【文档说明】安徽省涡阳县育萃高级中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学（理）试卷 含答案.doc，共(17)页，1.510 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前育萃高中高二年级第二学期第一次月考数学（理科）试题考试时间：120分钟满分：150分第I卷（选择题）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1．已知复数1z与2z

在复平面内对应的点关于虚轴对称，且()13ii42z=−−，则2z=（）A．2i−B．2i+C．2i−+D．2i−−2．已知命题:pxR，2104xx−+„，则p（）A．21,04xxx−+R„B．21,04xxx−+

RC．21,04xxx−+RD．21,04xxx−+R3．已知等差数列na的前n项和为()()135810,2360nSaaaaa++++=，则11S的值为（）A．33B．44C．55D．664．已知1ab，给出下列不等式：①11bbaa++；②11abab+

+；③3322abab+；④11abba++；其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．若直线l：2yexb=+是曲线2lnyx=的切线，则实数b=（）A．-4B．-2C．2eD．6．双曲线2222:1(,0)xyCabab−=，

圆22:(2)3Mxy++=与双曲线C的一条渐近线相交所得弦长为2，则双曲线的离心率等于（）A．2B．3C．62D．727．对任意实数x，有3230123(2)(2)(2)xaaxaxax=+−+−+−，则2a=（）A．6B．9C．12D．218．在ABC中，内角A、B、

C所对的边分别为、b、c，若()sinsinsincCaAbaB=+−，角C的角平分线交AB于点D，且3CD=，3ab=，则c的值为（）A．72B．473C．3D．239．已知直线2(0)=+ykxk与抛物线2:8Cxy=相交于A，B两点，

点F为C的焦点，4FAFB=，则k=（）A．34B．54C．3D．32210．已知函数22()21fxxaxa=−+−，若关于x的不等式(())0ffx的解集为空集，则实数的取值范围是（）A．(3,2)−−B．[3,2]−−C．(,2)−D．(,2

]−−11．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点,EF分别是棱1111,CDAD上的动点．给出下面四个命题①直线EF与直线AC平行；②若直线AF与直线CE共面，则直线AF与直线CE相交；③直线E

F到平面ABCD的距离为定值；④直线AF与直线CE所成角的最大值是3．其中，真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．412．已知定义在R上的函数()fx的导函数为'()fx，且满足'()()0fxfx−，()20212021fe=，则不等式31ln3fxx的解

集为（）A．()6063,e+B．()20210,eC．()2021,e+D．()60630,e第II卷（非选择题）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．若02030xxyxy−+−，则3zxy=−的最大值是__________

_.14．把分别写有“爸”、“爸”、“去”、“哪”、“儿”的5张卡片放入4个不同信封，每个信封至少放一张卡片，则写有“爸”、“爸”的两张卡片恰好被放入同一个信封的不同情况共有__________种.(用数字作答)15．函数()sin

co(0)s2fxxxxx=+的最大值为________.16．已知圆1C：()2223xya++=（7a）和2C：()2231xy−+=，动圆M与圆1C，圆2C均相切，P是12MCC的内心，且12123PMCPMCPCCSSS+=，则的值为__________.三、解答题(本大

题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17．（10分）已知aR，命题p:函数()()22log1fxaxax=++的定义域为R;命题q;关于的不等式210xax−+在1,22上有解.（1）若命题p是真命题，求实数

的取值范围;（2）若命题“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数的取值范围.18．（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，b，c，且()sinsinsinbcCBAba−=−+.（1）求A；（2）若2a=，求11tantanBC+的最小值.19．（12分）已知等差数

列的首项为2，前n项和为Sn，正项等比数列{bn}的首项为1，且满足，前n项和为a3＝2b2，S5＝b2＋b4．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设()331loglognnnncSb=−+，求数列{cn}的前26项和．20．（12分）如图1，在矩形ABC

D中，22,BCABE==是AD中点，将CDE△沿直线CE翻折到CPE△的位置，使得3PB=，如图2.（1）求证：面PCE⊥面ABCE；（2）求PC与面ABP所成角的正弦值.21．（12分）已知椭圆222

2:1(0)xyCabab+=的离心率为3,2右焦点到左顶点的距离是23.+（1）求椭圆C的方程；（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求证：四边形ABC

D的面积为定值.22．（12分）已知函数()()1lnafxxaxx=−−R.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）已知函数()()22lngxxfxxax=+−(其中()fx是()fx的导函数)，若函数()gx有两个极值点1x，2x，且12xxe，求()

()12gxgx−的取值范围.数学理科参考答案1．C()()()143i52i2i2i2i2iz−+===+−+−，又复数1z与2z在复平面内对应的点关于虚轴对称，所以22zi=−+.故选：C.2．B命题p为全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得：p：21,

04xxx−+R故选：B3．C()()1358102360aaaaa++++=，()()1111122437960aadadadad++++++++=，解得1655,5ada+==，()111116611112115522Saaaa=+===，故选：C.4．C对

于①：1(1)(1)1(1)(1)(1)bbabbaabaabbabaaaaaaaa++−++−−−−===++++，因为1ab，所以0,10aba−+，所以101(1)bbabaaaa+−−=++

，即11bbaa++，故①正确；对于②：11111(1)()1()baababababababababababab−−+−+=−+−=−+=−−=−，因为1ab，所以0,1abab−，所以110abab+−+

，即11abab++，故②正确；对于③：当3,2ab==时，33333235ab+=+=，22223236ab==，所以3322abab+，故③错误；对于④：11111()1abababababbabaabab−+−+=−+−=−+=−+，因为1ab，所以0

,1abab−，所以110abba+−+，即11abba++，故④正确.所以正确的有①②④.故选：C5．A设l：2yexb=+与曲线2lnyx=相切于点()00,2lnxx，则()002fxx=，所以的方程为()00022lnyxxxx−=−，则0

022ln2xyxx=+−，故022ex=，解得01xe=，则直线l：24yex=−，所以4b=−，故选：A.6．A由题意可知圆心()2,0−，半径为3，又因为渐近线与圆相交所得弦长为2，则圆心到渐近线的

距离等于()2231=2−，双曲线的一条渐近线为0bxay−=，运用点到直线的距离公式计算有22222bbcab−==+，即22bc=，所以22ac=，故2cea==，故选：A.7．A根据题意，将3x进行变形

，变形成3[(2)2]x−+，通过二项式定理可得30031122213303333[(2)2](2)2(2)2(2)2(2)2xCxCxCxCx−+=−+−+−+−，由题意，可知21232326aC===.故选：A.8．B()sinsinsincCaAb

aB=+−，由正弦定理可得()22cabab=+−，可得222abcab+−=，由余弦定理可得：2221cos22abcCab+−==，0C，所以3C=，由ABCACDBCDSSS=+△△△，有111sinsinsin232626abaCDbCD=+，得abab=+，所以234

bb=，0b，43b=，34ab==，由余弦定理可得221616471692cos33cababC=+−−==+.故选：B.9．A设()()1122,,,AxyBxy，由题知抛物线的焦点坐标为()0,2F，直线线2(0)=+ykxk

与抛物线2:8Cxy=联立方程得：28160xkx−−=，所以12128,16xxkxx+==−，所以()21212484yykxxk+=++=+，()()1212224yykxkx=++=，又因为4FAFB=，所以()12242yy

+=+，即1246yy=+，所以由1246yy=+和124yy=解得1218,2yy==（负的舍去）所以21218482yyk+=+=+，解得2916k=，所以34k=故选：A10．D2()()11fxxa=−−−，设(

)tfx=，则(())0ffx化为()0ft，2()()10ftta=−−，11ata−+，1()1afxa−+，由题意此不等式无解，则11a−+，∴2a−．故选：D．11．B【分析】利用特殊位置可判断①②的正误，可证明//EF平面ABCD，据此可判断③的正误，利

用向量的数量积可求,AFCE夹角的余弦值，从而可求其最大值．【详解】如图1，当F与1A重合时，E与1D重合时，直线EF与直线AC是异面直线，故①错误．如图2，当F与1A重合时，E与1C重合时，四边形ACEF为

矩形，故直线AF与直线CE平行，故②错误．因为平面//ABCD平面1111DCBA，而EF平面1111DCBA，故//EF平面ABCD，所以直线EF到平面ABCD的距离为定值（正方体的棱长），故③正确．建立如

图3所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()0,,1Fa，(),1,1Eb，其中01,01ab，而()1,1,0C，故()0,,1AFa=，()1,0,1CEb=−，设直线AF与直线CE所成角

为，则()221111coscos,222111AFCEab===+−+，若直线AF与直线CE不平行，则0,2，故0,3，故直线AF与直线CE所成角的最大值是3，所以④正确．故选：B．12．D由题可设()()xfxFxe=，'()()0fx

fx−，则2'()()'()()'()0xxxxfxefxefxfxFxee−−==，所以函数()Fx在R上单调递增，2021(2021)(2021)1fFe==，将不等式31ln3fxx转化为1ln33311lnln3311l

nln33xxxfxfxeeexx=，可得1ln13Fx，即1ln(2021)3FxF，有1ln20213x，故得60630xe，所以不等式31ln3fxx的解集为()60630,e，故选：D.13．1

−根据约束条件02030xxyxy−+−作出可行域如图所示，由2030xyxy−=+−=解得()2,1A将目标函数3zxy=−化为133zyx=−，表示直线133zyx=−在y轴上的截距的相反数

的13故当直线133zyx=−在y轴上的截距最小时，有最大值.当直线133zyx=−过点（2,1）时在y轴上的截距最小，最大，由A(2,1)知的最小值为2311−=−故答案为：1−14．245张卡片放入4个不同信封，分两步进行：第一步：“爸”、“爸”的两张卡片恰好被放入同一个信封，先为其选信封，

有14C种选法；第二步：“去”、“哪”、“儿”三个字放入剩下的三个不同信封，有33A种放法，故写有“爸”、“爸”的两张卡片恰好被放入同一个信封的不同情况共有134324CA=种.故答案为：24.15．2()s

incossincosfxxxxxxx=+−=，∴当0,2x时，()0,()fxfx单调递增，当3,22x时，()0,()fxfx单调递减，当3,22x时，()0,()fxfx单调递增，∵,(2

)122ff==，∴()fx的最大值为2.故答案为：2.16．17因为126CC=，17ra=，21r=，所以121CCa−，又因为动圆M与圆1C，圆2C均相切，所以动圆M与圆1C内切，与圆2C外切.设动圆(),Mxy，半径为R，

所以1MCaR=−，21MCR=+，即121216MCMCaCC+=+=，所以M的轨迹为以1C，2C为焦点的椭圆，如图所示：设椭圆为：2222111xyab+=，且121aa=+，126c=，13c=.因为P是12MCC的内心，所以P到1MC，2MC，12CC的距离相等，设为

h.又因为12123PMCPMCPCCSSS+=，所以1211316222MChMChh+=，即119a+=，18a=，又121aa=+，所以17a=.故答案为：1717．（1）04a；（2）))0,24,+.（1）.当p为真时，2

10axax++在R上恒成立，①当0a=，不等式化为20010xx++，符合题意.②当0a时，则0a，且240aa=−故04a，即当p真时有04a...............................

...4分（2）))0,24,+.由题意知:当q为真时，1axx+在1,22上有解.令()1gxxx=+，则()ygx=在1,12上递减，在1,2上递增，所以()()min12agxg==所以当q假时，2a，由（1

）知当p假时0a或4a，又因为pq为真，pq为假，所以命题p和命题q一真一假，当p真q假时，所以042aa解得02a，当p假q真时，0a或4a且2a，所以4a综上所述：的取值范围是))0,24,+........................10分

18．（1）3；（2）233.（1）由()sinsinsinbcCBAba−=−+，可得()()()sinsinsinbcCBAba−=−+，由正弦定理得()()()bccbaba−=−+，即222bcabc+−=，由余弦定理，得2221c

os22bcaAbc+−==，因为0A，可得3A=.........................................5分（2）由（1）知3A=，设三角形的外接圆的半径为R，可得432sin3aRA==，又由余

弦定理得222222cosabcbcAbcbcbc=+−=+−，即24bca=，当且仅当2bc==时取等号，又由11coscoscossinsincostantansinsinsinsinBCBCBCBCBCBC++=+=(

)sinsinsinsinsinsinBCABCBC+==22sin2sin2sinRRARBRC=28383233343Rabcbc===，其中R是ABC外接圆的半径，所以11tantanBC+的最小值为233.............................12分19．（

1）2nan=，13nnb−=；（2）328.（1）由题意得：113111225452adbqadbqbq+=+=+即32221010dqdqq+=+=+，∴390qq−=，∵nb是正项等比数列，∴3q=，则2d=，∴()2212n

ann=+−=，11133nnnb−−==...............................5分（2）()()12212nSnnnn=+=+，则()()()()()13331log1log31l

og1log11nnnnncnnnnn−=−++=−+−++−∴nc的前26项和为：()()()26333333log1log20log2log31log3log42T=−−+++++−−++()()3333log25log2624log26l

og2725+−−++++()3326025log1log2733253282+=−++=+=....................................12分20．（1）证明见解析；（2）22211.（1）证明：连结BE，由图1可得BEEC⊥在图2中

2,1,3,BEPEPBBEPE===⊥又ECPEEBE=⊥面PECBE面ABCE面PCE⊥面ABCE.....................................5分（2）以点A为原点，分别以,ABAE直线为x轴，y轴，以经过点A且垂直于平面ABCE的直线为

轴建立直角坐标系.由题意可知，()()()1321,0,0,1,2,0,0,1,0,,,222BCEP()132,,,1,0,0222APAB==设面ABP的法向量为(),,nxyz=r则0,0nAPnAB

==令2,y=得3,z=−所以()0,2,3n=−112,,222PC=−222sincos,11PCnPCnPCn===所以直线PC与面ABP所成角的正弦值为22211.................................12分21．（1）221

4xy+=；（2）证明见解析.（1）由已知可得：2223223caacabc=+=+=+，解得：21ab==.所以椭圆C的方程为：2214xy+=....................

.......4分（2）因为椭圆C的方程为：2214xy+=，所以(2,0)A−，(0,1)B−，设(,)(0,0)Mmnmn，则2214mn+=，即2244mn+=.则直线BM的方程为：11nyxm+=−，令0y=，得1cmxn=+；同理：直

线AM的方程为(2)2nyxm=++，令0x=，得22Dnym=+.所以21121(22)||||2122122(2)(1)ABCDmnmnSACBDnmmn++==++=++++22144448144882222222mnmnmnmnmnmnmnmnmn++++++++

===++++++.即四边形ABCD的面积为定值2...............................................12分22．（1）答案见解析；（2）2210,4ee−−.解：（1）()fx的定义域为()0,

，而()222111axaxfxxxx−+=+−=，令()210hxxax=−+=，则①当0a时，()fx在()0,单调递增；②当2400aa=−，即02a时()fx在()0,单调递增；③当2a时，210xax−+=有两根2142a

ax−−=，2242aax+−=.所以()fx增区间240,2aa−−，24,2aa+−+；减区间2244,22aaaa−−+−.综上述，当2a时，()fx在()0,单调递增；当2a时，()fx在2

40,2aa−−，24,2aa+−+上单调递增，在2244,22aaaa−−+−上单调递减.....................................6分（2）()()222l

n22ln1gxxfxxaxxaxx=+−=−++，则()gx的定义域为()0,+，()()221222xaxgxxaxx−+=−+=，若()gx有两个极值点1x，2x，且12xxe，则方程210xax−+=

的判别式240a=−，且120xxa+=，122111xxxex==得2a，且111xe.所以()()221211122222ln22lngxgxxaxxxaxx−=−+−+−()()()()

()12121211212124ln4lnxxxxaxxxxxxxx=+−−−+=−+−+211121114ln1xxxxe=−+设()22114ln1httttte=−+，则在1,1te上恒成立，故()ht在1,1te单调递减，从而(

)()10hth=，()22114htheee=−−，所以()()12gxgx−的取值范围是2210,4ee−−.....................................12分