【文档说明】重庆市永川北山中学校2022-2023学年高二下学期3月月考模拟数学试题 含解析.docx，共(16)页，1.012 MB，由小赞的店铺上传

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重庆市永川北山中学校高2024级高二下期3月月考数学模拟试题一､单项选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.某学校食堂有5种大荤菜式，8种半荤半素菜式，5种全素菜式，现任意打一种菜，则可以打到的菜式品种有（

）A.200种B.33种C.45种D.18种【答案】D【解析】【分析】根据分类加法计数原理求解即可.【详解】任意打一种菜，由分类计数原理可知，有58518++=种．故选：D.2.一个质量5mkg=的物体做直线运动，设运动距离s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数2()1stt=+表示

，并且物体的动能212kEmv=，则物体开始运动后第4s时的动能是A.160JB.165JC.170JD.175J【答案】A【解析】【分析】根据题意，求出函数()st的导数，由导数的几何意义可得物体开

始运动后第4s时速度，进而计算可得答案．【详解】解：根据题意，物体的运动距离s与时间t的关系式为2()1stt=+，则有()2stt=，物体开始运动后第4s时速度()48vs==，物体开始运动后第4s时的动能21156416022EmvJ===；故选

：A．【点睛】本题考查导数的几何意义，注意求出物体的速度，属于基础题．3.设()fx是可导函数，且()()0121lim2xfxfx→−−=，则()1f=（）A.12B.1−C.0D.2−【答案】B【解析】【分析】根据导数的

定义计算即可得出答案.【详解】解：∵()()0121lim2xfxfx→−−=，∴()()()01211lim2xfxffx→−−=−()()012111lim2122xfxfx→−−

=−=−=−.故选：B.4.函数()xfxxe−=在[0,4]x上的极大值为（）A.1eB.0C.44eD.22e【答案】A【解析】【分析】先算出1()xxfxe−=，然后求出()fx的单调性即可【详

解】由()xfxxe−=可得1()xxfxe−=当(0,1x时()0fx，()fx单调递增当(1,4x时()0fx，()fx单调递减所以函数()xfxxe−=在[0,4]x上的极大值为()11fe=故

选：A【点睛】本题考查的是利用导数求函数的极值，较简单.5.若函数()lnfxkxx=−在区间(1,)+单调递增，则k的取值范围是（）A.[1,)+B.(,1]−−C.(1,)+D.(,2]−−【答案】A【解析】【分析】对函数求导，将问题转化为()0fx()fx在(1)+，上恒

成立，结合函数1yx=的单调性，计算即可得出结果.【详解】由题意得，()fx的定义域为(0)+，，1()fxkx=−，因为()fx在(1)+，上单调递增，所以()0fx在(1)+，上恒成立，即1kx，又函数

1yx=在(1)+，上单调递减，所以1k.故选：A6.一只蚂蚁从正四面体ABCD−的顶点A出发，沿着正四面体ABCD−的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点B，第4秒后又回到A点的不同爬行

路线有（）A.6条B.7条C.8条D.9条【答案】B【解析】【分析】根据已知，可作出树状图，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解.【详解】根据已知，可作出下图，由图知，不同的爬行路线有7条.故选：B【点睛】本题主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题.7.已知函数()exm

fxxx=−（e为自然对数的底数），若()0fx在(0,)+上恒成立，则实数m的取值范围是A.(2,)+B.()e,+C.24,e+D.22,e+【答案】C【解析】【分析】分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端

是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.【详解】若()0fx在(0,)+上恒成立，则2exxm在(0,)+上恒成立，令()2exxgx=（0x），则()22'exxxgx−=，可知当0

2x时，'()0gx，函数()gx单调递增，当2x时，)'(0gx，函数()gx单调递减，故函数()gx在(0,)+内有唯一的极大值点2x=，即最大值点，所以()()2max42egxg==，所以当24em时，()0fx在(0,)+上恒成立

，故选：C．8.已知定义域为()0,+的函数()fx的导函数为()fx，且()()0xfxfx−，若()54f=，则()54fxx的解集为（）A.()0,4B.()4,+C.()5,+D.()0,5【答案】C【解析】【分析】根

据给定不等式()()0xfxfx−构造函数，借助导数确定函数的单调性，再解不等式作答.【详解】令()()fxgxx=，()0,+x，因为()()0xfxfx−，则()()2()0xfxfxgxx−=，因此函数()gx在()0,+上单调递减，则(

)45()4()(5)5fxfxxgxgx，解得5x，所以()54fxx的解集为()5,+.故选：C二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分

，选错或不选得0分.）9.下列求导运算错误．．的是（）A.233()1xxx=++B.21(log)ln2xx=C.(3)3xx=D.2()nossic2xxxx=−【答案】ACD【解析】【分析】运用求导公式和求导法则计算即可.【详解】A.23331xxxx

x+=+=−，故错误；B.()21logln2xx=，正确；C.()l3n33xx=，故错误；D.()22cos2cossinxxxxxx=−，故错误.故选：ACD.10.现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派

人参加，则下列命题中正确的是（）A.只需1人参加，有16种不同选法B.若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法C.若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法D.若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法【答案】ABC【解析】【分析】根据分类计数原理和分步计数原理依次讨论各选

项即可求解.【详解】解：选项A，分三类：取老师有3种选法，取男生有8种选法，取女生有5种选法，故共有38516++=种选法，故A正确；选项B，分三步：第一步选老师，第二步选男生，第三步选女生，故共有385120=

种选法，故B正确；选项C，分两步：第一步选老师，第二步选学生，第二步，又分为两类：第一类选男生，第二类选女生，故共有()38539+=种选法，故C正确；选项D，若需3名老师和1名学生参加，则有13种不同选法，故D错误.故选：AB

C.11.已知函数()2lnfxxx=−，则（）A.()0fx恒成立B.()fx是()0,+上的减函数C.()fx在12ex−=得到极大值12eD.()fx在区间1,ee内只有一个零点【答案】C

D【解析】【分析】利用导数分析函数()fx的单调性与极值，由此可判断BC，取01x可判断A选项的正误，根据函数的单调性及()10f=可判断D.【详解】()2lnfxxx=−，该函数的定义域为()0,+，所以()()2ln2ln1fxxxxxx=−−=−+

，由()0fx¢>，可得120ex−，由()0fx，可得12ex−，所以当120ex−时，函数()fx单调递增，当12ex−时，函数()fx单调递减，()111221eelne2efxf−−−==−=极大值，故B选项错误，C选项正确；当01x时，ln0x

，此时()2ln0fxxx=−，A选项错误；由题可知函数()fx在区间1,ee内单调递减，而()10f=，故()fx在区间1,ee内只有一个零点，D选项正确.故选：CD.12.已知曲线()e(

2)xfxxa=+在点(0,2)处的切线为l，且l与曲线2()4gxxxb=++也相切．则（）Aab=B.存在l的平行线与曲线()yfx=相切C.任意(2,)x−+，()()fxgx恒成立D.存在实数c，使得()()gxcfx+任意)0,x

+恒成立【答案】AC.【解析】【分析】由()02f=得a，求出切线l，与()ygx=联立，由0=可得b，由此判断A；由反证法可判断B；构造函数()()()hxfxgx=−，通过研究其最小值和极限可判断C和D.【详解】对于选项A：由()02f=得2a=，所以()()2e

1xfxx=+，则()()2e2xfxx=+，所以切线l的斜率为()04f=，所以切线l的方程为42yx=+.又直线l也与()gx相切，联立2424yxyxxb=+=++得220xb+−=，由840b=−=得2ba==

，故A正确；对于选项B：假设存在与l平行的直线l与曲线()yfx=相切于点()00,xy，则()()0002e24xfxx=+=，显然02x−.令()()()2e2xmxfxx==+（2x−）

,则()()230xmxex=+，所以当()2,x−+时，()mx即()fx单调递增，又()04f=，所以02x=，即l与l重合，这与l与l平行矛盾，故B错误；对于选项C：构造函数()(

)()()22e142xhxfxgxxxx=−=+−−−（2x−），则()()()22e1xhxx=+−，由()0hx=得0x=.当()2,0x−时，()0hx，()hx单调递减；当()0

,x+时，()0hx，()hx单调递增.所以()()min00hxh==.所以对()2,x−+，()0hx即()()fxgx恒成立.故C正确；对于选项D：因为()hx在)0,+上单调递增，又x→+

时，()hx→+，所以不存在实数c，使得()chx即()()gxcfx+对任意)0,x+恒成立.故D错误.故选：AC.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数()2lnf

xxx=−的单调递减区间为_________.【答案】10,2【解析】【详解】分析：首先对函数求导，由导数小于零求出自变量x在定义域内的取值范围，即可求得函数的单调递减区间.详解：12()1212'()2(

0)xxfxxxxx−−=−==，令'()0fx，求得102x，所以可知函数的递减区间是1(0,)2.点睛：该题考查是应用导数研究函数的单调性，要明确导数小于零时，函数单调递减，还有必须要明确定义

域优先原则，这里对不等式的解法也要熟练掌握.14.如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有___________种．【答案】48【解析】【分析】利用分步计数原理，一个个按照顺序去考虑涂色.【详解】按照分步计数原理，第一步：涂

区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域3，分两类：（1）区域3与1同色，则区域4有2种方法；（2）区域3与1不同色，则区域3有2种方法，区域4有1种方法；所以不同的涂色种数有43(1221)48+=种．故答案为：4815.已知直线y

kx=是函数lnyx=的切线，则k的值为______．【答案】1e【解析】【详解】试题分析：'1111(),,1lnlnxkxkxkke=====考点：曲线的切线与导数的关系.的16.若函数()fx与()gx满足：存在实数t，使得()()ftgt=，则称函

数()gx为()fx的“友导”函数.已知函数31()313gxxx=−−+为函数()2lnfxxxax=−的“友导”函数，则a的取值范围是_________．【答案】[4,)+【解析】【分析】首先求出()gx的导数()23gxx=−−，由题意可知22ln3xxaxx

−−=−有解即可，再采用分离参数法可得32lnaxxx=++，令()32lnhxxxx=++，求()hx的最值即可求得a的取值范围.【详解】由31()313gxxx=−−+可得()23gxx=−−，函数31()313gxxx=−−+为

函数()2lnfxxxax=−的“友导”函数，22ln3xxaxx−−=−有解，即32lnaxxx=++有解，令()()32ln0hxxxxx=++，则()22232231xxhxxxx+−=−+=，令()0hx=，则1x=，令()0hx，则1x

，令()0hx，则01x，所以()hx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以()()min14hxh==，即()4hx，所以4a故答案为：[4,)+【点睛】本题考查了函数的新定义，考查了导函数在研究函数单调性中的应用以及分离

参数法求参数的取值范围，综合性比较强.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知函数()ln2fxxx=−.（1）求()fx的导数()fx；（2）求函数()

fx的图象在12x=处的切线方程.【答案】（1）()1(0)xfxxx−=（2）10xy+−=【解析】【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算即得；（2）求出12f，再利用导数的几何意义求出

切线方程.【小问1详解】因为函数()ln2fxxx=−，所以()111(0)xfxxxx−=−=；【小问2详解】因为()11111,1,222fxffx=−=−=，所以函数()fx在12x=处的切线方程为11122yx−=−−

，即10xy+−=.18.已知函数32()2fxxaxbx=++−在2x=−时取得极值，在点(1,(1))f−−处的切线的斜率为3−.（1）求()fx的解析式；（2）求()fx在区间[1,2]−上的单调区间和最值.【答案】（1）()3232fxxx=

+−；（2）单调递减区间为)1,0−，单调递增区间为(0,2；()max18fx=，()min2fx=−.【解析】【分析】（1）求出函数()fx的导数，根据给定条件建立方程组求解并验证作答.（2）利用（1）中信息，利用导数求解函数的单调区间及最值作答.【小问1详解】对函数32()2fxx

axbx=++−求导得：()232fxxaxb=++，依题意，()()132321240fabfab−=−+=−−=−+=，解得：30ab==，此时，()2363(2)fxxxx

x==++，当<2x−时，()0fx¢>，当20x−时，()0fx，即()fx在2x=−时取得极值，所以()fx的解析式是()3232fxxx=+−.【小问2详解】由（1）知，()3232fxxx=+−，[1,2]x−，()236

3(2)fxxxxx==++，当10x−时，()0fx，当02x时，()0fx¢>，即()fx在)1,0−上递减，在(0,2上递增，则()()min02fxf==−，而()()10,218ff−==，因此

()()max218fxf==，所以()fx在区间[1,2]−上的单调递减区间为)1,0−，单调递增区间为(0,2，()max18fx=，()min2fx=−.19.已知函数()()lnfxaxxaR=−.（1）当2a=时，求函数()fx的极值；（2）若对()0,x

+，()0fx恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）极小值为1ln2+，无极大值；（2）1,e+.【解析】【分析】（1）对函数()fx进行求导、列表、判断函数()fx的单调性，最后根据函数极值的定义进行求解即可；（2）对()0fx进行常变

量分离，然后构造新函数，对新函数进行求导，判断其单调性，进而求出新函数的最值，最后根据题意求出a的取值范围即可.【详解】（1）函数()fx的定义域为()0,+，当2a=时，'121()2(0)xfxxxx

−=−=.由'()0fx=，得12x=.当x变化时，'()fx，()fx的变化情况如下表x10,2121,2+'()fx-0+()fx单调递减极小值单调递增所以()fx在10,2

上单调递减，1,2+上单调递增，所以函数()fx的极小值为11ln22f=+，无极大值.（2）对()0,x+，()0fx恒成立，即对()0,x+，lnxax恒成立.令ln()xhxx=，则'21l

n()xhxx−=.由'()0hx=得xe=，当()0,xe时，'()0hx，()hx单调递增；当(),xe+时，'()0hx，()hx单调递减，所以()max1()hxhee==，因此1ae.所以a的取值范围是1,e+.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值

、最值，考查了构造函数法、常变量分离法，考查了数学运算能力和分类讨论思想.20.某型号汽车的刹车距离s(单位：米)与刹车时间t(单位：秒)的关系为32510(0)stkttt=−++，其中k是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的

量．（注：汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间，所经过的距离叫做刹车距离.）（1）某人在行驶途中发现前方大约10米处有一障碍物，若此时k=8，紧急刹车的时间少于1秒，试问此人是否要紧急避让？（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒，且不超过2秒，求k的取

值范围．【答案】（1）应紧急避让；（2）61[8,]4.【解析】【分析】（1）求汽车的瞬时速度215161vs'tt==−+，由'0s=，得115t=，计算s即可判断；（2）汽车的瞬时速度为vs'=，得21521vtkt=−+，汽车静止时0v=，问题转化为215210tkt−+=在[1,2]

t内有解，分离k求导求最值即可【详解】（1）当8k=时，325810sttt=−++，这时汽车的瞬时速度为215161vs'tt==−+，令'0s=，解得1t=（舍）或115t=，当115t=时，221010675s=，故有撞击障碍物的危险，应紧急避让.（2）汽车的瞬时速度为vs'=，所

以21521vtkt=−+，汽车静止时0v=，故问题转化为215210tkt−+=在[1,2]t内有解，即21511215tkttt+==+在[1,2]t内有解，记1()15fttt=+，21()

15f'tt=−，[1,2]t∵，∴21()150f'tt=−，∴()ft单调递增，∴()ft在区间[1,2]上的取值范围为61[16,]2，∴611622k，即6184k，故k的取值范围为61[8,]4.

【点睛】本题考查导数的物理意义及实际应用，考查导数与函数的最值，注意运算的准确是基础题21.已知函数()()e1exfxax=+−，()ln.gxxxb=+曲线()yfx=与()ygx=在点1x=处有相同的切线.（1）求a､b的值；（2）证明：()()fxgx.【答案】（1）

1a=，1b=；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义结合条件可得()()11fg=，()()11fg=，再求出,ab的值；（2）由题即证()e1ln1e0xxxx−−+−，构造函数利用导数求函数的最值即可.【小问1详解】因函数()()e1exfxax

=+−，()lngxxxb=+，所以()()e1exfxa=+−，()ln1gxx=+，由曲线()yfx=与()ygx=在点1x=处有相同的切线，得()()11fg=，()()11fg=，即()e1eab+−=，()e1e1a+−=，.

为所以1a=，1b=；【小问2详解】由()()fxgx，可得()e1eln10xxxx+−−−，因为0x，所以原问题即证()e1ln1e0xxxx−−+−.令()()e1ln1exhxxxx=−−+−，则()()()()222e11e111xxxhxxxxxx−−=−

+=−，由()0hx，可得()0,1x，由()0hx，可得()1,x+，所以()hx的单调递减区间为()0,1，单调递减区间为()1,+，故()hx在1x=处取得极小值，也是()hx的最小值，所以()()min()10hxhxh==，故(

)()fxgx.22.已知函数()2ee1xfxmx=−−.（1）讨论()fx的最值；（2）设()()()2eln1lngxxxmfx=−+++，若()gx恰有2个零点，求实数m的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()0

,1【解析】【分析】（1）首先求导得到()2eexfxm=−，再分类讨论求解函数的最值即可.（2）首先函数()gx恰有2个零点，即()eln1ln10xmxm−++−=恰有2个不等的实根，从而得到()()()elneln11xxmmxx+=+++恰有2个不等的实根，设()()ln0htttt

=+，则()()e1xhmhx=+，得到e1(1)xmxx=+−有两个解，再设令()1(1)exxsxx+=−，利用()sx单调性和最值求解即可.【小问1详解】由题得，()2eexfxm=−，当0m时，()0

fx，()fx在R上单调递减，故()fx无最值;当0m时，令()0fx=，得2lnxm=−，当(),2lnxm−−时，()0fx，()fx单调递减，当()2ln,xm−+时，()0fx¢>，()f

x单调递增，故()fx在2lnxm=−处取得唯一的极小值，即为最小值，即()()()2ln222min2lnee2ln1eeln1mfxfmmmm−=−=−−−=−+−，综上所述，当0m时，()fx无最值;当0m时，()fx的

最小值为22eeln1m−+−，无最大值.【小问2详解】()()()()2eln1lneln1ln1xgxxxmfxmxm=−+++=−++−，函数()gx恰有2个零点，即()eln1ln10xmxm−++−=恰有2个不等的实根，即()()()elneln

11xxmmxx+=+++恰有2个不等的实根，设()()ln0htttt=+，则()()e1xhmhx=+，()110htt=+，()ht单调递增，e1(1)xmxx=+−有两个解，即1(1)exxmx+=−有

两个解令()1(1)exxsxx+=−，则()exxsx=−，当()1,0x−时，()0sx，()sx单调递增;当()0,x+时，()0sx，()sx单调递减，又=1x−时，()10exxsx+==，且()01s=，()0sx，当1x−时，(10,

1exx+，当1m=时，()gx仅有一个零点，m的取值范围为()0,1..