【文档说明】新教材2022版数学苏教版必修第一册提升训练：第3章 不等式 专题强化练3 利用基本不等式求最值（取值范围）含解析.docx，共(8)页，59.865 KB，由小赞的店铺上传

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专题强化练3利用基本不等式求最值(取值范围)一、选择题1.(2020江苏苏州高一期中,)已知函数y=x+3𝑥+7𝑥+2(x>-2),则()A.y有最小值-1B.y有最大值-1C.y有最小值3D.y有最大值32.(2020江苏海安曲塘高级中学高一月考,)已知正实数

x,y,a满足2x+y=axy,若x+2y的最小值为3,则实数a的值为()A.1B.3C.6D.93.(多选)(2020江苏盐城射阳中学高一期中,)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是()A.ab≤1B.√𝑎+√𝑏≤

√2C.a2+b2≥2D.1𝑎+1𝑏≥24.(多选)(2020江苏宜兴中学高一月考,)下列不等式正确的是()A.若x<0,则x+1𝑥≤-2B.若x∈R,则𝑥2+3√𝑥2+2≥2C.若x∈R,则

1𝑥2+1<1D.若x>0,则(1+x)(1+1𝑥)≥45.(多选)(2020江苏苏州实验中学高一月考,)已知x+y=1,y>0,x≠0,则12|𝑥|+|𝑥|𝑦+1的值可能是()A.12B.14C.34D.546.(2020江苏南京

第九中学高一月考,)已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式4𝑥+𝑚𝑦≥92恒成立,则实数m的取值范围是()A.[12,+∞)B.[1,+∞)C.(0,1]D.(0,12]二、填空题7.(2020江苏吴江汾湖高级中学高一月考,)若一块矩形场地的面积

为100m2,则该场地的一条对角线的长度的最小值为m.8.(2020江苏泰州中学高一期中,)已知不等式(x+y)·(1𝑥+𝑎𝑦)≥16对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为.9.(2020江苏如皋中学高一期中,)已知x,y∈R,x2-xy+9y2=1,则x+3y的

最大值为.三、解答题10.()已知9x2+y2+4xy=10.(1)分别求xy和3x+y的最大值;(2)求9x2+y2的最小值和最大值.11.()为了美化校园环境,学校打算在广场上建造一个矩形花园,中间有三个完全一样的矩形花

坛,每个花坛的面积均为294平方米,花坛四周的过道宽度均为2米,如图所示,设矩形花坛的长为x米,宽为y米,整个矩形花园的面积为S平方米.(1)试用x,y表示S;(2)为了节约用地,当矩形花坛的长为多少米时,新

建矩形花园占地最少?最少为多少平方米?答案全解全析专题强化练3利用基本不等式求最值(取值范围)一、选择题1.C∵x>-2,∴x+2>0,∴y=x+3(𝑥+2)+1𝑥+2=(x+2)+1𝑥+2+1≥2+1=3,当且仅当x+2=1𝑥+2,即x=-1(x=-3舍去)时取等号,∴y有最小值3.2.

B因为正实数x,y,a满足2x+y=axy,所以2𝑦+1𝑥=a,所以x+2y=1𝑎×(x+2y)(2𝑦+1𝑥)=1𝑎(5+2𝑥𝑦+2𝑦𝑥)≥1𝑎5+2√2𝑥𝑦·2𝑦𝑥=9𝑎,当且仅当2𝑥𝑦=2�

�𝑥,且2𝑦+1𝑥=a时取等号.由题意可得9𝑎=3,解得a=3.故选B.3.ACD对于A,由2=a+b≥2√𝑎𝑏得ab≤1,当且仅当a=b=1时取等号,故A正确;对于B,当a=1,b=1时,不等式不成立,故B错误;对于C,a2+b2=(a+b)2-2

ab=4-2ab≥2,故C正确;对于D,1𝑎+1𝑏=𝑎+𝑏𝑎𝑏=2𝑎𝑏≥2,故D正确.故选ACD.4.AD对于选项A,因为x<0,所以-x>0,所以-x+(-1𝑥)≥2,所以x+1𝑥≤-2,当且仅当x=-1时,等号成立,故A正确;对于选项

B,𝑥2+3√𝑥2+2=𝑥2+2+1√𝑥2+2=√𝑥2+2+1√𝑥2+2,设√𝑥2+2=t(t≥√2),则𝑥2+3√𝑥2+2=𝑡+1𝑡,易得t=√2时,t+1𝑡取得最小值,最小值为√2

+√22,故B错误;对于选项C,当x=0时,1𝑥2+1=1,故C错误;对于选项D,因为x>0,所以(1+x)·(1+1𝑥)=2+𝑥+1𝑥≥4,当且仅当x=1时,等号成立,故D正确.故选AD.5.CD由x+y=1,y>0,x≠0,得y=1-x

>0,则x<1且x≠0.当0<x<1时,12|𝑥|+|𝑥|𝑦+1=12𝑥+𝑥2-𝑥=𝑥+2-𝑥4𝑥+𝑥2-𝑥=14+2-𝑥4𝑥+𝑥2-𝑥≥14+2√2-𝑥4𝑥·𝑥2-𝑥=54,

当且仅当2-𝑥4𝑥=𝑥2-𝑥,即x=23(x=-2舍去)时取等号.当x<0时,12|𝑥|+|𝑥|𝑦+1=1-2𝑥+-𝑥2-𝑥=2-𝑥+𝑥-4𝑥+-𝑥2-𝑥=−14+2-𝑥-4𝑥+-𝑥

2-𝑥≥−14+2√2-𝑥-4𝑥·-𝑥2-𝑥=34,当且仅当2-𝑥-4𝑥=-𝑥2-𝑥,即x=-2(𝑥=23舍去)时取等号.综上,12|𝑥|+|𝑥|𝑦+1≥34.故选CD.6.B

∵xy>0,且x+y=2,∴x>0,y>0,∴4𝑥+𝑚𝑦=12(4𝑥+𝑚𝑦)(x+y)=12(4+𝑚+4𝑦𝑥+𝑚𝑥𝑦)≥124+𝑚+2√4𝑦𝑥·𝑚𝑥𝑦=12(4+m+2√4𝑚),当且仅当4𝑦𝑥=𝑚𝑥𝑦,即√�

�x=2y时,等号成立.∵不等式4𝑥+𝑚𝑦≥92恒成立,∴12(4+m+2√4𝑚)≥92,化简得m+4√𝑚-5≥0,解得√𝑚≥1(√𝑚≤-5舍去),即m≥1,∴实数m的取值范围是[1,+∞).二、填空题7.答案10√2解析设矩形场地的长与宽分别为xm,ym

,则根据题意得xy=100,该场地的一条对角线的长度为√𝑥2+𝑦2m.易得x2+y2≥2xy=200,当且仅当x=y=10时,等号成立,所以√𝑥2+𝑦2≥10√2,故该场地的一条对角线的长度的最小值为10√2m.8.答案9解析因为(x+y)(1

𝑥+𝑎𝑦)=1+𝑎+𝑦𝑥+𝑎𝑥𝑦≥1+𝑎+2√𝑦𝑥·𝑎𝑥𝑦=1+𝑎+2√𝑎,当且仅当𝑦𝑥=𝑎𝑥𝑦,x>0,y>0时取等号,所以1+a+2√𝑎≥16,整理得(√𝑎+5)(√𝑎-3)≥0,解得a≥9,故a的最小值为9.9.答案2√155解析∵x2-x

y+9y2=1,∴x2+9y2=1+xy≥2√𝑥2·9𝑦2=6xy,∴xy≤15,当且仅当x=3y,即x=√155,y=√1515或𝑥=−√155,y=-√1515时,等号成立.∴(x+3y)2=x2+6x

y+9y2=1+7xy≤1+7×15=125,当且仅当x=√155,y=√1515或𝑥=−√155,y=-√1515时,等号成立.∴-2√155≤𝑥+3𝑦≤2√155,当且仅当x=√155,y=√1515或𝑥=−√155,y=-√1515时,

等号成立.∴x+3y的最大值为2√155.三、解答题10.解析(1)10=9x2+y2+4xy≥2×3xy+4xy=10xy,当且仅当3x=y,即x=√33,y=√3或𝑥=−√33,y=-√3时,等号成

立,∴xy≤1,∴xy的最大值为1.∵9x2+y2+4xy=(3x+y)2-2xy=10,∴(3x+y)2=10+2xy≤12,当且仅当x=√33,y=√3或𝑥=−√33,y=-√3时,等号成立,∴-2√3≤3𝑥+𝑦≤2√3,当且仅当x

=√33,y=√3或𝑥=−√33,y=-√3时,等号成立,∴3x+y的最大值为2√3.(2)由(1)知xy≤1,当且仅当x=√33,y=√3或𝑥=−√33,y=-√3时,等号成立.∵9x2+y2+4xy=10,∴9x2+y2=10-4xy≥10-4=6,当且仅当x=√33,

y=√3或𝑥=−√33,y=-√3时,等号成立,∴9x2+y2的最小值为6.∵9x2+y2≥-2×3xy=-6xy,当且仅当y=-3x,即x=√33,y=-√3或𝑥=−√33,y=√3时,等号成立,∴xy≥-9𝑥2+𝑦26.∵9x2+y2+4x

y=10,∴10-(9𝑥2+𝑦2)4≥−9𝑥2+𝑦26,即9x2+y2≤30,∴9x2+y2的最大值为30.11.解析(1)由题意得S=(x+4)(3y+8)=3xy+12y+8x+32.(2)由题知x>0,xy=294,所以S=3×294+12×2

94𝑥+8𝑥+32=914+8×(441𝑥+𝑥)≥914+16·√441𝑥·𝑥=1250,当且仅当441𝑥=x,即x=21时,等号成立.故当矩形花坛的长为21米时,新建矩形花园占地最少,最少为1250平方

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