【文档说明】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022-2023学年高一上学期期末 数学 答案.docx，共(20)页，1.914 MB，由小赞的店铺上传

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哈三中2022—2023学年度上学期高一学年期末考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.7πsin3的值为（）A.32−B.12C.32D.12−【答案】C【解析】【分析】由诱导公式

进行求解.【详解】7πππ3sinsin2πsin3332=+==.故选：C2.函数()lg2273xyx=−+−的定义域是（）A.(2,3B.()()2,33,+C.()2,3D.()2,+【答案】A【解析】【分析】解不等式202730xx−

−得出定义域.【详解】由202730xx−−，解得(2,3x.故选：A3.已知函数()fx满足2(1)43fxxx+=++，则()fx解析式是（）A.2()2fxxx=+B.2()2fxx=+C.2()2fxxx=−D.2()2fxx=−【答案】A【

解析】【分析】利用换元法，求函数的解析式.【详解】设1xt+=，故1xt=−，则()()()2214132fttttt=−+−+=+，所以()22fxxx=+.故选：A4.用二分法求函数()35fxx=+的零点可以取的初始区间是（）A.2,1−−B.1,0−C.

0,1D.1,2【答案】A【解析】【分析】利用二分法的定义，验证各选项端点即可.【详解】因为()230f−=−，()140f−=，且()fx单调递增，即当1x−时，()0fx，所以零点在2,1−−内，

故选：A5.已知5sin6a=，ln3b=，0.22c=，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.cbaC.bacD.acb【答案】A【解析】【分析】由题意可知12a=，112b，1c从而得到结果.【详解】因为5π1sin62a==，且1ln3lne2ba===，ln3

lne=1b=，且0.221c=所以abc.故选:A6.在同一直角坐标系中，函数()logayx=−，()10ayax−=，且1a的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由函数()logayx=−的图象与函数logayx=的图象关于y轴对

称，根据对数函数的图象与性质及反比例函数的单调性即可求解.【详解】解：因为函数()logayx=−的图象与函数logayx=的图象关于y轴对称，所以函数()logayx=−的图象恒过定点()1,0−，故选项A、

B错误；当1a时，函数logayx=在()0,+上单调递增，所以函数()logayx=−在(),0−上单调递减，又()11ayax−=在(),0−和()0,+上单调递减，故选项D错误，选项C正确.故选：C.7.生物学家采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，并经过研究得到体重和

脉搏率的对数型关系：lnlnln3Wfk=−（其中f是脉搏率（心跳次数/min），体重为()gW，k为正的常数），则体重为400g的豚鼠和体重为3200g的小兔子的脉搏率之比为（）A.23B.12C.2D.8【答案】C【解析】【分析】根据题意，将400,3200WW=

=，分别代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，当400Wg=时，则脉搏为13lnln400ln3kf−=，即331lnlnln400fk=−，则331400kf=；当3200Wg=时，则脉搏为23lnln3200ln3kf−=，即332lnlnln3200f

k=−，则3323200kf=；所以3313240083200kfkf==，即122ff=故选:C8.已知函数()πcos2fxx=，其中x表示不超过x的最大整数（例如：3.23=，1.52−=−），下列关于()fx说

法正确的是（）A.函数()1yfx=+为偶函数B.()fx的值域为1,1−C.()fx为周期函数且周期3T=D.()fx与5log1yx=+的图象恰有两个公共点【答案】D【解析】【分析】根据偶函数性质举例计算即可判断A

选项，根据解析式求出值域即可判断B选项，根据周期函数定义即可判断C选项，计算求出5log1yx=+等于-1、0、1时的x值即可判断公共点个数.【详解】A选项：()πππ1cos1cossin2222yfxxxx=+=+=+=−

，当1x=时，πsin112y=−=−，当=1x−时，πsin112y=−−=，A错误；B选项：)1,0x−时，1x=−，()πcos02fx=−=，)0,1x时，0x=，()()cos01fx=

=，)1,2x时，1x=，()πcos02fx==，)2,3x时，2x=，()()cosπ1fx==−，)3,4x时，3x=，()3πcos02fx==，4x

=时，4x=，()()cos2π1fx==，由于函数()cos2fxx=的值域为点集1,0,1−，B错误；C选项：()()πππππ4cos4cos4cos2πcos22222fxxxxxfx

+=+=+=+==所以()fx的周期为4T=，C错误；D选项：由于()fx的值域为点集合1,0,1−，所以当4x=和当65x=−时，()fx的取值和5log1y

x=+的图象相交.故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列与sin的值一定相等的是（）A.πcos2

+B.πsin2−C.πcos2−D.()sinπ−【答案】CD【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式化简各选项中的函数值，可得答案.【详解】因为πcossin2+=−，A错误；πsincos2−=，B错误；πcoss

in2−=，C正确；()sinπsin−=，D正确，故选：CD10.下列结论中正确的是（）A.已知02xy，则coscosxyB.实数m，0n，满足21mn+=，224mn+的最小值为12C.222tantan2xx++的最小值为222−D.已知0x

，1y−，1xxy+=，则1xy++的最大值为2【答案】AB【解析】【分析】选项A根据余弦函数单调性判断；B、C、D根据基本不等式计算即可判断.【详解】对A，cosyx=余弦函数在()0,单调递减，因为02xy，所以coscosxy，

A正确；对B，因为21mn+=，所以121228mnmnmn+=，当且仅当112,42mnmn===时等号成立，()2222441mnmnmn+=++=，得2214142mnmn+=−，B正确；对C，()222222222tantan222tan2

2222tan2tan2tan2xxxxxx+=++−+−=−+++，当且仅当2222tan2tan22tan2xxx+==−+等号成立，因为220−，所以等号不成立，C错误；对D，因为0,10xy+，()12122xyxyxyx+++=+=，当且仅当()11,0xyx

y=+==时等号成立，故1xy++的最小值为2，D错误.故选：AB.11.已知函数()33sin2cos222fxxx=+，则下列说法正确的是（）A.()fx的最小正周期是B.函数()fx在π0,6上单调递增C.()fx的一个对称中心是π,03

D.若12π7π,,1212xx，12xx时，()()12fxfx=成立，则12xx−的最大值为π6【答案】ABD【解析】【分析】先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的周期性，单调性和对称性即可判断

ABC；令π26tx=+，则12π7π,,1212xx，12xx时，()()12fxfx=成立，可转化为12π4π,,33tt，12tt时，12sinsintt=成立，作出函数π4πsin,,3

3ytt=和ym=的图象，结合图象即可判断D.【详解】()33πsin2cos23sin2226fxxxx=+=+，对于A，2ππ2T==，故A正确；对于B，当π0,6x时，πππ2,662x+，所以函数()fx在π0,6

上单调递增，故B正确；对于C，因为π5π33sin362f==，所以π,03不是()fx的一个对称中心，故C错误；对于D，令π26tx=+，由π7π,1212x，得π4π,33t，设1122ππ2,266txtx=+=+，不妨设12xx，则1

2tt，则12π7π,,1212xx，12xx时，()()12fxfx=成立，即12π4π,,33tt，12tt时，123sin3sintt=成立，即12sinsintt=成立，令sintm=，则方程sintm=有两个不同解，如图作出函数π4πsin,,33

ytt=和ym=的图象，的由图可知12tt−的最大值为π3，即12maxπππ22663xx+−+=，所以()12maxπ6xx−=，即12xx−的最大值为π6，故D正确.故选：ABD.12.已知函数()()523ln13fxxxx=+−−+，函数(

)gx满足()()6gxgx−+=，则（）A.()1lg3lg33ff+=B.函数()()fxgx+的图象关于点()0,6中心对称C.若实数a、b满足()()6fafb+，则0ab+D.若函数()fx与()gx图象的交点为()()()()112233nnxy

xyxyxy,,,,,,,,，则()11223N*nnxyxyxynn++++++=【答案】BD【解析】【分析】计算得出()()6fxfx−+=，可判断A选项；利用函数对称性的定义可判断B选项；举出反例，可判断C选项；利用函数的对称性可判断D选项.【详解】对任意的x

R，210xxxx+++，所以函数()()523ln13fxxxx=+−−+的定义域为R，因为()()()()()552233ln13ln13fxfxxxxxxx−+=+−−−++++−+()22ln166xx=+

−+=，所以()()()1lg3lglg3lg363ffff+=+−=，故A错误；因为()()6gxgx−+=，所以()()()()12fxgxfxgx−+−++=，所以函数()()fxgx+的图象关于点()0,6中心对称，故B正确；对于C，由()(

)()1ln2144,03ff−=++=，则()()106ff−+，此时1016−+=−，故C错误；对于D选项，由上可知，函数()fx与()gx图象都关于点()0,3对称，若函数()fx与()gx图象的交点个数为偶数，且()

11,xy与(),nnxy，()22,xy与()11,,nnxy−−都关于点()0,3对称，所以1211210,6nnnnxxxxyyyy−−+=+==+=+==，所以()112263N*2nnnxyxyxynn++++++==

，若函数()fx与()gx图象的交点个数为奇数，且()11,xy与(),nnxy，()22,xy与()11,,nnxy−−都关于点()0,3对称，则11220,3nnxy++==，且1211210,6nnnnxx

xxyyyy−−+=+==+=+==，所以()11221633N*2nnnxyxyxynn−++++++=+=，故D正确.故选：BD.【点睛】结论点睛：判断函数的对称性，可利用以下结论来转化：①函数()

fx的图象关于点(),ab对称，则()()22fxfaxb+−=；②函数()fx的图象关于直线xa=对称，则()()2fxfax=−.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.若tan2=，则sin3cos2sin4cos−=+____________.【答案】18−【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.【详解】解：因为tan2=，则sin3costan32312sin4cos

2tan42248−−−===−+++.故答案为：18−14.已知扇形的面积为9，圆心角为2rad，则扇形的弧长为______．【答案】6【解析】【分析】联立公式12Slr=和lr=，即可得到本题答案.【详解】设半径为r，弧长为l，由题得，192Slr==①，2lr=②，②代入

①得，29r=，所以3r=，则26lr==.故答案为：615.已知定义在R上的奇函数()fx满足()()4fxfx+=恒成立，且()11f=，则()()()234fff++的值为______．【答案】1−【解析】【分析】由函数的奇偶性得到()00f=，且

()()fxfx−=−，结合函数的周期和()11f=，求出()()()2,3,4fff，得到答案.【详解】因为()fx是定义在R上奇函数，故()00f=，且()()fxfx−=−，又()()4fxfx+=，所以()()400

ff==，且()()()4fxfxfx+==−−，当2x=−时，()()22ff=−，故()220f=，解得：()20f=，()()fxfx−=−种，当1x=时，()()111ff−=−=−，又()(

)4fxfx+=，所以()()311ff=−=−，的故()()()2340101fff++=−+=−.故答案为：-116.若函数()fx满足：当1x−或1x时，()1fxax=+；当11x−时，()()()lg1lg1fxxx=−−+，当函数()2yffx=−有5个零点

时，则实数a的取值范围是______．【答案】510,2−【解析】【分析】换元得到()2yft=−，先研究出()2yft=−的零点个数，研究11t−时，零点为199101t=−，当0a时，()11ftat=+，与

2y=无交点，0a时，2311,ttaa==−，画出()ft的图象，数形结合得到()10fxt=和()30fxt=时，各有一个根，从而得到()fx与2yt=有3个交点，得到不等式，求出实数a的取值范围.【详解】()2yffx=−中，令()fx

t=，则()2yft=−，先研究出()2yft=−的零点个数，当11t−时，()()()llg1lg11g1tttftt−+==−−+，则()()11lglg11ftttfttt+−=−+−=−=−，故此时()ft为奇函数，()122lglg111fttt

t−−+==−+++在11t−上单调递减，因为11t−，所以()210,1t−+++，故()ft值域为R，故()ft与2y=只有1个交点，由2lg121t−+=+，解

得：199101t=−，当1t−或1t时，()()11ftatatft−=+−=+=，故当1t−或1t时，()1ftat=+为偶函数，当0a时，()11ftat=+，与2y=无交点，当0a时，()11ftat=+，令

()12ftat=+=，解得：2311,ttaa==−，则要满足11a，故01a，画出01a时，()ft的图象，如下：故当()10fxt=和()30fxt=时，各有一个根，故要想函数()2yffx=−

有5个零点，则要满足()2fxt=有3个根，即()fx与2yt=有3个交点，故11aa+，解得：515122a−−−，又0a故5102a−，实数a的取值范围是510,2−.【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出

内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值：（1）2log23

log3lg5lg22+++．（2）cos20sin50cos50cos70−．【答案】（1）72（2）12【解析】【分析】（1）根据对数的运算性质计算即可；（2）利用诱导公式化为同角，再利用两角差的正弦

公式即可得解.【小问1详解】2log2317log3lg5lg22lg10222+++=++=；【小问2详解】cos20sin50cos50cos70cos20sin50cos50sin20−=−()1si

n50202=−=.18.已知函数()2sin(2)16fxxa=+++（其中a为常数）.（1）求()fx的单调区间；（2）若0,2x时，()fx的最大值为4，求a的值.【答案】（1）增区间：[,],36kkkZ−+（2）a=1【解析】

【详解】本题考查三角函数的性质⑴在()2sin(2)16fxxa=+++中，令，则有,36kxkkz−+，所以()fx的单调增区间为[,],36kkkZ−+.⑵当0,2x时72,666x+

，则262x+=即6x=时()2sin(2)16fxxa=+++取得最大值为2113aa++=+由题意有34a+=，则1a=即1a=19.已知函数()fx=ln(ax2+2ax+1)定义域为R

，（1）求a的取值范围；（2）若a≠0，函数()fx在[-2,1]上的最大值与最小值和为0，求实数a的值.【答案】（1）0≤a<1；（2）23a=.【解析】【分析】（1）由题设，问题转化为2210axax++

在R上恒成立，讨论参数a求其范围.（2）令221taxax=++求[2,1]x−上的值域，结合lnyt=的单调性确定()fx的最值，根据已知列方程求参数a.【小问1详解】由题设，2210axax++R上恒成立，当0a=时，易知不等号恒成立；当0a时，有20{Δ440a

aa=−，可得01a；综上，01a.【小问2详解】由0a及（1）结论，令2221(1)1taxaxaxa=++=++−，∴由已知及[2,1]x−，有[1,31]taa−+，又lnyt=为增函数，∴ln(1)ln(31)ln(1)(31)0aaaa−

++=−+=，即(1)(31)1aa−+=，∴0a=或23a=，由（1）知：01a，∴23a=.20.已知π12cos313+=，π3+为第四象限角．求（1）sin；（2）πcos23+．【答案】（1）512326−−（2）1191203338

−【解析】在【分析】（1）先算出πsin3+，然后利用ππsinsin33=+−，即可算出本题答案；（2）先算出πcos2()3+和πsin2()3+，然后利用πππcos(2)cos2()333+=+−，即可算出本题答案【小

问1详解】因为π12cos313+=，且π3+为第四象限角，所以22ππ125sin1cos1331313+=−−+=−−=−，所以ππππππsinsinsincoscossin333333=+−

=+−+51123512313213226−−=−−=.【小问2详解】由（1）得，22ππ12119cos2()2cos()12()13313169+=+−=−=，πππ512120sin

2()2sin()cos()2()3331313169+=++=−=−，所以πππππππcos(2)cos2()cos2()cossin2()sin3333333+=+−=+++119112031191203()16921692338−=+−=.21.已知函数

()3319loglogfxxx=+，()1931xxgxm+=−−，0m．（1）求函数()fx在区间()1,+上的最小值；（2）若对()11,x+，21,2x，使得()()122

fxgx−−成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）6（2）02m【解析】【分析】（1）令3logxt=，将函数化为19ytt=+，利用基本不等式求最值；.（2）独立m，将问题转化为11,93a，

使得293maa+成立，求293aa+的最大值，得m的取值范围.【小问1详解】令3logxt=，因为()1,x+，所以()0,t+，则331()9loglogfxxx=+可化为19ytt=+，()0,t+，因为119296tttt+=，当且仅当19tt=，即13t=，13x3=

时，等号成立，所以13x3=时，()fx取最小值6.【小问2详解】由（1），)1()6,fx+，因为()11,x+，21,2x，使得12()()2fxgx−−成立，所以21,2x，使得2()628gx+=成立，即1,2x，使得2119333xxm

+成立，令13xa=，因为1,2x，11,93a，所以11,93a，使得293maa+成立，因为当11,93a，222111119333224324aaa+=+−

+−=，当13a=，即1x=时，293aa+取最大值2，所以02m.22.本市某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在其水平截面

图为矩形ABCD，它的宽AD为2.4米，车厢的左侧直线CD与中间车道的分界线相交于E、F，记DAE=．（1）若大卡车在里侧车道转弯的某一刻，恰好6=，且A、B也都在中间车道的直线上，直线CD也恰好过路口边界O，求此大卡车的车长．（2）若大卡车在里

侧车道转弯时对任意，此车都不越中间车道线，求此大卡车车长的最大值．（3）若某研究性学习小组记录了这两个车道在这一路段的平均道路通行密度（辆/km），统计如下：时间7:007:157:307:458:0

0里侧车道通行密度110120110100110外侧车道通行密度110117.5125117.5110现给出两种函数模型：①()()sin0,0fxAxBA=+②()gxaxbc=−+，请你根据上表中的数据，分别对两车道选择最合适的一种函数来描述早七点以后

的平均道路通行密度（单位：辆/km）与时间x（单位：分）的关系（其中x为7:00后所经过的时间，例如7:30即30x=分），并根据表中数据求出相应函数的解析式．【答案】（1）83815−（2）24825−（3）()10sin1

1030fxx=+；()1301252gxx=−−+【解析】【分析】（1）通过解直角三角形，分别求出,,,OEOFEDCF，即可求得本题答案；（2）用表示AB，利用换元法并结合函数的单调性，求出AB的最小值，即可得到大卡车车长的最大值；（3）

先判断里外车道对应的模型，分别求出相应的解析式即可.的【小问1详解】作EMOM⊥，垂足为M，作FNON⊥，垂足为N，因为π6DAE=，所以π6MEONOFBFO===，在RtADE中，π432.4tan6

5ED==，在RtBCF△中，2.4123π5tan6CF==，在RtOME中，483π3cos6OE==，在RtONF△中，48πsin6OF==，所以8343123838835515CDOEOFEDCF=+−−=+−−=−【小问2详解】因为DAE=，所以4cosOE

=，4sinOF=，2.4tanED=，2.4tanCF=，所以442.42.4tancossintanABCDOEOFEDCF==+−−=+−−224sin4cos2.4sin2.4cos4(sincos)2.4π,0sincos

sincos2+−−+−==令sincost+=，则π2sin()4t=+，πππ3π0,,2444+所以12t，21sincos2t−=，所以()22384

2.45,12112ttABttt−−==−−，设35kt=−23255k−，则35tk=+，所以2883166()15255kABkkk==+−−+，易知166()255gkkk=−+在23(,2]55−单调递增，且()0gk，所以288

3166()15255kABkkk==+−−+在23(,2]55−单调递减，所以，当325k=−，即2t=时，AB取最小值24825−，所以，若大卡车在里侧车道转弯时对任意，此车都不越中间车道线，求此大卡车的车长的最大值为24825−.【小问3详解】由表可得，里侧车道通行密度有最大值和最小值，

适用模型()()sin0,0fxAxBA=+，易得60T=，所以2ππ30T==，又-2A=120100=10,1201001102B+==，所以π()10sin()11030xfx=+；而外侧车道通行密度关于30x=对称，左侧递增，右侧递减，适用模型()gxaxbc

=−+，易知30b=，代入(0,110),(30,125)，得1125,2ca==−，所以1()301252gxx=−−+.【点睛】方法点睛：对于含有sincos+和sincos的三角函数值域问题，可以通过换元转化为熟悉的函数，如二次函数，分式函数来解答.