【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第03讲 不等关系与一元二次不等式 Word版含解析.docx，共(7)页，624.986 KB，由管理员店铺上传

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第3讲不等关系与一元二次不等式思维导图知识梳理1．两个实数比较大小的依据(1)a－b＞0⇔a＞b.(2)a－b＝0⇔a＝b.(3)a－b＜0⇔a＜b.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c

；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc;a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方性：a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)．3．一元二次不等式与相应的二次函数及

一元二次方程的关系如下表判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，有两相等实根x1＝x2没有实数根x2(x1<x2)＝－b2aax2＋bx＋c>0(a>0)的

解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅核心素养分析用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等

式。通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。题型归纳题型1不等式的性质及应用【例1-1】（2020春•湖北期中）下列命题中，正确的是()A．若acbc，则abB．若ab，cd，则acbdC．若0ab，

则22abD．若ab，cd，则acbd−−【分析】根据不等式的基本性质，对选项中的命题判断正误即可．【解答】解：对于A，由acbc，0c时，ab；0c时，ab，所以A错误；对于B，当0ab，0cd时，有acbd，所以B错误；对于C，当0ab时，有

22ab，所以C正确；对于D，由ab，cd，得出dc−−，所以adbc−−，D错误．故选：C．【跟踪训练1-1】（2020•玉溪二模）若01ba，1c，则()A．ccabB．cca

bbaC．loglogabccD．loglogabacbc【分析】分别根据幂函数指数函数对数函数的单调性，可以排除ACD，问题得以解决．【解答】解：01ba，1c，(0)yx=在(0,

)+为增函数，可得ccba；A错；11ccab−−，ccbaab，故B对，0loglogbacc，故C错误，loglog0abcc−−0ab；loglogabacbc−−即loglogabacbc，故D错误．故选：B．

【名师指导】比较大小的方法(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．题型2一元二次不等式

的解法【例2-1】（2019秋•河东区期中）不等式28610xx−+的解集为．【分析】不等式化为(21)(41)0xx−−，求出解集即可．【解答】解：不等式28610xx−+可化为(21)(41)0xx−−，解得1142x，所以不等式

的解集为11{|}42xx．故答案为：11{|}42xx．【例2-2】（2019·杭州模拟）求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．【分析】根据a的取值分类讨论.【解答】原不等式可化为12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋

a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a3.当a>0时，不等式的解集为－∞，－a4∪a3，＋∞；当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a<0时，不等式的解集为－∞，a3∪－a4，＋∞.【跟踪训练2-1】（2020春•启

东市校级月考）一元二次不等式2260xx+−…的解集为()A．3(,2][,)2−−+B．3(,][2,)2−−+C．3[2,]2−D．3[,2]2−【分析】一元二次不等式化为(2)(23)0xx+−…，求出解集即可．【解答】解：一元二次不等式2260xx+−…可化为(2)(23)0xx

+−…，解得2x−„或32x…，所以原不等式的解集为(−，32][2−，)+．故选：A．【跟踪训练2-2】（2019秋•嘉兴期末）已知不等式20axbxc++的解集是{|}xx，0，则不等式20cxbxa++的解集是

()A．11(,)B．(−，11)(，)+C．(,)D．(−，](,)+【分析】根据不等式20axbxc++的解集得出，是一元二次方程20axbxc++=的实数根，得出+和的关系，把不等式20cxbxa++化为2()10xx−++，

求出解集即可【解答】解：不等式20axbxc++的解集是{|}(0)xx，则，是一元二次方程20axbxc++=的实数根，且0a；ba+=−，ca=；不等式20cxbxa++化为

210cbxxaa++，2()10xx−++；化为(1)(1)0xx−−；又0，110；不等式20cxbxa++的解集为：11{|}xx，故选：A．【名师指导】1.解一元二次不等式的4个步骤2.解含参数的一

元二次不等式的步骤(1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；(2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两

根的大小关系，从而确定不等式的解集．题型3一元二次不等式的恒成立或有解问题【例3-1】（2020•一卷模拟）已知关于x的不等式2230axxa−+在(0，2]上有解，则实数a的取值范围是()A．3(,)3−B．4(,)7−C．3(,)3+D．4(,)7

+【分析】由题意不等式化为32aaxx+，讨论0a=、0a和0a时，分别求出不等式成立时a的取值范围即可．【解答】解：(0x，2]时，不等式可化为32aaxx+；当0a=时，不等式为02，满足题意；当0a时，不等式化为32xxa+，则23223x

ax=，当且仅当3x=时取等号，所以33a，即303a；当0a时，32xxa+恒成立；综上知，实数a的取值范围是3(,)3−．故选：A．【例3-2】（2018秋•凌源市期末）不等式210xkx−

+对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是．【分析】设21yxkx=−+，将不等式恒成立的问题转化为函数21yxkx=−+图象始终在x轴上方，进而根据判别式处理即可．【解答】解：依题意，设21yxkx=−+，因为不等式210xkx−+对任意实数x都成立，所以△240k=−，解得(2,2)k

−，故答案为：(2,2)−．【跟踪训练3-1】（2020春•湖北期中）若关于x的不等式210axax++„的解集为，则实数a的取值范围是()A．[0，4]B．(0,4)C．(−，0](4,)+D．[0，4)【分析】对二次项系数分为0和不为0两

种情况讨论，在不为0时，把解集为化为所对应图象均在x轴上方，列出满足的条件即可求实数a的取值范围．【解答】解：当0a=时，不等式化为10„，解集为空集，符合要求；当0a时，因为关于x的不等式210axax++„的解集为，即所对应图象均在x轴上方，2040aaa=−，解

得04a；综上，满足要求的实数a的取值范围是[0，4)．故选：D．【跟踪训练3-2】（2019秋•崇川区校级月考）关于x的不等式220xax+−在区间[1，4]上有实数解，则实数a的取值范围是.【分析】关于x的不等式220xax+−在区间[1，4]上有解，等价于2(

)maxaxx−，其中[1x，4]，求出2()fxxx=−在[1x，4]的最大值即可．【解答】解：关于x的不等式220xax+−在区间[1，4]上有实数解，等价于2()maxaxx−，[1x

，4]；设2()fxxx=−，其中[1x，4]，则函数()fx在[1x，4]内单调递减，当1x=时，函数()fx取得最大值为f（1）1=；所以实数a的取值范围是(,1)−．故答案为：(,1)−．【名师指导】1.一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成

立的充要条件是a>0，b2－4ac<0.(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是a<0，b2－4ac<0.2.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f(x)>

0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x

)max≤a，即n≤a.