断即可；对B，过ABC作矩形ABEC，根据二面角的性质结合余弦定理求解即可；对C，根据二面角的性质可得点C到平面与点D到平面的距离之比为sin120:sin120ACBDoo再计算即可；对D

，根据二面角的性质分析可得异面直线AB和CD的之间距离即B到平面ED的距离，再根据面积公式列式求解即可【详解】对A，因为线线角的范围为0,90，故A错误；对B，过ABC作矩形ABEC如图，则ACEB∥，故120EBD=o，且AB⊥平面EBD.由余弦定

理，222122DEDBBEDBEB=+−−，解得148DE=.又ABBE⊥，故CEBE⊥，故22248148196CDCEED=+=+=，故14CD=，故B正确；对C，由题意，CAl⊥，BDl

⊥，故点C到平面与点D到平面的距离之比为sin120:sin120:3:4ACBDACBD==oo，故C正确；对D，同B中图，因为∥ABCE，故//AB平面CDE，又CD平面CDE，故异面直线AB和CD的之间距离即AB到平面CDE的距离.因为EBD为二

面角l−−，故AB到平面CDE的距离即B到平面ED的距离设为h，则根据三角形的面积公式有11sin12022BEBDEDh=o，故243237h=，解得1211137h=，故D正确；故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已

知A，B是相互独立事件，且()0.3PA=，()0.6PB=，则()PAB=________.【答案】0.12【解析】【分析】根据对立事件的概率公式，结合相互独立事件的概率公式求解即可【详解】由题意，()()10.4P

BPB=−=，()()()0.30.40.12PABPAPB===故答案为：0.1214.如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD和BC的中点，若20ABDCEF++=，其中,R，则+=________.【答案】2−【解析】【分析】由E、F分别是AD、BC

的中点，根据相反向量的定义，易得0EAED+=，0FBFC+=，利用平面向量加法的三角形法则，我们易将向量EF分别表示为ABBFEA++和EDDCCF++的形式，两式相加后，易得到结论．【详解】解：E、F分别是AD、BC的中点，0EAED+=，0FBFC+=，又0ABBFFEEA+++=，

EFABBFEA=++①同理EFEDDCCF=++②由①+②得，2EFABDCEAEDBFCFABDC=+++++=+．整理得：20ABDCEF−−+=．又20ABDCEF++=1==−2+=−故答

案为：2−.15.在ABC中，边AB、AC的长度分别为5、12，现在从8,9,10,,15,16这9个正整数中任选一个数作为边BC的长度，则ABC为钝角三角形的概率为________.【答案】23【解析】【分析】计算出使得

ABC为钝角三角形时，BC的可能取值有多少种，根据古典概型的概率计算【详解】由题意可知：717BC，从8,9,10,,15,16这9个正整数中任选一个数作为边BC的长度，故有9种可能，要使ABC为钝角三角形，需满足：22251

20BC+−或2225120BC+−，即119BC或13BC，故BC的取值可能是：8,9,10；或14,15,16，共6种可能，故ABC为钝角三角形概率为6293=，故答案为：2316.已知三棱锥PABC−的四个顶点均在同一个球面上，且满

足6ABBC==，π2ABC=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的表面积为________.【答案】16π【解析】【分析】确定三棱锥体积取最大值时顶点的位置，根据体积求得其高，继而利用勾股定理求得外接球的半径，即可求得答案.【

详解】如图示：由题意知ABC是等腰直角三角形，故AC为截面圆的直径，则外接球的球心O在截面ABC上的射影为AC的中点D,当P,O,D三点共线，且P,O位于截面ABC的同一侧时，棱锥体积最大，此时棱锥的高为PD，且高此时最大，故1166332PD

=,即得3PD=，设外接球半径为R，则3,ODROCR=−=,在RtODC△中，132DCAC==,故22(3)3RR−+=，解得2R=,所以外接球的表面积为24π16πR=,故答案为：16π的四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.17.一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小和质地完全相同的小球.（1）从盒中任取两球，求“取出的两球编号之和大于4”的概率；（2）从盒中任取一球，记下该球的编号x，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号y，求事件“2xy−”发生

的概率.【答案】（1）23（2）78【解析】【分析】（1）列举出从盒中任取两球的所有等可能基本事件，再列出取出的两球编号之和大于4的事件，根据古典概型的概率公式即可求得答案；（2）列出有放回地连续抽取两球的所有等可能基本事件，列出事件“2xy−”发生的所有基本事

件，根据古典概型的概率公式即可求得答案.【小问1详解】从盒中任取两球的所有等可能基本事件有：()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4，共6个，记取出的两球编号之和大于4的事件为A，则事件A包含()1,4，()2

,3，()2,4，()3,4，共4个等可能基本事件所以42()63PA==;答：从盒中任取两球，取出的两球编号之和大于4的概率为23【小问2详解】有放回地连续抽取两球的所有等可能基本事件有：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,1，(

)2,2，()2,3，()2,4，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，()4,1，()4,2，()4,3，()4,4共16个，记2xy−的事件为B，则事件B包含()1,1，()1,2，()1,3，()2,

1，()2,2，()2,3，()2,4，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，()4,2，()4,3，()4,4共14个等可能基本事件,所以147()168PB==,答：事件“2xy−”发生的概率为78.18.已知a，b为平面向量，且()1

,2a=−r.（1）若ab⊥，且25b=，求向量b的坐标；（2）若()3,2b=−，且向量kab−与2ab+平行，求实数k的值.【答案】（1）()4,2或()4,2−−（2）12k=−【解析】【分析】（1）设(),bxy=r，根据平面向量垂直和平面向量的模长公式可得出关于x、

y的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量b的坐标；（2）计算出向量kab−与2ab+的坐标，由已知向量平行，可求得k的值.【小问1详解】设(,)bxy=r，因为25b=，所以2225xy+=①又因为ab⊥，所0ab=，即20xy−=②由①②联立得22

2520xyxy+=−=，解之得1142xy==或2242xy=−=−，则所求向量b的坐标为()4,2或()4,2−−【小问2详解】因为()1,2a=−r，()3,2b=−，所以()3,22kabkk−

=+−−，()25,2ab+=−，又因向量kab−与2ab+平行，所以2(3)(5)(22)0kk+−−−−=，解之得12k=−19.某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在

某区随机调查了100户居民的月平均用水量（单位：吨）得到如下频率分布表：为分组频数频率)1.5,4.5220.22)4.5,7.5xy)7.5,10.5160.16)10.5,13.5100.10)13.5,16.560.06)16.5,19.56006)19.5

,22.55z)22.5,25.520.02)25.5,28.520.02合计1001（1）求上表中x，y，z的值；（2）试估计该区居民的月平均用水量；（3）从上表中月平均用水量不少于22.5吨的4户居民中随机抽取2户调查，求2户居民来自不同

分组的概率.【答案】（1）31x=，0.31y=，0.05z=（2）9.21吨（3）23【解析】【分析】（1）根据频数和为100计算可得x，进而根据概率求得y，再根据频率和为1求得z；（2）根据平均数的计算公式直接求解即可；（3）将所有基本事件例举出，再根据古典概型的

公式求解即可【小问1详解】.由题意可得100(22161066522)31x=−+++++++=，则310.31100100xy===，又1(0.220.160.100.060.060.020.02)0.05zy=−+++++++=，【小问2详解】利用组中值估计该区居民的月平均用水量为30.2

260.3190.16120.10150.06180.06210.05x=++++++240.02270.029.21++=【小问3详解】记从上表中月平均用水量不少于22.5吨的4户居民中

随机抽取2户调查，且2户居民来自不同分组的事件为A，设)22.5,25.5中的2户为,AB，)25.5,28.5中的2户为,CD，则所有可能的情况有()()()()()(),,,,,,ABACADBCBDCD共6种情况，其中满足条件的有(

)()()(),,,,ACADBCBD四种情况，故42()63PA==，故从上表中月平均用水量不少于22.5吨的4户居民中随机抽取2户调查，且2户居民来自不同分组的概率为2320.如图，在四棱锥PABCD−中，PD⊥平面ABCD，//ABCD，4BAD=，133ABA

DCD===，点E为棱PD上一点，且33DEEP==.（1）求证：//PB平面AEC；（2）求直线AE与平面PCD所成的角.【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】的【分析】（1）连结BD交AC于点F，连结EF，由//ABCD，结合13BFPEFDED==，得到//EFPB，再利

用线面平行的判定定理证明；（2）过点A作直线CD的垂线交CD的延长线于点G，连结EG，易证AG⊥平面PDC，得到AEG即为直线AE与平面PDC所成的角求解.【小问1详解】证明：连结BD交AC于点F，连结EF，因为在底面ABCD中，//ABCD，所以13B

FABFDCD==，又13PEED=，则在BDP△中，13BFPEFDED==，故//EFPB，又因为EF平面AEC，PB平面AEC，所以//PB平面AEC；【小问2详解】过点A作直线CD的垂线交CD的延长线于点G

，连结EG，因为PD⊥平面ABCD，又,AGAD平面ABCD，所以AG⊥PD，AD⊥PD，又因为AG⊥CD，且PDCDD=，,PDCD平面PDC，所以AG⊥平面PDC，则AEG即为直线AE与平面PDC所成的角，又因为EG平面PDC，所以AG⊥EG，又在直角三角形ADE中，

22223332AEADED=+=+=，在直角三角形AGD中，32sin2AGADADG==，在直角三角形AGE中，1sin2AGAEGAE==，因为(0,)2AEG，所以6AEG=，即所求直线AE与平面PCD所成之角为6.21.如图，AC是平面四边形ABCD的一条对角线

，且在ADC中，2222ACADDCADDCAD+−−=.（1）求角D的大小；（2）若3BAD=，56ABC=，2AB=，4DC=，求AC的长.【答案】（1）3D=（2）27AC=【解析】【分析】（1）在ACD△，根据已知边等式，可转化为边的二次式，结

合余弦定理即可求角的大小；（2）设ACx=，CAD=，在ACD△中，由正弦定理可得23sinx=，在ABC中，由正弦定理12sin()6x=−，联立可解得sin的值，在ACD△中，由正弦定理可得AC

的值.【小问1详解】解：因为在ADC中，2222ACADDCADDCAD+−−=所以222ADDCACADDC+−=，①即在ADC中，由余弦定理得，2222cosADDCACADDCD+−=，②则由①②两式得，1cos2D=，又因为在ADC中，(0,)D，

所以3D=，【小问2详解】解：在ACD△中，设CAD=，ACx=，则由正弦定理得sinsinACDCDCAD=，即23sinsinsinDCxDCAD==①又在ABC中，3CAB=−，5()636

BCA=−−−=−，则由正弦定理得sinsinACABABCBCA=，即1sinsinsin()6ABxABCBCA==−②则由①②两式得，23sin1sin()6=−，即23sin()sin6−=，展开并整理得2sin3cos=，也即2224s

in3cos33sin==−23sin7=，又因为在ACD△中，sin0，所以21sin7=，把21sin7=代入①式得，2314327sin21AC===.22.如图①，在梯形ABCD

中，//ABCD，1AB=，60A=，90ABD=，45CBD=，如图②，将ABD△沿边BD翻折至ABDV，使得平面ABD⊥平面BCD，过点B作一平面与AC垂直，分别交AD，AC

于点E，F.（1）求证：BE⊥平面ACD；（2）求点E到平面ABF的距离.【答案】（1）证明见解析（2）68【解析】【分析】（1）根据线面垂直证明BEAC⊥，利用面面垂直的性质定理证明BECD⊥，再根据

线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）利用等体积法即ABEFEABFVV−−=，即可求得答案.【小问1详解】证明：如图②，因为AC⊥平面BEF，且BE平面BEF，所以BEAC⊥图②又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCDBD=，且

CD平面BCD，CDBD⊥，所以CD⊥平面ABD，又因为BE平面ABD，所以BECD⊥，又因为ACCDC=，且,ACCD平面ACD，所以BE⊥平面ACD【小问2详解】由（1）知BE⊥平面ACD，AD

平面ACD，所以BEAD⊥，在直角三角形ABD中，1,2,3ABADBD===,由等面积代换得，1122ABBDADBE=，即32ABBDBEAD==，又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCDBD=，且AB平面ABD，ABBD⊥，所以AB

⊥平面BCD又因为BC平面BCD，所以AB⊥BC在直角三角形ABC中，6,617BCAC==+=,由等面积代换得，1122ABBCACBF=，即164277ABBCBFAC===，又在直角三

角形BEF中，222114EFBFBE=−=，设点E到平面ABF的距离为d，在三棱锥ABEF−中，由等体积代换得，ABEFEABFVV−−=，即1133BEFABFAFSdS=，也即132162214184227BEFABFAFBEEFAFSBEEFdSBFAFBF

=====，即所求点E到平面ABF的距离为68.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com