【文档说明】重庆市永川北山中学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题 含解析.docx，共(17)页，801.931 KB，由小赞的店铺上传

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重庆市永川北山中学校高2024级高二下期3月月考数学试题卷命题人：姚元琼审题人：袁顺凡考试时间：120分钟【注意事项】1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试

结束后，将答题卡交回．一、单项选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合3,4,5P=，6,7Q=，定义(),|,PQabaPbQ=，则PQ中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】【分

析】用列举法表示出集合，即可得到结论.【详解】因为集合3,4,5P=，6,7Q=，定义(),|,PQabaPbQ=,所以()()()()()()(),|,3,6,3,7,4,6,4,7,5,6,5,7PQabaPbQ==.一共6个元素.故选：D2

.一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为()25sttmt=+，且这一物体在23t这段时间内的平均速度为26m/s，则实数m的值为（）A2B.1C.1−D.6【答案】B【解析】【分析】根据平均速度的定义有()()322632ss−=−

，结合已知函数模型求参数m即可.【详解】由已知，得()()322632ss−=−，.∴()()2253352226mm+−+=，解得1m=，故选：B．3.设函数()fx可导，则0(1)(1)lim3xfxfx→+−等于（）．A.(1)fB.3(1)fC.1(1)3fD.(

3)f【答案】C【解析】【分析】利用导数的定义即可得出.【详解】00(1)(1)1(1)(1)1limlim(1)333xxfxffxffxx→→+−+−==．故选：C【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于基础题.4.函数()xfxxe

=的最小值是（）A.1−B.e−C.1e−D.不存在【答案】C【解析】【分析】函数求导，判断单调性，求得最小值得解.【详解】由题意得，()(1)xxxfxexexe=+=+.令()0fx=，得=1x−.当1x−时，()0,(

)fxfx单调递减；当1x−时，()0,()fxfx单调递增.因此()fx在=1x−处取得极小值也是最小值，且最小值为1(1)fe−=−.故选：C.【点睛】利用导数求函数在某区间上最值的规律：(1)若函数在区间[,]ab上单调递增或递减，()fa与()fb一个为最大值，

一个为最小值．(2)若函数在闭区间[,]ab上有极值，要先求出[,]ab上的极值，与()fa，()fb比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数()fx在区间(,)ab上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结

论在导数的实际应用中经常用到．5.算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）．如果拨动图1算盘中的两

枚算珠，可以表示不同整数的个数为（）A.8B.10C.15D.16【答案】A【解析】【分析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果计算得解.【详解】拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，由于拨动一枚算珠有梁上、

梁下之分，则只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，由分类加法计数原理得共有8种方法，所以表示不同整数的个数为8.故选：A6.函数()3fxxax=−在区间0,1上是单调

减函数，则实数a的取值范围是（）A.3aB.3aC.0aD.0a【答案】B【解析】【分析】根据导函数的正负即可求解.【详解】函数()3fxxax=−在区间0,1上是单调减函数，则()230fxxa=−在区间0,1上恒成立，所以()

2max33ax=，故选：B．7.某放射性同位素在衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系()240e−=tNtN，其中0N为0=t时该同位素的含量.已知24t=时，该同位素含量的瞬时变化率为

1e−−，则()120N=（）A.24贝克B.524e−贝克C.1贝克D.5e−贝克【答案】B【解析】【分析】先求出'()Nt，然后利用1(24)eN−=−，求出0N，再求解()120N即可.详解】由()240e−=tNtN，得()2401e24tNtN−=−，因为24t=时，该

同位素含量的时变化率为1e−−，所以()241240124ee24NN−−=−=−，解得024N=，所以120524(120)24e24eN−−==.故选：B.8.若函数()fx在R上可导，且()()fxfx，则当ab时，下列不等式成立的是（）A.()()eeabf

afbB.()()eebafafbC.()()eebafbfaD.()()eeabfbfa【答案】D【解析】【分析】构造函数()()()=extxfxxR、()()()=exfxgxxR，利用导数判断单调性再比较大小可得答案.【详解】令()()()=e

xtxfxxR，则()()()=extxfxfx+，由于()()fxfx+的正负不确定，所以()tx的正负不确定，不能判断()tx的单调性，故AC错误；令()()()=exfxgxxR，由()()fxfx，则()()()=0e−

xfxfxgx，所以()gx为R上的单调递减函数，因为ab，所以()()gagb，即()()eebafafb，故B错误D正确；【故选：D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出

的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分．）9.下列求导运算错误的是（）A.()33ln3xx=B.2111+xxx+=C.()cossinxx=

D.()22eexx=【答案】BCD【解析】【分析】根据求导公式以及求导法则即可结合选项逐一求解.【详解】A．()33ln3xx=，正确；B．2111xxx+=−，错误；C．()cossi

nxx=−，错误；D．()()222ee22exxxx==，错误．故选:BCD．10.下列说法正确的有（）A.某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有12种B.某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学，不同的选法有42种C.某市地铁一号

线正式开通，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，两人乘坐车厢的方法共有36种D.在一次运动会上有四项比赛，它们的冠军在甲、乙、丙三人中产生，每项比赛冠军只有一人，那么不同的夺冠情况共有64种【答案】AC【解析】【分析】根据排列组合的

方法逐项计算即可.【详解】A：某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，则有112C=12种选法，故A正确；B：某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学，则有27C=21种选法，故B错误；C：某市地铁一号线正式开通，两位同学同时去乘坐地铁，

一列地铁有6节车厢，两人乘坐车厢的方法共有66=36种，故C正确；D：在一次运动会上有四项比赛，它们的冠军在甲、乙、丙三人中产生，每项比赛冠军只有一人，那么不同的夺冠情况共有43333=3=81

种情况，故D错误.故选：AC.11.已知函数()fx定义域为1,5−，部分对应值如表，()fx的导函数()fx的图象如图所示.下列关于函数()fx的结论正确的有（）x1−0245()fx12021

A.函数()fx的极大值点有2个B.函数在()fx上0,2是减函数C.若1,xt−时，()fx最大值是2，则t的最大值为4D.当12a时，函数()yfxa=−有4个零点【答案】ABD【解析】【分析】利用导函数的图象可判断A、B选项的正误；取5t=，结合函数的最值与单调

性的关系可判断C选项的正误；作出函数()yfx=的草图，数形结合可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】由导数的正负性可知，函数()yfx=的单调递增区间为(),0−、()2,4，单调递减区间为()0,2、()4,+，B选项正确；函数()yfx=有2个极大值点，A选项正确；当1

,5x−时，函数()yfx=最大值是2，而t最大值不是4，C选项错误；的作出函数()yfx=的图象如下图所示，由下图可知，当12a时，函数ya=与函数()yfx=的图象有四个交点，D选项正确.故选：ABD.【点睛】本题考查导数和原函数之间的关系，

由图象判断零点个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.设函数()exxfxk=−，()exgxx=−，下列命题正确的是（）A.若函数()fx有两个零点，则10ek，B.若()0fx恒成立，则1ekC.若1x

，2x，120xx时，总有()()()22212122axxgxgx−−恒成立等价于1aD.1,eex，()1ln0gxxx−−恒成立．【答案】AC【解析】【分析】利用导数求

函数exxy=的最大值，结合变化趋势考察与yk=的关系可判断AB；构造函数22()2()2e2xhxgxaxaxx=−=−−，将问题转化为导数在(0,)+大于等于0恒成立问题，然后利用导数求其最值可判断C；取1ex

=，然后使用放缩法可判断D.【详解】1()exxfx−=，当1x时，()0fx，当1x时，()0fx，故1x=时，()fx有最大值max1()(1)efxfk==−，又0x时，0exx,且x越大时，exx趋近于0，要使函数()fx

有两个零点，则10ek，故A正确，B错误；若1x，2x，120xx时，总有()()()22212122axxgxgx−−恒成立等价于函数22()2()2e2xhxgxaxaxx=−=−−在(0

,)+上单调递增，等价于()2(e1)0xhxax=−−在区间(0,)+上恒成立，令()e1xmxax=−−，则()exmxa=−，当1a时，()0mx，所以当0x时，()(0)0mxm=成立，当1a，(0,ln)xa时，()0mx，此时()(0)

0mxm=，不满足题意，故C正确；记11()()lnelnxsxgxxxxxx=−−=−−−，则1e11()ee1ees==−−+，因为11e2ee3，11e3，所以1e1112()ee13e13e<0ee33s==−−+−−+=+−，故在区间1(,e)e

上存在0x使得0()0mx，故D错误.故选：AC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数()lnfxxx=−的单调递增区间是_____．【答案】()1,+【解析】【详解】试题分析：因为1()101fxxx=−，所以单调递

增区间是()1,+考点：导数应用14.函数()3cosfxxx=−在()()0,0f处的切线与直线210xmy−+=垂直，则实数m的值为______．【答案】6−【解析】【分析】利用导数的几何意义求斜率，再根据两条直线垂直求参数.【详解】因为()3sinf

xx=+，()03f=，所以在()()0,0f处的切线的斜率为3，因为切线与直线210xmy−+=互相垂直，21yxmm=+，所以231m=−，解得6m=−．故答案为：6−15.回文联是我国对联中的一种.

用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联:“客上天然居，居然天上客;人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为:“回文数”.如44，585，2662等，那么

用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为_______.【答案】36【解析】【分析】根据题意，分2种情况讨论：①4位“回文数”中数字全部相同，②4位“回文数”中有2个不同的数字，求出每种情况下4位“回文数”的数目，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情

况讨论：①4位“回文数”中数字全部相同，有6种情况，即此时有6个4位“回文数”；②4位“回文数”中有2个不同的数字，有2630A=种情况，即此时有30个4位“回文数”；则一共有63036+=个4位“回文数”；故答案为：

36．【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，关键是理解“回文数”的定义，属于基础题．16.若函数()fx与()gx满足：存在实数t，使得()()ftgt=，则称函数()gx为()fx的“友导”函数.已知函数31()313

gxxx=−−+为函数()2lnfxxxax=−的“友导”函数，则a的取值范围是_________．【答案】[4,)+【解析】【分析】首先求出()gx的导数()23gxx=−−，由题意可知22ln3xxaxx−−=−有解即可，再

采用分离参数法可得32lnaxxx=++，令()32lnhxxxx=++，求()hx的最值即可求得a的取值范围.【详解】由31()313gxxx=−−+可得()23gxx=−−，函数31()313gxxx=−

−+为函数()2lnfxxxax=−的“友导”函数，22ln3xxaxx−−=−有解，即32lnaxxx=++有解，令()()32ln0hxxxxx=++，则()22232231xxhxxxx+−=−+=，令()0hx=，则

1x=，令()0hx，则1x，令()0hx，则01x，所以()hx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以()()min14hxh==，即()4hx，所以4a故答案为：[4

,)+【点睛】本题考查了函数的新定义，考查了导函数在研究函数单调性中的应用以及分离参数法求参数的取值范围，综合性比较强.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知函数()

eln3xfxxx=+.（1）求()fx的导数()fx；（2）求函数()fx的图象在点()()1,1f处的切线方程.【答案】（1）1(ln)3e)(xxxxf++=；（2）(e3)eyx=+−.【解析】【分析】(1)利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算作答.(2)求出

()1f，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.【小问1详解】函数()eln3xfxxx=+定义域为(0,)+，所以函数()elne11(3eln)3xxxxxfxxx+=+=++.【小问2详解】由(1)知，(1)3ef=+，而(1)3f=，于是得3(e3)(1)yx−=+−，即(e

3)eyx=+−，所以函数()fx的图象在点()()1,1f处的切线方程是(e3)eyx=+−.18.已知函数()32fxxaxbx=++的图象在点(0,(0))f处的切线斜率为4−，且2x=−时，()yfx=有极值．（1）求()fx的解析式；（2）求()fx在[]3,2-上的最大

值和最小值．【答案】（1）32()24fxxxx=+−（2）最大值为8，最小值为4027−．【解析】【分析】（1）由题意可得(0)4,(2)1240,fbfab==−−=−+=从而可求出,ab，即可求出()fx的解析式，（2）令()0f

x=，求出x的值，列表可得(),()fxfx的值随x的变化情况，从而可求出函数的最值【小问1详解】由题意可得，2()32fxxaxb=++．由(0)4,(2)1240,fbfab==−−=−+=解得2,4.ab==−经检验得2x=−时，()yfx=有极大值．所以

32()24fxxxx=+−．【小问2详解】由（1）知，2()344(2)(32)fxxxxx=+−=+−．令()0fx=，得12x=−，223x=，()fx，()fx的值随x的变化情况如下表：x3−(3,2)−−2−22,3−232,232()fx+0−0+(

)fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数值384027−8由表可知()fx在[3,2]−上的最大值为8，最小值为4027−．19.已知函数()exfxkx=−，xR，k为常数，e是自然对数的底数．（1）当e=k时，求()fx的极值；（2）若0k，且对于

任意0x，()0fx恒成立，试确定实数k取值范围．【答案】（1）极小值为0，无极大值（2）0ek【解析】【分析】（1）求导，即可得函数的单调性，进而可由极值点定义求解，（2）构造函数()exgxx=，利用导数求解最值

即可.【小问1详解】当e=k时，()eexfxx=−，∴()eexfx=−，由()0fx¢>得1x，故()fx的单调递增区间为()1,+；由()0fx得1x，故()fx的单调递减区间为(),1−；所以函数有极小值为()1ee0f=−=，无极大值．【小问2

详解】当0x时，不等式化简为exkx，令()exgxx=，则()2e1()xxgxx−=；令()0gx得1x，∴()gx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增；的因为()()min1egxg==，所以ek，又0k，所以0ek．20.已知函数()(

)ln0afxxax=+．（1）若2a=，求函数()fx的图象在1x=处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数()fx有零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）92（2）10,e【解析】【分析】（1）求导得切点处的导数值，由点斜式求解切线方程，即

可求解面积，（2）利用导数求解函数的单调性，即可求解最值点，利用()minln10fxa=+即可求解.【小问1详解】2a=，则()2lnfxxx=+，()12f=，切点坐标为()1,2，()212fxxx

=−，则切线斜率()11kf==−，∴函数()fx在1x=处的切线方程是()21yx−=−−，即30xy+−=，故与两坐标轴围成的三角形的面积为：193322=．【小问2详解】函数()lnafxxx=+的定义域为()0,+，由()lnaf

xxx=+，得()221axafxxxx−=−=，因为0a，则()0,xa时，()0fx；(),xa+时，()0fx¢>，所以函数()fx在()0,a上单调递减，在(),a+上单调递增，当xa=时，()minln1fxa=

+，当ln10a+，即10ae时，又()1ln10faa=+=，则函数()fx有零点，所以实数a的取值范围为10,e．21.新冠疫情爆发后，某企业利用部分人工转产口罩.每生产x万件(每件

5个口罩)，需投入固定成本5万元，流动成本()Cx万元，当月产量小于7万件时，()2123Cxxx=+(万元)；当月产量不小于7万件时，()36ln17eCxxxx=++−(万元).口罩销售价为6元/件，且生产的口罩能全部售出.（1）写出月利润()px(万元)关于月产量

x(万件)的函数解析式；(注：月利润=月销售收入−固定成本-流动成本)（2）当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？最大月利润是多少？【答案】（1）()23145,07312ln,7xxxpxexxx−+−=−−；

（2）当月产量约为3e万件时，所获月利润最大，最大利润为8万元.【解析】【分析】（1）根据月利润等于销售额减去投入总成本减去固定成本，分07x时和7x两种情况，得到()px关于x的分段函数关系式；（2）当07x时，根据二次函数求最大值的方法求()px的

最大值，当7x时，根据函数的单调性求最大值，最后比较取最大的即可.【详解】（1）口罩销售价为6元/件，则x万件口罩销售收入为6x万元.依题意得，当07x时，()22116254533pxxxxxx=−−−=−+−，当7x时，

()33661712lln5nxeepxxxxxx=−++−−=−−，∴()23145,07312ln,7xxxpxexxx−+−=−−，（2）当07x时，()()21673pxx=−−+，∴当6x=时，()px的最大值为()67p

=(万元)，当7x时，()3ln12xepxx=−−，∴()33221eexpxxxx−=−+=，∴当37xe时，()px单调递增，当3xe，()px单调递减，∴当3xe=时，()px取最大值()3312ln18pee=−−=(万元)，∵87，∴当

3xe=时，()px取得最大值8万元，当月产量约为3e万件时，所获月利润最大，最大利润为8万元.【点睛】本题主要考查了根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及利用函数的单调性求最值的能力，属于中档题.22

.已知函数()ln()fxxaxaR=−.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）证明不等式2()xeaxfx−−恒成立.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数导数，讨论a

范围结合导数即可得出单调性；（2）构造函数2()lnxxex−=−，利用导数可得()x在(0,)+上有唯一实数根0x，且012x，则可得()0()0xx，即得证.【详解】（1）11()(0)ax

fxaxxx−=−=，当0a时，()0fx，所以()fx在(0,)+上单调递增；当0a时，令()0fx=，得到1xa=，所以当10,xa时，()0fx，()fx单调递增，当1,xa+，()0fx，()fx单调递减.综上所述，当0a时，

()fx在(0,)+上单调递增；当0a时，()fx在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减.（2）设函数2()lnxxex−=−，的则21()xxex−=−，可知()x在(

0,)+上单调递增.又由(1)0，(2)0知，()x在(0,)+上有唯一实数根0x，且012x，则()020010xxex−=−=，即0201xex−=.当()00,xx时，()0x，()

x单调递减；当()0xx+时，()0x，()x单调递增；所以()0200()lnxxxex−=−，结合0201xex−=，知002lnxx−=−，所以()()22000000001211()20xxxxxxxxx−−+=+−==，则2()ln0xxex−=−

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