黑龙江省大庆市东风中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学(理)试题含解析【精准解析】

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以下为本文档部分文字说明:

2020-2021学年黑龙江省大庆市东风中学高二(下)期末数学试卷(理科)一、单选题(共12小题).1.已知集合A={x|x<2},B={x|3﹣2x>0},则()A.A∩B={x|x<}B.A∩B=∅C.A∪B={

x|x<}D.A∪B=R2.已知(1+i)z=2,其中i为虚数单位,则复数z在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数的定义域为()A.B.C.D.4.下列函数中,在区间(1,+∞)上为增函数的是()A.y=﹣3x﹣1B.C.y=x2﹣4x+5D.

y=|x﹣1|+25.函数y=的一段大致图象是()A.B.C.D.6.已知∀x∈[0,2],p>x;∃x0∈[0,2],q>x0.那么p,q的取值范围分别为()A.p∈(0,+∞),q∈(0,+∞)B.p∈(0,+∞),q∈(2,+∞)C.p∈(2,+∞),q∈(

0,+∞)D.p∈(2,+∞),q∈(2,+∞)7.已知随机变量X服从正态分布N(2,7),P(X>1)=0.8,则P(X≥3)=()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.88.若a=log20.3,b=20.3,c=0.32,则a,b,c三者的大小关系为()A.b>c>aB.c>b>aC.c

>a>bD.b>a>c9.在5道试题中有3道填空题和2道选择题,不放回地依次随机抽取2道题,在第1次抽到填空题的条件下,第2次抽到选择题的概率为()A.B.C.D.10.设p:﹣1≤x≤1,q:x<﹣2或x>1

,则¬p是q的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要11.函数在(﹣∞,+∞)上是减函数,则a的取值范围是()A.B.C.D.12.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数g(x)=f

(x)﹣cosπx在x∈[﹣2,4]上的所有零点之和为()A.2B.4C.6D.8二、填空题13.=.14.的展开式中,x2y6项的系数是.15.已知命题,命题q:∃x∈R,mx2+x﹣4=0.若“p且q”为真命题,则实数m的取值范

围为.16.定义域为R的奇函数y=f(x)在(﹣∞,0]上单调递减.设g(x)=xf(x),若对于任意x∈[1,2],都有g(2+x)≤g(ax),则实数a的取值范围为.三、解答题17.已知集合P={

x|2x2﹣3x+1≤0},Q={x|(x﹣a)(x﹣a﹣1)≤0}.(1)若a=1,求P∩Q;(2)若x∈P是x∈Q的充分条件,求实数a的取值范围.18.某公司开发了一款手机应用软件,为了解用户对这款软件的满意度,推出该软件3个月后,从使用该软件的用户中随机抽查了1000名

,将所得的满意度的分数分成7组:[30,40),[40,50),…,[90,100],整理得到如图频率分布直方图.根据所得的满意度的分数,将用户的满意度分为两个等级:满意度的分数[30,60)[60,100]满意度的等级不满意满意(Ⅰ)从使用该软件的用户中随机抽取1人,估计其满意度的

等级为“满意”的概率;(Ⅱ)用频率估计概率,从使用该软件的所有用户中随机抽取2人,以X表示这2人中满意度的等级为“满意”的人数,求X的分布列和数学期望.19.以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为为参数,0<α<π),曲线C

的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ)设点P的直角坐标为P(2,1),直线l与曲线C相交于A、B两点,并且,求tanα的值.20.袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球,今从袋子里随机取球.(1)若有放回地取3次,每次取一个球,

求取出2个红球1个黑球的概率;(2)若无放回地取3次,每次取一个球,若取出每只红球得2分,取出每只黑球得1分.求得分ξ的分布列和数学期望.21.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为:(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.(

1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)在极坐标系中,射线与曲线C1交于点A,射线与曲线C2交于点B,求△AOB的面积.22.已知函数f(x)=ex+x2﹣x.(1)求曲线y=f(x)在点

(0,f(0))处的切线方程;(2)证明:对任意x∈R,都有f(x)≥1.参考答案一、单选题1.已知集合A={x|x<2},B={x|3﹣2x>0},则()A.A∩B={x|x<}B.A∩B=∅C.A∪B={x|x<}D.A∪B=R解:∵集

合A={x|x<2},B={x|3﹣2x>0}={x|x<},∴A∩B={x|x<},故A正确,B错误;A∪B={x||x<2},故C,D错误;故选:A.2.已知(1+i)z=2,其中i为虚数单位,则复数z在复

平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】由(1+i)z=2,可得z===1﹣i,其对应点为(1,﹣1),在第四象限.故选:D.3.函数的定义域为()A.B.C.D.解:要使f(x)有意义,则,解得,且x≠0,∴f

(x)的定义域为.故选:C.4.下列函数中,在区间(1,+∞)上为增函数的是()A.y=﹣3x﹣1B.C.y=x2﹣4x+5D.y=|x﹣1|+2解:由一次函数的性质可知,y=﹣3x﹣1在区间(1,+∞)上为减函数,故A错误;由反比例函数的性质可知,y=在区间(1,+∞)

上为减函数,由二次函数的性质可知,y=x2﹣4x+5在(﹣∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故C错误;由一次函数的性质及图象的变换可知,y=|x﹣1|+2在(1,+∞)上单调递增.故选:D.5.函数y=的一段大致

图象是()A.B.C.D.解:f(﹣x)=﹣=﹣f(x),∴y=f(x)为奇函数,∴图象关于原点对称,∴当x=π时,y=﹣<0,故选:A.6.已知∀x∈[0,2],p>x;∃x0∈[0,2],q>x0.那么p,q的取值范围分别为()A.p∈(0

,+∞),q∈(0,+∞)B.p∈(0,+∞),q∈(2,+∞)C.p∈(2,+∞),q∈(0,+∞)D.p∈(2,+∞),q∈(2,+∞)解:由∀x∈[0,2],p>x;得p>2.由∃x0∈[0,2],q>x0;得q>

0.∴p,q的取值范围分别为(2,+∞)和(0,+∞).故选:C.7.已知随机变量X服从正态分布N(2,7),P(X>1)=0.8,则P(X≥3)=()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8解:由题意,随机变量X服从正态分布N(2,7),所以P(X≥3)=P(X≤1)=1﹣P(X>1)=1

﹣0.8=0.2.故选:A.8.若a=log20.3,b=20.3,c=0.32,则a,b,c三者的大小关系为()A.b>c>aB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c解:∵y=log2x是增函数,∴a=log20.3<log21=0,∵y=2x是增函数,∴b=2

0.3>20=1,又c=0.32=0.09,∴0<c<1,∴b>c>a,故选:A.9.在5道试题中有3道填空题和2道选择题,不放回地依次随机抽取2道题,在第1次抽到填空题的条件下,第2次抽到选择题的概率为()A.B.C.D.解:因为第1次抽到填空题,则剩下2道填空题和2道选择

,所以在第1次抽到填空题的条件下,第2次抽到选择题的概率为.故选:B.10.设p:﹣1≤x≤1,q:x<﹣2或x>1,则¬p是q的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要解:由题意知¬p为:

x<﹣1或x>1,∴¬p⇒q不成立,而q⇒¬p成立,∴¬p是q的必要不充分条件,故选:B.11.函数在(﹣∞,+∞)上是减函数,则a的取值范围是()A.B.C.D.解:依题意,,解得0≤a<,故选:B.12.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x

+2)=f(x),且x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数g(x)=f(x)﹣cosπx在x∈[﹣2,4]上的所有零点之和为()A.2B.4C.6D.8解:函数g(x)=f(x)﹣cosπx的零点,即方程f(x)﹣cosπx=0的根,也就是两函

数y=f(x)与y=cosπx图象交点的横坐标.由f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+2)=f(x),可得函数周期为2.又当x∈[0,1]时,f(x)=x,作出函数y=f(x)与y=cosπx的图象如图:由图可知,函数

F(x)=f(x)﹣cosπx在区间[﹣2,4]上的所有零点之和为﹣2+2+6=6.故选:C.二、填空题13.=6.解:原式=4+2=6.故答案为:6.14.的展开式中,x2y6项的系数是56.【解答】5解:的展开式中,通项公式为,令r=6,可得x2y6项的系数

是,故答案为:56.15.已知命题,命题q:∃x∈R,mx2+x﹣4=0.若“p且q”为真命题,则实数m的取值范围为[﹣).解:命题P为真命题时,m<1﹣()x﹣1在[1,3]上恒成立,只需m<[1﹣()x﹣1]min,x∈[1,3],又当x∈[1,

3]时,函数1﹣()x﹣1为单调递增函数,则当x=1时,1﹣()x﹣1的最小值为0,所以m<0,命题q为真命题时,方程mx2+x﹣4=0有解,m=0时,方程为x﹣4=0,解得x=4,m≠0时,方程有解,只需△=1+16m≥0,解得m,所以命题q为真命题时,实数m的

取值范围为m,又因为p且q为真命题,所以p,q都为真命题,则有,解得﹣,所以实数m的取值范围为[﹣),故答案为:[﹣).16.定义域为R的奇函数y=f(x)在(﹣∞,0]上单调递减.设g(x)=xf(

x),若对于任意x∈[1,2],都有g(2+x)≤g(ax),则实数a的取值范围为[﹣2,2].解:由题意得f(﹣x)=﹣f(x),所以g(﹣x)=﹣xf(﹣x)=xf(x)=g(x),即g(x)为偶函数,因为奇函数y=f(x)在(﹣∞,0]上单调递减且f(x)>0,根据奇函数对称性可知,

f′(x)≤0恒成立,当x<0时,g′(x)=f(x)+xf′(x)>0,故g(x)在(﹣∞,0)上单调递增,根据偶函数对称性可知,g(x)在(0,+∞)上单调递减,因为对于任意x∈[1,2],都有g(2+x)≤g(ax),所以|2+x|≥|ax|在[1,2]上恒成立,所以﹣(x+2

)≤ax≤2+x,所以﹣1﹣在[1,2]上恒成立,所以﹣2≤a≤2.故答案为:[﹣2,2].三、解答题17.已知集合P={x|2x2﹣3x+1≤0},Q={x|(x﹣a)(x﹣a﹣1)≤0}.(1)若a=1,求P∩Q;(2)若x∈P是x∈Q的充分条件,求实数a

的取值范围.解:(1)当a=1时,Q={x|(x﹣1)(x﹣2)≤0}={x|1≤x≤2}则P∩Q={1}(2)∵a≤a+1,∴Q={x|(x﹣a)(x﹣a﹣1)≤0}={x|a≤x≤a+1}∵x∈P是x∈Q的充

分条件,∴P⊆Q∴,即实数a的取值范围是18.某公司开发了一款手机应用软件,为了解用户对这款软件的满意度,推出该软件3个月后,从使用该软件的用户中随机抽查了1000名,将所得的满意度的分数分成7组:[30,

40),[40,50),…,[90,100],整理得到如图频率分布直方图.根据所得的满意度的分数,将用户的满意度分为两个等级:满意度的分数[30,60)[60,100]满意度的等级不满意满意(Ⅰ)从使用该软件的用户中随机

抽取1人,估计其满意度的等级为“满意”的概率;(Ⅱ)用频率估计概率,从使用该软件的所有用户中随机抽取2人,以X表示这2人中满意度的等级为“满意”的人数,求X的分布列和数学期望.解:(Ⅰ)根据频率分布直方图可知,样本中[60,100]的频率为:(0.030+0.015+0.010+

0.005)×10=0.6,所以从使用该软件的用户中随机抽取1人,其满意度的等级为“满意”的概率约为0.6.(Ⅱ)用频率估计概率,则“满意”的概率为,“不满意”的概率为.X的所有可能取值为0,1,2.;;.所以X的分布列为

:X012P数学期望…………………………………………19.以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为为参数,0<α<π),曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程

;(Ⅱ)设点P的直角坐标为P(2,1),直线l与曲线C相交于A、B两点,并且,求tanα的值.解:(I)∵ρsin2θ=4cosθ,∴ρ2sin2θ=4ρcosθ,∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x.(II)将代入y2=4x,得sin2α•t2+(2sinα﹣4cosα)t﹣7=

0,所以,所以,或,即或.20.袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球,今从袋子里随机取球.(1)若有放回地取3次,每次取一个球,求取出2个红球1个黑球的概率;(2)若无放回地取3次,每次取一个球,若取出每只红球得2分,取出每只黑球得1分.求得分ξ的分布列和数

学期望.解:(1)从袋子里有放回地取3次球,相当于做了3次独立重复试验,每次试验取出红球的概率为,取出黑球的概率为,设事件A=“取出2个红球1个黑球”,则P(A)==…(2)ξ的取值有四个:3、4、5、6,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,P(ξ=5)==,P(ξ=6)==

.分布列为:ξ3456P…从而得分ξ的数学期望Eξ=3×+4×+5×+6×=.…21.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为:(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的

直角坐标方程;(2)在极坐标系中,射线与曲线C1交于点A,射线与曲线C2交于点B,求△AOB的面积.解:(1)由题意得:曲线C1的参数方程为:(t为参数),消去t,x2+y2=1(y≥0),根据,转换为C1的极坐标方程为:ρ=1,θ

∈[0,π],曲线C2的极坐标方程为.由得:,根据,转换为直角坐标方程为=0,即:3y+x﹣6=0∴C2的直角坐标方程为:3y+x﹣6=0(2)由得:,由得:ρ=,故:,所以S△AOB=.22.已知函数f(x)=ex+x2﹣x.(1)求曲线y=

f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)证明:对任意x∈R,都有f(x)≥1.【解答】(1)解:根据题意可得,f'(x)=ex+2x﹣1,根据函数导数的几何意义即得,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程即为y﹣f(0)=f'

(0)(x﹣0)∵f(0)=1,f'(0)=0,∴函数y=f(x)在点(0,1)处的切线方程即为:y﹣1=0⇔y=1.(2)证明:法一:由(1)得,f'(x)=ex+2x﹣1,∴f“(x)=ex+2>0,即得f'(x)在R上单调递增,又因为f'(0)=0,所以当x>0时,f'(x

)>f'(0)=0,此时函数f(x)单调递增;当x<0时,f'(x)<f'(0)=0,此时函数f(x)单调递减;综上可得,函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递减;在(0,+∞)上单调递增.即得f(x)min=f(0)=

1,所以对任意的x∈R,都有f(x)≥1.法二:令g(x)=ex﹣x﹣1,g′(x)=ex﹣1,易知g(x)在(﹣∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增,g(x)≥g(0)=0,又x2≥0,所以ex﹣x﹣1+x2≥0.

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