【文档说明】安徽省当涂第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.580 MB，由小赞的店铺上传

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当涂一中高二年级2023-2024学年度10月份月考数学试题（满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试卷上作答无效．3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.过点(2,1)P−且倾斜角为90°的直线方程为（）A.1y=B.2x=−C.=2y−D.1x=【答案】B【解析】【分析】根据倾斜角为90的直线的方程形式，判断出正确选项.【详解】由于过()2,1P−的直线倾斜角为90，即直

线垂直于x轴，所以其直线方程为2x=−.故选：B【点睛】本小题主要考查倾斜角为90的直线的方程，属于基础题.2.若平面,的法向量分别为1,1,32a=−，()1,2,6b=−−，则（）A.∥B.与相交但不垂直C.⊥D.∥或与

重合【答案】D【解析】【分析】判断两个法向量共线，从而可判断出两个平面平行或重合.【详解】由题意，()111,1,31,2,6222ab=−=−−−=−，ab，因为,ab分别是平面,的法向量，或与重

合.故选：D3.从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一名男同学与都是男同学B.至少有一名男同学与都是女同学C.恰有一名男同学与恰有两名男同学D至少有一名男同学与至少有一名女同

学【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件和对立事件的定义直接求解.【详解】从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，在A中，至少有一名男同学与都是男同学能同时发生，不是互斥事件，故错误；在B中，至少有一

名男同学与都是女同学是对立事件，故错误；在C中，恰有一名男同学与恰有两名男同学不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的事件，故正确；在D中，至少有一名男同学与至少有一名女同学能同时发生，不是互斥事件，故错误.故选：C.【点睛】本题主要考查互斥事件和

对立事件的判断以及定义的应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.4.若向量p在空间的的一组基底{}abc，，下的坐标是132()，，，则p在基底{}ababc+−，，下的坐标是（）A.(422)−，，B.(212)

，，C.(212)−，，D.132()，，【答案】C【解析】【分析】设p的坐标为()xyz，，，得到32()()abcxyaxybzc++=++−+，求得,,xyz的值，即可求解..【详解】因为p在基底{}abc，，下的坐标是132

()，，，所以32pabc=++，设p在基底{}ababc+−，，下的坐标为()xyz，，，则()()()()pxabyabzcxyaxybzc=++−+=++−+，因此32()()abcxyaxybzc++=++−+，所以132xyxyz+=−==，，，即212xyz=

=−=，，，即向量p在基底{}ababc+−，，下的坐标为(212)−，，．故选：C．5.在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵111ABCABC-中，90ABC=，2AB=，2

2BC=，若直线1CA与直线AB所成角为60，则1AA=()A.3B.2C.22D.23【答案】B【解析】【分析】以B为原点建立空间直角坐标系，利用向量方法求出1CA和AB夹角余弦值即可求出1A竖坐标，从而

得到答案．【详解】如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则()0,0,0B，()2,0,0A，()0,22,0C，设()12,0,Az，则()2,0,0BA=，()12,22,CAz=−，124cos,cos60212BACAz==+，解得2z=，故12AA=．故选：B．6.已知集合11,,1

25A=与1,2,52B=，现分别从集合A，B中各任取一数a，b，则lg1gab+为整数的概率为（）A.19B.29C.13D.49【答案】C【解析】【分析】先由列举法，列举出(),ab的所有可能取值对应的基本事件，以及满足lg1gab

+为整数的基本事件，基本事件个数比即为所求概率.【详解】从分别从集合11,,125A=，1,2,52B=中各任取一数a，b，则(),ab的所有可能取值有：11,22，1,22，1,52，11,52

，1,25，1,55，11,2，()1,2，()1,5，共9个基本事件；使lg1glgabab+=为整数的基本事件有：1,22，11,52

，1,55，共3个，因此，所求概率为3193P==.故选：C.7.已知直线()():2110lmxmym++−+−=，若直线l与连接()1,2A−、()2,1B两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为（）A.ππ,

44−B.3π,π4C.π3π,44D.π3π0,,π44【答案】D【解析】【分析】求出直线l过的定点，利用数形结合方法求出直线l的斜率范围，进而求出倾斜角范围.【详解】直

线()()1210xymxy+++−−=，由10210xyxy++=−−=，解得01xy==−，即直线l过定点()0,1P−，设直线l的斜率为k，直线l的倾斜角为，则0π，显然直线PA的斜率为()12101−−−=−−，直线PB的斜率为11102−−=−，由于直线l经

过点()0,1P−，且与线段AB总有公共点，则11k−，即ta11n−，又231111mkmm+==−+−−−，于是1tan1−，因此π04或3ππ4，所以直线l的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44.故选：D8.如图，在棱长为1的正方体

1111ABCDABCD−中，点E，F分别是棱BC，1CC的中点，P是侧面11BCCB内一点，若1//AP平面AEF，则线段1AP长度的取值范围是（）A.2,3B.5,22C.325,42D.51,2

【答案】C【解析】【分析】利用面面平行证明办法确定点P的位置，进而可确定1AP长度范围.【详解】如图所示，分别取111,BBBC的中点,MN，连接1BC,因为,,,MNEF为所在棱的中点，所以11//,//MNBCEFBC,所以//MNEF，又因为MN平面AEF，EF

平面AEF，所以//MN平面AEF；因为11//,,AANEAANE=所以四边形1AENA平行四边形，所以1//,ANAE又1AN平面AEF，AE平面AEF，所以1//AN平面AEF；又因为1ANMNN=,且1

AN平面1AMN,MN平面1AMN,所以平面1//AMN平面AEF，因为P是侧面11BCCB内一点，且1//AP平面AEF，则点P必在线段MN上，在直角三角形11ABM中，222111115122AMABBM=+=+=

,在直角三角形11ABN中，的为222111115122ANABBN=+=+=,当P在MN中点O时，1APMN⊥时，1AP最短，P在,MN时，1AP最长，2222115232244AOAMOM=−=−=,1152AMAN==,所以线段

1AP长度的取值范围是325,42故选:C.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.在下列四个命

题中，正确的是（）A.若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0B.任意直线都有倾斜角，且当90时，斜率为tanC.若一条直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为D.直线的倾斜角越大，则其斜率越大【答

案】AB【解析】【分析】根据倾斜角和斜率的关系逐项判断即可.【详解】当090时，其斜率tank0=，所以A正确；根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角90

时，直线的斜率为tan，所以B正确；若一条直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为180Zkk=+，，且0180.，故C不正确；直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确；故选：AB.10.已知空间向量a=（1，－

1，2），则下列说法正确的是（）A.6a=B.向量a与向量b=（2，2，－4）共线C.向量a关于x轴对称的向量为（1，1，－2）D.向量a关于yOz平面对称的向量为（－1，1，－2）【答案】AC【解析】【分析】根据空间向量的模、共线、对称等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【

详解】()()2221,1,2,1126aa=−=+−+=，A选项正确.()1122,2,4,224b−=−=−，所以,abrr不共线，B选项错误.向量a关于x轴对称的向量，x不变，y和z变为相反数，即

向量a关于x轴对称的向量为()1,1,2−，C选项正确.向量a关于yOz平面对称的向量，y和z不变，x变为相反数，即向量a关于yOz平面对称的向量为()1,1,2−−，D选项错误.故选：AC11.下列说法正确的是（）A.甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25

，则题被解出的概率是0.625B.若A，B是互斥事件，则()()()PABPAPB=C.某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则初级教师应抽取1

5人D.一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是34【答案】AC【解析】【分析】先求此题不能解出的概率，再利用对立事件可得此题能解出的概率可判断A；由()()()PABPAPB=+，()0PAB=

可判断B；计算出初级教师应抽取的人数可判断C；由列举法得出两位女生相邻的概率可判断D.【详解】对于A，∵他们各自解出的概率分别是12，14，则此题不能解出的概率为11311248−−−=

，则此题能解出的概率为35188−=，故A对；对于B，若A，B是互斥事件，则()()()PABPAPB=+，()0PAB=，故B错；对于C，初级教师应抽取5030%15=人，故C正确；对于D，由列举法可知，用1、2表示两名

女生，a表示男生，则样本空间{}12,12,21,21,12,21aaaaaa=两位女生相邻的概率是4263=，故D错.故选：AC.12.如图，在四棱锥SABCD−中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，SAAB=，,

OP分别是,ACSC的中点，M是棱SD上的动点，则下列说法中正确的是（）A.OMAP⊥B.存在点M，使//OM平面SBCC.存在点M，使直线OM与AB所成的角为30D.点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐

标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意可知,,ABADAS两两相互垂直，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设2ABADAS===，()()()()0,0,2,2,2,0,1,1,1,1,1,0SCPO，设()0,,2Mtt−，(

)1,1,2OMtt=−−−，所以1120OMAPtt⊥=−+−+−=，所以OMAP⊥，A选项正确.点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为22tt−+=为定值，D选项正确.()2,0,0B，()()2,0,2,0,2,0SBBC=−=，设平面SBC的法向量为(),,nxyz=，则22

020nSBxznBCy=−===，故可设()1,0,1n=，要使//OM平面SBC，OM平面SBC，则()()1,1,21,0,11210OMntttt=−−−=−+−=−=，解得1t=，所以存在点M，使//OM平面SBC，B选项正确.若直线O

M与直线AB所成角为30，则()()222213cos3022661122OMABOMABtttt−====−++−+−，23970,8143730tt−+==−=−，无解，所以C选项错误.故选：ABD第Ⅱ卷（主观题/非选题共90分

）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分）13.过点()23A,且与直线260xy+−=平行的直线方程是______．【答案】280xy+−=【解析】【分析】

根据给定条件，设出所求直线的方程，利用待定系数法求解作答.【详解】设与直线260xy+−=平行的直线方程是20(6)xymm+−=，依题意，2230m+−=，解得8m=，所以所求直线方程是280xy+−=.故答案为：28

0xy+−=14.过点()5,2A−，且在y轴上的截距等于在x轴上的截距的2倍的直线的一般方程是______.【答案】280xy++=或250xy+=【解析】【分析】根据直线是否过原点进行分类讨论，结

合()5,2A−点的坐标求得直线的一般方程.【详解】①当在x轴、y轴上的截距都是0时，设所求直线方程为ykx=，将(5,2)−代入ykx=中，得25k=−，此时直线方程为25yx=−，即250xy+=.②当在x轴、y轴上的截距都不是0时，设所求直线方

程为1(0)2xyaaa+=，将(5,2)−代入12xyaa+=中，得4a=−，此时直线方程为280xy++=.综上所述，所求直线方程为280xy++=或250xy+=.故答案为：280xy++=或250xy+=15.

第十九届亚洲运动会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行．为了让更多的同学了解亚运会，学校团委举行了“迎亚运，猜谜语”活动．甲、乙两位同学组队代表班级参加此次迷语竞猜活动．比赛共两轮，每人每轮各猜一个谜语．已知甲每轮猜

对谜语的概率为23，乙每轮猜对谜语的概率为12，若甲、乙两人每轮猜对谜语与否互不影响，前后两轮猜对谜语结果也互不影响，则甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为___________．【答案】13【解析

】【分析】讨论甲乙猜对的个数情况利用概率公式计算即可.【详解】甲乙共猜对3个谜语有如下两种情况：甲猜对一个，乙猜对两个，其概率为：212112132329−=；或甲猜对两个，乙猜对一个，其概率

为：211222132239−=，故甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为121993+=.故答案为：1316.在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足()1AMxAByACxyAD=+−+−，点N满足=BNBA()1BC+−，则点M与平面B

CD的位置关系是______；当AM最小且BNuuur最小时，AMMN=______．【答案】①.M平面BCD②.43−【解析】【分析】由四点共面和三点共线的性质（系数之和为1），由M满足()1AMxAByACxyAD=+−+−可知M与,,BCD共面，由点N满足=

BNBA()1BC+−可知N与,AC共线.根据AM最小且BNuuur最小时，确定出,MN的具体位置，然后根据数量积进行计算.【详解】解：由四点共面定理及三点共线定理可知：()()11,11xyxy++−−+=+−=M

平面BCD，N直线AC，当AM最小且BNuuur最小时，则M是等边BCD的中心，N是AC边中点.所以2323=2=323BM，22222326233AMABBM=−=−=,又因为N是AC边中点，所以()12MNMAMC=+故AMMN=()()211

1222AMMNMAMCAMMAAMMCAMAM=+=+=−21264233=−=−.故答案为：M平面BCD，43−【点睛】本道题从空间四点共面和三点共线的常用结论，判断出点的位置，然后又考查到向量加法的一个重要中线性质，把数量积中一个向量用中线性质表

示出来，把数量积的求解变得简单了许多，这是一道向量的综合类题目，考查了向量的多个知识点.四．解答题（共6小题，17题10分，18~22题每题12题，共70分，每题要写出必要的证明，演算过程，推论或步骤）17.已知直线1l：()()21210axay−−−+=，直线2l：()1210axy

+−−=．（1）若12ll∥，求实数a的值；（2）若12ll⊥，求实数a的值．【答案】（1）5a=；（2）1a=或52a=−．【解析】【分析】（1）根据直线平行的条件列式计算即可，平行时要排除重合的情况；（2）根据直线垂直的条件列式计算即可．【小问1详解】解：12ll∥,(

)()()()21221aaa−−=−+,整理得250aa−=，解得0a=或5a=，当0a=时，1l与2l重合，舍去，故5a=．【小问2详解】解：12ll⊥，()()()()211220aaa−

++−−=，22350aa+−=，1a=或52a=−．18.如图，在空间四边形OABC中，2BDDC=，点E为AD的中点，设OAa=，OBb=，OCc=．（1）试用向量a，b，c表示向量OE；（2）若2OAOBOC===，60AOCBOCAOB===，求OEBC的值．【

答案】（1）111236OEabc=++（2）13−【解析】【分析】（1）先把OD表示出来，然后由点E为AD的中点得1122OEOAOD=+，化简即得结果；（2）把,OEBC用,,OAOBOC表示，然后利用数量积的运算律结合已知条件即可求出结果.【小问1详解】因为2BDDC=

，所以()1133BDBCOCOB==−，所以()121333ODOBBDOBOCOBOBOC=+=+−=+，因为点E为AD的中点，所以111111222212111133363622OOBOCOBOCbEOAODOAOAac=+=+=++++=+.【小问2详解】因为BCOCOB=−，

113612OOEOABOC=++，所以()211361COOEBCBOCOOAOB=+−+221111126623OCOAOCOBOCOBOAOB=++−−2211111111122222222226262233=++−−=−.19.已知直线

l经过点()1,2P−.（1）若l不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求l的点斜式方程；（2）设l的斜率0,kl与两坐标轴的交点分别为A、B，当AOB的面积最小时，求l的斜截式方程.【答案】（1）21yx−=+（2）24yx=+【解析】【分析】（1）设出直线l的点斜式方程，利用截距和为零建立斜率

的方程，求解斜率即可写出点斜式方程；（2）先利用截距表示AOB的面积，然后利用基本不等式求解最值，即可得到所求直线l的方程.【小问1详解】由题意知，l的斜率存在且不为0，设斜率为k，则l的点斜式方程为()21ykx−=+，则它在两坐标轴上截距分别为21k−−和2k+，所以2120kk

−−++=，解得2k=−（此时直线过原点，舍去）或1k=，所以l的点斜式方程为21yx−=+.【小问2详解】由（1）知，()21,0,0,2ABkk−−+，()0k，所以AOB的面积212(2

)221222242222kkkSkkkkk+=−−+==+++=，当且仅当22kk=即2k=时，等号成立，l的点斜式方程为()221yx−=+，即24yx=+，所以l的斜截式方程为24yx=+.20.某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定

量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：)20,30，)30,40，)40,50，)50,60，)60,7

0，)70,80，得到的频率分布直方图如图所示.（1）估计在这40名读书者中年龄分布在区间)40,70上的人数；（2）求这40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）从年龄在区间)20,40上的读书者中任选两名，求这两名读书者年龄在区间)30,40上的人数恰为1的概率.

【答案】（1）30（2）平均数为54；中位数55（3）815.【解析】【分析】（1）先根据频率分布直方图求出频率，再根据频数的计算方法可得答案；（2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加可得

样本的平均数，根据中位数的定义可求得样本的中位数；（3）计算出抽取的6人中，位于)20,30的有2人，记为,AB，数学成绩位于)30,40的有4人，记为abcd,,,，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件

，利用古典概型的概率公式即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图知，年龄在区间)40,70上的频率为()0.0200.0300.025100.75++=.所以40名读书者中年龄分布在区间)40,70上的人数为400.7530

=.【小问2详解】40名读书者年龄的平均数为250.05350.1450.2550.3650.25750.154+++++=.设40名读书者年龄中位数为x，则()0.050.10.2500.030.5

x+++−=，解得：55x=，即40名读书者年龄的中位数为55岁.【小问3详解】由频率分布直方图知：年龄在区间)20,30上的读书者有2人，分别记为,AB，年龄在区间)30,40上的读书者有4人，分别记为abcd,,,.从上述6人中选出2人，则有()(

)()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,ABAaAbAcAdBaBbBcBd()()()()()(),,,,,,,,,,,abacadbcbdcd，共15种情况；其中恰有1人在)30,40的情况有()()()()()()()(),,,,,,,,,

,,,,,,AaAbAcAdBaBbBcBd，共8种情况；所以恰有1人在)30,40的概率815P=.21.如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA⊥平面ABC，ABAC⊥，11ABACAA===，M为线段的

11AC上一点.（1）求证：1BMAB⊥；（2）若直线1AB与平面BCM所成角为4，求点1A到平面BCM的距离.【答案】（1）证明过程见解析；（2）13.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可；（2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面

距离公式进行求解即可【小问1详解】因为1AA⊥平面ABC，,ABAC平面ABC，所以11,AAABAAAC⊥⊥，而ABAC⊥，因此建立如图所示的空间直角坐标系：11(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(1,

0,1),(0,,1)([0,1])AABCBMaa，1(1,,1),(1,0,1)BMaAB=−=，因为1110110BMABa=−++=，所以1BMAB⊥，即1BMAB⊥，【小问2详解】设平面BCM的法向量为(,,)nxyz=，(1,,1),(1,1,0)BMa

BC=−=−，所以有00(1,1,1)00xayznBMnaxynBC−++===−−+==，因为直线1AB与平面BCM所成角为4，.所以1122211122cos,sin42211(1)2a

ABnABnABna+−===++−，解得12a=，即1(1,1,)2n=，因为1(1,0,1)AB=−，所以点1A到平面BCM的距离为：111121221112cos,31112ABnABnABABABn−=

==++.【点睛】22.在四棱锥SABCD−中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SBSC=，M是BC的中点.1ABSM==，2BC=.（1）求证；AMSD⊥；（2）求直线SA与平面SCD所成角的正弦值；（3）在线段SD上是否存在点P，使得面AMP

⊥面SCD，若存在，求:SPSD的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）63（3）存在，且:1:3SPSD=.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得AMSD⊥.（2）利用向量法求得直线SA与平面SCD所成角的正弦值.（3）设SPtSD=，利

用面AMP⊥面SCD求得t，由此得出正确结论.【小问1详解】由于SBSC=，M是BC的中点，所以SMBC⊥，由于平面ABCD⊥平面SBC且交线为BC，所以SM⊥平面ABCD.以B为原点建立如图所示空间直角坐标系，()()()()1,0,0,0,1,0,0,1,1,1,2,

0AMSD，()()1,1,0,1,1,1,0AMSDAMSD=−=−=，所以AMSD⊥.【小问2详解】()1,1,1AS=−，()0,2,0C，()()1,0,0,0,1,1CDCS==−，设平面SCD的法向量为(),,mxyz=，则

00mCDxmCSyz===−+=，故可设()0,1,1m=.设直线SA与平面SCD所成角为，则26sin332mASmAS===.【小问3详解】设()01SPttSD=，()1,1,0AM=−，APOPOASPSOOA=−=

−−()()()(),,0,1,11,0,01,1,1tSDOSOAtttttt=+−=−+−=−+−+，设平面AMP的法向量为()111,,nxyz=，则()()()111110111nAMxynAPtxtytz=−+==−+++−+，故可设21,1,1tnt

=−，若面AMP⊥面SCD，则231110,113ttmnttt−=+===−−.所以存在点P使面AMP⊥面SCD，此时:1:3SPSD=.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com