福建省三明市第一中学2024-2025学年高二上学期8月开学考试 数学 Word版含解析

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【文档说明】福建省三明市第一中学2024-2025学年高二上学期8月开学考试 数学 Word版含解析.docx,共(22)页,1.791 MB,由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

三明一中2024-2025学年上学期高二8月月考数学试卷(考试时间:120分钟满分:150分)第Ⅰ卷(选择题共58分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,仅有一项是符合题目要求的.1.如图,在长方体1111OABCOABC−中,4OA=,6

OC=,12OO=,点P是11BC的中点,则点P的坐标为()A.(2,6,2)B.(3,4,2)C.(4,6,2)D.(6,2,1)2.若,,abc构成空间一组基底,则下列向量不共面的为()A.a,ab+,

ac+B.a,b,2ab+C.a,−ac,cD.b,ac+,abc++3.下列说法不正确的是()A.若直线l垂直于平面,则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量B.若n是平面的一个法向量,则n与平面内任意一条直线的方向向量均垂直C.0是任意一

个平面的一个法向量D.一个平面的法向量是不唯一的4.如图,在正三棱柱111ABCABC−中,点M为棱AB的中点,点N为上底面111ABC的中心,用空间的一组基1,,CACBCC表示MN,则()的A.11166MNC

ACBCC=−+B.11166MNCACBCC=−−+C.11166MNCACBCC=−++D.11166MNCACBCC=++5.空间向量()1,0,1a=在()0,1,1b=上的投影向量为()A.11,0,22B

.22,0,22C.110,,22D.220,,226.由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱1111ABCDABCD−(如图所示),点P是正方形1111DCBA的中心,则向量1AAAP=()A1B.2

C.4D.87.已知()1,1,1A−−−,直线l过原点且平行于(0,1,2)a=,则A到l的距离为().A.255B.1C.305D.3558.已知一对不共线的向量a,b的夹角为,定义ab为一个向量,其模长为sinabab=,其方向同时与向量a,b垂直(如图1所示).在平行六

面体OACBOACB−中(如图2所示),下列结论错误的是().A.12OABSOAOB=B.当π0,2AOB时,tanOAOBOAOBAOB=C.若2OAOB==,2OAOB=,则3OAOB=D.平行六面体OACBOACB−的

体积()VOOOAOB=二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分.9.设直线12,ll的

方向向量分别为12,uu,平面,的法向量分别为12,nn,则下列命题正确的是()A.若12ll⊥,则120uu=B.若1l⊥,则110un=C.若//,则R,使得12nn=uruurD.若

⊥,则12nn⊥10.关于空间向量,以下说法正确的是()A.若0ab,则向量a,b夹角是锐角B.空间中三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面C.若对空间中任意一点O,有1121243OPOAOBOC=++,则P,A,B

,C四点共面D.若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不共面11.在四面体ABCD−中,已知2ABCD==,2ACADBCBD====,则()A.直线AC与DB所成的角为120B.直线AD与

平面ABC所成角的正弦值为217C.平面ABC与平面ABD夹角的余弦值为57D.若E,F分别是AB,CD上的动点,则EF的最小值为3第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12已知向量()2,3,2a=−,()2,,1bm=

−−,且ab⊥,则m=________.13.已知直线l与平面垂直,直线l的一个方向向量为9(,3,)2uz=−,向量(3,2,1)v=−为平面的法向量,则z=________.的的.14.正方体11

11ABCDABCD−的棱长为4,,EF分别为11,ADBC上的点,11AECF==,,PQ分别为111,BBCD上的动点.若点,,,ABPQ在同一球面上,当PQ⊥平面1AEF时,该球的表面积为__________

.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图,在空间四边形ABCD中,F,M,G分别是BD,BC,CD的中点,化简下列各式:(1)()12ABBCBD++;(2)()12AGABAC−+;(3)ACGDMB++

.16.已知空间三点()2,0,2A−,()1,1,2B−,()3,0,4C−,设aAB=,bAC=.(1)若kab+与2kab−互相垂直,求实数k的值;(2)若3c=,//cBC,求c.17.如图,在平行六面体1111ABCDABCD−中,11ABADAA===,1160AABAADBAD=

==.(1)求体对角线1AC的长度;(2)求证:四边形11BDDB为正方形.18.如图,在四棱锥PABCD−中,平面PDC⊥平面ABCD,ADDC⊥,//ABDC,112ABCDAD===,M为棱PC的中点.(1)证明://

BM平面PAD;(2)若5PC=,1PD=.(ⅰ)求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值;(ⅱ)在线段PA上是否存在点Q,使得点Q到平面BDM的距离是269?若存在,求出PQ的值;若不存在,说明理由.19.在空间直角坐标系Oxyz中,已知向量(,,)nabc=,点(

)0000,,Pxyz.若直线l以n为方向向量且经过点0P,则直线l的标准式方程可表示为000(0)xxyyzzabcabc−−−==;若平面以n为法向量且经过点0P,则平面的点法式方程可表示为

()()()0000axxbyyczz−+−+−=,一般式方程可表示为0axbyczd+++=.(1)证明:向量(,,)nabc=是平面:0axbyczd+++=的法向量;(2)若平面1:210xy+−=,平面1:210yz−+=,直线l为平面1和平面1

的交线,求直线l的单位方向向量(写出一个即可);(3)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为2、2、,其中平面2经过点(4,0,0),(3,1,1)−,(1,5,2)−,平面2:4yz+=,平面:(1)(2)30mxmymz+++++=,求实数m的值.三明一中2

024-2025学年上学期高二8月月考数学试卷(考试时间:120分钟满分:150分)第Ⅰ卷(选择题共58分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,仅有一项是符合题目要求的.1.

如图,在长方体1111OABCOABC−中,4OA=,6OC=,12OO=,点P是11BC的中点,则点P的坐标为()A.(2,6,2)B.(3,4,2)C.(4,6,2)D.(6,2,1)【答案】A【解

析】【分析】根据题意,结合空间直角坐标系的坐标的写法,结合中点公式,即可求解.【详解】由题意,长方体1111OABCOABC−中,4OA=,6OC=,12OO=,可得11(4,6,2),(0,6,2)BC,因为点P

为11BC的中点,由中点公式可得,点P的坐标为(2,6,2)P.故选:A.2.若,,abc构成空间的一组基底,则下列向量不共面的为()A.a,ab+,ac+B.a,b,2ab+C.a,−ac,cD.b,ac+,abc++

【答案】A【解析】【分析】根据向量共面的条件对选项逐一分析即可.【详解】{},,abcrrr构成空间的一组基底,则,bc不共线,假设,,aabac++共面,则存在不全为零的实数,st,使()()asabtac=+++,即()astasbtc=+++,则0,0stsbtc+=+=

,则,stbc=−=,与,bc不共线矛盾,故,,aabac++不共面;(2)2aabb=+−,故,,2abab+共面;()aacc=−+,故,,aacc−共面;()abcacb++=++,故,,bacabc+++共面.故选:A.3.下列

说法不正确的是()A.若直线l垂直于平面,则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量B.若n是平面的一个法向量,则n与平面内任意一条直线的方向向量均垂直C.0是任意一个平面的一个法向量D.一个平面的法向量是不唯

一的【答案】C【解析】【分析】由直线方向向量的定义,平面的法向量的定义及性质即可判断.【详解】对于A,根据直线的方向向量的定义及平面的法向量的定义可知,若直线l垂直于平面,则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量,是正确的;对于

B,由平面的法向量的定义可知,平面的法向量垂直于平面共面的所有向量,若n是平面的一个法向量,则n与平面内任意一条直线的方向向量均垂直,是正确的;对于C,由平面的法向量的定义可知,0是任意一个平面的一个法向

量,是错误的;对于D,由平面的法向量的定义可知,一个平面的法向量是不唯一的,是正确的.故选:C.4.如图,在正三棱柱111ABCABC−中,点M为棱AB的中点,点N为上底面111ABC的中心,用空间的一组基1,,CACBCC表示MN,则()的A.1

1166MNCACBCC=−+B.11166MNCACBCC=−−+C.11166MNCACBCC=−++D.11166MNCACBCC=++【答案】B【解析】【分析】结合正三棱柱的性质和空间向量的运算可得答案.【详解】取下底面A

BC的中心Q,连接,NQCM,则13MQCM=−,∴()1111111133266MNMQQNCMCCCACBCCCACBCC=+=−+=−++=−−+.故选:B.5.空间向量()1,0,1a=在()0,1,1b=上的投影向量为()A.11,0,22B

.22,0,22C.110,,22D.220,,22【答案】C【解析】【分析】根据投影向量公式计算即可.【详解】1ab=,2112b=+=,由投影向量的定义和公式可知a在b的投影向量为()21110,1,10,,222abbb

==,故选:C.6.由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱1111ABCDABCD−(如图所示),点P是正方形1111DCBA的中心,则向量1AAAP=()A.1B.2C.4D.8【答案】A【解析】【分析】根据数量积的几何意义即

可求解.【详解】由正四棱柱性质可知,向量AP在1AA上的投影向量为1AA,由数量积的几何意义可知,2111AAAPAA==.故选:A7.已知()1,1,1A−−−,直线l过原点且平行于(0,1,2)a=,则A到l的距离为().A.255B.1C.305D.355【答

案】C【解析】【分析】根据题意取()0,1,2P,然后求出AP在a方向上的投影,再结合勾股定理可求得结果.【详解】由题意取()0,1,2P,则(1,2,3)AP=,所以A到l的距离为222222226643

0(123)145512APadAPa+=−=++−=−=+.故选:C8.已知一对不共线的向量a,b的夹角为,定义ab为一个向量,其模长为sinabab=,其方向同时与向量a,b垂直(如图1所示).在平行六面体OACBOACB−中(

如图2所示),下列结论错误的是()A.12OABSOAOB=B.当π0,2AOB时,tanOAOBOAOBAOB=C.若2OAOB==,2OAOB=,则3OAOB=D.平行六面体OACBOACB−的体积()VOOOAOB=【答案】C【解析】【分

析】A.根据三角形的面积公式,结合新定义公式,即可判断;B.结合新定义和数量积公式,即可判断;B.根据条件求AOB,即可判断;D.根据新定义和数量积的几何意义,即可判断.【详解】对于A,1||||sin2ABOSOAOBAOB=△,而||||||sinOAOBOA

OBAOB=,故1||2ABOSOAOB=△,正确;对于B,||||cosOAOBOAOBAOB=,当π0,2AOB时,tanAOB有意义,则tansinOAOBAOBOAOBAOB

OAOB==,正确;对于C,因为||||2OAOB==uuruuur,2OAOB=,所以1cos2AOB=,3sin2AOB=,所以||23OAOB=,错误;对于D,OAOB的模长即为平行六面体底面OACB

的面积,且方向垂直于底面,由数量积的几何意义可知,|()|OOOAOB就是OO在垂直于底面OACB的方向上的投影向量的模长(即为平行六面体的高)乘以底面的面积,即为平行六面体的体积,正确.故选:C二、选择题:本题共3小

题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分.9.设直线12,ll的方向向量分别为12,uu,平面,的法向量分别为12,nn,则下列命题正确的是()

A.若12ll⊥,则120uu=B.若1l⊥,则110un=C.若//,则R,使得12nn=uruurD.若⊥,则12nn⊥【答案】ACD【解析】【分析】根据线线,线面,面面位置关系,即可得直线的方向向量

及法向量间的关系.【详解】对于A,若12ll⊥,则12uu⊥,所以120uu=,故A正确;对于B,若1l⊥,则11//un,故B错误;对于C,若//,则12//nn,所以则R,使得12nn=uruur,故C正确;对于D,若⊥,则12nn⊥,故D正确.

故选:ACD.10.关于空间向量,以下说法正确的是()A.若0ab,则向量a,b的夹角是锐角B.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面C.若对空间中任意一点O,有1121243OPOAOBOC=++,则P,A,B,C四点共面D.若分别表示空间两向量的有向线段所在的

直线是异面直线,则这两个向量不共面【答案】BC【解析】【分析】根据空间向量共面定理即可判断B;根据0ab,得到π,0,2ab,即可判断A;根据11211243++=判断四点共面即可判

断C;异面直线的平行线即可判断D.【详解】对A,若0ab,则π,0,2ab,则向量a,b的夹角可以为0不是锐角,故A错误;对B,根据空间向量共面定理知:空间中三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面,故B正确.的对C,因为1121243OPO

AOBOC=++,且11211243++=,所以,,,PBAC四点共面,故C正确.对D,分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量是异面直线的平行线可以共面,故D错误.故选:BC.11.在四面体ABCD−中,已知2ABCD==,2ACADBCBD

====,则()A.直线AC与DB所成的角为120B.直线AD与平面ABC所成角的正弦值为217C.平面ABC与平面ABD夹角的余弦值为57D.若E,F分别是AB,CD上的动点,则EF的最小值为3【答案】BCD【解析】【分析】由题意,把四面体ABCD−放置在一个长方体中,设长方体

棱长分别为,,abc,求得3,1abc===,以O为坐标原点,结合向量的坐标运算,以及向量的夹角公式,逐项判定,即可求解.【详解】由题意,把四面体ABCD−放置在一个长方体中,如图所示,设长方体的棱长分

别为,,abc,可得222222424acbcab+=+=+=,解得3,1abc===,以O为坐标原点,以,,OBOAOD所在的直线分别为,,xyz轴,建立空间直角坐标系,对于A中,直线AC

与DB为异面直线,所以直线AC与DB所成的角,则π(0,]2,所以A不正确;对于B中,由(0,0,1),(1,0,0),(1,3,1),(0,3,0)ABCD,可得(0,3,1),(1,0,1),(1,3,

0)ADABAC=−=−=,设平面ABC的法向量为(,,)nxyz=,则030ABnxzACnxy=−==+=,令3y=−,可得3,3xz==,所以(3,3,3)n=−,设直线AD与平面ABC所成角为,的的可得3

321sincos,7221ADn−−===,所以B正确;对于C中,由(0,3,1),(1,0,1)ADAB=−=−,设平面ABD的法向量为1111(,,)nxyz=,则111111300ADnyzABnxz

=−==−=,令13y=,可得113xz==,所以1(3,3,3)n=,设平面ABC和平面ABD所成的角为,可得111155coscos,72121nnnnnn====,所以C正确;对于D中,取,ABCD的中点,EF,分别连接,,,ECEDAFBF,因为2ACA

DBCBD====,可得,ABECABED⊥⊥和,CDAFCDBF⊥⊥,又因为ECEDE=,且,ECED平面ECD,所以AB⊥平面ECD,因为EF平面ECD,所以ABEF⊥,同理可证CDEF⊥,所以线段EF为异面直线AB和CD的公垂线段,即AB和CD上两动点的最短距离,又由

11(,0,)22E,11(,3,)22E,所以3EF=,即AB和CD上两动点的最短距离为3,所以D正确.故选:BCD.第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知向量()2,3,2a=−,()2,,1bm=−−,且ab⊥,则m=________.

【答案】2【解析】【分析】根据空间向量垂直的坐标关系即可求解.【详解】由于ab⊥,所以4320abm=−+=,解得2m=,故答案为:213.已知直线l与平面垂直,直线l的一个方向向量为9(,3,)2uz=−,向量(3,2,1)v=−为平面

的法向量,则z=________.【答案】32−【解析】【分析】利用空间位置的向量关系即可求解.【详解】平面的法向量为(3,2,1)v=−,依题意,u⊥,则//vu,因此932321z−==−,所以32z=−.故答案为:32−14.正方体1111ABCDABCD−的棱长为4,,EF分别为

11,ADBC上的点,11AECF==,,PQ分别为111,BBCD上的动点.若点,,,ABPQ在同一球面上,当PQ⊥平面1AEF时,该球的表面积为__________.【答案】689π16【解析】【分析】建立适当的空间直角坐标,求出平面1AEF的法向量n,根据

PQ⊥平面1AEF,可得//nPQ,进而求出,PQ的坐标,再根据外接球球心O在过ABP的外心且垂直面ABP的垂线MN上,结合球心到球面上任何一点的距离都相等,即可求出半径以及球的表面积.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系,则()14,0,0,(3,0,

4),(1,4,0)AEF,()111,0,4,(3,4,0),AEAF=−=−设平面11AEC的法向量为(),,nxyz=,()0,,0,(4,4,)QaPb,则40340xzxy−+=−+=,令4x=,解得3,1yz==,所

以()4,3,1n=,又PQ⊥平面1AEF,所以//nQP,所以()()4,3,14,4,ab=−,解得:1ab==,再根据下图:作AP的平行线DK,,,MNG分别为,,APDKAQ的中点,连接,MNPK,因为ABP为直角三角形,故,,,ABPQ的外接球球心

O在过ABP的外心且垂直面ABP的垂线MN上,连接GO,根据球心到球面上任何一点的距离都相等,故OAOQ=,故GOAQ⊥,由题可设5,2,2Ot,12,,22G,所以312,,22OGt=−−−,又()4,1,4AQ=−−,所以()342202OGAQt

=−−−+=,解得:158t=,所以155,2,82O所以()2222217368928264ROA==+−+=,所以球的表面积为2689ππ641SR==,故答案为:689π16【点睛】

关键点睛:解决与球有关的内切或外接的问题时,解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的内接几何体的问题,注意球心到各个顶点的距离相等,解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形,利用勾股定理求得球的半径.四

、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图,在空间四边形ABCD中,F,M,G分别是BD,BC,CD的中点,化简下列各式:(1)()12ABBCBD++;(2)()12AGABAC−+;(3)ACGDMB

++.【答案】(1)AG(2)MG(3)AF【解析】【分析】(1)由于G是CD的中点,所以()12BCBDBG+=,再根据空间向量的加法运算即可求出结果;(2)由于M是BC的中点,所以()12ABACAM+=,再根据空间向量的减法运算即可求出结果;(3)由于

M,G分别BC,CD的中点,所以11,22MBCBGDCD==,又F是BD的中点,()12CDCBCF+=,再根据空间向量的加法运算即可求出结果;【小问1详解】解:因为G是CD的中点,所以()12BCBDB

G+=,所以,()12ABBCBDABBGAG++=+=;【小问2详解】解:因为M是BC的中点,所以()12ABACAM+=,所以,()1=2AGABACAGAMMG−+−=;【小问3详解】解:因为M,G分别BC,C

D的中点,所以11,22MBCBGDCD==,又F是BD的中点,()12CDCBCF+=,所以,()111222ACGDMBACCDCBACCDCBACCFAF++=++=++=+=.16.已知空间三点()2,0,2A

−,()1,1,2B−,()3,0,4C−,设aAB=,bAC=.(1)若kab+与2kab−互相垂直,求实数k的值;(2)若3c=,//cBC,求c.【答案】(1)2k=或52−(2)()2,1,2−−或()2,1,2−【解析】【分析】(1)根据空间向量垂直得到方程,求出答案;(2)设(

),,cxyz=,根据平行和模长得到方程组,求出答案.【小问1详解】()()1,1,0,1,0,2ab==−,故()()(),,01,0,21,,2kabkkkk+=+−=−,()()()2,,02,0

,42,,4kabkkkk−=−−=+−,因为,2kabkab+−互相垂直,所以()()21280kkk−++−=,解得2k=或52−;【小问2详解】()()()3,0,41,1,22,1,2BC=−−−=−−,设(),,cxyz=,则212xyz==−−且2229xyz++=

,解得212xyz=−=−=或212xyz===−,故()2,1,2c=−−或()2,1,2c=−;17.如图,在平行六面体1111ABCDABCD−中,11ABADAA===,1160AABAADBA

D===.(1)求体对角线1AC长度;(2)求证:四边形11BDDB为正方形.【答案】(1)16AC=;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据给定条件,利用空间向量数量积的运算律求出1AC.(2)利用平行六面体的结构特征,结合已知及正方形的判断推理即得.【小问1详解

】在平行六面体1111ABCDABCD−中,111ACABBCCCADABAA=++=++,由11ABADAA===,1160BADBAADAA===,得11111122ADABABAAADAA====,所以222211111||(

)222ACADABAAADABAAADABABAAADAA=++=+++++6=.【小问2详解】在平行六面体1111ABCDABCD−中,111111////,BBAADDBBAADD==,则四边形11BDDB为平行四的边形,由1ABAD

==,60BAD=,得ABD△是等边三角形,即11BDDD==,则11BDDB为菱形;又111111()022BDBBADABAAADAAABAA=−=−=−=,则1BDBB⊥,即1BDB

B⊥,所以四边形11BDDB为正方形.18.如图,在四棱锥PABCD−中,平面PDC⊥平面ABCD,ADDC⊥,//ABDC,112ABCDAD===,M为棱PC的中点.(1)证明://BM平面PAD;(2)若5PC=,1PD=.(ⅰ)求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值

;(ⅱ)在线段PA上是否存在点Q,使得点Q到平面BDM的距离是269?若存在,求出PQ的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)(i)66;(ii)存在,223PQ=【解析】【分析】(1)取PD中点N,可证四边形ABMN是平行四边形,可得//BMAN,从

而得证;(2)(i)建立空间直角坐标系,利用向量法求解,(ii)假设存在点Q到平面BDM的距离为269,利用点到面的距离公式法求解即可.【小问1详解】取PD的中点N,连接AN,MN,如图所示:∵M为棱PC的中点,∴1,2MNCDMNCD=∥,∵1,2ABCDABCD=∥,

∴,ABMNABMN=∥,∴四边形ABMN是平行四边形,∴BMAN∥,又BM平面PAD,MN平面PAD,∴//BM平面PAD.【小问2详解】∵5,1,2PCPDCD===,∴222PCPDCD=+,∴PDDC⊥,∵平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC平面ABCDDC=,

PD平面PDC,∴PD⊥平面ABCD,又AD,CD平面ABCD,∴PDAD⊥,而PDCD⊥,ADDC⊥,∴以点D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图:则(0,0,1),(0,0,0),(1

,0,0),(0,2,0)PDAC,∵M为棱PC的中点,∴()10,1,,1,1,02MB(i)()10,1,,1,1,02DMDB==,设平面BDM的一个法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧),则1020

nDMyznDBxy=+==+=,令2z=,则1,1yx=−=,∴()1,1,2n=−,平面PDM的一个法向量为()1,0,0DA=,∴16cos,616nDAnDAnDA===,所以平面PDM面DMB夹角的余弦值为66.(ii)假设在线段PA上

存在点Q,使得点Q到平面BDM的距离是269,设,01PQPA=uuuruur,则()(),0,1,1,1,1QBQ−=−−−,由(2)知平面BDM的一个法向量为()1,1,2n=−,()11212BQn=−++−=−,∴

点Q到平面BDM的距离是22696BQnn−==,∴23=,∴223PQ=.19.在空间直角坐标系Oxyz中,已知向量(,,)nabc=,点()0000,,Pxyz.若直线l以n为方向向量且经过点0P,

则直线l的标准式方程可表示为000(0)xxyyzzabcabc−−−==;若平面以n为法向量且经过点0P,则平面的点法式方程可表示为()()()0000axxbyyczz−+−+−=,一般式方程可表示为0axbyczd+++=.(1)证明:向量(,,)nabc=是平面:

0axbyczd+++=的法向量;(2)若平面1:210xy+−=,平面1:210yz−+=,直线l为平面1和平面1的交线,求直线l的单位方向向量(写出一个即可);(3)若三棱柱的三个侧面所在平面分别

记为2、2、,其中平面2经过点(4,0,0),(3,1,1)−,(1,5,2)−,平面2:4yz+=,平面:(1)(2)30mxmymz+++++=,求实数m的值.【答案】(1)证明见解析(2)212,,333

−−(3)1m=−【解析】【分析】(1)由空间向量的垂直即可证明;(2)设直线l的方向向量l,由l与两平面的法向量垂直列方程求解;(3)写出三个平面的法向量,求得2与2交线的方向向量,进而可求解.【小问1详解】取平面0axbycz

d+++=内的任意两点()111,,Axyz,()222,,Bxyz,则1112220,0,axbyczdaxbyczd+++=+++=两式相减得,()()()2121210axxbyyczz−

+−+−=,即0nAB=,所以nAB⊥,从而n⊥,故(,,)nabc=是平面:0axbyczd+++=的法向量.【小问2详解】记平面1,1的法向量为1(1,2,0)=,1(0,2,1)=−,设直线l

的方向向量(,,)lxyz=,因为直线l为平面1和平面1的交线,所以1l⊥,1l⊥,即112020lxylyz=+==−=,取2x=,则(2,1,2)l=−−,所以直线l的单位方向

向量为212,,333−−.【小问3详解】设2:10axbycz+++=,由平面2经过点(4,0,0),(3,1,1)−,(1,5,2)−,所以4103105210aabcabc+=+−

+=−+++=,解得14140abc=−=−=,即2:4xy+=,所以记平面2、2、的法向量为2(1,1,0)=,2(0,1,1)=,(,1,2)mmm=++,与(2)同理,2与2确定的交线方向向量为(1,1,1)p=−,所以p⊥,即(1)21

0pmmmm=−+++=+=,解得1m=−.【点睛】关键点点睛:本题的关键,结合已知概念求出相关法向量,即可解决问题.

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