【文档说明】黑龙江省大庆市东风中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试题含解析【精准解析】.doc，共(14)页，647.500 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年黑龙江省大庆市东风中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、单选题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B＝{x|x＜}B．A∩B＝∅C．A∪B＝{x|x＜}D．A∪B＝R2．已知（1+i）z＝2，其中i

为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．函数的定义域为（）A．B．C．D．4．下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（）A．y＝﹣3x﹣1B．C．y＝x2﹣4x+5D．y＝|x

﹣1|+25．函数y＝的一段大致图象是（）A．B．C．D．6．已知∀x∈[0，2]，p＞x；∃x0∈[0，2]，q＞x0．那么p，q的取值范围分别为（）A．p∈（0，+∞），q∈（0，+∞）B．p∈（0，+∞），q∈（2，+∞）C．p

∈（2，+∞），q∈（0，+∞）D．p∈（2，+∞），q∈（2，+∞）7．已知随机变量X服从正态分布N（2，7），P（X＞1）＝0.8，则P（X≥3）＝（）A．0.2B．0.3C．0.7D．0.88．若a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.32，则a，b，c三者的大小关系为（

）A．b＞c＞aB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．b＞a＞c9．在5道试题中有3道填空题和2道选择题，不放回地依次随机抽取2道题，在第1次抽到填空题的条件下，第2次抽到选择题的概率为（）A．B．C．D．10．设p：﹣1≤x≤1，q：x＜﹣2或x＞1，则

￢p是q的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要11．函数在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且x∈[0，1]时

，f（x）＝x，则函数g（x）＝f（x）﹣cosπx在x∈[﹣2，4]上的所有零点之和为（）A．2B．4C．6D．8二、填空题13．＝．14．的展开式中，x2y6项的系数是．15．已知命题，命题q：∃x∈R，mx2+x﹣4＝0．若“p且q”为真命题，则实数m的取值范

围为．16．定义域为R的奇函数y＝f（x）在（﹣∞，0]上单调递减．设g（x）＝xf（x），若对于任意x∈[1，2]，都有g（2+x）≤g（ax），则实数a的取值范围为．三、解答题17．已知集合P＝{x|2x2﹣3x+1≤0}，Q＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0}．（1）

若a＝1，求P∩Q；（2）若x∈P是x∈Q的充分条件，求实数a的取值范围．18．某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满

意度的分数分成7组：[30，40），[40，50），…，[90，100]，整理得到如图频率分布直方图．根据所得的满意度的分数，将用户的满意度分为两个等级：满意度的分数[30，60）[60，100]满意度的等级不满意满意（Ⅰ）从使用该软件的用户中

随机抽取1人，估计其满意度的等级为“满意”的概率；（Ⅱ）用频率估计概率，从使用该软件的所有用户中随机抽取2人，以X表示这2人中满意度的等级为“满意”的人数，求X的分布列和数学期望．19．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为

极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．20．袋子里有完全相

同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球．（1）若有放回地取3次，每次取一个球，求取出2个红球1个黑球的概率；（2）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分．求得分ξ的分布列和

数学期望．21．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线

C1交于点A，射线与曲线C2交于点B，求△AOB的面积．22．已知函数f（x）＝ex+x2﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明：对任意x∈R，都有f（x）≥1．参考答案一、单选题1．已知集合A＝{x|x＜

2}，B＝{x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B＝{x|x＜}B．A∩B＝∅C．A∪B＝{x|x＜}D．A∪B＝R解：∵集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3﹣2x＞0}＝{x|x＜}，∴A∩B＝{x|x＜}，故A正确，B错误；A∪B＝{x||

x＜2}，故C，D错误；故选：A．2．已知（1+i）z＝2，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】由（1+i）z＝2，可得z＝＝＝1﹣i，其对应点为（1，﹣1），在第四象限．故选：D．3．函数的定义域为

（）A．B．C．D．解：要使f（x）有意义，则，解得，且x≠0，∴f（x）的定义域为．故选：C．4．下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（）A．y＝﹣3x﹣1B．C．y＝x2﹣4x+5D．y＝|x﹣1|+2解：由一次函数的性质可知，y＝﹣3x﹣1在区间（1，+∞）上为减函

数，故A错误；由反比例函数的性质可知，y＝在区间（1，+∞）上为减函数，由二次函数的性质可知，y＝x2﹣4x+5在（﹣∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，故C错误；由一次函数的性质及图象的变换可知，y＝|x﹣1|+2在

（1，+∞）上单调递增．故选：D．5．函数y＝的一段大致图象是（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），∴y＝f（x）为奇函数，∴图象关于原点对称，∴当x＝π时，y＝﹣＜0，故选：A．6．已知∀x∈[0，2]，p＞x；∃x0∈[0，2]，q

＞x0．那么p，q的取值范围分别为（）A．p∈（0，+∞），q∈（0，+∞）B．p∈（0，+∞），q∈（2，+∞）C．p∈（2，+∞），q∈（0，+∞）D．p∈（2，+∞），q∈（2，+∞）解：由∀x∈[0，2]，p＞x；得

p＞2．由∃x0∈[0，2]，q＞x0；得q＞0．∴p，q的取值范围分别为（2，+∞）和（0，+∞）．故选：C．7．已知随机变量X服从正态分布N（2，7），P（X＞1）＝0.8，则P（X≥3）＝（）A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8解：由题意，随机变量X服从正态分布N（2，7）

，所以P（X≥3）＝P（X≤1）＝1﹣P（X＞1）＝1﹣0.8＝0.2．故选：A．8．若a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.32，则a，b，c三者的大小关系为（）A．b＞c＞aB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．b＞a＞c解：∵y＝log2x是增函数，∴a＝l

og20.3＜log21＝0，∵y＝2x是增函数，∴b＝20.3＞20＝1，又c＝0.32＝0.09，∴0＜c＜1，∴b＞c＞a，故选：A．9．在5道试题中有3道填空题和2道选择题，不放回地依次随机抽取2道题，在第1次抽到填空题的条件下，第2次抽到选择题的概率为（）A．B．

C．D．解：因为第1次抽到填空题，则剩下2道填空题和2道选择，所以在第1次抽到填空题的条件下，第2次抽到选择题的概率为．故选：B．10．设p：﹣1≤x≤1，q：x＜﹣2或x＞1，则￢p是q的（）条件．A．充分

不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要解：由题意知¬p为：x＜﹣1或x＞1，∴¬p⇒q不成立，而q⇒¬p成立，∴￢p是q的必要不充分条件，故选：B．11．函数在（﹣∞，+∞）上是减函数，

则a的取值范围是（）A．B．C．D．解：依题意，，解得0≤a＜，故选：B．12．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且x∈[0，1]时，f（x）＝x，则函数g（x）＝f（x）﹣cosπ

x在x∈[﹣2，4]上的所有零点之和为（）A．2B．4C．6D．8解：函数g（x）＝f（x）﹣cosπx的零点，即方程f（x）﹣cosπx＝0的根，也就是两函数y＝f（x）与y＝cosπx图象交点的横坐标．由f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x

+2）＝f（x），可得函数周期为2．又当x∈[0，1]时，f（x）＝x，作出函数y＝f（x）与y＝cosπx的图象如图：由图可知，函数F（x）＝f（x）﹣cosπx在区间[﹣2，4]上的所有零点之和为﹣2+2+6＝6．故选：C．二、填空题13．＝6．解：原

式＝4+2＝6．故答案为：6．14．的展开式中，x2y6项的系数是56．【解答】5解：的展开式中，通项公式为，令r＝6，可得x2y6项的系数是，故答案为：56．15．已知命题，命题q：∃x∈R，mx2+x﹣4＝0．若“p且q”为真命题，则

实数m的取值范围为[﹣）．解：命题P为真命题时，m＜1﹣（）x﹣1在[1，3]上恒成立，只需m＜[1﹣（）x﹣1]min，x∈[1，3]，又当x∈[1，3]时，函数1﹣（）x﹣1为单调递增函数，则当x＝1时，1﹣（）x﹣1的最小值为0，所以m＜0，命题q为真命题时，方程mx2+x﹣4＝0有解

，m＝0时，方程为x﹣4＝0，解得x＝4，m≠0时，方程有解，只需△＝1+16m≥0，解得m，所以命题q为真命题时，实数m的取值范围为m，又因为p且q为真命题，所以p，q都为真命题，则有，解得﹣，所以实数m的取值范围为[﹣），故答案为：[﹣）．16．定义域为R的奇

函数y＝f（x）在（﹣∞，0]上单调递减．设g（x）＝xf（x），若对于任意x∈[1，2]，都有g（2+x）≤g（ax），则实数a的取值范围为[﹣2，2]．解：由题意得f（﹣x）＝﹣f（x），所以g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x）＝g（x），即g（x）

为偶函数，因为奇函数y＝f（x）在（﹣∞，0]上单调递减且f（x）＞0，根据奇函数对称性可知，f′（x）≤0恒成立，当x＜0时，g′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，根据偶函数对称性可知，g（x）在（0，+∞）上单调递减，因为对于任意x∈[

1，2]，都有g（2+x）≤g（ax），所以|2+x|≥|ax|在[1，2]上恒成立，所以﹣（x+2）≤ax≤2+x，所以﹣1﹣在[1，2]上恒成立，所以﹣2≤a≤2．故答案为：[﹣2，2]．三、解答题17．已知集合P＝{

x|2x2﹣3x+1≤0}，Q＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0}．（1）若a＝1，求P∩Q；（2）若x∈P是x∈Q的充分条件，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝1时，Q＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}＝{x|1≤x≤2}则P∩Q＝{1}（

2）∵a≤a+1，∴Q＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0}＝{x|a≤x≤a+1}∵x∈P是x∈Q的充分条件，∴P⊆Q∴，即实数a的取值范围是18．某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该

软件3个月后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组：[30，40），[40，50），…，[90，100]，整理得到如图频率分布直方图．根据所得的满意度的分数，将用户的满意度分为两个等级：满意度的分数[30，60）[60，100]满意度的等级不满

意满意（Ⅰ）从使用该软件的用户中随机抽取1人，估计其满意度的等级为“满意”的概率；（Ⅱ）用频率估计概率，从使用该软件的所有用户中随机抽取2人，以X表示这2人中满意度的等级为“满意”的人数，求X的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中[60，100]的

频率为：（0.030+0.015+0.010+0.005）×10＝0.6，所以从使用该软件的用户中随机抽取1人，其满意度的等级为“满意”的概率约为0.6．（Ⅱ）用频率估计概率，则“满意”的概率为，“不满意”的概率为．X的所有可能取值为0

，1，2．；；．所以X的分布列为：X012P数学期望…………………………………………19．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρ

sin2θ＝4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．解：（I）∵ρsin2θ＝4cosθ，∴ρ2sin2θ＝4ρcosθ，∴曲线C

的直角坐标方程为y2＝4x．（II）将代入y2＝4x，得sin2α•t2+（2sinα﹣4cosα）t﹣7＝0，所以，所以，或，即或．20．袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球．（1）

若有放回地取3次，每次取一个球，求取出2个红球1个黑球的概率；（2）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分．求得分ξ的分布列和数学期望．解：（1）从袋子里有放回地取3次球，相当于做了3次独立重复试验，每次试验取出红球的概率为，取出黑球的概率为，设事件A

＝“取出2个红球1个黑球”，则P（A）＝＝…（2）ξ的取值有四个：3、4、5、6，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，P（ξ＝6）＝＝．分布列为：ξ3456P…从而得分ξ的数学期望Eξ＝3×+4×+

5×+6×＝．…21．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线C1交于点A，射线与曲线C2交于点B，求△AOB的

面积．解：（1）由题意得：曲线C1的参数方程为：（t为参数），消去t，x2+y2＝1（y≥0），根据，转换为C1的极坐标方程为：ρ＝1，θ∈[0，π]，曲线C2的极坐标方程为．由得：，根据，转换为直角坐标方程为＝0，即：3y+x﹣6＝0∴C2的直角坐标方程

为：3y+x﹣6＝0（2）由得：，由得：ρ＝，故：，所以S△AOB＝．22．已知函数f（x）＝ex+x2﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明：对任意x∈R，都有f（x）≥1．【解答】（1）解：根据题意可得，f'（x）＝ex+2x﹣1，

根据函数导数的几何意义即得，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程即为y﹣f（0）＝f'（0）（x﹣0）∵f（0）＝1，f'（0）＝0，∴函数y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程即为：y﹣1＝0⇔y＝1．（2）证明：法一：由（1）得，f'（x）＝ex+2x﹣1，∴f“（x）＝ex+2

＞0，即得f'（x）在R上单调递增，又因为f'（0）＝0，所以当x＞0时，f'（x）＞f'（0）＝0，此时函数f（x）单调递增；当x＜0时，f'（x）＜f'（0）＝0，此时函数f（x）单调递减；综上可得，函数f（x）在（﹣∞，0）上单

调递减；在（0，+∞）上单调递增．即得f（x）min＝f（0）＝1，所以对任意的x∈R，都有f（x）≥1．法二：令g（x）＝ex﹣x﹣1，g′（x）＝ex﹣1，易知g（x）在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，g（x）≥

g（0）＝0，又x2≥0，所以ex﹣x﹣1+x2≥0．