【文档说明】福建省三明市第一中学2024-2025学年高二上学期8月开学考试 数学 Word版含解析.docx，共(22)页，1.791 MB，由管理员店铺上传

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三明一中2024-2025学年上学期高二8月月考数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.1.如

图，在长方体1111OABCOABC−中，4OA=，6OC=，12OO=，点P是11BC的中点，则点P的坐标为（）A.(2,6,2)B.(3,4,2)C.(4,6,2)D.(6,2,1)2.若,,abc构成空间一组基底，则下列向量不共面的为（）A.

a，ab+，ac+B.a，b，2ab+C.a，−ac，cD.b，ac+，abc++3.下列说法不正确的是（）A.若直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量B.若n是平面的一个法向量，则n与平面内任意一条直线的方向向量均垂直C.

0是任意一个平面的一个法向量D.一个平面的法向量是不唯一的4.如图，在正三棱柱111ABCABC−中，点M为棱AB的中点，点N为上底面111ABC的中心，用空间的一组基1,,CACBCC表示MN，则（）的A.11166MNCACBCC=−+B.11166MNCACBCC

=−−+C.11166MNCACBCC=−++D.11166MNCACBCC=++5.空间向量()1,0,1a=在()0,1,1b=上的投影向量为（）A.11,0,22B.22,0,22C.11

0,,22D.220,,226.由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱1111ABCDABCD−（如图所示），点P是正方形1111DCBA的中心，则向量1AAAP=（）A

1B.2C.4D.87.已知()1,1,1A−−−，直线l过原点且平行于(0,1,2)a=，则A到l的距离为（）.A.255B.1C.305D.3558.已知一对不共线的向量a，b的夹角为，定义ab为一个向量

，其模长为sinabab=，其方向同时与向量a，b垂直（如图1所示）．在平行六面体OACBOACB−中（如图2所示），下列结论错误的是（）.A.12OABSOAOB=B.当π0,2AOB时，tanOAOBOAOBAOB=C.若2OAOB==

，2OAOB=，则3OAOB=D.平行六面体OACBOACB−的体积()VOOOAOB=二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错

的得0分，部分选对的得部分分.9.设直线12,ll的方向向量分别为12,uu，平面,的法向量分别为12,nn，则下列命题正确的是（）A.若12ll⊥，则120uu=B.若1l⊥，则110un=C.若//，则R，使得1

2nn=uruurD.若⊥，则12nn⊥10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若0ab，则向量a，b夹角是锐角B.空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面C.若对空间中任意一点O，有1121243OPOAOBOC=++，则P，A，B，C四点共面D.若分别表

示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面11.在四面体ABCD−中，已知2ABCD==，2ACADBCBD====，则（）A.直线AC与DB所成的角为120B.直线AD与平面ABC所

成角的正弦值为217C.平面ABC与平面ABD夹角的余弦值为57D.若E，F分别是AB，CD上的动点，则EF的最小值为3第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知向量()2,3,2a=−

，()2,,1bm=−−，且ab⊥，则m=________．13.已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为9(,3,)2uz=−，向量(3,2,1)v=−为平面的法向量，则z＝________.的的.1

4.正方体1111ABCDABCD−的棱长为4,,EF分别为11,ADBC上的点，11AECF==，,PQ分别为111,BBCD上的动点.若点,,,ABPQ在同一球面上，当PQ⊥平面1AEF时，该球的表面积为__________

.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在空间四边形ABCD中，F，M，G分别是BD，BC，CD的中点，化简下列各式：（1）()12ABBCBD++；（2）()12AGABAC−+

；（3）ACGDMB++．16.已知空间三点()2,0,2A−，()1,1,2B−，()3,0,4C−，设aAB=，bAC=．（1）若kab+与2kab−互相垂直，求实数k的值；（2）若3c=，//cBC，求c．17.如图，在平行六面

体1111ABCDABCD−中，11ABADAA===，1160AABAADBAD===.（1）求体对角线1AC的长度；（2）求证：四边形11BDDB为正方形.18.如图，在四棱锥PABCD−中，平面PDC⊥平面ABCD，ADDC⊥，//ABDC，

112ABCDAD===，M为棱PC的中点.（1）证明：//BM平面PAD；（2）若5PC=，1PD=.（ⅰ）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值；（ⅱ）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是269？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由.19.在空间直角坐标系Oxyz中，已

知向量(,,)nabc=，点()0000,,Pxyz.若直线l以n为方向向量且经过点0P，则直线l的标准式方程可表示为000(0)xxyyzzabcabc−−−==；若平面以n为法向量且经过点0P，则平面

的点法式方程可表示为()()()0000axxbyyczz−+−+−=，一般式方程可表示为0axbyczd+++=.（1）证明：向量(,,)nabc=是平面:0axbyczd+++=的法向量；（2）若平面1:210xy+−=，平面1:210yz−+=，直线l为平面1和平面1

的交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）；（3）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为2、2、，其中平面2经过点(4,0,0)，(3,1,1)−，(1,5,2)−，平面2:4yz+=，平

面:(1)(2)30mxmymz+++++=，求实数m的值.三明一中2024-2025学年上学期高二8月月考数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在

每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.1.如图，在长方体1111OABCOABC−中，4OA=，6OC=，12OO=，点P是11BC的中点，则点P的坐标为（）A.(2,6,2)B.(3,4,2)C.(4,

6,2)D.(6,2,1)【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的坐标的写法，结合中点公式，即可求解.【详解】由题意，长方体1111OABCOABC−中，4OA=，6OC=，12OO=，可得11

(4,6,2),(0,6,2)BC，因为点P为11BC的中点，由中点公式可得，点P的坐标为(2,6,2)P.故选：A.2.若,,abc构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（）A.a，ab+，ac+B.a，b，2ab+C.a，−ac，cD.b，ac+，

abc++【答案】A【解析】【分析】根据向量共面的条件对选项逐一分析即可.【详解】{},,abcrrr构成空间的一组基底，则,bc不共线，假设,,aabac++共面，则存在不全为零的实数,st，使()()asabtac=+++，即()astasbtc=+++，则0,0stsbtc+=+=，则,

stbc=−=，与,bc不共线矛盾，故,,aabac++不共面；(2)2aabb=+−，故,,2abab+共面；()aacc=−+，故,,aacc−共面；()abcacb++=++，故,,bacabc+++共面.故选：A

.3.下列说法不正确的是（）A.若直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量B.若n是平面的一个法向量，则n与平面内任意一条直线的方向向量均垂直C.0是任意一个平面的一个法

向量D.一个平面的法向量是不唯一的【答案】C【解析】【分析】由直线方向向量的定义，平面的法向量的定义及性质即可判断.【详解】对于A，根据直线的方向向量的定义及平面的法向量的定义可知，若直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是

平面的一个法向量，是正确的；对于B，由平面的法向量的定义可知，平面的法向量垂直于平面共面的所有向量，若n是平面的一个法向量，则n与平面内任意一条直线的方向向量均垂直，是正确的；对于C，由平面的法向量的定义可知，0是

任意一个平面的一个法向量，是错误的；对于D，由平面的法向量的定义可知，一个平面的法向量是不唯一的，是正确的.故选：C.4.如图，在正三棱柱111ABCABC−中，点M为棱AB的中点，点N为上底面111ABC的中心，用空间的一组基1,,CACBCC表示MN，则（）的A.1

1166MNCACBCC=−+B.11166MNCACBCC=−−+C.11166MNCACBCC=−++D.11166MNCACBCC=++【答案】B【解析】【分析】结合正三棱柱的性质和空间向量的运算可得答案.【详解】取下底面ABC的中心Q，连接,NQCM，则13MQCM=−，∴(

)1111111133266MNMQQNCMCCCACBCCCACBCC=+=−+=−++=−−+．故选:B．5.空间向量()1,0,1a=在()0,1,1b=上的投影向量为（）A.11,0,22B.22,

0,22C.110,,22D.220,,22【答案】C【解析】【分析】根据投影向量公式计算即可.【详解】1ab=，2112b=+=，由投影向量的定义和公式可知a在b的

投影向量为()21110,1,10,,222abbb==，故选：C.6.由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱1111ABCDABCD−（如图所示），点P是正方形1111DCBA的中心，则向量1AAAP=（）A.1B.2C.4D.

8【答案】A【解析】【分析】根据数量积的几何意义即可求解.【详解】由正四棱柱性质可知，向量AP在1AA上的投影向量为1AA，由数量积的几何意义可知，2111AAAPAA==.故选：A7.已知()1,1,1A−−−，

直线l过原点且平行于(0,1,2)a=，则A到l的距离为（）.A.255B.1C.305D.355【答案】C【解析】【分析】根据题意取()0,1,2P，然后求出AP在a方向上的投影，再结合勾股定理可求得结果.【详解】由题意取()0,1,2P，则(1,2,3)AP=，所

以A到l的距离为2222222266430(123)145512APadAPa+=−=++−=−=+.故选：C8.已知一对不共线的向量a，b的夹角为，定义ab为一个向量，其模长为sinabab=，其方向同时与向量a，b垂直（如图1所

示）．在平行六面体OACBOACB−中（如图2所示），下列结论错误的是（）A.12OABSOAOB=B.当π0,2AOB时，tanOAOBOAOBAOB=C.若2OAOB==，2OAOB=，则3OAOB=D.平行六面体OACBOACB−的

体积()VOOOAOB=【答案】C【解析】【分析】A.根据三角形的面积公式，结合新定义公式，即可判断；B.结合新定义和数量积公式，即可判断；B.根据条件求AOB，即可判断；D.根据新定义和数量积的几何意义，即可判断.【详解】对于A，1||||sin2ABOSOAO

BAOB=△，而||||||sinOAOBOAOBAOB=，故1||2ABOSOAOB=△，正确；对于B，||||cosOAOBOAOBAOB=，当π0,2AOB时，tanAOB有意义，则tansinOAOBAOBOAOBAOBOAOB==

，正确；对于C，因为||||2OAOB==uuruuur，2OAOB=，所以1cos2AOB=，3sin2AOB=，所以||23OAOB=，错误；对于D，OAOB的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知，|

()|OOOAOB就是OO在垂直于底面OACB的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确．故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部

分选对的得部分分.9.设直线12,ll的方向向量分别为12,uu，平面,的法向量分别为12,nn，则下列命题正确的是（）A.若12ll⊥，则120uu=B.若1l⊥，则110un=C.若//，则R，使得12nn=

uruurD.若⊥，则12nn⊥【答案】ACD【解析】【分析】根据线线，线面，面面位置关系，即可得直线的方向向量及法向量间的关系.【详解】对于A，若12ll⊥，则12uu⊥，所以120uu=，故A正确；对于B，若1l⊥，则11//un，故B错误；对于C，若//，则12//nn，所以则

R，使得12nn=uruur，故C正确；对于D，若⊥，则12nn⊥，故D正确.故选：ACD.10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若0ab，则向量a，b的夹角是锐角B.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面C.若对空间中任意一点O，有11212

43OPOAOBOC=++，则P，A，B，C四点共面D.若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面【答案】BC【解析】【分析】根据空间向量共面定理即可判断B；根据0ab，得到π,0,2ab

，即可判断A；根据11211243++=判断四点共面即可判断C；异面直线的平行线即可判断D.【详解】对A，若0ab，则π,0,2ab，则向量a，b的夹角可以为0不是锐角,故A错误；对B，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个

向量一定共面，故B正确.的对C，因为1121243OPOAOBOC=++，且11211243++=，所以,,,PBAC四点共面,故C正确.对D，分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共面，故D错误.故选：BC.11.在四面体ABCD−中，已知2A

BCD==，2ACADBCBD====，则（）A.直线AC与DB所成的角为120B.直线AD与平面ABC所成角的正弦值为217C.平面ABC与平面ABD夹角的余弦值为57D.若E，F分别是AB，CD上的动点，则EF的最小值为3【答案】BCD【解析】【分析】由题意，把四面体ABC

D−放置在一个长方体中，设长方体棱长分别为,,abc，求得3,1abc===，以O为坐标原点，结合向量的坐标运算，以及向量的夹角公式，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，把四面体ABCD−放置在一个长方体中，如图所示，设长方体的棱长分别为,,abc，可得222222424acb

cab+=+=+=，解得3,1abc===，以O为坐标原点，以,,OBOAOD所在的直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，对于A中，直线AC与DB为异面直线，所以直线AC与DB所成的角，则π(0,]2，

所以A不正确；对于B中，由(0,0,1),(1,0,0),(1,3,1),(0,3,0)ABCD，可得(0,3,1),(1,0,1),(1,3,0)ADABAC=−=−=，设平面ABC的法向量为(,,)nxyz=，则030ABnxzACnxy=−==+=，令3y=−

，可得3,3xz==，所以(3,3,3)n=−，设直线AD与平面ABC所成角为，的的可得3321sincos,7221ADn−−===，所以B正确；对于C中，由(0,3,1),(1,0,1)ADAB=−=−，设平面ABD的法向量为1

111(,,)nxyz=，则111111300ADnyzABnxz=−==−=，令13y=，可得113xz==，所以1(3,3,3)n=，设平面ABC和平面ABD所成的角为，可得111155coscos,72121nnnnnn

====，所以C正确；对于D中，取,ABCD的中点,EF，分别连接,,,ECEDAFBF，因为2ACADBCBD====，可得,ABECABED⊥⊥和,CDAFCDBF⊥⊥，又因为ECEDE=，且,ECED平面ECD，所以

AB⊥平面ECD，因为EF平面ECD，所以ABEF⊥，同理可证CDEF⊥，所以线段EF为异面直线AB和CD的公垂线段，即AB和CD上两动点的最短距离，又由11(,0,)22E，11(,3,)22E，所以3EF=，即AB和CD上两动点的最短距离为3，所以D正

确.故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()2,3,2a=−，()2,,1bm=−−，且ab⊥，则m=________．【答案】2【解析

】【分析】根据空间向量垂直的坐标关系即可求解.【详解】由于ab⊥，所以4320abm=−+=，解得2m=，故答案为：213.已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为9(,3,)2uz=−，向量(3,2,1)v=−为平面

的法向量，则z＝________.【答案】32−【解析】【分析】利用空间位置的向量关系即可求解.【详解】平面的法向量为(3,2,1)v=−，依题意，u⊥，则//vu，因此932321z−==−，所以32z=−.故答案为：32−14.正方体1111ABCDABCD−的棱长为4,,EF

分别为11,ADBC上的点，11AECF==，,PQ分别为111,BBCD上的动点.若点,,,ABPQ在同一球面上，当PQ⊥平面1AEF时，该球的表面积为__________.【答案】689π16【解析】【分析】建立适当的空间直角坐标，求出平面1AEF的法向量n，根据PQ⊥平面1AEF，可得//

nPQ,进而求出,PQ的坐标，再根据外接球球心O在过ABP的外心且垂直面ABP的垂线MN上，结合球心到球面上任何一点的距离都相等，即可求出半径以及球的表面积.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()14,0,0,(3,0,4),(1

,4,0)AEF,()111,0,4,(3,4,0),AEAF=−=−设平面11AEC的法向量为(),,nxyz=，()0,,0,(4,4,)QaPb，则40340xzxy−+=−+=，令4x=，解得3,1yz==，所以()4,3,1n=，又PQ⊥平面1AEF，所

以//nQP,所以()()4,3,14,4,ab=−，解得：1ab==，再根据下图：作AP的平行线DK,,,MNG分别为,,APDKAQ的中点，连接,MNPK,因为ABP为直角三角形，故,,,ABPQ的外接球球心O在过ABP的外心且垂直面ABP的垂线MN上，连接GO,根据球

心到球面上任何一点的距离都相等，故OAOQ=,故GOAQ⊥,由题可设5,2,2Ot，12,,22G,所以312,,22OGt=−−−，又()4,1,4AQ=−−,所以()342202O

GAQt=−−−+=,解得：158t=，所以155,2,82O所以()2222217368928264ROA==+−+=,所以球的表面积为2689ππ641SR==,故答案为：689π16【点睛】关键点睛:解决与球有关的内

切或外接的问题时,解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的内接几何体的问题,注意球心到各个顶点的距离相等,解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形,利用勾股定理求得球的半径.四

、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在空间四边形ABCD中，F，M，G分别是BD，BC，CD的中点，化简下列各式：（1）()12ABBCBD++；（2）()12

AGABAC−+；（3）ACGDMB++．【答案】（1）AG（2）MG（3）AF【解析】【分析】（1）由于G是CD的中点,所以()12BCBDBG+=，再根据空间向量的加法运算即可求出结果；（2）由于M是BC的中点,所以()12ABACAM+=，再根据空间向量的减法运算即可求

出结果；（3）由于M，G分别BC，CD的中点，所以11,22MBCBGDCD==，又F是BD的中点，()12CDCBCF+=，再根据空间向量的加法运算即可求出结果；【小问1详解】解：因为G是CD的中点，所以()12BCBDBG

+=，所以，()12ABBCBDABBGAG++=+=；【小问2详解】解：因为M是BC的中点,所以()12ABACAM+=，所以，()1=2AGABACAGAMMG−+−=；【小问3详解】解：因为M，G分别BC，CD的

中点，所以11,22MBCBGDCD==，又F是BD的中点，()12CDCBCF+=，所以，()111222ACGDMBACCDCBACCDCBACCFAF++=++=++=+=.16.已知空间三点()2,0,2A−，()1,1,2B−

，()3,0,4C−，设aAB=，bAC=．（1）若kab+与2kab−互相垂直，求实数k的值；（2）若3c=，//cBC，求c．【答案】（1）2k=或52−（2）()2,1,2−−或()2,1,2−【解析】【分析】（1）根据空间向量垂直得到方程，求出答案；（2）设(),,cxyz=，根据平行和

模长得到方程组，求出答案.【小问1详解】()()1,1,0,1,0,2ab==−，故()()(),,01,0,21,,2kabkkkk+=+−=−，()()()2,,02,0,42,,4kabkkkk−=

−−=+−，因为,2kabkab+−互相垂直，所以()()21280kkk−++−=，解得2k=或52−；【小问2详解】()()()3,0,41,1,22,1,2BC=−−−=−−，设(),,cxyz=，则212xyz==−−且2229xyz++=，解得212xyz=−

=−=或212xyz===−，故()2,1,2c=−−或()2,1,2c=−；17.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，11ABADAA===，1160AABAADBAD===.（1）求体对角线1AC

长度；（2）求证：四边形11BDDB为正方形.【答案】（1）16AC=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求出1AC.（2）利用平行六面体的结构特征，结合已知及正方形

的判断推理即得.【小问1详解】在平行六面体1111ABCDABCD−中，111ACABBCCCADABAA=++=++，由11ABADAA===，1160BADBAADAA===，得11111122ADABABAAADAA====，所以222211111||()2

22ACADABAAADABAAADABABAAADAA=++=+++++6=.【小问2详解】在平行六面体1111ABCDABCD−中，111111////,BBAADDBBAADD==，则四边形11BDDB为平行四的边形，由1ABAD==，60BAD=，得ABD△是等边三角形，即11

BDDD==，则11BDDB为菱形；又111111()022BDBBADABAAADAAABAA=−=−=−=，则1BDBB⊥，即1BDBB⊥，所以四边形11BDDB为正方形.18.如图，在四棱锥PABCD−中，平

面PDC⊥平面ABCD，ADDC⊥，//ABDC，112ABCDAD===，M为棱PC的中点.（1）证明：//BM平面PAD；（2）若5PC=，1PD=.（ⅰ）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值；（ⅱ）在线段PA上是否存在点Q，使

得点Q到平面BDM的距离是269？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（i）66；（ii）存在，223PQ=【解析】【分析】（1）取PD中点N，可证四边形ABMN是平

行四边形，可得//BMAN，从而得证；（2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，（ii）假设存在点Q到平面BDM的距离为269，利用点到面的距离公式法求解即可.【小问1详解】取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：∵M为棱

PC的中点，∴1,2MNCDMNCD=∥，∵1,2ABCDABCD=∥，∴,ABMNABMN=∥，∴四边形ABMN是平行四边形，∴BMAN∥，又BM平面PAD，MN平面PAD，∴//BM平面PAD．【小问2详

解】∵5,1,2PCPDCD===，∴222PCPDCD=+，∴PDDC⊥，∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC平面ABCDDC=，PD平面PDC，∴PD⊥平面ABCD，又AD，CD平面ABCD，∴PDAD⊥，

而PDCD⊥，ADDC⊥，∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：则(0,0,1),(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0)PDAC，∵M为棱PC的中点，∴(

)10,1,,1,1,02MB（i）()10,1,,1,1,02DMDB==，设平面BDM的一个法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则1020nDMyznDBxy=+==+=，令2z=，则1,1yx=−=，∴()1,1,2n

=−，平面PDM的一个法向量为()1,0,0DA=，∴16cos,616nDAnDAnDA===，所以平面PDM面DMB夹角的余弦值为66.（ii）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是269，设,

01PQPA=uuuruur，则()(),0,1,1,1,1QBQ−=−−−，由（2）知平面BDM的一个法向量为()1,1,2n=−，()11212BQn=−++−=−，∴点Q到平面BDM的距离是22696BQnn−==

，∴23=，∴223PQ=．19.在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量(,,)nabc=，点()0000,,Pxyz.若直线l以n为方向向量且经过点0P，则直线l的标准式方程可表示为000(0)xxyyzzabcabc−−−==；若平面以n为

法向量且经过点0P，则平面的点法式方程可表示为()()()0000axxbyyczz−+−+−=，一般式方程可表示为0axbyczd+++=.（1）证明：向量(,,)nabc=是平面:0axbyczd+++=的法向量；（2）若平面1:210xy+−=，平面1:210

yz−+=，直线l为平面1和平面1的交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）；（3）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为2、2、，其中平面2经过点(4,0,0)，(3,1,1)−，(1,5,2)−，平面

2:4yz+=，平面:(1)(2)30mxmymz+++++=，求实数m的值.【答案】（1）证明见解析（2）212,,333−−（3）1m=−【解析】【分析】（1）由空间向量的垂直即可证明；（2）设直线l的方向向量l，由l与两平面的法向量垂直列方程求解；（3）写出三个平面的法向量，

求得2与2交线的方向向量，进而可求解.【小问1详解】取平面0axbyczd+++=内的任意两点()111,,Axyz，()222,,Bxyz，则1112220,0,axbyczdaxbyczd+++=

+++=两式相减得，()()()2121210axxbyyczz−+−+−=，即0nAB=，所以nAB⊥，从而n⊥，故(,,)nabc=是平面:0axbyczd+++=的法向量.【小问2详解】记平面1，1的法向量为1(1,2,0)=，1(0,2,1)=−，设直线l的方

向向量(,,)lxyz=，因为直线l为平面1和平面1的交线，所以1l⊥，1l⊥，即112020lxylyz=+==−=，取2x=，则(2,1,2)l=−−，所以直线l的单位方向向量为212,,333−−.【小问3详解】设2:10axbycz

+++=，由平面2经过点(4,0,0)，(3,1,1)−，(1,5,2)−，所以4103105210aabcabc+=+−+=−+++=，解得14140abc=−=−=，即2:4xy+=，所以记平面2、2、

的法向量为2(1,1,0)=，2(0,1,1)=，(,1,2)mmm=++，与（2）同理，2与2确定的交线方向向量为(1,1,1)p=−，所以p⊥，即(1)210pmmmm=−+++=+=，解得1m=−.【点睛】关键点点睛：本题的关键，结合已知概念求出相关

法向量，即可解决问题.